Решетки Ω-расслоенных формаций конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Перечень определений и условных обозначений.

Введение.

Общая характеристика работы.

Глава 1. Обзор результатов.

Глава 2. Предварительные сведения

2.1. Методы доказательств.

2.2. Используемые результаты.

Глава 3. Общие свойства решеток Г2-расслоенных формаций.

3.1. Решетки ОРф6 и ОРпф.

3.2. Алгебраичность решетки ОБ^.

3.3. Г2ф-индуктивные решетки О-расслоенных формаций.

3.4. Модулярные решетки О-расслоенных формаций.

Глава 4. Булевы решетки кратно Г2-расслоенных формаций

4.1. Прямые разложения кратно П-расслоенных формаций.

4.2. Кратно ^-расслоенные формации с булевой решеткой подформаций.

Глава 5. Свойства решеток ОКп и Кп

5.1. ©-отделимость решетки СЖП.

5.2. О совпадении систем тождеств решеток Кп и Кт при различных целых неотрицательных пит.

Выводы.

Классом групп называется множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой С? и все группы, изоморфные С. Значение этого понятия первоначально заключалось прежде всего в том, что исследования в теории конечных непростых групп были связаны с ха-рактеризацией групп по свойствам тех или иных классов. В дальнейшем теория классов групп выделилась в самостоятельное направление теории групп. После выхода работ Г. Биркгофа [52] и Б.Х.Неймана [58] начались активные исследования классов групп, содержащих бесконечные группы (многообразия, квазимногообразия и др.), а затем и классов конечных групп, интенсивное изучение которых началось с работы Гашюца [54].

Среди классов конечных групп важное значение имеют формации -классы конечных групп, замкнутые относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений [54].

При изучении разрешимых групп ключевую роль играют локальные формации. Перспективным оказался предложенный Гашюцем в [54] функциональный подход к заданию локальных формаций, который заключается в рассмотрении локальных спутников - функций вида / : Р —>• (формации групп), каждому из которых соответствует локальная формация 1^(/) = {С | <?/-Рр(С?) Е /(р) для всех р 6 7г(С?)}.

При исследовании произвольных, не обязательно разрешимых, конечных групп на передний план выходят введенные Л.А. Шеметковым в [46] композиционные формации, которые с точки зрения функционального подхода можно определить заданием значений спутника на множестве простых групп / : 3 —> (формации групп). Тогда композиционная формация, определяемая спутником /, есть множество ОР(/) = {<2 | £/^(<3) <Е /(А) для любых А 6 К (в)}. Композиционные формации составляют, по сравнению с локальными, более широкий класс формаций, причем каждая локальная формация является композиционной. Работы [15, 16, 20, 33, 42, 44, 46, 49, 53, 60] отражают итоги развития теории локальных и композиционных формаций на данный момент.

Еще более общая концепция частичной локальности и частичной композиционности берет начало в работах Л.А. Шеметкова [47, 59], где были введены в рассмотрение р-локальные и р-композиционные формации. В рамках функционального подхода авторами статьи [40] дано определение ¿¿-локальных формаций для произвольного непустого множества простых чисел и. В работах [5, 18] вводится понятие П-композиционноп формации в терминах главных рядов и групповых функций (Г^-спутников) вида / : О и {Г)'} —» (формации групп), принимающих одинаковые значения на изоморфных группах из О, где О - непустое множество простых групп. Формация $ называется 0,-композиционной с ^-спутником /, если $ = = | £

Г2')иС!/Рл(6!) 6 /(А)для всехА £ /*.'(<?)}, причем всякая композиционная формация является 0-композиционной для любого £1 С 3. Следует отметить, что независимо от [5, 18] концепция частичной композици-онности была предложена также А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым в [39].

При разработке функционального подхода в применении к локальным и композиционным формациям прослеживается определенная аналогия в их конструкциях, в частности, сходную роль играют FP(G) - Шр'^р-радикал группы G и Fa{G) = GqcA. Подобное наблюдение позволило сделать еще одно важное обобщение понятия композиционной и Q-композиционной формации. В.А. Ведерниковым в совместной с М.М.Сорокиной работе [6] , были введены Q-расслоенные формации с произвольным направлением <р, где направление формации определяется как отображение <р класса 3 во множество всех непустых формаций Фиттинга и задает вид радикала группы G в определении Q-расслоенной формации. Согласно [6], формация $ называется П-расслоенной с направлением ip и Q-спутником /, если # = QF(f, <р) = {G Е | G/Oq(G) Е f(Q') и G/Gv[a) Е f(A) для всех А Е П П K(G)}. Понятие П-расслоенной формации позволило ввести в рассмотрение бесконечное множество новых типов формаций с различными направлениями (р. В частности, Q-компознционные формации являются ÍI-расслоенными с направлением (р, таким, что <р(А) = (Зсл для любых А Е 3. С этой точки зрения итоги исследования Q-расслоенных формаций в работах [б, 10, 11, 12, 61] можно считать обобщением соответствующих результатов для композиционных и частично композиционных формаций. Частным случаем основных теорем главы 3 данной диссертации являются результаты работы А.Н. Скибы и JI.A. Шемет-кова [39] о решетках £-композиционных формаций. Таким образом, изучение П-расслоенных формаций является вполне актуальной и перспективной задачей.

Многие известные конкретные формации конечных групп обладают тем свойством, что могут быть заданы при помощи Q-спутников, все непустые значения которых сами являются Г2-расслоенными формациями с тем же направлением что и сама формация. В связи с этим, по аналогии с понятием п-кратно (тотально) локальной формации [44], вводится следующее определение: всякая формация считается 0-кратно ^-расслоенной с произвольным направлением (р; при п > 1 формация $ называется п-кратно ^-расслоенной с направлением <р, если $ = ср), где все непустые значения спутника f - (п — 1)кратно О-расслоенные формации с тем же направлением (р. Формация называется тотально ^-расслоенной с направлением <р, если она является п-кратно ^-расслоенной с направлением <р для всех натуральных п [25, 45].

Результаты и методы общей теории решеток с успехом используются в различных областях современной математики. Особенно широк спектр применений этой теории в общей алгебре [1]. Применение решеточных подходов в теории классов групп берет начало в рамках теории многообразий групп [19]. Привлечение решеточных конструкций оказалось весьма полезным и при изучении формаций групп, что отражено в работах А.Н. Скибы [33, 38]. При этом существенную роль играет тот факт, что решетка всех локальных формаций модулярна (см. [35]). Позднее этот результат получил развитие в различных направлениях. В частности, в монографии Л.А. Шеметкова, А.Н. Скибы [44] была доказана модулярность решетки всех п-кратно локальных формаций при любом натуральном п; в работе Баллестера-Боллиншес и Л.А. Шеметкова [51] показано, что модулярна решетка всех ¿¿-локальных формаций; позднее в работах А.Н. Скибы и Л.А. Шеметкова [39, 40] была установлена модулярность решеток п-кратно ¿¿-локальных формаций и го-кратно £-композиционных формаций соответственно.

Большое число работ связано с исследованиями дополняемых под-формаций. Напомним, что подформация 9Л называется дополняемой [37] в если для нее существует дополнение в решетке всех подфор-маций формации В работах [4, 50] были описаны формации, у которых все их подформации дополняемы. Изучение локальных формаций, у которых все их локальные подформации дополняемы, начато в работе В.А. Ведерникова [4]. В работе А.Н. Скибы [36] описаны п-кратно локальные формации, у которых решетка п-кратно локальных подформаций булева. Описанию локальных формаций с булевой решеткой локальных подформаций посвящена работа Го Вень Биня [55]. В дальнейшем [13, 14] были описаны (¿-локальные формации, у которых решетка ¡¿-локальных подформаций булева. В работе А.Н. Скибы и Л.А. Шеметкова [43] исследовались формации универсальных алгебр с системами дополняемых подформаций.

При изучении тождеств решетки п-кратно локальных формаций в книге [44] , было доказано, что при любых целых неотрицательных т и п системы тождеств решеток 1п и 1т совпадают.

Как показывают результаты монографии [33], применение общей теории решеток позволяет упростить доказательства многих известных теорем и решить ряд открытых вопросов, связанных с изучением внутреннего строения локальных формаций. Многие идеи и конструкции этой монографии носят универсальный характер и могут быть полезными при дальнейшей разработке теорий не только локальных, но и композиционных, а также расслоенных и ^-расслоенных формаций с различными направлениями. Иллюстрацией к этому служит данная диссертация, которая, в частности, развивает ряд идеи указанной монографии.

Таким образом, дальнейшее развитие решеточных методов в теории классов групп является актуальной задачей. В данной диссертации такая задача реализуется при исследовании кратно П-расслоенных формаций конечных групп.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации.

Методы общей теории решеток являются универсальными и используются в различных областях современной математики. Особенно широко применяется эта теория в общей алгебре, подтверждением чему может служить, в частности, монография Г. Биркгофа "Теория решеток" [1]. В теории групп важное место занимает вопрос исследования групп в зависимости от тех или иных решеточных свойств некоторой совокупности подгрупп. Согласно классической теореме Виландта [62], множество всех субнормальных подгрупп в любой конечной группе образует решетку. Развивая результат Виландта, Кегель [57] установил, что множество всех достижимых подгрупп в любой конечной группе образует решетку, если £ - наследственная формация, замкнутая относительно расширения. Решение проблем Кегеля и Шеметкова о нахождении наследственных локальных формаций, обладающих решеточным свойством для ^-субнормальных (^-достижимых) подгрупп было найдено В.Н. Семенчуком [21].

В теории классов групп с целью установить те или иные свойства класса также исследуются решетки его подклассов. Решеточные методы стали использоваться первоначально в рамках теории многообразий групп, что отражено в монографии X. Нейман [19], а затем и в применении к формациям конечных групп, в частности, в работах Л.А Шеметкова, А.Н. Скибы [33, 38, 44], посвященных изучению локальных и кратно локальных формаций. Для этих исследований важную роль играет тот факт, что решетка всех локальных формаций модулярна (см. [35]). В дальнейшем рассматривался вопрос о модулярности решеток формаций других типов. Так в монографии Л.А. Шеметко-ва и А.Н. Скибы [44] была доказана модулярность решетки всех п-кратно локальных формаций; Баллестером-Боллиншес и Л.А. Шемет-ковым [51] было показано, что модулярна решетка всех ¡¿-локальных формаций; А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым была установлена модулярность решеток п-кратно (¿-локальных формаций [40] и п-кратно £-композиционных формаций [39]. Эти результаты позволили активно использовать элементы общей теории решеток в вопросах изучения и классификации формаций таких типов.

Широко известные локальные и композиционные формации играют важную роль при изучении внутреннего строения конечных групп. Развитие теории формаций привело в дальнейшем к таким обобщениям этих понятий, как частично локальные [40, 47, 59] и частично композиционные [5, 18, 39] формации. Введенные В.А. Ведерниковым и М.М. Сорокиной [6] О-расслоеные формации позволяют с единых позиций изучать бесконечное множество новых типов формаций, каждый из которых характеризуется определенным направлением (р. Как показывают работы [6, 10, 11, 12, 61], а также данная диссертация, многие важные результаты, полученные ранее для композиционных, частично композиционных формаций, можно рассматривать как частный случай более общих результатов для Г^-расслоенных формаций. Таким образом, исследование $7-расслоенных формаций является следующим шагом на пути обобщения и расширения круга изучаемых объектов в теории формаций и является вполне актуальной и перспективной задачей.

В данной диссертации задача дальнейшего развития решеточных методов в теории классов групп реализуется при исследовании кратно О-расслоенных формаций с различными направлениями.

Цель и задачи исследования. Целью данной диссертации является развитие решеточных методов исследования таких классов конечных групп, как кратно ¡¡^-расслоенные и кратно расслоенные формации с различными направлениями.

Научная новизна полученных результатов. Все полученные в диссертации результаты являются новыми.

Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях по теории групп, при дальнейшем изучении О-расслоенных формаций конечных групп, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в университетах и пединститутах для студентов математических специальностей.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Алгебраичность решетки всех п-кратно Г^-расслоенных формаций с направлением (¿> таким, что (рд < <р.

2. Модулярность решетки всех п-кратно ^-расслоенных формаций с направлением таким, что <р(А) С &са для любой простой группы А, решетки всех П - р а с ело е иных формаций с указанным выше направлением (р1 обладающих 5п-значными 17-спутниками , а также модулярность решетки всех п-кратно ^-канонических формаций и решетки всех П-канонических формаций, обладающих 5п-значными П-спутниками;

3. Описание п-кратно Г^-расслоенных формаций с г-наиравлением ^р таким, что (¿>о < (р, (р(А) С Фа'&а Для всех простых групп А, у которых решетка всех тг-кратно Г2-расслоенных с направлением ср подформаций булева.

4. ©-отделимость решетки &Кп всех п-кратно О-канонических формаций.

5. Совпадение систем тождеств решеток Кт и Кп при любых целых неотрицательных т и п.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры алгебры Брянского государственного университета, на Международной алгебраической конференции, посвященной 60-летию проф. Ю.И. Мерзляко-ва (Новосибирск, 2000), на Международной научной конференции, посвященной 80-летию проф. Вольфганга Гашюца (Гомель, 2000), на III международной алгебраической конференции в Украине (Сумы, 2001), на Международном семинаре по теории групп, посвященном 70-летию А.И. Старостина и 80-летию Н.Ф. Сесекина (Екатеринбург, 2001), на Международной конференции "алгебра и ее приложения" (Красноярск, 2002), на Международном семинаре "Алгебра и линейная оптимизация", посвященном 90-летию со дня рождения С.Н. Черникова (Екатеринбург, 2002), на Международной математической конференции, посвященной 100-летию начала работы Д.А. Граве в Киевском университете (Киев, 2002).

Опубликованность результатов. Все основные результаты диссертации опубликованы в трех статьях [25, 29, 32], одном препринте [22], 7 тезисах конференций [23, 24, 26, 27, 28, 30, 31].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, пяти глав основной части, выводов и списка используемых источников, расположенных в алфавитном порядке в количестве 62 наименований. Объем диссертации - 101 страница.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Виктору Александровичу Ведерникову за внимание, оказанное им при написании данной диссертации.

выводы

1) В диссертации доказана алгебраичность решетки всех п-кратно О-расслоенных формаций с направлением <р таким, что (ро < (р;

2) для направления <р> такого, что <р(А) С (5сл для любой простой группы А, установлена модулярность решетки всех п-кратно Г2-расслоенных формаций с направлением (р, решетки всех Г2-расслоенных формаций с направлением <р, обладающих 5„-значными П-спутниками, а также решетки всех п-кратно ^-канонических формаций и решетки всех ^-канонических формаций, обладающих 5п-значными 0-спутниками;

3) получено описание п-кратно ^-расслоенных формаций с г-направлением (р таким, что (ро < <р,(р(А) С <За'&а Для всех простых групп А, у которых решетка всех п-кратно Г2-расслоенных с направлением р подформаций булева;

4) установлена (*5-отделимость решетки 0Кп всех п-кратно П-канонических формаций;

5) доказано совпадение систем тождеств решеток Кт и Кп при любых целых неотрицательных шип.

1. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука. - 1984. - 568 с.

2. Близнец И.В., Воробьев H.H. Прямые разложения кратно композиционных формаций. Гомель, 1998. - 10 с. - (Препринт / Гомельский госуниверситет; No 75).

3. Ведерников В.А. Элементы теории классов групп. Смоленск: СГПИ, 1988. - 96 с.

4. Ведерников В.А. Вполне факторизуемые формации конечных групп// Вопросы алгебры. Минск: Изд-во "Университетское", 1990. - Вып. 5. - С. 28-34.

5. Ведерников В.А. Коптюх Д.Г. Наследственные критические Г2-композиционные формации// Укр. мат. журн. 2001. - Т.53, No 5.- С. 579-588.

6. Ведерников В.А., Сорокина М.М. 0,-расслоенные формации и классы Фиттинга// Дискретная математика. 2001. - Т.13, Вып.З. - С.125-144

7. Воробьев H.H. О прямых разложениях си-локалъных формаций и классов Фиттинга // Вестник Витебского университета. 1997.- No 3. С. 55-58.

8. Воробьев H.H., Скиба А.Н. О булевых решетках п-кратно локальных классов Фиттинга. Гомель, 1997. - 16 с. - (Препринт / Гомельский госуниверситет; No 62).

9. Грэтцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982. - 450 с.

10. Еловиков A.B. О произведении Q-расслоенных формаций // Брянскому государственному педагогическому университету им. акад. И.Г. Петровского 70 лет: Сборник научных трудов. - Брянск: БГПУ, - 2000. - С. 189-193.

11. Еловиков А.Б. Факторизация биканонических формаций // Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Ско-рины, No 5(14), Вопросы алгебры - 18, - 2002. - С. 112-124.

12. Еловиков А.Б. Факторизация частично расслоенных формаций // Международная конференция Алгебра и ее приложения. Тезисы докладов. Красноярск. - 2002. - С. 47-48.

13. Жевнова Н.Г. uj-локальные формации с булевой решеткой си-локальных подформаций // Докл. АН Беларуси. 1997. - Т. 41, No 5. - С. 15-19.

14. Жевнова Н.Г., Скиба А.Н. р-Насыщенные формации с дополняемыми р-насыщенными подформациями // Изв. вузов. Сер. Математика. 1997, No 5. - С. 1-7.

15. Каморников С.Ф. Субнормальные подгруппы в теории формаций конечных групп. Дисс. на соиск. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук. - Гомель. - 1995.

16. Каморников С.Ф., Шеметков Л.А. О корадикалах субнормальных подгрупп// Алгебра и логика 1995. - Т.34, N0 5. - С. 493-513.

17. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. -М.:Наука. 1982. - 288 с.

18. Коптюх Д.Г. Частично композиционные и критические формации/ / Междуи. коиф. Симметрия в естествознании / Красноярск.- 1998. С. 68-69.

19. Нейман X. Многообразия групп. М.: Мир. - 1969. - 264 с.

20. Селышн М.В. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп Минск: Беларус. навука, - 1997. - 144 с.

21. Семенчук В.Н. Роль критических групп в классификации классов конечных групп. Дисс. на соиск. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук.- Гомель. 1999.

22. Скачкова Ю.А. О решетке всех п-кратно О,-композиционных формаций групп// Препринт N0 4. БрянскгБГПУ. - 1999. - 15 с.

23. Скачкова Ю.А. О решетке п-кратно О-композиционных формаций/ / V международная алгебраическая конференция, посвященная 60-летию проф. Ю.И. Мерзлякова: Тез. докл. Новосибирск.- 2000. С. 163-164.

24. Скачкова Ю.А. Прямые разложения кратно П-расслоенных формаций/ / В сб. Гашюцова теория классов групп и других алгебраических систем. Тезисы межд. научн. конф., посвященной 80-летию проф. Вольфганга Гашюца. Гомель, ГГУ. - 2000. - С. 56.

25. Скачкова Ю.А. Прямые разложения кратно П-расслоенных формаций/ / Брянскому государственному педагогическому университету им. акад. И.Г. Петровского 70 лет: Сборник научных трудов. - Брянск: БГПУ, - 2000. - С. 184-188.

26. Скачкова Ю.А. О решетке всех П-биканонических формаций// Международный семинар по теории групп, посвященный 70-летию А.И. Старостина и 80-летию Н.Ф. Сесекина: Тез. докл. Екатеринбург. - 2001. - С. 204-205.

27. Скачкова Ю.А. Решетки П-расслоенных формаций.// III международная алгебраическая конференция в Украине: Тез. докл. -Сумы. 2001. - С. 251.

28. Скачкова Ю.А. Булевы решетки кратно П-расслоенных формаций/ / Международная математическая конференция, посвященная 100-летию начала работы Д.А. Граве в Киевском университете: Тез. докл. Киев. - 2002. - С. 125.

29. Скачкова Ю.А. Булевы решетки кратно О -расслоенных формаций/ / Дискретная математика. 2002. - Т.14, вып.З. - С. 42-46.

30. Скачкова Ю.А. О совпадении систем тождеств решеток Кп и Кт при различных пит// Международный семинар "Алгебра и линейная оптимизация", посвященный 90-летию со дня рождения С.Н. Черникова: Тез. докл. Екатеринбург. - 2002. - С. 193-194.

31. Скачкова Ю.А. Отделимость решетки всех п-кратно канонических формаций // Международная конференция "Алгебра и ее приложения": Тез. докл. Красноярск - 2002. - С. 108.

32. Скачкова Ю.А. Решетки П-расслоенных формаций// Дискретная математика. 2002. - Т.14, вып.2. - С. 85-94.

33. Скиба А.Н. Алгебра формаций-Мн.: Беларуская навука, 1997.

34. Скиба А.Н. О дополняемых подформациях // Вопросы алгебры. -Гомель, 1996. Вып. 9. - С. 114-118.

35. Скиба А.Н. О локальных подформациях длины 5// В кн. Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. Минск: Наука и техника, - 1986. - С. 149-156.

36. Скиба А.Н. О локальных формациях с дополняемыми локальными подформациями // Изв. вузов. Сер. Математика. 1994. - No 10. -С. 75-80.

37. Скиба А.Н. О формациях с заданными системами подформаций // Подгрупповое строение конечных групп.- Мн., 1981. С. 155-180.

38. Скиба А.Н. Характеризация конечных разрешимых групп заданной нильпотентной длины // Вопросы алгебры. Мн. - 1987. -Вып. 3. - С. 21-31.

39. Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Кратно £-композиционные формации конечных групп// Докл. HAH Беларуси. 1999. - Т. 43, N 4. - С. 5-8.

40. Скиба А.Н., Шеметков JI.A. Кратно и-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Матем. труды. 1999. - Т.2, N 1. - С. 1-34.

41. Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Кратно и-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп// Матем. труды 1999. - Т.2, N0 2. - С.114-147.

42. Скиба А.Н., Шеметков Л.А. О минимальном композиционном экране композиционной формации // Вопросы алгебры Вып. 7 -Гомель: 1999. - С. 39-43.

43. Скиба А.П., Шеметков Л.А. Формации алгебр с дополняемыми под формациями/ / Укр. мат. журн. 1991. - Т. 43, N0 7, 8. - С. 10081012.

44. Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Формации алгебраических систем. -М.:Наука, 1989. 264 с.

45. Сорокина М.М. О минимальных спутниках кратно

46. О,-расслоенных классов Фиттинга и формаций конечных групп// Брянскому государственному педагогическому университету им. акад. И.Г. Петровского 70 лет: Сборник научных трудов. -Брянск: БГПУ, - 2000. - С. 199-203.

47. Шеметков Л.А.Два направления в развитии теории непростых конечных групп// Успехи мат. наук 1975. - Т.30, N0 2. - С.179-198.

48. Шеметков Л.А. О произведении формаций// Докл. АН БССР. -1984. Т.28, N0 2. - С.101-103.

49. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ. - 1962.

50. Шеметков Л.А. Формации конечных груть. М.:Наука, 1978. - 274 с.

51. Эйдинов M.И. О формациях с дополняемыми подформациями // IX Всесоюзн. симпозиум по теории групп. Тез. докл. М., 1984. -С. 101.

52. Ballester-Bolinches A., Shemetkov L.A. On lattices of p-local formations of finite groups // Math. Naclir. 1997. - Vol. 186. - P. 57-65.

53. Birkhoff G. On structure of algebras // Proc. Carbridge Phil. Soc. -1935. Vol. 31. - P.433-454.

54. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Walter de Gruyter, Berlin - New York, 1992. - 889 p.

55. Gaschütz W. Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen // Math. Z. 1963. - Bd 80, No 4. - S. 300-305.

56. Guo Wenbin Local formations in which every subformation of type has a complement // Chinese Science Bulletin. 1997. - Vol. 42, No 5. - P. 364-368.

57. Huppert В. Endliche Gruppen, I. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967. - 793 p.

58. Kegel O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormal-teilorverband echt enthalten// Arch. Math.- 1978.- V.30.- P.225-228.

59. Neumann В.H. Identical relations in groups. I// Math. Ann. 1937. - Vol. 114. - P.506-525.

60. Shemetkov L.A. Frattini extensions of finite groups and formations// Communications in Algebra. 1997. - V.25, No 3. - P.955-964.

61. Shemetkov L.A. Some ideas and results in the theory of formations of finite groups Coventry, Warwick Preprints. - 1991. - No 13. - 44 p.

62. Vedernikov V.A. Maximal Satellites offt-Foliated Formations and Fitting Classes// Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. -Suppl. 2. 2001. - S217-S233.

63. Wielandt H. Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen// Math.Z.- 1958.- V.69.- No 8.- P.463-465.i'OCCilUí'KAíi ГОСУДАРСТ;-БйЛЛ£ ВКБЛЙОТг^А'