Факторизации однопорожденных расслоенных формаций конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Перечень определений и условных обозначений.

Введение. IQ

Общая характеристика работы.

Глава 1 Обзор результатов. Ig

Глава 2 Предварительные сведения

2.1 Методы доказательств.

2.2 Используемые результаты. 9g

Глава 3 Факторизации однопорожденных расслоенных формаций.

3.1 Общие свойства расслоенных формаций.

3.2 Однопорожденные расслоенные формации.

3.3 Несократимые факторизации однопорожденных расслоенных формаций.

3.4 Однозначность разложения однопорожденной расслоенной формации на неразложимые множители. jq

Глава 4 Факторизации однопорожденных частично расслоенных формаций

4.1 Общие свойства Q-расслоенных формаций.

4.2 Однопорожденные Q-расслоенные формации.

4.3 Несократимые факторизации однопорожденных расслоенных формаций.

Выводы.

Список используемых источников.

ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Рассматриваются только конечные группы. Используемые в работе без ссылок обозначения, определения и классические результаты по теории групп можно найти в книгах [9, 21, 22, 23, 36, 45, 49], а по теории классов групп в [2, 4, 6, 7, 24, 26, 41, 42].

Класс групп - совокупность групп, содержащая со всякой своей группой и все группы, изоморфные ей.

5, Ф, Ш - некоторые классы групп. р, q - простые числа.

Р - множество всех простых чисел.

1 - единичная группа. tt(G) - множество всех различных простых делителей порядка группы п(дс) - объединение множеств tc(G) для всех групп G из множества групп Зс.

K(G) - класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы G.

G) - класс всех групп, изоморфных группе G. $) - класс групп, порожденный множеством групп

Ro(£) - класс всех таких групп, которые являются подпрямым произведением некоторых групп из

Главный фактор Н/К группы G называется главным А-фактором, если /С(Н/К)=(А).

К(£) - объединение классов ^(G) для всех GG

Д(£) - множество всех попарно неизоморфных групп из К(дс).

0 - пустое множество. - класс всех групп. SR - класс всех нильпотентных групп. "Я - класс всех абелевых групп. <3 - класс всех разрешимых групп. сл - класс тех групп у которых все главные А-факторы центральны. @(п) - класс всех тех конечных разрешимых групп, у которых порядки главных факторов, ступени нильпотентных секций и экспоненты не превосходят натурального числа п.

- класс всех р-групп. - класс всех простых групп. Q - непустой подкласс класса

- класс всех Q-групп, то есть таких групп G, что К( полагают, что

G° - S-корадикал группы G, то есть пересечение всех тех нормальных подгрупп М из G, для которых G/M65*.

Go- ~ 5-радикал группы G, то есть наибольшая нормальная подгруппа группы G, принадлежащая S.

А]В - полупрямое произведение групп А и В, с нормальной подгруппой А.

А'Х/В - регулярное сплетение групп А и В, следуя [45], будем обозначать через А#=ПьевА1Ь, где Ai - первая копия группы А в базе сплетения.

Ofi(G) - (%-радикал группы G.

Op(G) - наибольшая нормальная р-подгруппа группы G.

O(G) - подгруппа Фраттини группы G.

CG(H/K) - централизатор фактора Н/К в группе G.

Fa(G) - ©сЛ-радикал группы G.

F(G) - 5R-радикал группы G.

Запись M<G означает, что М является нормальной подгруппой группы G.

Секция группы G - факторгруппа А/В, где А - подгруппа группы G, а В - нормальная подгруппа группы А.

Группа G называется формационно-критической, если G конечна и формация, порожденная теми собственными секциями из G, которые лежат в formG, не содержит G.

Главный А-фактор группы G - такой главный фактор группы G, чьи композиционные факторы изоморфны простой группе А.

Формация - класс групп, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и подпрямых произведений.

Класс Фиттинга - класс групп, замкнутый относительно нормальных подгрупп, в котором выполняется условие: если Nj<]G, Njs S для любого iel и G=<Nj| iel>, то Geg. ф/Ор(ф) - формация, порожденная всеми группами G/Op(G), где Ge£>.

Все рассматриваемые функции принимают одинаковые значения на изоморфных группах из их области определения.

QF-функция - функция f: QU{Q'}—>{ формации групп }.

F-функция - функция g: £>->{ формации групп }.

FR-функция - функция (р: >{ непустые формации Фиттинга }.

Формация S=nF(f,<p)=(G: G/On(G)ef(Q') и G/GV(A)ef(A) для всех

A6QniC(G)) называется Q-расслоенной формацией с Q-спутником f и с направлением ср.

Формация 5*=F(g,(p)=(G: G/G9(A)€g(A) для всех AGA^G)) называется расслоенной формацией со спутником g и с направлением ф.

А=©(А),гдеАе^.

5DKf)-(G: G^ESiH) - формационное произведение формаций 9Я и Ф.

Oa-(G) - @А-радикал группы G.

Oa-.a(G) - ©А@А-радикал группы G.

FP(G) - @р-^p-радикал группы G.

Формация называется Q-биканонической. если ф(А)=:@адля любой неабелевой группы AE^j и ф(А)=@а @а Для любой абелевой группы и обозначается S=QBF(f)=(G: G/On(G)Gf(Q'),

G/0A(G)6f(A) для всех AE(Q\1{)nK(G) и G/0A-,A(G)Ef(A) для всех AGQfYll n/C(G)).

Формация S=BF(0=(G: G/0A(G)Gf(A) для всех AeK(G)\'X и G/0A-,A(G)Ef(A) для всех Ae^(G)n2l) называется биканонической.

Формация О^^Ж^ф) называется Q-канонической, если ф(А)=©л @л для любой простой группы А, и обозначается S=QKF(f)=(G: G/On(G)Gf(D') и G/Oa- A(G)Ef(A) для всех A6Qntf(G)).

Формация S=KF(f)=(G: G/0A-,A(G)Gf(A) для всех AGK(G)) называется канонической.

Формация J5=nF(f,cp) называется ^-композиционной, если ф(А)=ЗсЛ для любой простой группы А и обозначается 5*=^CF(f)=(G:

G/On(G)Ef(Q'), G/FA(G)Gf(A) для всех AGQnK(G)).

Формация S=CF(f)=(G: G/FA(G)Gf(A) для всех AGK(G)) называется композиционной.

На множестве 9v всех FR-функций вводится отношение частичного порядка <. Для любых ф2 бЖ полагают ф1<ф2, если ф!(А)£ф2(А) для любого А 6 £5.

Направление ф Q-расслоенной формации называют Ь-направлением, если ф(А)©а=ф(А) для любой абелевой группы Ае

Направление ф Q-расслоенной формации называют г-направлением, если ф(А)=@а Ф(А) для любого Ае

Направление ф D-расслоенной формации называют Ьг-направлением, если ф является и Ь- и г-направлением.

Обозначим через а - направление биканонической формации, то есть а(А):=©л- Для любой неабелевой группы Ае и а(А)=@л ©л для любой абелевой группы Ае £5.

Обозначим через у - направление композиционной формации, то есть у(А)=<ЗсЛ для всех групп Ае form% - формация, порожденная совокупностью групп дс, то есть пересечение всех формаций, содержащих дс.

Однопорожденная формация - формация, порожденная группой G, то есть 3:={G} и обозначается formG.

- Q-расслоенная формация с направлением ф, порожденная множеством групп Ш, то есть пересечение всех Q-расслоенных формаций с направлением ф, содержащих дс.

Монолитическая группа - неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу (монолит).

Полной решеткой формаций называется непустое множество формаций в, если 0, ©е9 и пересечение любой совокупности формаций из 0 снова принадлежит В.

Q-спутник f называется 6-значным, если все его значения принадлежат 9.

Q9F(£^p) - пересечение всех Q-расслоенных формаций с направлением ф, содержащих множество групп £ и обладающих хотя бы одним 9-значным Q-спутником.

Внутренний спутник формации Г? - такой спутник f формации 5% все значения которого принадлежат i$.

Максимальный внутренний спутник расслоенной формации 5" с направлением ф - максимальный элемент множества всех внутренних спутников формации {5

Минимальный спутник расслоенной формации 5 с направлением ф -минимальный элемент множества всех спутников формации 5.

Минимальная расслоенная не ^-формация с направлением ф - такая расслоенная формация с направлением ф, что но все собственные расслоенные подформации из S с направлением ф в классе ф содержатся.

Наследственная (нормально наследственная) формация - такая формация, которая вместе с каждой своей группой содержит и все ее (нормальные) подгруппы.

ВВЕДЕНИЕ

Множество групп, замкнутое относительно изоморфизмов называется классом групп. Понятие класса играет в теории групп немаловажное значение, поскольку многие исследования связаны с характеризацией групп по свойствам тех или иных классов. Отметим, что, как самостоятельное направление, теория классов начала свое развитие в 30-е годы, после выхода в свет работ Г. Биркгофа ( [42] ) и Б.Х. Неймана ( [49] ), посвященных многообразиям алгебраических систем. Результаты и методы, связанные с изучением классов групп, дали, в свою очередь, мощный толчок для развития теории групп. Наиболее «богатыми», на сегодняшний день, являются теории многообразий, формаций и классов Фиттинга. Многообразиям групп посвящена монография X. Нейман ( [23] ), формациям конечных групп - монографии JI.A. Шеметкова ( [40] ) и А.Н. Скибы ( [25] ), применению формаций и классов Фиттинга к конечным разрешимым группам - лекции В. Гашюца ( [45] ) и книга К. Дерка и Т. Хоукса ( [44]).

Вышедшая в 1963 году работа В. Гашюца ([46] ) огромный интерес и массу исследований по различным классам групп. Одно из ключевых мест в теории классов занимают формации, то есть классы групп, замкнутые относительно гомоморфных образов и подпрямых произведений (Гашюц, [46]). К настоящему времени, можно говорить, что в теории классов возникло и вполне оформилось новое направление - теория формаций. Современное положение теории формаций излагается в работах [2, 25, 40, 41, 44].

В работе [46] Гашюцем впервые был предложен способ конструирования различного рода формаций при помощи специальных функций, отображающих множество простых чисел Р в формации. Эти функции сейчас называются спутниками формаций. Формации, обладающие такими, спутниками называются локальными формациями.

В 1975 году на 12-м Всесоюзном алгебраическом коллоквиуме в Свердловске JT.A. Шеметковым были введены принципиально новые спутники, отображающие множество всех простых групп в формации.

Формации с такого вида спутниками называются композиционными формациями ( [40] ). При изучении разрешимых групп основную роль играют локальные формации. Но, при исследовании произвольных конечных групп на передний план уже выходят композиционные формации.

Концепция частичной локальности, введенная в рассмотрение JI.A. Шеметковым (см. [38] ) и концепция кратной локальности, введенная А.Н. Скибой (см. [25] ) позволили раскрыть новые возможности использования функций при изучении классов конечных групп.

Функциональный подход к изучению формаций оказался чрезвычайно продуктивным. При анализе связи между локальными и композиционными формациями, В.А. Ведерниковым был найден способ конструирования новых видов формаций с помощью функции направления (р (см. [3, 4, 5, 6]). Формация 5=QF(f,(pHG: G/On(G)Gf(Q') и G/G(p(A)Gf(A) для всех AEQnK(G)) называется Q-расслоенной формацией с Q-спутником f и с направлением (р, где (р - некоторая FR-функция, то есть (р: >•{ непустые формации Фиттинга }. Понятие расслоенной формации позволяет по-новому взглянуть на проблему классификации в теории формаций. Локальные и композиционные формации оказываются лишь частным случаем в бесконечном множестве всевозможных расслоенных формаций. Более того, оказывается, что любую формацию конечных групп можно описать с помощью функционального подхода, взяв в качестве ее направления следующую функцию ф(А)=@А

Как отмечает А.Н. Скиба ( [25] ), одной из наиболее общих задач в теории формаций является классификация различных типов формаций, важных для приложений. В рамках этой задачи, представляет интерес изучение однопорожденных локальных и композиционных формаций. В статье [26] А.Н. Скиба впервые исследовал факторизации локальных однопорожденных формаций. J1.A. Шеметковым в работах [37, 38] была найдена зависимость между спутником произведения локальных формаций ЯЯф и спутниками сомножителей. Напомним, что произведением Шф формаций 9Н и ф называют класс всех групп G таких, что где G^' - ф-корадикал группы G. Всякое представление формации {5 в виде где Cfi,., St - некоторые формации и S^Sr-'Si-iSi+r-Sb при всех ie{l,.,t} называют несократимой факторизацией формации S. В работе [52] А.Н. Скиба описал все несократимые факторизации однопорожденных локальных формаций. В дальнейшем эти результаты получили широкое применение в различных исследованиях. Методы и техника исследования перечисленных основополагающих статей были использованы во многих работах в этом направлении (см. [8, 14, 28, 53]). Кроме того, методы, разработанные А.Н. Скибой и JI.A. Шеметковым, позволяют изучать с единых позиций сразу несколько формаций с различными направлениями.

В данной работе будем обозначать через а - направление биканонической формации, а через у - направление композиционной формации, то есть а(А)=@л- для любой неабелевой группы Ае£$ и а(А)=@д @л для любой абелевой группы АЕ^ и у(А)=<Зсд для любой простой группы А. Направление ф Q-расслоенной формации называют b-направлением, если ф(А)(УА=ф(А) для любой абелевой группы AeS; r-направлением, если ф(А)=@д-ф(А) для любого Ае^; Ьг-направлением, если ф является иЬ-и г-направлением.

В диссертации исследуются несократимые факторизации однопорожденных расслоенных и Q-расслоенных формаций с Ьг-направлением Р, а<|3<у. Очевидно, что частным случаем таких формаций являются биканонические и композиционные формации. Тем самым, учитывая теорему 2.2.43 получен ответ на вопрос 3.5.21 ( [26] ) об описании всех возможных несократимых факторизаций однопорожденных композиционных формаций.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

спутником произведения локальных формаций 9)1 ф и спутниками сомножителей. Эти результаты были использованы А.Н. Скибой в работе [53] для описания всех несократимых факторизаций однопорожденных локальных формаций. Методы и техника исследования перечисленных основополагающих статей были использованы в работах А.Н. Скибы, Го Вэньбиня, Т.Р. Вишневской, В.Н. Рыжик (см. [8, 26, 28, 29, 48, 53, 54] ) в которых исследовалось строение факторизаций однопорожденных локальных, ограниченных локальных, ограниченных р-локальных, ограниченных т-замкнутых локальных и однопорожденных композиционных формаций.

В.А. Ведерниковым в работах [3, 4, 6] было показано, что локальные и композиционные формации являются частным случаем расслоенных формаций. Поэтому вопрос изучения факторизаций расслоенных и частично расслоенных формаций весьма актуален и перспективен. Следует также отметить, что расслоенные формации играют важную роль в становлении нового взгляда на теорию формаций, показывая, что множество формаций не ограничивается лишь локальным и композиционным случаем. В данной диссертации исследуются несократимые факторизации широкого множества однопорожденных расслоенных и Q-расслоенных формаций, включающего в себя биканонические и композиционные формации. В частности, получен ответ на вопрос А.Н. Скибы об описании всех несократимых факторизаций однопорожденных композиционных формаций.

Цель и задачи исследования - построение общей теории факторизуемых однопорожденных расслоенных формаций с Ьг-направлением 3, а<(3<у и факторизуемых однопорожденных Q-расслоенных формаций с Ьг-направлением (3, а<Р<у.

Научная новизна полученных результатов. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях по теории классов групп, в частности, при дальнейшем изучении однопорожденных формаций, факторизуемых формаций и различных видов расслоенных и Q-расслоенных формаций. Полученные результаты могут быть использованы также при чтении спецкурсов в университетах и пединститутах для студентов педагогических специальностей.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1) Описание несократимых факторизаций двумя множителями однопорожденных расслоенных формаций с br-направлением (3, а<р<у.

2) Описание несократимых факторизаций п множителями однопорожденных расслоенных формаций с Ьг-направлением р, а<р<у.

3) Однозначность разложения однопорожденной расслоенной формации с br-направлением (3, а<(3<у, на неразложимые множители.

4) Описание несократимых факторизаций двумя множителями однопорожденных Q-расслоенных формаций с br-направлением (3, а<(3<у.

5) Описание несократимых факторизаций п множителями однопорожденных ^-расслоенных формаций с br-направлением (3, а<р<у.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры алгебры Брянского государственного университета, на IV Международной алгебраической конференции, посвященная 60-летию профессора Ю.И. Мерзлякова (Новосибирск, 2000), на Международной алгебраической конференции, посвященной 80-летию профессора Вольфганга Гашюца (Гомель, 2000), на III Международной алгебраической конференции в Украине (Сумы, 2001), на Международный семинар по теории групп, посвященный 70-летию А.И. Старостина и 80-летию Н.Ф. Сесекина (Екатеринбург, 2001), на Международной конференции по алгебре и ее приложениям (Красноярск, 2002), на Международной конференции по чистой и прикладной математике, посвященной столетию начала работы Д.А. Граве (Киев, 2002).

Опубликованность результатов. Все основные результаты диссертации опубликованы в 2 статьях [14, 15], 1 препринте [10], 7 тезисах конференций [11, 12, 13, 16, 17, 18, 19].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, четырех глав основной части, выводов и списка используемых источников, расположенных в алфавитном порядке в количестве 55 наименований. Объем диссертации - 115 страниц.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Виктору Александровичу Ведерникову за внимание, оказанное им при написании данной диссертации.

выводы

1) В диссертации получено описание несократимых факторизаций двумя множителями однопорожденных расслоенных формаций с br-направлением (3, а<Р<у.

2) получено описание несократимых факторизаций п множителями однопорожденных расслоенных формаций с br-направлением |3, а<[3<у.

3) доказана однозначность несократимого разложения однопорожденной расслоенной формации на неразложимые множители.

4) получено описание несократимых факторизаций двумя множителями однопорожденных Q-расслоенных формаций с br-направлением (3, а<(3<у.

5) получено описание несократимых факторизаций п множителями однопорожденных Q-расслоенных формаций с br-направлением (3, а<(3<у.

1. Ведерников В. А. , Коптюх Д.Г. Частично композиционные формации групп. // Препринт №2. Брянск: БГПУ, 1999.

2. Ведерников В.А. Элементы теории классов групп. Смоленск: Смоленский госпединститут, 1988. -96 с.

3. V.A. Vedernikov Maximal satellites of Q-folited formations and Fitting classes // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 2, 2001, pp. S271-S233.

4. Ведерников В.А. О новых типах со-веерных классов Фиттинга конечных групп // Украинский математический журнал, 2002. Т. 54. № 7. С. 897-906.

5. Ведерников В.А., Сорокина М.М. со-веерные формации и классы Фиттинга конечных групп // Матем. заметки, 2002. Т. 71, № 1. С. 4360.

6. Ведерников В.А., Сорокина М.М. Q-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика. 2001. Т.13. Вып. 3. С. 125-144.

7. Ведерников В.А., Коптюх Д.Г. Наследственные критические Q-композиционные формации // Укр. матем. журнал, 2001. Т. 53. № 5. С. 579-588.

8. Вэньбинь Го, Скиба А.Н. Факторизации однопорожденных композиционных формаций // IV Межд. алгебр, конф., поев. 60-летию проф. Ю.И. Мерзлякова. Тез. докл. / Новосибирск, 7-11 августа 2000 г. / Институт математики СО РАН, С. 60-61.

9. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. М.: Мир, 1985. 352 с.

10. Еловиков А.Б. Кратно Q-композиционные формации групп. // Препринт №3. Брянск: БГПУ, 1999.

11. Еловиков А.Б. О произведении Q-композиционных формаций // IV Международная алгебраическая конференция, посвященная 60-летию профессора Ю.И. Мерзлякова Тезисы докладов. / Новосибирск, 7-11 августа 2000 г. / Институт математики СО РАН. С. 72-73.

12. Еловиков А.Б. О произведении Q-расслоенных формаций // Брянскому государственному педагогическому университету им. акад. И.Г. Петровского 70 лет: Сборник научных трудов. - Брянск: БГПУ, 2000. С. 189-193.

13. Еловиков А.Б. Однопорожденные композиционные формации // Дискретная математика. 2001. Т. 13, вып. 3. С. 153-160.

14. Еловиков А.Б. Факторизация биканонических формаций // Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины, № 5(14), Вопросы алгебры 18, 2002, С. 112-124.

15. Еловиков А.Б. Факторизация биканонических формаций // Международная конференция по чистой и прикладной математике, посвященная столетию начала работы Д.А. Граве. Тезисы докладов. / Киев, 2002, С. 86.

16. Еловиков А.Б. Факторизация однопорожденных формаций // Материалы Международной алгебраической конференции, посвященной памяти З.И. Боревича (тезисы докладов). Санкт-Петербург, 2002.

17. Еловиков А.Б. Факторизация частично расслоенных формаций // Международная конференция Алгебра и ее приложения. Тезисы докладов / Красноярск, 2002, С. 47-48.

18. Еловиков А.Б. Факторизуемые однопорожденные композиционные формации // Тезисы докладов III Международной алгебраической конференции в Украине. / Сумы, 2-8 июля 2001 г. / Сумской гос. пед. университет им. А.С. Макаренко. С. 173-174.

19. Каргаполов М. И. , Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. -М. : Наука, 1977.

20. Кострикин А.Н. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. 496 с.

21. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.,1969. 668 с.

22. Нейман X. Многообразия групп / пер. с англ. М.: Мир, 1969, - 264 с.

23. Скиба А. Н. , Шеметков JI. А. Кратно со-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Препринт №63. Гомель: ГГУ, 1997.

24. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука, 1997. -240 с.

25. Скиба А.Н. О произведении формаций // Алгебра и логика. 1983. Т. 22, №5. С. 574-583.

26. Скиба А.Н. О факторизациях одного класса формаций конечных групп // Вопросы алгебры. Гомель, 1992. Вып. 7. С. 108-110.

27. Скиба А.Н., Рыжик В.Н. Факторизации р-локальных формаций // Вопросы алгебры. Гомель, 1997. Вып. 11. С. 76-89.

28. Скиба А.Н., Шеметков J1.A. Кратно со-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп. Матем. Труды, 1999, 2, №2. — С. 114-147.

29. Скиба А.Н., Шеметков JI.A. О минимальном композиционном экране композиционной формации // Вопросы алгебры. Гомель, 1992. Вып. 7. С. 39-43.

30. Сорокина М. М. Композиционные критические формации. Дисс. на соиск. учен. степ. канд. физ. -мат. наук. Брянск, 1998.

31. Сорокина М.М. О композиционных и локальных критических формациях // Изв. вузов. Серия математика. 2000. №7. С. 59-66.

32. Сорокина М.М. О критических Q-расслоенных формациях конечных групп // Международная конференция Алгебра и ее приложения. Тезисы докладов / Красноярск, 2002, С. 111-112.

33. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962. 468 с.

34. Шеметков Л. А. Гащюцовы произведения классов групп // Докл. НАН Беларуси, 1998. Т. 42, №3. с. 22-26.

35. Шеметков Л. А. О произведении формаций // Докл. АН БССР. 1984. Т. 28, №2. С. 101-103.

36. Шеметков Л. А. Экраны произведения формаций // Докл. АН БССР. 1981. Т. 25, №8. С. 677-680.

37. Шеметков Л.А. Два направления в развитии теории непросты конечных групп // Успехи мат. наук 1975. - Т. 30, №2. - С. 179198.

38. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978.-267 с.

39. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989.-253 с.

40. Birkhoff G. On structure of algebras // Proc. Carbridge Phil. Soc. 1935. Vol. 31. P. 433-454.

41. Bryant R.M., Brys R.A., Hartley B. The formation generated by a finite group // Bull. Austral. Math. Soc. 1970. - V. 2, № 3. - P. 347-357.

42. Doerk K. , Hawkes T. Finit soluble groups. Berlin, New York: Walter de Gruyter. 1992.-889 p.

43. Gaschutz W. Lectures on subgroups of Sylow types in finite soluble groups. Australian National University Canberra. 1979. 100 p.

44. Gaschutz W. Zur Teorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. 1963. Bd. 80, №4. p. 300-305.

45. Guo Wenbin On one question of the kourovka notebook // Communications in Algebra. 2000. Vol. 28, №10. P. 4767-4782.

46. Huppert B. Endliche Gruppen, I. Berlin; Heidelberg; New York : Springer, 1967.-793 p.

47. Neumann B.H. Identical relations in groups. I // Math. Ann. 1937. Vol. 114. P. 506-525.

48. Shemetkov L. A. On Gaschutz product of composition formations // Международный алгебраический семинар, посвященный 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ. Тезисы докладов. М. : МГУ.

49. Shemetkov L.A. Some ideas and results in the theory of formations of finite groups // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского университета. 1992. Вып. 7. С. 3-38.

50. Skiba A.N. On nontrivial factorizations of an onegenerated local formation of finite groups // Proc. Int. Conf. Algebra Dedicat. Mem. A.I. Mal'cev. Novosibirsk. 21-26 Aug. 1989. С. 111.

51. Vishnevskaya T.R. On factorizations of one-generated p-local formations // Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины. Вопросы алгебры. 2000. № 3(16). С. 88-92.

52. РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТ >::ипля< БИБЛИОТЕК^