Локальные формации с заданными внутренними свойствами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГб йд

1 П ЛПР 1993

л АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На праЕах рукописи

СКМБА АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

ЛОКАЛЬНЫЕ ФОРМАЦИИ С ЗАДАННЫМИ ВНУТРЕННИМИ СВОЙСТВАМИ

01.01.06 - математическая логика, елгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степею! доктора физико-математических наук

Минск - 1993

Работа выполнена в Гомельском государственном университете имени Франциска Скорины

Официальные оппоненты - доктор физико-математических нзук,

профессор МЕЛЬНИКОВ Олег Владимиро-ькч

доктор физико-математических наук, профессор ОЛЬШАНСКИЙ Александр Юрьевич

доктор физико-математических наук, профессор ПРОТАСОВ Игорь Владимирович

Ведущее учреждение - Институт математики СО РАН

Защита состоится - Л 1993 г. в 1 /у

часов на заседании специализированного совета Д 006.19.01 в Институте математики АК Беларуси по адресу: 220072, Минск, ул. Сур-ганоза, 1Г

С диссертацией мокко ознакомиться в библиотеке Института ма-г-матики АН Беларуси.

" ^ ■ У^^ЬТ^ 1993 г.

Автореферат разослан

у

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических

наук А.С.Рапинчук

ОБЗАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Характерной особенностью современной алгебры является то обстоятельство, что наряду с традиционным изучением различных индивидуальных объектов (груш, колец, линейных алгебр и др.) большое внимание уделяется исследованию различных образований, составленных из объектов такого рода. При этом обычно рассматриваются классы, т.е. совокупности однотипных алгебраических систем, замкнутые относительно изоморфизмов. Следует, однако, отметить, что в "чистом" виде теория классов начала свое развитие лишь в ЗО-е года в работах Г.Биркгофа и Б.X.Неймана о многообразиях групп. В дальнейшем наряду с многсбразиями были выделены и изучались другие классы алгебраических систем (реплично полные классы, квазимногообразия, радикальные классы и др.). Значительное влияние на процесс становления теории классов оказал, как известно, А.И.Мальцев. В докладах на IV Всесоюзном математическом съезде и на Международном конгрессе математиков в Москве в 196в г. наряду с другими направлениями А.И.Мальцов рассматривает как одно из наиболее важных теорию классов алгебраических систем.

После выхода в 1966 г. работы в.Гашмца [13 и последовавшей за ней работы Р.Картера и Г.Хоукса [2] началось интенсивное изучение различных классов конечных груш, ключевую роль среди которых заняли лекальные формации. Напомним, что класс групп называется формацией, если он замкнут относительно гомоморфных образов и подпрямых произведений с конечным числом сомножителей. Формация конечных груш д называется локальной, если для любой конечной группы о с й/ф(о)е',5 имеет место Сед.

Благодаря усилиям Р.Бэра, Б.Хупперта, П.Шмвда, Е.Дейда, К.Де-рка, О.Кегеля, Б.Хартли, В.Гашюца, Р.Брайанта, Дж.Косси, Л.А.Ше-моткова и многих других зарубежных и отечественных математиков в теории формаций конечных груш уже .к концу 70-х годов было получено большое число глубоких и содержательных результатов, нашедших свое отражение в ряде современных учебных и монографических изданий.

Первоначально понятие локальной формации использовалось линь для нахождения ношх подгрупп в грушах. В дальнейшем .по мере развития теории все больше вопросов оказалось связанным с исследо-

ванием формаций. Постепенно выкристализовалась и приобрела первостепенное значение задача построения и описания локальных формаций с заданным:! свойствами.

Пересечение всех тех локальных формаций, которые содержат данную конечную группу С-, обозначают через Иогпй. Формации такого вида называют однспорэаденньми локальными формациями. К необходимости рассмотрения однопороаденных формаций приводят многие задачи.

При анализе результатов теории групп нетрудно заметить, что Есе они по существу являются утверждениям о том, что группы одного класса X принадлежат другому классу ОТ. Если Х&Я и классы X и - локальные формации, то минимальная по включению локальная подформация $ из X, не входящая в 111 (называемая Я^-критической, или иначе минимальной локальной не ТС-формацией), оказывается од-нопорожденной.

Отметим, что на наглость изучения однопорожденных локальных формаций впервые обратил внимание В.Гашюц еще в 1963 г. в его известных лекциях [3].

Позднее было обнаружено (см. [ЗЫ4]), что многие вопросы теории формаций сводятся в той или иной степени к изучению различных патов однопорожденных формаций.

Цель работы состоит в изучении различных типов однопороаденных формаций конечных групп и в применении полученных результатов к решении некоторых открытых вопросов теории классов конечных груг -.

.-:дтодика исследования. Использовались метода, конструкции и результаты общей теории решеток, теории многообразий груш, теории представлений конечных груш, теории классов конечных групп.

Научная новизна. Бее основные результаты диссертации являются новыми. Построена теория ^-критических формаций (& - локальная формация классического типа), описаны факторизации однопороаденных локальных формаций.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по теории классов конечных групп, а также при изучении сама конечных групп.

Апробация работы. Результаты .настоящей диссертационной работы докладывались ее автором на семинаре по теории групп кафедры ал-

геора и геометрия Гомельского государственного' уяпввргатзтэ, на сежнаре "Алге0рз и логика4 (Новосибирск), ка секаквре но теории групп при Институте математики АН УССР (Киев), на алгебраическом семинаре Московского государственного университета. Автор выступал с докладами на VII-X Всесоюзных симпозиумах по теории групп (Шумекскоо, 1930 г.; Суш, 1982 г.; Москва, 1934 г.; Гомель, 1S86 г.), на IV Всесоюзной школе по теории конечных групп (Челябинск, 1984 г.), на XVI, XVII и XVIII Всесоюзных алгебраических конференциях (Ленинград, 1981 г.; Минск, 5Ж г.; Кииинев, 1965 г.), на Международной алгебраической конфэр.мпдаи (Новосибирск, 1989 г.), на Мевду народной алгебраической конференции (Новосибирск, 1991 г.).

П^^гакащга. Основные результата диссертации опубликованы в работах 118-49] и строкены в книге Í12J.

Объем к структура работы. Работа содержит 245 страниц маашго-писного текста и состоит из введения, трех глав (разбитых на параграфы 1-5, 5-9, 10-17), списка обозначений и списка цитируемой литература, содержащей 104 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Прежде чем дать описание содержания диссертации по глазам и параграфа'.:, кратко очертим круг основных вопросов, расгматривае-I'ш в диссертации. Все рассматриваете в диссертации группы предполагаются коночными.

Напомним, что локальная формация 3 называется -критической ¡или минимальней локалыой не ^-формацией), если 3 не входит в класс групп 5, но Tj^ /лп каядой собственной локальной подформа-ции ?jí из 7,.

Значение л -критических формаций заключено в следующей теореме, являющейся одним из осноеных результатов диссертации.

Теорема (4.1). Пусть формации g и 5 локально и . Если ?) разрешима, или если она является формацией классического типа, то в 3 имеется по крайней море одна критическая ггсдфор.мз-ция.

Под формацией классического тклу обычно понимают Формацию с T-JKíJM локальным экраном, нее побелены значения которого локальна. Серия тага«: формаций включает в себя формата; разрешимых,

сверхразрешжшх, якльлотентшх, диеп'зрюшнкх, ' яг-ззмкнутых, я-слзцкашых, я-раорзиимих, я-сБврзразроллиэх гр:/гл при жбсм непустом множества щюстж чисел £ор™ащ:э rp.viiti о кильготент-якм кожу тактом, формации разреазакх групп о ограниченной нкльпо-тентнол датой, формации р-разр&вмуи.к групп с ограниченной р-длиной и др..

В теории формаций получила известность следующая проблеме В.Гашйца [3 3: верно ли, что у люЗой однопорозхденной локальной ío-рмагда число осех ло.са.льншс годформаций конечно? Как показали Р.БраРант, F.EpaAa и Б.Хартли Í5J, ста проблема имеет положительное решение >¡ классе разрешимых груш. Один из ключевих моментов доказательства теорока 4.1 редуцируется к следующему утверждению, явллицчмупл дэлъвейегш.: продвижением по прсблеке Гааюца.

Теорема (4.2!. Пусть у rpynmi G В-корадикал Gö на имеет ФраттпннбЕых О-глаеных Факторов. Тогда в формации líormQ имеется лишь конечное шокество лок&яышх под^ормаций.

В теореме 4.2 & обозначает класс нсех разрешила групп, a G''-ра/мечыаая (ло ыслшению) нормальная подгруппа группа С- со СВОЙСТВОМ 0/0^465.

Отметал, что в недавне опуолинованной работе tG] отмеченпиИ результат Р.БраПанта, Р.Брайса а Б.Хартли б-м разват в внок тшп-А именно, из основного результата работы [6J втекает, чю заключения хворого* 4.-; верно и для групп G с такой ройрескксЛ тр/альпой подгрунпсА К, что С./П - простая группа.

СС'пЗЯ проолема изучешп $ -критически одкздш вкерьыс ои.-м '■хотаьлена Д.Д.&г.кткобкк о его доклздо г.а IV Всесох-зяом слупо-ei'.yve по теории групп СП. В диссертации дало оииег.пие -критических '¿ор'.аций, где f> - продольная формация классического тиля. В частности, в доссертгцяи докэгагш дяодуиске утьорк-

ДС-КПЛ.

Т е О р С 11 а ¡D.U. Тогда и только тогда % ■■ ггинимальнад л> к&лыггя кгналепотентная формация, когда £=líonr.G, где ú - лиСо группа ;и.'.пдта, лкоо некоторая простая неабелева группа.

Теорема (5.2). Тогда и только тогда g - ииткалы-.а?. локальная ке:.;етаппльпотентнпл формация, когда ¿í~l.Tonr,0, где У - такая моислптцческья груота с кололтом Р, что лпЗо G/P - нплыго-■гениям, з р - кеаРелзг-э груша, jcsoc й-Р>-Н, где P=0,-íP) -'г -г,-/сиг.. a 3«CMí - такая яоно.тлткческг;л группз с монолитом

0=0р(0), что р не делит |П| я подгруппа N - нильпотентпа.

Слздувдй результат для простоты приведем в разроззмзм случае.

Теорема (5.9). Пусть формация д разрешима. Тогда и только тогда д - гяшшэльная локальная несверхрззрешнмая формация, когда д-1ГогяЮ, гдз С=РхН - такая мэнолитическая группа с монолитом Р=С^(Р)=0 (С), что Н удовлетворяет одному из следующих условий:

1) Я=0хИ, где С5=СН(СЗ) - подгруппа простого порядка д (.^р). а I? - циклическая группа порядка, делящего , причем число |К/0 (К)| делит р-1;

2) к - группа кватернионов порядка 8, причем 4 делит р-1;

2) Н - неабелева группа порядка q, простой нечеткой экспонента q, причем q долит р-1;

4) н - циклическая примарная груша порядка q", причем (Ч",р-1 делит р-1.

Под произведением К5 Формаций ЗР. и ¡5 потачают класс всех там::: групп 0, у которых О'-ЧЕ. Понятно, что такой подход мо»ж> пепол:-зогать и для определения произведения многообразий групп.

Е работе 131 Л. Л. Кие лысин доказал, что произведение КЗ иееди-ничних многообразий К и 5 является кроссовым тогда и только тогда, когда Ш нильпотентно, 5 абэлево и экспоненты И и 5 взаимно просты. Поскольку нильпотонтные многообразия неразложимы, а еся-кое разложимое многообразие согласно известной теореме Шмелькинп-Нейманов единственным образом представляемся в виде произведения конечного числа неразлотлых многообразий, то сформулированный выше результат А.Л.Имзлысина дает списание всех возможных факторизация кроссошх многообразий.

Вторая рассматриваемая в диссертации задача -рязона с изучением нетривиальных факторизация однопоровденных лсаальнзгс формаций. При этом под нетривиальной факторизацией формации д мы исни-маем представление 3 в ввде д=Э1...д1 (Ш), где каждая из формаций отлична от д и от формаций единичных групп е.

На содержательность такой задачи указывает тот факт, что до самого последнего времени неизвестно было ее решение даже в таком экстремальном случае, когда д=1Гогтгр, где - группа простого порядка р. Действительно, в этом случае - класс всех р-групп и поэтому рассматриваемая проблема в этом случае редуцируется по

существу к вопросу о разложимости формаций ¡П., т.е. вопросу 10.72 из "Коуровской тетрада" (отметим, что несколько рзкьвз этот ке вопрос был поставлен Л.А.Шеметковым в его работе [9]).

Общая проблема изучения факторизация сднопороиденных локальных формаидй обсуждалась Л.А.Шеметковым в его докладе на XVII Всесоюзной алгебраической конференции (Минск, 1983 г.). Полное решение такой задачи дает следующая теорема диссертации.

Теорема (7.1). Тогда и только тогда произведение 3, •••<?,. является нетривиальной факторизацией некоторой однопорож-денной локальной формации когда выполняются 'следующие условия:

1) и |тс|>1;

2) - метакильпотентная однопорожденная локальиая формация и у. - однопороаденная формация при (>1; .

3) если ненильпотентна, то 1=2, абелеЕа и тс(А/Т(А))П Пд;(В)=0 для всех Ае?4 и ВсЗа;

4; если т=3, то и нильпотентны, абелева и экспоненты 'д2 и 3» Еоашно просты.

В теореме 7.1 обознэчаот множество всех простых делителей порядков всех груш из 3- Пересечение всех формаций, содержащих данную грушу С, обозначают через ГогтС. Формации такого вида называют одоопорокденными.

Теорема 7.1 позволяет дать следующие аналоги теоремы АЛ.Шмвлькина о разложимых кроссовых многообразиях.

Следствие (7.26). Тогда и только тогда произведение ГО?> н? аиничных фориаций I'. и 5 является однопорожденной локальной формою Л, когда выполняются следующие условия:

1) ифКтеШ);

2) К - метанильшэтентная локальная формация;

3) если |и]:>1, то $ однопорождена, причем если ЗЯ ненильпотентна, то 5 абелева;

4) тс(А/Р(А))П1С(3)=0 для всех АеШ и Ве&.

Следствие (7.28). Тогда и только тогда произведение

515 нзединичных формаций III и & является однопорожденной формацией, когда 1 и 5 одцошрокдены, И нильпотентна, § абелеве и их экспоненты взаимно просты.

Важным следствием теоремы чявляется следующее утверждение.

Следствие (7.29), Ври любом простом числе р формацию 5!ь ир-льзя предстзьигь в виде 9ср=М5, где обо формации Ж и 5 отлич-

ни от ЭТ .

г

Следствие 7.29 дает ответ на вопрос 10.72 из "Коуровской тетради".

Следствие (7.30). Тогда и только тогда произведение

неединичных локальных формаций Ж и & является однопорожденной локальной формацией, когда 7П=ЭТ лля некоторого простого числа Р-

В недавно опубликованной работе Г10 J Л.А.Шеметков и С.Ф.Ка-морников построили пример, показывающий, что в отличие от многообразий груш существуют такие неоднопоронденные локальные формации 5'. Для которых можно неограниченно продолжать процесс разложения $

S=3j32 > > • ■

в произведение формаций нетривиальным образом. Вспоминая, что всякое многообразие в определенном смысле однопоргагено, можно предположить, что для однопороаденных локальных ф.^.-пциЯ такая ситуация невозможна. Теорема 7.1 позволяет доказать следующее более общее утверждение.

Теорема (8.1). Всякая разлсям'.эя однопорождепная локальная формация обладает единственной нетривиальной факторизацией с неразложимыми факторам.

^Перейдем к описанию содержания диссертации по главам.

Первая глава посвящена изучению £ -критических формаций. Прежде чем сформулировать достигнутый здесь результат, нзм необходимо напомнить определение локального экрана 4S' -^тцк.

Пусть 1 - функция, сопоставляющая каждому простому числу р некоторую формацию i(p). Главный фактор Н/Х группы G называется i-центральным, если для любого .простого делителя р его порядка |Н/К| имеет место

G/CG(H/Kkf(p).

Функция Г называется локальным экраном формации если Jf с0~ стоит из тех и только тех групп, у которых все главные факторы i-центральны.

Для произвольной непустой формаций ¿¡' через G^ обозначается пересечение всех таких нормальных подгрупп И из G, что G/NeJ'.

Кульминационным результатом главы 1 является следующая теорема.

Теорема (3.1). Пусть 5 - формация классического типа с

локальным экраном h. Формация g в том и только в том случае является ¡^--критической, когда g=lionnG, где С- - такая мзнолитхческвя группа с монолитом P-G^, что выполняется одао из следующих условий:

1) P-G - группа простого порядка;

я„<ап1кр))

2) ? - неабелвва груша и P=G при всех рвм'Р);

3) G=P>H, где P=Cf. iP) - р-груша, а Н -- такая монолитическая

u 31 (&iih(p))

группа с монолитом Q-H (р не делит |Q|), что либо

St (gnn(q))

0(К)—1 и К 4 cQ яри всех qeic(Q); либо Н - минимальная не

hip)-группа одного из оледукшвх тштов: а) циклическая примарная груша; б) группе кватернионов порядка 8; в) нэабелева груша порядка q" простой нечетной экспонента q.

Если h произвольный локальный экран формации Ь, а экран t та^ов, что для любого простого числа р имеет место tip)» •--Slp (5ilh(p)), то t - такие локальный экран формации Ь и его называют максимальным внутренним локальным экраном Это замечание позволяет переформулировать теорему 3.1 следующим образом:

Теорема {3.4). Пусть g - некоторая формация классического типа и h - ее максимальный внутренний локальный экран. Формация 3 в том и только в том случае является ¡^-критической, когда 3'=lfonrf., где С- - такая моколитическая груша с монолитом

, что выполняется одао из следующих условий:

1) P--G - группа простого порядка;

2) Г - кэабблэва группа и для scex рсг(Р);

3) G-I-v.K, где Р~С(% {V) - р-группз, а К - такая моколитическая груша с монолитом Q^H"^'' (р не делит |Qi), что льбо 0(H)=i и ЯПчС1'сЗ для всех qer(Q), лиоо Н - минимальная ье Ь(р)-группа одного из следующих типов: а) циклическая примарная груша; б) груша кватернионов порядка 8; в) неабелева груша порядка q3 простой нечетной экспоненты q.

Непосредственному доказательству теорэлм 3.1 предшествуют дез вспомогательных параграфа.

изучаются различные свойства порожденных формаций. Собранные здесь наблюдения используются и в лоследужцих главах дис-с«рт ашш.

Для произвольного множества простых чисел % через %' обозначают дополнение к -к во мнолестве всех простых чисел, а через <$% -

класс всех т-групп.

Доказательство теорем« 3.1 в значительной степени сводится к анализу свойства (Свр ,!ГИЯ^-критических формаций в двух случаях: когда w - абелева формация или когда Ж - некоторая локальная формация. Исследование этих двух случаев к являетс-я главным итогом § 2. При изучении первого случая полезным оказывается следующий доказанный здесь результат.

Теорема (2.10). Тогда и только тогда 3 - минимальная неабзловэ формация, когда J'=ror.:G, где G - моколитичоская груша одного из следующих типов:

П КОМ и коммутант G' группы G совпадает с ее монолитом;

2) G - группа кватернионов порядка 8;

3)0- неабелевз группа порядка р3 простой нечетной экспоненты р.

Сформулированная выще теорема 4.1 является первым приложением теоремы 3.1. Доказательству этой теоремы посвящен 5 4,

В 5 5 показывается, как теорема 3.1 монет быть использована для получения описания -критических формаций в случаях, когда $ - одна из формаций классического типа. Кроме сформулировашшх визе теорем 5.1. Б.2 и 5.9 здесь приводится еще десять конкретных следствий теоремы 3.1 и обсуждаются возможности дальнейших ее приложений.

Во второй главе решается ряд вопросов, связанных с изучением произведений классов групп. Здесь, в частности, даются ответы на вопросы 6.52, 10.72 к 11.25 а) из "Коуровской тетради"', решается отрицательно проблема 14 из [11! и решается вопрос 6.24 из I12i.

Главкой целью главы 2 является доказательство сформулированных Еыие теорем 7.1 и 8.1, давдих решение проблемы Л.А.Шемзткова о фактсризациях одаопоровденных локальных- формаций.

В основе доказательства этих теорем, кроме результатов главы 1, лежит иного новых наблюдений, собранных в §S 7,3. Часть из таких наблюдений представляет и самостоятельный интерес. Отметим здесь следующие леммы.

Лемма Во всякой однопорожденкой локальной формации содержится лишь .'•.вечное множество наследственных локальных под-формаций.

Лемма (7.19). Если - однопорожденная локальная фор-

мация, то по крайней мере одна из формаций И, 5 локальна.

Путь Г - произвольный, локальный экран, А - некоторая группа операторов группы 0. 'Говорят, что А действует Г-стабилыю на С, если в 0 имеется такая субнормальная цепь А-допустимых подгрупп

1=о се2...сс,=а,

О 1 I

что

А/СА(С/С_1)£Г(р) для Есех ); .....г.

В "Коуровской тетради" под кокером 6.52 помещен следующий вопрос Л.А Шеметкова: пусть 1 - локальный экран формации, содержащей все нильпотентные группы, А - некоторая группа автоморфизмов группы С. Пусть А действует ;-стабильно на Бос(С/Ф(С)). Доказать, что А действует Г-стабильно на Ф(С>).

В 5 9 доказывается, что эта задача имеет положительное решение в точности для формаций вида в£>, где & - класс всех разрешимых групп, а £ - произвольная непустая формация. Отсюда, в частности, вытекает, что существует континуум локальных формаций, для которых вопрос 6.52 решается отрицательно, и континуум локальных формаций, относительно которых эта з.одача имеет положительное решение .

Класс груш 5 называется классом Фиттинга, если он нормально наследственен и всегда из того, что С=АВ, где А.ВсЗ и А.В-аС следует, что Сед. Под произведением Е& классов Фиттинга К и 5 по:ш-мают соЕОкупт:'.'Сть всех таких групп в, что где С^ - произ-

ведение всех нормальных К-подгрупп группы С.

3 § 10 строится пример локального класса Фиттинга 3, предста-вимого в виде 3=1115, где В1,£) - нелокальные классы Фиттинга, не являющиеся формациями. Поскольку в таком примере 5' одновременно отличен от класса всех групп © и от класса всех разрешимых групп &, то тем самым дан положительный отеот на Еопрос Н.Т.Воробьева 11.25 а) из "Коуровской тетради".

Отметим, что методы главы 2 существенно отличаются от методов, применяемых при изучении произведений многообразий групп. В первую очередь это связано с тем, что при изучении произведений ненаследствешшх классов мы не мотам непосредственно использовать конструкцию сплетения групп. Действительно, если АеЛ, Ве&, а формации К и $ ненаследственны, то в общем случае либо АигВДф, либо где Н - подгруппа, отвечающая вложению Калужшна-Краснера.

Третья глава включает в себя параграфы 11-17. Наблюдения пер- 72 -

вых двух глав дополняются здесь некоторыми ковы:,и подходам:. Знп-чите.'тьая часть главы служит иллюстрацией вогмокжх дзльн-зГ-их приложений результатов о 5 -критически формациях при изучении локальных (формаций с заданными 'внутренними свойствами.'

Напомним индуктивное определение п-кратно локальной формации. Всякая формация групп считается 0-кратно локальной. Формация 3 называется п-кратко локальной (п->1), если 3 имеет такой локальный экран Г,-каждое непустое значение которого (п-1)-кратно локально,

Сопостзвляя группе С п-кратно локальную формацию 1пГопяС, ею порожденную, естественно предположить, что сеойстез такой формации находятся в тесной взаимосвязи с внутренним строением группы С.

В 5 И доказывается следующая теорема.

Теорема (11.1). Тогда и только тогда группа в разрешима и ее нильпотентная длина не превышает п+1, когда б формац'.?.; 1 ГотЛ наследственны все п-кратко локальные подфэрмашз:.

Следствие (11.14). Тогда и только тогда группа С шльпотентна, когда в формации, ею порожденной, наследственны все подформации.

Следствие (11.15). Тогда и только тогда группа мота-нильпотентна, когда в локальной формации, ею порожденной, наследственны все локальные подформашш.

Во г, 1'огих вопросах теорш1 формаций важную роль играют С ма-иди виде . Из результатов § 9 вытекает, что всякая формация такого вщ. п-кратно локальна при любом натуральном п. 3 § 12 доказывается следующая теорема, дополняющая наблюдения 5 Э.

Теорема (12.1). Пусть 3'=@5, гди 5 - некоторая непустая формация. Тогда для любых целых неотрицательных п и ш множества тождеств решеток Ьп(д) и Ьт(3) совпадают.

В этой теореме Ь (3) обозначает решетку г-кратно локальных подформаций из д.

Обозначил через решетку всех п-кратно локальных формаций.

Следствие (12.10). При любых целых неотрицательных п и га множества тождеств решеток Ьп и Ьт совпадают.

Следствие (12.11). при любом целом неотрицательном п решетка Ьп модулярна, не не дистрибутивна.

Локальная подформацпя Я из $ называется предмакспмальной в 3',

в с«*2*

где £ - максимальная локальная подформгция б 5', а И - максимальная локальная подформацкя б

Б рабою [13] Е.А.Тергонский описал ненильг.отентные локальные формата:, у которые; все предааксимальныо локальные иодформации нилытотентны.

В § 13 дается списание нэнидьттотентшх локальных формаций, у которых имеется по крайней мере одна нильпотентная предмакеилаль-ная локальная подформгция.

Говорят, что локальная формация ¿г имеет (конечную) длину п, если является элементом высоты п решетки локальных формаций , т.е. с-сли имеется, такая, цепь

б которой - максимальная локальная подформация в

1=1,...,п.

Целью 5 14 является описание локальных формаций длины •■Сб. При решении такой задачи полезным оказывается следуйтее понятие длины нелокальной формации.

Говорят, что формация 3 имеет (конечную) длину п, если имеется такая цепь

в которой - максимальная подформация в <.=1.....п.

Нз необходимость введения такого определения при изучении локально формаций ограниченной длины указывает, например, следующая ма.

Л а К а а (14.3). Пусть 3 _ локальная формация длены п, 1 -ее минимальный лекальный ькран. Тогда если З'сЗГ', то п совпадает с суммой длин формаций, являшихоя значениями экрана Т.

Итак, мы видим, что в мэтанильпотентном случае задача изучения локальных формаций с ограниченной длиной прямо редуцируется к соответствующей задаче для нелокальных Формаций.

Отметим, что в работе £14] М.И.ЭЯдоювым Склл частично описаны нелокальные формации длины 3. Полное решение такой задачи дает следующая теорема, вытекающая ;тз наблюдений 5 14.

"]' е О р е N а (17.1). Тогда и только тогда формация $ имеет дл'-ну 3, когда где С, - ояча иг следунипс групп:

1) л«В, где А и В - простые неизоморфные группы;

2) циклическая примерная группа порядка р2;

3) нейЗ&левг группа порядка р3 простоя нечеткой экспоненты р;

4) моколлтическая группа с та--:нк монолитом Р, что Р;Я5(0 и О/? - прямое произведение изоморфных простых групп.

Отметим, что эта теорема отрицательно рег: ;т один вопрос М.М.Эйдинова, поставленная им в работе [14] на стр. 78.

Пусть 5)1 - псдформзция формате: Под дополнением к И в 2? обычно понимают дополнение к 11 е рзтетка подформэцпй формации у. Изучение формаций с системами дополняемых ггодформаций оыло начато автором в работе [103. Рззбйвзя одно из г-^лравлекай этой работы, М.И.Зйдинов [15] и В.А.Вэдер;шкоз [163 описали формации, у* которых все подфермзции дополняет,к. В работе [16] была тйкпй предпринята попытка изучения локальных формаций с дополняемый: локальными подформзциями. При этом автору работы [163 удалось лгшь доказать, что формации такого масса имеют зид З'огтЯ, где 2 - некоторое множество простых групп.

Полное описание локальных формаций такого . вида получено в § 15.

'I' е с р е ?! а (15.5). Пусть $ - не единичная локальная формация. Тогда слздущке условия эквивалентна:

'.) ре-детка локальных поДормацй форматах 3;5;/лвЕа; .

2) формация 3 нилъг.отентка;

3} каждая кильпотентная одаопорозденкая .".скальная педформацкп формации 3 дополняема в ней.

Здесь ке расширяется отмечошшй идее ^ультзт работ .15,163.

Теорема (15.6). Пусть д - неединична;.- ■•■мааия. Тогда следующие условия жжБг.>.';<тны:

1) реаотка подформашх* формации Ъ булева;

2) кавдая пееднничная ¿-группа грляется прямым произведением некоторого конечного числа простых груш;

3) в 5 дополняема каждая хгодфермация вида где А - прямое произведение некоторого числа простых груш;

Нетрудно заметить, что приведенное Екше следствие 11.14 эквивалентно следующей теореме.

Теорема. Тогда и только тогда формгхяч групп хлхльпотен-тна, когда г ней наследственны все подформэции. ;

Отметим, что необходимость в этой теореме доказана П.Неймз-нс'м [173, а достаточность - автором 11ЭЗ.

В связи с этим результатом в выступлении на X Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Гомель, 1986 г.) В.А.Ведерников высказал предположение, что если все подформации формации д нормально наследственны, то она состоит из с-нильпотентных групп, т.е. из гругш вида А1х....хА1, где у Аь все композиционные факторы изоморфны между собой.

В § 16 указывается пример формации, для которой эта гипотеза неверна. Построение такого примера основывается на следующей доказанной здесь теореме.

Теорема (16.1). Пусть центр Ъ квазипростой группы й имеет*простой порядок р. И пусть силовская р-подгруппа мультипликатора Шура простой группы Ъ/Ъ цииклична. Тогда, если р^2 и каждый автоморфизм группы Ъ индуцирован некоторым автоморфизмом группы С, то д=ГогтС - 5п-формация, причем Гогш({Ъ/Ъ)*Ъ) -единственная максимальная подформацил 3'. Если же р=2, то д не является Б^-формацией.

В этой теореме под Зп-формацией подразумевается формация, у которой все подформации нормально наследственны.

Напомним, что минимальной не %-группой называется всякая группа', сама не принадлежащая классу д, но у которой все собственные подгруппы этому классу принадлежат. В § 17, отвечая на вопрос В.Н.Семенчука -(см. [121, проблема 23.17), мы показываем, что если $ - разреаимая наследственная формация конечных групп и всякая конечная минимальная не д-группа либо проста, либо является группой Шмидта, то д локальна. Кроме того, здесь тпогроен пример, показывапиий, что такой результат неверен, если фог-.^шя 3 не является наследственной.

ЛИТЕРАТУРА

1. Gaschutz W. Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen // Math.Z. - 1963. -Bd. 80, J6 4. - S. 300-305.

2. Carter R., Hawkes T. The g-normallzers of a finite soluble group // J. Algebra. - 1967. - V. 5, № 2. - P. 175-202.

3. Gaschutz W. Selected topics in the theory of soluble groups. Lectures given at the 9th Summer Research Institute of

- 16 -

the Australian Mathematical Society. - Canberra. - I960.

4. Sbemetkov L.A. Some Ideas and results in the theory of formations of finite groups // Warwick Preprints: 13/1991, <14 p.

5. Bryant R.M., Bryce R., Hartley E. The formation generated by a finite group // Bull. Austral. Math. Sou. - 1970. -V.?.,»?3. -P.347-357.

6. Foy Paul D. The formation generated by a finite group // University of Manchester. Institute of Science and Technology. -November 1990. - P.1-21.

7. Шеметков Л.А. Экраны ступенчатых формаций // Тр. VI Всо-ссюзн. симпозиума по теории групп. - Киев: Неуков а думка, 13SO. -С. .37-50.

8. Шмелькин А.Л. Сплетения и многообразия груш // Изв. АН СССР, математика. - 19S5. - Т.29. - С.14Э-170.

9. Шеметков Л.А. О произведении формаций алгебраических систем // Алгебра и логика. - 1984. - Т.23, - 0.271-279.

10. Каморников С.Ф., Шеметков Л.А. Разложимые идемпотенты полугруппы формаций коночных групп // ДАН БССР. - 19Э1. - Т.35, «0. - С. 1101-1103.

11. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.:Наука, 1378.

- 267 с.

12. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем.

- М.:Наукэ, 1989. - 264 с.

13. Таргонский Е.А. Неразрешимые локагьнне формации с системой нильпотентшх подформаций // Вопросы алгебры. - Минск: Кзд-во "Университетское", 1987. -- 153. - С. 11-16.

14. Зйданов М.И. Элементы высоты два рбшетки формаций конечных групп // Мзв. вузов. Математика. - 1990. - №. - 0.77-SO.

15. Эйдинов М.И. О формациях с дополняемыми подформациями // IX Всесоюзн. симпоз. по теории групп: Тезисы г-дов. - Москва, 1984. - С.101.

16. Ведерников В.А. Вполне факторизуемке формации конечных групп // Вопросы алгебры. - Минск: Кзд-во "Университетское", 1990. - т. - с.°п-з4. ;

17. Neumann P.M. A note on formations of finite nllpotent groups // Bull. London Math. Soc. - 1970. - V.2, Jil. — P.91.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИЙ

18. СкиОа А.К. О формациях с заданными системам! подформаций // Лодгругшовое строение конечных груш. - Минск: Наука к техника, 1931. - С.155-180.

19. СкиОа А.Н. Характеризации конечных метанилыютектшх групп ;/ Мат. заметки. - 1931. - Т.2?, JK. - С. 345-351.

20. CKvTOa А.Н. О формациях, пороздешшх конечными группами // ДОКЛ. АН БССР. - 1979. - 'Г.23, Л£. - С.101-103.

21. СкиОа А.Н. О локальных формациях конечных групп с Sr-замкнутыми подформацнями // Докл. АК БССР. - 1979. - Т.23, JfB. -Г С. 677-680.

22. Скиба А.Н. Формации с заданной системой подформадаЛ // Докл. АН БССР. - 1979. - Т.23, Й12. - 0. 1073-10''6.

23. СкиОа А.Н. С критических формациях // Изв. АН БССР, -Сер. физ.-мат. к. - 1980. - Х4. - С.27-33.

24. Скиба А.Н. О подформациях формаций конечных групп // Докл. АН БССР. - 1931. - Т.25, JfS. - С.492-495.

25. Скиба А.К. О Формациях, порожденных клэссзмп групп // Изв. АН БССР. Сер. физ.мат. н. - 1981. Ив. - С.33-39.

2G. Скиба А.К. О произведении формаций // Алгебра и логика. -1983. - Т.22, Jfô. - C.574-5S3.

27. Скиба А.Н. О критических форма^шх // Дскл. АН БССР. -1933. - Т.27, №9. - С. 780-782.

Г). Скиба А.Н. Форм» ira со сверхразрешимыми локальными под-форм.'.'дями // Группы и .другие алгебраичоские системы с условиями конечности. - Новосибирск: Наука. - 19S4. - Т.4. - С.101-118.

29. Скиба А.Н. О минимальных S-замкнутых локальных не ч-свер-хразрешикых формациях // Исследование нормального и подгруппсвого строения конечных групп. Минск: Наука и техника, 1984. - С.53-58.

30. Скиба А.Н. О минимальных локальта не чс-сверхразрешимых формациях // Вс'.рюсы алгебры. - Минск: Изд-во "Университетское", 1986. - .»61 - - С. 105-112.

31. Скиба А.Н. О локальных формациях длины 5 // Арифметическое и подгрупповоэ строение конечных групп. - Кттск: Наука и тех-така, 198G. - С.135-149.

32. Скиба А.Н. О неодаопорождзчнкх S-звмкнутах локальных фор-:.vi;u;.\x // Арифметическое и подгрупяовое строение конечных групп.

- Минск: Наука и техника, 1986. - С.149--156.

33. Скиба А.К. О конечных подфсрмзциях кнсгесбращчЯ алгебраических систем // Вопросы алгебра. - Минск: Изд-во "Университетское". 193G. - !:£. - С.7-20.

34. Скиба л.Н. О подформациях многообразий алгебраических систем // Докл. АН БССР. - 1Э36. - 7.30, .'И. - С.9-1?,.

£5. Скиба А.К. Классификация локальных формаций конечных груш о нильпотентшм дефектом 2 // Мат. замэтки. 19S7. - Т.42, Д4. - С.450-499 (соек. с Таргснским К.А.).

36. Скиба А.Н. Характеризацкя разреши'/и х групп заданной кнль-пэтентпой длины // Вопросы алгебры. - !,!лнс.<: Изд-во "Университетское", 1SS7. - - С.21-31.

37. скаба А.Н. О наследственно нгэразлоааиих формациях групп// Докл. АН БССР. - 1933. - Т.33, >57. - 0.581-533 (СОБЧ. о Шекетко-вим Л.А.).

33. Скиба А.Н. Об одном классе локальных формьций конечных групп -7 ДГ'Кл. АН БССР. - 1990. - Т.34, лп 1. - С.932-984.

39. Скабе A.K. О примитивно замкнутых полуформациях • угавер-с.гяних ьлгсбр // Вопросы алгебры. - tomc:t: Изд-во "Университете -кос", 1993. - Л6. С.11-17 (совм. о. ШЗК01КОБКИ Л.А. ).

40. Скиба А.Н. Об одном классе формаций конечных групп // Г.о-npocii алгсбро. - Минск: Изд-во "Университетское", 1992. - -

41. Скиба А.Н. О локальных Формациях с огр^кпошсдм р-раьдол^ки дофгкгок // LCsb. вузов. Математика. - 1 ö?t. - -С. 77 33.

4'j. сгиба А.Н. о фор.-.'клх с скстомг&з! дспслшемих под;>:р.'.:.з îB'.S // Укр. аурп. • : )91. - T.?S, - С.101-105 (coi-к. г

.'^■•.'.этксеым Л.А. ).

43. скиЗа А.Н. Стлсторизац»:*. одаопорохдон:»« лекальных >ïcr:.:.i цай // !/е.едунар. кенф. по алгебре, посЕ.чкеяная памнги -ва. Тез. докл. по теории групп. - Новосибирск. - Ь'93. - c.ûi .

44. Скиба А.Н. О двух вопросах теории лвяалыап формаци.': Мехяунар. кенф. по алгебре, посвяценпзл памяти д.п.ЕЪрвова. докл. по теории групп. - Новосибирск. - 1991. - С.79.

4Ь. Скиба А.Ч. О факторизация* одагпероудезнах локальных формаций. - Гомель, 1S93. - 26 с. - (Препринт/ Гомельский госуни!.-;:-ситет;

46. Сккба A.K. О локальных формациях с дополняемыми локальны мл пзв^ормациямя. - Гомель, 1993. - 12 с. - (Препринт/ Гомельский госуниварситет; JS5).

47. Скиба А.Н. О Mi спиральном композиционном экране формаций конечных групп // Вопросы алгебры. - Гомель: Изд-во ГГУ, 1992. -Ш. - 0.11-17 (совм. с Шеметковым .I.A.).

43. Сккба Л.Н. Об одном классе формаций конечных групп // Вопросы алгебры. - Гомель: Изд-во ГГУ, 1392. - Ш. - С.Ь?-61.

49. Скиоа А.Н. О разрешимых локальных формациях конечных груш с предмаксимальной ic-разложимой локальной подфорыааией // Вопросы алгебры. - Гомель: Изд-во ГГУ. 1952. - J»7. - C.41-5S (совм. с Коваленко A.B.).