Канонические формации и классы фиттинга конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

004693177 На правах рукописи

ЕГОРОВА Виктория Евгеньевна

КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМАЦИИ И КЛАССЫ ФИТТИНГА КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2010

- 3 ИЮН 2010

004603177

Работа выполнена на кафедре алгебры математического факультета Московского педагогического государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ВЕДЕРНИКОВ Виктор Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ШЕМЕТКОВ Леонид Александрович кандидат физико-математических наук, ТРУШИНА Мария Николаевна

Ведущая организация - Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого.

и У/

Защита состоится « Р' »_2010 года в 'г О часов в

аудитории _ на заседании диссертационного Совета К 212.154.03 при

Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, 14, МПГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д.1, ауд. 204.

Автореферат разослан «А /7 » (кмЛлиЛ 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета

Муравьева О.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Большое значение для теории классов конечных групп имеет работа [38] В. Гашюца. В этой работе В. Гашюц определил локальные формации, используя функцию,

отображающую множество простых чисел Р в формации групп. В 1975 году JI.A. Шеметков в [34] ввел принципиально новые спутники, отображающие множество всех простых групп ö в формации. Формации со спутниками такого вида называются композиционными. Локальные и композиционные формации занимают важное место в теории классов групп, большой вклад в изучение таких формаций внесли А.Н. Скиба, JI.A. Шеметков и их ученики [16, 25, 27, 32-34, 37-38, 39].

В 90-х гг. Л. А. Шеметковым и А. Н. Скибой были определены частично локальные и частично композиционные формации и классы Фиттинга [35], [28] . Независимо частично композиционные формации были определены также В. А. Ведерниковым и Д. Г. Коптюх [1-2,19].

Принципиальное значение для дальнейшего развития теории формаций и классов Фиттинга имела работа В.А. Ведерникова и М.М. Сорокиной [5], в которой был найден общий способ конструирования формаций и классов Фиттинга с помощью функции направления (р.

Формация S=fiF(f,cp)=(G: G/On(G)ef(fi') и G/G^efiA) для всех

AGfiriä'(G)) называется Q-расслоенной формацией с Q-спутником f и с направлением ср, где ср - некоторая FR-функция, принимающая одинаковые значения па изоморфных группах, то есть ф: »{непустые формации Фиттинга}. Задание различных направлений расслоенной формации позволило определить уже ранее изученные формации и классы Фиттинга, а также ввести бесконечное множество новых формаций и классов Фиттинга. Так, при задании направления (р(А)=6Л'6А для всех простых групп А получаем Q-каноническую формацию.

Наряду с частично локальными и композиционными формациями наибольшие применения нашли частично канонические формации. Хотя все три класса являются попарно различными, но они обладают рядом общих свойств, а именно у них сходное описание минимальных и максимальных спутников. Как показано в работах JI.A. Шеметкова [35-36] (Воробьева H.H. [7]) произведение двух локальных формаций (классов Фиттинга) является локальной формацией (классом Фиттинга), а для композиционных формаций как показал А.Н.Скиба [28]- это неверно. В.А. Ведерниковым [40] , Ю.А. Еловиковой [11] (В.А.Ведерниковым [40], О.В. Камозиной [31]) установлено, что произведение двух канонических формаций (классов Фиттинга) является канонической формацией (классом Фиттинга) и т.д. Изучением расслоенных и в частности, канонических формаций и классов Фиттинга и их применениями занимались В.А. Ведерников [1-5], М.М. Сорокина [29,30],

А.Б.Еловиков [9-10], Ю.А. Скачкова [11-12, 24], О.В. Камозина [14-15, 31], Н.В. Силенок [23], М.А. Корпачёва [17-18] и др.

В связи с этим задача изучения строения канонических формаций и классов Фиттинга в зависимости от тех или иных свойств решёток подформаций и подклассов Фиттинга является актуальной.

К этому направлению относится настоящая диссертация.

Для изучения внутреннего строения формаций и классов Фиттинга эффективно использование решеточных методов и конструкций. Они позволяют получить как более простые доказательства уже известных фактов, так и получить новые результаты. Примерами решеток в теории формаций и классов Фиттинга являются критические неоднопорожденные локальные формации и классы Фиттинга. Такие объекты рассматривались в работах [20,21,13]. Поэтому актуальным является вопрос изучения подобных объектов для канонических формаций. Использование модулярности решетки позволяет рассматривать вопросы длины формаций и классов Фиттинга. Так в работе [26] были описаны локальные формации длины 5 , в [6] получено полное описание строения формаций длины 3, изучены композиционные формации длины 3 [4] и ГЗ-расслоенные формации длины 3 [3]. Кроме того, интерес представляет свойство алгебраичности решетки. В работах [8,25-26] показано, что решетка всех формаций, решетка всех п-кратно локальных формаций, решетка всех разрешимых тотально локальных формаций являются алгебраическими, в работах [22,25] доказана алгебраичность решеток т-замкнутых кратно и тотально локальных, насыщенных формаций, в работе [11] была доказана алгебраичность решетки кратно ^-расслоенных 0-формаций. В работах [20] и [14] соответственно получено полное описание строения неоднопорождённых тотально локальных формаций, все собственные тотально локальные подформации которых однопорождены и неоднопорождённых тотально локальных Фиттинга, все собственные тотально локальные подклассы Фиттинга которых однопорождены.

В связи с этим несомненный интерес представляет описание аналогичных свойств решёток канонических формаций и классов Фиттинга, а также изучение свойств канонических формаций и классов Фиттинга в зависимости от свойств их решёток канонических подформаций и подклассов Фиттинга, чему и посвящена данная диссертация.

Цель и задачи исследования. Целью данной диссертации является изучение свойств канонических формаций и классов Фиттинга и их решеток. Для достижения поставленной цели в диссертации предполагается решить следующие задачи:

• описать критические неоднопорожденные тотально канонические формации и классы Фиттинга конечных групп;

• описать канонические нормально наследственные формации длины 4;

• установить алгебраичность ряда решёток канонических формаций.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются канонические формации и классы Фиттинга, предметом исследования -свойства канонических формаций и классов Фиттинга и их решеток.

Методы проведенного исследования. В работе использовались методы общей теории конечных групп, теории классов конечных групп, а также методы общей теории решеток.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Все полученные результаты являются новыми. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут использоваться при изучении формаций и классов Фиттинга, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в госуниверситетах и пединститутах для студентов математических специальностей.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1) Описание критических нсоднопорожденных тотально канонических формаций конечных групп.

2) Описание критических неоднопорожденных тотально канонических классов Фиттинга конечных групп.

3) Описание канонических нормально наследственных формаций ksn-длины 4.

4) Алгебраичность решетки всех п-кратно Q-расслоенных т-замкнутых формаций с направлением <р таким, что (р<фо-

5) Алгебраичность решетки всех т-замкнутых тотально канонических формаций тКоо •

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре кафедры алгебры Брянского государственного университета (2002-2004); на VI международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н. Г. Чудакова (Саратов, 2004), на международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша (Москва, 2008); на семинаре, руководимым профессором В.А.Ведерниковым (2005-2007); на алгебраическом семинаре, руководимым профессором A.A. Фоминым.

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в двух статьях и четырех тезисах конференций, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, четырех глав основной части, заключения и списка использованных источников, расположенных в алфавитном порядке в количестве 77 наименования. Объем диссертации - 84 страницы.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Виктору

Александровичу Ведерникову за внимание, оказанное им при написании данной диссертации.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются определения и обозначения, принятые в [5,40].

Глава 1 содержит обзор основных результатов диссертации.

В главе 2 собраны некоторые известные результаты, используемые в основном тексте диссертации.

Глава 3 «Критические канонические формации и классы Фитинга» включает в себя два раздела.

В алгебре интересным объектом изучения являются критические 36-алгебры, то есть ЗЕ-алгебры, не обладающие некоторым свойством 9, все собственные ^-подалгебры которых этим свойством обладают. В работе [20] исследованы критические неоднопорожденныс тотально локальные формации конечных групп, т.е. тотально локальные формации, которые не являются однопорожденными, но все собственные тотально локальные подформации которых однопорождены. Установлено, что каждая такая формация совпадает с классом всех конечных л-групп, где л={р,ц} для некоторых различных простых чисел р и я. В классе конечных разрешимых групп понятия локальной и канонической формаций (классов Фиттинга) совпадают [5], однако в неразрешимом случае - это различные понятия.

Теорема 3.1.13 описывает неоднопорожденные тотально канонические формации.

3.1.13. Теорема. Пусть 5 - неоднопорожденная тотально каноническая формация. Тогда и только тогда все собственные тотально канонические подформации формации 5 однопорождены, когда с 5(П)=2.

Интересным является изучение критических классов Фиттинга. Так, в теореме 3.2.15 описаны критические неоднопорожденные тотально канонические классы Фиттинга.

3.2.15. Теорема. Пусть 5 - неоднопорожденный тотально канонический класс Фиттинга. Тогда и только тогда все собственные тотально канонические подклассы Фиттинга в 55 однопорождены, когда с

5(П)=2.

Глава 4 «Решетки подформаций канонических формаций и их применения» включает в себя 3 раздела.

Наряду с понятиями группы и класса понятие решетки занимает центральное место в теории групп. Так как множество всех классов групп образуют решётку относительно отношения "с", подрешётками которой

являются все указанные выше классы, то исследование произвольных классов групп сводится к исследованию их составляющих. Важное место среди них занимает изучение классов групп с короткими цепями подклассов относительно "с". Наиболее развитой в этом направлении оказалась теория формаций. В 1981 году А.Н. Скибой в работе [26] было введено понятие длины формации и описаны локальные формации длины 5. В.А. Ведерников получил полное описание строения формаций длины 3 [6]. В.А. Ведерниковым и Д.Г. Коптюх изучены композиционные формации длины 3 [4] и Q-расслоенные формации длины 3 [3]. В разделе 4.1 главы 4 данной диссертации описаны канонические нормально наследственные формации ksn-длины 3 и длины 4.

В доказательствах теорем о длине канонических нормально наследственных формаций используется понятие (А,В)- группы. Определим данное понятие.

Пусть G - монолитическая группа с монолитом Р и АГ(Р)=(А). Если G/P изоморфна простой группе В, не изоморфной А, то группу G будем называть (А, В)-группой. Если G/P изоморфна простой неабелевой группе А, то G будем называть (А, А)-группой.

Основными результатами главы 4 являются следующие теоремы:

4.1.8. Теорема. Пусть 5 - каноническая нормально наследственная формация. Тогда и только тогда /b„(S)=3, когда 3=KFsn(G), где группа G одного из следующих типов:

1 ) G=AxBxC и А, В, С - попарно неизоморфные простые группы; 2) G - (А,В)-группа, где А и В - неизоморфные простые группы.

4.1.10 Теорема. Пусть g - каноническая нормально наследственная формация. Тогда и только тогда lhn(5')=4, когда o'=KFsn(G), где группа G одного из следующих типов:

1) G=AxBxCxD и А, В, С, D - попарно неизоморфные простые группы;

2) G=SxC, где S - (А,В)-группа, Се 3\((А)и(В));

3) G= SxT, где S - (А,В)-группа, а Т - (В,А)-группа;

4) G - монолитическая группа с монолитом M, К(М) = (A), K(G) = (А) и(В) и G/M либо (В, В)-группа, либо циклическая группа порядка р2, либо неабелева группа порядка р3 и экспоненты р>2.

В теории классов групп большую роль играют полные решетки, которые существенно используются при описании строения критических классов групп. Пусть 2 -непустая подформация в (5, причем 0 - непустое множество 2-формаций. Решетка 0 называется полной решеткой формаций в 2, если пересечение любой совокупности ©-формаций принадлежит О и

{0, 8}с0. Если 8 = то полную решётку 0 в 6 будем коротко называть полной решеткой. В разделе 4.2. рассматриваются г-замкнутые кратно расслоенные формации, где т - подгрупповой ЗЕ - функтор. Напомним определение подгруппового X - функтора.

Пусть 3: - произвольный непустой класс групп и всякой группе йе X сопоставлена некоторая система ее подгрупп т(О). т называется подгрупповым 3: - функтором, если для всякого эпиморфизма «р: А->В, где А, ВеХ, выполнены включения (т(А)) фс:т(В), (т(В)) ф"'ст(А), и, кроме того, для любой группы ве Ж имеет место Оет(О).

Формация {5 называется т-замкнутой, если т(0 сЗ для любой группы

Ое{у.

Полными решетками являются решетка кратно ю-локальных, кратно □композиционных формаций [25] и кратно □-расслоенных формаций [24]. Следующая лемма показывают, что полной будет решетка всех п-кратно т-замкнутых □-расслоенных формаций с произвольным направлением ф.

4.2.1. Лемма. тО^- полная решетка формаций.

Полная решетка называется алгебраической, если любой ее элемент является решеточным объединением компактных элементов. Элемент с полной решетки Ь называется компактным, если для любого подмножества ХсЬ из неравенства с<БирьХ вытекает существование такого конечного подмножества Х0сХ, что с<5ирьХ0.

Использование алгебраических решеток в теории групп связано прежде всего с индуктивными положениями в теории групп, переходом от конечных множеств к бесконечным. Как известно решетка всех формаций, решетка всех п-кратно локальных формаций, решетка всех разрешимых тотально локальных формаций и решетка всех разрешимых тотально локальных классов Фиттинга являются алгебраическими, причем компактными элементами будут соответствующие однопорожденные классы [25-26,8]. Поэтому изучение однопорожденных классов групп значительно проще, чем произвольных (неоднопорожденных). Представление элемента решетки в виде решеточного объединения своих компактных элементов, изучение компактных элементов и переход от них к рассматриваемому элементу -основная идея алгебраических решеток.

В данном разделе доказана алгебраичность решетки всех т-замкнутых п-кратно □-расслоенных формаций, для которых направление ср > сро, где <Ро(А)=@А' для любого Ае 5.

4.2.5. Теорема. Решетка тО^, где ф >ф0, является алгебраической.

Поскольку отрезок ф >ф0 содержит направление □-канонической

формации, то получаем

4.2.6. Следствие. Решетка тОКп является алгебраической.

В третьем разделе четвертой главы рассматривается решетка всех т-замкнутых тотально канонических формаций. В теореме 4.3.4 доказана алгебраичность такой решетки.

4.3.4. Теорема. Решетка всех т-замкнутых тотально канонических формаций тК«, является алгебраической.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ведерников В. А., Коптюх Д. Г. Частично композиционные формации групп // Препринт № 2. - Брянск: БГПУ, - 1999.

2. Ведерников В. А., Коптюх Д. Г. О частично композиционных формациях групп // Брянский гос. пед. ин-т, Брянск, 2000. Деп. в ВИНИТИ 24.04.2000, № 1169-В00.

3. Ведерников В.А., Коптюх Д. Г. Q-расслоенные формации конечных групп Й<р-длины 3 // Сборник научных трудов математического факультета МГПУ - Москва: МГПУ, 2005. С. 164 - 175

4. Ведерников В.А., Коптюх Д.Г. Композиционные формации с-длины 3. // Матем.заметки - 2001.- т. 13, вып. 1.- с. 119-131.

5. Ведерников В. А., Сорокина М. М. Q-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика, 2001. - Т. 13, №3.- С. 125-144.

6. Ведерников В.А. Формации конечных групп с дополняемыми подформациями длины 3 //Вопросы алгебры. Вып. 6 Мн.: Университетское. 1993. - С. 16-21.

7. Воробьев H.H. Булевы решетки n-кратно со-локальных классов Фитинга // Препринт № 71. - Гомель: ГГУ, 1997.

8. Воробьев Н. Н., Скиба А. Н. Дистрибутивность решетки разрешимых тотально локальных классов Фиттинга // Препринт № 82. - Гомель: ГГУ, 1999.

9. Еловиков А.Б. Однопорожденные композиционные формации // Дискретная математика. 2001. Т. 13, вып. 3. С. 153-160.

10. Еловиков А.Б. Факторизация однопорождённых частично расслоенных формаций // Дискретная математика, 2009. Т. 21. Вып. 3. С. 99-118.

11. Еловикова Ю.А. Решетки il-расслоенных формаций конечных групп. - Дисс. на соиск. ученой степ, канд-та физ.-мат. наук. Брянск, 2002.

12. Еловикова Ю.А. Свойства решетки всех кратно fi-канонических формаций//Дискрет, матем., 18:2(2006), 146-158

13. Камозина О.В. О неоднопорожденных тотально веерных классах Фиттинга конечных групп. Меэвд. алг. конф. «Классы групп и алгебр», посвященная 100-летию со дня рождения С.А.Чунихина. Тезисы докладов. Гомель 2005. С. 65.

14. Камозина О.В. О неоднопорожденных кратно Q-веерных классах Фиттинга конечных групп// Матем.заметки - 2006.- т.79, вып.З,-с.396-408.

15. Камозина О.В. Алгебраические решетки кратно Q-расслоенных классов Фитинга // Дискрет, матем., 18:2 (2006), 139-145.

16. Каморников С.Ф. Субнормальные подгруппы в теории формаций конечных групп. - Дисс. на соиск. учен, степ.д-ра физ.-мат. наук. -Гомель. - 1995.

17. Корпачева М.А. Критические П-веерные нормально наследственные формации конечных групп // Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины, 6(27), Вопросы алгебры. 2004. - С. 41-49.

18. Корпачева М.А. Минимальные ^-специальные нормально наследственные не ф-формации // Вестник БГУ. - Брянск: Издательство БГУ, 2004. 4. - С. 100-104.

19. Коптюх Д.Г. Частично композиционные критические формации // Межд, конф. Симметрия и естествознание, Красноярск, 1998. С. 6869.

20. Сафонов В.Г. Об одном вопросе теории тотально локальных формаций конечных групп. Алгебра и логика (2003) 42, № 6, 727-736.

21. Сафонов В.Г. К теории тотально локальных классов Фиттинга// Гашюцева теория классов групп и других алгебраических систем. Тезисы докладов. Межд. науч. конф., посвященной 80-летию проф. Вольфганга Гашюца. Гомель, 2000. С. 46-47.

22. Сафонов В.Г. Об алгебраичности решетки всех т-замкнутых тотально насыщенных формаций // Алгебра и логика, 45:5 (2006), 620-626

23. Силенок Н. В. Минимальные Q-канонические нормально наследственные не ф-формации конечных групп // Известия Гомельского гос. университета им. Ф. Скорины, 1(12), Вопросы алгебры, 2003. - с. 103-110.

24. Скачкова Ю.А. Решетки Q-расслоенных формаций // Дискретная математика. Том 14. Выпуск 2,2002. - с. 85-94.

25. Скиба А. Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука, 1997. - 240 с.

26. Скиба А. Н. О локальных формациях длины 5 // В кн.: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. - Мн.: Наука и техника, 1986. - С. 135-149.

27. Скиба А.Н., Шеметков JI.A. О минимальном композиционном экране композационной формации // Вопросы алгебры - Всслоеннып. 7 -Гомель: 1999,-с.39-43.

28. Скиба А. Н. , Шеметков Л. А. Кратно со-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Препринт №63. Гомель: ГГУ, 1997.

29. Сорокина M. M. О минимальных спутниках кратно Q-расслоенных классов Фиттинга и формаций конечных групп // В кн.: Брянск, гос. пед. университету 70 лет. Сб. науч. трудов. - Брянск: БГПУ, 2000. - С. 199-203.

30. Сорокина М.М., Силенок Н.В. Критические Q-расслоенные формации конечных групп // Математические заметки. Т. 72. Вып. 2. -2002.-с. 269-282.

31. Сыромолотова О.В. Произведения классов Фиттинга конечных групп, Матем. заметки, 75:2 (2004), 269-276.

32. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М.: Наука, - 1978. - 267 с.

33. Шеметков Л. А., Скиба А. Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989, - 256 с.

34. Шеметков Л.А. Два направления в развитии теории непростых конечных групп//Успехи мат.наук- 1975.-Т.30, №2.-с.179-198.

35. Шеметков Л.А. О произведении формаций И Докл. АН БССР. 1981., Т.28, №2, С.101-103.

36. Шеметков Л.А. Экраны произведений формаций // Докл. АН БССР. 1981., Т.25, №8, С.677-680.

37. Doerk К., Hawkes Т. Finite soluble groupes. Walter de Gruyter, Berlin -New York, 1992. - 889 p.

38. Gaschutz W. Zur Teorie der endlichen auflösbaren Gruppen // Math. Z. 1963. Bd. 80, №4. - p. 300-305.

39. Shemetkov L.A. Some ideas and results in the theory of formations of finite groups - Coventry, Warwick Preprints. - 1991. - № 13. - 44 p.

40. Vedernikov V. A. Maximal satellites of fi-foliated formations and Fitting classes. // Proc. of the Steclov Institute of Mathematics, 2001. - Suppl. 2. - p. 217-233.

Публикации по теме диссертации

1. Егорова B.E. Критические неоднопорожденные тотально канонические классы Фиттинга конечных групп// Математические заметки, 2008, Т. 83, Вып. 4, - С. 520-527. - 0,44 п.л.

2. Ведерников В.А., Егорова В.Е. Критические неоднопорожденные тотально Cî-канонические формации конечных групп // Известия Гомельского государственного университета имени Ф.Скорины, 3(36), 2006.- с. 8-13. - 0,37 п.л. (авт. вклад 50%)

3. Егорова В.Е., Сорокина М.М. О канонических нормально наследственных формациях конечных групп // «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». - Материалы VI Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н. Г. Чудакова (тезисы докладов). - Саратов. 2004 г. - с. 56. -0,04 п.л. (авторство не разделено)

4. Егорова В.Е. Об алгебраичности решетки всех т-замкнутых тотально канонических формаций // Международная алгебраическая конференция, посвящённая 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, Москва, 2008, с. 88-89. - 0,06 п.л.

5. Сорокина М.М., Егорова В.Е. О подформациях т-замкнутых центральных формаций конечных групп // Сборник студенческих научных трудов. - Брянск: Издательство БГУ, 2003. - Вып. 2. - с. 5-6. -0,12 п.л. (авторство не разделено)

6. Сорокина М.М., Егорова В.Е. О решетке {^-субнормальных подгрупп // Сборник студенческих научных трудов. - Брянск: Издательство БГУ, 2004. - Вып. 3. - С. 106-107. - 0,09 п.л. (авторство не разделено)

Подп. к печ. 16.04.2010 Объем 1 п.л. Заказ № 48 Тир 100 экз. Типография МПГУ

Перечень определений и условных обозначений.

Введение.

Общая характеристика работы.

Глава 1. Обзор результатов работы.

Глава 2.Предварительные сведения.

2.1. Методы доказательств.

2.2. Используемые результаты.

Глава 3. Критические канонические формации и классы Фитинга.

3.1.Критические неоднопорожденные тотально канонические формации конечных групп.

3.2.Критические неоднопорожденные тотально канонические классы Фиттинга конечных групп.

Глава 4. Решетки канонических подформаций и их применения.

4.1. Канонические нормально наследственные формации ksn-длины 4.

4.2. Алгебраические решетки кратно Q-расслоенных т-замкнутых формаций.

4.3. Решетка т-замкнутых тотально канонических формаций.

В настоящее время в алгебре большое внимание уделяется исследованию классов групп. Классом групп называется совокупность групп, содержащая с каждой своей группой G и все группы, изоморфные G. Начало самостоятельного развития теории классов групп относится к 30-м годам XX века и связано с выходом работы Г. Биркгофа [71] и Б.Х. Неймана [75]. Если первоначально исследовались классы групп, содержащие бесконечные группы, то после выхода в 1963 году работы В. Гаппоца [73] началось интенсивное изучение классов конечных групп. Среди классов конечных групп важное значение занимают формации (класс групп, замкнутый относительно гомоморфных образов и подпрямых произведений — [73]) и классы Фиттинга (класс групп замкнутый относительно нормальных подгрупп и произведений нормальных 26-подгрупп - [38]). В своей работе В.

Гашюц [73] определил насыщенные и локальные формации. Так, локальная формация определяется с помощью функции, отображающей множество простых чисел Р в формации групп. Такую функцию называют спутником формации.

В 1975 году JI.A. Шеметков в [67] ввел принципиально новые спутники, отображающие множество всех простых групп ^ в формации. Формации со спутниками такого вида называются композиционными. Если для изучения разрешимых групп основную роль играют локальные формации, то при исследовании произвольных конечных групп существенное значение уже имеют и композиционные формации. Работы [27, 49, 53, 65-67, 72-73, 76] отражают итоги развития теории локальных и композиционных формаций на настоящий момент.

В 90-х гг. JI. А. Шеметковым и А. Н. Скибой были определены частично локальные и частично композиционные формации и классы

Фиттинга [69], [56]. Независимо частично композиционные формации были определены также В. А. Ведерниковым и Д. Г. Коптюх [3-4,35].

Большое значение для дальнейшего развития теории формаций и классов Фиттинга послужила работа В.А. Ведерникова и М.М. Сорокиной [7], в которой были введены ^-расслоенные формации и классы Фиттинга с произвольным направлением ф, где ср определяется как отображение класса всех конечных простых групп во множество непустых формаций Фиттинга с одним и тем же образом для изоморфных групп. Согласно [7] формация называется П-расслоенной со спутником f и направлением <р, если S=QF(f,cp)=(G: G/0Q(G)ef(Q') и G/G^efCA) для всех AeQn/^G)).

Аналогично определяется и Q-расслоенный класс Фиттинга. Задание различных направлений ср для расслоенной формации позволило на ряду с композиционными формациями и классами Фиттинга определить бесконечное множество новых формаций и классов Фиттинга. Наибольшие применения среди новых типов формаций и классов Фиттинга нашли канонические и биканонические, направления которых интегрируют в себе основные признаки направлений локальной и композиционной формаций. Так, при задании направления ф(А)=©А<@А для всех простых групп А получаем П-каноническую формацию. Формация {у называется £2-канонической с QK-спутником f, если CS~=(Ge (S|G/On(G)ef(Q') и

G/0A',A(G)ef(A) для всех AeQ nK(G)) и обозначается ^=QKF(f). В классе конечных разрешимых групп понятия локальной и канонической формаций (классов Фиттинга) совпадают [7], однако в неразрешимом случае - это различные понятия. Исследованию свойств расслоенных формаций и классов Фиттинга посвящено ряд работ В.А. Ведерникова [3-7], М.М. Сорокиной [58, 61], А.Б. Еловикова [20-21], Ю.А. Еловиковой [22-23, 48], О.В. Камозиной [25-26, 63], Н.В. Силенок [47], М.А. Корпачёвой [32-33] и др.

Одним из эффективных способов изучения структур в алгебре являются решеточные конструкции. Результаты и методы теории решеток широко применяются в математике. Особенно широк спектр их применений в общей алгебре [1]. Например, минимальная не Qf-группа - это группа, в решётке подгрупп которой все не максимальные элементы принадлежат классу {у. Такие группы занимают важное место в теории групп. Так, многочисленные применения в теории группа нашли группы Шмидта (ненильпотентная конечная группа, у которой все собственные подгруппы нильпотентны) (см. [68], [31, 37, 40]). Аналогичные задачи естественно рассмотреть для формаций и для классов Фиттинга. В работе [43] исследованы критические неоднопорожденные тотально локальные формации конечных групп, т.е. тотально локальные формации, которые не являются однопорожденными, но все собственные тотально локальные подформации которых однопорождены. Подобные результаты для критических тотально локальных классов Фиттинга конечных групп были получены в работах [24, 44]. Описанию критических тотально канонических формаций и классов Фиттинга посвящена глава 3 данной диссертации.

Одним из важнейших свойств ряда решеток является их модулярность. Используя модулярность решетки локальных формаций [57], А.Н. Скиба изучал формации конечной длины. В этой работе им были описаны локальные формации длины 5. В.А. Ведерников получил полное описание строения формаций длины 3 [8]. В.А. Ведерниковым и Д.Г. Коптюх изучены композиционные формации длины 3 [6] и Q-расслоенные формации длины 3 [5]. Работа [62] связана с описанием классов Фиттинга длины 2. В главе 4 данной диссертации описаны канонические нормально наследственные формации ksn-длины 4.

Другим существенным свойством ряда решеток формаций и классов Фиттинга является их алгебраичность. В работах [14,49,57] показано, что решетка всех формаций, решетка всех n-кратно локальных формаций, решетка всех разрешимых тотально локальных формаций являются алгебраическими, причем компактными элементами являются в данных решетках соответствующие однопорожденные классы. В работе [22] была доказана алгебраичность решетки кратно ^-расслоенных 0-формаций, аналогичный результат для классов Фиттинга был получен в работе [26], алгебрачность решетки всех т-замкнутых тотально насыщенных формаций и локальных формаций было доказано в работах [45,49]. В данной диссертации доказана алгебраичность решетки всех т-замкнутых кратно П-расслоенных формаций и решетки всех т-замкнутых тотально канонических формаций.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Большое значение для теории классов конечных групп имеет работа [73] В. Гашюца. В этой работе В. Гаппоц определил локальные формации, используя функцию, отображающую множество простых чисел IP в формации групп. В 1975 году Л.А. Шеметков в [67] ввел принципиально новые спутники, отображающие множество всех простых групп в формации. Формации со спутниками такого вида называются композиционными. Локальные и композиционные формации занимают важное место в теории классов групп, большое вклад в изучение таких формаций внесли А.Н. Скиба, Л.А. Шеметков и их ученики [27, 49, 53, 65-67, 72-73, 76].

В 90-х гг. Л. А. Шеметковым и А. Н. Скибой были определены частично локальные и частично композиционные формации и классы Фиттинга [69], [56] . Независимо частично композиционные формации были определены также В. А. Ведерниковым и Д. Г. Коптюх [3,4,35].

Принципиальное значение для дальнейшего развития теории формаций и классов Фиттинга имела работа В.А. Ведерникова и М.М. Сорокиной [7], в которой был найден общий способ конструирования формаций и классов Фиттинга с помощью функции направления ср.

Формация S=^F(f,<p)=(G: G/0Q(G)Gf(Q') и G/G9(A)ef(A) для всех

AGQn^(G)) называется Q-расслоенной формацией с Q-спутником f и с направлением ср, где ср - некоторая FR-функция, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах, то есть ср: {непустые формации

Фиттинга}. Задание различных направлений расслоенной формации' позволило определить уже ранее изученные формации и классы Фиттинга, а также ввести бесконечное множество новых формаций и классов Фиттинга.

Так, при задании направления ф(А):=(£А'@Л для всех простых групп А получаем ^-каноническую формацию.

Наряду с частично локальными и композиционными формациями наибольшие применения нашли частично канонические формации. Хотя все три класса являются попарно различными, но они обладают рядом общих свойств, а именно у них сходное описание минимальных и максимальных спутников. Как показано в работах JI.A. Шеметкова [69, 70] (Воробьева Н.Н. [13]) произведение двух локальных формаций (классов Фиттинга) является локальной формацией (классом Фиттинга), а для композиционных формаций как показал А.Н.Скиба [56]- это неверно. В.А. Ведерниковым [77] , Ю.А. Еловиковой [22] (В.А.Ведерниковым [77], О.В. Камозиной [63]) установлено, что произведение двух канонических формаций (классов Фиттинга) является канонической формацией (классом Фиттинга) и т.д. Изучением расслоенных и в частности, канонических формаций и классов Фиттинга и их применениями занимались В.А. Ведерников [3-7], М.М. Сорокина [58,61], А.Б.Еловиков [20-21], Ю.А. Скачкова [22-23, 48], О.В. Камозина [25-26, 63], Н.В. Силенок [47], М.А. Корпачёва [32-33] и др.

В связи с этим задача изучения строения канонических формаций и классов Фиттинга в зависимости от тех или иных свойств решёток подформаций и подклассов Фиттинга является актуальной.

К этому направлению относится настоящая диссертация.

Для изучения внутреннего строения формаций и классов Фиттинга эффективно использование решеточных методов и конструкций. Они позволяют получить как более простые доказательства уже известных фактов, так и получить новые результаты. Примерами решеток в теории формаций и классов Фиттинга являются критические неоднопорожденные локальные формации и классы Фиттинга. Такие объекты рассматривались в работах [43,44,24]. Поэтому актуальным является вопрос изучения подобных объектов для канонических формаций. Использование модулярности решетки позволяет рассматривать вопросы длины формаций и классов

Фитинга. Так в работе [57] были описаны локальные формации длины 5 , в [8] получено полное описание строения формаций длины 3, изучены композиционные формации длины 3 [6] и Q-расслоенные формации длины 3 [5]. Кроме того, интерес представляет свойство алгебраичности решетки. В работах [14,49-57] показано, что решетка всех формаций, решетка всех п-кратно локальных формаций, решетка всех разрешимых тотально локальных формаций являются алгебраическими, в работах [45,49] доказана алгебраичность решеток т-замкнутых кратно и тотально локальных, насыщенных формаций, в работе [22] была доказана алгебраичность решетки кратно ^-расслоенных 9-формаций.

Интерес представляют описание аналогичных свойств для канонических формаций и их подформаций, чему и посвящена данная диссертация.

Цель и задачи исследования. Целью данной диссертации является изучение свойств канонических формаций и классов Фитинга и их решеток. Для достижения поставленной цели в диссертации предполагается решить следующие задачи:

• описать критические неоднопорожденные формации и классы Фиттинга конечных групп;

• описать канонические нормально наследственные формации длины

4;

• найти алгебраические решетки канонических формаций.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются канонические формации и классы Фиттинга, предметом исследования — свойства канонических формаций и классов Фитинга и их решеток.

Методы проведенного исследования. В работе использовались методы общей теории конечных групп, теории классов конечных групп, а также методы общей теории решеток.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Все полученные результаты являются новыми. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут использоваться при изучении формаций и классов Фиттинга, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в госуниверситетах и пединститутах для студентов математических специальностей.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1) Описание критических неоднопорожденных тотально канонических формаций конечных групп.

2) Описание критических неоднопорожденных тотально канонических классов Фиттинга конечных групп.

3) Описание канонических нормально наследственных формаций ksn-длины 4.

4) Алгебраичность решетки всех п-кратно Q-расслоенных т-замкнутых формаций с направлением ф таким, что ф<фо

5) Алгебраичность решетки всех т-замкнутых тотально канонических формаций тКоо

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно или при непосредственном его участии.

Апробация результатов • диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на заседаниях кафедры алгебры Брянского государственного университета (2002-2004); на VI международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н. Г. Чудакова (Саратов, 2004), на международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша (Москва, 2008).

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в двух статьях [12,17] и четырех тезисах конференций [18,19,59-60].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, четырех глав основной части, заключения и списка использованных источников, расположенных в алфавитном порядке в количестве 77 наименований. Объем диссертации — 84 страницы.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Виктору Александровичу Ведерникову за внимание, оказанное им при написании данной диссертации.

Заключение

В диссертации получены следующие результаты:

1) описаны критические неоднопорожденные тотально канонические формации конечных групп.

2) описаны критических неоднопорожденные тотально канонические классы Фиттинга конечных групп.

3) описаны канонические нормально наследственные формации ksn-длины 4.

4) доказана алгебраичность решетки всех п-кратно Q-расслоенных т-замкнутых формаций с направлением ср таким, что ср<ф0

5) доказана алгебраичность решетки всех т-замкнутых тотально канонических формаций тКоо.

1. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984. - 568 с.

2. Ведерников В.А. Элементы теории классов групп. Смоленск, 1988. -96 с.

3. Ведерников В. А., Коптюх Д. Г. Частично композиционные формации групп // Препринт № 2. Брянск: БГПУ, - 1999.

4. Ведерников В. А., Коптюх Д. Г. О частично композиционных формациях групп // Брянский гос. пед. ин-т, Брянск, 2000. Деп. в ВИНИТИ 24.04.2000, № 1169-В00.

5. Ведерников В.А., Коптюх Д. Г. П-расслоенные формации конечных групп ^ф-длины 3 // Сборник научных трудов математического факультета МГПУ Москва: МГПУ, 2005. С. 164 - 175

6. Ведерников В.А., Коптюх Д.Г. Композиционные формации с-длины 3. //Матем.заметки-2001.- т. 13, вып.1.- с. 119-131.

7. Ведерников В. А., Сорокина М. М. Q-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика, 2001. Т. 13, № 3. -С. 125-144.

8. Ведерников В.А. Формации конечных групп с дополняемыми подформациями длины 3 //Вопросы алгебры. Вып. 6 Мн.: Университетское. 1993. С. 16-21.

9. Ведерников В.А. Конечные группы с субнормальными подгруппами Шмидта. Алгебра и логика, 46:6 (2007), С. 669-687.

10. Ведерников В. А., Савичева Г. В. О конечных группах, близких к вполне факторизуемым //Дискретная математика 2007,Т. 19, Вып 2 . С. 78-84.

11. П.Ведерников В.А. Подпрямые произведения и формации конечных групп // Алгебра и логика, 29, № 5 (1990), с. 523 548.

12. Ведерников В.А., Егорова В.Е. Критические неоднопорожденные тотально Q-канонические формации конечных групп // Известия

13. Гомельского государственного университета имени Ф.Скорины, 3(36), 2006.- с. 8-13.

14. Воробьев Н.Н. Булевы решетки n-кратно со-локальных классов Фитинга // Препринт № 71. — Гомель: ГГУ, 1997.

15. Воробьев Н. Н., Скиба А. Н. Дистрибутивность решетки разрешимых тотально локальных классов Фиттинга // Препринт № 82. Гомель: ГГУ, 1999.

16. Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982. - 456 с.

17. Довженко С.А. К теореме Н.В.Черниковой о вполне факторизуемых группах//Укр. матем. журн. 1999. - 51, № 6. - С. 854-855.

18. Егорова В.Е. Критические неоднопорожденные тотально канонические классы Фиттинга конечных групп// Математические заметки, 2008, Т. 83, Вып. 4, С. 520-527.

19. Егорова В.Е. Об алгебраичности решетки всех т-замкнутых тотально канонических формаций // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, Москва, 2008, с. 88-89.

20. Еловиков А.Б. Однопорожденные композиционные формации // Дискретная математика. 2001. Т. 13, вып. 3. С. 153-160.

21. Еловиков А.Б. Факторизация однопорождённых частично расслоенных формаций // Дискретная математика, 2009. Т. 21. Вып. 3. С. 99 118.

22. Еловикова Ю.А. Решетки ^-расслоенных формаций конечных групп. -Дисс. на соиск. ученой степ, канд-та физ.-мат. наук. Брянск, 2002.

23. Еловикова Ю.А. Свойства решетки всех кратно ^-канонических формаций // Дискрет, матем., 18:2 (2006), 146-158

24. Камозина О.В. О неоднопорожденных тотально веерных классах Фиттинга конечных групп. Межд. алг. конф. «Классы групп и алгебр», посвященная 100-летию со дня рождения С.А.Чунихина. Тезисы докладов. Гомель 2005. С. 65.

25. Камозина О.В. О неоднопорожденных кратно Г2-веерных классах Фиттинга конечных групп// Матем.заметки 2006.- т.79, вып.З.- с.396-408.

26. Камозина О.В. Алгебраические решетки кратно ^-расслоенных классов Фитинга// Дискрет, матем., 18:2 (2006), 139-145.

27. Каморников С.Ф. Субнормальные подгруппы в теории формаций конечных групп. — Дисс. на соиск. учен, степ.д-ра физ.-мат. наук. -Гомель. 1995.

28. Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Мн.: Бел. навука, 2003. - 254 с.

29. Каморников С.Ф., Шеметков JI.A. О корадикалах субнормальных подгрупп // Алгебра и логика 1995. - Т. 34, № 5. - с. 493-513.

30. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

31. Княгина В. Н., Монахов В. С. О конечных группах с некоторыми субнормальными подгруппами Шмидта // Сиб. матем. журн., 45:6 (2004), С. 1316-1322.

32. Корпачева М.А. Критические П-веерные нормально наследственные формации конечных групп // Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины, 6(27), Вопросы алгебры. 2004. С. 41-49.

33. Корпачева М.А. Минимальные П-специальные нормально наследственные не ф-формации // Вестник БГУ. Брянск:

34. Издательство БГУ, 2004. 4. С. 100-104.

35. Кострикин А.Н. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. - 496 с.

36. Коптюх Д.Г. Частично композиционные критические формации // Межд. конф. Симметрия и естествознание, Красноярск, 1998. С. 68-69.

37. Курош А.Г. Теория групп. М.: Физматлит, 1967. - 648 с.

38. Максимов C.JL, Монахов B.C. О классах подгрупп с фиксированными подгруппами Шмидта, Алгебра. Топология, Сборник статей, Тр. ИММ, 7, № 2, 2001, С. 208-214.

39. Монахов B.C. Введение в теорию конечных групп и их классов: Учебное пособие Гомель: УО «ГГУ имени Ф. Скорины», 2003. - 320 с.

40. Монахов B.C. О конечных группах с заданным набором подгрупп Шмидта // Матем. Заметки, 1995. Т.58, № 5, С.717-722.

41. Монахов B.C. О подгруппах Шмидта конечных групп // Вопросы алгебры, 1998. Вып. 13. С.153-171.

42. Нейман X. Многообразия групп. М.: Мир, 1969. - 264 с.

43. Салий В. Н. Решетки с единственными дополнениями. М.: Наука, 1984.- 128 с.

44. Сафонов В.Г. Об одном вопросе теории тотально локальных формаций конечных групп. Алгебра и логика (2003) 42, № 6, 727-736.

45. Сафонов В.Г. К теории тотально локальных классов Фиттинга// Гаппоцева теория классов групп и других алгебраических систем. Тезисы докладов. Межд. науч. конф., посвященной 80-летию проф. Вольфганга Ганпоца. Гомель, 2000. С. 46-47.

46. Сафонов В.Г. Об алгебраичности решетки всех т-замкнутых тотально насыщенных формаций // Алгебра и логика, 45:5 (2006), 620-626

47. Селькин М.В. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп Минск: Белорус, навука, - 1997. - 144 с.

48. Силенок Н. В. Минимальные Q-канонические нормально наследственные не ф-формации конечных групп // Известия

49. Гомельского гос. университета им. Ф. Скорины, 1(12), Вопросы алгебры, 2003.-с. 103-110.

50. Скачкова Ю.А. Решетки Q-расслоенных формаций // Дискретная математика. Том 14. Выпуск 2, 2002. — с. 85-94.

51. Скиба А. Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука, 1997. 240 с.

52. Скиба А. Н., Рыжик В. Н. Факторизации р-локальных формаций // Вопросы алгебры. Гомель, 1996. - Вып. 11. - С. 76-89.

53. Скиба А.Н. О формациях с заданными системами подформаций // В кн.: Подгрупповое строение конечных групп. Наука и техника, Минск, 1981, с. 155-180.

54. Скиба А.Н. Характеризация конечных разрешимых групп заданной нильпотентной длины // Вопросы алгебры. Мн. -1987. - Вып. 3. -с.21-31.

55. Скиба А.Н., Шеметков JI.A. О минимальном композиционном экране композационной формации // Вопросы алгебры — Всслоеннып. 7 — Гомель: 1999. с.39-43.

56. Скиба А. Н., Шеметков JI. А. Кратно со-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Матем. труды. 1999. - Т. 2, № 2. - С. 114147.

57. Скиба А.Н., Шеметков JI.A. Частично композиционные формации конечных групп // Докл. НАН Беларуси. 1999. Т.43, 4. - С. 5-8.

58. Скиба А. Н., Шеметков JI. А. Кратно со-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Препринт №63. Гомель: ГГУ, 1997.

59. Скиба А. Н. О локальных формациях длины 5 // В кн.: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. Мн.: Наука и техника, 1986. - С. 135-149.

60. Сорокина М. М. О минимальных спутниках кратно Q-расслоенных классов Фиттинга и формаций конечных групп // В кн.: Брянск, гос. пед. университету 70 лет. Сб. науч. трудов. Брянск: БГПУ, 2000. - С. 199-203.

61. Сорокина М.М., Егорова В.Е. О подформациях т-замкнутых центральных формаций конечных групп // Сборник студенческих научных трудов. Брянск: Издательство БГУ, 2003. - Вып. 2. - с. 5-6.

62. Сорокина М.М., Егорова В.Е. О решетке S-субнормальных подгрупп //

63. Сборник студенческих научных трудов. Брянск: Издательство БГУ, 2004. - Вып. 3.-С.106-107.

64. Сорокина М.М., Силенок Н.В. Критические Q-расслоенные формации конечных групп // Математические заметки. Т. 72. Вып. 2. 2002. - с. 269-282.

65. Сыромолотова О.В. О классах Фиттинга длины 2 // IV Международная алгебраическая конференция, посвященная 60-летию профессора Ю.И. Мерзлякова (тезисный доклад). Новосибирск, 2000. с. 170-171.

66. Сыромолотова О.В. Произведения классов Фиттинга конечных групп, Матем. заметки, 75:2 (2004), 269-276.

67. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962.- 468 С.

68. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. - 267 с.

69. Шеметков Л. А., Скиба А. Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989, 256 с.

70. Шеметков Л.А. Два направления в развитии теории непростых конечных групп // Успехи мат.наук 1975. - Т.30, №2. - с.179-198.

71. Шеметков Л.А. О.Ю. Шмидт и конечные группы // Укр. Мат. журн.1971. Т.23, № 5. С.585-590.

72. Шеметков Л.А. О произведении формаций // Докл. АН БССР. 1981. , Т.28, №2, С.101-103.

73. Шеметков Л.А. Экраны произведений формаций // Докл. АН БССР. 1981. ,Т.25,№8, С.677-680.

74. Birkhoff G. On structure of algebras // Proc. Carbridge Phil. Soc. 1935. Vol. 31. P. 433-454.

75. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groupes. Walter de Gruyter, Berlin -New York, 1992.-889 p.

76. Gaschutz W. Zur Teorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. 1963. Bd. 80, №4. p. 300-305.

77. Kegel O. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die den Subnormalteilerverband echt enthalten // Arch. Math. 1978. - Vol. 30, № 3.-P. 225-228.

78. Neumann B.H. Identical relations in groups. I // Math. Ann. 1937. Vol. 114. P. 506-525.

79. Shemetkov L. A. Some ideas and results in the theory of formations of finite groups — Coventry, Warwick Preprints. 1991. - № 13. - 44 p.

80. Vedernikov V. A. Maximal satellites of Q-foliated formations and Fitting classes. // Proc. of the Steclov Institute of Mathematics, 2001. Suppl. 2. -p. 217-233.