Критические ω-веерные и Ω-расслоенные формации конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Корпачева Марина Александровна

Критические оо-веерные и О-расслоенные формации конечных групп

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре алгебры физико-математического факультета Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского на кафедре алгебры.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ВЕДЕРНИКОВ Виктор Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор МОНАХОВ Виктор Степанович

доктор физико-математических наук, профессор ТУГАНБАЕВ Аскар Аканович

Ведущая организация - Витебский государственный университет им. П.М. Машерова.

Защита состоится « » df^O^oCc^_2006 года в /С часов в

аудитории 301 на заседании диссертационного Совета К 212. 154. 03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, 14, Mill У, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета

Автореферат разослан « » _20С^г.

Ученый секретарь диссертационного Совета

ДООбА S302>

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Общая проблема конструирования и классификации формаций с определенными свойствами является одной из центральных задач теории классов конечных групп. Реализация этой задачи связана с идеей исследования формаций с заданными свойствами подформаций. На этом пути были выделены и описаны многие важные классы формаций, среди которых значительное место занимают ф0-критические формации. Впервые общая проблема изучения Фе-критических формаций была поставлена JI.A. Шеметковым на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в 1980 году [16]. В серии работ А.Н. Скибой было дано решение этой

задачи в случае, когда 6 - класс всех локальных формаций, а ф€0 -

некоторая формация классического типа (см., например, [12]). Аналогичные результаты для локальных наследственных, локальных нормально наследственных формаций, кратно локальных формаций содержатся в работах А.Н. Скибы, В.М. Селысина, В.Г. Сафонова и др. (см., например, [6, 8-9]). В.А. Ведерниковым и М.М. Сорокиной решена задача JI.A. Шеметкова для композиционных и композиционных (нормально) наследственных формаций (см., например, [3]).

Наиболее важную роль при изучении внутреннего строения конечных групп играют широко известные локальные и композиционные формации. Развитие теории формаций привело в дальнейшем к таким обобщениям этих понятий, как частично локальные и частично композиционные формации.

Изучением частично локальных критических формаций занимались А.Н. Скиба, В.М. Селькин, И.Н. Сафонова и другие (см., например, [7, 10]). В.А. Ведерниковым и Д.Г. Коптюх получено описание П-композиционных наследственных критических формаций [2]. В 1999 году профессором В.А. Ведерниковым были введены в рассмотрение ю-веерные и О-расслоенные

формации (см., например, [4], [5], [18:

:орые позволяют с единых

позиций изучать бесконечное множество новых типов формаций, каждый из которых характеризуется определенным направлением. При этом локальные формации явились одним из видов веерных, а композиционные - одним из видов расслоенных формаций. Решение вышеуказанной задачи Л.А. Шеметкова для двух видов О-расслоенных формаций (О-канонических и О-биканонических) получено в работах М.М. Сорокиной и Н.В. Силенок [1314]. Таким образом, исследование ш-веерных и ^-расслоенных формаций является следующим шагом на пути обобщения и расширения круга изучаемых объектов в теории формаций и является вполне актуальной и перспективной задачей.

В диссертации решается задача Л.А. Шеметкова изучения Фе-критических формаций в случае, когда 0 - класс всех со-веерных (нормально наследственных) формаций с Ьг-направлением 8<83, а также, когда 0 - класс всех П-расслоенных (нормально наследственных) формаций с Ьг-направлением <р<<рз-

Цели и задачи исследования:

1. Построение общей теории критических ш-веерных формаций.

2. Построение общей теории критических О-расслоенных формаций.

Методы исследования. В диссертации используются методы

доказательств теории групп, а также методы теории формаций и теории многообразий.

Научная новизна полученных результатов. Все основные результаты диссертации являются новыми. Важнейшие из них:

1) получено описание критических со-веерных формаций;

2) получено описание критических со-веерных нормально наследственных формаций;

3) получено описание критических П-расслоенных формаций;

4) получено описание критических О-расслоенных нормально наследственных формаций.

Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут использоваться в исследованиях по теории классов групп, в частности, при дальнейшем изучении веерных и расслоенных формаций, при исследовании различных ввдов критических формаций. Полученные результаты могут быть использованы также при чтении спецкурсов в университетах и институтах 5 для студентов математических специальностей.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты работы

' докладывались автором на семинарах кафедры алгебры БГУ, на

к

Международной математической конференции, посвященной столетию начала работы Д.А. Граве в Киевском университете (Киев, 2002 г.), на Международной конференции «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2002 г.), на Международной конференции «Колмагоров и современная математика», посвященной 100-летию со дня рождения А.Н. Колмагорова (Москва, 2003 г.), на Международной конференции «Алгебра, логика и кибернетика», посвященной памяти профессора А.И. Кокорина (Иркутск, 2004 г.), на VI Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященной 100-летию Н.Г. Чудакова (Саратов, 2004 г.).

Опубликованность результатов. Основное содержание диссертации отражено в 13 публикациях, список которых приведен в конце автореферата, г Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня

определений и условных обозначений, введения, общей характеристики ) работы, четырех глав основной части, выводов и списка используемых

источников в количестве 50 наименований, расположенных в алфавитном порядке. Объем диссертации -106 страниц.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ Все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются определения и обозначения, принятые в [11,15,17].

Глава 1 содержит обзор основных результатов диссертации. В главе 2 собраны некоторые известные результаты, используемые в тексте диссертации.

В основе одного из направлений в исследованиях, связанных с проблемой классификации формаций конечных групп, лежит идея изучения свойств формаций в зависимости от тех или иных ограничений, налагаемых ,

на ее подформации. Впервые такой подход был рассмотрен в книге Л.А. J

Шеметкова [15]. Его эффективность связана прежде всего с тем, что он позволил выделить многие важные типы формаций, среди которых значительное место занимают фе-критические формации, где ф - некоторый класс групп, а 0 - непустая совокупность формаций.

Глава 3 посвящена описанию ф„»-критических формаций.

Пусть со - непустое подмножество множества Р всех простых чисел.

Функции Г : юи{ю'} — {формации групп}, § : Р — {формации групп},

6: Р {непустые формации Фиттинга} называются соответственно соР-

функцией, РТ-функцией и РТЯ-функцией. Формация соР(^8)=(0:

0/0т(0)е£(са') и О/Оадб^р) для всех р£аПл(С)) называется ©-веерной формацией с «-спутником f и с направлением 5, где 5 и 8 - некоторые соР-функция и РРЯ-функция соответственно; формация 0/05(р)£д(р)

для всех р€л(0)) называется веерной формацией со спутником § и с

направлением 5, где § и § - некоторые ОТ-функция и РТП-функция соответственно [4]. Направление 6 со-веерной формации называется Ьг-направлением, если 5 является Ь-направлением, то есть для

любого ябР, и 5 является г-направлением, то есть для любого

q6P. Через 5[ обозначается направление со-локальной формации, то есть

51(p)=©p'SRp для всех р€Р; через 82 обозначается направление ю-специальной формации, то есть б2(р)= для всех реР; через 53 обозначается

направление ад-центральной формации, то есть 83(р)=(Зср для всех рбР [1]. Пусть Vi и \|/2 - произвольные coF-функции (PF-функции, PFR-функции). Говорят, что v|/i<v|i2, если yi(p)S\|/2(p) для всех реши{ш'} (для всех р€Р) [4].

Пусть ф - некоторый класс ipynn. со-веерная формация с направлением 5 называется '30)д-критической формацией, или иначе, минимальной ад-веерной не ф-формацией с направлением 8, если 5£Ф, но все собственные ад-веерные подформации с направлением 8 из в классе Ф содержатся.

Основная теорема раздела 3.1 дает описание строении критических ад-веерных формаций с br-направлением 8<53.

3.1.7. Теорема. Пусть ф - непустая ю-веерная формация с Ьг-направлением 8 таким, что 8<83, h - ее максимальный внутренний ад-спутник. ю-веерная формация 5 с направлением 8 является ф^-критической тогда и только тогда, когда {5=toF(G,8), где G - такая со8-базисная группа с монолитом P=G*, что выполняется одно из условий:

1) G=P - группа простого порядка р€со;

2) G=[P]H, где P=Cg(P) - р-группа, рбю, Н - f-базисная фуппа с монолитом Q=I Ih(p) и максимальная подформация из formH содержится в h(p);

3) G - f-базисная группа, я(Р)£ад, P=Gh(m'' и максимальная подформация из formG содержится в h(co').

3.1.8. Следствие. Пусть ф - непустая веерная формация с Ьг-направлением 8 таким, что 8<83, Ь — ее максимальный внутренний спутник. Веерная формация 3 с направлением 5 является Фб-критической тогда и только тогда, когда Э=РР(0,5), где О - такая 6-базисная группа с монолитом что вьшолняется одно из условий:

1) <3=Р - группа простого порядка р;

2) (3=[Р]Н, где Р=С0(Р) - р-группа, Н - ^базисная группа с монолитом С>=Над и максимальная подформация из АэгтН содержится в Ь(р).

Направления 52 и 5з ш-специальной и со-центральной формаций

соответственно являются Ьг-направлениями, причем 52<53. В качестве следствий из теоремы 3.1.7 получено описание строения критических со-специальных и критических га-центральных формаций.

Пусть ф - некоторый класс групп, ю-веерную нормально наследственную

формацию 5 с направлением 5 назовем ф „^-критической формацией, или иначе, минимальной со-веерной нормально наследственной не ф-формацией с направлением 6, если Зг£Ф, но все собственные оо-веерные нормально наследственные подформации с направлением 8 из {5 в классе ф содержатся. Аналогично определяются ф^-критические формации. Раздел 3.2 главы 3 содержит описание критических га-веерных нормально наследственных формаций. Основным результатом здесь является следующая теорема.

3.2.12. Теорема. Пусть ф - непустая со-веерная нормально

наследственная формация с Ьг-направлением 8 таким, что 8<8з, Ь - ее максимальный внутренний ©-спутник, со-веерная нормально наследственная формация 5 с направлением 8 является ф^лткритической тогда и только

тогда, когда {5=gwkF(G,8), где G - такая сми8-базисная груша с монолитом P=G®, что выполняется одно из условий:

1) G=P - группа простого порядка р£ю;

2) G~[P]H, где P=CG(P) - p-rpyiraa, pGco, Н - ¿«-базисная группа с монолитом Q=I I^f' и максимальная нормально наследственная подформация из swformH содержится в h(p);

3) G - ¿«-базисная группа, п:(Р)£со, P=Gh<w' и максимальная нормально наследственная подформация из srcformG содержится в h(ca').

3.2.13. Следствие. Пусть Ф - непустая веерная нормально наследственная

формация с Ьг-направлением 8 таким, что 6<83, h - ее максимальный внутренний спутник. Веерная нормально наследственная формация 5 с направлением 8 является ¿^-критической тогда и только тогда, когда 0r=i«F(G,8), где G - такая «и8-базисная группа с монолитом P=G®, что выполняется одно из условий:

1) G=P - ipyraia простого порядка р;

2) G=[P]H, где P=Cg(P) - р-грулпа, Н - ¿и-базисная группа с монолитом Q=~Hh(p) и максимальная нормально наследственная подформация из swformH содержится в h(p).

Отметим, что направление 81 го-локальной формации не является г-направлением. Раздел 3.3 главы 3 содержит описание критических еа-локальных формаций.

Глава 4 посвящена изучению фПф-критических формаций. Пусть Q - непустой подкласс класса всех конечных простых групп. Функции f: QU{Q'} —» {формации групп}, g : —* {формации групп}, <р : —* {непустые формации Фиттинга}, принимающие одинаковые значения на изоморфных группах из области определения, называются QF-функцией,

8

Б-функцией и РЯ-функцией соответственно. Формация £1Р(^ф)=(0: 0/0и(0)СГ(П') и О/Ст^е^А) для всех АеПпДО)) называется П-расслоенной формацией с О-спутником £ и с направлением <р; формация Р(^,ф)=(0: С/Сф(А)£е(Л) для всех АеАЩ)) называется расслоенной формацией со спутником g а с направлением ф [5]. Направление (р О-расслоенной формации называется Ьг-направлением, если 9 является Ь-направлением, то есть ф(А)=ф(А)@А для любой абелевой группы А£ и ф является г-направлением, то есть ф(А)=©а<Р(А) для любой группы Ае Через фг обозначается направление О-биканонической формации, то есть Ф2(А)~©а' для любой неабелевой группы Ае^? и ф2(А)=©А'®а для любой абелевой группы Аб^?; через ф3 обозначается направление П-

композиционной формации, ю есть ф3(А)=<ЗсА для любой группы [18]. Пусть и \|/2 - ОТ-функции (соответственно Б-функции, РЯ-функции). Говорят, что у1<\)/2, если У[(А)су2(А) для всех А£С2и{£2'} (для всех Ае5?) [5].

Пусть ф - некоторый класс групп. П-расслоенная формация ?? с направлением ф называется ф£2ф-критической формацией, или иначе, минимальной О-расслоенной не ф-формацией с направлением ф, если но все собственные О-расслоенные подформации с направлением ф из в классе ф содержатся.

Основным результатом раздела 4.1 является следующая теорема.

4.1.14. Теорема. Пусть ф - непустая О-расслоенная формация с Ьг-направлением ф таким, что ф<фз, Ь - ее максимальный внутренний О-спутник. О-расслоенная формация 5 с направлением ф является фПч>-

критической тогда и только тогда, когда 3=ПР(С,ф), где О - такая Г2<р-базисная группа с монолитом Р-С}^, что выполняется одно из следующих условий:

1) Б=Р - хруппа простого порядка р такого, что 7р€0;

2) Сг=[Р]Н, где Р=Са(Р) - р-группа, Н - ^базисная группа с монолитом 0=НЫ2р) и максимальная подформадия из 1ЪгтН содержится в

Ь(гр);

3) Р - неабелева 1руппа, А7Р)=(А)еО и РЧЗЬ(А);

4) О - ^базисная группа, ДР)£0, РК}40'' и максимальная подформация из Азгшв содержится в Ь(П').

4.1.15. Следствие. Пусть ф - непустая расслоенная формация с Ьг-направлением <р таким, что ф<фя, Ь - ее максимальный внутренний спутник. Расслоенная формация (5? с направлением ф является Фф-критической тогда и только тогда, когда 5'=Р(0,ф), где в - такая ф-базисная группа с монолитом РКЗ®, что выполняется одно из следующих условий:

1) (3=Р - группа простого порядка р;

2) С=[Р]Н, где Р=С0(Р) - р-группа, Н - Г-базисная группа с монолитом 0=Нн(ад и максимальная подформация из йлтН содержится в

кгр);

3) Р - неабелева группа и Р=0Ь(А> для АеК(Р).

Направления ф2 и ф3 П-биканонической и О-композиционной формаций соответственно являются Ьг-направлениями, причем фг^фз- В качестве следствий из теоремы 4.1.14 получено описание строения критических П-биканонических и критических О-композиционных формаций.

Пусть Ф - некоторый класс групп. О-расслоенная нормально наследственная формация 5 с направлением ф называется Фо^-критической формацией, или иначе, минимальной О-расслоенной нормально наследственной не ф-формацией с направлением <р, если й?£ф, но все собственные □-расслоенные нормально наследственные подформации с направлением <р из (5 в классе ф содержатся. Аналогично определяются ф!п!}-критические формации.

Раздел 4.2 посвящен изучению критических Г2-расслоенных нормально наследственных формаций. Основным результатом данного раздела является следующая теорема.

4.2.14. Теорема. Пусть ф - непустая О-расслоенная нормально наследственная формация с Ьг-направлением ср таким, что ф<фз, И - ее максимальный внутренний О-спутник. Нормально наследственная расслоенная формация {5 с направлением <р является ф^-критичсской тогда и только тогда, когда Э=0уир(0,ф), где в - такая Шиф-базисная группа с монолитом что выполняется одно из следующих условий:

1) С=Р - группа простого порядка р такого, что

2) (3=[Р]Н, где Р=Со(Р) - р-группа, Н - ¿«-базисная группа с монолитом р=Н|,(2р) и максимальная нормально наследственная подформация из 5ий>гтН содержится в Ь(гр);

3) Р - неабелева группа, К(Р)=(А)£0 и Р=С11<А);

4) в ж-базисная группа, К(Р)фС1, Р~Оь(П> и максимальная нормально наследственная подформация из отйэгтО содержится в И(О').

4.2.15. Следствие. Пусть ф - непустая расслоенная нормально наследственная формация с Ьг-направлением ф таким, что ф<фз, И - ее

максимальный внутренний спутник. Расслоенная пормально наследственная формация с направлением (р является Ф^-критической тогда и только тогда, когда 5=5иР(0,<р), где в - такая вжр-базисная группа с монолитом Р=Оф, что выполняется одно из следующих условий:

1) й=Р - группа простого порядка р;

2) С=[Р]Н, где Р=Со(Р) - р-группа, Н - ¿«-базисная группа с монолитом 0=Нцад и максимальная нормально наследственная подформация из лийнтаН содержится в

3) Р - неабелева группа и Р=0Ь(А) для АеК(Р).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ведерников В.А. О новых типах ю-веерных формаций конечных групп // Укр. матем. конгресс. Алг. 1 теор. чисел. Пращ. - Киев, 2002. - С. 3645.

2. Ведерников В.А., Коптюх Д.Г. Частично композиционные формации групп. Препринт. - Брянск: БГПУ, 1999. № 2. - 28 с.

3. Ведерников В.А., Сорокина М.М. Композиционные и локальные наследственные критические формации // Ред. журн. "Сиб. Матем. ж.". -Новосибирск, 1998. - 19 с.

4. Ведерников В.А., Сорокина М.М. со-веерные формации и классы Фитгинга конечных групп // Математическйе заметки. 2002. Т. 71. Вып. 1. -С. 43-60.

5. Ведерников В.А., Сорокина М.М. П-расслоенные формации и классы Фитгинга конечных групп II Дискретная математика, 2001. Т.13. Вып. З.-С. 125-144.

6. Сафонов В.Г. О минимальных кратно локальных не ф-формациях конечных групп // Вопросы алгебры. - Гомель: Издательство Гомельского университета, 1995. Вып. 8. - С. 109-138.

7. Сафонова И.Н. О критических ш-локальных не ф-формациях // Becui HAH Беларусь Сер. ф1з.-мат, навук. 1999. № 2. - С. 23-27.

8. Селькин В.М. О минимальных локальных нормально наследственных не ф-формациях // Вести АН РБ. - Сер. физ.-мат. н., 1996. № 3. - С. 73-83.

9. Селькин В.М., Скиба A.II. О наследственных критических формациях // Сиб. Матем. журн. 1996. № 5. - С. 1145-1153.

10. Селькин В.М., Скиба A.II. О ф9со-критических формациях // Вопросы алгебры. - Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1999. Вып. 14. - С. 127-131.

11. Скиба А.Н. Алгебра формаций. - Мн: Беларуская навука, 1997.

12. Скиба А.Н. О критических формациях // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. - Киев, 1993. - С. 258-268.

13. Сорокина М.М., Силенок Н.В. Критические Q-биканонические нормально наследственные формации конечных групп // Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины, № 5 (14), Вопросы алгебры - 18,2002. - С. 125-133.

14. Сорокина М.М., Силенок Н.В. Критические ^-расслоенные формации конечных групп // Математические заметки. Т. 72, Вып. 2,2002. - С. 269-282.

15. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978.

16. Шеметков Л.А. Экраны ступенчатых формаций // Тр. VI Всесоюзн. Симпозиума по теории групп. - Киев: Наукова думка, 1980. - С. 37-50.

17. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1978.

18. Vedemikov V. A. Maximal Satellites of Q-Foliated Formation and Fitting Classes. //Proc. Of the Steclov Institute of Math. Suppl. 2. 2001. - P. 217-233.

Публикации по теме диссертации

1. Жаркова (Корпачева) М.А. О критических ю-веерных формациях // Материалы Международной математической конференции, посвященной столетию начала работы Д.А. Граве в Киевском университете (тезисы докладов). - Киев, 2002. - С. 89. (0,06 печ. л.)

2. Жаркова (Корпачева) М.А. О критических со-локальных нормально наследственных формациях // Материалы Международной конференции «Алгебра и ее приложения» (тезисы докладов). - Красноярск, 2002. - С. 49-50. (0,06 печ. л.)

3. Жаркова (Корпачева) М.А., Сорокина М.М. Максимальные ш-центральные подформации со-централышх формаций // Сборник студенческих научных трудов. Вып. 1. - Брянск: Издательство БГУ, 2002. -С. 9-11. (0,12 печ. л., соискателем выполнено 50% работы)

4. Корпачева М.А. О критических со-центральных нормально наследственных формациях // Международная конференция "Колмагоров и современная математика", посвященная 100-летаю со дня рождения А.Н. Колмагорова. - Москва, 2003. - С. 891. (0,06 печ. л.)

5. Корпачева М.А., Сорокина М.М. Минимальные со-специальные не ф-формации // Вестник БГУ. - Брянск: Издательство БГУ, 2003. № 1. - С. 144-148. (0,25 печ. л., соискателем выполнено 50% работы)

6. Сорокина М.М., Корпачева М.А. ю-центральные критические формации конечных групп. Препринт. - Брянск. БГУ, 2003. № 7. - 26 с. (1,63 печ. л., соискателем выполнено 50% работы)

7. Корпачева М.А. Критические ю-веерные нормально наследственные формации конечных групп // Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Скорипы, 6(27), Вопросы алгебры. 2004. - С. 41-49. (0,56 печ. л.)

8. Корпачева М.А. Минимальные со-специалыше нормально наследственные не ф-формации // Вестник БГУ. - Брянск: Издательство БГУ, 2004. № 4. - С. 100-104. (0,25 печ. л.)

9. Корпачева М.А., Сорокина М.М. О критических ^-расслоенных нормально наследственных формациях конечных групп // Международная конференция «Алгебра, логика и кибернетика», посвященная памяти профессора А.И. Кокорина. - Иркутск, 2004. - С. 55-56. (0,06 печ. л., соискателем выполнено 50% работы)

10. Корпачева М.А., Сорокина М.М. О нормально наследственных ю-веерных формациях // VI Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященная 100-летию Н.Г. Чудакова. - Саратов, 2004. - С. 73. (0,06 печ. л., соискателем выполнено 50% работы)

11. Корпачева М.А. Критические ю-локальные наследственные формации конечных групп // Сборник студенческих научных трудов. Вып. 4. -Брянск: Издательство БГУ, 2005. - С. 58-59. (0,06 печ. л.)

12. Сорокина М.М., Корпачева М.А. О критических О-расслоенных формациях конечных хрупп // Препринт. - Брянск. БГУ, 2005. №9.-35 с. (0,2,29 печ. л., соискателем выполнено 50% работы)

13. Корпачева М.А., Сорокина М.М. О критических со-веерных формациях конечных групп // Математические заметки. 2006. Т. 79. Вып. 1. -С. 87-94. (0,5 печ. л., соискателем выполнено 50% работы)

(

I

II

I

I

I

I 1

Î

I

k

¡

f

!

J

í

Подл, к печ. 22.02.2006 Объем 1 п.л. Заказ №.45 ТирЮОэкз

Типография М1ПУ

4006 ft

».9906

i *

i

i

i i

Перечень определений и условных обозначений.

Введение.

Общая характеристика работы.

Глава 1. Обзор результатов.

Глава 2. Предварительные сведения

2.1. Методы доказательств.

2.2. Используемые результаты.

Глава 3. Критические со-веерные формации конечных групп.

3.1. Описание критических со-веерных формаций.

3.2. Описание критических ю-веерных нормально наследственных формаций.

3.3. Описание критических со-локальных формаций.

Глава 4. Критические ^-расслоенные формации конечных групп.

4.1. Описание критических О-расслоенных формаций.

4.2. Описание критических О-расслоенных нормально наследственных формаций.

Выводы.

Список используемых источников.

ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Рассматриваются только конечные группы. Используемые в работе без ссылок обозначения, определения и классические результаты можно найти в работах [2, 23, 33, 42, 44, 46, 48].

Класс групп - совокупность групп, содержащая со всякой своей группой и все группы, изоморфные ей. ф, Ш, 2, £> - некоторые классы групп. @ - класс всех конечных групп, р, Я-простые числа. 1Р - множество всех простых чисел. со - непустое подмножество множества Р. £5 - класс всех простых групп. О - непустой подкласс класса £5.

7г(С) - множество всех простых делителей порядка группы в. п(3с) - объединение множеств 7г(0) для всех групп С из множества групп

К(0) - класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы в.

К(Ш) - объединение множеств К(0) для всех групп в из множества групп

0 - пустое множество, ю-группа - такая группа в, что тс(0)£со. ^-группа - такая группа в, что О. и — класс всех со-групп. n - класс всех Q-групп; полагают, что 1Е

Щ - класс групп, порожденный множеством групп 36.

Главный фактор группы G - фактор главного ряда группы G. Главный р-фактор группы G — главный фактор группы G, который является р-группой.

Главный А-фактор группы G - главный фактор Н/К группы G, такой, что ЛТ(Н/К)=(А). ер - класс всех групп, у которых каждый главный р-фактор централен. <2>сА - класс всех групп, у которых каждый главный А-фактор централен.

- класс всех q'-rpynn. £ДР- класс всех р-групп. Ii - класс всех абелевых групп. А'=3\А), гдеАеЗ". а=©(А) класс всех групп, у которых все композиционные факторы изоморфны А. а' =©з\(А)~~ класс всех групп, у которых нет ни одного композиционного фактора, изоморфного А.

Gs - ^-корадикал группы G, то есть пересечение всех тех нормальных подгрупп М из G, для которых G/Meö\ где {5 - непустая формация групп.

Gg - {^-радикал группы G, то есть произведение всех тех нормальных подгрупп М из G, которые принадлежат где S - непустой класс Фиттинга. diiJ - произведение классов групп Н и {5, то есть (G : G имеет нормальную подгруппу NG3i с G/NEi5).

- формационное произведение классов групп дс и то есть ХоОЦХ} : О^еЗЁ:), где бг - непустая формация. Если {5=0, то полагают

0\5 - радикальное произведение классов групп Зс и то есть Зс О {5= (в : ОЛЗхебг), где Ж - непустой класс Фиттинга. Если Э£=0, то полагают

Оа(в) - ©^-радикал группы в. 0Р(0) - 5Яр-радикал группы в. Оп(О) - ©^-радикал группы в. С>£руд>(0) - ©(2ру5Яр-радикал группы в. 0А'(0) - ©А-радикал группы в. Рср(0) - <2>ср-радикал группы в. Рр(0) - @р-^р-радикал группы в.

Рд(О) - пересечение централизаторов всех главных А-факторов группы в; если в в нет главных А-факторов, то полагают РА(0)=0. Ф(в) — подгруппа Фраттини группы в.

Запись 0=[М]М означает, что в является полупрямым произведением подгрупп N и М, причем N<0.

Многообразие групп - класс всех групп, каждая из которых удовлетворяет некоторому данному множеству тождеств.

Формация - класс групп {5, для которого выполняются условия:

1) если ве^ и N<0, то О/ые^;

2) если О/Ы^ и СЛМ2е{5, то 0/(Ы,ПЫ2)е{5.

Нормально наследственная формация - формация, которая с каждой своей группой G содержит все нормальные подгруппы группы G.

Наследственная формация - формация, которая с каждой своей группой G содержит все подгруппы группы G.

Класс Фиттинга - класс групп {5, для которого выполняются условия:

1) если GeS и N<G, то NGS;

2) если G=N,N2, Ni<G,Nie$, i=l,2, toGgSf : ioU{(o'} —> {формации групп} - со-формационная функция простого натурального аргумента или, коротко, coF-функция. h : QU{Q'} —> {формации групп} - QF-функция; h принимает одинаковые значения на изоморфных группах из Q. g : Р —> {формации групп} - формационная функция простого натурального аргумента или, коротко, PF-функция. k : —*■ {формации групп} - F-функция; к принимает одинаковые значения на изоморфных группах из

8 : IP —> {непустые формации Фиттинга} - формационно-радикальная функция или, коротко, PFR-функция.

Ф : {непустые формации Фиттинга} - FR-функция; ф принимает одинаковые значения на изоморфных группах из

Пусть \j/i и \|/2 - coF-функции (PF-функции, PFR-функции). Говорят, что i<\|/2, если \j/i(p)cvi/2(p) для всех pGcoU{co'} (для всех pGP).

Пусть i|/i и vj/2 - QF-функции (F-функции, FR-функции). Говорят, что \|/1<\|/2» если \|/i(A)c\|/2(A) для всех AGQU{Q'} (для всех AG^5). со-веерная формация с со-спутником Г и с направлением 5 - формация {5=соР(Г, бив : С/ОС0(О)ЕГ(с0|) и О/ОадЕВД для всех рЕтг(С)Псо), где f- оЯ7функция, 8 - РРЯ-функция. веерная формация со спутником % и с направлением 8 - формация • 0/С5(р)её(р) для всех рЕтг(О)), где ё - РР-функция, 5

РРЯ-функция. со-полная (полная) формация, или коротко, соА-формация, - со-веерная веерная) формация с направлением 80, где 50(р)=©р' для любого рЕР; обозначается соАР(0 (АРф). ю-локальная (локальная) формация, или коротко, соЬ-формация, (Ь-формация) - со-веерная (веерная) формация с направлением 8], где

81(р)=©р'5Яр для любого рЕР; обозначается соЬРф (ЬР(1}). со-специальная (специальная) формация, или коротко, соБ-формация (Б-формация) - со-веерная (веерная) формация с направлением 82, где 82(р)= гру^р для любого рЕР; обозначается соЭРф (БРф). со-центральная (центральная) формация, или коротко, со2-формация (Ъформация) - со-веерная (веерная) формация с направлением 83, где 8з(р)=<Зср для любого рЕР; обозначается со2Р(1} (2Р(1}).

О-расслоенная формация с ^-спутником Ъ. и с направлением ср - формация г5=ОР(Ь,ф)=(0 : 0/0П(0)ЕЬ(0') и С/0(р(А)ЕЬ(А) для всех АЕДО)ПО), где Ь

ОР-функция, ф - РЯ-функция. расслоенная формация со спутником кис направлением ф - формация

5=Р(к,ф)=(0 : 0/0ф(А)Ек(А) для всех АЕДв)), где к - Р-функция, ф - РЯфункция.

О-свободная (свободная) формация - Г2-расслоенная (расслоенная) формация с направленим ф0, где ф0(А)=©А'> для любого Ае£5; обозначается ¿ИОД (Ргф).

О-каноническая (каноническая) формация, или коротко, ГЖ-формация (К-формация) - О-расслоенная (расслоенная) формация с направленим (р2, где

Ф2(А)=@А'©а Для любой группы Ае £5; обозначается ОКРф (КРф).

О-биканоническая (биканоническая) формация, или коротко, ОВ-формация (В-формация) - ¿^-расслоенная (расслоенная) формация с направленим ф2, где ф2(А)=@А для любой неабелевой группы А£$; и ф2(А)=@А-@А для любой абелевой группы Ае£$; обозначается ОВР(1}

О-композиционная (композиционная) формация, или коротко, ОС-формация (С-формация) - О-расслоенная (расслоенная) формация с направленим ф3, где ф3(А)=(ЗсА, для любого Ае

Ь-направление со-веерной формации - такое направление 5, что 8(я)=5(я)£Дч Для любого це1Р. р-направление со-веерной формации - такое направление 8, что 8(я)=@ч'8(я) для любого яЕ(Р. г-направление со-веерной формации - такое направление 8, что для любого яеР. п-направление П-расслоенной формации - такое направление ф, что А^ф(А) для любой неабелевой группы Ае

Ь-направление О-расслоенной формации - такое направление ф, что ф(А)=ф(А)@А для любой абелевой группы АЕ £5. r-направление Q-расслоенной формации — такое направление ф, что ф(А)=@А'ф(А) для любого AG £5. х1х2.хп-направление со-веерной (Q-расслоенной) формации - такое направление, которое является xj-направлением для любого i=l,.,n.

Коллинеарные направления - такие направления ф Q-расслоенной формации и 8 со-веерной формации, что 9(Zp)=8(p) для любого pGlP.

Внутренний со-спутник (Q-спутник) со-веерной (Q-расслоенной) формации

- такой со-спутник (Q-спутник) f формации {5, что для любого pGcoU{co'} для любого AGQU {Q'}) имеет место f(p)c{5 (f(A)c{5).

Максимальный внутренний со-спутник (Q-спутник) со-веерной (Q-расслоенной) формации S - максимальный элемент множества всех внутренних со-спутников (Q-спутников) формации £5.

Минимальный со-спутник (Q-спутник) со-веерной (Q-расслоенной) формации - минимальный элемент множества всех со-спутников

Q-спутников) формации

Нормально наследственный со-спутник (Q-спутник) со-веерной (Qрасслоенной) формации - такой со-спутник (Q-спутник), все значения которого являются нормально наследственными формациями.

Наследственный со-спутник со-веерной формации S - такой со-спутник, все значения которого являются наследственными формациями.

Согласованные спутники - Q-спутник f Q-расслоенной формации и соспутник h со-веерной формации, если f(Zp)=h(p) для любого pGco и f(Q')=h(co'), где (Zp: pGco)=Qn?f.

-формация - такая формация {5, что SG0, где 0 - некоторая непустая совокупность формаций.

Фе-критическая формация - такая 0-формация г5, что б^Ф, а все собственные 0-подформации из 5 в классе ф содержатся, где 0 - непустая совокупность формаций, ф - некоторый класс групп. formX - формация, порожденная совокупностью групп 36, то есть пересечение всех формаций, содержащих 26; если 36={G}, то пишут forrnG вместо form{G}. swformX - нормально наследственная формация, порожденная совокупностью групп sform36 - наследственная формация, порожденная совокупностью групп var3£ - многообразие, порожденное совокупностью групп

Секция группы G - факторгруппа А/В, где А - подгруппа группы G, В -нормальная подгруппа группы А.

Формационная секция группы G - секция группы G, принадлежащая формации formG.

Критическая группа - конечная группа G, не принадлежащая многообразию, порожденному всеми собственными секциями группы G.

Формационно критическая группа - конечная группа G, не принадлежащая формации, порожденной всеми собственными формационными секциями группы G.

Максимальная 0-подформация 0-формации О1 - такая собственная 0-подформация формации {5, что для любой 0-формации S3, удовлетворяющей включению имеет место равенство 9Л=23, где 0 - некоторая совокупность формаций.

Монолитическая группа - группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу (монолит). соР(Э£,8) (РР(Э£,8)) - со-веерная (веерная) формация с направлением 5, порожденная множеством групп 36, то есть пересечение всех ю-веерных (веерных) формаций с направлением 8, которые содержат множество групп

ПР(Э£,ф) (Р(Э£,ф)) - ¿^-расслоенная (расслоенная) формация с направлением ср, порожденная множеством групп дс, то есть пересечение всех Г2-расслоенных (расслоенных) формаций с направлением <р, которые содержат множество групп а)Р(0,8) - формация соР(36,8), если Э£={0}. Аналогично определяются формации РР(0,5), Г2Р(С,ф), Р(в,ф) и другие.

Ю5«Р(3^,8) (5лР(Х,8)) - пересечение всех нормально наследственных ю-веерных (веерных) формаций с направлением 8, которые содержат множество групп И.

1уиР(Э£,ф) (5«Р(Х,ф)) - пересечение всех нормально наследственных Г2-расслоенных (расслоенных) формаций с направлением ф, которые содержат множество групп И. юР5„(3£,8) (Р5„(3б,8)) - пересечение всех со-веерных (веерных) формаций с направлением 8, содержащих множество групп которые обладают хотя бы одним нормально наследственным оз-спутником (спутником).

ОР5„(Х,ф) (Р™(£,ф)) - пересечение всех Г2-расслоенных (расслоенных) формаций с направлением ф, содержащих множество групп которые обладают хотя бы одним нормально наследственным О-спутником (спутником). соАР(Зе) (юАуиР(Х), А¥(Щ, АмР(Ж)) - формация соР(^,80) (со^^.Зо), Р(36,8о), 5«Р(36,8о) соответственно). дс) ((дгяпЦЩ, г¥(дс), Хзп¥(26)) - формация соР(Зе,53) (со^Р(Зе,53), Р(36,8з), соответственно). ю8Р(£) (а>8мР(£), Ъзп¥(Щ) - формация соР(Э£,52) (ш5яР(Ж,52), Р(Э6,82), зп¥(Х,82) соответственно). соЬР(Х) (соЬ^Р(Зе), Ь¥(3с), 1лп¥(Х)) - формация 0^(26,80 (со^ЭеЛ), ¥(1£,д1), 5п¥(?£,Ъ\) соответственно). оср(36) (полр(зе), СР(ЗЕ), СМ^Я)) - формация ор(зе,ф3) (а^эе.фз),

Р(36,фз), 5лР(Э^,фз) соответственно). овр(эе) (пв^сх), ВР(Ж), в^да) - формация ор(зе,ф2) (о^«р(зе,ф2),

Р(36,фг), тР(Х,ф2) соответственно).

001^(26) (1^(3:)) - пересечение всех со-локальных (локальных) формаций, содержащих множество групп Э:, которые обладают хотя бы одним наследственным со-спутником (спутником). соЬЛ^ЭЕ:) (Ь5р(3£)) - пересечение всех наследственных со-локальных локальных) формаций, которые содержат множество групп И. базисная (¿«-базисная, ¿-базисная) группа - такая формационно критическая группа в, что формация йшпО (¿иГогтО, ¿Рогтв соответственно) содержит единственную максимальную (нормально наследственную, наследственную соответственно) подформацию. соб-базисная (сояиЗ-базисная) группа - такая формационно критическая группа в, что формация соР(С,8) (оошР(0,8)) содержит единственную максимальную со-веерную (нормально наследственную) подформацию с направлением 8.

Пф-базисная (Ояиф-базисная) группа - такая формационно критическая группа в, что формация ОР(С,ф) (С1улР(0,ф)) содержит единственную максимальную О-расслоенную (нормально наследственную) подформацию с направлением ср.

Аналогично определяются 8-базисная (зиЗ-базисная) и ср-базисная (.шф-базисная) группы.

-базисная (а)5и7-базисная, 2-базисная, ¿^-базисная) группа - это со8з-базисная (сояибз-базисная, 53-базисная, 5и6з-базисная соответственно) группа. соБ-базисная (оо,ш8-базисная, 8-базисная, 5«8-базисная) группа - это соб2-базисная (о>5и82-базисная, 82-базисная, £и82-базисная соответственно) группа.

ОС-базисная (ПялС-базисная, С-базисная, 5«С-базисная) группа - это Г2(р3-базисная (соответственно С1ужр3-базисная, ф3-базисная, яяфз-базисная) группа.

ОВ-базисная (ОшВ-базисная, В-базисная, яиВ-базисная) группа - это Оф2-базисная (соответственно П,уиф2-базисная, ф2-базисная, 5иф2-базисная) группа.

В последние десятилетия важное место в теории групп занимает понятие класса. Класс представляет собой совокупность групп, содержащую вместе с каждой своей группой О и все группы, изоморфные О. Возникает необходимость характеризации групп по свойствам тех или иных классов, в связи с чем требуются исследования различных классов групп и взаимосвязей между ними.

Теория классов групп, как самостоятельное направление в рамках теории групп, начала свое развитие лишь в 30-ые годы XX в. после выхода работ Г. Биркгофа [45] и Б.Х. Неймана [49]. Первоначальный этап развития теории классов был в основном связан с изучением различных классов групп, заведомо содержащих бесконечные группы (многообразий, квазимногообразий и др.). После выхода в 1963 году работы В.Гашюца [47] началось интенсивное изучение различных классов конечных групп, ключевую роль среди которых заняли формации групп. Таким образом, в рамках теории групп возникло и вполне оформилось новое научное направление - теория формаций. Итоги развития теории формаций нашли отражение в работах [33, 42, 44].

При изучении формаций можно выделить два основных подхода. С одной стороны, можно ставить задачу изучения формаций, у которых некоторая выделенная система подформаций удовлетворяет определенным требованиям. С другой стороны, естественно выделять и изучать подформации заданной формации. Наличие у исследуемой формации тех или иных подформаций и их взаимное расположение в является важной характеристикой этой формации. Однако, следует отметить тот факт, что поскольку, к примеру, у любой неединичной локальной формации решетка подформаций бесконечна, то применение этого подхода весьма затруднительно при исследовании внутреннего строения такого рода формаций. Это обстоятельство привело к необходимости разработки особых методов исследования, связанных с понятием критической формации. Пусть

Э - произвольная непустая совокупность формаций, ф - некоторый класс групп. 9-формация называется ф0-критической формацией, или иначе, минимальной не ф-формацией, если но все собственные 9подформации из содержатся в классе ф.

Общая проблема изучения ф0-критических формаций впервые была поставлена Л.А. Шеметковым на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в 1980 году [43]. В серии работ А.Н. Скибой было дано решение этой задачи в случае, когда 0 - класс всех локальных формаций, а фЕ0 некоторая формация классического типа (см., например, [34]). Аналогичные результаты для локальных наследственных, -локальных нормально наследственных формаций, кратно локальных формаций содержатся в работах А.Н. Скибы, В.М Селькина, В.Г. Сафонова и др. (см., например, [25, 28-29]). В.А. Ведерниковым и М.М. Сорокиной решена задача Л.А. Шеметкова для композиционных и композиционных (нормально) наследственных формаций (см., например, [6]).

Наиболее важную роль при изучении внутреннего строения конечных групп играют широко известные локальные и композиционные формации. Развитие теории формаций привело в дальнейшем к таким обобщениям этих понятий, как частично локальные и частично композиционные формации. Изучением частично локальных критических формаций занимались А.Н. Скиба, В.М. Селькин, И.Н. Сафонова и другие (см., например, [26-27, 30]). В.А. Ведерниковым и Д.Г. Коптюх получено описание О-композиционных наследственных критических формаций [5].

В 1999 году профессором В.А. Ведерниковым была введена в рассмотрение концепция частичной веерности и частичной расслоенности, которая позволила на языке функций описать все формации конечных групп см., например, [8-9]). При этом локальные формации явились одним из видов веерных, а композиционные - одним из видов расслоенных формаций. В работе [3] показано, что существует бесконечное множество различных видов со-веерных и О-расслоенных формаций. Решение вышеуказанной задачи Л.А. Шеметкова для двух видов О-расслоенных формаций (П-канонических и Г2-биканонических) получено в работах М.М. Сорокиной и Н.В. Силенок [39-40].

В данной диссертации приводится описание строения ш-веерных и С2-расслоенных (нормально наследственных) критических формаций с заданными направлениями. Тем самым решается задача Л.А. Шеметкова изучения фо-критических формаций в случае, когда 0 - класс всех совеерных (нормально наследственных) формаций с Ьг-направлением 5<5з, а также, когда 0 - класс всех О-расслоенных (нормально наследственных) формаций с Ьг-направлением (р<фз.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Общая проблема конструирования и классификации формаций с определенными свойствами является одной из центральных задач теории классов конечных групп. Реализация этой задачи связана с идеей исследования формаций с заданными свойствами подформаций. На этом пути были выделены и описаны многие важные классы формаций, среди которых значительное место занимают ф0-критические формации, то есть такие 0-формации, не содержащиеся в классе групп ф, у которых все собственные 0-подформации содержатся в ф, для некоторой непустой совокупности формаций 9. На VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в 1980 году Л.А. Шеметков впервые поставил общую проблему изучения ф9-критических формаций [43]. Решению этой проблемы посвящены работы А.Н. Скибы, В.М Селькина, В.Г. Сафонова, И.Н. Сафоновой, В.А. Ведерникова, М.М. Сорокиной, Д.Г. Коптюх, Н.В. Силенок и других (см., например, [5-6, 25-29, 39-40]).

Введенная в 1999 году профессором В.А. Ведерниковым концепция частичной веерности и частичной расслоенности позволила с единых позиций изучать бесконечное множество новых типов формаций, каждый из которых характеризуется определенным направлением [3-4, 8-9, 50]. Многие важные результаты, полученные ранее для локальных и частично локальных, композиционных и частично композиционных формаций, можно рассматривать как частный случай более общих результатов для со-веерных и О-расслоенных формаций. Таким образом, исследование со-веерных и О-расслоенных формаций является следующим шагом на пути обобщения и расширения круга изучаемых объектов в теории формаций и является вполне актуальной и перспективной задачей. В данной работе решается задача Л.А. Шеметкова изучения Фе-критических формаций в случае, когда 0 - класс всех со-веерных (нормально наследственных) формаций с Ьг-направлением

5<53, а также, когда 9 - класс всех ^-расслоенных (нормально наследственных) формаций с Ьг-направлением <р<фз.

Цели и задачи исследования — построение общей теории критических а>-веерных и критических О-расслоенных формаций.

Научная новизна полученных результатов. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут использоваться в исследованиях по теории классов групп, в частности, при дальнейшем изучении веерных и расслоенных формаций, при исследовании различных видов критических формаций. Полученные результаты могут быть использованы также при чтении спецкурсов в университетах и институтах для студентов математических специальностей.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1) Описание критических со-веерных формаций.

2) Описание критических О-расслоенных формаций.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты работы докладывались автором на заседаниях кафедры алгебры БГУ, на Международной математической конференции, посвященной столетию начала работы Д.А. Граве в Киевском университете (Киев, 2002 г.), на Международной конференции «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2002 г.), на Международной конференции «Колмогоров и современная математика», посвященной 100-летию со дня рождения А.Н. Колмогорова (Москва, 2003 г.), на Международной конференции «Алгебра, логика и кибернетика», посвященной памяти профессора А.И. Кокорина (Иркутск, 2004 г.), на VI Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященной 100-летию Н.Г. Чудакова (Саратов, 2004 г.).

Опубликованность результатов. Все основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях [16, 17, 19, 22], 2 препринтах [37, 38] и 7 тезисах конференций [10-12, 15, 18, 20, 21].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, четырех глав основной части, выводов и списка используемых источников в количестве 50 наименований, расположенных в алфавитном порядке. Объем диссертации - 106 страниц.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Виктору Александровичу Ведерникову за внимание, оказанное при написании данной диссертации.

выводы

В диссертации получено:

1) описание критических со-веерных формаций;

2) описание критических со-веерных нормально наследственных формаций;

3) описание критических О-расслоенных формаций;

4) описание критических О-расслоенных нормально наследственных формаций.

1. Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. М.: Наука. 1979.

2. Ведерников В.А. Элементы теории классов групп. Смоленск: СГПИ, 1988.

3. Ведерников В.А. О новых типах ш-веерных формаций конечных групп // Укр. матем. конгресс. Алг. теор. чисел. Пращ. Киев, 2002. - С. 36-45.

4. Ведерников В.А. Максимальные спутники О-расслоенных формаций и классов Фиттинга. Препринт. Москва: МГПУ, 2001. № 1. - С. 1-30.

5. Ведерников В.А., Коптюх Д.Г. Частично композиционные формации групп. Препринт. Брянск: БГПУ, 1999. № 2. - 28 с.

6. Ведерников В.А., Сорокина М.М. Композиционные и локальные наследственные критические формации // Ред. журн. "Сиб. Матем. ж.". -Новосибирск, 1998. 19 с.

7. Ведерников В.А., Сорокина М.М. Композиционные наследственные критические формации // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1997. Вып. 11. - С. 6-18.

8. Ведерников В.А., Сорокина М.М. О-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика, 2001. Т. 13. Вып. 3. С. 125-144.

9. Ведерников В.А., Сорокина М.М. со-веерные формации и классы Фиттинга конечных групп // Математические заметки. 2002. Т. 71. Вып. 1. -С. 43-60.

10. Ю.Жаркова (Корпачева) М.А. О критических со-веерных формациях // Материалы Международной математической конференции, посвященной столетию начала работы Д.А. Граве в Киевском университете (тезисы докладов). Киев, 2002. - С. 89.

11. Жаркова (Корпачева) М.А. О критических со-локальных нормально наследственных формациях // Материалы Международной конференции

12. Алгебра и ее приложения» (тезисы докладов). Красноярск, 2002. - С. 4950.

13. Жаркова (Корпачева) М.А., Сорокина М.М. Максимальные со-центральные подформации со-центральных формаций // Сборник студенческих научных трудов. Вып. 1. Брянск: Издательство БГУ, 2002. -С. 9-11.

14. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

15. Кострикин А.Н. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.

16. Корпачева М.А. О критических со-центральных нормально наследственных формациях // Международная конференция "Колмогоров и современная математика", посвященная 100-летию со дня рождения А.Н. Колмогорова. Москва, 2003. - С. 891.

17. Корпачева М.А. Критические со-веерные нормально наследственные формации конечных групп // Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины, 6(27), Вопросы алгебры. 2004. С. 41-49.

18. Корпачева М.А., Сорокина М.М. О критических ш-веерных формациях конечных групп // Математические заметки. 2006. Т. 79. Вып. 1. С. 87-94.

19. Корпачева М.А. Критические со-локальные наследственные формации конечных групп // Сборник студенческих научных трудов. Вып. 4. Брянск: Издательство БГУ, 2005. - С. 58-59.

20. Корпачева М.А. Минимальные со-специальные нормально наследственные не ф-формации // Вестник БГУ. Брянск: Издательство БГУ, 2004. №4.-С. 100-104.

21. Корпачева М.А., Сорокина М.М. О критических О-расслоенных нормально наследственных формациях конечных групп // Международная103конференция «Алгебра, логика и кибернетика», посвященная памяти профессора А.И. Кокорина. Иркутск, 2004. - С. 55-56.

22. Корпачева М.А., Сорокина М.М. О нормально наследственных со-веерных формациях // VI Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященная 100-летию Н.Г. Чудакова. Саратов, 2004. - С. 73.

23. Корпачева М.А., Сорокина М.М. Минимальные со-специальные не фформации // Вестник БГУ. Брянск: Издательство БГУ, 2003. № 1. — С. 144148.

24. Монахов B.C. Введение в теорию конечных групп и их классов: Учебное пособие. Гомель: УО "ГГУ им. Ф. Скорины", 2003. - 320 с.

25. Нейман X. Многообразия групп. М.: Мир. 1969.

26. Сафонов В.Г. О минимальных кратно локальных не ф-формацияхконечных групп // Вопросы алгебры. Гомель: Издательство Гомельского университета, 1995. Вып. 8. - С. 109-138.

27. Сафонова И.Н. О критических со-локальных не ф-формациях // Весщ НАН Беларусь Сер. ф1з.-мат. навук. 1999. № 2. С. 23-27.

28. Сафонова И.Н. К теории ф/°-критических формаций конечных групп //

29. Вопросы алгебры. Гомель: Издательство Гомельского университета, 2001. Вып. 3(6).-С. 124-133.

30. Селькин В.М. О минимальных локальных нормально наследственных не ф-формациях // Вести АН РБ. Сер. физ.-мат. н., 1996. № 3. - С. 73-83.

31. Селькин В.М., Скиба А.Н. О наследственных критических формациях // Сиб. Матем. журн. 1996. № 5. С. 1145-1153.

32. Селькин В.М., Скиба А.Н. О ф0со-критических формациях // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1999. Вып. 14. - С. 127-131.

33. Силенок Н.В. Минимальные О-канонические нормально наследственные не ф-формации конечных групп // Вопросы алгебры. -Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 2004. Вып. 1 (12). С. 103-110.

34. Скачкова Ю.А. Решетки ^-расслоенных формаций // Дискретная математика. Том 14. Вып. 2, 2002. С. 85-94.

35. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Мн: Беларуская навука, 1997.

36. Скиба А.Н. О критических формациях // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев, 1993. - С. 258-268.

37. Сорокина М.М. О композиционных и локальных критических формациях // Известия вузов. Математика. № 7, 2000. С. 1-8.

38. Сорокина М.М. О композиционных нормально наследственных критических формациях // Вопросы алгебры. Гомель: Издательство Гомельского университета, 1998. Вып. 12. - С. 22-35.

39. Сорокина М.М., Корпачева М.А. О критических О-расслоенных формациях конечных групп // Препринт. Брянск. БГУ, 2005. № 9. - 35 с.

40. Сорокина М.М., Корпачева М.А. со-центральные критические формации конечных групп. Препринт. Брянск. БГУ, 2003. № 7. - 26 с.

41. Сорокина М.М., Силенок Н.В. Критические Г2-биканонические нормально наследственные формации конечных групп // Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины, № 5 (14), Вопросы алгебры 18, 2002.-С. 125-133.

42. Сорокина М.М., Силенок Н.В. Критические Г2-расслоенные формации конечных групп // Математические заметки. Т. 72, Вып. 2, 2002. С. 269-282.

43. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962.

44. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978.

45. Шеметков Л.А. Экраны ступенчатыхформаций // Тр. VI Всесоюзн. Симпозиума по теории групп. Киев: Наукова думка, 1980. - С. 37-50.

46. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1978.

47. Birkhoff G. On structure of algebral // Proc. Cabridge Phil. Soc. 1935. V.31.-P. 433-454.

48. Doerk K. and Hawkes T. Finite soluble groups. Walter de Grunter, Berlin. New York, 1992.-889 p.

49. Gaschuts W. Zur Teorie der endichen auflösbaren Grupper // Math. Z. 1963. Bd. 80,№4.-P. 300-305.

50. Huppert В. Endiche Gruppen, I. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.-793 p.

51. Neumann B.H. Identikal relations in groups. I // Math. Ann. 1937. V. 114 -P. 506-525.

52. Vedernikov V. A. Maximal Satellites of Q-Foliated Formation and Fitting Classes. // Proc. Of the Steclov Institute of Math. Suppl. 2. 2001. P. 217-233.