Конечные подпрямые произведения групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

санкт-петербургский государственный униеерситет

т 0Я

На правах рукописи бздернжов Виктор Александрович

кожчше подпшке произведения ГЕУПП •

01.01.06 - иатеиатаческая логика* алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертация на соискание ученой стелена доктора фззияо-иатоиатнчесхих наук

Санкт-Петербург 1994

Работа выполнена в Брянском государственном педагогическом институте им. акад..И.Г.Петровского

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук З.И.Боревич. доктор физико-математических наук В.Д.'<*азуров. доктор,физико-математических наук Н.С.Черяиков.

Ведущая организация - Гомельский государственный университет им. О.Скорины.

Зашита состоится Мйлк^ 1994 года в № часов на заседании специализированного совета Д 063.07.29 по зашита диссерташй на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Детербургском государственном университете.

Адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф» Библиотечная пл. 2, ¿¡атематико-мехакическиЯ факультет СПГУ. .

Зашита состоится по адресу: 191011, Санкт-Петербург, набережная реки Фонтанки, 27 (ПОшИ), зал 311.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Горького по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан ОДА/ 1994 года.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-матем. наук

/

С. М.АНАНЬЕВСКИй

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Конструкция прямого произведения групп занимает центральное место в общей теории групп, она позволяет из заданных групп строить новые. С другой стороны, при исследовании свойств группы часто удается разложить ее в прямое произведение подгрупп и тем самым свести задачу к изучению свойств неразложимых групп. Прямое (подпрямое) произведение конечного числа групп называется конечным прямым (подпрямым) произведением групп. Наряду с названными применениями прямое произведение групп находит также другие, важные применения. Приведем лишь основные направления исследований: а) описание строения подгрупп прямого произведения групп при помощи подгрупп прямых множителей - задача А.Г.Куроша, приведенная в первом издании его монографии по теории групп, изданной в 1044 году; б) исследование классов групп, замкнутых относительно конечных подггрямых произведений, наиболее важные из них - это многообразия и формации групп; в) применение классов групп, замкнутых относительно конечных подпрямых произведений, к изучению свойств групп; г) вложение групп в прямое произведение групп» как общий метод исследования групп.

Описание подгрупп прямого произведения конеч-

ных групп (г( и было уже дано в 1890 году Клейном-Фрикке. В 1930 году Ремак доказал обращение теоремы Клейна-'^рикке и тем самым было получено полное описание подгрупп прямого произведения 6, * <г* конечных групп и <гг. Ремак дал описание подгрупп прямого произведения £< * в терминах мероморфного произведения. Однако, уже для трех множителей, он заметил, что подгруппы прямого произведения групп , * 1,5 далеко не исчерпываются мероморфными произведениями.

В 1952 году Фукс приводит описание подгрупп прямого произведения <гг , где (Р^ и возможно и бесконечные группы, подобное теореме Клейна-Фрикке-Ремаха, но сформулированную в других терминах: Подгруппа Н группы тогда и только тогда будет подпрямым произведением групп

- 3 -

и , когда существует такая группа F и такие эпиморфизмы Hi: G-¿ —*■ Г , i - i>Z , что Н состоит из тех и только тех элементов € , для которых

о /Ч _ fl/'i

• ^ „

Пусть Лч — , Где /f; _ эпиморфизм <r¿ на г ,

i-1>Z , как в .теореме Фукса. Подгруппы и ^ называются ядрами группы Н .

В 1964 году Рокетт переоткрыл конструкцию Фукса и нашел ей важные применения. Эта конструкция включена в монографию Хупперта по теории групп ( том I, 1уо7 г., теорема I, 9,11), обозначена через (r4 Á&1 и названа прямым произведением групп и с объединенной факторгруппой F .

Итак, по определению 64 ^z-íbh■= Иг*2}. Эта конструкция играет принципиальную роль в § 1 диссертации для получения конструктивного описания конечных под-прямых произведений групп (r¿ , £ = . Для удобства дальнейшего обобщения конструкцию Л G~¿ назовем F -произведением групп и (гг относительно эпиморфизмов fi¿ , L-1>Z или, когда это не вызывает недоразумений, коротко F -произведением групп , L - *,2 и обозначим через

В 1973 году Калужнин Л.А. и Сущанский В.И. ввели понятие расслоенного произведения групп как естественное обобщение мероморфного произведения Ремака. Применяя это понятие Ганюшкин А.Г. в 1у7о-Ь2 годах изучил некоторые подгруппы прямых произведений конечных групп, построил примеры подпрямых произведений, не являющихся расслоенным произведением, и расслоенных произведений,.не являющихся подпрямым произведением групп. Исследованием подгрупп прямого произведения групп занимались также Шода, Ф.Холл, Хомкинсон, О.Ю.Шмидт, А.Г.Курош, W.H.Горчаков, Е.И.Хухро и другие математики.

В последние 30 лет активизировалось внимание к изучению подгрупп прямых произведений в связи с исследованием классов групп (многообразий, формаций), замкнутых относительно конечных подпрямых произведений, hmi найдены мно-

гочисленные применения формаций к группам, развиты форма-ционные методы исследований групп, что привело к созданию теории формаций. Ьольшой вклад в развитие теории формаций внесли Гашюц, Брайс, Картер, Климович, Косси, Хартли, Хоукс, Хупперт, Л.А.Шеметкоа, З.Н.Семенчук, А.Н.Скиба, СЖКаморни-ков и другие.

Целью работы является

1) Решение задачи А.Г.Курошз (Теория групп, 1-е иэд.'-М.: Гостехиадат, 1944) в случае конечного числа множителей;

2)«Решение по модулю гипотезы Шрейера проблемы Л.А.Ше-меткова о замкнутости класса Е^ относительно конечных подпря-мых произведений (Шеметков Л.А. Формации конечных групп.- М.: Наука, (проблет 1ь)); Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп. П-е изд.- Новосибирск, 1^90 (вопрос 6.66));

3) Получение положительного ответа на вопрос 9.о8 Л.А. Шеметкова и А.Н.Скибы; частично на вопрос 10.73 Д.А.Шеметко-ва и на вопрос В.23 Л.Ковача из Коуровской тетради, связанных с конечными подпрямыми произведениями групп.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 162 страницах машинописного текста и. состоит из введения и трех глав, включающих в себя Ю параграфов. Список литературы содержит 99 наименований.

Общая методика исследования основана на конструктивном описании конечных подпрямых произведений групп, применении методов абстрактной теории групп и теории формаций конечных групп.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. Перечислим эти результаты.

I. получено конструктивное описание конечных подпрямых произведений групп, тем самым для конечного числа множителей приведено решение задачи А.Г.Куроша о строении подгрупп прямых произведений, в качестве применения получен отрицательный ответ на вопрос Ю.М.Горчакова об изоморфизме подпрямых произведений с одинаковыми ядрами прямого произведения А х В , по модулю гипотезы Шрейера дан положительный ответ

на вопрос Л.А.Шеметков'а: "Является ли конечное подпрямое произведение групп -группой?".

2. Установлено существование локальных произведений: нелокальных формаций, изучены достаточно полно формации, каждая подформация которых $» -замкнута, тем самым соответственно получены ответы на вопрос Л.А.Шеметкова и А.Н. Скибы и частично на вопрос Л.А.Шеметкова.

3. Приведено ряд применений конечных подпрямых произведений в теории групп: установлены достаточные признаки существования «/-проектора в группе; изучены конечные не 1Г -разложимые Ъ^ -группы, каждая собственная подгруппа которых 1( -разложима, а также конечные группы, бипри-

. марные ¿^-подгруппы которых имеют 2-длину I; построено ряд новых классов конечных групп, замкнутых относительно конечных подпрямых произведений и с их помощью дана харак-теризация классических, а также новых естественно возникающих радикалов; для бинарно конечных групп получен положительный ответ на вопрос Л.Ковача о диэдральних секциях прямого произведения групп А*В.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории групп, теории модулей, в теории многообразий и формаций групп и быть использованы в СО Института математики РАН, в Институте математики и механики УрО РАН, в Институте математики АН Украины, в Гомельском, Екатеринбургском, Киевском, Новосибирском, Санкт-Петербургском, Тверском университетах, в Ьрянском, Витебском пединститутах.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах: по формациям алгебраических систем, руководимом членом-корреспондентом АН Беларусь, проф. Л.А.Шеметкавым, при Гомельском университете; по теории групп, руководимом проф. В.Д.Мазуровым, при Новосибирском университете и ИМ СО РАН; "Алгебра и логика", руководимом, академиком РАН, проф. Ю.Л.Ершовым, при НГУ и ИМ СО РАН, а также на Всесоюзном симпозиуме по теории групп в г.Свердловске (19<Зуг.); на Всесоюзной алгебраической конференции в г.Львове (19с!?г.); на Международной конфе-

- 6 -

ренции по алгебре в г.Новосибирске (1989г.У; на Международной конференции по алгебре в г.Красноярске (1993г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в I? работах, список которых приведен в конце автореферата. Среди них работ, написанных в соавторстве, нет.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко изложена история вопроса, а также сформулированы основные результаты диссертации.

Злава I (§ I - § 3) посвящена подпрямым произведениям групп. В § I приводится конструктивное описание конечных подпрямых произведений и как следствие подгрупп конечных прямых произведений, тем самым получено решение задачи А.Г. Куроша в случае конечного числа прямых множителей. В основу конструкции положено Р -произведение —

. групп ^ и . Нетрудно проверить, что Г -произведение Т* существенно зависит от эпиморфизмов ^ групп (г; на Г ,

- 1,2 . Поэтому строение группы

существенно зависит от эпиморфизма группы Т2 на Р и значит, для определения группы % кроме эпиморфизмов групп на Р , <-*=<, 3 необходимо задание еще эпиморфизма на . Конструкцию группы 73 можно обобщить, рассматривая группу

вида

, тем самым придем к следующей конструкции: Т«. = Т^н А^"1 ¿ъ-

которую назовем левонормированным (, Р2 ,.. > , ) -произведением групп (г; относительно эпиморфизмов , «Т»

и эпиморфизмов групп 1] на Я]- , } = 2 , , или, когда это не вызывает недоразумений, коротко левонормированным Рп,-1) -произведением групп ,

г= .

Теорема 1.Х. Группа И тогда и только тогда является подпрямым произведением групп » , когда Н яв-

ляется некоторым левонормированным С^ч, 'ъ, ••• , -произведением групп , = /7«-.

Следствие 1.1. Группа Н тогда и только тогда является

подгруппой прямого произведения групп G-¿ , ¿~=. £71 , когда Н является некоторым левонормированным (р,, -произведением групп 3*'» причем В( являются подгруппами групп , = /7л •

В § 2 дано описание конечных подпрямых произведений конечных квазипростых групп. Конечна группа 0- называется кеазипростой, если (г* и - простая неабе-

лева группа. Из теоремы 2.1 и её следствий вытекает описание конечных подпр»»«ых произведений всех известных конечных квазипростых групп, кроме некоторых накрывающих групп для ¿чС4) • Горчаков поставил следующий вопрос: "%-дут ли изоморфными подпрямые произведения групп и ^ с одинаковыми ядрами?" Из теоремы 2.2 следует отрицательный ответ на этот вопрос: Пусть ^ - накрывающая группы Р= $гС8) » и \Ci\- Z , ¿-1,2. Если Н - универсаль-

ная накрывающая группы р , Т- С* , где и Ч1 - изоморфизм ё, на <г2 , тоН и Т являются подпрямы-ми произведениями групп и с одинаковыми ядрами С/ и Сг , причем Н не изоморфна Т .

В § 3 исследуются конечные подпрямые произведения конечных групп с холловыми -подгруппами. %сть ТГ - непустое множество простых чисел и - класс всех конечных групп, обладающих холловыми -гподгруппами. Группа, принадлежащая классу , называется -группой. Л.А.Ше-метков поставил следующий вопрос: "Замкнут ли класс В относительно конечных подпрямых произведений?" & теореме 3.1 дается положительный ответ на этот" вопрос при условии выполнимости гипотезы 1Ьрейера о разрешимости внешней группы автоморфизмов конечной простой группы, чтф непосредственно следует из классификации конечных простых групп.

Теорема 3.1, Конечное подпрямое произведение Ег^-групп является ¿Г^-группой. ' ' .

Класс групп, замкнутый относительно конечных подпрямых произведений и гомоморфных образов называется формацией.

Глава 2 ( § 4 - § 6) полностью посвящена формациям конечных групп.

А.Н.Скиба и Л.А.Шеметков поставил«следующий вопрос: "Существуют ли локальные произведения нелокальных формаций конечных групп?" В § 4 дается положительный ответ на этот вопрос. Пусть Р - простая группа. Группу & назовем С -примарной типа Р , если вес композиционные факторы группы (г изоморфны Р . Единичную группу считаем С -примарной типа Р для любой простой группы- Р . Неединичные группы й и В назовем взаимно С -простьми, если любая простая субнормальная секция группы /1 не изоморфна никакой субнормальной секции группы & . Классы групп и ^ назовем взаимно с -простыми, если любые две неединичные группы и являются взаимно с-простыми.

Теорема 4.1. Пусть Д - конечная простая неабелева группа, = 'ГС(А) , А \\% - множество всех

конечных С-примлрных групп типа $ и - локальная формация, взаимно С -простая с Щ . Тогда

является нелокальной формацией «иттинга.

2) ЗЕ^я^ х является нелокальной формацией.

3) Если 77"£ ) , то фсрмациснное произведение

является локальной формацией, причем для любого, ке/^ .

В § Ь исследуются формации конечных групп с некоторой системой .дополняемых подформаций. Подфсрмлция формации £ называется долелнчемой в сГ , если в существует такая лодформация , что V } :< «// Л /2 ~ & >

где $ - единичная формация. Обозначим череч Р и р* соответственно формацию и локальную ¡|ормацию, каждая из которых порождена всеми конечным; простыми-группами«

Теорема 5.1, Тогда и только тогда в формации каждая однопорожде-нная 5п.-замкнутая подформзция дополняема, когда . £

Теорема о.2. Если в локальной формации <Г, каждая од-нопоро.гденная радикальная локальная подформацмя дополняема, ТО ?

Теорема 5.3. В формации калдая подформация длины 3 дополняема тогда и только тогда, когда либо формация ^ имеет длину 3, либо .

Л.А.Шеметков поставил следующий вопрос: перечислить формации конечных групп, у которых все подформации

-замкнуты. В § б диссертации приводится не полное, но вполне удовлетворительное для приложений, решение задачи Я.А.Шеметкова.

Группу & назовем 'с -нильпотентной, если (г является конечным прямым произведением с -примарных групп. Обозначим через класс всех конечных С-нильпотентных групп, а через Жиг - класс всех конечных групп 4 таких, что Д/%{/})€ с • Пусть Р - конечная простая неабелева группа и £ является С -примарной группой типа Р . Группу О- » обладающую единственным глазным рядом /=&> «'»♦ -с £к = £ длины к , назовем ск(р)- группой, если

~ £ к-£ „ С-оТИ . Единичную группу

считаем Сь(Р)-группой. Пусть -' формация, порожденная всеми ск(Р)-группами для любого и любой конечной простой неабелевой группы Р .

Теорема.6,1. Цусть формация порождается множеством конечных групп, не имеющих абелевых главных факторов. Тогда и только тогда каждая подформаций формации является $к. -замкнутой, когда .

Теорема 6.2. Пусть Л - № хЫ и Д,}-. Если в формации ^Г каждая подформация 5 д.-замкнута, то

В главе 3 ( § 7 - § 10) приводятся применения классов групп, замкнутых относительно конечных подпрямых произведений к исследованию свойств групп.

В § 7 устанавливается существование £-проектора в некоторых локально конечных группах. Понятие »/-проектора является естественным обобщением понятия силовской, холлов-ской и других важных типов подгрупп. Пусть £ - класс групп. Подгруппа \\Gjr группы (г называется ^-проектором, если из Н - И £ £ и и/Л/ёвсегда следует И/У = И . Пусть К, Ь и М - подгруппы группы 6- , причем и К . Тогда К/Ь называется секцией группы . Если ,

то подгруппа К называется М -допустимой. Секция К/6 называется ЭД -допустимой или М -секцией, если подгруппы

.-10 -

К н Ь являются М -допустимы»«.

Пусть К - подгруппа группы & * Возрастающий ряд Ко<лКл »'.. <5 Кр~К (I)

длины р назовем М -рядом подгруппы К" в группе <г , если каждая с акция К^/К* для любого является М -секцией группы <г . /Ч-ряд (I) назовем Л^-рядом подгруппы К в , если А^ покрывает секцию К^

для любого л*1/ тогда и только тогда, когда М Км /Л'*«/. При К-& ряд (I) будем называть М -рядом ( -рядом) группы <г .

Теорема 7.1Пусть «/ - формация групп; И и К - подгруппы группы <£ , причем К нормальна в С- а К М • Если К обладает конечным -рядом в (г с . М -простыми секциями, то М является с/-*-проектором группы 6- .

Теорема 7.2. Пусть «/* - формация конечных групп, М -подгруппа локально конечной группы б1 . Если обладает М -рядом длины р с М-простыми секциями, то М является ^-проектором группы <?• .

В § Ь изучаются конечные минимальные не -группы, т.е. группы не принадлежащие классу , все собственные подгруппы которых принадлежат . Группу 6- назовем

-разложимой, если & представима в виде прямого произведения -группы и ^'-группы.

Теорема 8.1. Пусть С? - конечная -группа. Если каждая максимальная подгруппа группы (г /7"-разложима, а сама гругяа О- не является 77" -разложимой, то 6- является группой Шмидта.

В .Д.Мазуров исследовал конечные неразрешимые группы, каждая разрешимая Ы -подгруппа которых имеет 2-длину I: Пусть - тожество всех бипримарных подгрупп И из

группы & , таких, что Ср(Н) - нециклическая и содержит центр некоторой свловской р -подгруппы <?р группы (г , причем егП Н - силовская р -подгруппа из И .

■ Теорема 8.2. Пусть & - конечная неразрешимая груп- • па, в которой каждая подгруппа И из &2((г) либо имеет 2-длину I, либо 0Л(Ю порождается двумя элементами. Тогда

группа 6- удовлетворяет одному из следующих условий:

1) все разрешимые ¿¿-подгруппы из & имеют 2-длину 1;

2) силовская 2-подгруппа в <? либо диэдральная, либо квазидиэдральная, либо обобщенная группа кватернионов^

В § 9 построено несколько новых классоз конечных групп и с единых позиций дана характеризация классических радикалов конечных групп, а также некоторых новых естественно возникающих радикалов. Пусть А/& - секция группы £. Подгруппу Со_(А/&) ~ А'С о. С А/В) группы £ назовем

квазицентралюатором секции А/& в О- . Если ^о- {А/8), то секцию назовем квазицентральной в <£• .

Группу в- назовем С-сверхразреиишй, если ^".обладает главным рядом, все .факторы которого являются простыми группами, Если к тоцу же каядый абелеа (неабелёв) фактор этого ряда кааэицентрален в 6- , то <г назовем са -сверхразрешимой ( 'сп -сверхразре'лямой). Обозначим через Ч/С с » ^¿са., ЭД-сп. соответственно класе всех с --сверхразрешимых, СО. -сверхраэрешимых, сп. -сверхразрезшыых групп.

Группу (г назовем ся-разрешимой ( -разрешимой), если & обладает главным рядом, каздый абелев (неабелев) фактор которого квазицентрален в б? . Обозначим.через ^сл , «и соответственно класс всех са -разрешимых, см.-разрешимых групп.

Теорема 9.1. Классы .ЭДсаявляются формациями

Фиттинга; классы %с являются 5ц -замкнутыми формациями. , . ^

Теорема 9.0. Пусть является цоколем

группы &/ф(£) . Тогда Т(£) ~ П С£(Ь/К*) , где и/К пробегает все кефраттиниевы главные факторы группы 0- ,

Л.Ковач поставил следующий вопрос: "Если диэдральная группа 2) порядка 16 язляется секцией прямого произведения //X Л , то должна ли по крайней мере одна из групп А и В иметь секцию, изоморфную 2> ?" В 10 для бинарно конечных групп получен положительный ответ на этот вопрос.

Теорема 10.2. Пусть А и & - подгруппы группы <г и А* & . Если группа & содержит секцию Н/Л/ , изоморфную диэдральной группе Ю порядка 'Лр* , где /»>2 -

простое число, K^fi/ и М обладает конечным добавлением в

Н , то по крайней мере одна из групп й и В имеет секции,

изоморфную Ъ .

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:'

1. Ведерников В„А. Группы с определенными свойствами для подгрупп // Докл. АН СССР. 1971. Т. 198,. 9 2. С. 256-263.

2. Ведерников В.А. О конечных группах с данными билримарна-ми подгруппами // Конечные группы. - Минск: Наука ц. техника, 19?о. С. 24-29..

3. Ведерников В.А. О'¿f-проекторах в группах //-Bono, алгебры. - Минск: Университетское, 19ва. Вып. I. С. 9-22.

4. Ведерников В.А, О -свойствах конечных групп // Apgi-метическое и подгрупповое строение конечных групп» -Минск: Иаука и техника, 1986. С. 13-19,

о. Ведерников ¿.А. Локальные произведения нелокальных формаций конечных групп // Теэ. сообщ. XIX Всесоюзн. алгебр, конф. ч. I.- Львов, 198?. С. 49.

6. Ведерников В.А. О некоторых классах конечных групп // Докл. АН БССР. 1968. Т. 32, № 10. С. b?2 - Н7о.

7. Ведерников В.А, Элементы теории классов групп. Смоленск: Смоленский госпедикститут, 1968.

8. Ведерников В.А. О локальных формациях конечных групп // Матем. заметки. 1989. Т. 46, вып. 6. С. 32 - 37.

9. Ведерников В.А. Подпрямые произведения групп // Тез. сообщ. XI Всесоюзн. симпоз. по теории групп. ~ Свердловск, I9U9. С. 23 - 29.

10. Ведерников В.А. Подпрямые произведения и формации конечных групп // Алгебра и логика. 1990, Т.29, № Ь, С. 523 -548.

11. Ведерников В.А; Вполне факторизуемые формации конечных групп // Вопр, алгебры. - Минск: Университетское, 1990, Вып. 5. С. 2d j 34. . . . ' .

12. Ведерников В.А. Формации конечных групп с нормально -наследственными подформациями // Международная конференция по алгебре: Тез. докл. по теории групп. - Новосибирск, 1991. С. 17.

13. Ведерников В.А. Формации конечных групп с дополняемыми подформациями длины 3 // Bon. алгебры. - Минск: Университетское, 1992. Вып. 6. С. 16-21.

И. Ведерников В.А. О критических группах // Сиб. матем. ж. I 1992. Т. 33, № I. С. 191 - 192.

15. Ведерников В.А. О подгруппах конечных прямых произведе- , ний групп // Третья международная конференция по алгебре. Сб. тез. - Красноярск, 1993. С. 67 - 68.

16. Ведерников В.А. О подгруппах конечных прямых произведений групп // Брян. госпединститут, 1993, Ile. (Деп. в ВИНИТИ 27.09.93г., № 2467 - В93).

17. Ведерников В.А, 0 некоторых классах конечных групп // Ьрян. госпединститут, 1993, 25с. (Дел. в ВИНИТИ

2в.10.93г., J? 2681 - В93).