Нефраттиниево факторизуемые группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

ГЛАВА 1 ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ.

ГЛАВА 2 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

2.1 Методы доказательств.

2.2 Используемые результаты.

ГЛАВА 3 ЛОКАЛЬНО ПОЧТИ РАЗРЕШИМЫЕ НЕФРАТТИНИЕВО

ФАКТОРИЗУЕМЫЕ ГРУППЫ.

3.1 Общие свойства нефраттиниево факторизуемых групп.

3.2 Конечные нефраттиниево факторизуемые группы.

3.3 Локально конечные нефраттиниево факторизуемые группы.

3.4 Локально почти разрешимые нефраттиниево факторизуемые группы.

ГЛАВА 4 ПРИМАРНО СТУПЕНЧАТЫЕ НЕФРАТТИНИЕВО

ФАКТОРИЗУЕМЫЕ ГРУППЫ.

4.1 Предварительные результаты.

4.2 Примарно ступенчатые нефраттиниево факторизуемые группы.

4.3 Некоторые следствия.

4.4 Линейные нефраттиниево факторизуемые группы.

4.5 Нефраттиниево факторизуемые 2-группы.

ВЫВОДЫ.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ.

ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Для удобства чтения в этом разделе приведены необходимые в диссертации обозначения и определения. Используемые в работе без ссылок обозначения и определения стандартны ( их можно найти в книгах [26,29, 35] )

N - множество всех натуральных чисел.

Р - множество всех простых чисел.

- некоторые простые числа. (О) - множество всех простых делителей порядков элементов группы С.

1 - единичная группа и единичный элемент группы.

С/К - факторгруппа группы С по подгруппе К. де<3 - элемент д принадлежит группе С. элемент д не принадлежит группе С.

АсгВ ~ множество А содержится в множестве В.

АсгВ множество А содержится в множестве В и А^В.

Ас£В - множество А не содержится в множестве В.

А < С - А подгруппа группы С.

А < С - А истинная (отличная от О подгруппа группы С.

А А С - А нормальная (инвариантная) подгруппа нормальный делитель) группы О.

А А С - А истинная нормальная подгруппа группы О.

Ые(А) - нормализатор подгруппы А в группе С.

Се(А) - централизатор подгруппы А в группе С.

Z(G) - центр группы G.

АхВ ~ прямое произведение групп А и В.

АХВ ~ полупрямое произведение групп А и В. а| - порядок элемента а. / jGj - порядок группы G.

G:A| - индекс подгруппы А в группе G.

J(G) - пересечение всех подгрупп конечного индекса группы G. ф(9) - подгруппа Фраттини группы G.

F(G) - подгруппа Фиттинга группы G.

G' - коммутант группы G.

Нф ~ образ подгруппы Н при отображении ф.

HG=nHg ~ наибольшая нормальная подгруппа группы G, geG тт содержащаяся в Н.

GLn(F) - общая линейная группа.

PSLn(F) - проективная специальная линейная группа.

Определение!. Подгруппа А группы 6 называется дополняемой в С, если существует такая подгруппа В группы что 6=АВ и АпВ=1. Подгруппа В при этом называется дополнением подгруппы А в 6.

0пределение2(Я. В. Черникова [3]). Группа С называется вполне факторизуемой, если каждая ее подгруппа дополняема в ней.

ОпределениеЗ. Говорят , что группа 6 факторизуема своими подгруппами А и В, если С=АВ, т.е.

С={аЬ|аеА,ЬеВ}.

Очевидно, 6=АВ тогда и только тогда, когда 6=ВА.)

Определение4. Элемент х группы С называется непорождающим элементом группы, если его можно удалить из любого порождающего множества группы С, в которое он входит.

0пределение5. Подгруппой Фраттини группы С называется пересечение всех максимальных подгрупп группы G, если они существуют , и обозначается через Ф(6)

Если в С не существует максимальных подгрупп, то считаем, что Ф(С)=С.

Определениеб. Подгруппой Фиттинга группы О называется произведение всех нильпотентных нормальных подгрупп группы и обозначается Г(С).

0пределение7. Подгруппа А декартова произведения 6 групп Оз., !е1, называется поддекартовым произведением групп Сд., если проекция А на каждый множитель совпадает с

0пределение8. Группа, порядки всех элементов которой являются степенями простого числа р, называется р-группой.

0пределение9. Периодическая группа, порядки всех элементов которой взаимно просты с р, называется р' -группой.

Определение10. Силовской р-подгруппой группы 6 называется ее максимальная р-подгруппа.

Определение!!. Группа, обладающая возрастающим нормальным рядом с циклическими факторами, называется гиперциклической.

Определение12. Бинарно конечная группа - это группа, каждая пара элементов которой порождает в ней конечную подгруппу.

Определение13 (С.Н.Черников, см., например, [38]). Локально ступенчатой называется группа, в которой каждая отличная от единицы конечнопорожденная подгруппа имеет подгруппу отличного от единицы конечного индекса. Единичная группа считается локально ступенчатой.

Определением (Н.С.Черников, см., например, [38]). Группа 6 называется бинарно ступенчатой, если в ней каждые два элемента порождают локально ступенчатую подгруппу.

0пределение15. Группа С называется бинарно разрешимой, если в ней каждая пара элементов порождает разрешимую подгруппу.

Определение!6. Для произвольного класса X групп почти Х-группа - это конечное расширение группы, принадлежащей к классу X.

Определение 17 ( Н. С.Черников [18] ) . Группа О называется примарно ступенчатой, если в произвольной ее подгруппе, порожденной двумя сопряженными примарными элементами, любая отличная от единицы подгруппа конечного индекса обладает истинной подгруппой конечного индекса.

Определение18 {А.Г.Курош, С.Н.Черников, см., например, [2 6]). БШ-группой называется группа обладающая субнормальной системой с абелевыми факторами.

Изучение строения групп по заданным свойствам подгрупп определяет одно из важных направлений в теории групп. В этом направлении получен ряд фундаментальных результатов, обогативших теорию групп открытием и описанием многих конкретных видов групп. Начало таким исследованиям было положено работами Дедекинда [60], Миллера-Морено [69] и О.Ю.Шмидта [57]. Появившись в области конечных групп и обогатив ее существенными результатами, это направление исследований распространилось затем и на бесконечные группы. При этом определились многие важные и плодотворные понятия теории групп, методы исследования. Среди наиболее важных объектов исследования выделились классы локально конечных и бинарно конечных групп, периодических групп, локально разрешимых и локально нильпотентных групп, локально ступенчатых групп, а также классы групп Куроша-Черникова. Существенный вклад в развитие этого направления внесли А.И.Мальцев, С.Н.Черников, Р.Бэр, Ф.Холл, С.А.Чунихин, Б. И. Плоткин, А. И. Кострикин, П.С.Новиков, С.И.Адян, М.И. Каргаполовг Л. А.Шеметков, В.П.Шунков, А.Ю.Ольшанский, О.Кегель, Б.А.Верфриц и ДР •

Многочисленные исследования в этом направлении, составившие важное его поднаправление, связаны с группами, обладающими широкой в том или ином смысле системой дополняемых подгрупп. Здесь выделяются результаты, полученные в школах С.Н.Черникова (Ю.М.Горчаков, М. И. Каргаполов, Д.И.Зайцев, В.С.Чарин и др.), В.П.Шункова {Н.С.Черников, Н.М. Сучков и др.), К. Кристенсеном, А. С. Кондратьевым, Л. С. Казариным, В.А.Ведерниковым, B.C. Монаховым, М. Курцио,

О.Бечтеллом и др. Напомним, что подгруппа А группы G называется дополняемой в группе G, если в G существует такая подгруппа В, что G=AB и АпВ=1. При этом В называется дополнением к А в G. Наложение условия дополняемости на подгруппы из той или иной достаточно широкой системы подгрупп группы G существенно влияет на строение группы G.

Классическим примером здесь является теорема Ф.Холла [63] - С.А.Чунихина [52] о разрешимости конечной группы, в которой дополняемы все силовские примарные подгруппы. Ф.Холл [64] рассматривал и более узкий класс конечных разрешимых групп, в которых дополняемы все подгруппы и установил, что он совпадает с классом конечных сверхразрешимых групп, у которых все примарные подгруппы элементарные абелевы. Полное конструктивное описание как конечных, так и бесконечных групп, все подгруппы которых дополняемы, было получено много позднее Н.В.Черниковой (Баевой) [3,50] ( см. также [51]) . Такие группы были названы ею вполне факторизуемыми. Теорема, описывающая строение вполне факторизуемых групп, впоследствии получила название теоремы Н.В.Черниковой.

В связи с работами Ф.Холла [63,64] и работами Н.В.Черниковой [3,50] С.Н.Черниковым в работах [4 4, 4 5] была сформулирована общая задача изучения групп с некоторой заданной системой дополняемых подгрупп, послужившая толчком к многочисленным исследованиям. Так, в работах [4 4,45] рассматривались группы, в которых дополняемы все абелевы подгруппы, группы, в которых дополняемы все инвариантные подгруппы, а также абелевы группы, в которых дополняемы все сервантные подгруппы. В работе [4 5] установлено, в частности, что в классе локально конечных групп условие дополняемости всех подгрупп равносильно более слабому условию дополняемости абелевых подгрупп. Позднее, в работах Ю.М.Горчакова [11] и М. И. Каргаполова [25] было доказано, что группы, в которых дополняемы все абелевы подгруппы, обязательно локально конечны. Таким образом, группы, все абелевы подгруппы которых дополняемы, вполне факторизуемы.

Ю. М. Горчаков в работах [9-12] перешел к рассмотрению групп с системами дополняемых подгрупп, более узкими, чем система всех подгрупп или система всех абелевых подгрупп. В работе [9] им изучены примарно факторизуемые группы, т.е. периодические группы, в которых дополняемы все примарные подгруппы, а в работах [10-12] - примитивно факторизуемые группы, т.е. периодические группы, в которых дополняемы все подгруппы простых порядков. В этих работах установлено, в частности, что конечнопорожденные примарно факторизуемые группы и даже конечнопорожденные примитивно факторизуемые группы вполне факторизуемы.

Группы с дополняемыми бесконечными абелевыми подгруппами и группы, удовлетворяющие разнообразным условиям минимальности для недополняемых абелевых подгрупп, детально изучены в работах Н. С.Черникова [37, 39-40].

В работе О.Н.Зуб [24] рассматривались группы с дополняемыми нециклическими подгруппами, а также группы с дополняемыми локально циклическими подгруппами, в работе Д.И.Зайцева и О.Н.Зуб [22] -группы с дополняемыми подгруппами непростых порядков и в работах Э.С.Алексеевой [1,2] - непримарные группы с дополняемыми непримарными подгруппами.

Среди работ, посвященных рассматриваемому направлению, отметим работы Ю.М.Горчакова и В. А.Шериева [13] и В.А.Шериева [55,5 6], в которых описаны группы с дополняемыми неинвариантными подгруппами, а также работы Л.М. Кляцкой [27] и Д. И. Зайцева и Л.М. Кляцкой [23], где рассматривались бесконечные группы с некоторой системой дополняемых сервантных подгрупп. В работах П.П.Барышовца [5,6] изучены конечные и локально разрешимые группы, в которых дополняемы коммутанты всех собственных подгрупп, а в работе А.С.Кондратвева [28] - конечные группы с дополняемыми бипримарными подгруппами четного порядка. В работах В.С.Чарина [36] и Т. М.Лозбень [30] исследовались топологические группы с системами дополняемых подгрупп. Следует отметить так же работы С. Н.Черникова [41-42, 4 6-4 9], Д.И.Зайцева [19

-1221], Л. А.Шеметкова [53-54], В. А. Ведерникова [7-8]. Группы с той или иной системой дополняемых подгрупп исследовались и в работах [4,32-33,58-5 9,66,7 0-71].

Теорема Н.В.Черниковой о вполне факторизуемых группах - отправная точка для указанного выше поднаправления. У вполне факторизуемой группы система дополняемых подгрупп состоит из всех ее подгрупп. Одним из существенных и наиболее естественных ослаблений условия дополняемости всех подгрупп группы С^Ф(С) является условие дополняемости только подгрупп, не содержащихся в ее подгруппе Фраттини Ф (О , - нефраттиниевых подгрупп.

Действительно, подгруппа Фраттини произвольной группы С^Ф(О), вообще говоря, устроена не проще или ненамного проще, чем сама О (например, если С локально нильпотентная группа).Однако, уже дополняемость в 6 конечнопорожденных подгрупп из Ф(С) влечет равенство Ф(0=1 (см. лемму 3.1.1). Задача исследования групп 0^Ф(0), в которых дополняемы все нефраттиниевы подгруппы,- нефраттиниево факторизуемых групп была предложена автору проф. В.А.Ведерниковым. Описанию конечных, локально конечных, локально почти разрешимых и, наконец, примарно ступенчатых нефраттиниево факторизуемых групп посвящена настоящая диссертация.

ОБ1ЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Изучением групп с заданными свойствами системы подгрупп определилось перспективное направление современной теории групп, обогатившее ее новыми понятиями и многими результатами. Появившись сначала в области конечных групп, оно распространилось затем на бесконечные группы и дало при этом новые подходы к их изучению. Большое место занимают здесь исследования групп, обладающих в том или ином смысле широкой системой дополняемых подгрупп. (Подгруппа А группы G называется дополняемой в группе G, если в G существует такая подгруппа В, что G=AB и АпВ=1. ) В работах [44,45] С.Н.Черниковым была сформулирована общая задача изучения групп, в которых система дополняемых подгрупп удовлетворяет тем или иным условиям. При этом отправной точкой здесь явилась известная теорема Н.В.Черниковой [3,50], дающая полное конструктивное описание групп, в которых дополняемы все подгруппы, - вполне факторизуемых групп. С этой задачей связаны многие яркие и глубокие результаты, полученные в школах С.Н.Черникова (Ю.М.Горчаков, М. И. Каргаполов, Д.И.Зайцев, В.С.Чарин и др.),

В. П. Шункова {Н.С.Черников, Н.М. Сучков и др.), К. Кристенсеном, А. С. Кондратьевым, Л. С. Казариным, В. А. Ведерниковым, B.C. Монаховым, М. Курцио ,

0.Бечтеллом и др. Большинство из них прямо или косвенно связано с отмеченной теоремой.

Одним из существенных и самых естественных ослаблений условия дополняемости всех подгрупп в группе является условие дополняемости подгрупп, не содержащихся в ее подгруппе Фраттини - нефраттиниевых подгруп. Задача исследования нефраттиниево факторизуемых групп,т.е. групп, в которых дополняема каждая нефраттиниева подгруппа, представляется актуальной и перспективной. В диссертации исследованы конечные, локально конечные, локально почти разрешимые и, наконец, примарно ступенчатые нефраттиниево факторизуемые группы и получено полное решение вышеуказанной задачи для этих классов групп.

Цель и задачи исследования. Основной целью работы является полное описание примарно ступенчатых нефраттиниево факторизуемых групп.

Научная новизна полученных результатов. Основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая значимость полученных результатов.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях по теории групп, в частности, при дальнейшем изучении групп с той или иной системой дополняемых подгрупп. Полученные результаты могут быть использованы также при чтении спецкурсов в университетах и педагогических институтах для студентов математических специальностей.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1)Описание конечных и локально конечных нефраттиниево факторизуемых групп.

2)Описание локально почти разрешимых (в частности, локально разрешимых) нефраттиниево факторизуемых групп.

3)Описание примарно ступенчатых (в частности, бинарно и локально ступенчатых) нефраттиниево факторизуемых групп.

4)Описание строения линейной нефраттиниево факторизуемой группы.

5)Описание строения нефраттиниево факторизуемой 2-группы.

Личный вклад соискателя. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Аппробациярезультатовработы. Основные результаты докладывались и обсуждались на семинарах кафедры алгебры Брянского государственного педагогического университета; на международном алгебраическом семинаре, посвященном 7 0-летию кафедры высшей алгебры Московского государственного университета (Москва, 1999); на второй международной алгебраической конференции в Украине, посвященной памяти проф. Л.А.Калужнина ( Киев-Винница, 1999); на седьмой международной конференции "Группы и групповые кольца" ( Польша, 1999).

Опубликованностъ результатов. Все основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях [14,15,16] и 3 тезисах [17,18,61].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, четырех глав основной части, выводов и списка используемых источников в количестве 7 3 наименований. Объем диссертации - 7 7 страниц.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Виктору Александровичу Ведерникову за внимание, оказанное им при написании диссертации.

выводы

В настоящей диссертации получено:

1)описание конечных и локально конечных нефраттиниево факторизуемых групп;

2)описание локально почти разрешимых (в частности, локально разрешимых) нефраттиниево факторизуемых групп;

3)описание примарно ступенчатых (в частности, бинарно и локально ступенчатых) нефраттиниево факторизуемых групп;

4)описание строения линейной нефраттиниево факторизуемой группы^

5)описание строения нефраттиниево факторизуемой 2-группы.

1. Алексеева Э.С. Бесконечные непримарно факторизуемые группы.- В кн.: Некотрые вопросы теории групп.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975, с.123-140.

2. Алексеева Э.С. Конечные непримарно факторизуемые группы.- В кн.: Группы с системами дополняемых подгрупп,- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1972, с. 147-179.

3. Баева Н.В. Вполне факторизуемые группы.- ДАН СССР, 1953, 92, №5, с.877-880.

4. А.Барышовец П.П. Конечные группы, имеющие Г-сепарирующие подгруппы.- В кн.: Некоторые вопросы теории групп.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975, с. 75-100.

5. Ъ.Барьшовец П.П. Конечные неабелевы группы, в которых дополняемы коммутанты всех собственных подгрупп.- В кн.: Группы с заданными свойствами подгрупп.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1973, с.15-77.

6. Барышовец П.П. Локально разрешимые неабелевы группы, в которых дополняемы коммутанты всех собственных подгрупп.- В кн.: Исследование групп по заданным свойствам подгрупп.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1974, с.131-166.

7. Ведерников В.А. О группах с определенными свойствами для подгрупп. ДАН СССР, 1971, 198, №2, с.266-268.

8. Ведерников В.А. О конечных группах сперестановочными подгруппами. ДАН БССР, 1967, XI, №12, с.1057-1059.

9. Э.Горчаков Ю.М. О примарно факторизуемых группах.-Укр.мат.журн., 1962, 14, №1, с.3-9.

10. Ю.Горчаков Ю.М. Примитивно факторизуемые группы.- ДАН СССР, 1960, 131, №6, с.1243-1246.

11. Горчаков Ю.М. Примитивно факторизуемые группы.-Уч.зап. Пермского ун-та, 1960, 17, №1, с.15-31.

12. Горчаков Ю.М. Примитивные я-факторизуемые группы.-ДАН СССР, 1962, 146, №1, с.14-16.

13. Горчаков Ю.М. , Шериев В. А. Конечные группы, все неинвариантные подгруппы которых дополняемы.-Сиб.мат.журн., 1965, 6, №6, с.1234-1253.

14. Довженко С. А. К теореме Н.В.Черниковой о вполне факторизуемых группах//Укр.мат.журн.-1999 .-51, №6.-С.854-855.

15. Довженко С. А. Локально конечные и локально почти разрешимые группы с дополняемыми нефраттиниевыми подгруппами// Вопросы алгебры (Гомель).- 1999.-15.-С.84-89.1. Черников Н.С.

16. Довженко С.А.уч Примарно ступенчатые группы с дополняемыми нефраттиниевыми подгруппами//Укр.мат. журн. 1999.-51, №10.-С.324-333.

17. Довженко С.А., Черников Я. С. Группы с дополняемыми нефраттиниевыми подгруппами //Межд.алгебр.семинар, посвященный 7 0-летию кафедры высшей алгебры МГУ: Тез.докл.(Москва,10-12 февраля 1999г.).- Москва: механико-математический факультет МГУ, 1999.-С.23.

18. Зайцев Д. И. Группы с дополняемыми нормальными подгруппами.- В кн.: Некоторые вопросы теории групп.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975, с.30-74 .

19. Зайцев Д. И. К теории нормально факторизуемых групп.- В кн.: Группы с заданными свойствами подгрупп.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1973, с.78-104 .

20. Зайцев Д. И. Нормально факторизуемые группы.- В кн.: Группы с системами дополняемых подгрупп.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1972, с.3-34.

21. Зайцев Д. И. , Зуб О.Н. Группы с дополняемыми абелевыми подгруппами непростых порядков,- В кн.: Группы с заданными свойствами подгрупп.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1973, с.105-126.

22. Зайцев Д. И., Кляцкая Л.М. Группы с некоторой системой дополняемых абелевых подгрупп.- В кн.: Группы с системами дополняемых подгрупп.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1972, с.180-222.

23. Зуб О.Н. Группы, нециклические подгруппы которыхдополняемы.- В кн.: Группы с ограничениями дляподгрупп.- Киев: "Наукова думка", 1971, с.134-158.

24. Каргаполов М.И. Некоторые вопросы теории нильпотентных и разрешимых групп.- ДАН СССР, 1959, 127, №6, с.1164-1166.

25. Каргаполов М.И. , Мерзляков Ю.И. Основы теории групп.-Издание 3-е.-Наука, 1982.-288с.

26. Кляцкая JI.M. Абелевы группы, в которых дополняемы все максимальные подгруппы фиксированного ранга.- В кн.: Группы с ограничениями для подгрупп.- Киев: "Наукова думка", 1971, с.159-184.

27. Кондратьев A.C. Конечные непримарные группы с дополняемыми бипримарными подгруппами четного порядка.- Мат.зап.Уральского гос.ун-та, 1975, 9(3), №1, с. 44-52.

28. Курош А. Г. Теория групп.- М.: Наука, 1967.-648с.

29. Лозбень Т.М. Локально компактные группы с некоторой системой дополняемых подгрупп.- В кн.: Группы с ограничениями для подгрупп.- Киев: "Наукова думка", 1971, с.199-206.

30. Монахов B.C. Произведение сверхразрешимой и циклической или примарной групп.- Минск: Наука и техника, 1978.-С.50-63.

31. Спиваковский A.B. Конечные группы, имеющие С-сепарирующие подгруппы.- В кн.: Строение групп и их подгрупповая характеризация.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984, с.112-126.

32. Спиваковский A.B. Строение конечных групп, имеющих С-сепарирующие подгруппы.- Препринт 84.13.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984, 63с.

33. Херстейн И. Некоммутативные кольца. Изд-во"Мир". Москва, 1972, 190с.

34. Холл М. Теория групп.- М. : Изд-во иностр.лит., 1962.- 468с.3б.Чарин B.C. Группы с дополняемыми подгруппами.- В кн.: Группы с оганичениями для подгрупп.- Киев: "Наукова думка", 1971, с.185-199.

35. Черников Н.С. Группы с условиями минимальности для недополняемых абелевых подгрупп.- ДАН СССР, 1975, 223, №4, с.7 97-7 98.

36. Черников Н.С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп.- Киев: Наук.думка, 1987.-206с.

37. Черников Н.С. Локально конечные сосгА-факторизуемые группы.- В кн.: Исследования по теории групп.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1976, с.63-110.

38. Черников Н.С. О группах с дополняемыми бесконечными абелевыми подгруппами.- Мат.зам., 1980, 28, N95, с.665-674.

39. Черников С.Н. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп.- В кн.: Некоторые вопросы теории групп.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975, с.5-2 9.

40. Черников С.Н. Группы с системами дополняемых абелевых нормальных делителей.- В кн.: Исследованиегрупп по заданным свойствам подгрупп.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1974, с.5-71.

41. АЗ.Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп,- М.: Наука.- 1980, 384с.

42. Черников С.Н. Группы с системами дополняемых подгрупп.- ДАН СССР, 1953, 92, №5, с.891-894.

43. Черников С.Н. Группы с системами дополняемых подгрупп.- Мат.сб., 1954, 35, №1, с.93-128.

44. Черников С.Н. Группы, имеющие сепарирующие подгруппы.- В кн.: Группы с заданными свойствами подгрупп,- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1973, с. 614 .

45. Черников С.Н. О дополняемости силовских 71-подгрупп в некоторых классах бесконечных групп.- Мат.сб., 1955, 37(79), №3, с.557-566.

46. Черников С.Н. Обобщенно сверхразрешимые группы с системами дополняемых абелевых подгрупп,- ДАН СССР, 1972, №6, с.1306-1308.

47. Черников С.Н. Сверхразрешимые группы с дополняемыми абелевыми нормальными делителями.- В кн.: Группы с системами дополняемых подгрупп.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1972, с.35-48.

48. Черникова Н.В. Группы с дополняемыми подгруппами.-Мат.сб., 1956, 39, №3, с.273-272.

49. Черникова Н.В. К основной теореме о вполне факторизуемых группах.- В кн.: Группы с системамидополняемых подгрупп.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1972, с.49-58.

50. Чунихин С. А. О разрешимых группах.- Изв.Научно-иссл.ин-та матем.и мех.Томского гос.ун-та, 1938, 2, с.220-223.

51. Шеметков Л. А. Дополнения и добавления к нормальным подгруппам конечных групп.- Укр.мат.журн., 1971, 23, №5, с.678-689.

52. Шеметков Л. А. Факторизации конечных групп.- ДАН СССР, 1968, 178, №3, с.559-562.

53. ЪЪ.Шериев В. А. Группы с дополняемыми неинвариантными подгруппами.- Сиб.мат.журн., 1967, 8, №4, с.893-912 .

54. Шериев В. А. Конечные 2-группы с дополняемыми неинвариантными подгруппами.- Сиб.мат.журн., 1967, 8, №1, с . 195-212 .

55. Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные.- Мат.сб.(стар.серия) , 1924, 31, №3-4, с.366-372.

56. Christensen С. Complementations in groups.-Math.Z., 1964, 84, №l, p.52-69.

57. Christensen C. Groups with complemented normal subgroups.- J.London Math.Soc., 1967, 42, №166, p.208-216.

58. Dedekind R. Über Gruppen, deren sätliche Teiler Normalteiler sind.-Math.Ann., 1897, 48, №4, s.548-561.

59. Hall Ph. A characteristic property of soluble group.- J.London Math.Soc., 1937, 12, №47, p.198-200.

60. Hall Ph. Complemented groups.- J.London Math.Soc., 1937, 12, №47, p.201-204.

61. Hall Ph., Hlgman G. On the p-length of p-soluble groups and reduction theorems for Burnside's problem// Proc.London Math.Soc. 1956.Vol.6., №21.P.1-42.

62. Hlgman G. Complementation of abelian normal subgroups.- Publ.Math.Debrecen, 1956, №3-4, p.455-458 .

63. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin - New-Jork: Springer-Verlag, 1967.- 793s.

64. Ito N. On the factorisations of the linear fractional group LF(2,pn). Acta scient.math.,15,79-84,1953.