Бесконечные дважды транзитивные группы подстановок и группы с инволюциями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

СУЧКОВ Николай Михайлович

БЕСКОНЕЧНЫЕ ДВАЖДЫ ТРАНЗИТИВНЫЕ ГРУППЫ

ПОДСТАНОВОК И ГРУППЫ С ИНВОЛЮЦИЯМИ

( 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Красноярск, 2003

Работа выполнена в Красноярском государственном университете

Научный консультант:

доктор физ.-мат. наук, профессор Созутов А.И.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Кондратьев A.C. член-корреспондент РАН, доктор физ.-мат. наук, профессор Мазуров В.Д. доктор физ.-мат. наук, профессор Шунков В.П.

Ведущая организация:

Челябинский государственный университет

Защита состоится 14 ноября 2003 г. в Ш часов на заседании диссертационного совета Д.212.099.02 при Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан " Э " октября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

Голованов М.И.

2оо?- А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Особая роль инволюции в теории групп известна давно. Две инволюции всегда порождают группу диэдра. В работах Р. Брауэра (50-е годы прошлого века) была установлена глубокая взаимосвязь между строением конечной группы и централизаторами её инволюций ([4][стр. 10]). В 1962 г. Д. Томпсон и У. Фейт [23] доказали, что любая конечная неразрешимая группа содержит инволюцию. Эти результаты индуцировали многочисленные работы по классификации конечных простых групп в терминах строения централизаторов инволюций.

В группах Новикова-Адяна [11, 1] любая конечная подгруппа является циклической, а А.Ю. Ольшанским [12, 13] построены бесконечные простые периодические группы G, в которых все собственные подгруппы циклические. При этом 7r(G) может содержать любое простое число, кроме 2. Поэтому теорема Фейта-Томпсона и многие другие результаты теории (локально) конечных групп не оставляют следа в классе периодических групп. С другой стороны, в 1972 г. В.П. Шунков [18] доказал почти разрешимость периодической группы с конечным централизатором инволюции. Появилась надежда, что некоторые теоремы о конечных группах с инволюциями могут быть перенесены на периодические группы (см., например, вопросы 4.75, 10.76, 10.77, 11.11, 11.13. 12.100, 15.54, 15.82, 15.87, 15.100, 15.101 из КоуровскоЙ тетради [10]).

Первое описание периодической группы G с заданными бесконечными централизаторами инволюций получено В.Д. Мазуровым |9], а также независимо А.И. Созутовым и диссертантом [41]. Предполагалось, что централизатор каждой инволюции в группе G является элементарной абелевой подгруппой. Более того, результат оставался справедливым и для любой группы, содержащей конечную инволюцию (инволюция i группы G называется конечной, если \ii9\ < оо для каждого д € G). Последующие результаты в этом направлении определялись достижениями в изучении групп Цассенхауза (Z-групп), т.е. дважды транзитивных групп подстановок с тривиальным стабилизатором каждых трёх точек.

Д. Горенстейн ([4][стр. 157]) отмечает, что "теория дважды транзитивных групп перестановок представляет собой одну из наиболее глубоких и красивых глав теории конечных простых групп". В свою очередь, ^-группы составляют важнейших подкласс класса дважды транзитивных групп. Конечные Z-группы полностью описаны X. Цассенхаузом, У. Фейтом, М. Судзуки и Н. Ито ([4], стр. 378), что послужило, например, основой при изучении групп с абелевыми и ди-эдральными силовскими 2-подгруппами, CN-групп (групп с нильпотентными централизаторами неединичных элементов).

В теории периодических групп с инволюциями классификация Z-групп с локально конечным стабилизатором точки имела бы не меньшее значение. Но лишь

в последние годы здесь произошёл определённый сдвиг, благодаря работам Т. Пе-терфалви [29], В.Д. Мазурова [9], А.И. Созутова и диссертанта [41]-[48]. Если в ^-группе стабилизатор уже двух точек тривиален, то она называется точно дважды транзитивной группой. Класс точно дважды транзитивных групп тесно связан с проективными плоскостями и почти-полями ([16], глава 20). Конечные точно дважды транзитивные группы изучены К. Жорданом [28] и X. Цассенхау-зом [36]. Результатов же по бесконечным точно дважды транзитивных группам совсем немного. В.Д. Мазуров сформулировал два вопроса о таких группах в Коуровской тетради (11.52, 12.48) и доказал существование регулярного абелева нормального делителя в точно дважды транзитивной группе, если её стабилизатор точки является .РС-группой (группой с конечными классами сопряжённых элементов [5]) [8]. В первом параграфе второй главы дано описание точно дважды транзитивных групп, у которых стабилизатор точки — 2-группа.

В работе В.Д. Мазурова [8] доказано, что если (7 — трижды транзитивная группа, в которой стабилизатор двух точек коммутативен и не содержит инволюций, то С? ~ 51/2 (Р), где Р — поле характеристики 2. Т. Петерфалви изучал дважды транзитивные группы со стабилизатором точки вида В = VАЯ, где 17, Н — абелевы подгруппы. Во втором параграфе второй главы и в четвёртом параграфе третьей главы доказаны две теоремы о ^-группах. Направляющим вектором в этих доказательствах служила знаменитая работа М. Судзуки [33], в которой установлено, что конечная ¿^-группа с фробениусовым стабилизатором точки В = 5ЛЯ, где ядро 5 неабелева 2-подгруппа, Я — циклическая подгруппа, изоморфна группе 5г(22п+1). При решении этой задачи Судзуки .требовалось в первую очередь знать строение 5, а несложно доказывалась лишь транзитивность действия Я на множестве всех инволюций из 5. Но этого оказалось достаточно Г. Хигману [26], чтобы описать все такие конечные 2-группы 5. Следуя Хиг-ману, произвольную неабелеву 2-группу 5 назовём 2-группой Судзуки (относительно Я), если 5 содержит более одной инволюции и допускает периодическую локально циклическую группу регулярных автоморфизмов Я, которая транзи-тивно переставляет её инволюции. Как и в конечном случае, описание 2-групп Судзуки необходимо при изучении бесконечных £-групп. Будет ли 2-группа Судзуки локально конечной? Диссертанту это пока неизвестно ([10], вопрос 15.87). В параграфах 3.2, 3.3 начато изучение локально конечных 2-групп Судзуки.

В теории конечных групп понятие сильно вложенной подгруппы является фундаментальным ([4], §4.2). Напомним, что собственная подгруппа В называется сильно вложенной в группе в, если В содержит инволюцию и для любого элемента д € (7 \ Я пересечение В П В9 не содержит инволюций. Основополагающий результат о конечных группах с сильно вложенной подгруппой принадлежит М. Судзуки ([4], теорема 4.22). Заключительная классификация таких групп дана Г. Бендером [22]. Эта классификация тесно связана с теорией дважды транзитив-

ных групп подстановок, в частности, с ^-группами.

В теории периодических и смешанных групп с инволюциями даже фрагменты подобной классификации служили бы мощным инструментом исследования. Один из основных результатов диссертации получен в параграфе 2 четвёртой главы. Доказан периодический аналог известной теоремы М. Судзуки о строении конечной группы с абелевыми централизаторами инволюций. Основной анализ был связан с сильной вложенностью.

Потребность в изучении бесконечных групп с сильно вложенной подгруппой проявилась в ряде работ В.П. Шункова [18]-[20], а первые исследования периодических групп с сильно вложенной подгруппой были выполнены В.П. Шунковым и А.Н. Измайловым [6, 7]. при некоторых дополнительных условиях конечности. Группы 1/2(<5) и 5л((5), где О — локально конечное поле характеристики 2, содержат сильно вложенную подгруппу Фробениуса, совпадающую с нормализатором силовской 2-подгруппы. Верно ли обратное утверждение для периодических групп? По сути дела, это вопрос 10.76 В.П. Шункова из Коуровской тетради. Сформулируем его точно. Пусть (7 — периодическая группа, обладающая бесконечной силовской 2-подгруппой 5, которая либо (а) элементарная абелева, либо (б) 2-группа Судзуки, причём нормализатор В = Л^оС«?) сильно вложен в (? и является группой Фробениуса с локально циклическим дополнением. Должна ли группа О быть локально конечной? Необходимые пояснения к своему вопросу дал В.П. Шунков. Разумеется предполагалось, что 5 — ядро группы Фробениуса В, а "2-группа Судзуки" это силовская 2-подгруппа простой локально конечной группы Как отмечалось, термин "2-группы Судзуки" мы употребляем в

более широком смысле.

Вопрос 10.76 (а) положительно решил А.И. Созухов [14]. Ряд идей, которыми он поделился с диссертантом ещё до публикации, были использованы в дальнейших исследованиях. В частности, нами совместно получен положительный ответ на вопрос 10. 76 (б). Более общая ситуация, чем в вопросе 10.76 разобрана в первом параграфе главы 4. Кроме групп с сильно вложенной подгруппой, там также изучаются группы с сильно изолированной подгруппой. Такая подгруппа содержит централизатор каждого своего неединичного элемента. Конечные группы с собственной сильно изолированной подгруппой чётного порядка изучены М. Судзуки [32]. Близкие результаты получил В.М. Бусаркин [2, 3].

При изучении факторизуемых групп (? = АВ, где А, В — некоторые подгруппы, даются ответы на естественный вопрос, что можно сказать о группе в при наложении тех или иных условий на подгруппы А и В1 Например, если А, В — абелевы подгруппы, то по теореме Н. Ито [27] группа С? разрешима ступени < 2. В работах [15, 17, 21] при некоторых ограничениях на группу С? была доказана её периодичность при условии, что подгруппы А и В периодические. В.П. Шунков предложил мне выяснить, верно ли это в общем случае? Подстановку д множес-

тва целых чисел Z назовем ограниченной, если

ш(д) = тах\а — а9 \ < оо.

а 6Z

В главе 1 вводятся и изучаются группы ограниченных подстановок целых чисел. В частности, дан отрицательный ответ и на этот вопрос.

В Коуровской тетради С.А. Сыскиным поставлена следующая задача 12.86: для каждой известной простой конечной группы С? найти такое максимальное число п, что прямое произведение п экземпляров группы в порождается двумя элементами. Ещё в 1936 г. Ф. Холл [24] доказал, что п = 19 для группы С ~ Аь ~ Ьг (4) — 1-2(5). В третьем параграфе главы 4 задача Сыскина была решена для всех простых групп Ь2(2т) и 22*+1).

Цель работы. Исследовать свойства групп ограниченных подстановок. Пе-

ренести на бесконечные группы некоторые фрагменты теории конечных групп Цассенхауза и групп с сильно вложенной подгруппой. Начать изучение локально конечных 2-групп Судзуки. Выяснить строение периодических групп с абелевы-ми централизаторами инволюций.

Основные результаты диссертации.

1) Построен пример смешанной группы (? = А • В, где А, В — локально конечные подгруппы.

2) Получено полное описание точно дважды транзитивных групп подстановок, в которых стабилизатор точки является 2-группой.

3) Доказана справедливость гипотезы Шункова о локально конечности периодической группы, содержащей сильно вложенную подгруппу Фробениуса, ядро которой — 2-группа Судзуки (вопрос 10.76(6) из Коуровской тетради [10]).

4) На периодические группы перенесена теорема Судзуки о строении конечных групп с абелевыми централизаторами инволюций.

5) Для простых групп Х-г(2т), 8г(22к+1) решен вопрос 12.86 [10] Сыскина о нахождении для каждой простой конечной группы С такого максимального натурального числа п = п(С), что прямое произведение п экземпляров группы (? порождается двумя элементами.

Общая методика исследований. Применяются методы теории групп.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер, её результаты и методы могут применяться в дальнейших исследованиях бесконечных групп с инволюциями.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных алгебраических конференциях (Кишинев, 1985; Львов, 1987), на Всесоюзных симпозиумах по теории групп (Краснодар, 1976; Гомель, 1986), на международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 2000; Красноярск 2002), на международных конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 1998 - 2002). Они неоднократно обсуждались на заседаниях семинаров "Алгебра и логика", "Теория групп" (ИМ СО РАН и НГУ), на семинаре по алгебре в МГУ, на Красноярском городском алгебраическом семинаре.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [37]-[53].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы (78 наименований) и изложена на 111 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. Пусть F — группа всех ограниченных подстановок множества Z, a G — её подгруппа, порождённая всеми элементами конечного порядка. В теоремах 1.1, 1.2 доказано, что G = AB, где А, В — локально конечные подгруппы и в группу G вложима любая счётная свободная группа и 2-группа Алёшина. В теореме 1.3 установлено, что F = GX(d}, где d — сдвиг, ad = а +1 для любого а € Z, а по теореме 1.4 если Т — подгруппа из G с тривиальным локально конечным радикалом, то Т ~ L/N, где L — финитно аппроксимируемая подгруппа группы G, а N — локально конечный радикал L. Наконец, если р-простое число, X — произвольная бесконечная конечно порождённая группа, которая аппроксимируется конечными р-группами, Q — локально конечный радикал X, то согласно теореме 1.5 фактор-группа X/Q содержит собственную подгруппу конечного индекса.

Глава 2. В первом параграфе доказана

Теорема 2.1. Пусть G — точно дважды транзитивная группа и её стабилизатор точки является 2-группой. Тогда G конечна и изоморфна группе Фробениуса порядка З2 • 23 или р ■ 2п, где р = 2п + 1 — простое число Ферма.

Пусть G — Z-группа, с локально конечным стабилизатором точки В — Ga. Предположим, что стабилизатор двух точек Н = Gaß Ф 1- Так как для локально конечных групп верна теорема Фробениуса, то В = UXH — группа Фробениуса, где ядро U нильпотентно (Томпсон [35], Хигман [25]). Если 2 6 7г(С/), a v —

инволюция из Л^<з(Я), то следуя Судзуки [33] можно доказать, что существует такая единственная инволюция Ь 6 {/, что

ьЬь = г»-1гш,

где и 6 и. Это равенство называется структурным тождеством Судзуки и играет исключительно важную роль при изучении 2-групп. При наших предположениях справедлива

Теорема 2.2. Если группа С? содержит конечную инволюцию, и € 2(11), то С? ~ (О) над подходящим локально конечным полем (} характеристики 2.

Заметим, что включение и € 2(11) выполняется автоматически, если и — абелева группа, или С? содержит подгруппу, изоморфную 5з. В последнем случае

и = г е 2(и).

Глава 3. Пусть С? — группа, Л — конечная подгруппа из АгИ; (7,7г(С) П7г(Л) = 0 и каждый элемент из (3 содержится в конечной Л-допустимой подгруппе. В теореме 3.1 доказан некоторый аналог теоремы Машке, т.е. найдено необходимое и достаточное условие, при котором каждая Л-допустимая подгруппа из <3 имеет в ней Л-допустимое дополнение. Такие группы в названы вполне Л-факторизуемыми. Изучить их диссертанту предложил Ю.М. Горчаков. Оказалось, что группа тогда и только тогда является вполне Л-факторизуемой, когда (7 = ТХЯ, где Т, Я — абелевы вполне Л-факторизуемые подгруппы и Т разлагается в прямое произведение инвариантных в <7 минимальных Л-допустимых подгрупп.

В последующих двух теоремах изучаются локально конечные 2-группы Судзуки.

Теорема 3.2. Пусть и — локально конечная 2-группа Судзуки относительно группы автоморфизмов Н. Если А — максимальная абелева Н-допустимая нормальная в и подгруппа, то период А не превосходит 4, а фактор-группа и/А является элементарной абелевой.

Пусть Яо — группа периода 4 с центром 2 = {Ь|£> 6 50,Ь2 = 1} и для любого элемента Ь € 5о \ 2 справедливо равенство Ь2 — {х\х € 5о,ж2 = £2}. Заметим, что в качестве 5о можно взять силовскую 2-подгруппу простой группы Судзуки Бг(0) над локально конечным полем ф характеристики 2.

Теорема 3.3. Если I/ — 2-группа Судзуки относительно группы автоморфизмов Н и и изоморфна группе 5о, то Н и и представимы, соответственно, в виде

объединения возрастающих цепочек конечных подгрупп

Н1<Н2< ... < #„ < ..., иг<и2<... <ип<...

таких, что каждая подгруппа 11п является 2'-группой Судзуки относительно Нп.

' В последней теореме этой главы дана характеризация простой группы Зг(<2)

над локально конечным полем <2 характеристики 2.

г Теорема 3.4. Пусть 2 — группа С? содержит конечную инволюцию, а ее

стабилизатор точки С7а — В — 1/ХН — локально конечная группа Фробениуса с ядром II ~ 5о- Тогда С ~ вг(С}) над подходящим локально конечным полем <9 характеристики 2.

Глава 4. В первом параграфе этой главы доказаны три теоремы. Наиболее сильной является

Теорема 4.1. Пусть группа (3 с конечной инволюцией содержит сильно изолированную неинвариантную подгруппу и и выполняется одно из следующих условий:

1) II — периодическая абелева подгруппа 2-ранга > 1;

2) II — периодическая нильпотентная подгруппа 2-ранга > 1 и в <? имеется подгруппа, изоморфная 5з/

3) V ~ 50.

Тогда при условии 1 или 2 С ~ а при условии 3 С? ~ 5гг(<5), где С} —

подходящее локально конечное поле характеристики 2.

Если подгруппа {/ бесконечна и имеет 2-ранг 1, например, и — квазициклическая подгруппа, то пока даже в этом случае неизвестно, будет ли группа <3 локально конечной (вопрос В.Д. Мазурова 15.54 [10]). Заметим, что В.Д. Мазуров [9] независимо разобрал случай, когда (7 — абелева 2-группа ранга > 1.

М. Судзуки [30] доказал, что неразрешимая конечная группа с абелевыми централизаторами неединичных элементов изоморфна группе 2"), п > 1. Из теоремы 4.1 легко выводится

Теорема 4.2. Пусть С —■ периодическая группа с абелевыми централизаторами неединичных элементов. Если С содержит четверную подгруппу, то либо

С с (г) < С? для некоторой инволюции г £ (7, либо б ~ 1/2 (<Э) над подходящим локально конечным полем ф характеристики 2.

Для контрастности, в группах Новикова-Адяна [11,1] и Ольшанского [12, 13] централизаторы неединичных элементов даже циклические. Но в них нет инволюций. Следующая теорема также легко выводится из теоремы 4.1.

Теорема 4.3. Пусть группа С? с конечной инволюцией содержит сильно вложенную подгруппу Фробениуса В = и\Н, для ядра V которой выполняется одно из следующих условий:

1) 17 — абелева 2-группа;

2) и — локально конечная 2-группа и в (7 имеется подгруппа, изоморфная 5з;

3) и ~ 50-

Тогда при условии 1 или 2 (? ~ Ь2{0), а при условии 3 б _ Бг(С2), где ф — подходящее локально конечное поле характеристики 2.

Из теорем 4.1, 3.2 вытекает

Следствие 4.1. Пусть периодическая группа (7 содержит сильно изолированную подгруппу и. Тогда II нормальна в (7, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) и — несчётная элементарная абелева 2-группа;

2) и — абелева группа, содержащая четверную подгруппу и элемент порядка >2;

3) и — локально конечная 2-группа, содержащая четверную подгруппу и элемент порядка 16.

При условии 1 данное следствие установлено В.Д. Мазуровым [9], А.И. Созу-товым и диссертантом [41].

При условии 3 теорема 4.3 решает вопрос 10.76 с некоторым "запасом". Во втором параграфе доказан периодический аналог теоремы Судзуки [31], который является значительным усилением теоремы 4.2.

Теорема 4.4. Пусть (7 — периодическая группа, содержащая инволюцию, 5 — силовская 2-подгруппа из О и централизатор любой инволюции из 5 абелев.

Тогда либо 5 — локально циклическая группа, либо Б<0, либо (7 = Дх Ьг((Э), где Я — абелева группа без инволюций, <3 — локально конечное поле характеристики 2.

Наконец, в теоремах 4.5, 4.6 третьего параграфа главы 4 решается вопрос 12.86 С.А. Сыскина для простых групп 2Ш) и 5г(22к+1). Обозначим п = п(б) — максимальное натуральное число, для которого прямое произведение п экземпляров группы О порождается двумя элементами.

Теорема 4.5. Пусть

<р(т) = 1 (2т - 2) (4т + 2т - 1)

для каждого натурального т. Если т -— простое число, то п{Ь2(2т)) = <р(т). При составном т. имеет место рекуррентная формула

п{Ь2(2т)) = <р(т) -- V Ы{Ь2{2<)).

771

1 < Ь < т Ь\тп

Теорема 4.6. Для натурального т полагаем

ф(т) = 1 (2т - 2) (16т + 8т + 2 • 4т + 4 • 2го - 1).

Если тп — простое нечётное число, то п(5г(2т)) = ф(т). При нечётном составном т справедлива рекуррентная формула

п(Бг(2т)) = ^(т) - — V 2')).

1 < * < п

Теорема 3.4 и её следствия (теорема 4.1 (при условии 3) и теорема 4.3 (при условии 3) получены в нераздельном и равном соавторстве с А.И. Созутовым. Теоремы 4.5, 4.6 доказаны совместно с Д.М. Приходько, студентом.

Автор выражает особую благодарность своему научному консультанту А.И. Со-зутову за плодотворное сотрудничество и разнообразную помощь. Я благодарен В.П. Шункову и В.Д. Мазурову за полезные обсуждения, всем сотрудникам кафедры алгебры и математической логики Красноярского госуниверситета за поддержку, а также Российскому фонду фундаментальных исследований и Красноярскому краевому фонду науки за финансовую поддержку.

Литература

[1] Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах.- М.: Наука, 1975.

[2] Бусаркин В.М. Строение изолированных подгрупп в конечных группах// Алгебра и логика - 1965 - Т. 4, N 2 - С. 33 - 50.

[3] Бусаркин В.М. О 2-изолированных подгруппах// Матем. заметки - 1968.Т. 3, N 5.- С. 497 - 501.

[4] Горенстейн Д. Конечные простые группы - М.: Мир, 1985.

[5] Горчаков Ю.М. Группы с конечными классами сопряженных элементов.-М.: Наука, 1978.

[6] Измайлов А.Н., Шунков В.П. Два признака непростоты группы с бесконечно изолированной подгруппой// Алгебра и логика.- 1982.- Т. 21, N 6 - С. 647669.

[7] Измрйлов А.Н. Характеризация групп SL2(K) и Sz(K) над локально конечным полем характеристики 2 // Алгебра и логика.- 1985.- Т. 24, N 2.- С. 127-172.

[8] Мазуров В.Д. О точно дважды транзитивных группах// В кн. Вопросы алгебры и логики (Труды ин-та матем. СО РАН, 30).- Новосибирск: Ин-т матем. СО РАН, 1966, С. 144-118.

[9] Мазуров В.Д. О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций// Алгебра и логика,- Т. 39, № 1- 2000 - С. 74-86.

[10] Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь.- Изд-е 15-е.- Новосибирск: ИМ СО РАН - 1995.

[11] Новиков П.С., Адян С.И. О бесконечных периодических группах.- I, И, III// Изв. АН СССР. Сер.матем.- 1968.-- Т. 32, №№ 1,2,3.- С. 212-244, 251-524, 709731.

[12] Ольшанский А.Ю. Группы ограниченного периода с подгруппами простых порядков// Алгебра и логика - 1982 - Т. 21, "N 5 - С. 553-618.

[13] Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах.- М.: Наука, 1989.

[14] Созутов А.И. О некоторых бесконечных группах с сильно вложенной подгруппой// Алгебра и логика - 2000.- Т. 39, №5 - С. 602-617.

[15] Сысак Я.П. Произведения бесконечных групп// Препринт №82.53.- Киев: Институт математики АН УССР. - С. 3-19.

[16] Холл М. Теория групп - М.: ИЛ, 1962.

[17] Черников Н.С. Локально ступенчатые группы, факторизуемые подгруппами конечного ранга// Алгебра и логика - Т. 21, №1- 1982 - С. 108-120.

[18] Шунков В.П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией// Алгебра и логика - 1972 - Т. И, N 4 - С. 470-494.

[19] Шунков В.П. О проблеме минимальности для локально конечных групп// Алгебра и логика - 1972 - Т. 9, N 2 - С. 220-248.

[20] Шунков В.П. Группы с условиями конечности// Препринт №4.- Красноярск: ИВМ СО РАН.- 2002.- С. 1-13.

[21] Amberg В. Artinian and Noetherian factorized groups// Rend. Sem. Math.-Univ. Padova.- V. 55.- 1976.- P. 105-122.

[22] Bender H. Transitive Gruppen gcrader Ordnung, in denen jedes Involution genau einen Punkt fastlaset. — J. Algebra, 1971, vol. 17 N4, p. 527-554.

[23] Feit W., Thompson J.G. Solvability of groups of odd order// Pacif. J. Math-1963.- V. 13.- P. 771-1029.

[24] Hall P. The Eulerian functions of a group// Quart. J. Math. - 1936 - V. 7 - P. 134-151.

[25] Higman G. Groups and ring which have automorphisms without non-trivial fixed elements// J. London Math. Soc - 1957 - V. 32 - P. 321-334.

[26] Higman G. Suzuki 2-Groups// 111. J. Math.- 1963.- V. 7, №1,- p. 79-96.

[27] Ito N. Uber das Produkt von zwei abelachen Gruppen// Math. Z - 1955.- V. 62, №4.-S. 400-401.

[28] Jordan C. Lionv. Journ - ser. II, 178.- 1872.

[29] Peterfalvi T. A characterization of some 2-transitive groups// J. Algebra. 1994. V. 164, №3. P. 849-858.

[30] Suzuki M. The nonexistence of certain type of simple groups of odd order// Proc. Amer. Math. Soc - 1957.- V. 8, №4.- P. 686-695.

[31] Suzuki M. On characterizations of linear groups// Trans. Amer. Math. Soc.-1959 - V. 92, №2.- P. 191-219.

[32] Suzuki M. Finite groups with nilpotent centralizers// Trans. Amer. Math. Soc-1961.- V. 99.- P. 425-470.

[33] Suzuki M. On a class of doubly transitive groups. I, II// Ann. Math., 1962, 75, N 1, 105 - 145; 1964, 79, N 3, 514 - 589.

[34] Suzuki M. Two characteristic properties of (ZT)-groups// Osaka Math. J-1963.- V. 15,143 - 150.

[35] Thompson J.G. Finite groups with fixed-point-free automorphisms of prime order// Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A.- 1959.- V. 45 - P. 578-581.

[36] Zassenhaus H. Uber endliche Fastkorper// Hamb. Abh - 1936 - B. 11- S. 187220.

Работы автора по диссертации

[37] Сучков Н.М. Автоморфно факторизуемые группы// Алгебра и логика,-1979.- Т. 18, №4.- С. 481-487.

[38] Сучков Н.М. Пример смешанной группы, факторизуемой двумя периодическими подгруппами// Алгебра и логика - 1984 - Т. 23, №5.- С. 573-577.

[39] Сучков Н.М. О подгруппах произведения локально конечных групп// Алгебра и логика - 1985.- Т. 24, №4 - С. 408-413.

[40] Сучков Н.М. О группе ограниченных перестановок// В сб. науч. тр. "Конструкции в алгебре и логике",- Тверь,- 1990.- С. 84-89.

[41] Созутов А.И., Сучков Н.М. О некоторых дважды транзитивных группах// Препринт № 17 ИВМ СО РАН.- Красноярск - 1998.- С. 1-25.

[42] Созутов А.И., Сучков Н.М. О бесконечных Z-группах с заданными стабилизаторами точек// Краснояр. гос. архит.-строит. акад.- Красноярск,- 1999-Деп. в ВИНИТИ 09.03.99, №700 -В99.- С 1-24.

[43] Созутов А.И., Сучков Н.М. О бесконечных группах с заданной сильно изолированной 2-подгруппой// Мат. заметки - Т. 68.- выпуск 2 - август 2000.-С. 272 - 285.

[44] Созутов А.И., Сучков Н.М. Об одной характеризации групп Судзуки// Симметрия и дифференциальные уравнения. Труды Международной конференции. - Красноярск - 2000 - С. 200-203.

[45] Сучков Н.М., Приходько Д.М. О порождающих прямых степеней простой конечной группы// Симметрия и дифференциальные уравнения. Труды Международной конференции. - Красноярск - 2000 - С. 209-211.

[46] Сучков Н.М. Периодические группы с абелевыми централизаторами инволюций// Тез. докл. IV Международ, алгебраич. конф., посвященной 60-летию профессора Юрия Ивановича Мерзлякова (7-11 августа). Новосибирск,- Изд-во института математики,- 2000.- С. 169.

[47] Созутов А.И., Сучков Н.М. О некоторых бесконечных расщепимых (B,N)-парах ранга 1// Доклады Академии Наук - 2001- Т. 376, № 1- С. 21-23.

[48] Сучков Н.М. О конечности некоторых точно дважды транзитивных групп// Алгебра и логика - 2001- Т. 40, №3 - С. 344-351.

[49] Сучков Н.М., Приходько Д.М. О числе пар порождающих групп L%{2n) и Sz(22п+1)// Сибир. матем. ж.- 2001.- Т. 42, №5.- С. 1162-1167.

[50] Сучков Н.М. О периодических группах с абелевыми централизаторами инволюций// Матем. сб.- Т. 193, №2,- 2002 - С. 153-160.

[51] Сучков Н.М. Об одном классе локально конечных 2-групп// Международ, конф. "Алгебра и её приложения": Тез. докл.- Красноярск.- 2002.- С. 116.

[52] Сучков Н.М. О локально конечных 2-группах Судзуки// В сб. Труды XXI межрегион, науч.-техн. конф. "Математика".- Красноярск: КрасГАСА-2003.- С. 58-70. .

[53] Сучков Н.М. О группах Цассенхауза// В сб. Труды XXI межрегион, науч.-техн. конф. "Математика".- Красноярск: КрасГАСА,- 2003.- С. 71-83.

Подписано в печать Формат60x84/16.

Усл. печ. Уч.-изд. л/, 0 Бумага тип. Печать офсетная.

Тираж /£ О экз. Заказной- . Цена договорная. » -

ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР Красноярского государственного университета.

660041 Красноярск, пр. Свободный, 79.

goo?-/)

i £572.

It 15 532

Введение.

1. Группы ограниченных подстановок

1.1. Факторизация группы G

1.2. О подгруппах группы G.

1.3. Связь между F и G['.

2. Группы Цассенхауза

2.1. Конечность некоторых точно дважды транзитивных групп

2.2. Характеризации группы L2(Q) над локально конечным полем Q характеристики 2.

3. Локально конечные группы Судзуки

3.1. Вполне А-факторизуемые группы.

3.2. Локально конечные 2-группы Судзуки

3.3. Строение группы Sq.

3.4. Характеризация локально конечной группы Судзуки Sz(Q).

Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литературы. Главы делятся на параграфы. Нумерация формул, определений, замечаний, лемм, предложений, теорем сквозная в пределах каждой главы и имеет вид п.т, где п — номер текущей главы. Точные формулировки всех теорем приведены в начале глав. Все обозначения либо стандартны [14, 8], либо оговариваются.

1. Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах - М.: Наука, 1975.

2. Адян С.И. Периодические произведения групп// Тр. мат. ин-та АН СССР им. В.А.Стеклова.- Т. 142.- М.: Наука, 1976.- С. 3-21.

3. Алешин С.В. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах// Мат. заметки.- 1972- Т. 11, №3.- С. 319-328.

4. Беляев В.В. Группы с почти регулярной инволюцией// Алгебра и логика 1987.- Т. 26, №5.- С. 531-535.

5. Бусаркин В.М. Строение изолированных подгрупп в конечных группах// Алгебра и логика 1965 - Т. 4, N 2 - С. 33 - 50.

6. Бусаркин В.М. О 2-изолированных подгруппах// Матем. заметки 1968 - Т. 3, N 5 - С. 497 - 501.

7. Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы М.: Наука, 1968.

8. Горенстейн Д. Конечные простые группы.- М.: Мир, 1985.

9. Горчаков Ю.М. Группы с конечными классами сопряженных элементов.- М.: Наука, 1978.

10. Ольшанский А.Ю. Группы ограниченного периода с подгруппами простых порядков// Алгебра и логика 1982- Т. 21, N 5-С. 553-618.

11. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах.- М.: Наука, 1989.

12. Ольшанский А.Ю., Шмелькин A.JI. Бесконечные группы// Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. Фундам. направл.- 1989.- Т. 37.- С. 5-113.

13. Созутов А.И. О некоторых бесконечных группах с сильно вложенной подгруппой// Алгебра и логика.- 2000.- Т. 39, №5.- С. 602-617.

14. Созутов А.И. Два признака непростоты группы с сильно вложенной подгруппой и конечной инволюцией// Мат. заметки.-Т. 69, выпуск 3 март 2001.- С. 443 453.

15. Созутов А.И. О группах с конечной инволюцией и локально конечной 2-изолированной подгруппой четного периода// Мат. заметки Т. 69, выпуск 6 июнь 2001 - С. 912 - 918.

16. Старостин А.И. О группах Фробениуса// Укр. матем. ж.- 1971.Т. 23, N 5.- С. 629-639.

17. Сучков Н.М. Автоморфно факторизуемые группы// Алгебра и логика.- 1979.- Т. 18, №4.- С. 481-487.

18. Сучков Н.М. Пример смешанной группы, факторизуемой двумя периодическими подгруппами// Алгебра и логика.- 1984.- Т. 23, №5.- С. 573-577.

19. Сучков Н.М. О подгруппах произведения локально конечных групп// Алгебра и логика 1985.- Т. 24, №4 - С. 408-413.

20. Сучков Н.М. О группе ограниченных перестановок// В сб. науч. тр. "Конструкции в алгебре и логике".-Тверь.- 1990.-С. 84-89.

21. Созутов А.И., Сучков Н.М. О некоторых дважды транзитивных группах// Препринт № 17 ИВМ СО РАН Красноярск - 1998-С. 1-25.

22. Созутов А.И., Сучков Н.М. О бесконечных Z-группах с заданными стабилизаторами точек// Краснояр. гос. архит.-строит. акад.- Красноярск 1999 - Деп. в ВИНИТИ 09.03.99, №700 -В99 - С 1-24.

23. Созутов А.И., Сучков Н.М. О бесконечных группах с заданной сильно изолированной 2-подгруппой// Мат. заметки Т. 68.-выпуск 2 - август 2000 - С. 272 - 285.

24. Созутов А.И., Сучков Н.М. Об одной характеризации групп Судзуки// Симметрия и дифференциальные уравнения. Труды Международной конференции. Красноярск.- 2000.- С. 200-203.

25. Сучков Н.М., Приходько Д.М. О порождающих прямых степеней простой конечной группы// Симметрия и дифференциальные уравнения. Труды Международной конференции. -Красноярск 2000 - С. 209-211.

26. Сучков Н.М. Периодические группы с абелевыми централизаторами инволюций// Тез. докл. IV Международ, алгебра-ич. конф., посвященной 60-летию профессора Юрия Ивановича Мерзлякова (7 11 августа). Новосибирск.- Изд-во института математики - 2000 - С. 169.

27. Созутов А.И., Сучков Н.М. О некоторых бесконечных расщепи-мых (B,N)~парах ранга 1// Доклады Академии Наук.- 2001Т. 376, № 1.- С. 21-23.

28. Сучков Н.М. О конечности некоторых точно дважды транзитивных групп// Алгебра и логика.- 2001 Т. 40, №3 - С. 344-351.

29. Сучков Н.М., Приходько Д.М. О числе пар порождающих групп L2{2п) и Sz{22п+1)// Сибир. матем. ж.- 2001 Т. 42, №5.- С. 1162-1167.

30. Сучков Н.М. О периодических группах с абелевыми централизаторами инволюций// Матем. сб.- Т. 193, №2 2002.- С. 153160.

31. Сучков Н.М. Об одном классе локально конечных 2-групп// Международ, конф. "Алгебра и её приложения": Тез. докл.-Красноярск- 2002 С. 116.

32. Сучков Н.М. О группах Цассенхауза// В сб. "Труды XXI межрегион, науч.-техн. конф.: Математика".- Красноярск: КрасГАСА.- 2003.- С. 45-55.

33. Сучков Н.М. О локально конечных 2-группах Судзуки// В сб. "Труды XXI межрегион, науч.-техн. конф.: Математика".-Красноярск: КрасГАСА.- 2003 С. 56-67.

34. Сысак Я.П. Произведения бесконечных групп// Препринт №82.53- Киев: Институт математики АН УССР. С. 3-19.

35. Холл М. Теория групп М.: ИЛ, 1962.

36. Черникова Н.В. Группы с дополняемыми подгруппами// Матем. сб.- Т. 39, №3.- 1956.- С. 273-292.

37. Черников Н.С. Локально ступенчатые группы, факторизуемые подгруппами конечного ранга// Алгебра и логика Т. 21, № 11982.- С. 108-120.

38. Черников С.Н. Условия конечности в общей теории групп// Успехи мат. наук 1959 - Т. 14, N 5 - С. 45-96.

39. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп М.: Наука, 1980.

40. Шунков В.П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией// Алгебра и логика 1972 - Т. 11, N 4 - С. 470-494.

41. Шунков В.П. О проблеме минимальности для локально конечных групп// Алгебра и логика 1972 - Т. 9, N 2 - С. 220-248.

42. Шунков В.П. Мр-группы М.: Наука, 1990.

43. Шунков В.П. О вложении примарных элементов в группе.- ВО Наука Новосибирск, 1992.

44. Шунков В.П. Группы с условиями конечности// Препринт Ко 4- Красноярск: ИВМ СО РАН 2002 - С. 1-13.

45. Amberg В. Artinian and Noetherian factorized groups// Rend. Sem. Math.- Univ. Padova V. 55 - 1976.- P. 105-122.

46. Brauer R., Suzuki M. On finite groups of even order whose 2-Sylow group is a quaternion group // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.-1959.-V. 45, N 12.- P. 1757-1759.

47. Bender H. Transitive Gruppen gerader Ordnung, in denen jedes Involution genau einen Punkt fastlaset. — J. Algebra, -1971, vol. 17 N4, p. 527-554.

48. Feit W., Thompson J.G. Solvability of groups of odd order// Pacif. J. Math.- 1963.- V. 13.- P. 771-1029.

49. Gorenstein D. On finite groups of the form ABA Canadian J. Math.- V. 14.- 1962 - P. 195-236.

50. Gorenstein D. Finite groups.- Harper&Row.- 1968.

51. Hall P. The Eulerian functions of a group// Quart. J. Math. -1936.-V. 7.- P. 134-151.

52. Higman G. Groups and ring which have automorphisms without non-trivial fixed elements// J. London Math. Soc 1957.- V. 32.-P. 321-334.

53. Higman G. Suzuki 2-Groups// 111. J. Math.- 1963.- V. 7, № 1.- P. 79-96.

54. Ito N. Uber das Produkt von zwei abelachen Gruppen// Math. Z.-1955.- V. 62, jYo4.~ S. 400-401.

55. Ito N. On a class of doubly transitive permutation groups// 111. J. Math.- 1962.- V. 6, № 2.- P. 341-352.68 6970