Бесконечные группы с сильно вложенной подгруппой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

ТАРАСОВ СЕРГЕИ АЛЕКСАНДРОВИЧ

БЕСКОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С СИЛЬНО ВЛОЖЕННОЙ ПОДГРУППОЙ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск-2006

003067082

Работа выполнена в Красноярском государственном аграрном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Сучков Н.М.

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

Защита состоится 26 января 2007 г. в 14 часов па заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан " 2^1." декабря 2006г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук,

профессор Мазуров В.Д.

доктор физико-математических наук, профессор Шунков В.П.

Ведущая организация:

Иркутский государственный педагогический университет

доцент

Голованов М.И.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Напомним, что собственная подгруппа В группы (7 называется сильно вложенной в С?, если В содержит инволюцию и для любого д е (7 \ В пересечение В П Вд не содержит инволюций. В теории конечных групп это понятие является фундаментальным и составляет один из наиболее важных инструментов теории простых групп ([5], стр. 26-27). Оно появилось в серии работ Д. Томпсона, по священных классификации минимальных простых групп. Основополагающий результат о конечных группах с сильно вложенной подгруппой принадлежит М. Судзуки ([5], теорема 4.22). Заключительная классификация таких групп дана Г. Беядером [26]. Она тесно связана с теорией дважды транзитивных групп подстановок, в частности, с группами Цассенхауза (И-группами), т.е. дважды транзитивных групп подстановок с тривиальным стабилизатором каждых трех точек.

В теории периодических и смешанных групп с инволюциями даже фрагменты подобной классификации служили бы мощным инструментом исследования. Но пока в этом направлении сделаны лишь первые шаги. Это объяснимо. Уже в классе периодических групп неверны многие результаты теории (локально) конечных групп ([1], [2], [3], [13], [14]). Не работают и методы их доказательств.

•Первые исследования периодических групп с сильно вложенной подгруппой были выполнены В.П. Шунковым и А.Н. Измайловым [6], [7] при некоторых дополнительных условиях конечности. Весьма стимулирующим оказался вопрос 10.76 В.П. Шункова из Коуровской тетради [12]. Его суть. Группы ¿г(<3) и где <2-локально конечное поле характеристики 2,

содержат сильно вложенную подгруппу Фробепиуса В, совпадающую с нормализатором силовской 2-подгруппы. Рассмотрим теперь периодическую группу б с сильно вложенной подгруппой, изоморфной В. Будет ли группа б локально конечной? Если это так, то она изоморфна одной из групп ¿г(<5), вг{С}). Положительный ответ на этот вопрос получен А.И. Созутовым и Н.М. Сучковым[15], [16].- При этом вместо периодичности группы предполагалось наличие в ней конечпой инволюции (инволюция I

группы С? называется конечной, если \пе\ < со для каждого д 6 С7).

В работе В.Д. Мазурова [11] изучены группы с конечной инволюцией, в которых централизатор каждой инволюции является абелевой 2-подгруппой. в частности, разобрана ситуация, когда в группе имеется сильно вложенная подгруппа Фробениуса, ядро которой абелева 2-подгруппа. Н. М. Сучковым [18] доказан периодический аналог теоремы М. Судзуки о строении конечной группы с абелевыми централизаторами инволюций. Основной анализ был связан с сильно вложимостью.

Д. Горенстейн ([5],стр.157)отмечает, что " теория дважды транзитивных групп подстановок представляет собой одну из наиболее глубоких и красивых глав теории конечных простых групп". В свою очередь, ^-группы составляют важнейших подкласс класса дважды транзитивных групп. Конечные ¿^-группы полностью описаны X. Дассенхаузом, У. Фейтом, М. Судзуки и Н. Ито ([5],стр.378), что послужило, например, основой при изучении групп с абелевыми и диэдральными силовскими 2-подгруппами, С/У-групп (групп с нильпотентными централизаторами неединичных элементов).

В теории периодических и смешанных групп с инволюциями классификация ¿'—групп с локально конечным стабилизатором точки имела бы не меньшее значение. Но лишь в последние годы здесь произошел определенный сдвиг, благодаря работам Т. Петерфалви [31], В. Д. Мазурова [11], А. И. Созутова и Н. М. Сучкова [15], [16], [20]. Цель диссертации

Дальнейшее изучение бесконечных групп с заданной сильно вложенной подгруппой и групп Цассенхауза.

Общая методика исследований

Применяются методы теории групп. Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер, ее результаты и методы

могут применяться в дальнейших исследованиях бесконечных групп с ип-

волюциями.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на Международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения профессора А.й. Коко-рина, проходившей в г. Иркутске, Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения П.Г. Конторовича и 70-летию Л.Н. Шеврина, проходившей в г. Екатеринбурге; Международной алгебраической конференции '"Мальцевские чтения"' (г. Новосибирск, 2005). О ни неоднократно обсуждались на семинарах при КрасГУ, КрасГАУ и КрасГАСА. Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [34] —

[38].

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы (38 наименований) и изложена на 60 страницах. Содержание диссертации.

В диссертации получены основные результаты:

1. Доказано, что группа С с сильно вложенной подгруппой В = Л х Т, где Я ■—• периодическая абелева группа , а Т — группа Фробениуса с абелевым ядром, содержащим конечную в группе С? инволюцию, изоморфна группе В. X Ь<2((Э), где <3 - локально конечное поле характеристики 2.

2. Установлено, что группа С? с конечной инволюцией и сильно вложенной подгруппой В = Я х Ф, где Д — периодическая абелева группа, Ф — группа Фробепиуса, ядро которой является силовской 2- подгруппой группы над локально конечным полем ф характеристики 2,-изоморфна группе Л х

3. Дана новая характерна алия локально конечной простой группы <!У.г(<5) как группы Цассенхауза с конечной инволюцией и Фробепиусовым

стабилизатором точки В = U X Н при некотором дополнительном

предположении о действии Н на ядре U периода 4.

Глава 1 носит вспомогательный характер. В ней приведены известные результаты, используемые в дальнейшем.

Основным результатом второй главы является

Теорема 2.2. Пусть G — группа с конечной инволюцией, В — RxT — ее сильно вложенная подгруппа, где R — абелева периодическая группа, Т — группа Фробениуса с абелевым ядром U, содержащим инволюцию. Тогда G = Rx Liiff], где Q - локально конечное поле характеристики 2.

Теорема 2.2 опубликована в [36].

Если R = {1}, а U — элементарная абелева 2-подгруппа, то это доказано Созутовым А.И. [15]. Тем самым был получен положительный ответ на первую часть вопроса 10.76 В.П. Шункова из Коуровской тетради. Случай, когда R = {1}, U — абелева 2-подгруппа, разобран В.Д. Мазуровым [11]. Для периодических групп данная теорема вытекает из описания Н.М. Сучковым периодических групп с абелевыми централизаторами инволюций [18].

В первых двух параграфах главы 3 изучен один класс групп Цас-сеяхауэа. Пусть Во = U X Н - группа Фробениуса с ядром U и дополнительным множителем Я, где подгруппа U имеет период 4, ее центр Z = {z\z 6 U, г2 = 1}, аЯ — периодическая локально циклическая группа. Так как V = U/Z — элементарная абелева 2-группа, то будем на нее смотреть как на векторное пространство над полем GF(2). Тогда Н — группа линейных преобразований пространства V. Предполагается, что каждая конечная подгруппа Т из Н действует эквивалентно на всех минимальных Т-допустимых подпространствах из V.

Теорема 3.1. Пусть Z-группа G содержит конечную инволюцию, а ее стабилизатор точки Ga ~ Bq. Тогда G ~ Sz(Q) над подходящим локально конечным полем Q характеристики 2.

Теорема 3.1 опубликована в [38] и доказана в нераздельном соавторстве с Н.М. Сучковым.

Этот результат является базисным при доказательстве в параграфе 3.3. следующего утверждения.

Теорема 3.2. Пусть группа G содержит конечную инволюцию и сильно вложенную подгруппу В ~ Во- Тогда G ~ Sz(Q) над подходящим локально конечным полем Q характеристики 2.

Теорема 3.2 опубликована в [38]. Она получена диссертантом лично.

■ Заметим, что А.И. Созутовым и Н.М. Сучковым в [16] установлен частный случай этой теоремы. Предполагалось, что Н транзитивно переставляет инволюции из V. Этим было завершено решение вопроса 10.76 из Коуровской тетради.

Для формулировки основного результата главы 4 введем понятие группы So. Это группа периода 4 с центром Z = {b\b 6 So, Ъ2 — 1} и для любого элемента t £ Sq\Z справедливо равенство tZ = {х\х £ So, х2 = i2}. В качестве So может быть взята силовская 2-подгруппа локально конечной простой группы Судзуки. Доказана

Теорема 4.1. Пусть группа G содержит конечную инволюцию и сильно вложенную подгруппу В = R х Ф, где R — периодическая абелева подгруппа, Ф — группа Фробениуса с ядром S ~ So- Тогда G = Rx Sz{Q), где Q — подходящее локально конечное поле характеристики 2.

Теорема 4.1 опубликована в [37]. Общая схема доказательства, предложенная Н.М. Сучковым, реализована диссертантом.

При R = {1} данная теорема доказана А.И. Созутовым и Н.М. Сучковым [16].

Я благодарен своему научному руководителю Н.М. Сучкову за постановку задач и внимание к работе.

References

[1] Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах.- М.: Наука,

1975.

[2] Адян С.И. Периодические произведения групп// Тр. мат. ин-та АН СССР им. В.А.Стеклова.-Т. 142.-М.: Наука, 1976.-С 3-21.

[3] Алешин C.B. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах// Мат. заметки,- 1972,- Т. 11, 3.- С. 319-328.

[4] Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы.-М.: Наука, 1968.

[5] Горенстейн Д. Конечные простые группы.- М.: Мир, 1985.

[6] Измайлов А.Н., Шунков В.П. Два признака непростоты группы с бесконечно изолированной подгруппой// Алгебра и логика.-1982- Т. 21, N 6.- С. 647-669.

[7] Измайлов А.Н. Характеризация групп SL2(K) и Sz(K) над локально конечным полем характеристики 2 // Алгебра и логика,- 1985.- Т. 24, N 2,- С. 127-172,

[8] Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп- М.: Наука, 1982.

[9] Курош А.Г. Теория групп,- М.: Наука, 1967.

[10] Мазуров В.Д. О дважды транзитивных группах подстановок// Сиб. мат. ж.- 1990,- Т. 31, 4,- С. 102-104.

[11] Мазуров В.Д. О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций// Алгебра и логика,- Т. 39, 1.- 2000,- С. 74-86.

[12] Нерешенные вопросы теории групп. Коуровскал тетрадь.- Изд-е 15-е.- Новосибирск: ИМ СО РАН,- 1995.

[13] Ольшанский А.Ю. Группы ограниченного периода с подгруппами простых порядков// Алгебра и логика.- 1982.- Т. 21, N 5.-С. 553-618.

[14] Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах.- М.: Наука, 1989.

[15] Созутов А.И. О некоторых бесконечных группах с сильно вложенной подгруппой// Алгебра и логика,- 2000,- Т. 39, 5.- С. 602-617.

[16] Созутов А.И., Сучков Н.М. О бесконечных группах с заданной сильно изолированной 2-подгруппой// Мат. заметки,- Т. 68.-выпуск 2,- август 2000,- С. 272 - 285.

[17] Старостин А. И., О группах Фробениуса// Укр. матем.журнал-1971.-Т.23, 5-С.629-639

[18] Сучков Н.М. О периодических группах с абелевыми централизаторами инволюций// Матем. сб.- T. Î93, 2.- 2002.- С. 153-160.

[19] Сучков Н.М. О локально конечных 2-гругшах Судзуки//В сб. '"Труды XXI межрегион. науч.-техн. конф.-Математика" -Красноярск:КрасГАСА.-С.56-67.

[20] Сучков Н.М., Периодические группы 2-рапга 1 с абелевыми централизаторами неединичных элементов// Матем. системы.-Красноярск:КрасГАУ.-2004.-2.-С.77-95.

[21] Холл М. Теория групп,- М.: ИЛ, 1962.

[22] Шунков В.П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией// Алгебра и логика.- 1972,- Т. 11, N 4,- С. 470-494.

[23] Шунков В.П. Мр-группы,- М.: Наука, 1990.

[24] Шунков В.П. О вложении примаряых элементов в группе - ВО Наука.-Новосибирск, 1992.

[25] Шунков В.П. Группы с условиями конечности// Препринт 4.- Красноярск: ИВМ СО РАН,- 2002,- С. 1-13.

[26] Bender H. Transitive Grappen gerader Ordnung, in denen jedes Involution genau einen Punkt fastlaset. - J. Algebra, 1971, vol. 17 N4, p. 527-554.

[27] Feit W., Thompson J.G. Solvability of groups of odd order// Pacif. J. Math.- 1963,- V. 13.- P. 771-1029.

[28] Gorenstein D. Finite groups.- Harper&Row.- 1968.

[29] Higman G. Groups and ring which have automorphisms without nontrivial fixed elements// J. London Math. Soc- 1957,- V. 32.-P. 321-334.

[30] Higman G. Suzuki 2-Groups// 111. J. Math.- 1963.- V. 7, 1.- P. 79-96.

[31] Peterfalvi T. A characterization of some 2-transitive groups// J. Algebra. 1994. V. 164, 3. P. 849 - 858.

[32] Suzuki M. On a class of doubly transitive groups. I, II// Ann. Math., 1962, 75, N 1, 105 - 145; 1964, 79, N'3, 514 - 589.

[33] Thompson J.G. Finite groups with fixed-point-free automorphisms of prime order// Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.- 1959.- V. 45,- P. 578-581.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[34] Сучков Н.М., Тарасов С.А. О группах с заданной сильно вложенной подгруппой//Тез.докл.Международи.алгебраич.конф. к 100-летию П.Г. Конторовича и 70-летию JI. Н. Шеврина (29 августа-3 сентября). Екатеринбург .-Изд-во Уральского университета.-2005.-С.75-76.

[35] Сучков Н.М., Тарасов С.А. О группах с заданной сильно вложенной подгруппой//Вестник КрасГУ.Физико-математические науки.-2005.-Вып.4.-С. 169-172.

[36] Тарасов С. А. Об одном классе групп с сильно вложенной подгруп-пой//Сибирские электронные математические известия. 2006.-Том 3.-С.346-351.

[37] Сучков Н.М., Тарасов С.А., Тухватуллина Л.Р. Об одной ха- . рактеризации прямого произведения абелевой группы и локально конечной простой группы Судзуки//Вестник КрасГАУ.Физико-математические науки.-2006.-Вып.13.-С. 169-172.

[38] Сучков Н.М., Тарасов С.А. О некоторых бесконечных группах с сильно вложенной подгруппой//Математические системы. Вып.5/Краснояр.гос.аграр.ун-т.-Красноярск, 2006.-С.86-97.

Санитарно-эпидемиологическое заключите № 24.49.04.953.П. 000381.09.03 от 25.09.2003 г. Подписано в печать 14.12.2006. Формат 60x84/16. Бумага тип. № 1. Офсетная печать. Объем 0,75 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 754

Издательство Красноярского государственного аграрного университета 660017, Красноярск; ул. Ленина, 117

Введение

1 Определения. Используемые результаты

1.1. Группы Фробени)са.

1.2. Сильная влоаимость.

1.3. Дважды транзитивные гр)плы

2 Характеризация группы R х I^P)

2.1. Случай /2=1.

2.2. Изучение частного случая.

2.3. Доказательство периодичности.

3 Характеризации группы Sz(Q)

3.1. Предварительные леммы.

3.2. Доказательство теоремы 3 1.

3.3 Редукция к Z-группам.

4 Характеризация группы R х Sz(Q)

4.1. Основные леммы

4 2 Завершение доказательства теоремы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Главы делятся на параграфы. Нумерация формул, определений, лемм, предложений, теорем сквозная в пределах каждой главы и имеет вид п.т, где п — номер текущей главы. Точные формулировки всех теорем приведены в начале глав. Все обозначения либо стандартны [5, 8], либо оговариваются

1. Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах.-М.: Наука, 1975.

2. Адян С.И. Периодические произведения групп// Тр. мат. ин-та АН СССР им. В.А.Стеклова.-Т. 142.-М.: Наука, 1976.-С 3-21.

3. Алешин С.В. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах// Мат. заметки.- 1972.- Т. 11, 3.- С. 319-328.

4. Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы.-М.: Наука, 1968.

5. Горенстейн Д. Конечные простые группы.- М.: Мир, 1985.

6. Измайлов А.Н., Шунков В.П. Два признака непростоты группы с бесконечно изолированной подгруппой// Алгебра и логика.-1982.-Т. 21, N 6.- С. 647-669.

7. Измайлов А.Н. Характеризация групп SLi(K) и Sz(K) над локально конечным полем характеристики 2 // Алгебра и логика.-1985.- Т. 24, N 2.- С. 127-172,

8. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп.- М.: Наука, 1982.

9. Курош А.Г. Теория групп.- М.: Наука, 1967.

10. Мазуров В.Д. О дважды транзитивных группах подстановок// Сиб. мат. ж.- 1990.- Т. 31, 4.- С. 102-104.

11. Мазуров В.Д. О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций// Алгебра и логика.- Т. 39, 1.- 2000.- С. 74-86.

12. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь.- Изд-е 15-е.- Новосибирск: ИМ СО РАН.- 1995.

13. Ольшанский А.Ю. Группы ограниченного периода с подгруппами простых порядков// Алгебра и логика.- 1982.- Т. 21, N 5.-С. 553618.

14. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах.- М.: Наука, 1989.

15. Созутов А.И. О некоторых бесконечных группах с сильно вложенной подгруппой// Алгебра и логика.- 2000.- Т. 39, 5.- С. 602-617.

16. Созутов А.И., Сучков Н.М. О бесконечных группах с заданной сильно изолированной 2-подгруппой// Мат. заметки.- Т. 68.-выпуск 2.- август 2000.- С. 272 285.

17. Старостин А. И., О группах Фробениуса// Укр. матем.журнал-1971.-Т.23, 5 -С.629-639

18. Сучков Н.М. О периодических группах с абелевыми централизаторами инволюций// Матем. сб.- Т. 193, 2.- 2002.- С. 153-160.

19. Сучков Н.М. О локально конечных 2-группах Судзуки//В сб. '"Труды XXI межрегион, науч.-техн. конф.-Математика'".-Красноярск:КрасГАСА.-С.56-67.

20. Сучков Н. М., Периодические группы 2-ранга 1 с абелевыми централизаторами неединичных элементов// Матем. системы.-Красноярск:КрасГАУ.-2004.-2.-С.77-95.

21. Холл М. Теория групп.- М.: ИЛ, 1962.

22. Шунков В.П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией// Алгебра и логика.- 1972.- Т. 11, N 4.- С. 470-494.

23. Шунков В.II. Мр-группы.- М.: Наука, 1990.

24. Шунков В.П. О вложении примарных элементов в группе.- ВО Наука.- Новосибирск, 1992.

25. Шунков В.П. Группы с условиями конечности// Препринт 4.- Красноярск: ИВМ СО РАН.- 2002.- С. 1-13.

26. Bender Н. Transitive Gruppen gerader Ordnung, in denen jedes Involution genau einen Punkt fastlaset. J. Algebra, 1971, vol. 17 N4, p. 527-554.

27. Feit W., Thompson J.G. Solvability of groups of odd order// Pacif. J. Math.- 1963.- V. 13,- P. 771-1029.

28. Gorenstein D. Finite groups.- Harper&Row.- 1968.

29. Higman G. Groups and ring which have automorphisms without non-trivial fixed elements// J. London Math. Soc- 1957.- V. 32.-P. 321-334.

30. Higman G. Suzuki 2-Groups// 111. J. Math.- 1963.- V. 7, 1.- P. 79-96.

31. Peterfalvi T. A characterization of some 2-transitive groups// J. Algebra. 1994. V. 164, 3. P. 849 858.

32. Suzuki M. On a class of doubly transitive groups. I, II// Ann. Math., 1962, 75, N 1, 105 145; 1964, 79, N'3, 514 - 589.

33. Thompson J.G. Finite groups with fixed-point-free automorphisms of prime order// Proc. Nat. Arad. Sci. U.S.A.- 1959.- V. 45.- P. 578-581.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

34. Сучков Н.М., Тарасов С.А. О группах с заданной сильно вложенной подгруппой//Вестник КрасГУ.Физико-математические науки.-2005.-Вып.4.-С.169-172.

35. Тарасов С. А. Об одном классе групп с сильно вложенной подгруппой/Сибирские электронные математические известия. 2006.-Том 6.-С.346-351

36. Сучков Н. М., Тарасов С. А., Тухватуллина JI. Р. Об одной ха-рактеризации прямого произведения абелевой группы и локально конечной простой группы Судзуки//Вестник КрасГАУ.Физико-математические науки.-2006.-Вып.13.-С. 169-172.

37. Сучков Н. М., Тарасов С. А. О некоторых бесконечных группах с сильно вложенной подгруппой//Математические системы. Вып.5/Краснояр.гос.аграр.ун-т.-Красноярск, 2006.-С.86-97