Периодические группы финитарных преобразований тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Г Б с,

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ • Специализированный Совет Д 002. 23. 01

На правах рукописи

БЕЛЯЕВ Виссарион Викторович

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ФИНИТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

(01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск — 1994

Работа выполнена в Уральском государственном университете.

Официальные оппоненты:

доктор фжз.-мат, наук, профессор Кондратьев A.C., доктор фио.-мат. наук, профессор Ояыпансаий А.Ю., доктор фио.-мат, наук, профессор Хухро Б. Й.

Ведущая организация - Красноярский государственный университет.

Автореферат разослан " 1994 г.

Защита состоится _¿с^о/ул 1994 г, в ча-

сов на заседании Специалиоированного Совета Д.002.23.01 при Институте математики СО РАН по адресу: 660090, Новосибирск, Университетский пр., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Ученный секретарь

Специалиоированного Совета^' у

кандидат фио.-мат. нау!^^^/^^^ С. Т. Федорязз

0J

Завершение классификации конечных простых групп, объявленное в начале 80-х годов, оказало стимулирующее влияние на развитие многих разделов алгебры и смежных с ней областей математики. Особенно сильно классификация конечных простых групп отраоилась на иоучеиии локально конечных групп (т.е. групп, в которых любое конечное подмножество элементов порождает конечную подгруппу) и, в частности, на изучении простых локально конечных групп. Исследование локально конечных простых групп с помощью конечных простых групп стало вооможным, благодаря выявлению тесной свяои между указанными классами групп, свяои, нослщей локальный характер и названной в [19] аппрокси-мационным принципом. Но ота связь не настолько тесная, чтобы на основе классификации конечных простЬгх групп можно было бы хлассифицировать бесконечные локально конечные простые группы. Степень свободы в способе построения бесконечных локально конечных простых групп настолько велика, что не возникает вопроса даже о возможности классификации таких групп. Тем не менее, многие проблемы, стоящие в теории локально конечных групп, вызывают потребность в наведении определенного порядка в классе лохально конечных простых групп.

Первый важный шаг в деле "упорядочения" класса локаль-

но конечных простых групп был сделан б начале 80-х годов, когда па основе классификации конечных простых групп было покаоано [1, 13, 18, 21] что шобал бесконечно локально конечная простая группа либо изоморфна группе киевского типа конечного ранга, определенной над -локально конечный полем (т.е. алгебраическим расширением конечного поля), либо является громадной группой (термин "громадная (епог-тоиз) группа" был предложен О. Кегелем к Б. Ьерфритц<*м в [18] для обозначения локально конечных простых групп, не удовлетворяющих некоторому набору условий конечности), Полученное разбиение множества всех локально конечных простых групп на два класса групп, резко различающихся по своим свойствам, с одной стороны, позволило найти, ответы на многие вопросы, связанные с условиями конечности, а с другой, нвпразило основное внимание на класс громадных групп, в котором царил совершенный хаос.

Универсальная группа Холла и знакопеременные группы финитарных подстановок образуют лишь небольшое множество примеров из обширного класса громадных групп. Хотя локальное строение универсальной и знакопеременной групп одинаково: и те, и другие представимы в виде прямых пределов конечных знакопеременных групп, их глобальные свойства совершенно различны и являются своего рода крайностями в диапазоне свойств громадных групп. Так, например, любая счетная локально конечная группа вложима в универсальную группу Холка, в то время как любая бесконечная простая подгруппа знакопеременной группы изоморфна знакопеременной группе (возможно, другой мощности). Локальная близость при явном глобальном различии не является особенностью указанного примера, а типичное явление в классе громадных групп, затрудняющее их изучение. Поэтому для разбиения множества громадных групп на более

мелкие хлассы требуются понятия, с одной стороны, учитывающие поведение группы на глобальном уровне, а с другой, в силу самой природы методов работы в классе локально конечных групп, сводимые к некоторым локальным условиям.

Такие понятия и полученная с их помощью новая типологи-зация класса локально конечных простых групп были предложены автором в цикле работ [2-9], возникшем при последовательном, развитии одного результата ио [12] и составившем основное содержание диссертации. Для лучшего понимания свяоей между основными понятиями в диссертации вкратце опишем тот путь, который от проблемы тппологиоации простых локально конечных групп естественным образом привел автора к исследованию групп финитарных Лреобраоова-ний.

В основе разработанного в [2-9] подхода к иоучению локально конечных групп лежат следующие два понятия:

Определение 1. Пусть С - произвольная группа и Н ^ С7. Конечную подгруппу К ^ С? будем называть //-сигнали-сатором, если КпН — \ тлН4: На(К). Множество всех II-сигнализаторов ио С будем обозначать через И(0,Н).

(Заметим, что данное определение Л"-сигналиоатора является некоторым обобщением понятия сигнализатора, используемого в теории конечных групп.)

Определение 2. Подгруппу Л в группе С? будем называть инертной, если пересечение II П Н3 имеет конечный индекс в Я для любого д € С.

(Первоначально в [12] такие подгруппы были названы ядрами. Термин "инертная подгруппа" был предложен автору

профессором О. Кегелем.)

Появление инертных подгрупп в счетной локально конечной группе

связано с рассмотрением бесконечной последовательности конечных подгрупп {Л,-)г = ОД,...}, удовлетворяющей следующему условию:

ДЛЯ любого П. Понятно, ЧТО ДЛЯ группы II = (Но,Н1, ...)) для произвольного п справедливо включение

и, следовательно, Н - инертная подгруппа в О.

Таким образом, в классе счетных локально конечных групп между понятиями сигнализатора и инертной подгруппы существует тесная связь. Более того, многие результаты, формулируемые в терминах инартных подгрупп, несложно переформулировать в терминах сигнализаторов и наоборот.

Исследование сигнализаторов и инертных подгрупп, проведенное в главе 1 диссертации показывает, что вти понятия полезны при изучении связи между локальной и глобальной структурами локально конечной группы. Если с помощью множества И {О, Н) легко учитывать достаточно тонкие свойства характера вложения подгруппы И и О, то в терминах инертных подгрупп оказалось удобно формулировать некоторые асимптотические характеристики вложений конечных подгрупп в группу. Все ото, в свою очередь, позволяет характеризовать ту или иную локально конечную простую группу в терминах строения инертных подгрупп

е

для счетных групп или насыщенности множества H(G, Н) //-сигнализаторами определенного типа для группы G про-иовольной мощности, Далее, в главе 2 показано, что строение собственной инертной подгруппы далеко не произвольно. Помимо очевидного свойства финитяой аппроксимируемости, собственная инертная подгруппа в произвольной простой группе имеет еще ряд особых- свойств, позволивших дать априорную оценку возможных типов строения инертных подгрупп в простых группах.

Теорема 1. Пусть Н - инертная подгруппа в локально конечной простой группе G. Тогда справедливо одно ио следующих утверждений:

1. Н = G;

2. Н - конечная группа;

3. Н - бесконечная локально нормальная группа;

4. существует такое простое р, что F(H) = Ор(Н) /1и Н/Ор(Н) - локально нормальная группа, причем

FC\H) = FC(Op(H)) = 1;

5. F(E) = FC(H) = 1, Sol(H) ф 1, H/Sol(H) - локально нормальная группа;

G. F(JFI) = FC(fí) = Sol(H) = 1, 1 H ф G.

(Здесь, F(H) - локально нильпотентный радикал группы Н, Sol(H) - локально разрешимый радикал группы Ht

FC(H) = {56 Н\\Н : С„{д)\ < оо>.)

Конечно, локально конечная простая группа может содержать инертные подгруппы разных типов. Например, нетрудно показать, что универсальная группа Холла содержит

инертные подгруппы всех шести типов, перечисленных в теореме 1. С точки орения полученной типологиоации инертных подгрупп было бы интересно выяснить, какие комбинации типов т>еалиоуются в локально конечных простых группах. Первый шаг в этом направлении делается в главе 3 диссертации, где исследуются локально конечные группы, содержащие лишь тривиальные инертные подгруппы, т.е. инертные подгруппы первого или второго типов. Окаоалось, что в этом случае справедлива

Теорема 2. Для счетной локально конечной простой группы С? следующие условия эквивалентны

1. СУ - группа лиевского типа;

2. СУ содержит инертные подгруппы только первого или второго типов.

Таким обраоом, любая счетная громадная группа содержит нетривиальную инертную подгруппу. Этот факт может быть интерпретирован следующим обраоом:

Теорема 3. Счетная локально конечная простая группа О плотно вложима э недискретную локально компактную группу тогда и только тогдз, когда <3 - громадная группа. В частности, счетная громадная группа допускает недискретную хаусдорфову групповую топологию.

Также, в главе 3 получена характериоация групп лиевского типа бео дополнительного ограничения счетности.

Теорема 4. Для бесконечной локально конечной простой группы О следующие условия эквивалентны:

1. С? - группа лиевского типа;

2. в <3 найдзтся конечная подгруппа Я, для которой #(<3, Я) содержит лишь единичную подгруппу;

3. любая финитно аппроксимируемая подгруппа ио £7 почти пипыготектна.

Далее в главе 3 делается второй шаг исследования типов инертных подгрупп в счетных локально конечных простых группах.

Теорема 5. Для счетной локально конечной простой группы С? следующие условия эквивалентны:

1. С иооморфна онахопер еменной группе финитарных под-станов ох;

2. С? содержит инертные подгруппы лишь первых трех типов.

Другая характериоация онакоперемекных групп дается в главе 3 в терминах сигналиоаторов и финитно аппроксимируемых подгрупп.

Теорема 6. Для бесхонечной лохально конечной простой группы С? следующие условия эквивалентны:

1. С? иооморфна онакопеременной группе финитарных подстановок;

2. любая финитно аппроксимируемая подгруппа ио С? локально нормальна;

3. в С найдется конечная подгруппа Я, для которой Я(СУ, Я) содержит неединичную подгруппу и

{Х\Х € Я(С?,Я» < Са{Н).

Исследование счетных локально конечных простых групп, содержащих инертные подгруппы тольхо первых четырех ти-

пов, привело к рассмотрению ситуации, в которой для любой собственной инертной подгруппы Н ио группы (3 и некоторого простого р фактор-группа Н/Ор(Я) локально нормальна, что в терминах сигналиоаторов эквивалентно существованию конечной неединичной подгруппы К, обладающей следующим свойством: [К, X] ^ Ор(Х) для любой подгруппы X е И (О, К). Аналио данной ситуации покаоал, что любая такая группа С? имеет точное линейное представление специального вида и для дальнейшего изучения ситуации требуется тщательное исследование некоторых бесконечномерных линейных групп, названных группами финитарных преобра-оований.

Определение 3. Линейное преобразование д векторного пространства V называется финитарным, с ели преобразование д действует тождественно на некотором подпространст-зе конечной коразмерности в V. Любая подгруппа ио С?_Б(У), состоящая ио финитарных линейных преобразований, называется группой финитарных преобразований пространства V.

(Заметим, что сначала в работе [6] был использован термин "группы конечных преобразований", но желание стандартизировать терминологию, связанную с отим классом групп, приблизив ее к терминологии работ [14-17, 20], определило переход в диссертации к новому термину "группы финитарных преобразований".)

Очевидпо, что класс групп финитарных преобразований включает в себя группы линейных преобразований конечномерных пространств, а также' группы финитарных подстановок, рассматриваемые как группы линейных преобразований подстановочных модулей. Нетрудно показать, что пери-

одические группы финитарных преобразований локально конечны. До конца 80-х годов группы финитарных преобразований представляли собой малоизученный класс групп. Активное исследование периодических групп финитарных преобразований начинается лишь с работ П. Камерона, Д. Холла, Р. Филлипса и Б. Хартли [14-17, 20], в которых с помощью классификации конечных простых групп были получены первые важные структурные результаты. По отих результатов, оказалось недостаточно для характеризации периодических простых групп финитарных преобразований в терминах инертных подгрупп или сигнализаторов. С целью получения необходимой для такой характеризации информации в главах 4-7 диссертации выделены и изучены отдельные классы групп финитарных преобразований, что позволило в главе 8 охарактеризовать периодические простые группы финитарных преобразований в классе локально конечных групп.

Теорема Т. Для счетной локально конечной простой группы <3 следующие условия эквивалентны:

1. С? изоморфна некоторой группе финитарных.преобразований;

2. существует такое простое р, что для любой собственной инертной подгруппы Н из' О фактор-группа II/Ор(Н) локально нормальна;

3. любая собственная инертная в С? подгруппа с единичным локально разрешимым радикалом локально нормальна.

Таким образом, счетная локально конечная простая группа С? содержит собственные инертные подгруппы лишь первых четырех типов тогда и только тогда, когда О изоморфна группе финитарных Преобразований некоторого простран-

ства V. Щр теоремы 7 следует большее: счетная локально конечная простая группа, не содержащая собственных инертных подгрупп шестого типа, содержит, собственные инертные подгруппы только первых четырех типов. Заметим также, что для собственной инертной в (7 подгруппы, не являющейся локально нормальной группой, простое число р иа пункта 2 оаключения теоремы 7 определяется однозначно и совпадает с характеристикой поля определения векторного пространства V.

Класс бесконечных периодических простых групп финитарных преобраоований достаточно широк и включает, в себя, так называемые, группы классического типа, локальное строение которых напоминает строение прямых пределов конечномерных классических групп с побаоисным вложением. Поэтому группы лиевского типе и знакопеременные грудпы не исчерпывают все множество бесконечных периодических простых групп финитарных преобраоований.

Доказательство теоремы 7 основано на харахтериоации периодических простых групп финитарных преобразований, полученной на яоыке сигнализаторов и обладающей большей общностью. Ради упрощения формулировки, сигнализатор-ная характериоация разбита на два утверждения: теоремы 8 и 9. В теореме 8 речь идет о с&ойствах сигнализаторов групп финитарных преобразований, зависящих от характеристики поля определения пространства V и, следовательно, имеющих внешний характер по отношению к самой группе. Эти свойства сигнализаторов могут быть ослаблены в та-

I -1

кой степени, что становится возможной их формулировка в терминах, не оависящих от характеристики поля. Теорема 9 утверждает, что даже ослабленные свойства сигналиоаторов характериоуют периодичесхие простые группы финитарных преобраоований в классе локально конечных групп.

Теорема 8. В периодической простой труппе С финитарных преобразований над полем характеристики р найдется такая конечная неедкничная подгруппа Л, что

1. при р — О, [Н,Х\ — 1 для любой подгруппы X €

щс,ну,

2. при р > О, [Н,Х] < Ор(Х) для любой подгруппы X € Я((?,Я).

Теорема 9. Для локально конечной простой группы О следующие условия эквивалентны:

1. С? изоморфна некоторой группе финитарных преобразований;

2. О содержит такую конечную подгруппу Н, что

Сн{Х/во1{Х)) ф 1 для любой подгруппы X € И(0,Н).

В главе 8 получена еще одна характериоацкя периодических простых групп финитарных преобразований, которая занимает промежуточное положение между характери-оациями в терминах инертных подгрупп и в терминах сигнализаторов. В ее формулировке использовано выражение "полупростая группа", под которой понимается неединичная группа с единичным локально разрешимым радикалом.

Теорема 10. Для локально конечной простой группы О следующие условия эквивалентны:

1. СУ изоморфна группе финитарных преобразований;

2. любая счетная полупростая финитно аппроксимируемая подгруппа из СУ содержит конечную неединичную формальную подгруппу;

3. любая полупростая финитно аппроксимируемая подгруппа ко <3 локально нормальна.

Необходимо также отметить, что в ходе продёланной в главах 4-8 работы основные структурные зопрасы теории периодических групп финитарных преобразований были сведены к некоторым задачам унипотентных групп финитарных преобразований, групп финитарных подстановок, конечномерных линейных групп и групп классического типа, и, следовательно, построение общей структурной теории, по модулю ухаоанных задач, было практически завершено. Для получения общей структурной теоремы не хватало лишь некоторых вспомогательных результатов. Так как теория групп финитарных преобразований вызывает интерес независимо от проблемы типологизации локально конечных простых групп, диссертация была дополнена результатами работ [10-11], из Которых следует общая структурная теорема периодических групп финитарных преобразований, сформулированная в заключительной главе диссертации. Ее формулировку удобно разбить, в зависимости от характеристики поля на следующие два утверждения:

Теорема 1.1. Периодическая группа О финитарных преобразований пространства V, определенного над полем к нулевой характеристики, содержит такую нормальную подгруппу Я, что

1. фактор-группа О/Ы изоморфна группе финитарных подстановок нелоторого множества;

2. группа N представима в виде подпрямого произведения конечномерных линейных групп определенных над полем к.

Теорема 12. Периодическая группа б финитарных пре-

образований пространства V, определенного над полем к характеристики р > 0 обладает таким нормальным рядом

Ор(С) С0 $ С, ^ £ Сз ^ С,

что

1. фактор-группа раорешима ступени ^ 6;

2. С3/С?о = С?3/(?о х К/С0 для некоторой нормальной подгруппы К ио С, причем фактор-группа К/Со представима в виде прямого произведения групп классического типа;

3. фактор-группа (?2/С7д иооморфна группе финитарных подстановок некоторого множества;

4. фактор-группа С\/Съ представима в виде подпрямого проиоведения конечномерных линейных групп определенных над полем к.

Одной исз наиболее важных проблем теории периодических групп финитарных преобразований остается задача изучения групп классического типа. В ходе доказательства теорем 11 и 12 удалось также получить следующий результат, проливающий свет на локальное строение групп классического типа.

Теорема 13. Группа классического типа характеристики р локально покрывается таким Множеством С, состоящим ио хонечных совершенных подгрупп, что для любой подгруппы X € С

1. фактор-группа Х/Ор{Х) иооморфна кваоипрос-?ой классической группе,

2. Ор(Х) - нильпотентная группа класса <2и (Ог(Х))' <

Результаты диссертации докладывались на семинаре "Алгебра и логика", алгебраических семинарах Московского, Уральского, Красноярского государственных университетов, на 3-ей Международной алгебраической конференции памяти М. И. Каргаполова и опубликованы в (2 - 11].

Литература

1.. В. В. Беляев, Локально конечные группы Шевалле, В кн.: Исследования по теории групп (1984), У1Щ АН СССР, Свердловск, с. 39-50.

2. В.В. Зепяев, Локально конечные группы с конечной неотделимой подгруппой, Сиб. мат. ж. т. 34 2 (1993), с. 23-41.

;. В.В. Беляев, Инертные подгруппы в бесконечных простых группах, Сиб. мат. ж. т. 34 4 (1993), с. 17-23.

. В.В. Беляев, Локально конечные простые ^ппы, предстаоимые а виде произведения двух инертных подгрупп, Алгебра и логика т. 31 4 (1992), с. 360-369.

■5. В.В. Беляев, Локальные характеризации бесконечных знакопеременных групп и групп лиевского типа, Алгебра и логика т. 31 //= 4 (1992), с. 360-391.

6. В.В. Беляев, Строение р-гр-упп конечных преобразований, Алгебра и логика т. 31 Я= 5 (1992), с. 453-478.

7. В.В. Беляев, Периодические локально разрешимые группы конечных преобразований, Алгебра и логика т. 31 Аг= 0 (1992), с. 569-591.

8. В.В. Беляев, Периодические полупростые группы конечных преобразований, Алгебра и логика т. 32 ,Л/= 1 (1993), с. 17-33.

9. В.В. Беляев, Лекальные характеризации периодических простых групп конечных /преобразований, Алгебр? и логика т. 32 Л/*—3 (1993), с. 201-223.

10. В.В. Беляев, Неприводимые периодические группы финитарных преобразований, Алгебра и логика х. 35 б (1993), с. -) 1. В.В. Беляев, Финитарные представления бесконечных знакопеременных и симметрических групп, Алгебра н логика т. 33 //= 1 (1994), с. -

1в

12. В.В. Беляев, Ядра в счетиых локально конечных группах, XVII Всесоюанш; алгебраическая конференция теоисы сообщений -часть первая (1983), Минск, с. 24.

13. А. В. Боровик, Вложение конечных групп Шеоалле и периодические линейные группы, Сиб. ма.т, ж. т, 24 6 (1683), с. 26-35.

14. P. J. Cameron, J. I. Hall, Some groups generated by iransvection subgroups, J. Algebra 140 (1991), p. 184-209.

15. J. I. Hall, Infinite alternating groups as finitary linear transformation groups, J. Algebra 119 (1988), p. 337-359.

t6< J. I. Hall, Finitary linear transformation groups and elements of finite local degree, Arch. Math. 50 (1988), p. 315-318.

17. J. I. Hall, B. Hartley, A group theoretical characterization of simple locally finite finitary linear groups, Arch. Math. 60 (1993), p. 108-114.

18. B. Hartley, G. Shute, Monomofphisms and direct limits of finite groups of Lie type,, Quart. J. Math. 35 //= 2 (1984), Oxford, p. 49-71.

19. О. H. Kegel, B. A. Wehrfritz, Localy finite groups, North Holland, Amsterdam - London, 1973.

20. R. E. Phillips, The structure of groups of finitary transformations, J. Algebra 119 (1988), p. 400-448.

21. S. Thomas, The classification of the simple periodic linear groups, Arch. Math. 41 (1983), p. 103-118.