О двух теоремах для групп лиева типа и ассоциированных колец тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

003462514

УДК 512.54+512.55

На правах рукописи

РАДЧЕНКО Оксана Владимировна

О ДВУХ ТЕОРЕМАХ ДЛЯ ГРУПП ЛИЕВА ТИПА И АССОЦИИРОВАННЫХ КОЛЕЦ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2009 2 о С:}"^

О/

003462514

Диссертация выполнена на кафедре алгебры и математической логики Сибирского федерального университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор ЛЕВЧУК Владимир Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор БОКУТЬ Леонид Аркадьевич

доктор физико-математических наук, профессор СУЧКОВ Николай Михайлович

Ведущая организация: Томский государственный университет

Защита состоится 6 марта 2009 года в 13.00 на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Сибирском федеральном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан " '/ " февраля 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Бушуева Н.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ 1

Актуальность темы. Традиционно, различные вопросы в теориях групп и колец приводят к вопросам структурного строения, описания автоморфизмов, а для колец также дифференцирований.

Зависимость порядка конечной простой группы С от определенных подмножеств централизатора Сс(т) ее инволюции г изучается уже давно. По классической теореме Брауэра (1954 г.) существует только конечное число конечных простых групп с заданным централизатором инволюции. Обобщение разрабатывает В.П. Шун-ков. В [1] введен параметр вложения инволюции

д бь

где тс - класс сопряженных элементов с представителем т в группе С?. В.П. Шунков анонсировал теорему [2]: существует только конечное число периодических простых групп с инволюцией и с заданным конечным параметром вложения этой инволюции, причем все они конечны.

В случае конечных групп эта теорема усиливает теорему Брауэра и основывается на следующем предположении.

Гипотеза (А). Существует только конечное число конечных простых групп с инволюцией и с заданным конечным параметром вложения этой инволюции.

Усиленный вариант этой гипотезы высказал В.М. Левчук [3].

'Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 06-01-00824а).

Гипотеза (Б). Существует только конечное число конечных простых групп с инволюцией и заданным числом сопряженных и перестановочных с нею инволюций.

Очевидно, всякое семейство М. конечных простых групп, дающее контрпример к гипотезе (А) или (Б), является бесконечным, а отбросив из М любое конечное подсемейство, получим аналогичный контрпример. По модулю известной классификации конечных простых групп, группы лиева типа вместе со знакопеременными и 26 спорадическими группами, исчерпывают все конечные простые неабелевы группы.

В работах О.В. Головановой (Листовой), В.М. Левчука и А.Г. Лихарева гипотезы (А) и (Б) подтверждены для групп Шевалле над полем четного порядка исключительных типов и типа Ап, для знакопеременных групп и для простых групп с одним классом сопряженных инволюций [4], [5], [6]. Таким образом, исследование гипотез сведено к группам Шевалле, причем в случае основного поля четного порядка - к группам Шевалле классических типов.

В строении простой группы лиева типа важную роль играет унипотентная подгруппа; для лиева типа Ап-\ - это группа унит-реугольных матриц, изоморфная присоединенной группе кольца ИТ{п,К) нильтреугольных п х п матриц над полем К. Более общим является локально нильпотентное кольцо АТ (Г, К) (или ЫТ(п,К) при Г = {1,2, ••• ,п}) всех финитарных нильтреугольных Г-матриц с произвольной цепью Г матричных индексов.

Согласно классическим теоремам И.Н. Херстейна, йордановы

дифференцирования [7] и изоморфизмы [8] первичного кольца характеристики ф 2 тривиальны. Напомним, что аддитивное отображение ß : R —> R кольца R называют его дифференцированием, если ß(ab) = ß(a)b + aß(b) (a,b G R). Дифференцирования ассоциативного кольца R являются его тривиальными йордановьши дифференцированиями, т.е. дифференцированиями ассоциированного кольца Йордана. Теоремы Херстейна переносились на полупервичные кольца (W.S. Martindale III, W.E. Baxter, J. M. Cusack, M. Bresar, J. Vukraan, и др.). Йордановы и лиевы дифференцирования для колец и алгебр треугольных и нильтреугольных п х п—матриц (с ненулевым нильпотентным идеалом) над определенными коммутативными кольцами коэффициентов изучают G.M. Benkart, J.M. Osborn, S.P. Coelho, C.P. Milies, D. Benkovic, P.-H. Lee, C.-K. Liu, S. Ou, D. Wang, R. Yao и др. В диссертации исследуется

Задача (В). Найти нетривиальные йордановы и лиевы дифференцирования кольца NT(Г, К) над ассоциативным кольцом К с единицей с произвольной цепью Г матричных индексов.

Цель диссертации - изучение гипотез (А), (Б) и задачи (В).

Методы исследования являются классическими для общей теории групп и колец. Применяются также специальные методы теории групп и алгебр лиева типа.

Научная новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются новыми. Диссертация носит теоретический характер.

Апробация диссертации. Основные результаты представлены на Мальцевских чтениях (Новосибирск, 2007), всеросийском симпозиуме Абелевы группы (Бийск, 2007), конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2008), всероссийской конференции по математике и механике (Томск, 2008), международной школе-конференции (Челябинск, 2008), международных алгебраических конференциях в Гомеле и Красноярске (2007), Анкаре и Москве (2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11]—[21], включая публикацию из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация включает введение, две главы и список литературы. Номер теоремы, леммы и др. включает последовательно номер главы и порядковый номер в главе. Текст диссертации изложен на 56 страницах. Список литературы включает 52 наименования.

Содержание диссертации

Основные результаты диссертации направлены на усиление теоремы Р. Брауэра о конечных простых (неабелевых) группах (гипотезы (А), (Б)) и решение задачи (В):

- вычислен сс—параметр вложения инволюции (т.е. число сопряженных и перестановочных с нею инволюций) в конечных простых группах с одним классом сопряженных инволюций;

- гипотеза о конечности числа конечных простых групп с заданным сс—параметром вложения инволюции, сведенная ранее к

группам лиева типа, редуцирована в случае основного поля характеристики 2 к ортогональным группам;

- доказано, что йордановы и лиевы дифференцирования кольца NT(Г,K) финитарных нильтреугольных Г-матриц над ассоциативным кольцом К с единицей действуют тривиально по модулю третьего гиперцентра (аналог теоремы Херстейна).

В первой главе напоминается определение из [1] параметра вложения инволюции г в произвольную группу б. Вводится определение: число сопряженных и перестановочных с т инволюций группы С? называем сопряженно-коммутативным параметром или, кратко, сс—параметром (вложения) инволюции г в С? с обозначением сс(С?, т). (В [11] и [12] использовался также термин сопряженно-коммутативная ширина.) Далее в § 1.1 отражается современное состояние гипотезы (А) и ее усиления - гипотезы (Б) о сс—параметрах вложения инволюций конечных простых групп.

Ранее в работах О.В. Головановой, В.М. Левчука и А.Г. Лихарева гипотеза (Б) была сведена к группам Шевалле. В случае основного поля четного порядка гипотеза сведена к классическим типам и подтверждена для групп Р5Хп(д); следующие, центральные в главе 1 теоремы сводят гипотезу к ортогональным группам.

Теорема 1.1. Существует только конечное число простых симплектических групп над конечным полем четного порядка с заданным сс—параметром вложения инволюции.

Теорема 1.4. Пусть т - инволюция унитарной группы С? = РБи^ц2) над полем четного порядка ц1 и М - произвольное натуральное число. Тогда сс(т, (7) > М при достаточно большом |С?|.

Доказательству теорем 1.1 и 1.4 посвящены § 1.3 и § 1.4, соответственно; § 1.2 является вспомогательным.

Точные значения сс—параметра вложения инволюции (без термина) для групп РБ1^(я) найдены О.В. Головановой. Основная в § 1.5 теорема дает точные значения сс—параметра инволюций в конечных простых группах с одним классом сопряженных инволюций. За исключением знакопеременных групп Ап (п < 7) и 26 спорадических групп, такие группы исчерпываются следующими:

РБЫд), Яе(д), 5г(д), РБЬ 3(д).

Теорема 1.5. Пусть (7 - конечная простая группа с одним классом сопряженных инволюций и г - инволюция из С. Тогда:

сс(Р5Ь2(д),г) -

<7-1,

д- четно,

д=\{то<14),

сс(Р5£3(д),т) =

( 2+1, <? = —1(то(1 4); (д — 1)(1 + 2д), д- четно,

д2 + д + 2, д- нечетно;

СС(Р5С/3(92),Г) = <

д — 1, д- четно, д2 + д + 3, д- нечетно\

сс(3г(д), т) = </ — 1 (д = 22"+\ п > 1); сс(Ле(д),г)=д(9-1) + 1 [д = 32"+\ п > 1).

Теоремы 1.1, 1.4, 1.5 опубликованы автором в [11] и [12].

Глава 2 посвящена перенесению теоремы Херстейна [7] о йор-дановых дифференцированиях на локально нильпотентные кольца финитарных матриц и исследованию лиевых дифференцирований.

С любым ассоциативным кольцом Я ассоциируют лиево кольцо Л(Я) := (Л, +, *) с лиевым умножением а*/3 = а(3—(3а и йорданово кольцо J(R) := (Я, +, с йордановым умножением ао/3 = а(3+/3а. Любое дифференцирование кольца J(R) или Л^) называется также, соответственно, йордановым или лиевым дифференцированием кольца R. Аналог теоремы Херстейна в диссертации дает

Теорема 2.2. Пусть К - ассоциативное кольцо с единицей и Г - произвольная цепь. Тогда любое лиево или йорданово дифференцирование кольца Г, К) действует по модулю его 3-го гиперцентра как дифференцирование.

Теорема 2.3 дает описание лиевых и йордановых дифференцирований финитарного кольца МТ(Г,К) в терминах дифференци-

рований этого кольца и введенных явно гиперцентральных лиевых и йордановых дифференцирований.

Йордановы дифференцирования кольца NT(n, К) исследовала ранее Ф. Кузучуоглу. Следствием является также основная теорема из [9], описывающая лиевы дифференцирования алгебры NT(n,K) над коммутативным кольцом К. Дифференцирования кольца NT(n, К) исследовались в [10]

Теоремы 2.2 и 2.3 доказаны совместно с В.М. Левчуком и опубликованы в [21].

Автор благодарна своему научному руководителю В.М. Лев-чуку за постановку задач и внимание к работе. Признательна сотрудникам кафедры алгебры и математической логики и института математики Сибирского федерального университета за хорошие условия для работы над диссертацией.

Список литературы

[1] Рябинина, H.A., Сучков Н.М., Шунков В.П. Об особых подгруппах конечных групп с инволюциями // Красноярск, Препринт ВЦ СО РАН. - 1995. - № 10. - С. 3-11.

[2] Шунков В.П. Группы с инволюциями // Сб. тезисов докл. международ, сем. по теории групп. Екатеринбург, ИММ УрО РАН. - 2001. - С.245-246.

[3] Levchuk V.M. Growth of the intersection of the centralizer of ал involution and its class of conjugated elements in finite simple

groups // Proceed. Int. Conf. "Antalya Algebra Days VIII"(17-21 May, 2006). Istanbul, Bilgi Univ.- 2006. - P.26.

[4] Листова О. В. Параметры вложения инволюций знакопеременных групп // Algebra and Model Theory. Новосибирск: НГ-ТУ. - 2003. - № 4. - С. 62 - 68.

[5] Голованова О.В., Левчук В.М. Зависимость порядков конечной простой группы и пересечения централизатора и класса сопряженных элементов инволюции // Известия Гомельского гос. ун-та. - 2006. - Т.З. - № 36. - С.124-130.

[6] Лихарев А.Г. Ограниченность сопряженно-коммутативной ширины инволюции в группах Шевалле // Препринт №4,-Красноярск: ИВМ СО РАН. - 2006. - 10 с.

[7] Herstein I.N., Jordan derivations of prime rings // Proc. Amer. Math. Soc. - 1957. - Vol. 8. - P. 1104-1110.

[8] Herstein I.N. Jordan homomorphisms // Trans. Amer. Math. Soc. - 1956. - Vol. 81. - P. 331-351.

[9] Ou S., Wang D., Yao R. Derivations of the Lie algebra of strictly upper triangular matrices over a commutative ring // Linear Algebra Appl. - 2007. - Vol. 424. - P. 378-383.

[10] Chun J.H., Park J.W. Derivations on subrings of matrix rings // Bull. Korean Math. Soc. - 2006. - Vol.43. - P.635-644.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[11] Радченко О.Б. Сопряженно-коммутативная ширина инволюции группы с одним классом сопряженных инволюций // Вестник Красноярского государственного университета, Красноярск. - 2006. - № 9.- С. 64-69.

[12] Радченко О. В. Классы сопряженных инволюций симплектиче-ских групп над полями четного порядка и смежные вопросы // Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика. - 2008. - №3. - С. 324-329.

[13] Левчук В.М., Радченко О.В. Сопряженно-коммутативная ширина инволюций конечных простых групп // Межд. конф. "Классы групп, алгебр и их приложения", Гомель: Гомельский государственный ун-т. - 2007. - С. 97-98.

[14] Radchenko О. V. The conjugate-commutative width of involutions of finite simple groups // Межд. конф. "Алгебра и её приложения": Красноярск. - 2007. - С. 173-174.

[15] Радченко О. В. Сопряженно-коммутативная ширина инволюции простых классических линейных групп над полем четного порядка // Межд. конф. "Мальцевские чтения - 2007", Новосибирск: ИМ СО РАН. - 2007. - С. 102.

[16] Радченко О.В. Сопряженно-коммутативная ширина инволюций простых классических линейных групп над полями чет-

ного порядка // Материалы V Всесибир. конгресса женщин-математиков, Красноярск: СФУ. - 2008. - С.351-352.

[17] Минакова Е.В., Радченко О. В. Некоторые числовые и теоретико-модельные характеристики классических линейных групп и ассоциированных колец // Материалы VII школы-конф., Челябинск, ЮУрГУ. - 2008. - С. 80 - 82.

[18] Радченко О. В. Классы сопряженных инволюций простых классических групп над полями четных порядков и смежные вопросы // Межд. алгебраической конф., Москва: МГУ. - 2008.

- С. 195 - 196.

[19] Radchenko О. V. Derivations of the nilsubalgebra of Chevalley algebra and certain hypothesis for associated group // Int. Conf. "On ring and module theory", Turkey, Ankara, Hacettepe university. - 2008. - P. 68.

[20] Радченко О.В. Дифференцирования йорданова кольца финитарных нильтреугольных матриц // Всеросс. конф. по математике и механике, Томск:ТГУ. - 2008. - С.60-61.

[21] Левчук В.М., Радченко О.В. Дифференцирования кольца финитарных нильтреугольных матриц и ассоциированных колец Ли и Йордана // Препринт №3. - Красноярск: ИВМ СО РАН.

- 2008. - 12 с.

[22] Levchuk V.M., Radchenko O.V. Derivations of the locally nilpotent matrix rings (в печати).

Подписано в печать. £ 02 аос>а.\ Формат 60 х 84!/16. Печать оперативная. Усл. печ. л. 0.9 Тираж 100 экз. Заказ № //йоб

Отпечатано в ИПК СФУ. 660041 Красноярск, пр. Свободный, 79.

Введение

Глава 1. Гипотезы об усилении теоремы Брауэра о конечных простых группах

§1.1. Постановка задач.

§1.2. Стандартные элементы и подгруппы групп Шевалле

§1.3. Теорема об ограниченности числа симплектических групп над полем четного порядка с заданным сспараметром вложения инволюции.

§1.4. Унитарные группы над полем четного порядка

§1.5. сс—параметр вложения инволюции в конечных простых группах с одним классом сопряженных инволюций

Глава 2. Аналог теоремы Херстейна о дифференцированиях локально нильпотентных матричных колец

§2.1. Задачи о йордановых и лиевых дифференцированиях колец ]УТ(Г, К)

§ 2.2. Гиперцентральные дифференцирования и основные теоремы.

§2.3. Доказательство основных теорем.

Традиционно, различные вопросы в теориях групп и колец приводят к вопросам структурного строения, описания автоморфизмов, а для колец также дифференцирований.

Давний интерес вызывает зависимость порядка конечной простой группы (2 от определенных подмножеств централизатора Сд(т) ее инволюции т. По классической теореме Брауэра [1] (1954 г.) существует только конечное число конечных простых групп с заданным централизатором инволюции. Обобщение разрабатывает В.П. Шун-ков. В [15] введен параметр вложения инволюции д£Ь

В.П. Шунков анонсировал теорему [19]: существует только конечное число периодических простых групп с инволюцией и с заданным конечным параметром вложения этой инволюции, причем все они конечны.

В случае конечных групп эта теорема усиливает теорему Брауэра и основывается на следующем предположении.

Гипотеза (А). Существует только конечное число конечных простых групп с инволюцией и с заданным конечным параметром вложения этой инволюции.

Усиленный вариант этой гипотезы высказал В.М. Левчук [34].

Гипотеза (Б). Существует только конечное число конечных простых групп с инволюцией и заданным числом сопряэюенных и перестановочных с нею инволюций.

Очевидно, всякое семейство ЛЛ конечных простых групп, дающее контрпример к гипотезе (А) или (Б), является бесконечным, а отбросив из М любое конечное подсемейство, получим аналогичный контрпример. По модулю известной классификации конечных простых групп, группы лиева типа вместе со знакопеременными и 26 спорадическими группами, исчерпывают все конечные простые неабелевы группы.

В работах О.В. Головановой (Листовой), В.М. Левчука и А.Г. Лихарева гипотезы (А) и (Б) подтверждены для групп Шевалле над полем четного порядка исключительных типов и типа Ап, для знакопеременных групп и для простых групп с одним классом сопряженных инволюций [3], [4], [5], [13], [14]. Таким образом, исследование гипотез сведено к группам Шевалле, причем в случае основного поля четного порядка - к группам Шевалле классических типов.

В строении простой группы лиева типа важную роль играет унипотентная подгруппа; для лиева типа Ап~\ - это группа унит-реугольных матриц, изоморфная присоединенной группе кольца ЛТ(п, К) нильтреугольных п хп матриц над полем К. Более общим является локально нильпотентное кольцо ЛТ(Г, К) (или ИТ{п, К) при Г = {1, 2, • • • , п}) всех финитарных нильтреугольных Г-матриц с произвольной цепью Г матричных индексов.

Согласно классической теореме И.Н. Херстейна [31], йордано-вы дифференцирования (или дифференцирования ассоциированного кольца Йордана) первичного кольца характеристики ф 2 тривиальны, т.е. являются дифференцированиями самого кольца. Напомним, что аддитивное отображение ß : R R кольца R называют его дифференцированием, если оно удовлетворяет условию ß(ab) = ß(a)b-\-aß{b) (a,b G R). Проблема перенесения теоремы Херстейна изучалась и для полупервичных колец (J. M. Cusack Source, M. Bresar, J. Vukman, и др.), а с другой стороны, для колец и алгебр треугольных и нильтреугольных п X п—матриц (с ненулевым нильпотентным идеалом) с различными ограничениями на кольцо коэффициентов (G.M. Benkart, J.M. Osborn, S.P. Coelho, С.P. Milies, S. Jondrup, D. Benkovic и др.). Лиевы дифференцирования изучали P.S. Blau, G.A. Swain, E. Killam, G.A. Swain, W.S. Martindale III, C.R. Miers, B.E. Johnson (в частности, для К-алгебр NT(n, К) в [37]).

В диссертации исследуется

Задача (В). Найти нетривиальные йордановы и лиевы дифференцирования кольца NTÇT, К) над ассоциативным кольцом К с единицей с произвольной цепью Г матричных индексов.

Цель диссертации - исследовать гипотезы (А), (Б) и задачу (В). В диссертации используются классические методы теории групп и колец, а также специальные матричные представления унипотент-ных подгрупп групп лиева типа. Диссертация включает введение,

1. Брауэр Р. О строении групп конечного порядка // Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 г. - Москва:Физматгиз. 1961. - С.23-35.

2. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (главы IV-VI). Москва: Мир, 1982. - 332 с.

3. Голованова О. В. О росте порядков заданных подмножеств централизаторов инволюций конечных простых групп: дис.канд.ф.-м. наук. Красноярск, 2006. - 57 с.

4. Голованова О. Б. Параметры вложения инволюций конечных простых групп лиева типа ранга 1 // Вестник КрасГУ. Красноярск. 2006. - № 4. - С. 49-54.

5. Голованова О.В., Левчук В.М. Зависимость порядков конечной простой группы и пересечения централизатора и класса сопряженных элементов инволюции // Известия Гомельского государственного университета. 2006. - Т.З. - № 36. - С. 124-130.

6. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964. - 357 с.

7. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре / А.Г. Курош // СПб.: Лань, 2007.

8. Левчук В.М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика. 1990. - Т.29. - № 3. - С. 315-338.

9. Левчук В.М. Алгебры и группы Шевалле и ассоциированные системы корней: уч. пособие. КГУ, 2006. - 38 с.

10. Левчук В.М., Нужин Я.Н. О строении групп Ри // Алгебра и логика. 1985. - Т.24. - № 1. - С.26-41.

11. Левчук В.М., Сулейманова Г.С. Нормальное строение унипо-тентной подгруппы группы лиева типа и смежные вопросы // Докл. РАН. 2008. - Т. 419. - № 5. - С. 595-598.

12. Лидл, Р. Конечные поля: Т.1 / Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. М.: Мир, 1988. - 326 с.

13. Листова О. В. Параметры вложения инволюций знакопеременных групп // Algebra and Model Theory. Новосибирск: НГТУ. -2003. № 4. - С. 62 - 68.

14. Лихарев А.Г. Ограниченность сопряженно-коммутативной ширины инволюции в группах Шевалле // Препринт №4.- Красноярск: ИВМ СО РАН. 2006. - 10 с.

15. Рябинина H.A., Сучков Н.М., Шунков В.П. Об особых подгруппах конечных групп с инволюциями // Алгебраические системы (сборник научных трудов). Красноярск, Препринт ВЦ СО РАН. 1995. - № 10. - С. 3 - 11.

16. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли М.: Мир, 1969. - 376 с.

17. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле.-М.: Мир,1975.-262 с.

18. Херстейн И. Некоммутативные кольца. Мир: Москва, 1972. -192 с.

19. Шумков В.П. Группы с инволюциями // Сб. тезисов докл. международ. сем. по теории групп. Екатеринбург, ИММ УрО РАН. 2001. - С.245-246.

20. Aschbacher М., Seitz G.M. Involutions in clievalley groups over fields of even order // Nagoya Math. J. 1976. - V.63. - P. 1-91.

21. Beidar K.I., Chebotar M.A. On Lie derivations of Lie ideals of prime algebras // Israel J. Math. 2001. - Vol. 123. - P. 131-148.

22. Benkovic D. Jordan derivations and antiderivations on triangular matrices // Linear Algebra Appl. 2005. - Vol. 397. - P. 235-244.

23. Bjerregaard P.A., Loos O., González С. M. Derivations and automorphisms of Jordan algebras in characteristic two // J. Algebra. 2005. - Vol. 285. - P. 146-181.

24. Bresar M., Chebotar M.A., Semrl P. On derivations of prime rings // Comm. Algebra. 1999. - Vol. 27. - № 7. - P. 3129-3135.

25. Carter R. W. Simple groups of Lie type. New York: Wiley and Sons, 1972. - 333 p.

26. Cheung W., Lie derivations of triangular algebras // Linear Multilinear Algebra. 2003. - Vol. 51. - № 3. - P. 299-310.

27. Chun J.H., Park J.W. Derivations on subrings of matrix rings // Bull. Korean Math. Soc. 2006. - Vol. 43. - P. 635-644.

28. Cusack, J.M. Jordan Derivations on Rings / J. M. Cusack // Proe. Amer. Math. Soc. 1975. - Vol. 53. - № 2. - P. 321-324.

29. Dickson L.E. Linear groups with an exposition of the Galois Field theory. Dover, New York, 1958. - 356 p.

30. Driss A.H.A., Cao Y., Ben Yakoub L. A note on derivations of strictly upper triangular matrices over rings // JP J. Algebra Number Theory Appl. 2004 - Vol. 4. - № 1. - P. 89-102.

31. Herstein I.N., Jordan derivations of prime rings // Proc. Amer. Math. Soc. 1957. - Vol. 8. - P. 1104-1110.

32. Herstein I.N. Jordan homomorphisms // Trans. Amer. Math. Soc. 1956. - Vol. 81. - P. 331-351.

33. Kuzucuoglu F., Levchuk V.M. Isomorphisms of Certain Locally Nilpotent Finitary Groups and Associated Rings // Acta Appl. Math. 2004. - Vol. 82, № 2. - P. 169-181.

34. Levchuk V.M. Growth of the intersection of the centralizer of an involution and its class of conjugated elements in finite simple groups // Proceed. Int. Conf. "Antalya Algebra Days VIII"(17-21 May, 2006). Istanbul, Bilgi Univ.- 2006. P.26.

35. Martindale III W.S. Lie derivations of primitive rings // Michigan J. Math. 1964. - Vol. 11. - P. 183-187.

36. Martindale III W.S., Miers C.R. Herstein's Lie theory revisited // J. Algebra. 1986. - Vol. 98. - P. 14-37.

37. Ou S., Wang D., Yao R. Derivations of the Lie algebra of strictly-upper triangular matrices over a commutative ring // Linear Algebra Appl. 2007. - Vol. 424. - P. 378-383.

38. Suzuki M. Characterizations of linear groups. Bull. AMS. 1969. -V. 75. - P. 1043-1091.

39. Ward H.N. On Ree's series of simple groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1966. - V.121. - Ж. - P.62-89.

40. Zhang J. Jordan derivations of nest algebras // Acta Math. Sinica. 1998. - Vol. 41. - P. 205-212.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

41. Радченко О. В. Сопряженно-коммутативная ширина инволюции группы с одним классом сопряженных инволюций // Вестник Красноярского государственного университета, Красноярск. -2006. № 9.- С. 64-69.

42. Радченко О. В. Классы сопряженных инволюций симплектиче-ских групп над полями четного порядка и смежные вопросы. // Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика. 2008. - №. - С. 324-329.

43. Левчук В.М., Радченко О. В. Сопряженно-коммутативная ширина инволюций конечных простых групп // Межд. конф. "Классы групп, алгебр и их приложения", Гомель: Гомельский государственный ун-т. 2007. - С. 97-98.

44. Radchenko О. V. The conjugate-commutative width of involutions of finite simple groups // Межд. конф. "Алгебра и её приложения": Красноярск. 2007. - С. 173-174.

45. Радченко О. В. Сопряженно-коммутативная ширина инволюции простых классических линейных групп над полем четного порядка // Межд. конф. "Мальцевские чтения 2007", Новосибирск: ИМ СО РАН. - 2007. - С. 102.

46. Радченко О.В. Сопряженно-коммутативная ширина инволюций простых классических линейных групп над полями четного порядка // Материалы V Всесибир. конгресса женщин-математиков, Красноярск: СФУ. 2008. - С.351-352.

47. Минакова Е.В., Радченко О. В. Некоторые числовые и теоретико-модельные характеристики классических линейных групп и ассоциированных колец // Материалы VII школы-конф., Челябинск, ЮУрГУ. 2008. - С. 80 - 82.

48. Радченко О. В. Классы сопряженных инволюций простых классических групп над полями четных порядков и смежные вопросы // Межд. алгебраической конф., Москва: МГУ. 2008. -С.195 - 196.

49. Radchenko O.V. Derivations of the nilsubalgebra of Chevalley algebra and certain hypothesis for associated group // Int. Conf. "On ring and module theory", Turkey, Ankara, Hacettepe university. 2008. - P. 68.

50. Радченко O.B. Дифференцирования йорданова кольца финитарных нильтреугольных матриц // Всеросс. конф. по математике и механике, Томск:ТГУ. 2008. - С.60-61.

51. Левчук В.М., Радченко О. В. Дифференцирования кольца финитарных нильтреугольных матриц и ассоциированных колец Ли и Йордана // Препринт №3. Красноярск: ИВМ СО РАН. - 2008. - 12 с.