Диагональные локально конечномерные алгебры ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Академия наук Беларуси Институт математики

УДК 512.554.32

Баранов Александр Анатольевич

ДИАГОНАЛЬНЫЕ ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНОМЕРНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ

01.01.06 ~ математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Минск - 1996

\ 'л

\

Работа выполнена в Институте математики АН Беларуси

Научные руководители:

член-корреспондент АН Беларуси, доктор физ.-мат. наук, профессор Александр Ефимович Залссский;

кандидат физ.-мат. наук, ст.научн.сотр. Ирина Дмитриевна. Супруненко

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Юрий Александрович Бахтурин

кандидат физ.-мат. наук, доцент Михаил Васильевич Милованов

Оппонирующая организация: Белорусский Государственный

Защита диссертации состоится 20 декабря 1996 года в 1400 часов на заседании Специализированного совета Д 01.02.01 при Институте математики АН Беларуси (220072, Минск, ул.СургаиоваД!, копфереиц-зал).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан 13> ноября 1996 г.

Ученый секретарь специализированного совета,

университет

кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Исследования по локально конечномерным (или, для краткости, локально конечным) алгебрам Ли, несмотря на несомненную важность последних, до недавнего времени носили скорее эпизодический характер (см., например, главу 13 книги Амайо и Стюарта1). Пожалуй, наиболее изученные и чаще всего встречаемые в контексте других теорий примеры таких алгебр — это алгебры Ли типов Лоо, До, Соо и Doo, получаемые как прямые пределы естественных вложений классических простых алгебр Ли (см., например §7.11 монографии Кана^). В настоящее время отмечается повышение интереса к локально конечной тематике, особенно в теории групп. Интенсивность работ в этом направлении отражена, например, в трудах конференции "Конечные и локально конечные группы" (Стамбул, 1994)3 Ввидз' известного параллелизма между группами и алгебрами Ли (отраженного и в настоящей диссертации) разработка соответствующей теории локально конечных алгебр Ли особенно необходима.

В диссертации очерчен и исследован класс диагональных локально конечных алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. Эти алгебры занимают важное место в общей теории. Во-первых, потому, что только у диагональных алгебр Ли существуют локально конечные ассоциативные обертывающие, что эквивалентно наличию точных "локально конечных представлений", т.е. таких, что образ алгебры Ли порождает в алгебре линейных преобразований пространства локально конечную ассоциативную подалгебр}'. Это связывает диагональные алгебры Ли с уже достаточно хорошо разработанной теорией локально полупростых ассоциативных алгебр (см. обзор Вершика и Керова4).

1Amayo R. К., Stewart i.N. Infinite-dimensional Lie algebras. - Leiden: NoordhoIF, 1974. - 425 p.

2Кац В. Бесконечномерные алгебры Ли. - M.: Мир, 1993. - 425 с.

3Finite and locally finite groups (Hartley В., Seitz G. M., Borovik A. V. and Bryant R. M., eds). - London: Kluwcr, 1995. - 458 p.

4Вершин A.M., Kepoo C.B. Локально полупростые алгебры. Комбинаторная теория и Л'о-функтор // ВИНИТИ. Сер. сояр. пробл. мат. - 1985. - Т. 26. - С. 3-56.

Во-вторых, диагональные алгебры Ли — естественное обобщение классических бесконечномерных алгебр Ли, получаемых: как прямые пределы конечномерных классических. При этом еще сохраняются многие "хорошие" свойства. А классические бесконечномерные группы и алгебры Ли уже достаточно хорошо изучены. С другой стороны, развитая в диссертации техника позволила классифицировать простые финитарные алгебры Ли (счетной размерности). Оказалось, что их в точности три. Это уже известные классические алгебры: sL^, so^ и spTO. Заметим, что недавно Дж. Холлом была завершена классификация простых финитарных локально конечных групп0.

В-третьих, диагональные алгебры Ли связаны с аналогом теоремы Адо для локально конечных алгебр Ли об описании всех локально конечных алгебр Ли, вложимых в локально конечные ассоциативные алгебры (мы такие алгебры Ли называем алгебрами Адо). Данная проблема аналогична проблеме Капланского (1965) в теории групп об описании всех групп, групповые алгебры которых не имеют нетривиальных собственных идеалов, отличных от фундаментального. Диссертация лежит в русле подхода А. Е. Залесского, на основе которого им были получены некоторые результаты в теории локально конечных групп, связанные с указанной проблемой6. Эти и другие обстоятельства свидетельствуют об актуальности темы диссертации.

Цели и задачи исследования. Цель работы — характеризация алгебр Адо, т.е. локально конечных алгебр Ли, вложимых в локально конечные ассоциативные алгебры. Основные задачи исследования: найти критерий вложимости локально совершенной алгебры Ли с тривиальным центром в локально конечную ассоциативную алгебру; описать локальные системы подалгебр для простых алгебр Адо; доказать условие обрыва возрастающих цепей двусторонних идеалов с локально конечными факторами в универсальных обертывающих простых алгебр Ли; класси-

sHall J.I. Locally finite simple groups of finitary linear transformations // Finite and locally finite groups (Hartley В., Seitz G. M, Borovik A.V. and Bryant R, M., eds). -London: Kluwer, 1995. - P. 1-44.

eZalcsskii A.E. Group rings of simple locally finite groups // Finite and locally finite groups (Hartley В., Seitz G.M., Borovik A. V. and Bryant R. M., eds). - London: Kluwer, 1995. - P. 219-2-16.

фицировать финитарные простые алгебры Ли счетной размерности.

Научная новизна. Все результаты диссертационной работы являются новыми.

Применимость полученных результатов. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для построения теории диагональных групп Ли и алгебраических групп, классификации финитарных групп, а также в теории локально полупростых ассоциативных алгебр.

Связь работы с крупными научными программами, темами.

Диссертация выполнена в рамках темы "Исследование представлений алгебраических и конечных групп, строения локально конечных групп и групповых колец", включенной в республиканскую программу "Исследование алгебраических и дифференциальных свойств основных алгебраических структур".

Исследования, в ходе которых получены результаты диссертации, поддерживались грантами Фонда фундаментальных исследований Республики Беларусь и ШТАБ.

Личный вклад соискателя. Все результаты получены автором самостоятельно и опубликованы без соавторов.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на конференции "Алгебра и математическая кибернетика", посвященной 80-летию со дня рождения академика Д.А.Супруненко (Минск, 1995), и на алгебраическом семинаре Московского государственного университета.

Опубликованность. Результаты опубликованы в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав и выводов. Каждая глава разбита на параграфы. Объем диссертации — 85 страниц. Список литератз'ры состоит из 45 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Дадим краткое изложение содержания диссертационной работы по главам. В первой главе вводятся основные понятия и изучаются общие свойства диагональных локально конечных алгебр Ли.

Основное поле F алгебраически замкнуто, характеристики нуль. Напомним, что алгебра L называется локально конечной, если любая ее конечнопорожденная подалгебра конечномерна. Множество ко-

нечномерных подалгебр в L называется локальной системой для L. если L = и для любых i,j Е I существует k £ I такое, что Lj С Ьк.

Положим г < j, если Li С Lj. Тогда / — направленное множество, т.е. для любых i,j Е I существует к Е I такое, что i,j < к. Ясно, что L — индуктивный предел алгебр L{. т.е. L — limi,-. Локальная система {£,•},е; называется совершенной, если все L{ совершенны, т.е. [L,■,!/,•) = L^ Основной класс алгебр, исследуемый в диссертации, — локально совершенные алгебры Ли, т.е. обладающие совершенными локальными системами. Он радикален (теорема 1.1.6), и фактор локально конечной алгебры Ли по ее локально совершенному радикалу локально разрешим. Кроме того, отметим, что в этом классе содержатся все простые локально конечные алгебры Ли7.

Для конечномерной алгебры Ли К и К-модуля V обозначим через (V) множество его композиционных факторов (без учета кратностей), через V* — /f-модуль, контраградиентный к У, а через V[P — ограничение V на подалгебру Р. Пусть L = lim Li — локально совершенная алгебра Ли. Для каждого г 6 I выберем подалгебру Леви S,-в Li. Обозначим через .., S"' простые компоненты алгебры S;

(Si - S} @Sf ©... © Si'). Так как L; совершенна, то радикал Rad L, алгебры Li аннулирует неприводимые модули, и следовательно любой неприводимый Li -модуль М может быть представлен в (каноническом) виде М = Mi®.. .®МП,-, где Мк — неприводимый Д-модуль такой, что MklSf неприводим, и (MijS') = {Т.'■} для I ф к. Через Т- обозначен тривиальный одномерный S'-модуль. Обозначим через Vf стандартный модуль

7 Бахтурин 10. А., Штрадс -V. Локально конечномерные простые алгебры Ли j j Маг. сборник. - 1994. - Т. 185. - С. 3-32.

для классической S- и модуль минимальной размерности для исключительной S-. Мы будем о-Лшдествлять этот модуль с соответствующим неприводимым ¿¡-модулем (таким, что Rad L; и все Sj действуют тривиально для / ^ /;). Ясно, что набор модулей 03; = {Ц1, Ц2,..., l'j"'} не зависит от выбора подалгебры Леви. Положим 23* = {(V;1)*, (V?)*,..., (V;ni)*} % =

Локально совершенная алгебра Ли L называется диагональной, если существует локальная система {¿¡},е/ для L такая, что множество % конечно для любого i G I.

Следующее определение, впедешюе А. Е. Залесским8, является ключевым для дальнейшего изложения. Пусть L — ltrub;, Ф; — конечное множество неизоморфных неприводимых Li-модулей, i 6 I. Множество Ф -- {i'ijtg/ называется индуктивной системой, если для любых i < j

Ф; - Uфа^фЩ.

Индуктивная система Ф называется невырожденной, если для любого i £ I, любой подалгебры Леви 5, п Li и любого k = 1,... ,п,- существует ф 6 Ф,- такой, что (iHSf} ф {Г/}- Можно показать, что это определение не зависит от выбора подалгебр Лепи.

Обозначим через 36, -&J множества индуктивных систем для локально совершенной алгебры Ли L и идеалов се универсальной обертывающей алгебры U(L) с локально конечными факторами соответственно. Пусть L = lim L^ X 6 £ Тогда по лемме 1.2.8 множество

Ф(Л') = {(U{Li)/X Л U(Li))}iei

является индуктивной системой для L. Определим отображение / : —» 36, положив /(А*) = Ф(А'). Обозначим через £$(Ф) прообраз индуктивной системы Ф. Следующий результат играет ключевую роль в диссертации.

Теорема 1.2.9. Пусть L = 1пп£,- — локально совершенная алгебра Ли, отображение / : —* 3(3 такое, как выше. Тогда для любой

*Zalesskii А.Е. Group rings of locally finite groups and representation theory // Proc. Int. Conf. on Algebra (Novosibirsk, 1989). Contemporary Math. - 1992. - Vol.131, parti. - P. 453-172.

индуктивной системы Ф множество £5(Ф) непусто и обладает наименьшим элементом Х(Ф) и наибольшим элементом М(Ф) такими, что N(Ф) С X С М(Ф) для любого X 6 Ф).* Алгебра U{L)/M{Ф) полупроста, алгебра Л/(Ф)/Л^(Ф) локально нильпотентна. Более того, отображение f устанавливает биективное соответствие между полупримитивными идеалами из £¿5 и индуктивными системами для L (обратное отображение задается как Ф ь-* М(ф)).

С помощью этой теоремы доказывается основной реззгльтат первой главы.

Теорема 1.4.7. Пусть L — локально совершенная алгебра JIu. Тогда следующие условия эквивалентны.

(a) L диагональна.

(b) Существует невырожденная индуктивная система для L.

(c) Существует идеал X в U(L) такой, что U(L)/X локально конечна, и Lf)X — локально разрешимый идеал в L.

(d) Существует локально разрешимый идеал R в L такой, что L/R — алгебра Ado, т.е. может быть вложена в локально конечную ассоциативную алгебру.

Отсюда, в .частности, следует, что простая локально конечная алгебра Ли является алгеброй Адо тогда и только тогда, когда она диагональна.

Во второй главе дается более детальная характеризация диагональных алгебр Ли. В ней вводится понятие диаграммы Браттели (параграф 2.2), доказывается критерий диагональности в терминах путей в диаграмме Браттели (следствие 2.3.5) и описываются локально совершенные алгебры Адо с тривиальным центром.

Теорема 2.4.4. Пусть L — локально совершенная алгебра Ли с тривиальным центром; Ш — диаграмма Браттели алгебры L. L может быть вложена в где А — локально конечная ассоциативная ал-

гебра, тогда и только тогда, когда L диагональна и все вершины в 25 Л-регулярны.

Условие Л-регулярности (определение 2.4.3) для диагональных алгебр Ли эквивалентно тому, что для любой конечномерной полупростой подалгебры К в L множество неизоморфных композиционных факторов /С-модуля (Rad L){K (относительно присоединенного действия) конечно. Через Rad L обозначен локально разрешимый радикал алгебры L.

В третьей главе исследуются простые диагональные алгебры Ли. Показано (теорема 3.1.8), что простая диагональная алгебра Ли обладает локальной системой совершенных подалгебр L,-, г £ I, таких, что для любых г < j вложение Li С Lj диагонально, т.е. С 53,-иЗД,* U {XJ},

где Т{ — тривиальный ¿¿-модуль. Более развернутую характеризацию простых диагональных алгебр Ли дает следующее

Следствие 3.1.9. Пусть L — простая локально конечная алгебра Ли. Тогда следующие условия эквивалентны.

(1) L диагональна.

(2) L может быть представлена в виде прямого предела диагональных вложений совершенных конечномерных алгебр Ли.

(3) Существует нетривиальная индуктивная система для L.

(4) Существует собственный идеал X в U(L) такой, что U{L)/X локально конечна и X ф A(L), где A(L) — фундаментальный идеал в U(L), т.е. идеал коразмерности 1, порожденный всеми I £ L.

(5) L может быть вложена в локально конечную ассоциативную алгебру.

(6) Для любого х 6 L существует ненулевой многочлен fx такой, что fx(adx) = 0 (в End LJ.

Элемент х алгебры Ли g((V) всех линейных преобразований пространства V называется финитарным, если пространство xV конечномерно. Финитарные преобразования образуют идеал ifl[(V) в ßi( V). Подалгебры в fg[(V) называются финитарными алгебрами Ли. Ясно, что такие алгебры локально конечны. В диссертации классифицированы

все финитарные простые алгебры Ли счетной размерности над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль (следствие 3.3.2, теорема 3.3.4). Их всего трн: я!«,, и зр^,.

Доказано, что индуктивные системы для простых локально конечных алгебр Ли удовлетворяют условию обрыва убывающих цепей (теорема 3.4.1). В качестве следствия получен результат об идеалах в универсальных обертывающих алгебрах.

Следствие 3.4.2. Пусть Ь — простак локально конечная алгебра Ли. Тогда множество полупримитивных идеалов в 1/(Ь) с локально конечными факторами удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей.

Локально совершенная алгебра Ли Ь называется диагонально плотной, если она обладает локальной системой совершенных подалгебр Ц, г С I, таких, что для любых г < ] вложение L¡ С Ьу диагонально плотно, т.е. С Ш.-иЗЗ?. Обозначим через Ф° тривиальную индуктивную

систему, т.е. Ф® = {Г;}, г 6 В диссертации описаны простые локально конечные алгебры Ли, которые обладают простыми локально конечными ассоциативными обертывающими.

Теорема 3.4.4. Пусть Ь — простая локально конечная алгебра Ли. Тогда следующие условия эквивалентны.

(1) Ь или диагонально плотная, или классическая типа В.

(2) Существует непустая индуктивная система Ф для Ь такая, что Ф° 2 Ф.

(3) Существует собственный идеал М в II[V) такой, что и(Ь)/М локально конечна и М А(Ь).

(4) Существует простая локально конечная ассоциативная обертывающая для алгебры Ь (фактор алгебры £/(£), содержащий Ь).

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям: А. Е. Залесскому за постановку задач, полезные обсуждения и советы и И. Д.Супр.гненко за постоянное внимание к работе.

ВЫВОДЫ

• Получены необходимые и достаточные условия реализуемости локально совершенной алгебры Ли с тривиальным центром в качестве лиевой подалгебры локально конечной ассоциативной алгебры.

• Показано, что простая алгебра Адо обладает локальной системой диагонально вложенных друг в друга совершенных подалгебр.

• Классифицированы финитарные простые алгебры Ли счетной размерности.

• Доказано, что множество полупримитивных идеалов в U(L) с локально конечными факторами для простой локально конечной алгебры Ли L удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей.

• Описаны простые локально конечные алгебры Ли, обладающие простыми локально конечными ассоциативными обертывающими.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ АВТОРОМ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Баранов A.A. Локально конечные факторалгебры универсальных обертывающих алгебр //Докл. АНБ. - 1996. - Т. 40, N2. - C.2G-30.

[2] Baranov A. A. Diagonal locally finite Lie algebras. - Preprint / Academy of Sciences of Belarus. Institute of Mathematics. - No3(515). - Minsk, 1996. - 42 p.

[3] Baranov A.A. Locally finitc-diinensional factoralgebras of universal enveloping algebras // Всеукраинская научная конф. "Разработка и приложения матем. методов в научно-техн. исслед." посвящ. 70-летшо со дня рожд. П.С. Казимирского. Тез. докл. Часть !. - Львов, 1995. - С. 51-52.

[4] Baranov A. A. Diagonal locally finite-dimensional Lie algebras // Проблемы алгебры и кибернетики. Материалы межд. конф., посвящ. памяти академика С.А. Чунихина. Часть 1. - Гомель, 1995. - С. 16.

РЕЗЮМЕ

Баранов Александр Анатольевич Диагональные локально конечномерные алгебры Ли

Ключевые слова: локально конечная алгебра Ли, диагональная алгебра Ли, простая алгебра Ли, финитарная алгебра Ли, индуктивная система представлений, универсальная обертывающая алгебра.

В диссертации изучаются локально конечные алгебры Ли, вложи-мые в локально конечные ассоциативные алгебры. Возможность такого вложения тесно связана с понятием диагональности. Приведен критерий существования такого вложения для локально совершенных алгебр Ли с тривиальным центром. Получен ряд результатов о строении простых диагональных локально конечных алгебр Ли. В частности, классифицированы финитарные простые алгебры Ли счетной размерности. Показано, что решетки полупримитивных идеалов универсальных обертывающих алгебр с локально конечными факторами для простых локально конечных алгебр Ли .удовлетворяют условию обрыва возрастающих цепей.

РЭЗЮМЭ

' Баранау Аляксапдр Анатольев1Ч Дыяганальныя лакальна канечнамерныя алгебры Ш

Ключавыя словы: лакальна канечная алгебра Л1, дыяганальная алгебра Л1, простая алгебра ЛИ, фш^тарная алгебра Л1, шдуктыуная сктэма прадстауленняу, универсальная абгортваючая алгебра.

У дысертацьп вывучаюцда лакальна канечныя алгебры Л1, яюя мо-гуць бьщь укладзены у лакальна канечныя асацыятыуныя алгебры. Маг-чымасць такога укладання цесна звязана з паняццем дыяганальнасщ.

Прыведзен крытэрый кнавання такога укладання для лакальна даска-налых алгебр Jli з трыв1яльным цэнтрам. Атрыман шэраг рэз}\льта-тау аб пабудове простых дыяганальных лакальна канечных алгебр Jli. У прыватнасщ, клаифпсаваны фиптарныя простыя алгебры Jli зл!чонай BbiMepHacni. Паказана, што краты паупрым1тыуных ¡дэалау ушверсаль-ных абгортваючых алгебр з лакальна канечным! фактарали для простых лакальна канечных алгебр Jli задавальняюць умове абрыва нарасталь-ных ланцугоу.

SUMMARY

Baranov Alexander Anatol'evich Diagonal locally finite-dimensional Lie algebras

Key words: locally finite Lie algebra, diagonal Lie algebra, simple Lie algebra, finitary Lie algebra, inductive system of representations, universal enveloping algebra.

Locally finite Lie algebras embcddable into locally finite associative algebras are studied in the thesis. The possibility of such embedding is closely linked with the notion of diagonality. A criterion of the existence of such embeddings for locally perfect Lie algebras with the trivial centers is obtained. A number of results on the structure of simple diagonal locally finite Lie algebras is given. In particular, finitary simple Lie algebras of countable dimension are classified. For simple locally finite Lie algebras it is shown that the lattices of semiprimitive ideals of universal enveloping algebras with locally finite quotients satisfy the ascending chain condition.