Локально конечные алгебы Ли и универсальные обертывающие алгебры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ >ГБ ОД имени М.В.ЛОМОНОСОВА

- и :)ЕВ 1335

I '

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.554

ЯНСОН Иван Андреевич

ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ И УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ОБЁРТЫВАЮЩИЕ АЛГЕБРЫ

Специальность 01.01.06 Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1995

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры

механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Бахтурин Ю. А.

Официальные оппоненты:

— доктор физико-математических наук, профессор Оншцик А. Л.

— кандидат физико-математических наук, Петроградский В. М.

Ведущая организация:

Московский педагогический государственный университет им. В. И. Ленина.

Защита диссертации состоится " " 199^г. в 16

час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьёвы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ ( Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " ^^ 199Й?г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ

д.ф.-м.н., профессор В. Н. Чубариков.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Конечномерные алгебры Лн являются наиболее изученными в теории алгебр Ли, поэтому локально конечномерные алгебры Ли, как наиболее близкие к конечномерным, являются притягательной областью для исследований. Так, например, локально конечные алгебры это предмет исследования в работе [I]1. Если более точно, то в этой статье изучаются простые локально конечномерные алгебры Ли. Важной конструкцией локально конечных алгебр Ли являются прямые пределы конечномерных алгебр Ли. В вышеупомянутой статье наряду с другими объектами рассмотрено некоторое множество прямых пределов простых алгебр Ли классического типа А и показала континуальность этого множества. В диссертации рассматривается и изучается со структурной точки зрения другое множество прямых пределов простых алгебр Ли типа А, содержащее в себе множество прямых пределов из работы [1].

В множестве всех прямых пределов полупростых алгебр Ли можно выделить особые случаи. Например, в работе [2]2 введено понятие треугольности для таких прямых пределов. Введение этого понятия позволяет рассмотреть обратные пределы множеств доминантных весов. Авторами произведено исследование этих обратных пределов на нетривиальность для целого ряда случаев. Нашей целью является рассмотрение обратного предела множеств доминантных весов во многих других случаях. Кроме того, в настоящей работе для этих случаев исследуются обратные пределы множеств инвариантных полиномиальных функций и обратные пределы корневых решёток.

Одним из наиболее часто исследуемых объектов, связанных с алгеброй Ли, является её универсальная обёртывающая алгебра. Для конечномерной полупростой алгебры Ли известно (см. [З]3), что центр её универсальной обертывающей алгебры изоморфен кольцу многочленов. В настоящей работе исследуется центр ушшерсаль-

1 [1] Бахтурин Ю. А., Штраде Г. Локально конечномерные простые алгебры Ли , Мат. Сборник 81(1995), No.l

2 [2] Yuri Bahturin and Georgia Benkart, Highest weight modules for locally-finite Lie algebras, Proc. Conf. 60-th birthday R.Block. to be published.

З[3] Диксмье Ж.i Универсальные обёртывающие алгебры, изд. "Мир", Москва 1978.

ной обёртывающей алгебры простой алгебры Ли, являющейся прямым пределом конечномерных полупростых алгебр Ли. Заметим, что в статье [4]* отмечается тривиальность центра универсальной обёртывающей алгебры для нескольких алгебр Ли такого типа.

Другой объект, связанный с универсальной обёртывающей алгеброй, это её классическое тело частных. Оно не всегда существует, и соответственно основной задачей, стоящей в этой области, является поиск тех случаев, когда классическое тело частных существует. Положительно этот вопрос решён в случае конечномерных и разрешимых алгебр Ли. В диссертации исследование этой проблемы осуществляется с использованием понятия роста алгебр. Это исследование производится для API-алгебр и для алгебр из некоторого, введённого в работе, многообразия.

Цель работы. Описать конкретные множества прямых пределов простых конечномерных алгебр Ли типа А. Изучить обратные пределы, связанные с некоторыми треугольными прямыми пределами простых алгебр Ли. Доказать тривиальность центра универсальной обёртывающей алгебры простой алгебры Ли, являющейся прямым пределом полупростых алгебр Ли. Решить вопрос о существовании классического тела частных у универсальных обёртывающих алгебр API-алгебр Ли и алгебр Ли из многообразия ocD.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. В усиление результата работы [1] о континуальности семейства локально конечных простых алгебр Ли типа А, получена полная классификация множества прямых пределов алгебр Ли типа А вида i € I, где структурные гомоморфизмы : —>

определены формулами $i+i,¿(/1) = diag {Л, А,..Л}, А 6 0^.

"-V-'

PI

Получено необходимое и достаточное условие изоморфности таких прямых пределов.

2. Рассмотрено более широкое множество прямых пределов простых алгебр Ли типа А таких, что Ф,+1)1(Л) = diag{Ci, С2,..., Cm¡}, где Ci равно либо А, либо —А1. Для прямых пределов из такого

4[4] Olshanskii G.I., Representation of infinite-dimensional classical groups: limits of enveloping algebras and Yangians. Topics in representation theory, Adv. Sov. Math. 2, 1-66(1991).

класса получено необходимое условие изоморфности. Доказаны теоремы, дающие описания в двух частных подслучаях этого случая.

3. Рассмотрено по два типа треугольных вложений для простых алгебр Ли классических типов А, В, С, Б соответственно. Для всех этих случаев изучен характер воздействия сопряжённых отображений на фундаментальных весах, на простых корнях, на множествах доминантных весов, на корневых решётках и на множествах инвариантных функций. Для прямых пределов простых алгебр Ли с композициями этих отображений в качестве структурых гомоморфизмов показана нетривиальность обратного предела множеств доминантных весов и нетривиальность обратного предела множеств инвариантных полиномиальных функций. В отдельных случаях показано существование обратных пределов корневых решёток, и отмечена нетривиальность последних.

4. Рассмотрены простые алгебры Ли, являющиеся треугольными прямыми пределами конечномерных полупростых алгебр Ли. Исследовано воздействие структурных гомоморфизмов в таких прямых пределах на инварианты действия группы Вейля в симметрических алгебрах подалгебр Картана. Доказано то, что центр универсальных обёртывающих таких алгебр Ли тривиален. На базе этого утверждения получен результат о тривиальности центра универ-сальнщй обёртывающей алгебры произвольной простой алгебры Ли, являющейся прямым пределом конечномерных полупростых алгебр Ли.

5. Рассмотрен вопрос существования классического тела частных в свете понятия роста алгебр. Показано существование классического тела частных для универсальных обёртывающих алгебр АР1-алгебр Ли ( обобщение понятия специальных алгебр Ли ). Также положительное решение этой проблемы получено для универсальных обёртывающих алгебр алгебр Ли из многообразия ас0, где О такое многообразие, что все его конечнопорождённые относительно свободные алгебры обладают субэкспоненциальным ростом.

Все основные результаты являются новыми, их достоверность подтверждается подробными доказательствами.

Апробация. Материалы диссертации докладывались на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-2.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литературы из 15 названий. Общий объём диссертации 163 страниц.

Во введении показана актуальность работы, сформулированы основные результаты. В главе 1 рассматриваются некоторые конкретные множества прямых пределов простых алгебр Ли типа А. В главе 2 изучаются обратные пределы, связанные с некоторыми треугольными прямыми пределами простых алгебр Ли. В главе 3 изучается центр простой алгебры Ли, являющейся прямым пределом полупростых алгебр Ли. В главе 4 рассматривается вопрос существования классического тела частных у универсальных обёртывающих алгебр АРI- алгебр Ли и алгебр Ли из многообразия асо.

Содержание диссертации.

1.1 Пусть К поле нулевой характеристики. Простой алгеброй Ли типа А называется алгебра з1(т, К) матриц размера (т х то) над полем К с нулевым следом. Если у нас имеется цепочка вложений

sl(mi,K)—>з1(гп2,К)—> •■■ —К)—>■ sZ(mI+1,K)—>■ ••• где $1(тп{,К) вкладывается в з1(тгц+i,K) как подалгебра Ли, то с этой цепочкой можно связать прямой предел lim si(m;, К) , определяемый соответствующей индуктивной системой. Рассмотрим набор ЗЛ взаимно непересекающихся множеств Moo,Mj,M2,. ■., где каждое из множеств состоит из простых чисел. Поставим в соответствие такому набору последовательность простых чисел (p;)IgN такую, что:

а) Vi 6 N,pi 6 (U^i) U Мое! b) для любого k G N U {оэ} и для любого р £ Mk существует г € I такое, что р = pi\ с) если простое число р из последовательности (p;)ieN принадлежит множеству AI к, тогда р появляется в последовательности ровно к раз.

По последовательности (Pt)ieN строится прямой предел. Положим mj = JJpj. Для I > к мы определим гомоморфизм

Ф: si(mjt,K) —> si(mi, К) полагая:

Ф;,*(А) = diag {Л, А,..., А}, где .4 £ sl(mk, К).

mi/mi, ШТУК

Система алгебр {sî(mj,K)} вместе с гомоморфизмами Ф¡¿,1 > к образует индуктивную систему, и потому мы можем рассмотреть прямой предел = lim sl(mj, К) .

В статье [1] рассматриваются прямые пределы такого типа в случае, когда для любого t € N, г ф со, Mi — 0, то есть в случае, когда простые числа в последовательности (p;)jeN встречаются только бесконечное число раз. Для этих пределов показано, что их множество имеет мощность континиум. В настоящей диссертации доказана следующая теорема:

Теорема Рассмотрим, множество прямых пределов limsl(nf,K), где 1 G Nu где структурные гомоморфизмы,

Ф/,* : sl(nfc,K)—> sl(n,,K) , k <1 определены формулой: Ф(,*(А) = diag {А, А,..., А}, где A G sl{nk, К).

П|/щ Штук

Тогда описанное выше соответствие 9Л —У £®j есть биекция между множеством наборов вида ЯП = {Мса,М\,М2,...), где AIoo,Mi,M2,... это взаимно непересекающиеся множества простых чисел, и множеством таких прямых пределов алгебр Ли, рассматриваемых с точностью до изоморфизма.

1.2. Оказывается, что для этого множества прямых пределов можно дать некоторую метрическую интерпретацию. Рассмотрим множество нату ральных чисел N. Занумеруем простые числа в N

в некотором порядке: pi,p2,... ,Pi,____Пусть a,-(m) это степень г-

ого простого числа в числе m € N. Введём следующую функцию р : N х N —> R>0.

¡=1

Эта функция является метрикой на N. В главе 1 (см. Теорему 1.6) построено отображение из множества прямых пределов, рассмотренного в предыдущей теореме, в пополнение метрического пространства (N, р), и показано то, что это отбражение является биекцией.

1.3 Рассмотрим теперь прямые пределы простых алгебр Ли типа А, где структурные гомоморфизмы устроены несколько сложнее. А именно, если Ф/,* : з1(пк, К) —> з1(п1, К) структурный гомоморфизм в прямом пределе Цтз/(п,-,К), то это блочно-диагональная матрица, на диагонали которой стоят блоки разные А или —А*, где А* — транспонированная матрица А. Рассмотрим множество 7 — {(ах,..., а*) | сц £ {—1,1}, А Е Щ. Наделим его операцией:

(а1,...,а^)(Ь1,...,6т) (£>!«!,.. .,Ь1а/,,Ь2а1,.. ■ ■ ,1>тац)

Также рассмотрим множество С? = {(я^хг) | Х1,Х2 6 N и {0}} неупорядоченных пар целых неотрицательных чисел. Введём на й операцию умножения:

{Х1,Х2){У1,У2) =Г {Х1У1 '+Х2У2,Хгу2 + Х2У1).

Множества ^ иСс введёнными на них операциями являются полугруппами. Пусть Т = 3-/ ~ фактормножество множества Т по отношению эквивалентности: а ~ Ь & а = ±Ь. Введём гомоморфизм полугрупп х '• Р —►

х(±(аь...,сц)) = (а+,а~), где а± = #{а{ = 1}.

Пусть есть пара (т, (с^),, где т € N и с^ £ Т для любого к 6 N. Положим тп\ — тп и лг,-+1 = |, где это дли-

на последовательности с^. Оределим структурный гомоморфизм Ф,•+!,<: К)—> следующим образом Ф^ДА) =

а1а§{(с^(А),с(*+1)(Л),---,с<г-1)(Л)}, где с$°(А) это матрица А,

если с^ = 1, и это (—Л1), если с^ = —1. Обозначим полученный прямой предел НггЫ(т;, К) через £(т(с(,)))- Ясно, что наши прямые

пределы описываются прямыми пределами такого типа. Оказывается, однако, что для описания наших прямых пределов достаточно полугруппы Т.

Лемма Пусть дани две пары (т,

т 6 N,<2«, с(0 6 Т и № = ±сЮ для любых i £ N. Тогда £(т,(с(0)) =

£(т,(<<(0)).

Теперь мы можем строить __ прямые пределы по парам (т, где (с^),.^ е Т. Мы будем просто полагать

£(m,(c<'))) = jC(m,(a(¡))), где a(t) некоторый представитель элемента с«) в Т.

Теорема Пусть прямые пределы простых алгебр

Ли типа А, построенные по натуральному числу т uno последовательностям С — (с(')), С = (#•>) элементов полугруппы Т. Тогда, если Vi 6 N х(с<) = х(с«). то ¿(m,c) = С{т,су

Эта теорема говорит о том, что для описания рассматриваемых прямых пределов достаточно элементов полугруппы G. Другими словами, прямой предел не зависит от порядка матриц А и (—А') в матрице Ф^ДА).

1А Получено необходимое условие изоморфности двух прямых пределов, заданных последовательностями элементов полугруппы

Теорема Пусть даны два набора (т,С), (т,С), где тп,т £ N, С = С = (c^)ig]vj, и где £ ¡F для любых i. Пусть

£(т,о = £(й,с)' тогда ;

(i) для любого г £ N существуют j = j(i),k = k(i) € N такие, что m¡ делит mj, и пц делит т

('й)существует г'о такое, что для любого i > г'о существует j = j(i) € N такое, что

Х(с^) делит где с*1'" = .....с*-":

аналогично, существует натуральное ко такое, что Vfc > 3/ = Цк) £ N такое, что делит Х(с{1А)), где с^ = с^с™.....

(ti)* Если т = т > 3, и если изоморфизм £(mic) = ^ таков, что он отождествляет подалгебру sl(m,K) в С(т,с) с подалгеброй sl(m,K) в £~ g, то Vi £ N 3 j = j(i) £ N и k = k(i) £ N такие, что

х(с(1',}) делит Зелита х(с(1Л))-

Рассмотрим множество знакопеременных последовательностей нечётной длины в Т. Обозначим его через Тогда ока-

зывается, что абелева подполугруппа в Т. Возьмём набор 9Л = (A/oo,Aíi, М2,...) взаимно непересекающихся множеств простых нечётных чисел. Построим по набору ЯЛ последовательность (P')ieN' обладающую ранее упоминавшимися свойствами а),Ь),с) . Построим по этой последовательности набор натуральных чисел = JJpj. Рассмотрим систему алгебр Ли {^/(mjt,

Определим гомоморфизмы : si(m*,K) —> sl(mj, К), к < I следующим образом: Ф/,*(Л) = diag{А,—А1,...,А,—А*,А}, где А £ sl(mit, К). Система алгебр {з1(тк, K)}iej\j вместе с гомоморфизмами к < I образует индуктивную систему, а потому мы можем рассмотреть прямой предел Cm = lim s/(m*, К) .

Теорема Рассмотрим множество прямых пределов простых алгебр Ли типа А вида£(т1с), где т—нечётное, С — (с^), с^ 6 Тг Vi = 1,2,____Тогда описанное выше соответствие ®t —> £rot является биекцией между множеством наборов взаимно непересекающихся множеств простых нечётных чисел и указанным выше множеством прямых пределов простых алгебр Ли типа А.

Таким образом, мы получили ещё одно континуальное семейство попарно неизоморфных локально конечных простых алгебр Ли. Причём алгебры из этих двух семейств тоже всегда неизоморфны.

1.6 Рассмотрим ещё один частный случай. Для этого определим подполугруппу Gi = {(х], £2) 6 Gjaci ф 22} в G. Рассмотрим прямые пределы, построенные по последовательностям элементов из Gi. Для таких прямых пределов с отождествлёнными стартовыми подалгебрами существует критерий изоморфности.

Теорема Пусть даны две алгебры такие> что

X = (®(i))i6N» X = (£(,))i6N> где е Gj и где т = m.

Тогда между алгебрами £(m,x)> X) сУЩестпвУетп изоморфизм, отождествляющий стартовые подалгебры sl(m, K),sl(m,K), тогда и только тогда, когда Vi 6 N 3k, I б N такие, что Х\Х2 • •• ж,- делит XiX2---Xk u Xi Х2 • * * х ( делит Х1Х2 ■■• xi.

Этот критерий существенным образом используется для описания прямых пределов, построенных по последовательностям элементов из Gi ( см. гл.1 теорема 2.13 ).

2.1 Во второй главе рассматривается целый ряд вложений простых алгебр Ли друг в друга и связанные с ними прямые пределы, причём в этом рассмотрении существенную роль играет введённое в [2] понятие треугольного гомоморфизма.

Пусть вид' полупростые алгебры Ли над полем К (char К = 0). Пусть д = п_ ф I) © гц,д' = п'_ © [)' ® п'+ — их треугольные разложения, ассоциированные с выбором подалгебр Картана 1) и f)' и

выбором базисов В, В' систем корней R и R'. Тогда гомоморфизм Ф : g —V g' называется треугольным, если

ф(«±) Я п± и Ф(!)) С ()'.

Все вложения, рассматриваемые в главе 2, являются треугольными. В работе [2] показано, что в случае треугольного гомоморфизма Ф верно включение Ф*(Л+(я')) С Л+(д), где Л+(д), Л+(д') это соответствующие множества доминантных весов. Если Ф : g —> д' это треугольное вложение, a. W, W это группы Вейля алгебр Ли 0, 5', то также имеет место включение 5(Ф*) С S(fj'*);v.

Пусть теперь g = lim д*-1' прямой предел семейства конечномерных полупростых алгебр Ли над полем 1С (где I это направленное множество). Пусть для каждого i £ I алгебра 0^ обладает некоторым треугольным разложением 0W = пУ ® f)^ © п^, ассоциированным с выбором подалгебры Картана и с последующим выбором базиса B« системы корней В.™ относительно Пусть Л+(0^) это соответствующее множество доминантных весов. Предположим, что структурные гомоморфизмы Ф^,; : gW —>• gW являются треугольными вложениями. Тогда мы можем связать с алгеброй 0 обратные пределы Л+(д) = lim Л+(д^) и

J = lim S(f^>*) .

2.2 Рассмотрим следующие типы вложений для простых алгебр Ли типов A,B,C,D. Все они будут треугольными относительно выбора подалгебр Картана и относительно выбора стандартных базисов систем корней для этих алгебр (см. [5,VIII§13]5). Во всех случаях мы используем единообразное обозначение

где

к 6 {1,2},д £ N.

(А) Вложения Ф<1} : л/(/+1,К) —¥ sl{V + 1,К) и Ф^ : sl(l -f 1,К) —У sl(q{l + 1), К) задаются следующим образом:

ф[1}(А) =

(А 0 ••• 0 \ О 0 ••• О

\ о о о о /

1 "V

J+i+1

1+4+1;

5[5] Н.Вурбаки, Группы и алгебры Ли, кзд. "Мир", Москва 1978.

фЮ(А) = где А £ зЩ + 1,К).

ч штук

(В) Вложение Ф(гх) : ао{21 + 1,К) —)■ зо(21' + 1,К), V = / + q, состоит во вставке 2q нулевых строк и нулевых столбцов после (I + 1)-ой строки и (/ + 1)-ого столбца соответственно. Вложение ф£2' : в о (21 + 1, К) —> зо(2р(21 + 1), К) определяется следующей формулой:

Ф12)(Л) = сИа..., Л,О, А,..., А}, где А £ а!(1 + 1, К),

а ноль Так же,

это не

как

Ф

(2)

матрица, а скалярный ноль, в случае (А), определяется вложение ? : зо(21 + 1,К) —► зо((2р + 1)(2г+ 1),К).

(С) Вложение Ф^ : зр(2/,К) —> зр(2/', К), д = V — I состоит во вставке 2q нулевых строк и 2q нулевых столбцов после 1-ой строки и 1-ото столбца соответственно. Вложение Ф^ : вр(21, К) — sp(2ql,lí) определяется следующим образом. Пусть а это матрица из зр(22,К), тогда она имеет вид

А С

В

—зА*з

где А, В, С, В £ Ма1{1, К), В и С это матрицы симметричные относительно побочной диагонали, и э — матрица с единицами на побочной диагонали и нулями на остальных местах. Тогда

ф(2),

{(с -Л«-)}"

( А 0 В 0 \

0 А 0 ' В

С 0 1> 0

1° С 0

, где Б = —зЛ'й.

(Б) Отображение Ф^ : зо(21,К) —У зо{21',К), д = -I определяется так же, как в случае (С). Отображение Ф(,2) : зо (2/, К) —► 30(29!, К) определяется так же, как в случае (А).

Предложение Пусть Ф^ : д —> д' это одно из определенных нами в пунктах А,В,С,0 треугольных вложений. Тогда:

(A) a) Ф^Л+Сз')) = A+(g)Vg б N,k Е {1,2}. б) 5 RfatydM любых q б N. Ф<2)*(i?(g',()')) = П{з,Ъ)для любых q б N.

(B) а) Ф^1)*(Л+(в')) = Л+(д)й/1я любых q б N.

^'(Mfl')) = {л = А10Д+-- •+А/_1ш/_1+2А/ш, | где А,- € Z>0} для любых р Е N.

ф2р+1 (Л+(э')) = Л+(в)<?ля любых q б N. б) Ф^ДСя',^)) = Щ,Ъ)для любых q б N,fc 6 {1,2}.

(C) Этот случай полностью повторяет случай (А).

(D) а) Ф^)*(Л+(в/))={А = А1И1 + .-.+А,_зш/_а+А/_1(«/_1+од) + А¡Ш1 | где А,- 6 Z>o}d.tJ» любых q € N.

ФЙГ(Л+(я')) = {А = A,wi + • ■ • + Аг_2ы,_2 + Ai-iiw/-! + ш/) +

2Aja;; | где б Z>o}3a» любых р б N.

*2р+1*(Л+(0')) = Л+(в)Эля р б N.fc € {1,2}.

б) Здесь ситуация совпадает, с пунктом б) случая (А).

2.В пунктах А,В,С выполняется равенство

S (ф<*>*) (5(0*") = для любых qeN,k€ {1,2}.

В пункте D имеют место соотношения:

5(ф(«*) (¿((Г)"") = dgsm„{g2,gi,...,g2l-2,g2l}iS{V)W

S (фаГ) {Wf) = ¿l9s(b-r fa, 9*,-,321-2,921} * SW)W

Здесь g2,g4,-.., g2i-2,9 это порождающие алгебры 5(f)*)iv ( см. [4])

На выводах, сделанных в этом предложении базируются результаты основного утверждения главы 2.

Предложение Пусть g =

limgW,

где i б I, I—направленное

множество, gW это простые алгебры Ли одного из рассмотренных типов, а структурные гомоморфизмы Ф^,,-, i,j б I, j > i,

в прямом пределе имеют вид Ф^ = Ф?^ о о ••• о где

ki,k2,...,kt € {1,2}, € N, t > 1, причём все эти ин-

дексы и t зависят от i и j, то есть kT = kr(i,j), qr = qr{i,j) для любых г = 1,2,u t =t(i,j). Тогда

1) Л+(д)=ПтЛ+(д<'>)^(0)

(л*

2) J = lim S(f)W ) ф (0), а значит нетривиален и обратный предел инвариантов присоединённого действия алгебр полиномиальных функций на алгебрах д('), то есть lim S(g ' ) (0).

3) Пусть для любых i,j £ I таких, что j > i, ki(i,j) = ••• = kt(i,j) = 2, тогда можно говорить об обратном пределе множеств корневых решеток lim и этот обратный предел нетривиален. Если же мы находимся в случае В, то это верно для любых ki,k2,-..,kt.

3.1 В третьей главе мы снова рассмотриваем треугольные прямые пределы. Рассмотрим алгебру Ли над полем К, являющуюся прямым пределом семейства {д^ |г € 1} ( где I направленное множество). Будем считать, что g это треугольный прямой предел, все структурные гомоморфизмы которого инъективны. Фиксируем в подалгебре Картана f)^ для любого a € R^ однозначно определённый элемент Я$ б такой, что а(я£^) = 1.

Тогда можно рассмотреть автоморфизм пространства (f)W)* — отражение относительно корня а: а0(А) = А — А(Па^)а, где А 6 Напомним, что группа порождённая всеми такими отражениями называется группой Вейля алгебры Ли д^. Обозначим её через Продолжим действие группы Вейля на подалгебру Картана: за(П) = Я - а(Я)Яа, где Я е ¡¡О.

На рассмотрении подалгебры Картана, как модуля относительно действия группы Вейля, основано доказательство следующей основной леммы.

Лемма Пусть g конечномерная полупростая алгебра JIu над полем К с подалгеброй Картана i),

g = Oj ® 02 9 • • • Ф а,

её разложение на простые идеалы, W группа Вейля для g относительно fj и 5(1])^ это множество W-инвариантов симметриче-

ской алгебры подалгебры Картана f). Если v £ S(f))w, то линейная оболочка компонент симметрического тензора v равна

Ьл f?>,

для некоторого набора индексов 1 < j\ < Зг < • • ■ < jr <

Эта лемма позволяет доказать следующую теорему. Теорема Пусть g = limg^ простая алгебра Ли, являющаяся

треугольным прямым пределом конечномерных полупростых алгебр Ли, и пусть все структурные отображения в этом прямом пределе инъективны. Тогда для любого i £ I существует j £ I, i < j такое, что для любого k >j

S^XSftW)**4) П 5(bW)wW = К • 1.

Этот же результат позволяет перейти к рассмотрению центра универсальной обёртывающей алгебры такого прямого предела. Теорема Пусть g простая алгебра Ли из условия предыдущей теоремы, и пусть Z(g) центр ее универсальной обёртывающей алгебры. Тогда этот центр тривиален, то есть Z(g) — К • 1.

3.2 В статье [2] показано, что любой гомоморфизм полупростых конечномерных алгебр Ли 0 и д' может быть рассмотрен как треугольный при подходящем выборе подалгебры Картана f)' в алгебре д'. С другой стороны алгебру, являющуюся прямым пределом полупростых алгебр Ли, можно выразить через прямой предел полупростых же алгебр Ли с инъективными структурными гомоморфизмами в этом прямом пределе. Эти факты, взятые вместе с критерием простоты для прямых пределов, позволяют доказать следующую теорему.

Теорема Пусть g = lim это бесконечномерная простая алгебра Ли, являющаяся прямым пределом семейства полупростых конечномерных алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем К нулевой характеристики. Тогда центр Z(g) её универсальной обёртывающей алгебры U(g) тривиален, то есть Z(g) = К • 1,

4.1 Пусть А — произвольное кольцо, а S мультипликативно замкнутое подмножество неделителей нуля в А. Тогда кольцо В называется кольцом частных кольца А относительно S, если: 1) Л — подкольцо в В;

2) каждый элемент из S обратим в В;

3) для каждого Ь € В найдутся такие а, а' £ Л и s, s' € S, что b = аз-1 и 6 = s'-1a'.

Для существования такого кольца 5 необходимо и достаточно выполнения условия Ope: если а 6 А, з £ S, то аз' = за' и з"а = а"з для подходящих а', а" € A, s', s" S 5. Если S совпадает с множеством всех неделителей нуля, то соответствующее кольцо частных называется классическим кольцом частних кольца А. Если в кольце А нет делителей нуля, то его классическое кольцо частных будет телом.

В четвёртой главе исследуется условие Ope в универсальных обёртывающих алгебрах алгебр Ли. В этой области известно по крайней мере то, что оно выполняется в случае конечномерных и в случае разрешимых алгебр Ли. В основном же этот вопрос является открытым. Мы для наших исследований используем понятие роста алгебр. Пусть А это конечнопорождённая алгебра над полем К с множеством порождающих X. Рассмотрим линейную оболочку всех мономов, длина которых в элементах множества X не превышает п. Обозначим эту линейную оболочку через А(Х, п). Тогда функция 7л(п) = dimА(Х,п) называется функцией роста алгебры А относительно множества порождающих X. Говорят, что алгебра А обладает экспоненциальным ростом, если lim 7,4 (п) » > 1.

П-++СО

В противном случае, говорят, что А обладает субэкспоненциальным ростом. Если же существует полином р(п) такой, что 3N £ N, Vre > N, 7д(п) < р(п), то S является алгеброй с полиномиально ограниченным ростом.

Следующая лемма (см. [б]6) связывает введённые понятия. Лемма Алгебра субэкспоненциального роста без делителей нуля обладает телом частных, то есть является кольцом Ope.

Напомним определение APJ-алгебры. Разреженным тождеством порядка п называют систему тождеств вида

УЧ аоХ<г(1)Мх0(г) ' ' ' = О,

<r€S„

6 [6] A.A. Кириллов, M.JI. Коыцевич, А.И. Молев, Алгебры промежуточного роста. Препринт N39, 1983, ( институт прикладной математики имени Келдыша Академии Наук СССР).

где каждое тождество определяется словами А\,... ,Ап~1, образующие которых отличны от XI,... ,хп, а коэффициенты а„ зависят от этих слов.

Алгебра Ли, в которой выполнено некоторое разреженное тождество, называется АР /-алгеброй.

Теорема Пусть 1> — АРI-алгебра Ли, тогда её универсальная обёртывающая алгебра и{Ь) обладает классическим телом частных.

4.2 Пусть а многообразие абелевых алгебр Ли, и пусть О многообразие, обладающее следующим свойством :

, , все конечнопорождённые свободные алгебры этого мно-' гообразия имеют субэкспоненциальный рост. С использованием понятия сплетения алгебр доказывается следующее предложение.

Предложение Универсальная обёртывающая алгебра конечнопо-рождённой свободной алгебры многообразия его, где О обладает свойством (**), обладает классическим телом частных.

Непосредственным следствием этого предложения является Теорема Универсальная обёртывающая алгебра любой алгебры из многообразия ос0, с 6 N обладает классическим телом частных.

В заключение мне хотелось бы поблагодарить моего научного руководителя профессора Ю.А.Бахтурина за постоянное внимание и помощь в работе.

Литература

[1] И.А.Янсон , Рост алгебр Ли и существование классического тела частных для универсальной обёртывающей. Вестник МГУ. Сер. 1, Математика.Механика. 1994, N.6.

[2] И. А. Янсон, Локально конечные алгебры Ли и их универсальные обёртывающие алгебры, деп. в ВИНИТИ за №2911-895 от 3.11.1995г.