Конструкции вложения для лиевых и йордановых псевдоалгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

1. Предварительные сведения о конформных алгебрах

1.1. Конформные алгебры

1.2. Свободные конформные алгебры и лемма о композиции

1.3. Универсальные обертывающие конформные алгебры

2. Псевдотензорные категории и псевдоалгебры

2.1. Алгебры Хопфа: основные обозначения

2.2. Псевдотензорные категории

2.3. Категория М(Н)

2.4. Псевдоалгебры

2.5. Ассоциативные и лиевы псевдоалгебры

2.6. Псевдолинейные отображения

2.7. Примеры псевдоалгебр

3. Ассоциативные обертывающие для конечных псевдоалгебр Ли

3.1. Нормальная форма элементов ассоциативной обертывающей

3.2. Вполне частично упорядоченные множества

3.3. Нетеровость ассоциативных обертывающих

4. Базис Грёбнера — Ширшова универсальных обертывающих простых конформных супералгебр серии Wjv

Оглавление

4.1. Комодульная конструкция обертывающей для Wjv

4.2. Определяющие соотношения для Wn

4.3. Слабый базис

4.4. Замыкание относительно композиции

4.5. Универсальные обертывающие некоторых подалгебр

5. О некоторых многообразиях неассоциативных псевдоалгебр

5.1. Многообразия псевдоалгебр

5.2. Иордановы конформные алгебры

5.3. Альтернативные псевдоалгебры и псевдоалгебры Мальцева

5.4. Конструкция Тнтса — Кантора — Кёхера для йордановых псевдоалгебр

5.5. Простые йордановы псевдоалгебры

Теория конформных алгебр, основы которой заложены в работах В. Г. Каца [26], [27], [29], является сравнительно новой и бурно развивающейся областью алгебры. Интерес к этой теории обусловлен в первую очередь тем, что она тесно связана с математической физикой. Отношение между конформными и вергпексными алгебрами, возникшими в конформной теории поля (А. А. Белавин, А. М. Поляков, А. Б. Замолодчиков [8]), в некотором смысле аналогично отношению между алгеброй Ли и: ее универсальной обертывающей [26]. Кроме того, вертексные алгебры нашли применение в теории представлений простых конечных групп, а именно, в построении Moonshine представления Монстра (см. работы Р. Борчердса [13], а также И. Френкеля, Дж. Леповски и А. Меурмана [20]). Теории вертексных алгебр в настоящее время посвящено огромное количество работ, в которых, по большей части, исследуются конкретные вертексные алгебры. Среди работ, содержащих общие конструкции, можно отметить [14], [33], [34], [22-25].

Формализм вертексных алгебр описывает расширенное операторное произведение (operator product expansion, OPE) формальных распределений (или киральных полей по физической терминологии). Формальные распределения представляют собой бесконечные (в обе сто

Введение 5 роны) ряды £ anz 71 1 над некоторой алгеброй А (в физике обычно ngZ рассматривается алгебра Ли А = gl(V), где V — линейное пространство над полем комплексных чисел). Непосредственное умножение таких рядов не всегда корректно — оно может приводить к бесконечным суммам в коэффициентах. Поэтому для локальных полей вводится операция ОРЕ.

Два ряда (p(z),ip(z) g A[[z, z~1}] называются локальными, если существует неотрицательное целое N = N(<p, ф) такое, что cp(z)i(w)(z - w)N = 0.

Если y>(z), ip(z) локальны, то их ОРЕ записывается в виде

J= — oo ' где {<pQ)iJ>){w) — некоторые новые ряды. Таким образом, обычное умножение заменяется на счетное семейство билинейных «произведений» ©, п е Z, удовлетворяющих определенным свойствам. Так возникает понятие вертексной алгебры [8], точное определение которой было дано в [13] (см. также [26]).

Сингулярная часть ОРЕ описывает коммутационные соотношения формальных распределений (см., например, [26]):

Фин] = п>0 *' где dw = 6{z — w) = z71™-71-1 — формальный ряд, известный под именем ^-функции. Так возникает понятие (лиевой) конформной алгебры, формальное определение которой дано в [26] (мы приведем его в разделе 1). 6

Введение

Как видно из сказанного, наиболее близким к математической физике является понятие конформной алгебры Ли. Ассоциативные конформные алгебры возникают из рассмотрения модулей, порожденных конформными линейными отображениями [18]. Чтобы избежать возможных недоразумений, мы будем пользоваться термином «псевдоли-нейпые отображения» (см. раздел 2).

В работе А. д'Андреа и В. Г. Каца [18] проведено описание простых и полупростых конформных алгебр Ли конечного типа, т. е. являющихся конечно-порожденными модулями над С[d/dz]. Оказывается, что кроме тривиальных примеров — т. н. алгебр петель над конечномерными простыми алгебрами Ли — существует единственный исключительный пример — конформная алгебра Вирасоро. Кроме того, не любая полупростая конформная алгебра Ли конечного типа является прямой суммой простых. Там же отмечается, что исключительных простых ассоциативных конформных алгебр конечного типа не существует.

Важную роль в математической физике играют т. н. суперконформные алгебры, которые, по сути, являются алгебрами коэффициентов для некоторых простых конформных супералгебр Ли конечного типа. Частичное описание таких супералгебр было проведено в работе П. Рамона и Дж. Шварца [35], полностью же такие супералгебры были описаны в серии работ В. Г. Каца, С.-Ж. Ченга и Д. Фаттори [28], [16], [19].

Понятие размерности Гельфанда — Кириллова для конформных алгебр исследовано А. Ретахом в [36], там же описаны конечно-порожденные ассоциативные конформные алгебры размерности Гельфанда — Кириллова один в предположении унитальности. Общая гипотеза о таких алгебрах (без предположения унитальности) приведена в работе Е. И. Зельманова [41]. В этой же работе построена конструкция Титса — Кантора — Кёхера для йордановых конформных алгебр и по

Введение 7 казано, что исключительных простых йордановых конформных алгебр не существует.

Еще в работе Р. Борчердса [13] было указано, что следует понимать под свободными вертексными и (лиевыми) конформными алгебрами. В работах М. Ройтмана [37], [38] а также Л. А. Бокутя, Ю. Фонга и В.-Ф. Ке [10] были построены свободные ассоциативные, коммутативные и лиевы конформные алгебры (фиксированной локальности на порождающих) и исследованы их алгебры коэффициентов.

Хорошо известно ж широко применяется понятие базиса Грёбне-ра — Ширшова для обычных лиевых и ассоциативных (некоммутативных) алгебр (см., например, [5], [1], [9]). Основы аналогичной теории для ассоциативных конформных алгебр заложены в работах JI. А. Бокутя, Ю. Фонга и В.-Ф. Ке [11], [12]. Как и в случае обычных алгебр, одним из канонических приложений теории базисов Грёбнера — Ширшова является исследование ассоциативных обертывающих конформных алгебр для конформных алгебр Ли.

В препринте А. А. Бейлинсона и В. Г. Дринфельда [7] развивается категорный аппарат теории вертексных (синоним — кираль-ных) алгебр, который позволяет обобщить понятие конформной алгебры. Если конформные алгебры можно рассматривать как модули над полиномиальным кольцом k[D] с набором операций ©, п 6 Z+, то более общие псевдоалгебры являются модулями над некоторой алгеброй Хопфа Н с операциями, индексированными функционалами этой алгебры. Исследование псевдоалгебр проведено в работе Б. Бакалова, А. д'Андреа и В. Г. Каца [6], там же описаны простые конечные (т. е. являющиеся конечно-порожденными модулями) лиевы псевдоалгебры.

Другой подход к построению категорного аппарата теории вертексных алгебр развит Р. Борчердсом в [14]. В этой работе намечена широкая программа исследования связей между квантовыми вертексными алгебрами и квантовыми группами.

8 Введение

Обычно при исследовании конформной алгебры С используется вложение С С Coeff в конформную алгебру рядов над обычной алгеброй коэффициентов. Так же определяются многообразия конформных алгебр [29], [37]: С называется конформной алгеброй многообразия если алгебра коэффициентов Coeff С является алгеброй многообразия "У.

Одной из целей данной работы является развитие подхода «с другой стороны»: мы изучаем конформные алгебры с точки зрения более общей конструкции — псевдоалгебры [7]. Этот подход позволяет доказать нетеровость ассоциативных обертывающих для конечных псевдоалгебр Ли (в частности, отсюда следует аналог теоремы Гильберта о базисе для конечно-порожденных ассоциативных коммутативных конформных алгебр), построить универсальные обертывающие ассоциативные конформные алгебры для простых конформных супералгебр Ли Wn, iV > 0, а также построить конструкцию Титса — Кантора — Кёхера для конечных йордановых псевдоалгебр и описать простые конечные йордановы псевдоалгебры.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Л. А. Бокутю, а также И. В. Львову, В. Н. Желябину и Е. И. Зельма-нову за интерес к работе и плодотворные дискуссии, оказавшие немалую помощь в работе.

1. Бокуть J1. А. Вложения в простые ассоциативные алгебры // Алгебра и логика. 1976. Т. 15, №2. С. 117-142.

2. Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.

3. Кантор И. JI. Классификация неприводимых транзитивно-дифференциальных групп // Докл. акад. наук СССР. 1964. Т. 158, № 6. С. 1271-1274.

4. Общая алгебра. (под ред. Л. А. Скорнякова), т. 2. М.: Наука, 1990.

5. Ширшов А. И. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли // Сиб. мат. журн. 1962. Т. 3. С. 292-296.

6. Bakalov В., D'Andrea А., Кас V. G. Theory of finite pseu-doalgebras // Adv. Math. 2001. V. 162, N 1.

7. Beilinson A. A., Drinfeld V. G. Chiral algebras, preprint.

8. Belavin A. A., Polyakov A. M., Zamolodchikov A. B. Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory // Nuclear Phys. 1984. V. 241. P. 333-380.

9. Bergman G. M. The diamond lemma for ring theory // Adv. Math. 1978. V. 29. P. 178-218.

10. Bokut L. A., Fong Y., Ke W.-F. Free associative conformal algebras // Proc. of the 2nd Tainan-Moscow Algebra and Combina108Литератураtorics Workshop, Tainan 1997. Hong Kong: Springer-Verlag, 2000. P. 13-25.

11. Bokut L. A., Fong Y., Ke W.-F. Grobner—Shirshov bases and composition lemma for associative conformal algebras: an example // Contemp. Math. 2000. V. 264. P. 63-90.

12. Bokut L. A., Fong Y., Ke W.-F. Composition-Diamond lemma for associative conformal algebras //J. Algebra (to appear).

13. Borcherds R. E. Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1986. V. 83. P. 3068-3071.

14. Borcherds R. E. Quantum vertex algebras //J. Algebra (to appear).

15. Buchberger B. An algorithmical criteria for the solvability of algebraic systems of equations (German) // Aequationes Math. 1970. V. 4. P. 374-383.

16. Cheng S.-J., Кас V. G. A new N = 6 superconformal algebra // Commun. Math. Phys. 1997. V. 186. P. 219-231.

17. Cohen D. E. On the laws of a metabelian variety //J. Algebra. 1967. V. 5, N 3. P. 267-273.

18. D'Andrea А., Кас V. G. Structure theory of finite conformal algebras // Sel. Math. New Ser. 1998. V. 4. P. 377-418.

19. Fattori D., Кас V. G. Classification of finite Lie conformal su-peralgebras // ArXive Math. QA 0106002. 30 P.

20. Frenkel I. В., Lepowsky J., Meurman A. Vertex operator algebras and the Monster. Pure and Applied Math. V. 134, New York: Academic Press, 1998.

21. Higman G. Ordering by divisibility in abstract algebras // Proc. Lond. Math. Soc. 1952. V. 2, N 7. P. 326-336.

22. Huang Y.-Z., Lepowsky J. A theory of tensor products for module categories for a vertex operator algebra. I // Sel. Math. New Ser. 1995. V. 1, N 4. P. 699-756.Литература109

23. Huang Y.-Z., Lepowsky J. A theory of tensor products for module categories for a vertex operator algebra. II // Sel. Math. New Ser. 1995. V. 1, N 4. P. 757-786.

24. Huang Y.-Z., Lepowsky J. A theory of tensor products for module categories for a vertex operator algebra. Ill // J. Pure Appl. Algebra. 1995. V. 100, N 1-3. P. 141-171.

25. Huang Y.-Z. A theory of tensor products for module categories for a vertex operator algebra. IV // J. Pure Appl. Algebra. 1995. V. 100, N 1-3. P. 173-216.

26. Кас V. G. Vertex algebras for beginners // Univ. Lect. Series. V. 10. AMS, 1996.

27. Кас V. G. The idea of locality // H.-D. Doebner et al. (eds.) Physical applications and mathematical aspects of geometry, groups and algebras, Singapore: World Scientific, 1997. P. 16-32.

28. Кас V. G. Classification of infinite dimensional simple linearly compact Lie superalgebras // Adv. Math. 1998. V. 139, N 1. P. 155.

29. Кас V. G. Formal distribution algebras and conformal algebras. ХП-th International Congress in Mathematical Physics (ICMP'97) (Brisbane). Cambridge, MA: Internat. Press, 1999. P. 80-97.

30. Koecher M. Embedding of Jordan algebras into Lie algebras I // Amer. J. Math. 1967. V. 89. P. 787-816.

31. Koecher M. Embedding of Jordan algebras into Lie algebras II // Amer. J. Math. 1968. V. 90. P. 476-510.

32. Lambek J. Deductive systems and categories. II. Standard constructions and closed categories //Lecture Notes Math. V. 86. P. 76122, Berlin: Springer-Verl., 1969.

33. Li H. The physics superselection principle in vertex operator algebra theory // J. Algebra. 1997. V. 196, N 2. P. 436-457.110 Литература

34. Miyamoto М. Representation theory of code vertex operator algebra // J. Algebra. 1998. V. 201, N 1. P. 115-150.

35. Ramond P., Schwarz J. H. Classification of dual model gauge algebras // Phys. Lett. 1976. V. 64B, N 1. P. 75-77.

36. Retakh A. Associative conformal algebras of linear growth // J. Algebra. 2001. V. 237, N 2. P. 769-788.

37. Roitman M. On free conformal and vertex algebras // J. Algebra. 1999. V. 217, N 2. P. 496-527.

38. Roitman M. Universal enveloping conformal algebras // Sel. Math. New Ser. 2000. V. 6, N 3. P. 319-345.

39. Sweedler M. Hopf Algebras. Math. Lecture Note Series. New York: Benjamim Press, 1969.

40. Tits J. Une classe d'algebres de Lie en relation avec algebres de Jordan // Indag. Math. 1962. V. 24. P. 530-535.

41. Zelmanov E. I. On the structure of conformal algebras // Intern. Conf. on Combinatorial and Computational Algebra, May 24-29, 1999, Hong Kong. Cont. Math. 264. 2000, 139-153.Работы автора по теме диссертации

42. Бокуть JI. А., Фонг Ю., Ке В.-Ф., Колесников П. С. Базисы Грёбнера и Грёбнера — Ширшова в алгебре и конформные алгебры // Фундам. прикл. математика. 2000. Т. 6, 3. С. 669706.

43. Бокуть Л. А., Колесников П. С. Базисы Гребнера — Ширшова: от зарождения до наших дней // Записки научных семинаров ПОМИ / Вопросы теории представлений алгебр и групп 7. 2000. Вып. 272. С. 26-67.

44. Колесников П. С. Базис свободной ассоциативной коммутативной конформной алгебры // Четвертый Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000). Тезисы докладов. Ч. IV. С. 108.

45. Kolesnikov P. S. Non-associative pseudoalgebras // Proc. Intern. Alg. Conf. dedicated to the memory of Z. I. Borewich, S.-Peters-bourg, September 17-23 (2002). P. 111-113.

46. Kolesnikov P. S. Noetherianity of associative enveloping pseudoalgebras // Proc. Int. Conf. "Lie and Jordan algebras, their representations and applications", 13-18 May 2002, Guaruja, Brasil. P. 30-31.

47. Kolesnikov P. S. On universal representations of Lie conformal superalgebras. Novosibirsk, 2002. 22 p. (Preprint / SB RAS. Sobolev Inst. Math.; 102).

48. Kolesnikov P. S. Simple Jordan pseudoalgebras. Novosibirsk, 2002, 23 p. (Preprint / SB RAS. Sobolev Inst. Math.; 103).

49. Kolesnikov P. S. Associative enveloping pseudoalgebras of finite Lie pseudoalgebras // Comm. Algebra (в печати).