Биалгебры, заданные на простых альтернативных и мальцевских алгебрах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

6ИИ098

На нравах рукописи

ГОНЧАРОВ Максим Евгеньевич О&Р^У

БИАЛГЕБРЫ, ЗАДАННЫЕ НА ПРОСТЫХ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ И МАЛЬЦЕВСКИХ АЛГЕБРАХ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск-2010

1 6 СЕН 2010

004608098

Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук Желябин Виктор Николаевич доктор физико-математических наук Колесников Павел Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Мальцев Юрий Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Пчелинцев Сергей Валентинович

Ведущая организация:

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского

Защита диссертации состоится 16 сентября 2010 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д- 003.015.02 при Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, Новосибирск, пр. акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Автореферат разослан "¿¿"августа 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 003.015.02

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Уравнения Янга-Бакстера являются объединяющим началом при изучении двумерных интегрируемых систем в рамках квантового метода обратной задачи [23], при нахождении решений некоторых моделей статистической механики [3] и при изучении факторизованного рассеяния солитонов и струн [11,12).

В работе Велавина и Дринфельда [14] исследовались функциональные решения классического уравнения Янга-Бакстера на простых алгебрах Ли над полем комплексных чисел. Каждое такое решение индуцирует на алгебре Ли структуру биалгебры Ли. В работе Столина [9], используя идеи работы Белавина и Дринфельда [14], исследовались структуры биалгебр Ли, заданные на простых алгебрах Ли над полем комплексных чисел.

Антисимметричные решения классического уравнения Янга-Бакстера находятся в соответствии, с так называемыми, симплектическими алгебрами Ли, то есть с алгебрами Ли, на которых задана невырожденная кососимметрическая билинейная форма, являющаяся 2-коциклом в скалярной когомологии. Баджо, Бенаяди и Медина в [2] изучали алгебры Ли, допускающие одновременно структуру квадратичной (то есть алгебры Ли с невырожденной симметрической ассоциативной билинейной формой) и симилектической алгебры Ли.

Дуальным понятием алгебры над нолем является понятие коалгебры. Наиболее интересными по содержанию объектами являются коалгебры, на которых задана операция умножения, согласованная, в определенном смысле, с коумножением. Такие объекты называются биалгебрами. Так, например, в алгебрах Хопфа коумножение — это гомоморфизм соответствующих алгебр.

Другим примером биалгебр являются биалгебры Ли, которые были введены Дринфельдом [15] для изучения решений классического уравнения Янга-Бакстера. Биалгебры Ли — это одновременно алгебры Ли и коалгебры Ли, коумножение которых является 1-коцпклом. Коалгебры Ли были введены Михаэлисом в [5].

В работах Желябина [16, 17] дано определение биалгебры по Дринфельду (Д-биалгебры), связанное с некоторым многообразием алгебр. В частности, были определены ассоциативные и йордановы Д-биалгебры, а также рассмотрен ассоциативный аналог уравнения Янга-

Бакстера и ассоциативные Д-биалгебры, связанные с решениями этого уравнения. Там же были описаны ассоциативные алгебры, допускающие нетривиальную структуру Д-биалгебры с кокоммутативным на центре коумножением. Одним из условий ассоциативных Д-биалгебр является то. что коумножеиие — это дифференцирование исходной алгебры в ее тензорный квадрат, рассмотренный как бимодуль над исходной алгеброй. Такие биалгебры были введены Джони и Рота в [4]. Их систематическое изучение было проведено Агуиро в [1]. В последней работе были изучены некоторые свойства решений ассоциативного аналога уравнения Янга-Бакстера и свойства сбалансированных биалгебр (другое название ассоциативных Д-биалгебр). Ассоциативные классические уравнения Янга-Бакстера с параметрами рассматривались в работе Полищука [7].

С каждой лиевой, ассоциативной или йордановой биалгеброй можно связать так называемую тройку Манина. В работе Мудрова [б] тройки Манина для ассоциативных алгебр изучались как инструмент построения решений уравнения Янга-Бакстера.

Класс йордановых Д-биалгебр, связанный с йордановым аналогом уравнения Янга-Бакстера, был определен в [18], где было доказано, что всякая конечномерная йорданова Д-биалгебра, которая иолунроста как алгебра, принадлежит этому классу.

В работе [16] была установлена связь йордановых Д-биалгебр с биалгебрами Ли. В частности, было доказано, что если алгебра полученная по конструкции Кантора-Кехера-Титса (ККТ) из йордановой алгебры 3, допускает структуру биалгебры Ли, то при некоторых естественных ограничениях алгебра 3 допускает структуру йордановой Д-биалгебры.

Там же было доказано, что если является

присоединенной йордановой Д-биалгеброй для ассоциативной Д-биалгебры (Л,Д), то на алгебре можно задать структуру

биалгебры Ли, связанную, в некотором смысле, с биалгеброй (Л<+>,Д<+>).

Алгебры Мальцева были введены Мальцевым [22] как касательные алгебры локальных аналитических луп Муфанг. Они являются обобщением алгебр Ли, и их теория достаточно хорошо развита [21]. Важным примером нелиевой алгебры Мальцева является векторное пространство элементов с нулевым следом алгебры Кэли-Диксона относительно операции коммутирования в качестве умножения [8,20].

Вершининым в работе [10] изучались некоторые свойства биалгебр Мальцева, в частности, были получены условия на коумножение, при которых данная биалгебра является биалгеброй Мальцева.

Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение альтернативных и мальцевских биалгебр и их связи с соответствующими аналогами классического уравнения Янга-Бакстера.

Основные результаты диссертации. Перечислим основные результаты диссертации в порядке появления их в работе:

1. Доказано, что антисимметричные решения классического уравнения Янга-Бакстера на альтернативной алгебре индуцирует на ней структуру альтернативной биалгебры (теорема 2).

2. Установлено, что структура йордановой биалгебры, ассоцированная с простой альтернативной биалгеброй, может быть продолжена до структуры биалгебры Ли на конструкцию Кантора-Кехера-Тнтса (теорема 6).

3. Найдено необходимое и достаточное условие, при котором кограничное коумножение на алгебре Мальцева индуцирует структуру биалгебры Мальцева (теорема 8).

4. Описаны все структуры биалгебры Мальцева, заданные на простой нслиевой алгебре Мальцева (теорема 9, теорема 10 и теорема 11).

Методы исследования. В работе используются классические методы теории колец, а также методы, разработанные для исследования лиевых, ассоциативных и йордановых биалгебр.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертационной работы носят теоретический характер и могут быть использованы для написания научных статей в области теории колец, а также при чтении спецкурсов для студентов старших курсов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции "Алгебра и её приложения" Красноярск, 12-18 августа 2007 г.; Международной алгебраической конференции,

посвященной 100-летию со дня рождения Д.К. Фаддеева, Санкт-Петербург, 24-29 сентября 2007 г.; Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора А. Г. Куроша, Москва, 28 мая - 3 июня 2008 г.; Международной научной конференции "Мальцевские чтения 2008" Новосибирск, 11-13 ноября 2008 г.; Международной конференции "International Conference on Algebra and Related Topics" Гуанчжоу, Китай, 23-27 июня 2009 г.; 41-й Всероссийской молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" Екатеринбург, 15 февраля 2010 г.; Международной научной конференции "Мальцевские чтения 2010" 2-6 мая 2010 г., Новосибирск; Международной алгебраической конференции, посвященной 70-летию А. Яковлева, Санкт-Петербург, 19-24 июня 2010 г. Также, результаты работы неоднократно докладывались на семинаре Института математики СО РАН "Теория колец" им. Ширшова, общеинститутеком математическом семинаре Института математики СО РАН, Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс".

Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в форме статей и ведущих отечественных журналах |34-35], входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав и списка литературы. Она изложена на 83 страницах, библиография содержит 42 наименования.

Общая структура диссертации. Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Вспомогательные утверждения — леммы — имеют тройную нумерацию: первое число — номер главы, второе — номер параграфа в текущей главе, третье — номер утверждения в текущем параграфе.

Глава 1 содержит введение и информацию об уже известных результатах.

Глава 2 призвана собрать в одном месте основные обозначения, основные определения, а также предварительные результаты, используемые в диссертации.

Пусть А — векторное пространство. Через А* обозначим пространство всех линейных функционалов, заданных на пространстве А. Для элементов / € А* и a € А выражение (/, а) обозначает значение линейного функционала / на элементе а, то есть (/, а) = /(а).

Определение. Пара (А, А), где А — линейное пространство над полем F, а Л : А н-> Л А- линейное отображение, называется коалгеброй. При этом, отображение Д называется коумножение.н. Для элемента а 6 А будем использовать обозначение

Д(а) = SaU) ®а(2)-

На пространстве А* определим умножение, полагая

Ug,a) = Х^/'а(1)Н5'а<2))>

где f,g € А*, а £ А и Д(«) = J^dji) ® а<2). Полученная алгебра называется дуальной алгеброй коалгебры (Л, Д).

Дуальная алгебра А* коалгебры (А,Д) задаёт левое и правое бимодульное действие на А, которое определяется следующим образом

/ а = ^а(1){/,а(2)) и а ■<- / = а(1))а(2),

где f е А* и Д(а) = ® а(2).

Пусть теперь Л — произвольная алгебра, на которой задано коумножение Д, и А* — дуальная алгебра коалгебры (А, Д). Алгебра А задаёт левое и правое бимодульное действие на пространстве А*, определенное формулами

(Ь -г f, а) = (f,ab) и (f^a,b) = {/, aó).

Рассмотрим пространство -D(A) = А ® А" и зададим на нем умножение, полагая

(а + /) * (Ь + д) = И + / 6 + а р) + (/S + / b + а -г д).

Тогда D(A) является обычной алгеброй над полем F, а А и А* — подалгебры в D{A). Алгебру D(A) будем называть дублем Дринфельда.

Определение. Пусть М — произвольное многообразие F-алгсбр и А — алгебра из М, на которой дополнительно задано коумножение

Д. Тогда пару (ДД) будем называть Ж-биалгеброй по Дринфельду (или просто М Д-биалгеброй), если алгебра D(A) принадлежит многообразию М.

Определение. Алгебра А называется альтернативной, если для любых х, у € А в ней выполняются следующие тождества

х(ху) = х2у и (ух)х = ух2.

Определение. Антикоммутативная алгебра М называется алгеброй Мальцева, если для любых x,y,z € М выполнено

J(x,y,xz) = J(x,y,z)x,

где J(x,y,z) = (xy)z + (yz)x+ (zx)y — якобиан элементов x,y,z.

Определение. Алгебра J называется йордановой, если для любых х,у € J в ней выполняются следующие тождества

ху = ух, (х2у)х = х2(ух).

Пусть М многообразие ассоциативных, альтернативных, йордановых или мальцевских алгебр, А — алгебра из М с умножением ху, элемент г = а% ® 6 А (?) А. Тогда на А можно рассмотреть

г

аналог классического уравнения Янга-Бакстсра:

С А (г) = Г12Г13 - Г23Г12 + Г13Г23 = О,

здесь г 12 = Л ai ® b¿ ®1> г13 = S а» ®1 ® > г23 = 2 1 ® «¿ ® Ы ■ Элементы ¿j ij ij

^12,Г1з,Г2з имеют смысл и в случае алгебр Мальцева, так как, следуя

Изкуердо и Шестакову, (13) можно считать, что алгебра Мальцева имеет

универсальную унитальную обертывающую алгебру.

Элемент г индуцирует на А коумножение Дг но правилу:

Дг(а) = ^ a¿0 ® bi - a¿ <Х> o6¿ í

для любого а € А.

Пусть т : А($А А&А — линейное отображение, удовлетворяющее условию т(а ® Ь) = 6 ® а.

Глава 3 посвящена альтернативным Д-биалгебрам. В параграфе 3.1 находятся необходимые и достаточные условия в терминах

коумножения, при которых пара (Л,Д), где А — альтерпатиипаи алгебра, является альтернативной Д-биалгеброй.

В параграфе 3.2 вводится класс альтернативных Д-биалгебр, связанных с альтернативным аналогом классического уравнения Янга-Бакстера. Доказывается следующая

Теорема 2. Пусть А — альтернативная алгебра над полем Р характеристики ^ 2, г = ^ а; © Ь, и т(г) — —г. Предположим, что

Са{т) — О- Тогда пара {А, Дг), где

является альтернативного Д-биалгеброй.

В параграфе 3.3 описываются структуры альтернативной Д-биалгебры, заданные на матричной алгебре Кэли-Диксона над алгебраически замкнутым полем.

Основным результатом параграфа 3.4 является следующая

Теорема 4. Пусть А альтернативная некоммутативная конечномерная алгебра над алгебраически замкнутым полелг Г характеристик не равной 2. Тогда А допускает нетривиальную структуру альтернативной Д-биалгебры с кокоммутативным на центре коумножениелг.

В параграфе 3.5 исследуется связь простых альтернативных Д-биалгебр с биалгебрами Ли.

Пусть 3 — йорданова алгебра с 1. Через Ь{3) обозначим алгебру Ли, полученную из 3 но конструкции Кантора-Кехера-Титса. При этом Ь(3) является -1,1 градуированной алгеброй Ли. Для элемента а £ J через а' обозначим оператор правого умножения на элемент а. Как векторное пространство

где 3' — пространство, порожденное операторами а',а7 - изоморфная копия пространства 3. Через II обозначим подалгебру алгебры ¿(>7), порожденную элементами 1,1' и 1. Как известно, и — трехмерная простая расщепляемая алгебра Ли.

Предположим, что на пространстве Ь{3) задано коумножение Д^. Будем говорить, что Дь согласовано с градуировкой алгебры Ь(3),

ЦЗ) = 3 ф 3' ф ЬйБег(3) Ф 3,

если ДС ® 3Десь — компонента пространства

^к—г

Ь{1), заданная градуировкой алгебры Ь{3). Пусть Д — коумножение, заданное на пространстве 3. Будем говорить, что Д^ связано с Д, если для любого элемента а € 3 имеет место включение

Дь{а) 2) - о'(2) ® а(1) + ¿1 ® £» + Б ® Ьъ

где Д(а) = Еа(1) ® а(2)-

Пусть пара (Л, Д) — альтернативная Д-биалгебра. На пространстве А зададим новую операцию умножения по правилу

а о Ь = ^(аЬ + Ьа).

Пространство А с введенной, таким образом, операцией умножения будем обозначать через Л«.

Определим новую операцию коумножения по правилу

Д<+>(а) Л(Д(а)+т(Д(а))).

Тогда пара Д(+)) будет йордановой Д-биалгеброй. Доказывается

следующая

Теорема 6. Пусть А — конечномерная простая альтернативная алгебра над алгебраически замкнутым полем. Предположим, пара (А, Д) является альтернативной Д-биалгеброй. Пара —

присоединенная йорданова Д-биалгебра. Тогда на алгебре Ь(А^) можно задать структуру биалгебры Ли с таким коумножением Д/,, что Аь согласовано с градуировкой алгебры связано с и

д ьт = о.

В параграфе 3.5 также показано, что данная теорема неверна для полупростых конечномерных альтернативных неассоциативных алгебр.

Глава 4 посвящена биалгебрам Мальцева. В параграфе 4.2 доказывается следующая

Теорема 8. Пусть М — алгебра Мальцева над полем Р характеристики не равной 2, г е (1с1 — т)(М ® М). Пара (М,АГ) является биалгеброй Мальцева тогда и только тогда, когда для любых а,Ь е М:

(Сл?(г)(1®6®1))(1®о®1)-См(г)(а6@1®1)-(См(г)(1®1®о))(1®1©6) =

= СЛ/(г)(Ь ® 1 ® а) - См (г)(а @ b © 1) (1)

или

См(г)( 1 ® Jb.a 01-10UE>Ja,b) =

= [CM{r),ab\ + [CA/(r),6](l ® 1 ® о) - [См(г),а}{ 1 ® í>© 1),

где оператор Ja¡b определяется как cJaj, = J(c,a,b), а через [См(г), а] обозначаем действие М на М ® М ® М, то есть [з; §) у & с. а] = ха у ® 2 + х ® уа ® г + ж ® у ® га.

Параграфы 4.3-4.5 посвящены описанию структуры биалгебр Мальцева на простой нелиевой алгебре Мальцева М. Это описание разбивается на два случая: в начале, в параграфе 4.4, мы описываем все структуры биалгебры Мальцева, чей дубль Дринфсльда имеет ненулевой радикал R.

Теорема 9. Пусть пара (М, Д) — биалгебра Мальцева, причем, радикал R дубля Дринфельда Z?(M) отличен от нуля. Тогда существует такой элемент г из (id — т)(М ® М), что Д = Дг и г является решением классического уравнения Янга-Бакст,ера на алгебре М.

Теорема 10. Пусть г является антисимметричным решением классического уравнения Янга-Вакстера на алгебре М. Тогда пара. (М, Дг) является биалгеброй Мальцева. При этом, радикал R дубля Дринфельда D(М) отличен от нуля.

Также в диссертации дается полное описание антисимметричных решений классического уравнения Янга-Бакстера на М в терминах симплектических алгебр Мальцева.

В параграфе 4.5 мы описываем все структуры биалгебры Мальцева на М, чей дубль Дринфельда является полупростой алгеброй.

В случае алгебраически замкнутого поля F в алгебре М часто выбирают базис h,x,y,z,x',y',z' с таблицей умножения

[h,x] = 2x, [h,y\ = 2y, [M = 2z,

[ft, x'} = -2а/, [h,y'\ = -2y\ [h,z'\ = -2z\

[x,x'} = [y,y'} = [z,z'} = h,

[x,y\ = 2z\ [y,z} = 2x', [z,x] = 2y',

[x',y'\ = -2z, [y'.z'} = —2x, [z',x'] = -2y,

где все отсутствующие произведения равны нулю. Каждая тройка элементов {h,x,x'}, {h,y,y'}, {/1,2,2'} образует стандартный базис

трехмерной простой расщепляемой алгебры Ли, а подпространство F ■ к является картановской подалгеброй алгебры М. Данный базис будем называть стандартным.

Доказывается следующая

Теорема 11. Пусть М — простая нслиева алгебра Мальцева над алгебраически замкнутым полем характеристики не 2, 3. Тогда в стандартном базисе к, х, х',у, у', г, г' алгебры М элемент

г0 = а12{Ь. ® х - х ® /г) + счф, ® у' - у' ® К) + а^г вг-гй Л)+

а2з(а; ® у' - у' ® х) - 2015(3; ® г - г ® х) + а5б{у' ® г - г ® у')

является решением классического уравнения Янга-Вакстера на алгебре Мальцева М. Кроме того, элемент

г = г0 + + х®х' + у'®у+г®г'. (2)

задает на М структуру биалгебры Мальцева с полупростым дублем Дринфелъда.

Обратно, пусть (М, Д) — биалгебра Мальцева с полупростым дублем Дринфелъда. Тогда .Д = — ДГ, и в М можно выбрать стандартный базис 1ъ, х, х', у, у', г, г', такой, что г задается равенством (2).

Автор выражает искреннюю благодарность своим научным, руководителям В.Н. Желябину и П.С. Колесникову за постоянное внимание к моей работе, активное обсуждение возможных направлений исследования и полученных результатов. Я признателен всем сотрудникам лаборатории теории колец, кафедры алгебры и математической логики Новосибирского государственного университета, Сибирскому фонду алгебры и логики за проявленное внимание к этой работе, оказанную моральную и материальную помощь.

Работа выполнена при поддержке АВЦП Роеобразования "Развитие научного потенциала высшей школы"(проект 2.1.1.419), гранта РФФИ 09-01-00157-А, Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проекты НШ-3669.2010.1, МД-2438.2009.1), интеграционного проекта СО РАН №97, ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"

на 2009-2013 гг. (гос. контракты № 02.740.11.0429, 02.740.11.5191), Лаврентьевского гранта для коллективов молодых ученых СО РАН, постановление Президиума СО РАН №43 от 04.02.2010, а также стипендии Независимого Московского университета

Литература

Aguiar М., On the associative analog of Lie bialgebras /'/ Journal of algebra, 244 (2001). 492-532.

Bajo I., Benayadi S., Medina A., Symplectic structures on quadratic Lie algebras // Journal of algebra, 316 (2007), 174-188.

Baxter R.J. Exactly solved models in statistical mechanics Acad. Press, London, New York, 1982.

Joni, S.A. and Rota G.C., Coalgebras and bialgebras in combinatorics // Studies in Applied Mathematics, 61 (1979), 93-139.

Michaelis W., Lie coalgebras /'/ Adv. Math., 38 (1980), 1-54.

Mudrov A.I., Associtive triples and the Yang-Baxter equation // Israel Juornal of Mathematics, 139 (2004), 11-28.

Polishchuk A., Clasic Yang-Baxter Equation and the A-constraint, // Advances in Mathematics, 168, 1 (2002), 56-96.

Sagle A.A., Simple Malcev algebras over fields of characteristic zero // Pacific J. Math., 12 (1962), 1047-1078.

Stolin A. A., Some remarks on Lie bialgebra structures on simple complex Lie algebras // Comm. in Algebra, 27, 9 (1999) 4289-4302.

Vershinin V.V., On Poisson-Malcev Structures /'/ Acta Applicandae Mathematicae, 75 (2003), 281-292.

Zamolodchikov A.B. Zamolodchikov Al.B., Factorized S-matrices in two dimensions as the exact solutions of certain rclativistic quantum field theory models //' Ann. Phys., 120 (1979), 253-291.

Zamolodchikov A.B., Zamolodchikov Al. В., Relativistic factorized S-matrix in two dimensions having O(N) isotopic symmetry /'/ Nucl. Phys., B133, No. 3, (1978) 525-535.

Pérez-Izquierdo J.M., Shestakov I.P., Ail envelope for Malcev algebras, // Journal of Algebra, 272 (2004) 379-393.

Белавин A.A., Дринфельд В.Г., О решениях классического уравнения Янга-Бакстера для простых алгебр Ли /7 Функц. анализ и его прил., 16, 3 (1982), 1-29.

Дринфельд В. Г., Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгебры Ли и геометрический смысл классических уравнений Янга — Бакстера, ДАН СССР, 268, 2 (1983), 285-287.

Желябин В. Н., Иордановы биалгебры и их связь с биалгебрами Ли /'/ Алгебра и логика 1, 36 (1997), 3-25.

Желябин В. Н., Иордановы биалгебры симметрических элементов и биалгебры Ли // Сибирский математический журнал, 39, 2 (1998), 299-308.

Желябин В.Н., Об одном классе йордановых Д-биалгебр // Алгебра и анализ 11,4 (1999), 64-94.

Желябин В.Н., Иордановы D-биалгебры и симплектические формы на йордановых алгебрах // Математические труды. т.З, №1 (2000), 38-47.

Кузьмин E.H., Алгебры Мальцева и их представления, // Алгебра и логика, 7 (1968), 233-244.

Кузьмин E.H., Шестаков И.П., Неассоциативные структуры, в кн.: Алгебра-6 (Итоги науки и техники. Совр. пробл. матем. Фундам. нанравл., 57), М. ВИНИТИ, 1990, 179-266.

Мальцев А.И., Аналитические лупы, /'/' Мат. Сб. 36(78), №.3 (1955), 569-575.

Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д., Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука. 1986.

Публикации автора по теме диссертации

[24] Гончаров М.Е., Альтернативные Д-биалгебры, // "Проблемы теоретической и прикладной математики" Труды 37-ой Региональной молодежной конференции 30 января - 3 февраля 2006 г., с. 15-19

[25] Гончаров М.Е. Альтернативные Д-Биалгебры //' Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика НГУ, Новосибирск, 2005, с. 6.

[26] Гончаров М.Е. Структура альтернативной Д-биалгебры на матричной алгебре Кэли- Диксона / / Материалы XLV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика НГУ, Новосибирск, 2007, с. 6.

[27] Гончаров М.Е., Альтернативные Д-биалгсбры. Структура альтернативной Д-биалгебры на матричной алгебре Кэли-Диксона // Международная конференция "Алгебра и её приложения": Тезисы докладов, Красноярск, 2007. с. 37-38.

[28] Гончаров М.Е., Альтернативные Д-биалгебры. Структура альтернативной Д-биалгебры на матричной алгебре Кэли-Диксона // Международная алгебраическая конференция, посвящённая 100-летию со дня рождения Д.К. Фадцесва: Тезисы докладов, Санкт-Петербург, 2007. с. 19-20.

[29] Гончаров М.Е., Связь иолупростых альтернативных Д-биалгебр с биалгебрами Ли // Материалы XLVI междунараодной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика/ НГУ, Новосибирск, 2008, с. 5-6.

[30] Гончаров М. Е., Связь простых альтернативных Д-биалгебр с биалгебрами Ли // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша. Москва (2008), с. 72-73.

[31] Гончаров М.Е., Альтернативные биалгебры, ирисоедененные йордановы биалгебры и биалгебры Ли //' Материалы XLVII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика/ НГУ, Новосибирск, 2009, с. 66-67.

[32] Goncharov М.Е., On a Lie bialgcbras that arise from alternative and Jordan bialgebras // International Conference on Algebra and Related Topics (ISSA), Guangzhou (2009), p. 22.

[33] Гончаров М.Е., Структура биалгсбры Мальцева на простой семимерной алгебре Мальцева /'/' Тезисы конференции "Мальцевские чтения 2010 Новосибирск, с. 106-107.

[34] Гончаров М.Ё., Классическое уравнение Янга — Бакстера на альтернативных алгебрах. Структура альтернативной Д-биалгебры на матричной алгебре Кэли — Диксона // Сиб. мат. журн., 48, 5 (2007) 1009-1025.

[35] Гончаров М.Е., Биалгебры Ли, возникающие из альтернативных и йордановых биалгебр // Сиб. мат. журн., 51, 2 (2010), 268-284.

Гончаров Максим Евгеньевич

Биалгебры, заданные на простых альтернативных и мальцевских алгебрах

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Формат 60 х 84 1/16 Усл. псч. л. 1.13 Тираж 100 экз.

Подписано в печать 15.07.10 Печать офсетная Заказ №106

Отпечатано в ООО "Омега Принт" 630090, Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6

1 Введение.

2 Обозначения и основные определения.

2.1 Обозначения.

2.2 Основные определения и предварительные результаты.

3 Альтернативные Д-биалгебры.

3.1 Предварительные результаты

3.2 Уравнение Янга-Бакстера на альтернативных алгебрах.

3.3 Структура альтернативной Д-биалгебры на матричной алгебре

Кэ ли- Диксона

3.4 Альтернативные алгебры, допускающие нетривиальную структуру альтернативной Д-биалгебры.

3.5 Связь простых альтернативных Д-биалгебр с биалгебрами Ли

4 Биалгебры Мальцева.

4.1 Вспомогательные результаты.

4.2 Кограничные биалгебры Мальцева.

4.3 Структура биалгебры Мальцева на простой нелиевой алгебре Мальцева - предварительные результаты.

4.4 Случай ненулевого радикала.

4.5 Полупростой случай.

Уравнения Янга-Бакстера являются объединяющим началом при изучении двумерных интегрируемых систем в рамках квантового метода обратной задачи [30], при нахождении решений некоторых моделей статистической механики [4] и при изучении факоризованного рассеяния солитонов и струн [16,17].

В работе Белавина А. А. и Дринфельда В.Г. [18] исследовались функциональные решения классического уравнения Янга-Бакстера на простых алгебрах Ли над полем комплексных чисел. В работе Столица [14], используя идеи работы Белавина А.А. и Дринфельда В.Г. [18], исследовались структуры биалгебр Ли, заданные на простых алгебрах Ли над полем комплексных чисел.

Антисимметричные решения классического уравнения Янга-Бакстера находятся в соответствии с так называемыми симплектическими алгебрами Ли — то есть с алгебрами Ли, на которых задана невырожденная кососимметрическая билинейная форма, являющаяся 2-коциклом в скалярной когомологии. В работе [3] изучались алгебры Ли, допускающие одновременно структуру квадратичной(то есть алгебры Ли с невырожденной симметрической ассоциативной билинейной формой) и симплектической алгебры Ли.

Дуальным понятием алгебры над полем является понятие коалгебры. Наиболее интересными по содержанию объектами являются коалгебры, на которых задана операция умножения, согласованная, в определенном смысле, с коумножением. Такие объекты называются биалгебрами. Так, например, в алгебрах Хопфа коумножение - это гомоморфизм соответствующих алгебр.

Другим примером биалгебр являются биалгебры Ли, которые были введены Дринфельдом [20] для изучения решений классического уравнения Янга — Бакстера. Биалгебры Ли — это одновременно алгебры Ли и коалгебры Ли, коумножение которых является 1-коциклом.

В работах Желябина [22, 23] дано определение биалгебры по Дринфельду (Д-биалгебры), связанное с некоторым многообразием алгебр. В частности, были определены ассоциативные и йордановы Д-биалгебры, а также рассмотрен ассоциативный аналог уравнения Янга — Бакстера и ассоциативные Д-биалгебры, связанные с решениями этого уравнения. Там же были описаны ассоциативные алгебры, допускающие нетривиальную структуру Д-биалгебры с кокоммутативным на центре коумножением. Одним из условий ассоциативных Д-биалгебр является то, что коумножение — это дифференцирование исходной алгебры в ее тензорный квадрат, рассмотренный как бимодуль над исходной алгеброй. Такие биалгебры были введены в [8] и изучались в [1]. В последней работе были изучены некоторые свойства решений ассоциативного аналога уравнения Янга — Бакстера и свойства сбалансированных биалгебр (другое название ассоциативных Д-биалгебр). Ассоциативные классические уравнения Япга-Бакстера с параметрами рассматривались в работе Полищука [10].

С каждой лиевой, ассоциативной или йордановой биалгеброй можно связать так называемую тройку Манина. В работе Мудрова [9] тройки Манина для ассоциативных алгебр изучались как инструмент построения решений уравнения Янга — Бакстера.

Класс йордановых Д-биалгебр, связанный с йордановым аналогом уравнения Янга — Бакстера, был определен в [24], где было доказано, что всякая конечномерная йорданова Д-биалгебра, которая полупроста как алгебра, принадлежит этому классу.

В диссертации рассматриваются альтернативные, йордановы и мальцевские Д-биалгебры. Для альтернативных Д-биалгебр получены необходимые и достаточные условия в терминах коумножения для альтернативности Дбиалгебры(глава 3, параграф 1). Вводится класс биалгебр, связанных с уравнением Янга-Бакстера на альтернативных алгебрах. Показано, что биалгебры этого класса являются альтернативными Д-биалгебрами(глава 3, параграф 2). Описывается структура альтернативной Д-биалгебры, заданная на матричной алгебре Кэ ли- Диксона (глава 3, параграф 3).

В работе [22] была установлена связь йордановых Д-биалгебр с биалгебрами Ли. В частности, было доказано, что если алгебра L(J), полученная по конструкции Кантора-Кехера-Титса(ККТ) из йордановой алгебры J, допускает структуру биалгебры Ли, то при некоторых естественных ограничениях алгебра J допускает структуру йордановой Д-биалгебры.

Там же было доказано, что если является присоединенной йордановой Д-биалгеброй для ассоциативной Д-биалгебры (А, А), то на алгебре L(A^) можно задать структуру биалгебры Ли, связанную в некотором смысле с биалгеброй (А(+), Д(+)).

В настоящей диссертации доказывается аналог данного утверждения в случае, когда А — матричная алгебра Кэли — Диксона, а пара (А, Д) — альтернативная Д-биалгебра. Вместе с этим строится пример альтернативной Д-биалгебры (А, Д), для которой структуру присоединенной йордановой Д-биалгебры (/5.W, нельзя продолжить до структуры биалгебры Ли на алгебре L(A^)(глава 3, параграф 5).

Алгебры Мальцева были введены А.И. Мальцевым [29] как касательные алгебры локальных аналитических луп Муфанг. Они являются обобщением алгебр Ли, и их теория достаточно хорошо развита [28]. Важным примером нелиевой алгебры Мальцева является векторное пространство элементов с нулевым следом алгебры Кэли-Диксона относительно операции коммутирования в качестве умножения [12, 26]. Вершининым в работе [15] изучались некоторые свойства биалгебр Мальцева, в частности, были получены условия на коумножение, при которых данная биалгебра является биалгеброй Мальцева.

В диссертации для биалгебр Мальцева рассматривается аналог классического уравнения Янга-Бакстера на алгебре Мальцева. В частности, показано, что любое решение этого уравнения индуцирует на алгебре Мальцева структуру биалгебры Мальцева(глава 4, параграф 2). Описываются структуры биалгебры Мальцева на простой семимерной нелиевой алгебре Мальцева над алгебраически замкнутом полем(глава 4, параграфы 3-5)).

Новизна и научная значимость работы.

Результаты являются новыми, и могут быть использованы для написания научных статей в области теории колец. Они могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на Международной конференции "Алгебра и её приложения "Красноярск, 12-18 августа 2007 года; Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д.К. Фаддеева, Санкт-Петербург 24-29 сентября 2007 года; Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора А. Г. Куроша, Москва, 28 мая - 3 июня 2008 года; Международной научной конференции "Мальцевские чтения 2008 Новосибирск, 11-13 ноября 2008 года; Международной конференции International Conference on Algebra and Related Topics, Гуанчжоу, Китай, 23-27 июня 2009; 41-й Всероссийской молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, 1-5 февраля 2010 г; Международной научной конференции "Мальцевские чтения"2010" 2-6 мая 2010 г., Новосибирск; Международной алгебраической конференции, посвященной 70-летию А. Яковлева, Санкт-Петербург, 19-24 июня 2010. Также, результаты работы неоднократно докладывались на семинаре Института математики СО РАН "Теория колец"им. Ширшова, общеинститутском математическом семинаре Института Математики СО РАН, Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс".

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [31-32].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав и списка литературы. Она изложена на 83 страницах, библиография содержит 42 наименования.

1. Aguiar М. On the associative analog of Lie bialgebras// Journal of algebra 244(2001), 492-532.

2. Anquela J.A., Cortes T. Montaner F. Nonassociative Coalgebras// Comm.Algebra. 1994. V. 22, N 12. P. 4693-4716.

3. Bajo I., Benayadi S., Medina A. Symplectic structures on quadratic Lie algebras// Journal of algebra 316(2007), 174-188.

4. Baxter R.J. Exactly solved models in statistical mechanics Acad. Press, London, New York, 1982.

5. Drinfeld V. G. Quantum Groups, Proc. Int. Congress Math., Berkeley, 1986. Providence RI; Amer. Math. Soc., 1987, 798-820.

6. Elduque A., On maximal subalgebras of central simple Malcev algebras // J. Algebra, 103 (1986), 216-227.

7. Jacobson N., Structure and representations of Jordan algebras (Amer. Math. Soc. Colloquium Publications, 39), Providence, Rhode Island, Amer. Math. Soc., 1968.

8. Joni, S.A. and Rota G.C., Coalgebras and bialgebras in combinatorics// Studies in Applied Mathematics 61, (1979), 93-139.

9. Mudrov A.I., Associtive triples and the Yang-Baxter equation// Israel Juornal of Mathematics 139, (2004), 11-28.

10. Polishchuk A. Clasic Yang — Baxter Equation and the A-constraint// Advances in Mathematics, vol. 168, No. 1, 2002, 56-96.

11. Sagle A.A., Malcev algebras // Trans. Am. Math. Soc., 101, № 3(1962), 426-458.

12. Sagle A.A. Simple Malcev algebras over fields of characteristic zero, Pacific J. Math. 12(1962), 1047-1078.

13. Schafer R.D., An introduction to nonassociative algebras, N.Y., Academic Press, 1966.

14. Stolin A. A. Some remarks on Lie bialgebra structures on simple complex Lie algebras // Comm. in Algebra, 27, 9(1999) 4289-4302

15. Vershinin V.V., On Poisson-Malcev Structures // Acta Applicandae Mathemati-cae, 75(2003) 281-292

16. Zamolodchikov A.B. Zamolodchikov Al.B., Ann. Phys. 120 (1979) 253.

17. Zamolodchikov A.B., Zamolodchikov Al. В., Nucl. Phys., B133, No. 3, 525-535 (1978).

18. Белавин А.А., Дринфельд В.Г., О решениях классического уравнения Янга-Бакстера для простых алгебр Ли // Функц. анализ и его прил., т. 16, вып. 3(1982), 1-29

19. Гайнов А.Т., Бинарно лиевы алгебры низких рангов // Алгебра и логика, 2, № 4 (1963), 21-40.

20. Дринфельд В. Г. Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгебры Ли и геометрический смысл классических уравнений Янга — Бакстера, ДАН СССР, 268, N 2, 1983, 285-287.

21. К.А. Жевлаков, A.M. Слинько, И.П. Шестаков, А.И. Ширшов. Кольца, близкие к ассоциативным. Наука. 1978

22. Желябин В. Н. Йордановы биалгебры и их связь с биалгебрами Ли // Алгебра и логика т.1,36(1997), 3-25.

23. Желябин В. Н. Йордановы биалгебры симметрических элементов и биалгебры Ли // Сибирский математический журнал, 39, 2(1998), 299-308.

24. Желябин В.Н. Об одном классе йордановых Д-биалгебр// Алгебра и анализ т.11(1999), вып. 4, 64-94.

25. Желябин В.Н. Йордановы D-биалгебры и симплектические формы на йордановых алгебрах // Математические труды. 2000. Т.З, N1, С. 38-47.

26. Е.Н. Кузьмин Алгебры Мальцева и их представления, Алгебра и логика, 7(1968), 233-244.

27. Кузьмин Е.Н. Структура и представления конечномерных алгебр Мальцева, в кн.: Исследования по теории колец и алгебр (Труды Ин-та матем. СО АН СССР, 16), Новосибирск, Наука, 1989, 75-101.

28. Кузьмин Е.Н., Шестаков И.П., Неассоциативные структуры, в кн.: Алгебра-6 (Итоги науки и техники. Совр. пробл. матем. Фундам. направл., 57), М. ВИНИТИ, 1990, 179-266

29. Мальцев А.И. Аналитические лупы, Мат. Сб. 36(78), No.3 (1955), 569-575.

30. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д., Гамильтонов подход в теории солитонов. — М.: Наука. 1986.Работы автора по теме диссертации

31. Гончаров М.Е., Классическое уравнение Япга — Бакстера на альтернативных алгебрах. Структура альтернативной Д-биалгебры на матричной алгебре Кэли — Диксона // Сиб. мат. журн. 48 5(2007) 1009-1025.

32. Гончаров М.Е., Биалгебры Ли, возникающие из альтернативных и йордановых биалгебр // Сиб. мат. журн. 51 2(2010), 268-284.Тезисы конференций

33. Гончаров М.Е. Альтернативные Д-биалгебры, "Проблемы теоретической и прикладной математики Труды 37-ой Региональной молодежной конференции 30 января 3 февраля 2006 г., с. 15-19

34. Гончаров М.Е. Альтернативные Д-Биалгебры // Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика/ НГУ, Новосибирск, 2005, стр.6 .

35. Гончаров М.Е. Структура альтернативной Д-биалгебры на матричной алгебре Кэли-Диксона // Материалы XLV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика/ НГУ, Новосибирск, 2007, стр.6

36. Гончаров М.Е. Альтернативные Д-биалгебры. Структура альтернативной Д-биалгебры на матричной алгебре Кэли-Диксона./ / Международная конференция "Алгебра и её приложения": Тезисы докладов.-Красноярск,2007. стр.37-38.

37. Гончаров М.Е. Связь полупростых альтернативных Д-биалгебр с биалгебрами Ли.// Материалы XLVI междуиараодной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика/ НГУ, Новосибирск,2008, стр.5-6

38. Гончаров М. Е. Связь простых альтернативных Д-биалгебр с биалгебрами Ли // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, Москва (2008), с. 72-73.

39. Гончаров М.Е. Альтернативные биалгебры, присоедененные йордановы биалгебры и биалгебры Ли. // Материалы XLVII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика/ НГУ, Новосибирск, 2009, стр.66-67.

40. М.Е. Goncharov On a Lie bialgebras that arise from alternative and Jordan bialgebras. // International Conference on Algebra and Related Topics (ISSA), Guangzhou (2009), p.22.

41. Гончаров М.Е. Структура биалгебры Мальцева на простой семимерной алгебре Мальцева.// Тезисы конференции "Мальцевские чтения 2010 Новосибирск, с. 106-107.