Йордановы биалгебры и их связь с биалгебрами Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С.Л. СОБОЛЕВА Специализированный совет Д 002.23.01

^ 0 ^ $ На правах рукописи

УДК 512.524

ЖЕЛЯБИН ВИКТОР НИКОЛАЕВИЧ

ЙОРДАНОВЫ ВИАЛГЕВРЫ И ИХ СВЯЗЬ С ВИАЛГЕВРАМИ ЛИ

(01.01.06 - математическая логика, алгебра я теория чисел)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 1998

Работа выполнена в Институте математики СЮ РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.В. Михалев,

доктор физико-математических наук,

С.Р. Сверчков,

доктор физико-математических наук, профессор У.У. Умирбаев.

Ведущая организация - Омский государственный университет.

Защита диссертации состоится " июня 1998 г. в п № * часов на заседании специализированного совета Д 002.23.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Институте математики СЮ РАН по адресу: 630090 Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики СЮ РАН.

Автореферат разослан "_Ц_1998 г.

Ученый секретарь специализированного совета по защите диссертаций кандидат физ.-мат. наук

Общая характеристика работы

Йордановы алгебры впервые возникли в 1934 г. в совместной статье П.Йордана, Дж. фон Неймана и Е.Вигнера "Об алгебраических обобщениях формализма квантовой механики" [14]. В обычной интерпретации квантовой механики наблюдаемыми являются эрмитовы матрицы или операторы в гильбертовом пространстве. Линейное пространство эрмитовых матриц не замкнуто относительно обычного произведения ху, но замкнуто относительно симметризованного произведения х О у = \{ху+ ух). Предложенная Йорданом программа состояла в том, чтобы вначале выделить основные свойства эрмитовых матриц в терминах операции £ © у, & затем изучить все алгебраические системы удовлетворяющие этим свойствам.

В связи с этим возникла потребность в изучение алгебр над ассоциативным коммутативным кольцом Ф, содержащим | и, удовлетворяющим тождествам:

ху ~ ух — коммутативность, (1)

(х2у)х = х2(ух) — йорданово тождество. (2)

Алгебры, в которых выполняются тождества (1) и (2), называются йордановы алгебры.

Хотя на этом пути новых существенных обобщений матричного формализма квантовой механики найти не удалось, введенный авторами класс алгебр привлек внимание алгебраистов.

Интерес к йордановым алгебрам со стороны математиков связан с вещественным, комплексным и функциональным анализом [4], [12], [15], геометрией [И], проективной геометрий

[13], алгебраическими группами [22], другими классами алгебр и прежде всего с алгебрами Ли.

Так, например, М.Томбер [24] показал, что алгебра Ли типа Р4 реализуется кале алгебра дифференцирований исключительной простой йордановой алгебры. Ж.Титс [25], [26] применил йордановы алгебры для построения исключительных алгебр Ли типа Бв,Е7,Е8. Развивая идеи Титса, М. Кёхер [16] и И.Л. Кантор [5] вложили произвольную йорданову алгебру в г-грздуированную (3-градуированную) алгебру Ли Ь{1) — -}- 1«о + где = 0 при | с | > 1. Это вложение получило название конструкции Кантора - Кёхера - Титса (ККТ-конструкция), а алгбра Ь{3) присоединенной ККТ-алгеброй Ли.

Связь йорд&новых алгебр с г-градуированными алгебрами Ли является двусторонней. Произвольной ^градуированной алгебре Ли Ь = Ь-\ + Ьа -Ь Ь\ можно поставить в соответствие йорданову пару

Алгебры Ли АшВп,Сп,Ев,Е7 обладают нетривиальной 3-градуировкой, поэтому допускают построение и изучение с помощью йордановых алгебр (йордановых пар). Алгебры 62^4, Е8 не обладают 3-градуировкой, но обладают Я-градуировкой вида Ь — 2 + + ¿о + ¿1 + ¿2. Для их изучения Б. Алиссоном [8] был введен класс структуризуемых алгебр, который по своим свойством близок к классу йордановых алгебр (каждая йорданова алгебра является структуризуемой алгеброй). Как и в случае йордановых алгебр, произвольную структуризуемую алгебру (А,з) (] — инволюция алгебры А) можно вложить в 2-градуированную алгебру Ли К({А,з)) = К-2 + К-г + Ко + К\ + К2- Это вложение получило название конструкции Кантора - Алиссона (КА-конструкция).

Используя связь йордановых алгебр с ^градуированными

алгебрами Ли, Е. Зельманов [3] описал простые алгебры Ли с произвольной конечной ^-градуировкой.

Каждую алгебру А над полем Ф можно понимать как пару (А, т), где т — линейное отображение из А ® А в А, которое называется умножением и т(х <3>у) — ху.

Понятие коапгебра — двойственное понятие алгебры. Пара (А, А), где А — линейное пространство над полем Ф, а А : А —А ® А линейное отображение, называется коалгеброй. При этом Д называется коумножением.

Коалгебра (А, Д) называется ассоциативной, если коумно-жение Д удовлетворяет равенству

(Д <8> И — 1(1 <8> Д)Д = 0 — коассоциативность.

Если (А, Д) — произвольная коалгебра, то коумножение Д индуцирует на дуальном пространстве А* структуру обычной алгебры над полем Ф, которая называется дуальной алгеброй.

Как известно (см., например, [23]), ассоциативность коалге-бры (Л, Д) эквивалента ассоциативности дуальной алгебры А*. В 1980 г. Михаэлис [18] определил понятие коалгебры Ли. Как и в ассоциативном случае, лиевость коалгебры эквивалентна лиевости ее дуальной алгебры.

В 1993 г. X. Анкело, Т. Кортес и Ф. Монтанер [9] дали определение коалгебры, связанное с некоторым многообразием алгебр.

Пусть М — произвольное многообразие алгебр. Тогда пара (А, Д) называется М — коалгеброй, если дуальная алгебра А* принадлежит многообразию М.

Из предыдущего следует, что данное определение М - коалгебры в случае, когда М — многообразие ассоциативных (лиевых) алгебр согласовано с определением ассоциативной (лиевой) коалгебры.

Систематическое изложение теории ассоциативных коал-гебр содержится в книгах М. Свидлера [23], Б. Абе [6], а также в обзоре В. Артамонова [1]. Один из основных результатов этой теории утверждает, что всякая ассоциативная коалгебра локально конечномерна. Михаэлис [18] показал, что для лиевых коал гебр аналог этого результата не имеет места. Необходимые и достаточные условия локальной конечномерности коалгебры Ли были найдены А. Слинько [20]. X. Анкело, Т. Кортес и Ф. Монтанер [9] доказали, что всякая йорданова (альтернативная) коалгебра локально конечномерна.

Как было отмечено выше между йордановыми и лиевыми алгебрами существует глубокая связь. Поэтому естественно возникает вопрос о наличии такой связи между йордановыми и лиевыми коалгебрами, а именно

Вопрос 1. Пусть («7,Д) — йорданова коалгебра и ^ — ее дуальная алгебра. Существует ли коалгебра Ли (Ь, Ах,) таг кая, что ее дульная алгебра V является присоединенной ККТ-алгеброй Ли Ь(3*)1

Наиболее интересными по содержанию объектами являются коалгебры, на которых дополнительно задана операция умножения согласованная в определенном смысле с коумножени-ем. Такие объекты называются биалгебрами. В ассоциативном случае, например, умножение есть гомоморфизм соответствующих коалгебр. Это эквивалентно тому, что коумножение — гомоморфизм соответствующих алгебр. Примерами ассоциативных биалгебр служат алгебры Хопфа. Возросший интерес к алгебрам Хопфа мотивирован квантовым методом обратной задачи, методом построения и изучения интегрируемых квантовых систем. Алгебры Хопфа тесно связаны с такими объектами как биалгебры Ли. Последние были введены Дринфельдом [2] для изучения решений классического уравнения Янга - Бак-

стера. В отличии от ассоциативных биалгебр, биалгебры Ли это алгебры Ли с лиевым коумножением, которое является 1-коциклом.

Как отмечалось выше, ККТ-конструкция позволяет эффективно применять методы йордановых алгебр для изучения алгебр Ли. В связи с этим естественно возникает

Вопрос 2. Можно ли на йордановой алгебре J определить структуру биалгебры, которая индуцирует структуру биалгебры Ли на присоединенной ККТ-алгебре Ли ¿(7)?

Важным классом биалгебр Ли являются треугольные и квазитреугольные биалгебры Ли, которые изучались в работах В.Дринфельда ((10], С. Мажида [17], В. Михаэлиса [19]), Д. Алексеевского и А. Переломона [7]. В. де Смедт [21] показал, что всякая конечномерная неабелева алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 допускает нетривиальную структуру квазитреугольной биалгебры Ли. При этом, как правило, полупростые алгебры Ли допускают структуру треугольной биалгебры Ли. В связи с этим возникают следующие две проблемы.

Проблема 1. Описать структуру йордановой биалгебры, заданную на конечномерной полупростой йордановой алгебре.

Проблема 2. Определить понятия треугольной и квазитреугольной йордановых биалгебр, согласованные с соответствующими понятиями для биалгебр Ли. Охарактеризовать конечномерные йордаиовы алгебры, допускающие нетривиальную структуру квазитреугольной йордановой биалгебры.

Основной целью диссертация является определение понятия неассоциативной биалгебры (в частности, йордановой биалгебры), согласованного с понятием биалгебры Ли, а также изучение связи йордановых биалгебр с биалгебрами Ли.

В работе используются теоретике кольцевые методы йорда-новых и лиевых алгебр, методы ассоциативных и нсассоциатин-ных коалгебр, а также методы биалгебр Ли. Широко применяется известное для алгебр Ли понятие тройки Манина (дубль Дринфельда в терминологии данной работы).

Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Бе результаты могут найти свое применение при исследованиях неассоциативных коалгебр, биалгебр и квантовых групп, а также при чтении алгебраических специальных курсов и подготовке учебников, монографий.

Результаты работы докладывались на международной конференции "1 - съезд математиков Казахстана" (Шымкент 1996 г.), на международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск 1997 г.), на семинаре "Алгебра и Логика" в Новосибирском государственном университете, на семинаре "Теория колец" им. А.И. Ширшова и семинаре "Алгебра и Геометрия" Института математики СО РАН.

По теме диссертации опубликовано 6 работ, в том числе 4 журнальных статьи [27 - 30], 1 препринт [31] и 1 - тезис выступлений [33].

Все результаты диссертации получены автором самостоятельно

Диссертация изложена на 131 страницах и состоит из введения и четырех глав. Библиография содержит 49 наименований.

Содержание работы

Во введении даны краткое описание истории рассматриваемых вопросов, обоснование постановки задач и описание содержания диссертации, а также определены основные понятия.

Пусть Ф — поле. Для линейных пространств и я V над полем Ф через II ® V обозначим их тензорное произведение над Ф. На пространстве V <8> V определим линейное отображение т, полагал = Через V* обозначим простран-

ство всех линейных функционалов заданных на пространстве V. Для элементов / € V* и V € V выражение (До) обозначает значение линейного функционала / на элементе и.

Пусть (А, Д) — коалгебра и А* ее дуальная алгебра. Алгебра А* задает бимодульное действие (•) на пространстве А. Если на пространстве А дополнительно задана структура алгебры (т. е. (А, Д) — биалгебра), то алгебра А задает бимодульное действие (•) на пространстве А*, определенное формулами (/оа,Ь) = (/,аЬ) и (6в/,а) = (/,аЬ). Рассмотрим пространство ■О(А) = А ® А* и зададим на нем умножение, полагая

(а + + д) = (аЬ + /-Ь + а- д) + (/д + / оЬ + а* д).

Тогда В{А) является обычной алгеброй над полем Ф, а А и А*— подалгебры в £)(А). Алгебру Г>(А) будем называть дубль Дринфельда.

Напомним конструкцию Кантора - Кёхера -Титса. Пусть | € Ф и 3 — йорданова алгебра с единицей 1. Для элемента а из 3. Через а' обозначим оператор правого умножения на элемент о. Линейное подпространство пространства ЕпсЗф(<7), порожденное операторами а', обозначим через /?(,/). Если а, Ь € «7, то оператор [а', Щ = а!У — Vа! — дифференцирование алгебры 3. Любая линейная комбинация операторов этого вида называется внутренним дифференцированием. Пространство веете внутренних дифференцирований алгебры 3 обозначим через Ьгё(1ег(.7). Пусть X, У — подмножества в 3. Положим Д(Х) = {а'|а 6 X}, а через [Х,У] обозначим линейное пространство, порожденное элементами [а',?/], где а € Х,Ь € У.

Зафиксируем некоторую алгебру Ли В дифференцирований алгебры содержащую 1Ы;<1ег(«7). Тогда по алгебре «7 и 1> можно построить 2 — градуированную алгебру Ли Ь(,7,1>). При этом

¿(•7,1>) = 7 ф Я(.7) 01>ф7,

где 7 — изоморфная копия пространства .7, а градуировка на алгебре £(7,0) задается следующим образом Ь-х = .7, ¿о = Л(7) Ф £>, = X Подалгебра А1 в Х/(.7,1Э), порожденная элементами 1,1',Т, является трехмерной простой алгеброй Ли.

В главе 1 устанавливается связь между йордановыми (структуризуемыми) коалгебрами и коалгебрами Ли, являющаяся аналогом конструкции Кантора - Кехера - Титса (Кантора -Алиссона) для обычных алгебр.

В §1.1 приводятся необходимые сведения о структуризуе-мых алгебрах и доказывается, что каждая конечнопорожден-ная структуризуемая алгебра имеет конечную мультипликативную длину.

В § 1.2 определяется понятие структуризуемой алгебры.

Пусть (А, Д) — коалгебра и 3 — инволюция линейного пространства А. Тогда ] называется коинволюцией, если Д(а*) = 0 ®У)гА(а). Коинволюция ] индуцирует инволюцию ~ на дуальной алгебре А*.

Определение. Тройка (А, Л, У), где (А, Д) — коалгебра, а 3 — коинволюция на А, называется структуризуемой коалге-брой, если алгебра (А*,- ) является структуризуемой алгеброй.

Основным результатом § 1.2 является

Теорема 1.2.1. Пусть (А, Д,^) — структуризуемая коалгебра и (А*,~ ) ее дуальная алгебра. Тогда (А,3) — структури-зуемый (А*,- )-бимодуль.

Локальная конечномерность структуризуемых коалгебр доказана в §1.3

Теорема 1.3.1. Пусть (А,Д,^) —структуризуемая коал-гебра над полем Ф характеристики не равной 2, 3, 5. Тогда коалгебра (А, Д,^) локально конечномерна.

Эта теорема обобщает аналогичный результат для йардано-вых коалгебр, доказанный в [9].

Центральным понятием, при построение ККТ-конструкции для йордановых коалгебр, является понятие слабо внутреннего дифференцирования.

Пусть (7, Д) — йорданова коалгебра над полем Ф с | и V— коединица коалгебры (7, Д). Подпространство В из 7 называется подкоалгеброй (соответственно коидеалом) коалгебры (.7, Д), если А(В) С В®В (соответственно Д(У) С V<8)J+J<g>V и V (V) — 0). Коалгебра (7, Д) — локально конечномерна, т. е. любое конечное подмножество из 7 порождает конечномерную подкоалгебру. Пусть 7* — дуальная алгебра для (7, Д). Тогда коединица коалгебры (7, Д) является единицей алгебры 7*. Для подпространства V из 7 через Vх- обозначим ортогональное дополнение V в пространстве 7*.

Определение. Дифференцирование <£ алгебры 7* будем называть слабо внутренним, если для любой конечномерной подкоалгебры В из 7 найдется такое внутреннее дифференцирование г алгебры 7*, что — г) С Вх.

В случае структуризуемых коалгебр понятие слабо внутреннего дифференцирования определяется аналогично. Из данного определения следует, что каждое внутреннее дифференцирование алгебры 7* является слабо внутренним. Через ^ТЭ^*) обозначим линейное пространство всех слабо внутренних дифференцирований алгебры 7*. Как показано в лемме 1.4.1,

линейное пространство является подалгеброй алгебры

Ли всех дифференцирований алгебры 7*.

Рассмотрим дубль Дринфельда биалгебры (.7, Д) («7 — алгебра с нулевым умножением) В [9] показано, что #(«/) — йор-данова алгебра Пусть В — 1п1с1ег(1)(«7)) и Ь(£>(/),£>) — присоединенная ККТ-алгебра Ли. Через 1г(«7) обозначим идеал алгебры £(£>(./), Г>), порожденный пространством J. Алгебра //(#(«/), £>) допускает автоморфизм тг порядка 2, оставляющей неподвижным пространство Ь{3). Основным результатом §1.4 является

Следствие 1.4.1. Пространство является

пространством всех линейных функционалов, заданных на пространстве Ь(3).

Основной результат главы 1 утверждает, что пространство Ь{1) допускает структуру коалгебры Ли, а именно справедлива

Теорема 1.5.1. На линейном пространстве Ь(.1) можно определить коумножение Дг, так, что коалгебра (!/(«/), Дд) будет коалгеброй Ли с дуальной алгеброй 2/(.7% ^1)(«7*)).

Теорема 1.2.1 дает положительный ответ на вопрос 1.

Как и в йордановом случае, для структуризуемой коалгебры (Л, Д, .7), можно построить алгебру Ли К((А*,~ ),\МТ)(А*)) и пространство К (А) структуризуемые аналоги Д/%'\УВ(«7*)) и £(«/). Справедлива

Теорема 1.5.2. На линейном пространстве К {А) можно определить коумножение Дх, так, что коалгебра (К(А), Д^) будет коалгеброй Ли с дуальной алгеброй К((А*~), \\ПО(А*)).

В § 1.3 изучаются коидеалы и подкоалгебры коалгебры

Пусть В — такал подалгебра .7% что 1 € В. Тогда, как известно (см.[13]), пространства

ЬХ{В) = В © Я(В) ©[В,В] ©В и Ьг{В) = В © Я(В) © (1(В) ф В, где с1(В) = € WD(J*)j Вд. С В}, являются подалгебрами в

Рассмотрим коидеал V коалгебры (У, А) и в пространстве Ь(3) рассмотрим подпространства

ь\(у) = гфлс^Ф^.Т^ФУ и щу) =

где <Г(К) ={«€ Vх« С V}. Тогда С Ц{У) и

пространства Ь\(у), Ь\{у) — замкнуты относителыю п.

Связь между коидеалами коалгебр (.7, А) и (£(.7), А/,) устанавливает

Теорема 1.3.1. Пусть У — коидеал коалгебры (7, А). Тогда пространства Ь\(У) и 1>1(У) — коидеалы коалгебры (//(У), Ах), причем = и Ь*(У)х = Обратно,

если I/ — коидеал в (£(«7), А^), замкнутый относительно отображения 7г и такой, что Ь С Ах, то V — 3 П Ь — коидеал в (3,А)иЩУ)СЬСЦ{У).

Аналогичный результат справедлив и для подкоалгебр. Пусть В — идеал алгебры 3*. В алгебре L(J',,WD(J*)) рассмотрим пространства

1г{В) = ВфЯ(В)ф[.7*,В]фВ и 12{В) = ВфЯ(В)фр(В)©В,

где р(В) = {а Е \¥Б(«7*)|«Г*<1 С В}. Пространства 1г(В) и /2(В)— идеалы в ЦЗ\^ЩЗ*)). Пусть В — подкоалгебра («7, А), а

/,*(В) = ВфЯ(В)ф[«7*,В]©В и /2*(В) = ВфЯ(В)фр*(В)фВ,

где р*(В) = {ve [J*, J]j J*v С В].

Теорема 1.3.2. Пусть В — подкоалгебра коапгебры (J, Д). Тогда пространства Ц(В) и Ц(В) — подкоалгебры коапгебры (L(J), Дь>, причем /;(В)Х = h(BL) и Ц(В)Х = h(Bx). Обратно, если I — подкоалгебра в {L{J), Дх,), то В — АС\ I — подкоалгебра в J и 1{{В) С J С Ц{В).

Во второй главе определяются биалгебры по Дринфельду, называемые в дальнейшем Д-биалгебрами. В частности, определены ассоциативные и йордановы Д-биалгебры.

Приведем определение биалгебры Ли, данное Дринфельдом [2]. Пусть L — алгебра Ли над полем Ф. Рассмотрим линейное пространство L®L. Как известно, пространство L® L является лиевым L-бимодулем, если действие алгебры L на L&L определить равенством [l\ ® h,¡] = + Пред-

положим, что на L задано коумножение Д. Тогда пара (L, Д) является биалгеброй Ли тогда и только тогда, когда (L, Д) — коалгебра Ли и коумножение Д является 1-коциклом, т. е. удовлетворяет равенству Д([а,6]) = [Д(а),6]-{- [а, Д(6)].

Справедлива следующая

Теорема (Дринфельд [2]). Пара (L,A) является биалгеброй Ли тогда и только тогда, когда D(L) — алгебра Ли.

Исходя из этой теоремы дадим следующие определение Д -биалгебры.

Определение. Пусть М — произвольное многообразие Ф-алгебр и А алгебра из М, на которой дополнительно задано коумножение Д. Тогда пару {А, А) будем называть М -биалгеброй по Дринфельду, если алгебра D(A) принадлежит многообразию М.

В §2.1 дан критерий ассоциативной Д-биалгебры в терминах коумножения.

Пусть А — ассоциативная Ф — алгебра. Зададим на пространстве А® А действие алгебры А, полагая а(Ь®с) = (Ь®ас) и (Ь ® с) а = (Ьа® с). При этом действие пространство А® А является ассоциативным Л-бимодулем. Если а € Л, а Ь € Л® Л, то положим [а, 6] — аЬ — Ьа.

Теорема 2.1.1. Пара (Л, А) является ассоциативной Д-биалгеброй тогда и только тогда, когда пара (А, Л) — ассоциативная коалгебра и коумножение Д удовлетворяет следующим равенствам:

А{аЬ) = А(а)Ъ + аА(Ъ),

[а,тД(6)] = —г({Ь,гД(а)]).

Основным результатом §2.1 является

Теорема 2.1.2. Пусть А — ассоциативная некоммутативная конечномерная алгебра над алгебраически замкнутым полем Ф. Тогда А допускает нетривиальную структуру ассоциаг тивной Д-биалгебры с кокоммутативным на центре коумноже-нием.

Если Д — коумножение на Л, то кокоммутативность Д на центре означает г(А(г)) — А(г) для любого центрального элемента х.

В §2.2 доказывается аналог теоремы 2.1.1 для йордановых биалгебр, а именно

Теорема 2.2.1. Пусть характеристика поля Ф ф 2,3. Пара («7, А) является йордановой Д - биалгеброй тогда и только тогда, когда пара («7, Д) — йорданова коалгебра и коумножение Д удовлетворяет следующим равенствам:

(Д ® гй + (М + т ® ® А)т)(А(Ь)( 1 ® а) + А(а)(Ъ ® 1)) =

(Д®1<г)А(а&)+(»^<8>г)((Д(о)®1)(К8>Д(&))+(Д(Ь)<8>1)(1®Д(о)))+ (Ы + г ® «*)((! ® а ® 1)(*</<а Д)Д(Ь) + (1 О Ь ® Д)Д(а)),

Д((аЬ)с) - Д(аЬ)(с® 1) - Д(с)(1 ® аЬ) + Д(с)(а® Ь + Ъ <8> а)~

Д(ас)(6 ® 1) - А(Ьс)(а ®1) - Д(а)(1 ® Ьс) - Д(Ь)( 1 ® ас)+

(Д(а)(с® 1))(Ь® 1) + (Д(Ь)(с® 1))(а ® 1)+

(Д(а)(1 ® с))(1 ® Ь) + (Д(Ь)(1 «8) с))( 1 ® а) = 0.

Среди биалгебр Ли особою роль играют треугольные и квазитреугольные биалгебры Ли. Пусть Ь — алгебра Ли над полем Ф и Л = <Ч®Ь элемент из (1<1—т){Ь®Ь), т.е. г(Д) = —Д. Определим на алгебре I/ коумножение Дд, полагая Ац(а) = а] ® Ь. + <4 ® [6»> а] ДЛЯ любого элемента а из Ь. Тогда коумножение Дд — антикокоммутативно и является 1-коциклом. Дринфельд [10] показал, что пара (£, Дд) — коалгебра Ли тогда и только тогда, когда элемент

С ¿(Л) = [/?12> Д«1 + (#12 > йгз] + [Й1з, Лгз]

а^-инвариантен. Здесь [Л12, Л13] = [Л12, Дгз] —

и [#1з,/?2з] = Еу В частности,

если

[Л12, /?1з] + [Л 12) Ягз] + Лгз] = 0, (3)

то пара (£, Дд) — коалгебра Ли. Уравнение (3) называется классическим уравнением Янга - Бакстера. Так как т(Л) — —И, то уравнение (3) можно записать в следующим виде

а,] ® Ь,- ® Щ + 6, ® ^ ® [а;, а^] + Ьл ® [а,-, а,] ® = 0.

У

В §2.3 выделен класс йордановых биалгебр, связанный с "йордановым аналогом* классического уравнения Янга - Бак-стера. Пусть | 6 Ф и J — йорданова Ф-алгебра. Зафиксируем элемент г = из (id—r)(J<8>J). Определим на J коумно-

жение Дг полагая, Аг(а) = «¿a ® — o¡ ® а64. Рассмотрим элемент

Cj(r) = ® bi ® + ® ® a¿aj + ® ai<ij ® 6¿).

У

Тогда имеет место следующая

Теорема 2.3.1. Пусть J — йорданова алгебра над полем Ф характеристики ф 2,3, г = и т"(г) = —г* Предположим,

что Cj(r) = 0. Тогда пара (J, Дг) — йорданова Д-биалгебра.

В §2.4 изучается вопрос о продолжение симплектической формы, заданной на йордоновой алгебре, на присоединенную ККТ-алгебру Ли, а также о существование на йордановой алгебре J симплектической структуры, связанной с решением уравнения Cj(r) = 0.

В третьей главе диссертации доказано, что для йордановой биалгебры (J, А) классического типа структура йордановой би-алгебры на J индуцирует структуру биалгебры Ли на присоединенной ККТ-алгебре Ли L(J).

Пусть | € Ф и J — йорданова Ф-алгебра. Рассмотрим ККТ-алгебру Ли L(J, D). Предположим, что на L(J, D) задано ко-умножение A¿. Будем говорить, что A¿ согласовано с градуировкой алгебры L(J,D), если Al(Lí) С Lj <8> JL*. Пусть Д — коумножение, заданное на пространстве «7. Будем говорить, что А/, связано с Д, если для любого элемента о 6 J имеет место включение

Al (a) € X)a«®a2¿-<*5M®flw + J®D + D®> J,

где А(а) = Е»аи®а2{.

Пусть пара (А, Л) — ассоциативная Д-биалгебра. Определим на пространстве А новое умножение О и коумножение Д(+) , полагая

а($Ь = ~(аЬ + Ьа) и Д<+>(а) = £(Д(о) + г(Д(а))).

После замены старого умножения и коумножния на новые получается биалгебра, которая обозначается через Пара Д<+>) — йорданова Д-биалгебра. Назовем ее присоединенной йордановой Д-биалгеброй к ассоциативной Д-биал-гебре (Л, Д).

Для А — ассоциативной Ф-алгебры с 1 через 1пЫег(А) обозначим алгебру Ли всех внутренних дифференцирований алгебры А. Пусть Ь(А^) — алгебра Ли, полученная по ККТ-конструкции из алгебры А^ и алгебры 1М<1ег(Л). Тогда справедлива

Теорема 3.1.1. Пусть пара (А, Д) — ассоциативная Д-биалгебра и пара присоединенная йорданова Д-биалгебра. Предположим, что коумножение Д кокоммутативно на центре алгебры А. Тогда на алгебре Ь(А^) можно задать структуру биалгебры Ли с таким коумножением Д/,, что Д^ согласовано с градуировкой алгебры Ь(А^), коумножение Д^ связано с и ДДАх) = 0.

В §3.2 доказывается аналог теоремы 3.1.1 для йордановых биалгебр симметрических элементов

Пусть характеристика поля Ф не равна 2 и (А, У) — ассоциативная алгебра с инволюцией з и единицей 1. Рассмотрим йордааову алгебру «7 — Н{А,э) симметрических элементов. Через Б11^<1ег(А) обозначим алгебру Ли всех внутренних дифференцирований алгебры А, определенных кососимметрическими

элементами. Пусть Ь(3) — алгебра Ли, полученная по ККТ-конструкции из алгебры 3 и алгебры Бт1с1ег(.А). Если на алгебре А задана стрктура ассоциативной Д-биалгебры и У — биинволюция (т. е. инволюция и коинволюция), то на 3 можно задать структуру йордановой Д-биалгебры с коумножением Ду, которое индуцирует структуру биалгебры Ли на £(3), что и утверждает

Теорема 3.2.1. Пусть пара (А,Д) — ассоциативная Д-биалгебра с биинволюцией / и единицей, а пара (7, Д./) — йорданова Д-биалгебра симметрических элементов. Предположим, что коумножение Д кокоммутативно на центре алгебры А. Тогда на алгебре Ь{3) можно задать структуру биалгебры Ли с таким коумножением Д/,, что Аь согласовано с градуировкой алгебры Ь(3), коумножение Аь связано с Д^ и Дь{А{) — О-

Теоремы 3.1.1 и 3.2.1 частично отвечают на вопрос 2.

Обратная задача рассмотрена в §3.3. Пусть 3 — йорданова Ф-алгебра с единицей и Ь(3, И) — присоединенная ККТ-алгебра Ли. Предположим, что пара (2/(7,1?), А£) является биалгеброй Ли. Тогда справедлива

Теорема 3.3.1. Пусть характеристика поля Ф не равна 2, 3, коумножение Д/, согласовано с градуировкой алгебры Ь(3, £>) и Д (Аг) = 0. Тогда алгебра 3 допускает структуру йордановой Д - биалгебры с коумножением Д, причем коумножение ДА связано с Д.

Глава 4 посвящена изучению структуры йордановой Д-биалгебры, заданной на конечномерных йордановых йордановых алгебрах.

В § 1 четвертой главы определяются понятия треугольной и квазитреугольной йордановых биалгебр и приводятся их примеры.

Для йордановой алгебры 3 через 3* мы обозначим йорда-нову алгебру с присоединенной 1. Пусть Ь(3, Г>) — алгебра Ли, полученная по ККТ-конструкции из алгебры 3* и алгебры £>. Элемент г = гц®гм из (1й—т)(3®3) индуцируетна алгебре 3 структуру биалгебры с коумножением ДР.

Определение. Пара («7, Дг) называется треугольной, (ква-эитреугольной) йордановой Д - биалгеброй, если (3, Д г) — йор-данова биалгебра и для некоторой алгебры Ли Р дифференцирований, содержащей 1п1с1ег(«7) в (го! — г)(£) <8> О) существует такой элемент До, что пара (£(«/, I)), й), где Я = —

0 г!ц + Ло, является треугольной (квазитреугольной) биалгеброй Ли.

Далее в этой главе исследуются йордановы Д-биалгебры, определенные на полупростой конечномерной йордановой алгебре. Основными результатами § 4.2 являются

Теорема 4.2.2. Пусть 3 — полупростая конечномерная йорданова алгебра над алгебраически замкнутым полем Ф. Предположим, что на 3 задана структура йордановой Д - биалгебры с коумножением Д. Тогда существует такой элемент г из {1й - г)(3 ® 3), что СДг) = 0 и Д = Дг.

Теорема 4.2.3. Пусть Ф — алгебраически замкнутое поле. Предположим, что 3 = Я(Ф3) и характеристика поля Ф не равна 3 или 3 = #(Фз). Тогда 3 не допускает нетривиальной структуры йордановой Д-биалгебры.

И наконец, в §4.3 получена характеризация конечномерных йордановых алгебр, допускающих нетривиальную структуру квазитреугольной йордановой биалгебры, а именно, доказана следующая

Теорема 4.3.1. Пусть 3 — конечномерная йорданова алгебра над алгебраически замкнутым полем Ф. Предположим,

что J не является прямой суммой полей, алгебр #(Ф2),#(Фз)> нулевых расширений поля Ф и алгебр с нулевым умножением. Тогда J допускает структуру квазитреугольной йордановой Д-биалгебры с ненулевым коумножением.

Пользуясь случаем хочу выразить благодарность инициатору данного исследования профессору И. П. Шестакову.

Литература

[1] Артамонов В.А. Строение алгебр Хопфа // Итоги науки и техники Сер. алгебра, топология, геометрия. ВИНИТИ, 1991. 29. С. 3-63.

[2] Дринфельд В.Г. Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгебры Ли и геометрический смысл классических уравнений Янга - Бакстера // ДАН СССР, 1983. Т. 268, №2. С. 285-287.

[3] Зельманов Е.И. Алгебры Ли с конечной градуировкой // Мат. сб. 1984. Т. 124, №2. С. 353-392.

[4] Лоос О. Симметрические пространства // М.: Наука, 1985.

[5] Кантор И. Л. Некоторые обобщения йордановых алгебр // Тр. семинара по векторному анализу. М.: Изд-во МГУ. 1974. Т. 17. С. 250-313.

[6] Abe Е. Hopf Algebras TVansI. from Jap., Cambridge Univ. Press, 1977.

[7] Alekseevsky D.V. and Perelomov A.M. Poisson and Symplectic Structures on Lie Algebras. 1 // Max - Planck - Institut fur Mathematic Bonn preprint, 1996. P. 25.

[8] Allison B.N. A class of nonassociative algebras with involution containing the class of Jordan algebras // Math., Ann., 1978. 237, p. 123-156.

[9] Anquela J., Cortes T., Montaner P. Nonassociative Coalgebras // Comm. Algebra. 1994. V. 22, №12. P. 4693-4716.

[10] Drinfeld V.G. Quantum Groups // Proc. Int. Congress Math., Ber keley. 1986. Providence EI; Amer. Math. Soc. 1987. P. 798-820.

[11] Helgasson S. Differetial geometry and simmetric space. N. Y. Acad. Press 1962.

[12] Honche-Olsen H., Stormer E. Jordan operator algebras. Boston e. a., Plenum. 1984. VIII. P. 183.

[13] Jacobson N. Structure and representations of Jordan algebras (Amer. Math. Soc. Colloquium Publications, 39). Providence, Rhode Island, Amer. Math. Soc. 1968.

[14] Jordan P., von Neumann J., Wigner E. On an algebraic generalization of the quantum mechanical farmalism // Ann. Math.1934. V. 36, №1. P. 29 -64.

[15] Koecher M. Jordan algebras and their application // Univ. Mennesota Lecture Notes. Minneapolis. 1962.

[16] Koecher M. Imbedding of Jordan algebras in Lie algebras // Amer. J. Math. 1967. V. 89, №3. P. 787-816.

[17] Majid S. Physics for Algebraists: Non - commutative and Non -cocommutative Hopf Algebras by a Bicrosproduct Construction // Journal of Algebra. 1990. 130. P. 17-64.

[18] Michaelis W. Lie Coalgebras // Adv. Math. 1980. 38. P. 1-54.

[19] Michaelis W. A Class of infinite - Dimensional Lie Bialgebras Gontainig the Viraeoro Algebra // Adv. Math. 1994. 107. P. 365-392.

[20] Slinko A. Local Finiteness of Coalgebraic Lie Coagebras // Comm. Algebra. 1995. V. 23, №3. P. 1165-1170.

[21] De Smedt V. Existence of a Lie Bialgebra Structure on Every Lie Algebra // Letters in Mathematical Physics. 1994. 31. P. 225-231.

[22] Springer T.A. Jordan algebra and algebraic groups. N. Y.: Springer - Verlag, 1973.

[23] Sweedler M. Hopf Algebras. N. Y. W. A. Benjamin Inc. 1969.

[24] Tomber M.L. Lie algebras of type F4 // Amer. Math. Soc. 1953. V. 4, №5. P. 759-768.

[25] Tits J. Une classe d'algebres de Lie en relation avec les algebres de Jordan // Nederl. Acad. Weten Proc. Ser. A. 1962. V. 62, №. P. 530-535.

[26] Tits J. Algebres alternatives, algebres de Jordan, et algebras de Lie exceptionelle // Nederl. Acad. Weten Proc. Ser. A.1966. V. 69, №1. P. 223-237.

Работы автора no теме диссертации

27. Желябин В.Н. Конструкция Кантора-Кехера-Титса для йордановых коалгебр // Алгебра и Логика. 1996. Т.35, №2. С. 173-189.

28. Желябин В.Н. Структуризуемые коалгебры // Алгебра и Логика. 1996. Т. 35, №5. С. 503-517.

29. Желябин В.Н. Йордановы биалгебры и их связь с би-алгебрами Ли // Алгебра и Логика. 1997. Т. 36, №1. С. 3-25.

30. Желябин В.Н. Йордановы биалгебры симметрических элементов и биалгебры Ли // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, №2. С. 299-316.

31. Желябин В.Н. Йордановы Д-биалгебры, заданные на полупростых йордановых алгебрах // Препринт, НГУ, НИИ МИОО. 1998. С. 31.

32. Желябин В.Н. Конечномерные йордановы алгебры, допускающие структуру йордановой биалгебры / / Алгебра и Логика (в печати).

33. Желябин В.Н. Йордановы биалгебры симметрических элементов и биалгебры Ли // 1-й Съезд математиков Казахстана: Тез. докл. Шымкетн: Изд-во Рылым; 1996. С. 180-181.

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С.Л. СОБОЛЕВА

На правах рукописи

ЖЕЛЯБИН ВИКТОР НИКОЛАЕВИЧ

ЙОРДАНОВЫ БИАЛГЕБРЫ И ИХ СВЯЗЬ С БИАЛГЕБРАМИ ЛИ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ........................................................3

ГЛАВА 1. КОНСТРУКЦИЯ КАНТОРА - КЕХЕРА -

ТИТСА ДЛЯ КОАЛГЕБР .........................21

§ 1. Предварительные результаты..........................21

§ 2. Структуризуемые коалгебры ..........................27

§ 3. Локальная конечномерность структуризуемых

коалгебр................................................31

§ 4. Слабо внутренние дифференцирования................33

§ 5. ККТ-конструкдия для йордановых коалгебр ..........41

§ 6. Подкоалгебры и коидеалы коалгебры (L(J), Д^).......43

ГЛАВА 2. АССОЦИАТИВНЫЕ И ЙОРДАНОВЫ

Д-БИАЛГЕБРЫ.....................................47

§ 1. Ассоциативные Д-биалгебры ...........................47

§ 2. Йордановы Д-биалгебры ...............................56

§ 3. Кограничные йордановы биалгебры ...................61

§ 4. Симплектические формы на йордановых алгебрах — 73

ГЛАВА 3. СВЯЗЬ ЙОРДАНОВЫХ И ЛИЕВЫХ БИАЛ-

ГЕБР..................................................79

§ 1. Йордановы Д-биалгебры типа А.....................79

§ 2. Йордановы Д-биалгебры типа H(A,j) .................88

§ 3. Биалгебры Ли, связанные с йордановыми алгебрами .. 98

ГЛАВА 4. ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ

СТРУКТУРУ Д-БИАЛГЕБРЫ ..................107

§ 1. Треугольные йордановы Д-биалгебры ................107

§ 2. Йордановы Д-биалгебры, заданные на полупростых

йордановых алгебрах..................................111

§ 3. Йордановы алгебры, допускающие нетривиальную

структуру квазитреугольной Д-биалгебры ............120

ЛИТЕРАТУРА..................................................127

Введение

Актуальность темы. Йордановы алгебры впервые возникли в 1934 г. в совместной статье П.Йордана, Дж. фон Неймана и Е.Вигнера "Об алгебраических обобщениях формализма квантовой механики" [32]. Согласно предложенному ими формализму, наблюдаемой данной физической системе соответствует линейный самосопряженный оператор ф действующий в гильбертовом пространстве Н, а всякому состоянию, рассматриваемой системы, соответствует элемент s пространства Н. Одним из важных свойств самосопряженных операторов ф и ф является то, что их симметризованное произведение ф © ф = — \(фф + фф) — самосопряженный оператор. Введенная таким образом операция 0 на пространстве наблюдаемых уже не является ассоциативной, но удовлетворяет следующим равенствам:

ф ®ф = ф © ф,

(ф2 о ф) © ф = ф2 © (ф © ф).

В связи с этим возникла потребность в изучение алгебр над ассоциативным коммутативным кольцом Ф, содержащим | и, удовлетворяющим относительно умножения тождествам

ху = ух — коммутативность, (1)

{х2у)х = х2(ух) — йорданово тождество. (2)

Алгебры, в которых выполняются тождества (1) и (2), называются йордановы алгебры. Рассмотрим наиболее интересные примеры йор-дановых алгебр

1. Пусть А — ассоциативная алгебра. Тогда алгебра А^ с той же структурой Ф-модуля, что и А и симметризованным умножением х © у = \{ху + ух) является йордановой алгеброй.

2. Пусть (A,j) —- ассоциативная алгебра с инволюцией. Тогда алгебра симметрических элементов H(A,j) = {a G А\& = а} — подалгебра алгебры

3. Пусть V — линейное пространство над полем F, f : V х V И> V — симметрическая билинейная форма на V. Тогда прямая сумма линейных пространств F ф V с умножением

(а + a){¡3 + Ь) = (а/5 + /(а, Ь)) + (аЪ + /За)

является йордановой алгеброй. Эту алгебру называют алгеброй симметрической билинейной формы.

Интерес к йордановым алгебрам со стороны математиков связан с вещественным, комплексным и функциональным анализом [2], [3], [15],[33], [34], [27], геометрией [26], [17], проективной геометрий [28], [44], алгебраическими группами [45], другими классами алгебр и прежде всего с алгебрами Ли.

Так, например, М.Томбер [49] показал, что алгебра Ли типа Р4 реализуется как алгебра дифференцирований исключительной простой йордановой алгебры. Ж.Титс [47], [48] применил йордановы алгебры для построения исключительных алгебр Ли типа Ее, Е7, Ее- Развивая идеи Титса, М. Кёхер [35] и И.Л. Кантор [12] вложили произвольную йорданову алгебру в Z-гpaдyиpoвaннyю (3-градуированную) алгебру Ли = Ь-1+1/0+^1, где = 0 при \г\ > 1. Это вложение получило название конструкции Кантора - Кёхера - Титса (ККТ-конструкция), а алгбра Ь(3) присоединенной ККТ-алгеброй Ли.

Связь йордановых алгебр с 2-градуированными алгебрами Ли является двусторонней. Произвольной Z-гpaдyиpoвaннoй алгебре Ли Ь = + Ьо + 1/1 можно поставить в соответствие йорданову пару (Ь-иЬг).

Алгебры Ли Ап, Вп, Сп, Ее, Е7 обладают нетривиальной 3-градуи-ровкой, поэтому допускают построения и изучения с помощью йордановых алгебр (йордановых пар). Алгебры вг^^Ев не обладают 3-градуировкой, но обладают Z-гpaдyиpoвкoй вида Ь — Ь-2 + + +1/1 + 1/2. Для их изучения Б. Алиссоном [20] был введен класс струк-туризуемых алгебр, который по своим свойством близок к классу йордановых алгебр (каждая йорданова алгебра является структуризу-емой алгеброй). Как и в случае йордановых алгебр, произвольную структуризуемую алгебру (Л,]) ^ — инволюция алгебры А) можно вложить в й-градуированную алгебру Ли К({А,э)) = К-2 + + Ко~\- К1 + К2. Это вложение получило название конструкции Кантора - Алиссона (КА-конструкция).

Используя связь йордановых алгебр с Z-гpaдyиpoвaнными алгебрами Ли, Е. Зельманов [10] описал простые алгебры Ли с произвольной конечной ^-градуировкой.

Каждую алгебру А над полем Ф можно понимать как пару (А, т), где т — линейное отображение из Л® Л в Л, которое называется умножением и т(х®у) = ху. Если алгебра (Л,ш) принадлежит некоторо-

му многообразию алгебр, то умножение т удовлетворяет некоторым условиям.

Например, ассоциативность умножения га означает справедливость равенства

т(т <8> ъй — 1(1 <Э тп) — 0.

Если (Л, тп) — алгебра Ли, то умножение т удовлетворяет равенствам

тт = —тп — антикоммутативность

и

® т){%<1 + £ + £2) =0 — тождество Якоби .

Здесь г (соответственно £ ) линейное отображение пространства А <8> А (соответственно А® А® А) в себя, удовлетворяющее равенству (г(х ® у) = (у <8> х) (соответственно £(ж ®у ® г) = у ® г ® х).

Понятие коалгебра — двойственное понятие алгебры. Пара (А, А), где А — линейное пространство над полем Ф, а А : А —> А<Е>А линейное отображение, называется коалгеброй. Отображение А называется коумножением.

Коалгебра (А, А) называется ассоциативной, если коумножение А удовлетворяет равенству

(А ® гс? — гс? ® А)А = 0 — коассоциативность .

Если (А, А) — коалгебра Ли, то коумножение А удовлетворяет равенствам

г А = — А — антикокоммутативность

и

(гс£ + £ + £2)(гс£ <8> А) А = 0 — коаналог тождества Якоби .

Отметим, что понятие коалгебры Ли было определено Михаэлисом [38].

Пусть теперь (А, А) — произвольная коалгебра. Коумножение А индуцирует на дуальном пространстве А* структуру обычной алгебры над полем Ф, которая называется дуальной алгеброй коалгебры (А,Д).

Дуальная алгебра А* коалгебры (А,Д) задает бимодульное действие (•) на пространстве А. Рассмотрим пространство С = А ф А* и зададим на нем умножение, полагая

(а + /)(Ъ + д) = а-д + /.Ь + /д,

где а,Ь Е А, /,д €Е А* и /д — произведение элементов в алгебре А*. Тогда С является алгеброй над полем Ф и называется нулевым расширением алгебры А*.

Следующие условия для коалгебры (А, А) эквивалентны:

1) пара (А, Д) — ассоциативная коалгебра (коалгебра Ли),

2) дуальная алгебра А* — ассоциативна (лиева),

3) алгебра С — ассоциативна (лиева).

В 1993 г. X. Анкело, Т. Кортес и Ф. Монтанер [22] дали следующее определение коалгебры, связанное с некоторым многообразием алгебр.

Пусть М — произвольное многообразие алгебр. Тогда пара (Л, Д) называется М — коалгеброй, если дуальная алгебра А* принадлежит многообразию М. В частности, они показали, что следующие условия эквивалентны:

1) пара (А, Д) — йорданова коалгебра,

2) нулевое расширение дуальной алгебры А* является йордановой алгеброй.

Данное определение М - коалгебры в случае, когда М — многообразие ассоциативных (лиевых) алгебр согласовано с определением ассоциативной (лиевой) коалгебры.

Систематическое изложение теории ассоциативных коалгебр содержится в книгах М. Свидлера [46], Е. Абе [18], а также в обзоре В. Артамонова [1]. Один из основных результатов этой теории утверждает, что всякая ассоциативная коалгебра локально конечномерна. Михаэ-лис [38] показал, что для лиевых коалгебр аналог этого результата не имеет места. Необходимые и достаточные условия локальной конечномерности коалгебры Ли были найдены А. Слинько [42]. X. Анкело, Т. Кортес и Ф. Монтанер [22] доказали, что всякая йорданова (альтернативная) коалгебра локально конечномерна.

Здесь также следует отметить результат Михаэлиса [38],[39] который доказал аналог теоремы Пуанкаре - Биргоффа - Витта для коалгебр Ли и результат X. Анкело, Т. Кортес [24], утверждающей, что каждая двухкопорожденная йорданова коалгебра является специальной.

Как было отмечено выше между йордановыми и лиевыми алгебрами существует глубокая связь. Поэтому естественно возникает вопрос о наличии такой связи между йордановыми и лиевыми коалгебрами, а именно

Вопрос 1. Пусть («/, А) — йорданова коалгебра и J* — ее дуальная алгебра. Существует ли коалгебра Ли (Х, Д^) такая, что ее дульная алгебра L* является присоединенной ККТ-алгеброй Ли L( J*)?

Биалгебры Ли были введены В.Дринфельдом [б] для изучения решений классического уравнения Янга - Бакстера. Пара (L, А) называется биалгеброй Ли, если L — алгебра Ли, (X, А) — коалгебра Ли и коумножение А является 1-коциклом. Здесь следует отметить работу A.A. Белавина и В.Г. Дринфельда [4], в которой были построены решения уравнения Янга - Бакстера для простых алгебр Ли, а также работы [8], [9], [16],

Интерес к биалгебрам Ли мотивирован проблемой квантования. Выше было отмечен подход при описание алгебраического формализма квантовой механики, основанный на свойствах самосопряженных операторов гильбертового пространства. В настоящее время эффективно развивается и другой подход к описанию алгебраического формализма классической и квантовой механике, который был отмечен И. Сегалом [41] и Ж. Маккейем [36]. При этом подходе наблюдаемая является элементом а (не обязательно самосопряженным) С*-алгебры А, а состояние / — положительный элемент дуального пространства А*. Положительность элемента / означает, что f(a*a) > 0. Коммутативность алгебры А соответствует случаю классической механики, а сама алгебра А реализуется как кольцо С(Х) — непрерывных функций заданных на компактном хаусдорфовом пространстве X. Переход от классической механики к квантовой — замена (квантование) коммутативных алгебр некоммутативными. Грубо говоря, квантование коммутативной алгебры А над полем С — это необязательно коммутативная деформация алгебры А, т.е. ассоциативная алгебра В над C[[i]] такая, что В — свободный топологический С[[£]]-модуль, и В ft В = А. Если алгебра В задана, то коммутатор в В индуцирует на А новую операцию (скобку Пуассона), определенную формулой

{а, Ь] = £_1[а,6] mod t, (*)

где a,b £ А, а [а, b] — коммутатор в алгебре В. Таким образом, А становится пуассоновой алгеброй, т.е. ассоциативно-коммутативной

алгеброй с дополнительно операцией {, }, причем в алгебре А имеет место равенство {а&, с} = а{а, с] -+- {а, с}Ь. Поэтому, квантование нуассоновой алгебры А — это деформация В алгебры А над С[[£]] в обычном смысле такая, что скобка Пуассона на А, заданная равенством (*) совпадает с исходной скобкой.

Будем рассматривать состояния как элементы конечной группы <3, а наблюдаемые как функции, заданные на <7 со значениями в некотором поле Ф. Пусть Fгí7г((?) — алгебра наблюдаемых и Ф[(7] — групповая алгебра. Тогда .Ргт(Сг) реализуется как дуальная алгебра для коалгебры (Ф[(7], А), где коумножение Д определяется правилом А(д) = д ® д для д 6 О. Более того коумножение Д — гомоморфизм алгебры Ф[(7] в алгебру Ф[С] 0 Ф[С], а тройка (Ф[<3],т, Д), где т — умножение в Ф[Сг], является ассоциативной кокоммутатив-ной биалгеброй. Другой важный пример реализации ассоциативно-коммутативной алгебры как дуальной алгебры ассоциативной биалге-бры связан с универсальной обертывающей II(Ь) конечномерной алгебры Ли Ь. Как известно, II (Ь) допускает структуру ассоциативной биалгебры (точнее алгебры Хопфа) с кокоммутативным коумножени-ем Д, при этом А(1) = ¿<8>1 + 1®/ для I £ Ь. Поэтому дуальная алгебра и(Ь)* биалгебры (II(Ь), Д) является ассациативно-коммутативной алгеброй. Если, при этом, на алгебре Ь задана структура биалгебры Ли с коумножением Дь, то коумножение Дь индуцирует на алгебре II (Ь)* некоторую скобку Пуассона. Таким образом, квантование пуассоно-вой алгебры II(Ь)* — квантование биалгебры Ли (Ь, Д^) в смысле [7], [30].

Вопрос 2. Можно ли на йордановой алгебре 3 определить структуру биалгебры, которая индуцирует структуру биалгебры Ли на присоединенной ККТ-алгебре Ли !/(</)?

Важным классом биалгебр Ли являются треугольные и квазитреугольные биалгебры Ли, которые изучались в работах В.Дринфельда ([25], С. Мажида [37], В. Михаэлиса [40]), Д. Алексеевского и А. Переломова [19]. В. де Смедт [43] показал, что всякая конечномерная неабелева алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 допускает нетривиальную структуру квазитреугольной биалгебры Ли. При этом, как правило, полупростые алгебры Ли допускают структуру треугольной биалгебры Ли. В связи с этим, при положительном ответе на вопрос 2, возникают следующие две проблемы.

Проблема 1. Описать структуру йордановой биалгебры, заданную на конечномерной полупростой йордановой алгебре.

Проблема 2. Определить понятия треугольной и квазитреугольной йордановых биалгебр, согласованные с соответствующими понятиями для биалгебр Ли. Охарактеризовать конечномерные йордановы алгебры, допускающие нетривиальную структуру квазитреугольной йордановой биалгебры.

Цель работы — определить понятие йордановой биалгебры и изучить связи йордановых биалгебр с биалгебрами Ли.

Научная новизна и практическая ценность. Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти свое применение при исследованиях неассоциативных коалгебр, биалгебр и квантовых групп, а также при чтении алгебраических специальных курсов и подготовке учебников, монографий.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной конференции " 1 - съезд математиков Казахстана" (Шымкент 1996 г.), на международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск 1997 г.), на семинаре "Алгебра и Логика" в Новосибирском государственном университете, на семинаре "Теория колец" им. А.И. Ширшова и семинаре "Алгебра и геометрия" Института математики СО РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, в том числе 4 журнальных статьи, 1 препринт и 1 - тезис выступлений.

Объем работы. Диссертация изложена на 131 страницах и состоит из введения и четырех глав. Библиография содержит 49 наименований.

Содержание работы. В главе 1 устанавливается связь между йордановыми (структуризуемыми) коалгебрами и коалгебрами Ли, являющаяся аналогом конструкции Кантора - Кехера - Титса (Кантора - Алиссона) для обычных алгебр.

В § 1.1 приводятся необходимые сведения о структуризуемых алгебрах и доказывается, что каждая конечно порожденная структуризу-емая алгебра имеет конечную мультипликативную длину.

В § 1.2 определяется понятие структуризуемой алгебры. Основным результатом § 1.2 является

Теорема 1.2.1. Пусть (А, А,.?) — структуризуемая коалгебра и (А*,~) ее дуальная алгебра. Тогда (А, является структуризуемым (А*,- )-бимодулем.

Локальная конечномерность структуризуемых коалгебр доказана в § 1.3, а именно

Теорема 1.3.1. Пусть (А, А,у) —структуризуемая коалгебра над полем Ф характеристики не равной 2, 3, 5. Тогда коалгебра (А, А,.?) локально конечномерна.

Эта теорема обобщает аналогичный результат для йардановых коалгебр, доказанный в [22].

Центральным понятием, при построение ККТ-конструкции для йордановых коалгебр, является понятие слабо внутреннего дифференцирования.

Пусть (3, А) — йорданова коалгебра над полем Ф с \ иv — коеди-ница коалгебры («/, А). Подпространство В из «7 называется подкоал-геброй (соответственно коидеалом) коалгебры («/, А), если А (В) С С В®В (соответственно А(^) С У®3-{-3®У и у(У) — 0). Коалгебра (3, А) — локально конечномерна, т.е. любое конечное подмножество из 3 порождает конечномерную подкоалгебру. Пусть 3* — дуальная алгебра для (3, А). Тогда коединица коалгебры (3, А) является единицей алгебры 3*. Для подпространства V из 3 через У1 обозначим ортогональное дополнение У в пространстве 3*.

Определение. Дифференцирование ё, алгебры 3* будем называть слабо внутренним, если для любой конечномерной подкоалгебры В из 3 найдется такое внутреннее дифференцирование ¿, что имеет место включение 3*(й — г) С В±.

В случае структуризуемых коалгебр понятие слабо внутреннего дифференцирования определяется аналогично. Из данного определения следует, что каждое внутреннее дифференцирование алгебры 3* является слабо внутренним. Обозначим через (3*) линей-

ное пространство всех слабо внутренних дифференцирований алгебры 3*.

Как