Некоторые вопросы теории Галуа и теории инвариантов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ТВ од

, , „ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ

• АР 155А

И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РФ ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КОРЮКИН АНАТОЛИЙ НИКОЛАЕВИЧ

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГАЛУА И ТЕОРИИ ИНВАРИАНТОВ B1.Q1.Q6 - математическая логика, алгебра и теория чисел

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Онск - 1994

Работа выполнена в лаборатории ассоциативных колец и колец Ли Института Математики СО РАН Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.К.ХАРЧЕНКО Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор А.Д.МЕДНЫХ кандидат физико-математических наук доцент Г.А.Носков Ведущая организация: Московский государственный университет

Зашита состоится 1994 года в

на заседании Специализированного Совета КИ6436И2 по присуждению ученой степени кандидата физико математических наук при Омской государственном университете по адресу: 644077, Омск-77, Проспект Мира 55а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета.

Автореферат разослан

ГЛ.

1994 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета при ОГУ доктор физико-математических наук

В.А.Романьков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Теория Галуа (автоморфизмов) некоммутативных колец естественным образом выросла из теории Галуа полей.

Работа в этом направлении была начата E.Noether [1(1933)J при изучении внутренних автоморфизмов центральных простых алгебр. N.Jacobson С2(1940)3, [3(1947)3, H.Cartan [4(1947)3, S.Hochshild [5(1949)3 положили начало теории Галуа тел. Полные кольца линейных преобразований изучали T.Nakayjia и G.Azumaya [6(1947)3, J.Dieudonne [7(1948)3 И позднее A.Rosenberg и D.Zelinsky [8(1955)3- Многие из этих результатов можно найти в книге N.Jacobcon-a £9(1956)3-Среди более поздних публикаций отметим монографию H.Tominaga и T.Nagahara [1И(1970)3, работу S.Montgomery и D.Passman-a [11(1984)3, и монографию В.К.Харченко [12(1991)3. Как отмечено в [113, наиболее полные результаты для автоморфизмов и дифференцирований полупервичных колец получены В.К.Харченко (см. [123).

Теория инвариантов - это одна из вершин математики 19-го века, получающая все новые импульсы для своего развития. Фундаментальным достижением классической теории инвариантов является решение 14-й проблемы Гильберта о конечной порожденности алгебр инвариантов линейных групп -теорема Гильберта-Нагаты (см. [133). Работой М.С.Wolf 1936 года был открыт сравнительно небольшой круг исследований, который можно назвать некоммутативной теорией инвариантов. В последующих затем работах А .Т .Колотова, W.Dicke-a, E.Formanek-a, В.К.Харченко, T.Tamboui—а и других авторов в разное время изучались вопросы конечной порождаемости алгебры инвариантов тензорной алгебры, а также ее ряд Гильберта (для линейной группы автоморфизмов).

В 1941 году была опубликована основополагающая работа Хопфа [143. В ней впервые рассматриваются алгебры, получившие название алгебр Хопфа и занимающие исключительно важное место в совреиенной теории колец и в других областях математики. Изучение алгебр хопфа как таковых — важнейший

раздел современной теории колец {си., например, обзор С15Э).

Благодаря понятию алгебры Хопфа появляется возможность исследовать автоморфизмы и дифференцирования ассоциативных колец с единицей с единых позиций, как действий алгебр Хопфа. В частности, как теория Галуа некоммутативных колец, так и (некоммутативная) теория инвариантов определяют некоторый круг вопросов в рамках общей концепции действия алгебр Хопфа. Такой подход рассматривается в работах S.Montgomery, D.Passman-a, M.Cohen и многих других авторов.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Настоящая диссертация посвящена изучению действия алгебр Хопфа на первичные кольца. В основном рассматриваются следующие вопросы.

1. Когда алгебра некоммутативных инвариантов биалгебры конечно порождена?

2. Когда алгебра над полей С является бицентрализуемой, т.е. когда она при любом вложении в двустороннее мартиндейловское кольцо частных Q первичного кольца R совпадают со своим двойным централизатором? (Предполагается, что центр кольца Q совпадает с С).

3. Связь цветных супералгебр Ли и алгебр Хопфа.

СТРУКТУРА И ОБЬЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых каждая соответственно на 2, 6, 1, 4 параграфов, и списка литературы. Полный обьем диссертации 86 страниц. Библиография включает 45 наименований.

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ. В диссертации применяются как стандартные методы исследований в теории колец, так и оригинальные методы, изобретенные автором и изложенные в тексте диссертации.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты работы следующие.

1. Изучены вопросы: а) когда алгебра некоммутативных инвариантов биалгебры конечно порождена

Ь) когда все некоммутативные инварианты кокоммутативной биалгебры можно получить из конечного числа инвариантов с помощью операций алгебры и действий симметрических групп.

2. Доказано, что бицентрализуеиые алгебры^ квазифробениусоэы.

3. На случай цветных супералгебр Ли обобщена теорема об эквивалентности категории принитивно порожденных алгебр Хопфа и категории (ограниченных) алгебр Ли.

ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты ногут быть использованы в неконнутативной теории инвариантов, теории алгебр Хопфа и теории действия алгебр Хопфа на первичные кольца.

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ. Все результаты докладывались в разное вреня на сенинаре им. Ширшова по теории колец в Институте Математики СО РАН и на семинаре "Алгебра и логика" в Новосибирском государственной университете. Часть из них докладывалась на I—ой Международной конференции по алгебре (г.Барнаул, 1991г.) и на Ш-ей Международной конференции по алгебре (г.Красноярск, 1993 г.).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации

опубликованы в четырех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая и вторая главы посвящены в основном изучению некоммутативных инвариантов биалгебр. Точнее, пусть Н - биалгебра над полей С, V - правый унитарный Н-модуль, С<\/> - тензорная алгебра С-пространства V. Продолжим действие биалгебры Н на V до действия Н на С<\/> так, чтобы С<К>> стало Н-модульной алгеброй. Носителем для Х£С<У> назовем наименьшее подпространство 1={(Х) пространства V такое, что .

7Е0РЕМА 2.1.16. Пусть Н - биалгебра над полем Си V — конечномерный унитарный модуль над алгеброй Н. Тогда следующие условия равносильны:

1) С-алгебра (Я-инвариантов) С<\?>н конечно порождена

2) носитель алгебры С<\?>н - (прямая) сумма одномерных изоморфных подмодулей Н-модуля V.

Как следствие, для кокомнутативной конечномерной

алгебры Хопфа Н получаем (ТЕОРЕМА 2.2.6.): если алгебра С<\>> конечно порождена, то Н-модуль У является (пряной) сунной одномерных изоморфных «-подмодулей.

Алгебра Я=С<\>> градуирована аддитивной полугруппой целых неотрицательных чисел (считаем, что элементы пространства I/ - однородные степени 1). Хорошо известно, что на однородной компоненте Я (п<>0)

действует симметрическая группа Зп, переставляющая одинаковым образом сомножители во всех суммах тензоров. Легко понять, что если биалгебра Н кокоммутативна, то

пространство однородных «-инвариантов степени л является подмодулем Э^-модуля V.

Любую однородную подалгебру алгебры С<У>, замкнутую относительно действия симметрических групп на

соответствующих однородных компонентах, называем

Б-подалгеброй. Если 5-подалгебра алгебры С<\/> может быть получена замыканием (конечного) множества однородных элементов X операциями алгебры и действием симметрических групп, то говорим, что она порождена как ©-подалгебра множеством X (конечно-порождена).

ТЕОРЕМА 1.2.2. Пусть 6 - линейная группа, все рациональные представления которой вполне приводимы; V - ее (конечномерное) рациональное представление. Тогда алгебра инвариантов С<У>Б конечно порождена как 5-подалгебра.

Глава 3 является небольшим самостоятельным исследованием по теории Галуа первичных колец. При построении классической теории Галуа для некоммутативных колец (т.е. теории Галуа в классе простых артиновых колец, колец линейных непрерывных преобразований) особую роль играет понятие внутреннего автоморфизма и связанное с ним понятие алгебры группы автоморфизмов, см. [1,9]. Напомним, что каждый обратимый элемент Ь определяет внутренний автоморфизм "ь!>г—несоответственно алгеброй группы автоморфизмов Б называется алгебра В(в) над центром, порожденная всеми обратимыми элементами, отвечающими внутренним автоморфизмам из группы в. Основные теоремы теории Галуа показывают, что обьектами Галуа в некоммутативной ситуации по существу выступают не

группы автоморфизмов, а пары (б,В(Б)). При этом ограничения и основные трудности в формулировках связаны только с рассмотрением внутренней части. Обычно ограничиваются случаем, когда алгебра В (Б) полупроста.

При переходе к классу первичных колец вместо внутренних автоморфизмов необходимо рассматривать Х-внутренние, т.е. автоморфизмы, которые превращаются во внутренние при распространении на двусторонее мартиндейловское кольцо частных (см. СИ, 123). В главе 3 мы исследуем, для каких алгебр В пара (Б,В) всегда (т.е. при любой реализации действия) является обьектом Галуа. Известно, что это так, если В квазифробениусова (см. [16]). Так как внешняя часть не создает существенных препятствий, то мы ограничимся рассмотрением только внутренней. В этом случае алгебра В будет обьектом Галуа тогда и только тогда, когда она совпадает со своим бицентрализаторон (т.е. с централизатором своего централизатора). Показано, что если алгебра В -обьект Галуа, то алгебра В квазифробениусова (теорема 3.11).

В главе 3 С — поле; В - С-алгебра с единицей. Если Я - первичное кольцо, то через 0=а(В) будем обозначать двустороннее мартиндейловское кольцо частных кольца (см. [12]). Центр кольца £? является полем и называется обобщенным (или расширенным) иентроидом кольца /?. Назовем реализацией алгебры В пару (К,<р), где Я - первичное кольцо с

обобщенным центроидом С, <р:В-уВ(й) - вложение в классе

С-алгебр с единицей. Бииентрализатором кольца В (в данной реализации) назовем централизатор кольца С^(р(В)) в кольце О (здесь С„(<р(В)) - централизатор алгебры <р(8) в Я) . Алгебру В

л

назовем бииентрализуемой, если для любой ее реализации (Н,>р) бицентрализатор алгебры В совпадает с <р(В).

ТЕОРЕМА 3.11. Бицентрализуемая С-алгебра конечномерна и квазифробениусова.

В главе 4 изучаются связи цветных супералгебр Ли и алгебр Хопфа. Здесь обобщена хорошо известная теорема об эквивалентности категории примитивно порожденных алгебр Хопфа и категории (ограниченных) алгебр Ли.

Пусть К— поле характеристики р>0; Б - абелева группа;

авх.Б—*К\{0У - отображение такое, что е (в,дХ'£ (д,в)=1, е(вд,Ь) = е (в,Ь)'£ (д, Ь) для любых элементов я, д, />, группы £15 - (ограниченная при р>0) с-алгебра Ли <он. С17Э).

Через Б+ (соответственно Б_, Бд) обозначим множество всех элементов д группы Б таких, что £(дгд)=+1 (соответственно £(д,д)--1, е(д,в)=1).

Пусть теперь Н - коалгебра (К-биалгебра) с коумножением Д:Н—уН»Н и коединицей егН—<3(Н) - множество всех ненулевых элементов д из Н таких, что А(д)-д9д% ¡-^(Н) - для биалгебры Н и произвольного элемента 5 из Б(Н) - нножество всех <5 из Н таких, что Д(6)=6&1+5в>6.

Будем говорить, что Н - биалгебра над <3, если Н -биалгебра и Б - подгруппа полугруппы Б(Н). Морфизмами категории биалгебр над в будем называть морфизмы биалгебр, ограничение которых на в совпадает с Для биалгебры Н

над в введем обозначения: ¿.£ (Н) (в^в) - множество всех

5 -X

элементов 6 из Сг(Н) таких, что д '6'д=6'£(в,д) для любого элемента д из б; (Н) — прямая сумма по всей 5 из Б пространств Н).

(Ограниченную) с-алгебру Ли ¿. назовем отмеченной, если дополнительно определено отображение 1тБ0—такое, что для любого элемента д из Бд выполнены условия

1) /п(д), С1п(,д),и=0

2) 1п1д)=0 <~> д=1

3) если характеристика р поля К отлична от нуля и I. ограниченная е-алгебра Ли, то

(1п(д)}Ср3=1п(др)

Биалгебру Н над е назовем с-биалгеброй, если алгебра Н порождена своими однородными элементами из I? (Н) и элементами группы Б.

ТЕОРЕМА 4.4.8. 1) Если характеристика поля К равна нулю, то категория £-биалгебр эквивалентна категории отмеченных с-алгебр Ли.

2) Если характеристика поля отлична от нуля, то категория с-биалгебр эквивалентна категории отмеченных ограниченных е-алгебр Ли.

ЛИТЕРАТУРА

1. Noether Е., Nichtkommutative Algebra, Math. Z., v.37, 1933, p.514-541.

2. Jacobson N., The -fundamental theorem of the Galois theory for quasifiels, Ann. of Math., v.41, 1940, p.1-7.

3. Jacobcon N., A note of division rings, йшег, J. Math., v.69, 1947, p.27-36.

4. Cartan H., Theorie de Galois pour les corps non commutatifs, Ann. Sei. Ecole Norm. Sup., v.64, N.3, 1947, p.59-77.

5. Hochshild Б., Double vector spaces over division rings, Amer. J. Math., v.71, 1949, p.443-460.

6. Nakayama T. and Azumaya Б., On irriducible rings, Ann. of Math., v.4B, N.2, 1947, p.949-965.

7. Dieudonne J., La theorie de Galois des anneaux simples et semi-simples, Comment. Math. Helv., v.21, 1948, p.154-184.

8. Rosenberg A. and Zelinsky D., Galois theory of continuous linear transformation rings, Trans. A.M.S., v.73, 1955, p.429-452.

9. Джекобсон H-, Строение колец, M., ИЛ, 1961.

10. Tominaga Н. and Nagahara Т., Galois theory of Simple Rings, Okayama Math. Lectures, (Okayama Univ.), 1970.

11. Montgomery S. and Passman D., Salois theory of prime rings, J. of Pure and Appl. Algebra, v.31, 1984, p.139-184.

12. Kharchenko V.K., Automorphisms and Derivations of Associative Rings, Kluwer Academic Publishers, Mathematics and Its Applications (Soviet Series), v.69, 1991, 3S5p.

13. Дьедонне Ж., Кэролл Дж., Мамфорд Д., Геонетрическая теория инвариантов, М., Мир, 1974, 28йс.

14. Hopf Н., Uber die topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ibre Verallgemeinerungen, Ann. of Math., v.42, 1941, p.22-52..

15. Артамонов B<A., Строение алгебр Хопфа, Итоги науки и техники, серия "Алгебра, топология и геометрия", т.29, 1991, с.3-63.

16. Харченко В.К., О централизаторах в первичных кольцах, Алгебра и логика, т.20, N.2, 1981, с.231-247.

17. Scheunert M. , Generalized Lie algebras, J. Math. Phus., v.20, N.4-5, 1979, p.712-720.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

18. Корюкин А.Н., О некоммутативных инвариантах редуктивных групп, Алгебра и логика, т.23, N.4, 1984, с.419-429.

19. Корюкин А ,Н. , К вопросу о двойном централизаторе в первичных кольцах, Сиб. мат. журнал, т.32, N.2, 1991, с.81-86.

20. Корюкин А.Н., Конечнопорожденность алгебры некоммутативных Н-инвариантов, Тезисы третьей международной конференции по алгебре, Красноярск, 1993, с.166.

21. Корюкин А.Н., Цветные супералгебры Ли и алгебры Хопфа, Тезисы международной конференции по алгебре и анализу, Казань, 1994.

Подписано к печати i., OS . -94

Формат бумаги 60x84 1/16 Обьем I п.л.

Тираж 60 экз. Заказ 1$>

Отпечатано на ротапринте Института Математики СО РАН 630090, Новосибирск-90, Университетский проспект 4