Спектр Галуа и генерирующие многочлены тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

СЕРГЕЕВ Александр Эдуардович

СПЕКТР ГАЛУА И ГЕНЕРИРУЮЩИЕ МНОГОЧЛЕНЫ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2005

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел математико-механического факультета Санкт-Пе'1 ербургс-кого государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Яковлев Анатолий Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Воскресенский Валентин Евгеньевич кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Лурье Борис Вениаминович

Ведущая организация- Российский Государственный педагогический университет им. Герцена

Защита диссертации состоится 22 " 2005 года в 41 час. на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу. 191011, - Зсе^г^^^^ ЬихЯ. £ Фонл^ихм^Ш; 27 /ЛОА/и/_

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан 13 " и^аЖ 2005 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 212.232.29 доктор физ.-мат. наук, профессор

В.М. Нежинский

6709

Х11ЯМ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Обратная задача теории Галуа рассматривает вопрос о том, какие конечные группы реализуются в качестве групп Галуа нормальных, сепарабельных расширений над данным полем К.

Д. Гильберт был первым, кто начал изучать эту проблему. Его теорема о неприводимости [9] показывает, что достаточно уметь реализовывать группы Галуа над функциональными полями. Используя свою теорему о неприводимости, он доказал, что над полем рациональных чисел <0> и над каждым конеч-нопорожденным расширением поля (12, существует бесконечно много различных расширений Галуа с симметрической группой и знакопеременной группой Ап для каждого натурального

п.

Поля, для которых теорема Гильберта о неприводимости справедлива, называются Гильбертовыми полями. К их числу относятся, например, числовые поля, являющиеся конечными расширениями ноля <0> [5], [6], [8].

Следующий этап развития теории Галуа связан с проблемой получения всех расширений Галуа поля К с данной группой Галуа б (С-расширений поля К), если она реализуется над этим полем К. Это привело к понятиям С-генерирующего расширения и С-генерирующего многочлена, введенных Д.Сальтманом [21]. В работах [21], [22] исследовалась связь между этими понятиями. Генерирующий многочлен над полем К с данной группой Галуа (7 параметризует (над К) все распгирения Галуа поля Ь, содержащие К с данной группой С. Генерирующий многочлен существует не для всякой конечной группы С? и поля К. Конкретные генерирующие многочлены известны для немногих классов конечных групп над различными полями [10], [19], [12], [13], [14], [15], [20], [24]. Особую трудность представляет построение генерирующих многочленов над полями характеристики два.

Более детальные исследования, связанные с теоремой Гильберта о неприводимости, пр^щ^^^вв^снию^и исследованию

БИБЛИОТЕКА ]

_ 09

>—

т

понятий Гильбертовых множеств параметрических многочленов и групп монодромии многочленов [2], [3], [4], [17], [18], что в свою очередь способствовало появлению понятий фактори-зационного спектра многочлена, спектра Галуа многочлена и полного спектра Галуа многочлена. Нахождение факторизаци-онного спектра параметрического многочлена связано с решением диофантовых уравнений и их систем. Генерирующие многочлены имеют наиболее просто находимый полный спектр Галуа.

Обобщением обратной задачи теории Галуа является обратная задача для спектров Галуа параметрических многочленов. Она решена для транзитивных подгрупп симметрических групп ¿>3 и ^4, в случае, когда параметры многочленов принимают целые значения Дня транзитивных подгрупп симметрических групп более высокого порядка имеются лишь частные результаты.

Цель работы. Целью работы является:

Показать связь спектра Галуа с некоторыми другими понятиями теории Галуа, а именно: генерирующими многочленами, преобразованием Чирнгаузена.

Применение теоремы Гильберта о неприводимости к исследованию обратной задачи для спектров Галуа многочленов.

Нахождение генерирующих многочленов над полями характеристики два.

Методы исследования. В доказательствах используются методы теории Галуа, теории чисел, теории групп, теории полей.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) Введены новые понятия в теории Галуа: спектр Галуа параметрического многочлена, полный спектр Галуа многочлена и рассмотрены соответствующие утверждения и примеры, связанные с этими понятиями.

2) Построены генерирующие многочлены для некоторых групп (включая ноля, характеристика которых равна двум).

3) Рассмотрен спектр Галуа и полный спектр Галуа генерирующих многочленов.

4) Доказано, что обратимое преобразование Чирнгаузена не меняет спектра Галуа многочлена.

5) Доказана теорема о том, что многочлены одинаковой степени, с одной и той же группой Галуа, и с одинаковыми нолями разложения, могут быть неэквивалентны относительно преобразования Чирнгаузена.

6) Исследована обратная задача для спектров Галуа многочленов третьей и четвёртой степеней.

Научная и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты могу I быть использованы для дальнейшего исследования групп монодромии, Гильбертовых множеств, автоматической реализации групп как групп Галуа. Представляет интерес также исследование дальнейших свойств генерирующих многочленов, построение генерирующих многочленов для различных групп над различными полями, в том числе и над полями характеристики два, и дальнейшее изучение спектров Галуа параметрических многочленов.

Апробация работы. Некоторые результаты, вошедшие в диссертацию докладывались на 5-ой Международной конференции "Алгебра и теория чисел- современные проблемы и приложения" (Тула, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, в первых двух из них по три параграфа, в третьей - пять и списка литературы. Объём диссертации 90 страниц, библиография включает 66 наименований.

ОБЩЕЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении конкретизируется круг проблем, решаемых в диссертации, кратко излагается история вопроса и обсуждаются наиболее важные работы и достигнутые результаты. Даётся

описание основных результатов диссертации, а также кратко изложена структура работы.

Первая глава посвящается спектру Галуа многочленов и его связи с некоторыми другими понятиями теории Галуа В первом параграфе первой главы вводятся три новых понятия в теории Галуа: факторизационный спектр Галуа многочлена, спектр Гаяуа многочлена и полный спектр Галуа многочлена Во втором параграфе первой главы описываются генерирующие многочлены и их связь со спектром и полным спектром Галуа многочленов. В третьем параграфе первой главы исследуются свойства преобразований Чиртаузена и их связь со спектром Галуа многочлена.

§ 1. Факторизационный спектр многочлена. В этом параграфе вводятся понятия факторизационного спектра, спектра Галуа многочлена и полного спектра Галуа многочлена.

Рассмотрен пример:

Пример 1.1. Многочлен вида

/(х) = х5 + тх + п\ -Ь п| + Пз + п\ + 1 Е 0>[т, щ,Т12, ж],

имеет следующий факторизационный спектр над <0>, состоящий из разбиений• (5), (4,1), (3,2), (3,1,1) и (2,2,1).

Определение 1. Пусть К - поле, А - некоторое подмножество из К. Назовём последовательность транзитивных неизоморфных между собой подгрупп (?ьСт2, ■■■ , С группы 5„ т-параметрическим спектром Галуа многочлена / £ К[1\1 ¿2, • • • , и, х] над К по отношению к множеству А, если при изменении параметров ¿ь^"1 в А группа Галуа многочлена / над К, в случае его неприводимости в К[х], принимает "значения"С?1, (?2, ■ - ■

Это будем обозначать так:

ЭрОа,1геА) = {С1,С2, -- ,<?,}•

Определение 2. Назовём последовательность неизоморфных между собой подгрупп Сьб^,-- , группы Бп г-параметрическим полным спектром Галуа многочлена / £ ¿2) ■' ■ , ¿п ж] над К по отношению к множеству А С К, если при изменении параметров ¿1^2, • • • Аг ъ А группа Галуа многочлена / над К принимает "значения<?2, • ■ • , С?р.

Это будем обозначать так:

Эр* СаЫ/;*ь--- е А) = {СЪС2)... ,Ср}.

Замечание 1. При нахождении спектров Галуа многочленов рассматриваются параметрические многочлены /(^, ¿2, • • ■ , с paциoнaJIЬными коэффициентами, неприводимые над полем <0>(£ь ¿2,''" качестве множества А берётся коль-

цо целых чисел Таким образом, параметры многочленов принимают всевозможные целые значения.

Из справедливости следующей теоремы [11], мы выводим следствие:

Теорема 2.1. Каждый генерирующий многочлен <?(£!,■•• , ¿т, X) для группы О над полем К является спускающимся генерирующим многочленом.

Следствие 2.2. .¿?с./ш д(Х) - генерирующий многочлен для группы С? над бесконечным полем К, то полный спектр Галуа многочлена д{Х) над полем К состоит из всех подгрупп группы С?, для которых обратная задача теории Галуа имеет решение над полем К.

Замечание 2. Спектр Галуа генерирующего многочлена для группы О состоит из транзитивных подгрупп группы (7 В рассмотренных нами примерах (во 2-м параграфе главы 1) оказалось, что он состоит из всех транзитивных подгрупп.

§ 3. Спектр Галуа и преобразование Чирнгаузена. В третьем параграфе первой главы описывается понятие преобразования Чирнгаузена и его свойства. Устанавливается связь со спектром Галуа многочлена. Приводятся соответствующие примеры. В частности, доказаны следующие теоремы:

Теорема 3.1. Если неприводимые, нормированные многочлены степени п относительно X ¡х(Х] ¿1, ¿2) • ■ •, М и /2(Х; Ь> ¿2, • ■ ■, и) из кольца , ¿2, • • •, эквивалентны относи-

тельно преобразования Чирнгаузена над кольцом 2,..., ¿г],

то их спектры Галуа совпадают.

Теорема 3.2. Пусть группа С реализуется как группа Галуа над полем К. Пусть также в группе б существуют две несопряжённые подгруппы Т и Н одинакового порядка такие,

что выполняются следующие соотношения:

П^сстТа"1 =-- {е}, П^сгНт-1 = {е}.

Тогда существуют два 'неприводимых многочлена над полем К одинаковой степени, не эквивалентных относительно преобразования Чирнгаузена над полем К и имеющих одно и то же поле расщепления.

Замечание 3. В теореме 3.1 рассматриваются преобразования Чирнгаузена с коэффициентами из К\Ь\,... ,1Т\.

В этом параграфе приводится также пример, в котором два многочлена имеют одну и ту же степень, одну и ту же группу Галуа и поле расщепления, но не эквивалентны относительно преобразования Чирнгаузена. Такими многочленами являются: ДА') -Х4-2, д(Х)=Х* + &.

Вторая глава посвящается исследованию обратной задачи для спектров Галуа многочленов. В первом параграфе второй главы рассматривается теорема Гильберта о неприводимости и теорема о группе Галуа многочлена, получающегося при помощи специализации и описана связь этих теорем с понятием спектра Галуа многочлена. Во втором параграфе второй главы решается обратная задача для спектров Галуа многочленов третьей степени. В третьем параграфе второй главы решается обратная задача для спектров Галуа многочленов четвёртой степени.

§ 1. Теорема Гильберта о неприводимости. В этом параграфе основное внимание уделяется теореме Гильберта о неприводимости.

Справедлива следующая теорема [5]:

Теорема 1.1. Пусть К - поле, и пусть

/№¿1, • • • € ... ,<та] -

неприводимый над ..., Ьт) многочлен. Пусть, далее, элементы ац,..., ат € К таковы, что многочлен /(X; <*!,..., ат) имеет относительно X ту же степень и неприводим над полем К. Тогда группа Галуа многочлена }(Х\а\,..., ат) над полем К, рассматриваемая как группа подстановок его корней,

является транзитивной подгруппой группы Галуа многочлена ¡{X; ¿1,..., над полем К^х-..., также рассматриваемой как группа подстановок корней (при естественном отождествлении групп подстановок корней обоих многочленов).

Целочисленный вариант теоремы Гильберта о неприводимости и теорема 1.1 облегчают исследование обрагной задачи для спектров Галуа многочлена, суть которой в следующем:

Проблема. Пусть {01,С2, ■'' ; 0Т } - набор транзитивных подгрупп группы 5„ и 1 < г < п. Существует ли многочлен / О К{11, £-2, • ■ • , 1Т1 х], спектр Галуа которого над К в точности I равен С2, ••• , Сг}?

§ 2. Обратная задача для спектров Галуа многочленов третьей степени. В этом параграфе исследуется обратная задача для спектров Галуа многочленов третьей степени. Доказана теорема:

Теорема 2.1. Над полем <0> всего может, быть три различных спектра Галуа неприводимых многочленов третьей степени, а именно: Эр^/^ь--- ,гг\Х) = {53}, Эрц^^х,--- ^Т\Х)

= {Л3} и8р<}/(41,-" ,*г;Х) = {5з,Лз}.

§ 3. Обратная задача для спектров Галуа многочленов четвёртой степени. Цель параграфа - исследование обратной задачи для спектров Галуа многочленов четвёртой степени. Вводится понятие г-значного спектра:

Определение 1. Спектр Галуа некоторого многочлена называется г-значным, если он состоит только из г транзитивных подгрупп группы 5П.

Из теоремы 1.1 § 1 главы 2 (см. выше) следует справедливость следующей теоремы:

Теорема 3.1. Не существует над Гильбертовым полем К многочленов со следующими г-значными (2 < г < 4) спектра-п ми Галуа: {А4, Л4}, {А4, С4}, {У4, С4}, {А4,В4, У4}, {А4, Х?4, С4}, {.А4,У4,С4},{А4,В4,У4,С4}.

Замечание 1. Из теоремы 3.1 следует, что не существует целых специализаций ¿1 = ах, ■ • ■ , = аТ в многочлене /(¿1, • • • ,и,Х), при которых многочлен /(ах, • • • ,аг,Х) имеет

спектры Галуа следующих видов.{Л4, Г>4}, {Л4, С4}, {1/4, С4}, {Л4, А, {Л4, Аь С4}, {Л4, С4}, {А4, С4}.

Доказана теорема о спектрах Галуа многочленов четвёртой степени:

Теорема 3.2. Любой неприводимый многочлен над полем ,и),г £ N четвёртой степени с целыми коэффициентами при целых специализациях имеет один из следующих спектров Галуа: {Л4}, {-^4}, {^4}, {Са}; {в^, А^}, {54,/?4}, {54,С4}, {Л4,У4Ь {Г>4,К4}, {Г>4,С74>,- {54,Л4,А}, {6'4, Л4,С4}, {54, Л4, У4}; {54,£>4,У4}, {¿Ч, Г>4, С4}, {^4,Кь^}, {¿?4,К4,С4}; {54, Л4, £>4,^1, {54,Я4,К4)С74}, {54,А,,£>4,Ст4}, {54, Л4, У4, С4};{54, Л4,С4, ^4}, •

В третьей главе рассматриваются в основном многочлены над нолями характеристики 2.

§ 1. Реализация групп Галуа над полями характеристики два. В этом параграфе решается задача о реализации групп Галуа многочленов 3 ей и 4-ой степеней над полями характеристики два. Это достигается с помощью вычисления функции Берлекэмпа /?(/) = х [1] и известных утвер-

кз * '

ждении теории Галуа. Доказано, что функция /3(/) над полями характеристики два она играет ту же роль, что и функция дискриминанта £>(/) для полей характеристики неравной два. В частности доказаны теоремы о реализации транзитивных подгрупп групп 5з и ¿4 в качестве групп Галуа над полями характеристики 2. Приводятся соответствующие примеры.

§ 2. Циклические расширения 4-ой степени над полями характеристики два. В этом параграфе исследуются циклические расширения 4-ой степени и находится С4-генериру-ющий многочлен над полем К характеристики два, используя новое доказательство следующей известной теоремы 2.1. [23].

Теорема 2.1. Пусть К - поле характеристики 2, М/К -циклическое расширение степени 4, Ь э К - квадратичное над К подполе М. Тогда существуют такие элементы а,Ь £ К, а € Ь, ¡3 6 М, что а2 + а = а, /З2 4- /3 = Ъ + аа. При этом Ь — К{а), М = К(/3), а автоморфизм а, порождающий группу

Галуа расширения М/К, можно выбрать так, что а(а) -а+ I, а{в) = в + а.

Теорема 2.2. Пусть К поле характеристики два. Тогда многочлен /(ж; ¿1,^2) = х4 Ь (1 + t\)x2 + t^x + t\ t\ + tih € K[x, ¿i, ¿2] является С'^-генерирующим многочленом над полем К.

§ 3. Циклические расширения 8-ой степени над полями характеристики два. Используя результаты, полученные во втором параграфе, а также теорему Вигта [25] в третьем параграфе находился Cs-генерирующий многочлен над полем характеристики два. Рассмотренный приём позволяет последовательно строить генерирующие многочлены для циклических групп Ci6- С32, • • ■. В частности доказаны следующие теоремы:

Теорема 3.1. Пусть = K(t\,t2,ta) поле рациональных функций от независимых переменных ti, > ^з^ и пусть L\ — К\(а), М\ — L\{(i), N\ — Mi(7), где а - корень многочлена g(z) = z2 + z + t\ € K\[z), P - корень многочлена h{y) = у2 + у + ¿2 + t\а € L\[y], 7 - корень многочлена р(х) = х2 + х + ¿з +

Тогда N\jK\ - расширение Галуа, группа Галуа которого является циклической группой порядка 8. При этом N\ = К] (7).

Теорема 3.2. Пусть К - поле характеристики два. Тогда многочлен f(x; £1, <2) h) £ К[х, t\, ¿2, ¿з] вида:

f(x-,tut2,h)= JJ тр(х) = h{x)-a{p{x))-cj2ip{x)yo3ip(x)),

T(LGal(M\ / К\)

является С%-генерирующим многочленом над полем К.

Используя конструкцию доказательства, построен явный вид этого CV генерирующего многочлена

§ 4. Генерирующие многочлены для альтернативной группы А4 над полями характеристики нуль. В этом параграфе строятся генерирующие многочлены 4-ой и 6-ой степеней над полем характеристики нуль, используя погружаемость циклического расширения с группой С3 в расширение 12-ой степени с группой Л4 и строение группы А\. Доказана следующая теорема:

Теорема 4.1. Многочлен / (X; t, a, b, с) из кольца K(t, а, Ь, с)[Х] вида-

f(X;t, а, Ь)=ХЬ - Х^а2 + 6(i2 - 3i + 3) + 2 abt + b2{t - 3)+ +2{t2-it+9)+2ac{t2-2t+6)]+X2[ia3bt+ac3{t4-m3+2-M2 -42i+51)+ \-a2bc(2t3—t2+3t I 9)+o262(i2+3i-9)+a2c2(i4-4i8+19i2-36/,+63) + +r4(i2--2i+6)+a3i:(4i2 —8i+24)+3a4+6oc34-362c2—64i+2i>r;3i4 63a(£2—3i-—3)+b2ac(2t3—8t2+l2t—18)+2b3c(3—t)+abc2(t4—4t3+llt2 -Ш+27)--263c(i2—2i+6)+62c2(—i3+i2—3i—3)-6c3(f1—5i2+13i~ 18)]-[ac2(i2-—4i+9)+a26i+c3+a62(i —3)-+ a6c(£2 —3i+3)+a2c(i2 —2i+6)—63 —

—b2ct + a3 + 6c2 (3 — i)]2 является A\-генерирующим многочленом над Гильбертовым полем К, char К = 0.

Из этой теоремы мы выводим Дегенерирующий многочлен 4-ой степени над Гильбертовым полем К характеристики ноль.

Заметим, что Ледет получил 2-параметрический генерирующий многочлен для группы генерирующий многочлен 4-ой степени над полем Q [16], однако коэффициенты этого многочлена являются дробно-рациональными.

§ 5. Генерирующие многочлены для альтернативной группы А4 над полями характеристики два. В этом параграфе строятся генерирующие многочлены 4-ой, 6-ой степеней для группы А\ над полем характеристики два.

Доказаная следующая теорема:

Теорема 5.1. Пусть К - поле характеристики 2, К\ — K(t, и) - поле рациональных функций от независимых переменных t,u. Тогда многочлены с коэффициентами из К\

F(X; t,u) = (X2 + X)3 + u2(t2 + t + 1)2(X2 + X) + u3(t2 + t + l)2,

G{X-1, u) = X4 + (t2 + t + 1)2X2 + (t2 + t+ 1 fX + u2{t2 + t + l)4

являются генерирующими над полем К для группы А4.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Berlekamp E.R. An analog to the discriminant over fields of characteristic two // Alg. - 1976. - Vol 38. - p. 315 - 317.

[2] Debes P. Density results for Hilbert subsets // Indian J. Pure appl. Math. - 1999. - Vol. 30. № 1. - p. 109 - 127.

[3] Debes P., Zannier U. Hilbert's irreducibility theorem and G-functions // Math. Aim. - 1997. - Vol. 309. - p. 491 - 503.

[4] Debes P. Hilbert subsets and s-integral points // Manuscripta Math. - 1996. - Vol. 89. p. 107 - 137.

[5] Fried M.D., Jarden M. Field Arithmetic. - Ergebnisse der Mathematik 11. Springer- Verlag, 1986.

[6] Fried M.D. On Hilbert's irreducibility theorem // Number Theory. - 1974. - Vol. 6. - p. 211 - 231.

[7] Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The classification of the finite simple groups. - Math. Surveys and Monographs. - Vol. 40. № 1. - 1994. - p. 165.

[8] Haran D. Hilbertian fields under separable algebraic extensions // Invent. Math. - 1999. - Vol. 137. - p. 113 - 126.

[9] Hilbert D. Uber die Irreduxibilitat ganzer Funktionen mit ganzzahligen coefficienten // Reine Angew. Math. - 1892. - Vol. 110. - p. 104 - 129.

[10] Jensen C.U., Ledet A., Yui N. Generic polynomials: constructive aspects of the inverse Galois problem. Mathematical Science Research Institute Publications. - Cambridge, 2002, p. 258.

[11] Kemper G. Generic polynomials are descent-generic // Manuscripta math. - 2001. - Vol. 105. - p. 139 - 141.

[12] Kemper G. Das Noethersche Problem und generische Plynome, Dissertation, Universität Heidelberg,

[13] Lecacheux O. Construction de polynomes generiques a groupe de Galois resoluble // Acta Arithm. - 1998. - Vol. 86. - p. 207 -216.

[14] Ledet A. Generic polynomials for quasi-dihedral, dihedral and modular extensions of order 16 // Proc. Amer. Math. Soc. -1999. - Vol. 128. - p. 2213 - 2222.

[15] Ledet A. Generic polynomials for Q8, QC, QQ-extensions // Alg. - 2001. - Vol. 237. p. 1-13.

[16] Ledet A. Constructing generic polynomials // Proceedings of the Workshop on Number Theory, Institute of Mathematics, Waseda University, Tokyo, 2001, p. 114-118.

[17] Muller P. Finiteness results for Hilbert's irreducibility theorem // Ann. Inst. Fourier. - 2002. - Vol. 52. № 4. - p. 983 - 1015.

[18] Muller P. Primitive monodromy groups of polynomials // Contemp. Math. - 2001. -Vol. 186. - p. 385 - 401.

[19] Rikuna Y. Constructive aspects of inverse Galois problem, Doctoral dissertation, Waseda university, 2003.

[20] Rikuna Y. On generic polynomials for the modular 2-groups // Proc. Japan. Acad. Ser A Math. Sei. - 2002. - Vol. 78. № 3. - p. 33 - 35.

[21] Saltman D. Generic Galois extensions and problems in field theory // Advances in Math. - 1982. - Vol. 43. - p. 250 - 283.

[22] Saltman D. Groups acting on fields: Noether's problem // Contemporary math. - 1985. - Vol. 43.- p. 267 - 277.

[23] Serre J.P. Topics in Galois theory, Jones and Barthelett Pub., Boston. 1992.

[24] Smith G.W. Generic cyclic polynomials of odd degree // Comm. Alg. - 1991. - Vol. 19. - p. 3367 - 3391.

[25] Witt E. Konstruktion von galoisschen Korpern der Characteristik p zu vorgegebener Gruppe der Ordnung pf // Reine Angew. Math.

- 1936. - Vol. 174, p. 237-245.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Сергеев АЭ. Спектр Галуа многочленов // Применение функционального анализа в теории приближений. - 2001. - Сборник научных трудов. - Тверь, с. 125 - 133.

2. Сергеев А.Э. Спектр Галуа и преобразование Чирнгаузена // Рукопись деп. в ВИНИТИ 23.04.03., № 785 - В2003. - 5 с.

3. Сергеев А.Э. Циклические расширения 4-ой и 8-ой степени над полями характеристики два // Известия вузов. СевероКавказский регион. - 2004. - № 3. - с. 2 - 23.

4. Сергеев А.Э. О задаче И. Капланского // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. - 2001. - № 1. - с. 14 - 17.

5 Сергеев А Э Обратная задача для спектров Галуа полиномов. Деп. в ВИНИТИ 25 05 04, № 881-В2004. - 35 с

6. Сергеев А.Э. Генерирующие полиномы для группы Л4 над полями характеристики 0 и 2. Деп. в ВИНИТИ 25.05.04, JY» 880-В2004. - 27 с.

7. Сергеев А.Э., Яковлев А В. О спектрах Галуа многочленов, зависящих от целочисленных параметров. В кн.: Вопросы теории представлений алгебр и групп. Зап научн. семин. ПОМИ, СПб, т.321, 2004 г с. 275-280.

N

Подписано в печать 11.04 05. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объём 1 п.л Тираж 100 экз. Заказ

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПб-ГУ

с оригинала-макета заказчика.

198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

9 - 9 9 1 I

РНБ Русский фонд

2006-4 6709

Введение

Глава 1. Спектр Галуа многочленов.

§ 1. Факторизационный спектр многочлена.

§ 2. Спектры Галуа многочленов.

§ 3. Спектр Галуа и преобразование Чирнгаузена.

Глава 2. Обратная задача для спектров Галуа многочленов.

§ 1. Теорема Гильберта о неприводимости.

§ 2. Обратная задача для спектров Галуа многочленов третьей степени

§ 3. Обратная задача для спектров Галуа многочленов четвёртой степени.

Глава 3. Генерирующие многочлены над полями характеристики два.

§ 1. Реализация групп Галуа над полями характеристики два.

§ 2. Циклические расширения 4-ой степени над полями

--------- харакхерисхики два.

§ 3. Циклические расширения 8-ой степени над полями характеристики два.

§ 4. Генерирующие многочлены для альтернативной группы А над полями характеристики нуль.

§ 5. Генерирующие многочлены для альтернативной группы А над полями характеристики два.!.

В работе изучаются спектры и полные спектры Галуа параметрических многочленов и рассматривается построение генерирующих многочленов над различными полями.

Понятие факторизационного спектра многочлена, спектра Галуа многочлена и полного спектра Галуа многочлена были введены впервые автором.

Понятие спектра Галуа параметрического многочлена связано с теоремой Гильберта о неприводимости, изучением Гильбертовых множеств, со свойствами параметрических многочленов. Понятие факторизационного спектра параметрического многочлена связано с нахождением целых точек на эллиптических кривых. Факторизационный спектр используется также при нахождении полного спектра Галуа параметрического многочлена.

В теории Галуа есть ряд известных задач, связанных с теоремой Гильберта о неприводимости, которые формулируются следующим образом:

1) Пусть f(x, у) неприводимый над Q многочлен с целыми коэффициентами. Нужно охарактеризовать множество целых специализаций х = а, для которых многочлен f(a,y) приводим над полем рациональных чисел (часто это множество оказывается конечным). Эту задачу изучали М.Fried [24] и P.Muller [50].

2) Пусть д[х) - многочлен с коэффициентами из поля К. Надо охарактеризовать группу Галуа G многочлена вида д(х) — t над полем K(t).

Эту группу G называют группой монодромии многочлена д{х). По задаче 2 имеются результаты P.Muller [51]. Понятие факторизационного спектра параметрического многочлена тесно связано с задачей 1, а понятие спектра Галуа параметрического многочлена с задачей 2. Так как, если К - Гильбертово поле и группа G есть группа монодромии многочлена д{х) (т.е. группа Галуа многочлена д{х) — t над полем K(t)), то по теореме Гильберта о неприводимости существует бесконечно много специализаций t = а, таких, что группа Галуа многочлена д{х) — а над полем К есть G. Таким образом, задача об определении спектра Галуа параметрического многочлена обобщает и углубляет задачу 2.

Дадим соответствующие определения и приведём полученные результаты. Пусть К - поле и дан многочлен / от г +1 переменной t\, • • •, tr, х, то есть = ao(h,t2,. ,tr) + • • .,tr)x + . + an(ti,t2,. ,tr)xn, где ao(ti,t2,. ,tr) E K[ti,t2,.,tr], an ф 0.

Определение 1. Факторизационным спектром многочлена f(ti,. ,ts;x) Е K[ti,., степени п относительно х называется набор разбиений (п^ > ., > nff}) числа п, где 1 < i < г, такой что:

1. Для любого г, 1 < г < s существуют такие элементы (специализации) а\., as Е К, что многочлен /(ai,., as, х) раскладывается над К в произведение неприводимых многочленов степеней п(\., п^).

2. Если для некоторых ai,.,aseK многочлен /(ai,. •, as, х) раскладывается над К в произведение неприводимых многочленов степеней п^ > . > n's, то существует г, 1 < г < г, такое что (п[,. n's) = ., п^}).

Напомним, что разбиением числа п называется набор натуральных чисел ni > п2 > . > пр, сумма которых равна п. Рассмотрен пример: Пример 1. Многочлен вида f(x) = х5 + тх + п\ + nl + п\ + п\ + 1 Е Q[m, пь п2, пз, П4, х] имеет следующий факторизационный спектр над Q, состоящий из разбиений: (5), (4,1), (3,2), (3,1,1) и (2,2,1).

Пример 1 уточняет результат Рабиновича [53] (он рассматривал лишь факторизации вида (1,4) и (2,3)). Приведем определение спектра Галуа параметрического многочлена. Определение 2. Пусть К - поле, А - некоторое подмножество из К. Назовём последовательность транзитивных неизоморфных между собой подгрупп G2,., Gs группы Sn г-параметрическим спектром Галуа многочлена G K[ti,t2,. ,tr,x] над К по отношению к множеству А, если при изменении параметров ti,t2,. ,tr в А группа Галуа многочлена / над К, в случае его неприводимости в К[х], принимает "значения" Gi, G2, • • • , Gs.

Этот факт будем обозначать так:

Sp GalK(f; tb • • • ,tre A) = {Gh G2, • • • , Ga}.

Наряду с понятиями факторизационного спектра и спектра Галуа параметрических многочленов, вводится понятие полного спектра Галуа параметрического многочлена.

Определение 3. Назовём последовательность неизоморфных между собой подгрупп (j?2j • • •) Gp группы Sn г-параметрическим полным спектром Галуа многочлена f €Е K[ti,t2,. .,tr,x] над К по отношению к множеству АС. К, если при изменении параметров • • * в А группа Галуа многочлена / над К принимает "значения" G\, G2, • • • , Gp.

Этот факт будем обозначать так:

Spt GalA-C/; tu ■ - • , U е А) = {Gu G2, • • ■ , Gp}.

В §2 приводятся примеры спектров и полных спектров Галуа параметриче-скюГмногочленов над полем рациональных чисел Q.

В общем случае нахождение спектров Галуа параметрических многочленов степени больше трёх затруднительно, так как связано с решением нетривиальных диофантовых уравнений. Исключение составляют генерирующие многочлены [22], для которых, при определенных условиях, связанных с решением обратной задачи теорий Галуа полный спектр Галуа определяется сразу (см. следствие 2), благодаря результату Кемпера [35].

Понятие генерирующего многочлена впервые упоминается в работах [57],[22] и было связано с обратной проблемой теории Галуа, проблемой Нётер, генерирующими расширениями. В дальнейшем возникла следующая проблема: существует ли для данной конечной группы G над бесконечным полем К генерирующий (7-многочлен? Ниже приводится таблица, отражающая полученные результаты.

Определение 4 (Кемпер). Пусть К - поле и G - конечная группа. Назовём нормированный, сепарабельный многочлен g(ti,., tm, X) ё K(t\,., tm)[X генерирующим для группы G над К, если выполняются следующие два свойства:

1) Группа Галуа многочлена д (как многочлена от X над K(ti,. ,tm)) есть G.

2) Если L - бесконечное поле, содержащее К и N/L - расширение Галуа с группой G, тогда существуют Ai,., Am Е L, такие, что N является полем разложения многочлена д(Х\,., Am, X) над L.

Определение 5. (Kemper) Назовём многочлен д спускающимся генерирующим многочленом (descent-generic), если он удовлетворяет условию (1) определения 3. (см. выше), а также, кроме того, выполняется следующее свойство:

2') Если L - бесконечное поле, содержащее К и N/L - расширение Галуа с группой Н < G, тогда существуют Ai,., Am G L, такие что N является полем разложения многочлена g(\i,., Am, X) над L.

Имеет место следующая теорема [35]: "Теорема~17Каждый генерирующий многочлен g{t\,. ,tm,X) для группы G над бесконечным полем К является спускающимся генерирующим многочленом.

Из этой теоремы вытекает следствие:

Следствие 2. Если д(Х) - генерирующий многочлен для группы G над бесконечным полем К, то полный спектр Галуа многочлена д(Х) над полем К состоит из всех подгрупп группы G, для которых обратная задача теории Галуа имеет решение над полем К.

Замечание 1. Спектр Галуа генерирующего для группы G многочлена состоит из транзитивных подгрупп группы G. В рассмотренных нами примерах (часть из них приведена чуть ниже, а также в конце второго параграфа первой главы) оказалось, что он состоит из всех транзитивных подгрупп группы G.

Приведём теперь таблицу, связанную с генерирующими многочленами.

Таблица генерирующих многочленов группа поле генерирующий многочлен ЯВНЫЙ вид

С2, С4 Q Существует Построен [32]

С4 char К = 2 Существует Построен [10]

С2 X С2 Q Существует Построен [32]

С2, хС2 х С2 Q Существует Построен [54]

С2, хС2 х С2 х с2 Q Существует Построен [54]

Сп,п- нечётное char К ф 2 Существует Построен [32]

Сп, п - нечётное char К = 2 Существует Построен для Ср, р -простое [36]

С2«,е > 2 Q Не существует

С„, n = 5,7,8, .9,11,12,13, QW, = Cn + Cn 1 Существует Построен [54] р-группа char К = p Существует[49] Не построен

Qs char К ф 2 Существует Построен [32]

Qin char К f 2n, o;n = Cn + Cn 1L, Существует Построен [36]

Q2n, 71 = 6, 8 Q(C») Существует Построен [54]

Dn, n—нечётное char К ф 2 Существует Построен для Z?5 над Q [32]

Ds,QD8,Mle char К ф 2 Существует Построен [44]

D6 Q Существует Построен [54]

Dn, n = 5,7,8 QK). wn = Cn + Cn1 Существует Построен [54]

Fvi char К ф 2 Существует, 8 {1 Построен для f20 [42]

Sn char К \ n Существует Построен [36] a4 char К ф 2,3 Существует Построен [36] a4 char К = 2 Существует Построен (гл. 3, § 6) a5 Q Существует Построен [32]

С6 char К = 2 Существует Построен [5]

С8 char К = 2 Существует Построен [10]

С2 х С2 char К = 2 Существует Построен [5]

С2, хС2 х С2 char К = 2 Существует Построен [5]

SL2{ 3) char К Ф 2,3, причём ypi ек Существует Построен [36]

PSL2{ 7) char К ф 2,3,7, причём \f—7 G К Существует [36] Не построен

Ср X Cm Щр Существует Построен [57]

GLn(q),SLn(q) Существует Построен [65]

Sp2n(q) FP Существует Не построен [17]

CSp2n(q) Fp Не существует [36]

Приведём примеры нахождения спектров (и полных спектров) Галуа некоторых генерирующих многочленов.

Пример 2. Многочлен д(Х) = X3 — tX2 + (t — 3)Х +1 - является генерирующим многочленом для группы Сз над полем Q, поэтому SpGal<Q(^(X)) = ш

Пример 3. Многочлен д{Х) = X4 + 2hX2 - At2t3X + (fa + t2)2 - 2t2t\) являетсяТенёрирующим многочленом для группы D4 над полем Q, поэтому Spt GalQb(X)) = {Da, С4, С2 х С2, С2, е}.

Как показывает таблица к настоящему времени построено над различными полями не много генерирующих многочленов даже для групп небольших порядков над полем Q.

В §3 изучается влияние преобразования Чирнгаузена на спектр Галуа параметрического многочлена. В следующей теореме 3 будем рассматривать преобразования Чирнгаузена с коэффициентами из K[ti,., tr]. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 3. Если неприводимые, нормированные многочлены степени п относительно X /i(X; t\,., tr) и f2(X] ti,.,tr) из кольца K\t\y., tr][X] эквивалентны относительно преобразования Чирнгаузена над K[ti,. ,tr], то их спектры Галуа совпадают.

Теорема 4. Пусть группа G реализуется как группа Галуа над полем К. Пусть также в группе G существуют две несопряжённые подгруппы Т и Н одинакового порядка такие, что выполняются следующие соотношения:

П aeGvTcr-1 = {е}, П тесгИт'1 = {е}.

Тогда существуют два неприводимых многочлена над полем К одинаковой степени, не эквивалентных относительно преобразования Чирнгаузена над полем К и имеющих одно и то же поле разложения.

Доказано, что над полем Q свойством, описанном в теореме 3, обладают многочлены f(X) = X4 - 2 и g(X) = X4 + 8.

Одной из основных проблем теории Галуа является обратная проблема теории Галуа, которая для фиксированного поля К формулируется следующим образом: Какие группы G реализуются над полем К в качестве групп К-автоморфизмов расширений Галуа поля К? Для конечного поля К обратная проблема теории Галуа решена: циклические конечные группы и только они реализуются в качестве групп Галуа над К.

Если К = Q - поле рациональных чисел, то полный ответ на эту проблему неизвестен. Аналогом обратной проблемы теории Галуа для параметрических многочленов над полем К является следующая проблема (обратная проблема для спектров Галуа параметрических многочленов):

Проблема 1. Пусть {G i, G2, • • • , Gsj - набор транзитивных подгрупп группы Sn и 1 < г < п. Существует ли многочлен / 6Е K[ti,t2, • • • ,tr,x], спектр

Галуа которого над К в точности равен {C?i, G2, • • • , Gs}?

Теперь обратную проблему теории Галуа можно переформулировать так:

Проблема 2. Для всякого ли натурального числа п существует параметрический многочлен степени п, полный спектр Галуа которого над полем Q совпадает (с точностью до изоморфизма групп) с множеством всех подгрупп симметрической группы Sn?

Благодаря многим конкретным результатам разных авторов известно к настоящему времени, что проблема 2 имеет положительное решение для всех натуральных п < 15 [40].

Вторая глава посвящена обратной проблеме для спектров Галуа параметрических многочленов. Благодаря теореме Гильберта о неприводимости и теореме о группе Галуа многочлена, получающегося при помощи специализации, обратная проблема для спектров Галуа многочленов решена над полем Q для спектров Галуа многочленов третьей и четвёртой степеней. В рассматриваемых случаях удаётся найти Н - Гильбертовы множества для некоторых (■^-параметрических многочленов, когда Н - транзитивная подгруппа группы Sn (п = 3, 4). Доказаны следующие теоремы:

Теорема 5. Любой многочлен третьей степени, неприводимый над полем Q(£i,. •, tr), г Е N с коэффициентами из Q[£i,., tr], при целых специализациях, имеет один из следующих спектров Галуа: {£3}, {-Аз} и {S3, A3}.

Теорема 6. Целочисленным спектром Галуа, неприводимого HadQ(t±,. ,tr) многочлена четвёртой степени с коэффициентами из Q[ti,.,£r] может быть любой из следующих наборов подгрупп группы S4: {£4}, {А4}, {D4}, {V4}, {С4}; {54, А4}, {S4, D4}, {S4, V4}, {S4, C4}, {A4, V4}, {D4, V4}, {D4, C4}; {S4,A4,D4}, {54,Л4, C4}, {S4, A4, V4}, {S4,D4,V4}, {S4,D4,C4}, {S4,V4,C4}, {D4, V4, C4}; {S4, A4, D4, V4}, {S4, D4, V4, C4}, {£4, A4, D4, C4}, {S4, A4, V4, C4}; {S4, A4, D4, C4,V4}. Ни один из наборов подгрупп S4, не входящий в этот список, не может быть целочисленным спектром Галуа такого многочлена.

В третьей главе для некоторых групп G небольших порядков рассматривается построение (^-параметрических и (^-генерирующих многочленов в основном над полями характеристики два.

Случай, когда char К = 2 - особый, но благодаря функции Берлекэмпа [14] (играющей в полях char К = 2 роль функции д/D(f) в полях char К = 0), в первом параграфе третьей главы сформулированы и доказаны теоремы, позволяющие находить группы Галуа неприводимых многочленов соответственно 3-ей и 4-ой степеней над полями характеристики два. Приводятся соответствующие примеры.

О генерирующих многочленах над полями charK = 2 известно немного, так как большинство известных методов не работают над полями charK = 2.

Так в [61] упоминается многочлен f(x,t) = х3 — tx2 + {t — 3)я:+1, являющийся генерирующим многочленом для циклической группы Сз над любым полем (в том числе и над полем char К = 2). Построенные далее генерирующие многочлены для групп С^С^и А* над полем char К = 2 приводятся впервые.

Во втором и третьем параграфах, с помощью теоремы Витта [66], построены над полями характеристики два генерирующие многочлены для циклических групп С а и Cjg. В частности доказаны теоремы:

Теорема 7. Пусть К - поле характеристики два. Тогда многочлен вида f(x; fi, t2) = х4 + (1 + ti)x2 + t\x + t3 + t2 + hh из K[x, ti, £2] является C±-генерирующим многочленом над полем К.

Явный вид генерирующего многочлена для группы Cg над полем К = F2(i) приведён в §3. Рассмотренный приём позволяет последовательно строить генерирующие многочлены для циклических групп C\q, Сз2, .

В четвёртом параграфе для знакопеременной группы А\ над Гильбертовым полем характеристики нуль строятся генерирующие многочлены шестой и четвёртой степеней над полем Q. В частности, доказаны теоремы: Теорема 8. Многочлен f(X]t,a,b,c) из кольца K(t,a,b,c)[X] вида: f{X; t, а, Ь) = Х6- Х4[3а2 + bc(t2 - St + 3) + 2abt + b2{t- 3)+ c2(t2 - 4t + 9) + 2ac(t2 - 2t + 6)] + X2[4a3bt + ac3{t4 - 6t3 + 2312 - 421 + 51)+ +a26c(2£3 - t2 + St + 9) + a2b2{t2 + St - 9) + a2c2{t4 - 413 + 1912 - 361 + 63)+ +c4 (t2 - 2t+ 6) + a3c(4t2 - 8t + 24) + 3a4 + 6ac3 + 362c2 - b4t + 2 bc3t+b3a(t2 -31-3) + b2ac(2t3 - 812 + 121 - 18) + 263c(3 -1) + abc2(t4 - 413 + lit2 - 181 + 27)--2b3c(t2 - 2t + 6) + b2c2(-t3 + t2-3t-3)~ bc3(t3 - 5*2 + 13* - 18)] - [ac2(t2--41 + 9) + a2bt + c3 + ab2(t - 3) + abc(t2 -3t + 3) + a2c(t2 -2t + 6)~ b3

-b2ct + a3 + bc2{3-t)]2 является A\-генерирующим многочленом над Гильбертовым полем К, где char К = 0.

Теорема 9. Многочлен p(X\t, a, b, с) из кольца K(t,a,b,c)[X] вида: р(Х\ t, а, Ъ) = Х4- 2Х2[За2 + bc(t2 - 3t + 3) + 2abt + b2(t - 3)+ c2(t2 - At + 9) + 2ac(t2 -21 + 6)] - 8X[ac2(t2 - At + 9) + a2bt + c3 + a(3 - t)b2+ abc(t2 - 3t + 3) + a2c(t2 - 2t + 6) - b3 - tb2c + bc2(t - 3) + a3] + b2c2(t4--312 + 36* - 45) + 6c3(2£4 - 10t3 + 2812 - 341 - 18) - 4<z3c(*2 - 2t + 6) - 4a3bt

6a2c2(t2 - At + 9) + b4(t2 - 2t + 9) + c4{t4 - 8*3 + 3012 - 6At + 57)+ +Ь3с(2*3 - At2 + 16t + 6) - 3a4 - 6b2a2{t - 3) - 66ca2(t2 - 3t + 3) - 12ac3+

12acb2t + 12ab3 + 12abc(t - 3) является A±-генерирующим многочленом над Гильбертовым полем К, где char К = 0.

Заметим, что Ледет в [46] построил генерирующий многочлен для группы А4 4-ой степени с двумя параметрами над полем Q, но с дробно-рациональными коэффициентами. Полученный генерирующий многочлен для группы А4 6-ой степени над полем Q является новым.

В~пятом-параграфе для группы А4 над Гильбертовым полем характеристики два построены генерирующие многочлены степени шесть и четыре. В частности, доказаны теоремы:

Теорема 10. Пусть К - Гильбертово поле характеристики два. Тогда многочлен шестой степени F{X; t, и) вида

F{X; t, и) = (X2 + Xf + u2{t2 + t + 1)2(X2 + X) + u\t2 +1 + l)2 является А^-генерирующим над полем К.

Теорема 11. Пусть К - Гильбертово поле характеристики два. Тогда многочлен четвёртой степени G{X\ t, и) вида:

G(X-1, u) = X4 + (t2 + t + 1 )2Х2 + (t2 +1 + 1)2X + u2(t2 +1 + l)4 является A±-генерирующим многочленом над полем К характеристики два.

Автор благодарен своему научному руководителю, профессору Яковлеву Анатолию Владимировичу за советы, беседы и помощь в работе по теме диссертации.

1. Ишханов В.В., Лурье Б.Б., Фаддеев Д.К. Задача погружения в теории Галуа. -М.: Наука, 1990. - 272 с.

2. Кнэпп Э. Эллиптические кривые. М.: Факториал Пресс, 2004. - 487 с.

3. Ленг С. Основы диофантовой геометрии. М.: Мир, 1986. - 446 с.

4. Сергеев А.Э. Спектр Галуа полиномов // Применение функционального анализа в теории приближений. 2001. - Сборник научных трудов. -Тверь, с. 125 - 133.

5. Сергеев А.Э. Генерирующие полиномы для прямого произведения групп // Рукопись деп. в ВИНИТИ 23.04.03., № 784 В2003. - 10 с.

6. Сергеев А.Э. Спектр Галуа и преобразование Чирнгаузена // Рукопись деп. в ВИНИТИ 23.04.03., № 785 В2003. - 5 с.

7. Сергеев А.Э. Факторизация биномов и триномов степеней < 7 // Рукопись деп. ВИНИТИ 20.10.00., № 2669-В00. 48 с.

8. Сергеев А.Э. О задаче И. Капланского // Известия вузов. СевероКавказский регион. 2001. - № 1. - с. 14 - 17.

9. Сергеев А.Э. Проблема Нётер и генерирующие полиномы // Рукопись деп. в ВИНИТИ 23.04.03., № 786 В2003. - 39 с.

10. Сергеев А.Э. Циклические расширения 4-ой и 8-ой степени над полями характеристики два // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. 2004. - № 3. - с. 20 - 23.

11. Сергеев А.Э., Яковлев А.В. О спектрах Галуа многочленов, зависящих от целочисленных параметров. В кн.: Вопросы теории представлений алгебр и групп. Зап. научн. семин. ПОМИ, СПб, т.321., 2004, с. 275-280.

12. Сергеев Э.А. Элементы теории Галуа. Краснодар.: Кубанский гос. ун-т., 1987. - 104 с.

13. Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. М Л., 1949.

14. Berlekamp E.R. An analog to the discriminant over fields of characteristic two // Alg. 1976. - Vol. 38. - p. 315 - 317.

15. Buhler J., Reichstein Z. On Tschirnhaus transformations // Kluwer Academic Publishers. 1999. - p. 127 - 142.

16. Buhler J., McKay J. The transitive groups of degree up to eleven // Comm. in Algebra. 1983. - vol. 11. № 8. - p. 863-911.

17. Carlisle D., Kropholler P.H. Rational invariants of certain orthogonal and unitary groups // Bull. London. Math. Soc. 1992. - Vol. 24. - p. 57 - 60.

18. Cremona J. Algorithms for modular elliptic curves. Cambridge Univ. Press, 1992.

19. Debes P. Density results for Hilbert subsets // Indian J. Pure appl. Math. -1999. Vol. 30. № 1. - p. 109 - 127.

20. Debes P., Zannier U. Hilbert's irreducibility theorem and G-functions // Math. Ann. 1997. - Vol. 309. - p. 491 - 503.

21. Debes P. Hilbert subsets and s-integral points // Manuscripta Math. 1996. -Vol. 89.-p.-107- 137.

22. DeMeyer F. Generic polynomials // Alg. 1983. - Vol. 84. - p. 441 - 448.

23. Dummit D.S. Solving solvable quintics // Math, of Сотр. 1991. - Vol. 57.- p. 387 401.

24. Pried M.D., Jarden M. Field Arithmetic. Ergebnisse der Mathematik 11. —Springer-Verlag, 1986.

25. Fried M.D., Haran D., Volklein H. Real hilbertianity and the field of totally real numbers // Math. Сотр. 1994. - Vol. 174. - p. 1 - 34.26. 26] Fried M.D. On Hilbert's irreducibility theorem // Number Theory. 1974.- Vol. 6. p. 211 - 231.

26. Gaschutz W. Fixkorper von p-automorphismengruppen rein-transzendenter korpererweiterungen von p-charakteristik // Math. Zeitschr. 1959. - Vol. 71.- p. 466-468.

27. Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The classification of the finite simple groups. Math. Surveys and Monographs. - Vol. 40. № 1. - 1994. - p. 165.