Об образах полиномиальных отображений в конечных кольцах матриц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

1. Общие свойства образов многочленов

1.1. Определение образов многочленов в алгебрах

1.2. Образы многочленов в разложимых в прямую сумму алгебрах.

1.3. Несколько примеров.

2. Образы многочленов в градуированных алгебрах

2.1. Алгебра градуированных многочленов и образы её элементов

2.2. Характеризация образов градуированных многочленов

3. Образы многочленов в матричных алгебрах над кольцами Галуа

3.1. Основные свойства колец Галуа.

3.2. Критерий существования индикатора для множества матриц над кольцом Галуа

3.3. Подобие матриц 2x2 над кольцом Галуа

3.4. Критерий скалярности р1-ой степени матрицы

3.5. Многочлены с образами специального вида

3.6. Случай р2 = 0 и Ъ)%Ъ.

3.7. Алгоритм поиска многочленов с образами специального вида в матричных алгебрах над Ъ/рпЪ

Практически с самого зарождения теории колец большое значение для неё имело изучение свойств специфических многочленов. Роль, которую играет наличие таких многочленов для определения строения кольца, наиболее отчётливо была осознана в конце сороковых — начале пятидесятых годов этого века. Тогда, благодаря работам Капланского [1], Ами-цура [2, 3, 4], Левицкого [5], их совместным работам [6, 7] тождества, то есть многочлены, принимающие в кольце только значение 0, стали одним из основных инструментов исследований в данной области.

В связи с этим алгебры, обладающие нетривиальными тождествами, — так называемые Р/-алгебры — стали важным объектом изучения и рассматривались как естественное обобщение коммутативных алгебр, удобное для распространения результатов структурной теории. Основные результаты о Р/-алгебрах можно найти в классических монографиях Прочези [8], Джекобсона [9] и Роуэна [10].

Эти исследования показали, в частности, что важную роль в определении свойств алгебры, помимо тождеств, играют так называемые центральные многочлены — не являющиеся тождествами многочлены, образ которых целиком содержится в центре алгебры. Проблема существования центральных многочленов в наиболее важном случае, в полных матричных алгебрах, была поставлена Капланским ещё в 1956 году среди других проблем теории колец [11].

В случае конечности основного поля проблема Каплан-ского была решена Латышевым и Шмелькиным [12] в 1969 году. Сам Капланский упоминал о частных её решениях в [13]. Полное положительное решение её было получено в 1971 году независимо Размысловым [14] и Форманеком [15], причём конструкция Размысловас небольшими изменениями даёт центральный многочлен для полной матричной алгебры над произвольным коммутативным кольцом с единицей.

По-видимому, именно обсуждение различных аспектов проблемы существования центрального многочлена, побудило Капланского поставить следующую проблему: всегда ли образ некоммутативного полилинейного многочлена в полной матричной алгебре М над полем нулевой характеристики является линейным подпространством в М. В некоторых частных случаях, например, для многочленов от двух переменных, это, конечно же, так. Ответ на этот вопрос в общем случае до сих пор не известен.

Второй раз тема описания свойств образов многочленов возникла в работе Чуанга [16], появившейся в 1990 году. Пытаясь ответить на вопрос, поставленный Капланским, он получил характеризацию образов произвольных некоммутативных многочленов в полных матричных алгебрах над конечными полями. Подмножество А такой алгебры является образом многочлена с коэффициентами из основного поля тогда и только тогда, когда оно содержит скалярную матрицу и самоподобно, то есть аАа"1 С А для всякой обратимой матрицы а.

В настоящей работе исследуются свойства образов многочленов в полных матричных алгебрах над конечными коммутативными кольцами. В первую очередь нас будут интересовать кольца наиболее близкие к полям по своим свойствам — так называемые кольца Галуа.

Кольцо Галуа — это конечное коммутативное локальное кольцо К главных идеалов с единицей, наибольший идеал которого 7(К) порождён характеристикой поля вычетов К//(]К). Такие кольца впервые были рассмотрены в работе Раджавендрана [17]. Они являются естественным обо-гцением колец вычетов по модулю, равному степени простого числа, и находятся с этими кольцами вычетов в таком же отношении, как поля Галуа с полями вычетов Ъ/рЪ. Многие свойства колец Галуа были исследованы Нечаевым в статьях [18. 19, 20]. Изложение общих результатов, касающихся локальных колец и колец главных идеалов можно найти в книгах Нагаты [21] и Ятегаонкара [22].

Целью данной работы является исследование свойств образов многочленов в конечных алгебрах и распространение характеризации образов некоммутативных многочленов в полных матричных алгебрах, полученной Чуангом, на случай основного кольца, не являющегося полем.

В работе используются методы и результаты общей теории колец, теории Р/-алгебр, арифметические свойства конечных полей и колец Галуа.

Основные результаты данной работы:

• Сформулирован ряд условий на подмножество произвольной алгебры над коммутативным кольцом, необходимых для того, чтобы это подмножество было образом некоммутативного многочлена с коэффициентами в этом кольце;

• Доказано, что упомянутые в предыдущем пункте условия на подмножество алгебры являются достаточными в том случае, если алгебра является конечной прямой суммой полных матричных алгебр над конечным полем, полной алгеброй матриц размера 2x2 над кольцом Галуа с радикалом степени нильпотентности 2 или над Ъ/Щ

• Получен аналогичный результат для градуированного случая — сформулированы условия на однородное подмножество полной матричной алгебры над конечной коммутативной полугрупповой алгеброй над полем, необходимые и достаточные для того, чтобы это подмножество было образом градуированного многочлена с коэффициентами из основного поля.

Все полученные результаты являются новыми.

Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы при исследовании ряда вопросов теории колец.

Результаты работы неоднократно обсуждались на семинаре «Кольца и модули» кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ под руководством профессора В. Н. Латышева и профессора А. В. Михалёва. Часть результатов докладывалась на конференции, по-свящённой 70-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ в 1999 году.

Основные результаты данной диссертации опубликованы в 3-х работах автора, список которых приводится в конце введения.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Полный объём диссертации — 73 страницы, библиография содержит 35 наименований.

1. Kaplansky 1. Rings with a Polynomial Identity, Bull. Amer. Math. Soc., 1948, No. 54, p. 575-580.

2. Amitsur S. Nil PI-Rings, Proc. Amer. Math. Soc., 1951, No. 2, p. 538-540.

3. Amitsur S. The Identities of Pi-Rings, Proc. Amer. Math. Soc., 1953, No. 4, p. 27-34.

4. Amitsur S. On Rings with Identities, J. London Math. Soc., 1955, No. 30, p. 464-470.

5. Levitzki J. A Theorem on Polynomial Identities, Proc. Amer. Math. Soc., 1950, No. 1, p. 334-341.

6. Amitsur S., Levitzki J. Minimal Identities for Algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 1950, No. 1, p. 449-463.

7. Amitsur S., Levitzki J. Remarks on Minimal Identities for Algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 1951, No. 2, p. 320-327.

8. Procesi C. Rings with Polynomial Identities, Marcel Dekker, New York, 1973.

9. Jacobson N. P./.-Algebras, An Introduction, Lecture Notes in Mathematics, vol. 441. Springen-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York, 1975.

10. Rowen L. H. Polynomial identities in ring theory. Academic Press, New York, 1980.

11. Kaplansky I. Problems in the theory of rings. In report of a conference on linear algebras. Nat. Acad. Sci. Nat. Res. Cons. publ. 502, 1957, p. 1-3.

12. Латышев В. H., Шмелькин А. Л. Об одной проблеме Капланского. Алгебра и Логика, 1969, т. 8, № 4, с. 447448.

13. Kaplansky I. "Problems in the theory of rings" revisited. Amer. Math. Monthly, 1970, No. 77, p. 445-454.

14. Размыслов Ю. П. Об одной проблеме Капланского. Изв. АН СССР, Сер. мат. 1973, т. 37, № 3, с. 483-501.

15. Formanek Е. Central polynomials for matrix rings, Jour, of Algebra, 1972, No. 23, p. 129-133.

16. Chuang C.-L. On ranges of polinomials in finite matrix rings. Proc. Amer. Math. Soc., October 1990, vol. 110(2), p. 293-302

17. Radhgavendran R. Finite associative rings, Compositio math., 1969, vol. 21, No. 2, p. 195-229.

18. Нечаев А. А. О строении конечных коммутативных колец с единицей. Мат. заметки, 1971, т. 10, № 6, с. 679-688.

19. Нечаев А. А. Конечные кольца главных идеалов. Мат. сборник, 1973, т. 91, № 3, с. 350-366.

20. Нечаев А. А. О подобии матриц над коммутативным локальным артиновым кольцом. Труды сем. им. И. Г. Петровского, 1983, вып. 9, с. 81-101.

21. Nagata М. Local rings, Interscience tracts in pure and applied math., 13. New York, 1962.

22. Jategaonkar A. V. Left principal ideal rings, Lecture Notes in math., vol. 123, 1970.

23. Джекобсон H. Строение колец. Москва, ИЛ, 1961.

24. Джекобсон Н. Теория колец. Москва, ИЛ, 1947.

25. Rowen L. Н. Ring Theory, vol. II. Academic Press, New York, 1983.

26. Ленг С. Алгебра. Москва, Мир, 1968.

27. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. Москва, Мир, 1986.

28. Bahturin Yu. A., Mikhalev A. A., Petrogradsky V. М., Zaicev М. V. Infinite Dimensional Lie Superalgebras. de Gruyter Expositions in Mathematics 7, Berlin — New York, 1992.

29. Vasilovsky S. Yu. Z -graded polynomial identities of the full matrix algebra. Comm. in Algebra, 1998, vol. 26(2), p. 601612

30. Петров E. E. О классах сопряжённых элементов группы SL(2,Z/pxZ), рф 2. Изв. вузов, матем., 1980, № 8, с. 8588.

31. Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы. Москва, Наука, 1966.Публикации автора по теме диссертации

32. Кулямин В. В. Об образах многочленов в конечных кольцах матриц. Фунд. и прикл. математика 1997, т. 3, вып. 2, с. 469-485.

33. Кулямин В. В. Об образах многочленов в кольце M2(Z/8Z). Фунд. и прикл. математика 2000, т. 6, вып. 1, с. 275-280.

34. Кулямин В. В. Образы градуированных многочленов в кольцах матриц над конечными групповыми алгебрами. УМН 2000, т. 55, вып. 2, с. 141-145.

35. Кулямин В. В. Образы многочленов в кольцах матриц над кольцами Галуа. Международный алгебраический семинар, Москва, 1999, с. 36-37.