Наблюдаемость нелинейных систем управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ РАН

6 од

9 [Ш 1995

На правах рукописи

Старков Константин Евгеньевич

ШБЛЩШЮСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 01.01.11 - Системный анализ и

автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора $изико- математических наук

Москва 1395 год

Работа выполнена в институте проблем управления РАН

Офацкалшне оппоненты- доктор физико-математических наук

ВОВЫДЕВ Н.А.

доктор фазико-ыатематиче ских. наук НИКОЛЬСКИЙ М.С.

доктор физико-математических наук КРЩЕНКО А.П.

Ведущая организация - Институт системного анализа РАН.

С 4

Защита состоится ЦМИЭ. 1995г., з чвс.

на заседании диссертационного совета Д 002.68.03 при Институте проблем управления РАН, Москва, 117806, ул. Профсоюзная, 65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПУ РАН. Автореферат разослан " ЛАОЛ_1995г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н.

О.А. Власов

- 1 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работа. Задача наблюдаемости нелинейных систем управления является одной из основных в современной матемотической теория управления и представляет собой формализацию вакной прикладной проблемы определения вектора состояния динамического объекта исходя из неполных измерений, теория наблюдаемости предлагает свой подход к решению проблема нахождения вектора состояния, отличающийся от других возможных подходов-стохастического и гарантированного. Специфика теории наблюдаемости заключается в том, что в ней изучаются детерминированные процессы и используются метода геометрической теории управления.

Задача анализа наблюдаемости и тесно с ней связанная задача синтеза наблюдателей входят в виде важной составной части в проблему построения регулятора по выходу динамического объекта, поскольку для эффективного управления объектом необходимо икзть полную информацию о векторе состояния. Разработки в теории наблюдаемости активно влияют на развитие многих вопросов структурной теории нелинейных систем таких как минимальная реализация, идентифицируемость, легая и правая обратимость и др. Следует также отметить, что представлявшая большой интерес для приложений задача диагностики монет быть сформулирована в виде задачи наблюдения.

Постановка задачи наблюдаемости и первые результаты, которые характеризуют свойство наблюдаемости линейках систем, принадлежа? Р. Калману (В. Ка1шап). Идея построения наблюдателя для решения задачи оценивания восходит к работам Д. Лшвбергера (I). Ьиег;Ьаг£сг). К настоящему времени теория наблюдаемости обогатилась многими интересными: результата™, относящимися к системам, которяэ описываются нелинейными дифферзнциальвш® уравнениями. Осясзной вклад в теорию наблюдаемости связан с икэвемк Г. Сусснеза (К. Бгшкшш), Р. Гормэна (К. Кеггаат), А. Кренера (А. Кгепст) и Д.

Айелса (В. Леуе1з).

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальной правой честью получили широкое распространение как математические модели различных реальных процессов, см., например, уравнения Эйлера динамики твердого тела; уравнения зг»5Мйчесжоа кинетики; модель Лоренца, характеризующая конвекции жидкости и др. Однако, полиномиальные системы управления как объект изучения в математической теории управления исследованы недостаточно хорошо. В особенности, это относится к задачам теории наблюдаемости. В связи с вышеизложенным большую актуальность приобретает теоретическое направление, посвященное анализу наблюдаемости систем управления с полиномиальной и с аналитической правыми частями и методам оценки состояния:, в которых, используется синтез наблюдателей.

Целый работы является разработка методов анализа наблюдаемости нелинейные систем управления для случаев непрерывных к дискретных наблюдений и методов оценивания состояния, основанных на использовании наблюдателей. Основное внимание уделяется полиномиальным системам управления.

Метода исследования. В диссертации применяются метода геометрической теории управления, алгебры и теории обыкновенных дай&зренциальных уравнений.

Научная новизна. Получены новые необходимые условия нзблвдаеаюсти глобального типа для полиномиальных пар "система -закон наблюдения" и локального типа для аналитических пар "система - закон наблюдения". Впервые найдена верхняя оценка степени универсального полиномиального входа из полиномиального варианта теоремы Суссглана об универсальных входах. Впервые описаны утверздения, характеризующие структуру множества кзблэдаешх полиномиальных пар в векторном пространстве всех полиномиальных

пар ограниченной степени. Дако повое определение равномерной наблюдаемости и получены достаточные условия равномерной наблюдае».ГОСТИ.

Впервые разработана теория наблюдаемости полинсшальшх и аналитических пэр "система- закон наблюдения" для случая дискретных наблюдений. Эта теория позволяет находить явннй вид программ наблюдений, для которых сохраняется свойство наблюдаемости. Установлены простыв оценки размерности таких программ наблюдений.

Для полиномиальных пар "система- закон наблюдения" описаны ноше методы оценки состояния, использующие синтез наблюдателей. К щм относятся утверждения о приведении к нормальным формам наблюдаемости и наблюдателя, подход к оценке состояния систем, имеющих первые интегралы и использующий нормальнее формы. Впервые разработана конструкция глобального наблюдателя для однороднее подккомиалышх вэкторннх полей нечетной степени, оОладащэя ватши свойствами робастности и нешшциальности. Впервые предложен метод оценивания полиномиальной пары, использующий нономиалыгае 'отображения и наблюдатели. Описан новый метод оценивания состояния, использующий линеаризацию по Карлеману.

Теоретическая к практическая данность. Работа является теоретической. Метода, которые разработаны в диссертации, применимы для решения задач анализа наблюдаемости широкого класса нелинейных систем управления и синтеза наблюдателей для них. В работе дается ■ ответ на ряд качественных вопросов теории наблюдаемости {структуре множества универсальных полиномиальных входов, характер зависимости свойства наблюдаемости от возмущений коэффициентов правой части системы), получен ряд вежкх оценок (минимального числа производных выхода, которые необходимы для анализа наблюдаемости, степени универсального полвноиаальпого

входа, коразмерности множества таблэдаеша шлякомаальввх систем» размерности программы наблюдений, гарантирующей наблюдаемость сисхемн), ошсанн метода оценивания состояния тлкшмиаяьной системы, основакже на построения наблюдателей. Разработанные в диссертация приемы анализа наблюдаемости и синтеза наблюдателей являются эффективно проверяемыми и могут быть использована в приложениях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на 10 Всесоюзном совещании ш проблемам управления в Алма-Ате в 1986 г., на Всесоюзном семинаре "Динамика нелинейных процессов управления" в Таллинне в 1987г., на международной конференции "Математическая теория оптимизации и ое прилоЕвння" в г. Зйзенах (ГДР) в 1983 г., на 16 маздународаой конференции ИШ1 по моделированию систем и оптимизации в г. Компьен (Франция) в 1993 г., на научных семинарах Института проблем управления РАН» Института системного анализа РАН, Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, на семинаре ш геометрической теории управления в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАК, на семинарах Математического института университета г. Вюрцбурга (Германия) в 1992 г., Центра автоматики и систем Высшей школы шахт в Парике (Франция) в 1893 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1- 18).

Структура е объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав к списка литературы. Диссертация изложена на 218 страницах. Библиография содержит 349 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В целях сокращения изложения результаты диссертации будут приводится не в самой общей формулировке.

Во введении обсуадаются постановки основных задач и

формулируются основные результаты.

Первая глава посвящена анализу наблюдаемости нелинейных жетон управления в слушав непрерывных наблюдений.

В § I.I излагается постановка задачи наблюдения. Основным юучаемкм объектом в диссертации является система управления,

m п

заданная в области М с к , m > 2, вида

х * f(x,u), . (1)

?де и является сужение» ва отрезок наблюдения tO.Tl элемента [ир(п)~ пространства полиномиальных функций, заданных на R со

п. m р

значениями в R . Обозначим через й : Ы - R - закон наблюдения, ¡йпке, если не оговорено особо, считается, что f и h являются полиномиальными, причем р = 1. Определим векторное пространство

1лр(п,й) » fu е Irip(a) I teg u} $ й; 3 = 1.....п>. Рассматриваются

понятия различимости точек и наблюдаемости для систем без входов. 3 параграфах 1.2 и 1.3 содержится краткий обзор условий наблюдаемости для линейных и гладких систем без входов.

Отметим, что нумерация утверждений и определений в автореферате отличается от нумерации в тексте диссертация. В § 1.4 обсуждается теорема Иноуэ о наблюдаемости систом без входов (Шогзуе Y., -J. Math. Anal, and Appllc., 1977 , 60, N1, p. 236247). Основной результат § Г. 4 содержит другое необходимое условие наблюдаемости, которое легче проверить, чем условие Иноуэ. Доказана

in m

Теорема I. Пусть И = П и в (1) векторное иода i яз зависит

S

от входов. Обозначим через L.h - s- кратную производную Ли по

1 к-*, яагтэвленшо 1 от функции П. Положил НЛх) = (h(x),.,.,b, h(x)).

Пусть Ъ. h(x) не является постоянной функцией. Для кольца

в

полиномов R[?.'0,... определим вес формулой v(v?g) - leg Lfh; s -

m 1

vС1) ~ а. Тогда существует ненулевой полином Q : Н R такой, что

- 6 ~

го m -1

?) если (i,ii) набладаема на R , то оухете Кд,х1 | (Ii - G, iO)} является шъективнш отобрэгшкием;

Z) если Q не является постоянной функцией» то Q имеет вид G(x) q(Hm+1(z)), гдэ q е Rtw0,...,wmJ и

•га • m

v(q) ^ п ¿eg L h - deg LJi

e-0 1 1

Отмечается, что если якобиан det Н'(х) в о, то пара (i,b)

ta

является ненаблюдаемой на открытом но Зарисскому множества и с R . Далее, получены достаточные условия наблюдаемости гладких пар (Г,Ь.), выраженные на языка свойств якобиевой матрица и

фазового портрета система.

В § 1.5 получено сходное .с теоремой I утверждение для аналитических пар (i,h). Оно имеет локальный характер и улучшает ранние результата автора (Автомат, и Телвмех., 1982, iS, с. 9097). Пусть в § 1.5 (i,h) - аналитическая пара без входов, которая задана в окрестности II нуля. Справедлива

а

Теорема 2. Предположим, что нуль пространства С изолирован в

о -1 о

прообразе Н^. ( 1^(0)) для некоторого к > и; индексом с обозначена

комплексифккация. Тогда мокно указать такую окрестность 7 с U

нуля и ненулевую аналитическую функция q, зависящую от к

к

переменных и заданную в некоторой окрестности W нуля в С такие,

что если пара (f,h) наблюдаема в U, то сурепке -1

ry (V (q 5 ¡yV) (0)) шьектавно.

Далее в §1.5 описываются условия наблюдаемости, которые выражаются с помощь» линеаризации по Карлеману, восходящей к работе (Carlen-art Т., Acta Math.« 1932, т.59, N1, р. 63-60).

Пусть Т является сходящимся степенным рядом в окрестности нуля U, где

» Г;П Г Я [¿-1]

tlx) - JJ к. „х ; х х © х; © - кронекерозскоэ

5--1

произведение матриц; íА,- последовательное?), постоянных матриц. Определим систему

•[з] n"3+1 IS+J-1з

Z а х ; s = (2)

jei

с помощью формулы AaJ = А,3 ® I + Im ® у Система (2)

называется линеаризацией по Карлеману п- го порядка для системы х

= í(x). Матрицу в правой части (2) обозначим через А . а вектор

[п] т и

(х,...,х ) через х{п). Пусть k(m,n) = га + ..,+ ш ; 1>(М) = k(m,l)

+ ...+ k(m,H). Определим отображение ФГ1(х) = х,п),

к (т.п.) . Т

фа : U - R и систему *п - А^, где *п « <*п1.....wm) ;

(гоэ )

€ R . Возьмем закон наблюдения h.(x) = Сх и определим

lc(m.n) 1

отображение С : R -Re помощью формулы C(nJwn = Cwn1

Пусть K(An,C(n)) - матрица Калмана пары (An,C(ní). Доказана

Теорема 3. Предположим, что пара (Г,Ю наблюдаема в некоторой

о

окрестпоста И, с и точки х - нуля векторного поля Í. Тогда

существует номер Н такой, что полиномиальное отображение

гш)

(К(Ап,С{п)) . фа, 3 = 1,...,М) : V - R иньективно в некоторой окрестности 7 с U точки х°.

В параграфах 1.6 и 1.7 приводятся определения наблюдаемости по Герману- Крэнеру для гладких систем со входами и содержится краткий обзор известных результатов. В § 1.8 обсуждаются применения иммерсируемости систем и линеаризации систем к анализу наблюдаемости. Опираясь на теорему Бартошевича (Bartosiewicz Z., в "Theory and Applications of Nonlinear Control Systems", Elsevier Sei. Publish., North Holland, 1986, p. 293- 299) получено необходимое условие наблюдаемости гладких пар (í,h), которые

иммерсируются в полиномиальные пары.

■ В параграфах 1.9 я 1.10 даш формулировки теорем Оусснвка об универсальных входах (Sussmarsn Н., Matlif.rn. Syst. Theory, 1S79, 12, p.371-393). Обозначим через kg- минимальный номер такой, что Tnp(n»ks) удовлетворяет полиномиальному варианту теоремы Сусемана об универсальных входах. ООсуадаэтся связь структурных свойств множества универсальных полиномиальных входов со степенью ^ универсальных полиномиальных входов. В параграфах I.II и I.I2 решается задача об оценке степени kg(f,li) универсальных полиномиальных входов для пары (f,h).

Для изложения дальнейшего определим ряд объектов:

1) VectOn.d, .dg) (Vec^^dn,^ ,dg)) - векторное пространство полиномиальных (однородных полиномиальных) векторных полей на В степени cleg ^ d1 по переменным х и deg $ dg по переменным u (deg = d1 по переменным х и deg = cL, по переменным и соответственно).

2) С1(т,г)- векторное пространство полиномиальных законов наблюдения h; 1 $ deg ti i г.

Пусть i(f,h)~ относительная степень пары (f,h). Основной результат параграфов I.II и I.I2 заключается в следующем утверждении.

Теореме 4. 1) Пусть п - 1. Тогда для любых натуральных чисел d1 £ 2, dg > 1 и 1 ? 1 существует открытое, плотное и полуалгебраическое множество Г, с Vect(m,d1,dg) • 0L(m,l) такое, что если (f,h) е Г.,, то kg(f,h) < 2m - I(f,h) -1.2) Пусть n » 1

О них

и f(x, u) = Г (х) + BQu, где В0 € й - постоянная матрица. Тогда для любых натуральных чисел d1 » 2 и 1 > 1 существует открытое,

■ - пап

плотное и полуалгебраическое множество Г_ с Vect(m,d.,0) « R о

ОЬ(шД) троек (f »B0,h) такое, что если (Г,В0,1х) с Г2, то kgd.h) ^ 2т - 1(Г,П) - 1, где f(x,u) = t (х) + BQu.

В диссертации изучаются различные ситуации, когда можно

уточнить оценку для Ц(I,h). В частности, выясняется, когда kg(ï,h) < ш - i(í,h). Кроме того, отдельно рассматривается случай

ДВУМЭРНОЙ СИСТеШ С ОДНИМ ВХОДОМ И ОДНЗМ выходом.

В § I.I3 изучаются структурные свойства множеств

1) Ob(m,(l,r) = í (i,h) € Vect(m,d,0) » Ob(m.r) | (f,h)

m

наблюдаема на R >;

m

2) Ob<m,d,îi) = (í € Vect(m,d,0) | (í,h) наблюдаема на R >;

3) Ob^On.d.h) = íf € 7ес1^оа(т,й,0) | (í,h) наблюдаема на R }; в 2) и 3) h € 0Ь(а,г).

Показано, что 1) Ob(ro,d,h) не является, вообще говоря, открытым в Vect(a,d,ü); 2) ObOa.d.r); Ob(m,d,h); Qb^(m,ü,!i) являются полуалгебраическими в пространствах 7ect(m,d,0) * OL(m,r); Vect(m,d,0); Vecthom(ra,d,0) соответственно.

Пусть число выходов р > 1 и закон наблюдения является линейным, причем считаем, что С - IX 0|, I - еданичная (р«р)~

р га

матрица. Пусть Н- полуалгебраическое подмножество в R ; положим

m

dim M = таз dim N; N- гладкое многообразие в R . Определим числа Нем

ц(т,р,й) = codbn Ob(m,d,ii) = dim Vect(m,d,0) - dim Qb(ra,d,h); v(m,p,d) = codim Ob^^Orwd.li) = dim Vecthon(m,d,0) - dim Obhom(m,d,h).

Показано, что

H(m, p, d) S р/ p+d ; v<m. P, d) « P^œ-p+d-1 •* v(m, m - 1, d) > 1, если 2«мв-1.

Рассмотрим ситуацию, когда пара (ud, h) наблюдаема, где cod е Yecthon¡{m,d,0), Щх) = Сх, и существует окрестность U(t¿d) в

Л* <v

VectHom(m,d,0) такая, что (wd, h) наблюдаема для любого ud е U(u>d>. Тогда справедливо

Предложение I. Пара (f, h), где í вида

й-1

i = f(x) = W0 + + wd(x).

является наблюдаемой для любых е Vecthoia(m,i,a), 1 = 1,...,й -

ш

1, и любого вектора ш0 с R ,

Далее в §1. 13 определение наблюдаемости модифицируется так, чтобы появилась устойчивость свойства наблюдаемости к малым параметрическим возмущениям f и h.

Предположим, что f € Vecthom(m,d.,0), й > 2; h(x) = Сх, dim Сх

ni т-1

= р ^ 1. Введем б рассмотрение отображение к : К - 0 - S , которое действует по формуле я(х) = x/Jx|; |х|- евклидова норма в

m &-1

R и векторное поле Vf(x) = i(x) /¡zj . При зтом считаем, что

m-1 т

сфера S естественно вложена в пространство R .

Определение I. Пара (i,h) называется строго наблюдаемой,

1 2 а

если из того, что точки х , х различш, причем х ? Ot а = 1¿2,

1 г

вытекает, что для любого Я ^ 0 выполнено: С<р(х, t) js XC<p(x, t).

Ш-1

Определение Z. Пара (f,h) называется строго S

12 з

наблюдаемой, если из того, что точки х , х различш, причем х г

1

О, s = 1,2, вытекает, что для любого Я и Q выполнено: Сф(тс(х ), t) 2

ji Шр(1С(х ), t).

Отмечается, что если пара (f,h) строго наблюдаема, то пара

m m-1

(I,h) одновременно наблюдаема на В и строго S - наблюдаема. Смысл определений I и 2 заключается в теоремах 5 и 6.

m-1

Теорема 5. Вели пара (f,h) строго S - наблюдаема, то существует окрестность U, с Vect. т(т,й,0) векторного поля f

rv «V tTl— 1

такая, что если I е Uf, то (I, Л) строго S - наблюдаема.

Теорема 6. Предположим, что векторное поле f € Vecthom(m, й,0), причем V. имеет конечное число состояний равновесия и

1 О m-1

замкнутых фазовых кривых. Пусть паса (J,h ) строго S о

наблюдаема, h е 0Ь(ш,1). Тогда в 0Ь(ш,1) найдется окрестность

о о

U(h } закона наблюдения h такая, что любая папа ifстрого m-1 о

5 - наблюдаема, если h € UCh ).

В 51.14' изучается устойчивость свойства наблюдаемости систем

со входами. Рассмотрим систему

х = Г(х) + Ви, (3)

где i(x) » ü>0 + Ax + ü2(x) +• ... + u>d(x)- разложение в сумму

однородных полиномиальных векторных полей, d > 2; uq- постоянней

вектор; В~ постоянная (га-п)- матрица со столбцами Ъ1.....Ьд; u е

п.

Н .

Прядполояим, что закон наблюдения шеет вид h(x) = Сх, причем число выходов р » 1. Обозначим через G(i,B,G) пространство наблюдений систем» (3) и закона наблюдения h, а через О^м^.В.С)-подпростраяство в 0(wd,B,C), порожденное всеми линейными формами,

ЮП щр

содержащимся в 0(ud,BfC). Наделил пространство R * R гор {(В,С)) естественной топологией. Опишем теперь следующую теорему, в которой усиливается одно утверждение т работа (Bormard В., Math, or Contr., Sign, and Syst.. 19Э1. 4, K2„ p.139-160).

Теорема 7. Возьмем пару- систему (3) с законом наблюдения !г(х) = Сх. 1) Пусть dim 0 (ш ,В,С) - гз. Тогда существует

— m

окрестность W тройка (ий,В,С) в пространстве Vect(m, d,Q) * Е «

Elp л» л» л»

R такая, что дня каждой тройки (u>d,B,G) € W, любых однородных полиномиальных векторных полей $ Veothora(irs,l,0) , i = 1,..., d

га

- 1 и любого вектора u0 е К пара

4-1

х = I(x) + Ви = ы0 + 2 wö(x) + + Ей Н(х) = сх

наблюдаема. 2) Множество наблюдаемых трозк (o>d,B,C) является плотным и яшуалгебраическим подаюжествсм в Vect (m»ö,0) * R

Kip

x r .

- гг -

Параграф 1.15 посвлкен описанию условий наблюдаемости по отношению к классу входов. Лада

Определение 3. Пусть П- подмножество в 1пр(п). Пара (Г,Ь). где Г зависит от входов, называется О|£0 равномерно наблюдаемой в области и, если для любого иф с О пара (1,1:0 с фиксированным входом иА! £0 тз является наблюдаемой в и.

Материал параграфов 1.П, 1.12 и 1.14 позволяет описать ряд условий равномерной наблюдаемости, которые содержатся в § 1.15.

3

Обозначим через 3 и(0> а- струю полиномиального входа иШ, вычисленную в нуле. Пусть 1(Г,В,С)- относительная степень Г из (3) и Щх) = Сх.

Теорема 8. 1) Суцествует открытое, плотное и

ггл т

долуаягебраическое множество Г с Уес1(ш,й,0) * Й * В троек {(Г,3,С)) такое, что если (Г,В,С) е Г, то можно найти открытое, плотное и полуалгебраическое множество Я, = 1пр(п, 2т - 3), для которого соответствующая система (3) с Мх) = Сх I [о,тз~ равномерно наблюдаема.

2) Пусть (Г,В,С) с Г и

* к

. О = { и е 1пр(п) { существует и с О, такой, что 3 и(0) = к * 1 3 и (0), к = 2т - 3 >.

Тогда (Г.В.С) 0|[ОТ1- равномерно наблюдаема.

Опишем еще одно утверждение.

о 1

Предложение 2. Пусть Г(х,и) « Г (х) + I (х)и, причем выполнены следувдие условия:

1) для любого постоянного входа пара (Г,Ь) наблюдаема;

2) Кд<1, Ь) = 1; .

3) существует квазиодаородное преобразование

х * лг, (4)

3 . 5

* 1 " ю

где л- диагональная матрица с элементами К на главной

диагонали -л все ,1 > О, полином %(Х) и целое число <1 > 1 такие, что

О Л О 1 «11

1 (Лх) - X А1 (х): 1 (лх) = \ лг (х);

Ь(Лх) - Х(л)Ь(х)

г

Тогдв найдется непустое множество П с 1пр{1,1) - И , имеющее следующие свойства:

1) (Г,Ю- П|£0>г]- равномерно наблюдаемая пара;

2) если и € СП- дополнению к П, то (Х,Ю не является и|[0>Т]-наблвдаемой;

3) СП состоит из полупрямых вида < (и0, и,) ¡и, >0 или < 0; и0~ фиксировано }, которые изолированы друг от друга в { гц > 0 ) или в { < 0 > соответственно.

В приложении к первой главе описан ряд утверждений о наблюдаемости уравнений Эйлера динашош твердого тела при наличии управления, использующие полученные автором условия наблюдаемости.

В главе 2 построена теория наблюдаемости полиномиальных и аналитических систем без входов для случая дискретных наблюдений.

В § 2.1 обсуждается определение ?- наблюдаемости (наблюдаемости на основе программы наблюдений Р = ("Ц,..-Д^.))» которое было введено в книге (Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972). Ниже будем считать, что ■Ц = 0 в программе наблюдений Р. Программы наблюдений, для которых выполняется условие Р- наблюдаемости, будем называть хорошими. Обозначим через Ргшк(и,Г,П) множество хороших программ наблюдений ^Ъ. ), г € [0,Т], з - 1,...,к, для пары (Х.Ь), которая

1 к 3 т

рассматривается в области 1) с в. , Пусть ф(хД)- решение уравнения х -= Г (7.) о начальным условием ф(х,0) = х.

В § 2.2 приводится краткий обзор существующих результатов. В § 2.3 содержится теорема о конечном числе замеров.

Теорема 9. Предположим, что в ограниченной области и пара

- и -

(f,h) является аналитичьской и наблюдаемой. Возьмем число Т > 0, ? < и замкнутую область « U гак, чтобы ф(х, [0,Т]) с и, если % <= U,. Пусть последовательность it } е 10,Т1 имеет попарно

1 ж*

различные элементы. Тогда существует номер к такой, что naps (f,h)

Р- наблюдаема в области U. с Р = (t,.....t, ).

1 1

В параграфах 2.4- 2.6 представлена локальная теория

построения хороших программ наблюдений. Разложим выход се а а а, а

h{<P(x,t>)«2 g«x.t>x ; х - х, (5)

|сЦ=о

а ® (ец....,^); |а| = а, + ... + а^

Определим множества: 1) Q = ip/q | р $ q; p,q = 1,2,...} U

(0); 2> Л = {a e й™ ) g(a,t) к О в (5)>.

Определение 4. Будем говорить, что Л имеет конечную систему 1 к

образующих П (р ____) с коэффициентами из Q, если для любого

a € Л существуют числа а,, ....а^, с Q такие, что a = а^р1 + ... +а}£Рк.

Показано, что 1) Л имеет конечную систему образувдих Q тогда

1 г

к только тогда, когда существуют о.....о е л такие, что конус,

1 г

натянутый на a ,...,о , содержит А; 2) если пара (Г,1г) наблвдаема в некоторой окрестности нуля, то л даеет конечную систему образующих. Далее, доказана

Теорема 10. Пусть пара (I,h) наблвдаема в некоторой окрестности нуля и 0- конечная система образующих множества л. Предположим также, что функции gia.t), a е О, линейно независимы. Возьмем число г > 0 таким, что cp(x,t) определено при х € U. Тогда для любой программы наблюдений Р из множества

с (t,.....tk) € to,г] ! det |g(a,te>| * 0; a с О; s * 1,

= card 0 ) (6)

существует окрестность нуля ft(0,P) такая, что пара (f,h) Р-наблвдаема на W(0,P}.

Далее, в работе описывается класс nsp "система- закон наблюдения", которые не являются наблвдвемши в любой окрестности нуля, но, тем кз менее, для ют. существует конечная системе образующих. Предположим, что пара (f,h) наблюдаема па множестве вида U П Ort, где U- окрестность пуля; Ort- объединение некоторого

m

числа ортантов R . В этой ситуации приводится обобщение теоремы 10.

Теорема 10 применяется также и к простейшему случаю вырождения матрицы Калмана, построенной для линеаризованной в нуле пары (f,h), причем Г(0) =• 0. Положим в (3) ш0 = 0; А = |а138; В 0; h(x) = Сх; d » 2 и коранг матрицы Каймана, составленной для пэры <А,С), равен 1. Не теряя общности, можно считать, что &li+1 =

1; а13 - о, 3/1+1, 1 = 1.....го - 2; ап_1и = 0; С = (10...0).

Справедлива

1

Теорема II. Пусть R * 7eothom(m,2,0) - векторное пространство пар (А, ш2), где А имеет специальный вид, указанный выше. Тогда существует открытое, плотное и полуалгебраическое множество S с R * 7ecthom(ra,2,0) такое, что если (А, € S, то для соответствующей пары (f,h.) имеет место:

1> если Се }- набор стандартных ортов R , то множество

а s m

2 = (е | 1 i в - 1) и Св + е | 1 «s а < т) является конечной системой образующих для Л;

2) функции ig(a,t) [ а с S) линейно независимы.

Пусть г > 0 - такое число, что все решения ф(х,г) определены;.

га

здесь х с и- некоторой окрестности нуля в R . Возьмем программу Р

Sm-1

€ {(t1 ,...,t2m_1) е iO,rJ | dst |g(a,t )| Ф 0; а e 2; s = 1,

m

...,2m - 1 >. Тогда существует окрестность W(0,P) нуля в R , в которой пара (r,h.) указанного вида, удовлетворяющая условию (А, ü>2) е 3, является Р- наблюдаемой.

Далее, изучается ситуация, в которой условия Р-наблюдаемости

теоремы 10 являются грубыми.

В параграфе 2.7 обсуждается вопрос о вычислении фуикцШ! g(G,x), фигурирующих в описании хороши нрогра?й* наблюдений. В параграфе 2.8 описываются метода построения множества хороших программ наблюдений для квазиоднородшх пслшюмиальных векторных полей.

Теорема 12. 1) Предположим, что для пары (f,h) существуют преобразование АЦ,... ,;Jm) вида (4), полином и целое d > 1 такие, что

Г(А<31.....3П)Х) = X A(j,,...,jm)í(x)

b(A(dt.....Jjx) = x(X)h(x) (?)

k1 m ю k

Тогда K+ - Prm^dí ,t,h)~ конус в B+. 2) Предположим также, что решения 1 неограниченно продолжаются на Ш,со). Кроме того,

m

пусть для некоторого номера к, окрестности U нуля в R и конуса

ш

Con. с к множество Рпг^,(U Л Con,r,li) ¿ 0. Тогда Ргга^Ш П Con.í.h) = Prm^Con.f.h)

Далее, предлагается использовать теорему 12 для получения глобальных условий Р- наблюдаемости. В основе подхода лежит применение идеи гомогенизации неоднородного векторного поля, теоремы 12 и локальных условий, полученных выше. Приведем два результата, которые выводятся из этих соображений. Рассмотрим систему х = Р(х) вида

xs = ха+1, з = 1,... ,т - 1, (8)

. га

Xm=L y-h(X)

* о-I

Пара &) при PsCy) — consts, s ---- 2,...,m, имеет нормальную форму наблюдателя.

. Теорема 13. Предположим, что решения системы (8.) неограниченно продолжаются на !0,®). Тогдз

Prmm(R ,F,h) = {(tlV...,tm) е R+' i ti * t3, если i * .1; 1,3 =

i 9 • « • f П1J ■

Теорема 14. Предположим, что 1} пара if ,h) удовлетворяет условию (?) с = 0; Js > 0 при в = 2,...,т; Л 2> 1; 2) пэра (f,h) удовлетворяет условиям теоремы 10 с системой образующих 2, саг! 2 = к, и с множеством линейно независимых функций ig(a,t)}, a е 2; 3) решения неограниченно продолжаются на полуось СО,»). Возьмем программу наблюдений Р из множества, определенного в (6), для

го

некоторой окрестности U(OrP) точки нуль в Н и числа г > 0, где Р

1с а

€ WiTl . Тогда пара (i,h) Р- наблюдаема на пространства R .

В § 2.9 обсуждается еще один подход к получению локальных условий Р- наблюдаемости, который основан на формуле обращения выхода полиномиальной пары (1,й). Эта формула имеет следующий вид

n в

n«p<x,t)) * с 2У t /3» +

з=0

со .

и+З 3

+ £P,<Y)t /[(q(Y)) (m + 3)J]}| , (.9)

3=1 3

где У = (y0,...,ym). В (9) р3, j = 1 ,...,£»; q- некоторые полиномы. Ряд (' 9) имеет в нулях знаменателя устранимые особенности. В основе вывода формулы С 9) лежат сообраяевия, с помощью которых доказывается теорема I. Справедлива

Теорема 15. Предположим, что пара (f,h) локально наблюдаема на множестве W * { х е R | <}(НтИ(х)) * О >. Зафиксируем произвольную точку z° е Я и пусть Y° = Hm+1 (х°). Возьмем произвольные окрестности U(x0)) с и, V(Y°) точек х°, У° соответственно так, чтобы Ни+1(и(х0)) с V(Y°). Пусть г > 0 является таким, что решения <р(х,г) существуют для всех точек х Щх°). Тогда существует открытое и плотное подмножество 3 с

т+1

to,г] такое, что для кагдой Р € S существует окрестность lf(x°,P) точки х°, на которой пара (Г,И) является Р- наблюдаемой.

Для кввкподнородных пэр <Г,й)5 удовлетворяющих (?)» приводится глобальный аналог теоремы 12, Далее онисываьтся формула обращения выхода системы в локальной аналитической ситуации. Ока имеет вид (9), в которой т + 1 следует заменить на число к из теоремы 2. Используя эту формулу обращения выхода, приходим к локальному утверждению о' Р- наблюдаемости аналитических пар, которое аналогично теореме 15.

В заключение, приводятся два утверждения о полиномиальных парэх (Г,Ю, которые- можно глобально линеаризовать с помощью мономиальных отобракений. Описываются условия Р- наблюдаемости для таких пар, использующие линейную теорию наблюдаемости.

Третья глава диссертации посвящена разработке методов построения наблюдателей, в основном, для полиномиальных пар "система- закон наблюдения". В § 3.1 обсуждаются различные определения наблюдателей. Краткий обзор теории наблюдателей для линейных к билинейных систем содержится в § 3.2. В § 3.3 даны определения нормальных форм наблюдаемости и нормальных форм наблюдателя и приведен краткий обзор условий, гарантирущих приведение данной гладкой пары (1,Ь) к нормальным формам. Таз кэ получен ряд утверждений о приведении полиномиальной пары if.ii) к нормальным формам наблюдаемости и нормальным формам наблюдателя.

В § 3.4 рассматривается задача оценивания состояния системы без входов, имеющей перше интегралы, с помощью приведения к специальному классу нормальных форм. В ной предполагается, что закон наблюдения имеет вид Ь(х) = и:(х) - (х,,...,хр)т. Пусть и-ияввриантная область системы; р- полиномиальный первый интеграл.

Определим следующие множества:

■ 1) Ь(х) = С1 и тар(хД);

-1

2) К(а, р, П) = { Ь(х) I х е и П р (а) };

Основным в данном параграфе является

Определение 5. Будем говорить, что четверка (Г, р, и)

1 2 } 2

имеет свойство различения слоев, если из того, что а т4 а : а , а

1 г

с р(11), вытекает, что К(а , р, и> П К(а , р, II) = 0.

Предложение 3. 1) Пусть первый интеграл Г имеет следующий вид

РЦ.....* Р1Хр> + Рг(*р+1.....Хю}

2) Поедположим, что полином р_ имеет глобальный экстремум,

г о о который достигается в некоторой точке (хр+1.....хт).

3) Предположим также, что каждая фазовая кривая, содержащаяся

о

в множестве и, пересекает плоскость П = {хв = х8; а = р + 1,..., ш>.

* *

4) Наконец, пусть для кээдой точки (х ,.... х ) такой, что •о » * о о 1 р

точка X = (х...... х , х х ) е и, не существует фазовой

1 р р+1*о т

кривой, проходящей через X , которая лежит в множестве * о

{ х, = х : а — 1, — »р; х„ * х : а = р + 1,..., ш; ) П Н.

■3 3 & 3

Тогда четверка (Г, я, р, Щ имеет свойство различения слоев. Допустим теперь, что задача определения слоя, соответствующего данному выхода', решена. Тогда мы приходим к задаче построения наблюдателя для пары где й = №»р).

Теперь для пары (£,§) можно воспользоваться условиями локального или глобального приведения к нормальной форме наблюдателя. Б результате получаем, что .оценивание состояния для пары производится с помощью построения параметрического семейства наблюдателей типа Люенбергера, которые параметризованы с помощью точек а € р <и>-

В § 3.5 построены наблюдатели для однородных полиномиальных векторных полей, изучаются их свойства и обобщения. Вначале рассматривается задача построения наблюдателя для векторного поля 1 е Уесгкот(ш,(1,0), у которого степень й нечетна. Закон наблюдения берется линейным: у -• 1г(х) = Сх; р > 1.

Предоолоккм, что существует полокительво определенная симметрическая матрица ? такая, что имеют место следующий услошя:

а) Р0Т0 c'XGP;

б) для конуса

И m Т

Ооп « { (х,е) € R X R I е РШх + е) - Г(х)> > 0 )

т

выполняются следующие включения

m и

Соп+ П СКег С х R > С СО) X R (10)

Соп+ П (Вт х Кег СР> с Rm х (0>

Теорема 16. Пусть для векторного шля f с Vecthom(rn,d,0)

нечетной степени d и закона наблюдения h выполнены условия а) и

б). Тогда существует ае > О такое, что система

z » I(z) - эеС |y|d'1 + |РС (Cz - y)f " >PC (Cz - y) (11)

является глобальным наблюдателем для пары (f,h).

Далее описывается один класс систем, удовлетворяющих условиям

m

теоремы 16. Пусть r(x,w) = (g(x,w)Ax, B(w)); h(x) = x; x e R , w €

г

R . Здесь А- кососимметрическая матрица размерности (m » m); g(x,w)~ полином четной степени d £ 2; В- однородное полиномиальное

ta .

векторное поле степени d + 1. Положим е = (е , е ); е с R , ее г т

R . Предположим также, что ew(B(w + евд) - B(w)) < 0 при ew * О. Тогда выполнены условия теоремы 16 при Р = Im+r.

Показана, что утверждение теоремы 16 является двойственным к результату работы ( Andrelnl A., Bacciotti A., Steianl G., Systems and Control Letters, 1988, 10, N3, p. 251-266).

Затем изучается вопрос о необходимости условия (10) в линейном случав. Далее отмечаются следующие свойства построенного в теореме 16 наблюдателя.

1. Динамике наблюдателя (11) является устойчивой относительно малых возмущений параметра ае и малых возмущений коэффициентов векторного поля I, не меняющих свойства однородности.

2. Конструкция наблюдателя в txm \ -О обладав г свойством неишщиальносгй.

о о

3. Ошибка е(зс ,е , t) плохо сходится к нулю в малой

m m

окрестности ТОЧКИ (0,0) € R X R .

В последней части данного параграфа описывается обобщение конструкции (11) на неоднородный случай.

Параграф 3.6 посвящен применению мономиэлышх отображений в задаче о построении наблюдателей. В нем реализуется программа построения наблюдателей для полиномиальных пар "система- закон наблюдения" (i,h), в основе которой лежит идея преобразования ее к более простому виду и используется ф- связанность в .смысле следующего определения.

1

Определение 6. Рассмотрим две С - гладкие пары без входов

m к.

= (i,h) и 2г = (F.g), заданные на пространствах R и R соответственно. Будем говорить, что пары (i.h) и (F,g)- ф-

1 m к

связаны, если существует С - гладкое отображение ф : R -» r , для которого ф'Ш) = Р(ф(х)); в(ф(х)) = h(x).

Предположим, что (i,h)~ полиномиальная пара. Будем выбирать

m

связывающие отобракения из класса мономиальных отображений ф : R к

R , к 2= т, для которых

m -1

р.Сх € R | сагй(ф (ф(х))) * 1 > = 0 (12)

-1

В условии (12) ц- мера Лебега; саг!(ф (w))- число решений уравнения ф(х) = w, и считается, что все компоненты ф1 попарно различны. Условие (12) выделяет подкласс моношальных отображений, которые являются "наиболее близкими" к обратимым, что позволяет более эффективно получать оценки г.

Пусть для некоторого целого к 2 т отображение ф определяет Ф- связанность пары 2, = (f,h) с другой парой £? = (P,g).

Обозначим через решение уравнения w = F(w),

удовлетворяадее начальному условию x(w,0) - w. Допустим, что пара

(F,g) принимает одаш из следующих видов:

1) F(w> - IQw -t- Ft(W), g- линейное; здесь F0~ постоянная матрица; Ft- функция класса гладкости С , которая является суммой

а1 aic

мономов вида •... >wk с вещественными коэффициентами, а все степени et, принадлежат множеству Q = { p/q | р, a е К; р > q } У {0>;

2) (F,g) имеет нормальную форму наблюдателя.

В первом случае мы получаем глобальную линеаризацию закона наблюдения и далее для получения оценки состояния (F,g) можно воспользоваться наблюдателем Тхо, та». (Thau F.Е.,. Intern. J. oi Contr., 1973, 18, N4, p. 471-479); для (F,g) второго типа метода оценки состояния хорошо разработаны. Предположим, что связывающее отображение ф не является диффеоморфизмом. Тогда задача о получении оценок состояния для пары состоит из двух задач:

1) каким образом из оценок состояния пары можно получить оценки состояния пары 2,;

2) какой вид имоют условия связанности пар и Рассмотрим первую задачу. Определим ряд объектов:

m -1

1) множество D^ = ( I £ R | сагсИф (ф(х))) = 1 );

^ m

2) 0,,.... 01, 1 сиг , - его компоненты связности;

3) D = ф(0ф);

4) О(х)- множество оь предельных точек для точки х векторного поля I.

к

Обозначим через тс. . стандартную проекцию пространства R на плоскость (w = С | г П 3...... J >>. Тогда для каждого

X" 1 ш

номера s, 1 ^ s U, mojcho найти проекцию .и биекшш ф ,

1 " ' m 3

составленную из компонент отображения ф, для которых

* 1 Jm a s

-1 8) Теперь можно определить отображение ф , действующее из D в Ii как

-1

Ф (w> = (Фя|0 ) • 3С)

Предположим, что г = К(я,у) задает динамику глобального

о

наблюдателя дня пары ¡3, ж р(у, г , £)- его решение с начальным о А о

условием р(у, е , О) = 2 . Кроме того, пусть Е- полное векторное поле.

Теорема 17. Предположим, что

(яГ - %) П и П(2С> » 0, хек81

-1

либо равно точке {£}, причем С с 1 (0). Далее, пусть найдется

О к

точка % € й такая, что для кеэдого вшсода у (г) кривая

о

, <р(у, з , 16,»)))

к

отделена от множества ^ (В - Ф(Вф)) для некоторых номеров

о

1 $ <...< i £ Ic» либо р(у, а , СО,®)) с D и существует предел -1 шо

Ilm ф (р(у, z , t)) = i при t - га. Здесь 8 5 0- некоторое число,

о

зависящее от начального условия z и выхода y(t). Тогда для любой точки множества

m

S = С х € й | 3 г = г(х) 2= 0 такое, что <р(х, [<с,ю)) с Вф >

выполняется следующее свойство:

5ф(х,ь) - х(t)| - О -1 о

ПРИ t Ю и ±(t) = ф (р(у, Z , t)>.

m ^

(R - 0ф) П U Q(X> - 0,

применение теореш I? упрощается. Например, если к - ю, то ф

Следует отметить, что в случаях, когда:-к - ¡а; дь = В ;

- 24 --1 m

Ф . Если Оф = R и построен глобальный наблюдатель для пары

то в качество S мошо взять пространство К .

Далее приводится одно уточнение теоремы 17 в случае, когда к

= И К F(w,y) «= Bw + Р(у), у- выход.

В конце данного параграфа описываются условия, при которых

и 7L связаны. В частности, показано, что если пара (i,h) имеет * 1 конечную систему образующих, то найдется С - гладкая пара «

(P,g), где g- линейное, такая, что ^ и 2г ф- связаны для

некоторого моношального отображения ф.

В § 3.7 содержится подход к оцениванию состояний нелинейной

системы без входов с помощью линеаркзвции по Карлеману.

Пусть правая часть Г системы задается в некоторой окрестности

ü нуля в виде сходящегося степенного ряда. Закон наблюдения

берется линейным: у •= Сх; С- (р • т)~ матрица. Обозначим через

К(т, п)- размерность линеаризации по Карлеману п- го порядка

векторного поля Г.

Дадим следущее

Определение 7. Аппроксимативным наблюдателем для заданных чисел s > О, Г > О, где е- погрешность; СОД]- интервал наблюдения, назовем систему

an. = 8<aft>y); Zn с ff с R , (13)

Шт.и) R

(где (13)- аналитическая система, определенная в области ff, 0 €

m

Irit(W), у- выход оцениваемой системы), и проекцию ^ : в •» й ,

jcp(x,t) - 1СП(Х(У> 3n, t))I < s, 7С %п(Ю

при t € IO.T) и х с V с U; здесь фазовый поток наблвдателя о

(12),- - его начальное условие, V- область.

Оценка для рэвэния cp(x,t) дается формулой о

*<t> « V t))

Известно, см., например, (Loparo К.А., Blankenship G.L., IEEE

I'rans. Autom. Control, 1978, 23, N4, p. 602-608), что для заданных компактной окрестности V нуля, чисел st > 0, Т > О, таких, \'то Ф(У,Ю,Т]) с и, существует порядок п линеаризации по Карлвману системы с тем свойством, что

max |9(x,t) - я,ехр(Аt)ij> (х)| < е. (14>

xevitcto.ij » n n

Оценка (1^) лежит в основе следующего утверждения.

Прэдлогение 4. Предположим, что для заданной компактной окрестности V нуля, чисел s1 > О, 2 > О, таких, что ip(V,tO,T]) с D, существует номер п, для которого имеет место неравенство (14) с £ = е, и пара (Ап, Сп) является наблюдаемой. Обозначим через а(Т, H(tn,xi)) норму матрицы ехр(1Я), где L- (H(m,n) • N(m,n))- матрица, у которой элементы lil_1 = 1, 1 = 2,..., H(m,xi), а Ес-е остальные равны нулю. Тогда для 1 при х е V существует линейный шпрокскматившй наблюдатель с погрешностью s = е1 + +

а(1,К(ш,п))) и интервалом наблюдения [0,Т1; £ , a, v - константы > 0.

В том ко параграфе показано, как можно уменьшить порядок аппроксимативного наблюдателя.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Доказаны необходимые условия наблюдаемости глобального типа для полиномиальных пар "система без входов- закон наблюдения" и локального типа для аналитических пар "система без входов- закон наблюдения".

2. Разработан метод оценивания степени универсального полиномиального входа из полиномиального варианта теоремы Суссмана об универсальных входах.

3. йсслодуются алгебраические и геометрические свойства множества наблюдаемых полиномиальных пар "система- закон

наблюдения" к пространстве все* по.'пэюшгвдьншс пер огренигеенной степени, Получеки достаточшз условия равномерной наблюдаемости полиномиальных пар.

4. Получена теорема о конечном числе замеров. Разработана теория локальной Р- наблюдаемости, основаннвя на анализе тейлоровского разложения выхода по степеням векторов состояний аналитической пары "система без входов- закон наблюдения".

5. Разработаны метода описания множества хороших программ наблюдений для квазиоднородных полиномиальных пар "система без входое- закон наблюдения". Описывается формула обращения выхода полиномиальной (аналитической) парт "системе- закон наблюдения" для случая отсутствия входов и на ее' основа формулируются достаточные условия локальной и глобальной Р- наблюдаемости.

6. Для полиномиальных пар "система- закон наблюдения" приводится ряд условий приведения к нормальным фэрмам наблюдаемости и наблюдателя. Дня системы, имавдей полиномиальный первый интеграл, описывается подход к оцениванию состояния с помощью использования свойства различимости поверхностей уровня.

7. Разработана конструкция глобального наблюдателя для однородных полиномиальных векторных полей нечетной степени.

8. Для полиномиальных пар "система без входов- закон наблюдения" развит подход к оцениванию состояний, в котором используется моношальные отображения для преобразования этих пар к более простому виду. Описан метод оценивания состояния аналитической пары "система без входов- закон наблюдения", использующий линеаризацию по Карломану.

СПИСОК ОПУБЯИКОВАШЩ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Старков К.Е. Наблюдаемость нелинейных систем ка основе программ наблюдений. Материалы 10 Всесоюзного совещания по проблемам управления. М.: Наука, {986, 1, с. 90-91

2. Старков К.Е. Анализ наблюдаемости одного класса нелинейных систем на основе программ наблюдений. Автоматика и телемеханика, 1987, N7, с. 72-81

3. Старков К.Е. О наблюдаемости полиномиальных систем на основе программ наблюдений. Автоматика и телемеханика, 1988, N10, с. 68-76

4. Старков К.Е. О Р- наблюдаемости шлиномиальных систем Материалы Всесоюзного семинара "Динамика нелинейных процессов управления". М.: Наука, 1987, с. 60

5. Старков К.Е. О выборе замеров в внроаденных задачах наблюдения. Доклада АН СССР, 1388, 301, КЗ, с. 551-564

6. Старков К.Е. Наблюдаемость и проблема существования наблюдателей. Материалы 11 Всесоюзного совещания по проблемам управления. М.: Наука, 193Э, 1, с. 22-23

7. Старков К.Е. Об одном глобальном свойстве пространства наблюдений. Доклада АН СССР, 1989, 308, N1, с. 50-52

8. Старков К.Е. О построении наблюдателей для полиномиальных систем. Автоматика а телемеханика, 1991, N2, с. 64-73

9. Старков К.Е. Наблюдаемость, оценивание состояний и линеаризация со Карлеману. Автоматика и телемеханика, 1991, N11, с. 64-73

10. Старков К.Е. Анализ наблюдаемости полиномиальных и аналитических систем и его приложения. Автоматика и телемеханика, 1992, N10, с. 46-54

11. Старков К.Е. Построение программ наблюдений для полиномиальных систем: вовне результаты. Автоматика и

телемеханика, 1933, KEt с. 91-100

12. Старков K.E. Наблюдатели да полиномиальних систем: алгебраические метода построения. Автоматика и телемеханика, 1933, N12, с. 43-53

13. Старков К. Е. Алгебраический аспект свойства наблвдаемости. Автоматика и телемеханика, 19Э4, III2, с. 59-69

14. Starkov K.E. Observers for polynomial systems and Pham mappings. Proc. Internat. Conf. "Kathemat. Optimlerungth. und Anwend.", Eisernen, DDR, 1989, p. 227-230

15. Starkov K.E. Construction of observation programs for polynomial systems, Proc. Internat. Conf. on Syst. Sei., Wroclaw, Poland, 1992, p. 157-158

16. Starkov X.B. Observability of polynomial systems with Inputs. Proc. 2nd Europ. Contr. Conf., Groningen, Holland, 1993, 3, p. 1201-1203

17. Starkov K.E. Observers for polynomial vector fields of odd degree. Proc. 16 th. EPIP Conf. on Syst. Model, and Optimiz., beet. Kot, In Contr. and Inform. Sei., Springer Verlag, 1994, 197, p. 475-478

18. Starkov K.E. Inouye observability criteria: new results and their applications. Proc. 1st Asian Contr. Conf., Tokyo, Japan, 1994