Полная условная управляемость и полная наблюдаемость линейных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

О

Раецкая Елена Владимировна

ПОЛНАЯ УСЛОВНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ И ПОЛНАЯ НАБЛЮДАЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж, 2004 г.

Работа выполнена в Воронежской государственной лесотехнической академии

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Курина Галина Алексеевна

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Дмитриев Михаил Геннадьевич,

Ведущая организация - Тамбовский государственный университет

Защита состоится 16 ноября 2004 г. в 15 часов 40 минут в главном корпусе на заседании диссертационного совета К 212.038.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл. 1, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан 15 октября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, профессор Стрыгин Вадим Васильевич

доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

Управляемость и наблюдаемость относятся к базовым свойствам управляемых объектов. Возникновение математических постановок проблем управляемости и наблюдаемости связывают с именем Р. Калмана (1961 г.). Применительно к системе вида

им было описано условие (критерий) полной управляемости

rank(D BD..... Bk~1D) = k,

(4)

обеспечивающее для любой пары точек а¡,а2 из Л существование такого управления и(0, определенного на некотором промежутке [0,Т], которое переводит точку а/ в «2- Это значит, что у системы (1) с этим выбранным управлением существует траектория с началом в точке и

окончанием в точке то есть

Анализу управляемости посвящены монографии Красовского Н.Н., Попова В.М., Ли Э.Б. и Маркуса Л.М, Д'Анжело Г., Андреева Ю.Н., Габасова Р.Ф. и Кирилловой Ф.М., Гурмана В.И., Квакернаака X. и Сивана Р., Бояринцева Ю.Е., а также многочисленные работы разных авторов, например, Бутениной Н.Н., Дмитриева М.Г., Тонкова Е.Л. Внимание

исследователей начали привлекать и системы вида

Ax = Bx+Du,

(6)

возникающие при моделировании процессов в экономике (уравнение межотраслевого баланса), в электрических цепях, в химической кинетике, в динамике биологических популяций и т. д.. Анализом полной управляемости таких систем занимались, например, Campbeil S.L., Cobb J.D., Lewis F.L., Pandoffi L., Komboulis F.N., Mertzios B.G., Чистяков В.Ф., Щеглова А.А., Копейкина Т. Б., Асмыкович И.К., Марченко В.М.

Основной случай, рассматривавшийся в работах этих авторов, предполагает квадратные матрицы А и В и регулярный пучок А — ХВ.При анализе таких систем игнорировалось и наличие ограничений на управляющие параметры («рули»).

Для приложений важными оказываются системы с малым параметром

вида

где Л(е) - ряд по целым положительным степеням S. Достаточно упомянуть работы таких авторов, как

Хапаев М.М., Цехан О.Б.,

БИБЛИОТЕКА ,

STX&S

P., Haddad А.,

O'Malley R.E.. Здесь рассматривается случай обратимого при всех достаточно малых s^O п у ч л и регулярного пучка А(е) — ХВ(б), и сопоставляется полная управляемость невозмущенной (s = 0) и возмущенной систем.

Задача полной наблюдаемости динамической системы

где х е R^, F(t)e.Rs, te[0,T], состоит в следующем. Известно, что в результате реализованного неизвестного начального состояния происходит переходный процесс системы (12). Состояние системы x(t) недоступно непосредственному измерению, в распоряжении наблюдателя имеется лишь выходная функция F(t). Система (12) полностью наблюдаема, если значение по функции определяется

однозначно. Вопросы полной наблюдаемости линейных стационарных систем изучались в упомянутых выше монографиях, в работах Асмыковича И.К. и Марченко В.М., Копейкиной Т.Б. и Цехан О.Б., Щегловой А.А., Campbell S.L., Cobb J.D., Koumboulis F.N. и Mertzios B.G., Yip E.L. и Sincovec R.F., Paraskevopoulos P.N. и др.. Как правило, рассматривался

случай и регулярного пучка Изучалась и полная

наблюдаемость систем, возмущенных с помощью малого параметра (Копейкина Т.Б., Цехан О.Б.).

Однако, для отмеченных задач достигнутые результаты охватывают далеко не все важные для приложений ситуации. Например, работы по развитию критерия Калмана об управляемости, как о существовании соответствующих управлений, не связывались, как правило, с вопросом о возможности построения соответствующих управлений. Для дескрипторных систем вида (6) и (8) ранее не рассматривался случай нерегулярного пучка. Для задач наблюдения не ставился вопрос определения состояния системы в любой момент времени

Ликвидация подобных пробелов является достаточно актуальной задачей.

Цель работы

Настоящая работа посвящена распространению отмеченного круга проблем на более широкие классы задач: задачу управляемости с дополнительными краевыми условиями на функцию управления, задачу наблюдаемости с матричными коэффициентами произвольной размерности, построение функций состояния систем и управляющих функций для невозмущенных и возмущенных с помощью малого параметра систем, исследование поведения этих функций при стремлении параметра к нулю.

Методика исследования

Общие методы анализа, в частности, методы каскадного расщепления пространств на подпространства, теории дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми. Наиболее важными являются следующие:

1. Введено понятие полной условной управляемости динамической системы для случая дополнительных краевых условий на функцию управления.

2. Введено понятие определяющего элемента обратной связи системы управления, знания которого достаточно для построения функций состояния и управления.

3. Получен новый по форме критерий полной управляемости (полной условной управляемости) для линейной стационарной системы управления.

4. Получен новый критерий полной наблюдаемости для линейной стационарной системы наблюдения.

5. Расширено понятие относительной наблюдаемости системы. Получен соответствующий критерий относительной наблюдаемости.

6. Для всех систем получены явные формулы для нахождения функций состояния, а для системы управления получено также явное представление управляющих функций.

Теоретическая и практическая значимость

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть положены в основу конкретных инженерных проектов.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях:

- Воронежские весенние математические школы «Понтрягинские чтения - XIII», «Понтрягинские чтения - XIV», «Понтрягинские чтения -XV» (Воронеж: 2002 г., 2003 г., 2004 г.);

- Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2003 г.);

- Десятые математические чтения МГСУ (Москва, 2003 г.);

- конференция «Функциональные пространства, дифференциальные операторы, проблемы математического образования», посвященная 80-летию Л.Д. Кудрявцева (Москва, 2003 г.);

- конференция «Математика. Математическое образование» Российской ассоциации «Женщины-математики» (Воронеж, 2003 г.);

- конференция «Математическое моделирование социальной и экономической динамики», MMSED - 2004 (Москва, 2004 г.);

- международная научно-техническая конференция «Кибернетика и технологии XXI века» (Воронеж, 2004 г.);

- ежегодные научные сессии ВГЛТА (Воронеж, 2001- 2004 г.);

- семинары профессоров Булгакова А.И., Задорожнего В.Г., Куриной Г.А., Костина В.А., Покорного Ю.В. (Воронеж, 2001 -2004 г.).

Публикации. Основные результаты отражены в 10 публикациях.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 149 страницах и состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 88 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность направления исследований, научная новизна работы, указывается цель исследования, приводится обзор близких по теме работ, приводятся необходимые понятия. В частности, вводятся понятия, необходимые в основном тексте.

Вводятся следующие определения.

Определение 1. Определяющим элементом обратной связи (определяющим элементом) системы управления назовем вектор-функцию зависящую от минимального количества компонент

знания которой достаточно для нахождения остальных компонент состояния и надлежащего управления

Определение 2. Система (1) называется полностью условно управляемой, если существует вектор-функция удовлетворяющая произвольным заданным условиям

с помощью которой система переводится за любой заданный промежуток времени из любого состояния (2) в любое состояние (3).

Расширяется определение относительной наблюдаемости:

Определение 3. Система (12) называется наблюдаемой относительно Ех(?) или Ех - наблюдаемой, если в результате реализованного начального состояния системы по наблюдаемой выходной функции однозначно

определяется вектор-функция Ех(0), где Е € Ь().

Описывается метод каскадного расщепления, позволяющий понизить размерность задач. Такой метод был ранее разработан Зубовой СП. и Чернышевым К.И. для решения задачи Коши для дифференциального уравнения в банаховом пространстве с фредгольмовским оператором при производной. В данной работе операторы Б и А не являются, вообще говоря, фредгольмовскими (операторы нётеровы).

Первая глава посвящена исследованию систем управления (1), (6),

(8).

В параграфе 1 доказывается

Теорема 1.1. Если Б сюръективен (кегИ ={0}), то система (1) является полностью условно управляемой.

Приводится пример, где полная условная управляемость на фоне теоремы 1.1 оказывается очевидной, в то время как использование критерия Калмана требует явного построения всей матрицы управляемости.

Пример показывает, что иногда вместо проверки условия Калмана проще явным образом построить какое-либо управление.

В параграфе 2 рассматривается случай произвольной матрицы Б. В пункте 2.1 мы снижаем размерность исходной задачи. Возможность эквивалентного перехода обусловливает лемма 1.1.

В пункте 2.2 показывается, что существует такое что либо

матрица (коэффициент, стоящий при управляющей функции в

последнем уравнении новой системы) сюръективна (случай, описанный в §1), либо она нулевая. На основании этого устанавливаются следующие теоремы.

Теорема 1.2 (критерий полной условной управляемости). Система (1) полностью условно управляема в том и только том случае, когда существует

такое, что оператор - сюръективен

Теорема 1.4 (о существовании определяющего элемента обратной связи). Полностью условно управляемая система (1) имеет определяющий элемент обратной связи

Его можно представить в виде

где Qj - проекторы на kerDj , Dj - коэффициенты при управляющих функциях Uj(t) в уравнениях системы, эквивалентной системе (1).

Знание элемента U;(t) позволяет построить u(t) и x(t) по формулам, установленным при доказательстве леммы 1.1.

В примере, описывающем макроэкономическую модель для теоретического изучения тенденций в изменении соотношений потребления и накопления в национальном доходе, определяющим элементом обратной связи оказывается элемент - приростные

капиталоемкости, Xj(t)- фонд производственного н а к о п л е MT^tfJ - фонд потребления.

Заметим, что количество ограничений, наложенных на значения функции u(t) и ее производных в т о ч вольно. Это

количество влияет лишь на количество элементов используемых при построении определяющего элемента обратной связи В случае, когда

эти ограничения отсутствуют, то есть в случае классической постановки задачи, критерий полной условной управляемости системы (1) становится критерием полной управляемости этой системы.

В п. 2.3 условия теоремы 1.2 сопоставляются с условиями критерия Калмана (4) и условиями критерия из монографии Андреева Ю.Н.. Теоремы 1.5 и 1.6 доказывают эквивалентность вышеназванных критериев и уточняют основную характеристику:

rank(D BD... Bk']D) = ranh(D BD... BlD) .

Приводятся примеры 1.2 и 1.3, показывающие превосходство полученного в работе условия над условием (4) и условием из монографии Андреева Ю.Н., где есть «лишние» блоки.

В §3 рассматривается задача построения управляющей функции с помощью которой система (1) переводится из произвольного состояния в произвольное состояние и удовлетворяет дополнительным условиям _

x(i)(0) = au i — 1,р1, x(i)(T) = bi, i = l,q + l.

Показано, что эти условия при определенных соотношениях между

и и между можно свести к условиям

вида ^ ^ ^ ^

то есть задача сводится к той, которая рассматривалась в §§ 1,2.

В §3 рассмотрена также неоднородная система управления. Показано, что неоднородность не влияет на свойство управляемости. Методы нахождения функций состояния и управления, разобранные в §§1,2, оказываются применимыми и в случае неоднородной системы.

§4 посвящается исследованию полной управляемости дескрипторной системы (6) с дополнительными ограничениями на управление в концах временного промежутка:

Выясняется, как должны быть связаны значения и(0),и(Т) с

для полной управляемости системы. Доказывается теорема 1.7, в которой формулируются условия, необходимые и достаточные для полной управляемости системы (6) с дополнительными условиями (11).

В качестве примера (пример 1.4) исследуется система из работы Koumboulis F.N. и Mertzios B.G. . Показывается, как более простым и естественным путем устанавливается полная управляемость, но и, более того, выявляется определяющий элемент обратной связи и указывается алгоритм эффективного построения u(t) и x(t).

В §5 исследуются сингулярно возмущенные системы управления, для

чего в п.5.1 изучаются свойства операторного пучка К(Е) — в

случае Kq{ е L(Ej,E2); где Е],Е2 - банаховы пространства, K-q нётеров оператор. Операторы, действующие в банаховых пространствах, рассматриваются для общности, открывая возможность в дальнейшем изучать системы управления и наблюдения в абстрактных пространствах.

Доказывается теорема 1.8, устанавливающая полное условие разрешимости уравнения и дающая его решение в случае

регулярного и в случае нерегулярного пучка Выводятся формулы для

п р о е Р(е) и Q(e) на kerK(e) и cokerK(s) соответст о , таких, что при

достаточно малых

Эти результаты применяются в п. 5.2, в котором (способом, изложенным в п.2.1) исследуется система

где B(s) и D(s) - ряды по неотрицательным степенямс матричными коэффициентами; R.

Теорема 1.9 дает критерий полной условной управляемости системы (7) при всех достаточно малых ЕФО, аналогичный критерию теоремы 2.1. Описывается процесс построения управления переводящего систему

(7) из состояния в состояние

и удовлетворяющего условиям

и<*>(0,е) = ег°'!+3 (а04+3 + 0(е))А = 0,р\ и°}(Т,с) = ег°-Р^4 (а0^+4 + 0(е)),1 = 07ч; го^еЯ, г = 1,р + д + 4. В общем случае и х(/,б), и ы(/,е) содержат слагаемые с

Т-1

*1(е)

8, ¡1-й £ }е£

В{(£)

множителями £"1еь' , £ >еь' , S^,Sj е К, где В^е) -

коэффициент при функции состояния Х}(£) в последнем уравнении системы, эквивалентной системе (7).

В теореме 1.10 рассматривается случай нулевых собственных чисел оператора В^е). В этом случае существуют управляющие функции и(1,е)

и функции состояния х(1,е), имеющие оценки

\[кО,е)\\<~,с>0, геЯ, ге[0.Т],

и с не зависит от £.

Такой же результат получится, если в задаче управления с условиями (или при отсутствии условий на и

все собственные числа лежат в открытой левой

полуплоскости.

Этот факт установлен в теореме 1.11, в которой показывается, что в этом случае сомножители исчезают, а операторные функции

6, : £ 1е£

при некоторых соотношениях между 5} и Ц — О могут быть

функциями погранслоя.

В качестве примера рассматривается система, описывающая работу трехкамерной нагревательной печи. В этом примере управляющая функция зависит от голоморфно, ее предел при является управляющей

функцией предельной системы.

Пункт 5.3 посвящен сравнению полной условной управляемости систем (1) и (7) при /¿<,0,0^ ¡л на основании результатов п.п. 2.2 и 5.2. Показывается, что если исходная система (1) является полностью условно управляемой, то и система (7) полностью условно управляема. Если же исходная система не является полностью условно управляемой, то можно так «пошевелить» коэффициенты системы, что возмущенная система станет полностью условно управляемой.

§6 гл.1 посвящен исследованию полной управляемости возмущенной дескрипторной системы (8).

В отличие от предшествующих работ других авторов здесь А(е) может быть необратимым при всех достаточно малых 8 и операторный пучок А(е) — /лВ(Е) может быть нерегулярным.

Теорема 1.12 дает критерий полной управляемости системы (8) с условиями

При доказательстве этой теоремы также применяется метод расщепления уравнения на уравнения в подпространствах, что позволяет выявить определяющий элемент обратной связи, построить х(1,е) и и(1,е) и получить оценки роста этих функций при £—¥0. Для дескрипторной системы, в отличие от системы (1), из полной управляемости предельной системы отнюдь не следует полная управляемость возмущенной системы, что и подтверждается примером, приведенным в § 6.

Вторая глава диссертации посвящена полной и относительной наблюдаемости линейной стационарной системы

с дополнительной наблюдаемой входной вектор-функцией f(t).

Для исследования применяется метод каскадного расщепления пространств на подпространства, в результате чего на каждом этапе система (14) сводится к системе для неизвестных, принадлежащих более узким подпространствам. За счет конечномерности оператора А этот процесс конечен, и на последнем шаге полная наблюдаемость или ненаблюдаемость системы становится очевидной.

Переход от системы (14) к эквивалентной системе в подпространствах реализован в § 1. На каждом этапе в состав новой системы входит система, аналогичная системе (14) с операторами при неизвестных

Xi(t),i— 0,1,2..., из более узких подпространств. Расщепление

подпространств длится до тех пор, пока коэффициент при неизвестной

Хр(t) либо инъективен (кегАр ={0}% либо нулевой (Ар = 0).

На основании этого в § 2 формулируются следующие теоремы.

Теорема 2.1 (критерий полной наблюдаемости). Система (14) является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда существует такое, что инъективен

u(0,E) = U°(E); U(T,E) = UT(E).

0

(14)

Выводится формула для определения х(1)

Теорема 2.2 (критерий ненаблюдаемости). Система (14) не является полностью наблюдаемой в том и только том случае, когда существует <7 е Л^, такое, что Ад — 0.

В этом случае кег А( # О, I е N.

Теорема 2.3 (критерий относительной наблюдаемости). Система (14) является наблюдаемой относительно элемента (I — Pj)x(t) в том и только

том случае, когда Ау 1,2... .

Здесь Ру - проекторы подпространств кег на кег Ау. Элементы определяются в любой момент по формуле,

полученной в § 2.

В качестве примера рассматривается линейная стационарная сингулярно возмущенная модель вращения упругого звена электромеханического манипуляционного робота. Показывается, что методы, применяемые в диссертации, дают более полные результаты по сравнению с результатами Копейкиной Т.Б. и Цехан О.Б., исследовавшими ранее эту систему.

В § 3 гл. 2 с помощью теоремы 2.4 доказывается эквивалентность полученного в теореме 2.1 критерия критерию полной наблюдаемости, приведенному в монографии Бояринцева Ю.Е., при этом последний критерий уточняется.

В § 4 устанавливается дуальность свойств полной управляемости и полной наблюдаемости с помощью критериев, полученных в § 2 гл. 1 и § 2 гл.2.

В § 5 исследуется полная ^наблюдаемость возмущенной системы

где А(е) и В(£) ряды по целым положительным степеням £, и выводятся с помощью теорем 2.5 и 2.6 соответствующие критерии полной наблюдаемости и ненаблюдаемости.

В § 6 производится сравнение полной наблюдаемости невозмущенной и возмущенной систем.

Теорема 2.7. Если предельная система (14) является полностью наблюдаемой, то и возмущенная система (15) является полностью наблюдаемой при всех достаточно малых

Приводится пример, показывающий, что если возмущенная система является наблюдаемой, то ее предельная система может оказаться

ненаблюдаемой.

В заключение автор выражает благодарность научному руководителю Куриной Г.А. и профессору Задорожнему В.Г. за ценные замечания и советы.

Публикации автора на тему диссертации:

1. Раецкая Е.В. Об одной задаче наблюдения возмущенной системы/ Е.В.Раецкая // Современные методы в теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XIII». Воронеж, 2002.- С. 132.

2. Раецкая Е.В. Об одной задаче наблюдения возмущенной системы/ Е.В.Раецкая // Математические методы и приложения. Труды десятых математических чтений МГСУ. Москва, 2003 .-С.80-85.

3. Раецкая Е.В. О критериях полной наблюдаемости одной системы/ Е.В.Раецкая // Воронежская зимняя математическая школа. Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции. Воронеж, 2003.-С. 207-208.

4. Раецкая Е.В. О влиянии «очень малых» возмущений на полную наблюдаемость одной системы/ Е.В.Раецкая // Функциональные пространства, дифференциальные операторы, проблемы математического образования. Москва, 2003 .-С. 215-216.

5. Раецкая Е.В. О полной управляемости дифференциально-алгебраический системы/ Е.В.Раецкая // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения -XIV».Воронеж, 2003.-С. 122-123.

6. Раецкая Е.В. О критериях полной управляемости линейной системы/ Е.В.Раецкая // Труды Российской ассоциации «Женщины-математики».Математика. Математическое образование. Воронеж, 2003 .С. 40-45.

7. Раецкая Е.В. Сравнение двух критериев полной управляемости стационарной системы управления/ Е.В .Раецкая // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XV».Воронеж, 2004.- С. 183-184.

8. Raetskaya E.V. On total conditionally controllability of singular perturbed descriptor system/ E.V. Raetskaya //Proceeding of the International Conference «Mathematical modeling of social and economical dynamics». Moscow.-2004,-C. 296-298.

9. Раецкая Е.В. Критерий полной условной управляемости сингулярно возмущенной системы. Оценки функции состояния и управляющей функции/ Е.В .Раецкая // V международная научно-технической конференции «Кибернетика и технологии XXI века»- Воронеж, 12-13 мая 2004г.-В.,2004.-С. 28-36.

10. Раецкая Е.В. О полной условной управляемости одной дескрипторной системы / Е.В.Раецкая // Математические методы и приложения: Труды одиннадцатых математических чтений МГСУ (26-29 января 2003

года).М.:Издательство МГСУ.-2004.-С. 60-64.

Заказ № 643 от 8 10 2004 г Тираж 100 экз Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

»819457

Введение

I. Полная условная управляемость линейных систем с постоянными коэффициентами

§1. Полная условная управляемость системы в случае сюръективного коэффициента D при управляющей функции.

§2. Критерий полной условной управляемости системы.

2.1 Сведение системы к эквивалентной системе уравнений в подпространствах.

2.2 Критерий полной условной управляемости системы. Нахождение определяющего элемента обратной связи

2.3 Эквивалентность полной условной управляемости и полной управляемости. Уточнение известных критериев полной управляемости.

§3. Другие задачи полной управляемости систем.

§4. Полная управляемость дескрипторных систем с краевыми ограничениями на управление

§5. Полная условная управляемость возмущенных систем

5.1 О свойствах одного операторного пучка в банаховом пространстве.

5.2 Критерий полной условной управляемости сингулярно возмущенной системы. Оценки функции состояния и управляющей функции.

5.3 Сравнение полной условной управляемости невозмущенной и возмущенной систем.

§6. Полная управляемость возмущенных дескрипторных систем с краевыми условиями на управление.

II. Полная наблюдаемость линейных t дескрипторных систем

§1. Сведение системы наблюдения к эквивалентной системе в подпространствах

§2. Критерии полной и относительной наблюдаемости систем

§3. Эквивалентность условий полупенного критерия условиям известного критерия полной наблюдаемости. Уточнение известного критерия.

§4. Подтверждение дуальности задач полной управляемости и полной наблюдаемости с помощью полученных критериев.

§5. Полная наблюдаемость возмущенных систем.

§6. Сравнение полной наблюдаемости невозмущенной и возмущенной систем.

Известна классическая задача о полной управляемости системы = Bx(t) + Du(t), где В G L(Rfc,R*), D € L(Re,R*), x(t) G R*, u{t) G Rt G [0,T], (см. [1], [5], [13], [14] [18], [19], [25], [33], [35]).

Система (1) называется системой управления, вектор - функция x(t) - состоянием системы, u(t) - управляющим вектором, управлением.

Система (1) называется полностью управляемой (см., например, [13]), если существует вектор-функция u(t), с помощью которой система переводится из любого состояния ai в любое состояние «2 за промежуток времени [О, Т], то есть траектория x(t) (t G [О, Т]) системы (1) удовлетворяет условиям

Определение полной управляемости системы впервые было введено Р. Калманом в 1961 г. [18]. Он показал, что система (1) является полностью управляемой в том и только том случае, когда

Матрицу (D BD . Bk~lD) называют матрицей управления (управляемости).

Свойства управляемости различных систем проанализированы в многочисленных монографиях, обзорах, статьях, где отражена и история вопроса

N - |5|, [7], [9], [10] - [15], [18] - [21], [24], [25], [27] - [311, [33], [35] - [39], [41] - [46], [48] - [50], [52] - [55], [57] - [61], [63] - [73], [75] - [78].

Управление в виде функции времени называется программным. ж(0) = аь х(Т) = 02.

2) (3) rank(D BD . Bk~lD) = k.

4)

Если управление является функцией состояния системы, то говорят об управлении с обратной связью (например, см. [1], [19], [35]).

Есть системы, которыми можно управлять с помощью некоторых компонент x(t). Нижеследующий пример показывает, что, подобрав подобающим образом некоторые компоненты состояния x(t), можно вычислить остальные компоненты x(t) и управление u(t).

Пример 1. Рассматривается система ([13], стр. 226), описывающая "макроэкономическую модель, предназначенную для теоретического изучения вопроса о тенденциях в изменении долей потребления и накопления в национальном доходе": 1 7&i Ъг

XI = —XI - -7-Х2 - z~U) < 01 02 01 Х2 — 7^2 — и с условиями хг(0) = ж?, х2(0) = х°2, где

Х\ - фонд производственного накопления,

Х2 - фонд потребления (включая непроизводственное накопление), приростные капиталоемкости, 7 - темп роста населения (считается постоянным), v - скорость роста фонда потребления на душу населения, со ~ отношение Х2 • v к объему фонда х^ на душу населения,

L ~ население в начальный момент времени.

За управление принимается функция и, однако, далее (]13], стр. 228) автор говорит: "за управление примем х^

Действительно, подобрав подходящее #2, можно найти и co(t) и Х\ (£). В примере 1.5 гл.1 , п.5.2 данной работы рассматривается 3-х камерная нагревательная печь, разделенная на две зоны регулирования (см. [1[, стр. 170). Температура каждой из зон X{ (i = 1,2,3) связана с расходами топлива в зоне Uj(t) (j = 1,2) уравнением вида (1). В этом примере вначале строится функция x\{t) + 2x^{t) и далее с ее помощью находятся Xi(t), г = 1,3, и управление (ui(t), U2{t)), переводящее систему из температурного режима (2) в режим (3) и удовлетворяющее дополнительному условию Ui(0) = W2(0) = 0.

Эти примеры показывают, что, подобрав подобающим образом некоторые компоненты состояния x(t), можно вычислить остальные компоненты x(t) и управление u(t).

Определение 1 . Определяющим элементом обратной связи определяющим элементом) системы управления назовем вектор-функцию /(хгг, ., Xi5), ij < к, зависящую от минимального количества компонент x(t), знания которой достаточно для нахождения остальных компонент состояния x(t) и надлежащего управления u(t).

В данной работе показывается, что и система (1), и более общие дескрип-торные системы в случае полной управляемости имеют определяющие элементы обратной связи (гл.1, п. 2.2). Разработан метод нахождения определяющего элемента, приводятся формулы для построения остальных компонент x(t) и управления u{t).

Рассматривается "более жесткая" система, а именно, изучается полная управляемость системы (1) с дополнительными ограничениями на управление u(t): ttW(O) = di+2, i = о7p; kw(T) = «р+4+i, i = 0~q. (5)

Постановка задачи с условиями (5) естественна, например, для управляемых до момента t = 0 систем. В этом случае при t = 0 функция u(t) и ее производные имеют, вообще говоря, определенные значения. Также в задаче о мягкой стыковке движущихся объектов функция u(t) и ее производные должны принимать в конечный момент времени заданные значения.

Введем следующее

Определение 2 . Система (1) называется полностью условно управляемой. если существует вектор-функция u(t) € [0,Т]) . г = тах(р, q), удовлетворяющая произвольным заданным условиям вида (5), с помощью которой система переводится за любой заданный промежуток времени [О, Т] из любого состояния (2) в любое состояние (3).

Отметим, что впервые задача управляемости системы (1) при условиях (5) исследована в |83[.

В I главе данной работы выведены критерии полной условной управляемости следующих систем:

1) системы (1) (п. 2.2);

2) дескрипторной системы

AdxQ = + at где x{t) е М'г, u{t) е Ж5; А, В € L(W,Rk), D <Е L{W,Rk) (§4);

3) сингулярно возмущенной системы

М) = ^щфу £) + £)(e)u(t £) (7) at где В(е) и D{e) - ряды по неотрицательным степеням е с матричными коэффициентами; д, v е К; е G (0;£о] (п. 5.2);

4) возмущенной дескрипторной системы

B{e)x{t'+(8) где А(е) - ряд по степеням £ (§6).

Рассматривается также неоднородная система управления и случай дополнительных условий на x{t) (§ 3 гл. I).

Приводятся критерии условной неуправляемости системы (1) (п. 2.2) и системы (7) (п. 5.2), не являющиеся простым отрицанием критерия полной условной управляемости.

При выведении критериев использовался метод каскадного расщепления исходных пространств на подпространства и сведение исходной системы к эквивалентной системе, состоящей из уравнений с неизвестными меньшей размерности. Такой метод был разработан в [16] для решения задачи Ко-ши для дифференциального уравнения в банаховом пространстве с фред-гольмовским оператором при производной. В данной работе оператор D не является, вообще говоря, фредгольмовским, так как размерности ядра оператора D и коядра (kerD*) могут не совпадать (то есть D - нетеров оператор).

Исходное пространство R* расщепляется в прямую сумму образа оператора D и его коядра. На образе уравнение обращается, а в коядре задача редуцируется к такой же задаче вида (1), (2), (3), (5), но с новыми операторами, действующими в пространствах меньшей размерности и с двумя новыми дополнительными условиями на u(t). И так до тех пор, пока размерность коядра очередного оператора D\ не сведется к нулю, либо Di не станет нулевым. В первом случае (случай сюръективного D{) система является полностью условно управляемой, и элемент ) "последнего" подпространства является определяющим элементом обратной связи.

В случае нулевой матрицы Di система управления не является полностью условно управляемой (полностью управляемой).

В первой главе также находится определяющий элемент обратной связи, строятся функции х(t)yu(t),x(t,e),u(t,e) и находятся оценки поведения x(t, е), u(t, £) при е —► 0.

Приведем некоторые результаты из первой главы.

В § 1 доказывается

Теорема 1.1 Если D сюръективен (kerD* = {0}), то система (1) является полностью условно управляемой.

Для доказательства рассматривается следующий способ нахождения управляющей функции u(t) и функции состояния x(t) : выражение e~tBDu(t), стоящее под интегралом в формуле для определения решения x(t) дифференциального уравнения (1), ищется в виде многочлена от t с векторными коэффициентами, затем находится u(t) и определяется x{t).

Заметим, что вместо степеней t, используемых в данной работе, можно брать любые линейно независимые на [О, Г] достаточно гладкие скалярные функции от t.

Функции u(t) и x(t), найденные при доказательстве теоремы 1.1, не являются единственными, так как разложения пространств Ж5 и Жк на подпространства, используемые при доказательстве теоремы 1.1, могут быть заменены другими разложениями. Кроме того, при наличии ядер у операторов Di некоторые компоненты u(t) и x(t) определяются с; точностью до элементов из ядер Di.

Приводится пример системы управления (пример 1.1), показывающий, что применение методов, предложенных в этом параграфе, не только иногда более эффективно для установления полной условной управляемости, чем применение критерия Калмана для установления полной управляемости, но и позволяет найти функцию управления, удовлетворяющую дополнительным краевым условиям.

В § 2 рассматривается случай произвольной прямоугольной матрицы D.

В пункте 2.1 производится замена системы (1) эквивалентной системой уравнений с неизвестными в подпространствах.

Лемма 1. 1 устанавливает эквивалентность исходной и новой систем.

Последнее уравнение новой системы по форме такое же, как и уравнение (1), но в "более узком" подпространстве. Система (1) является полностью условно управляемой в том и только том случае, когда последняя система является полностью условно управляемой.

В пункте 2.2 показывается, что существует такое I € N, что либо матрица Di (коэффициент, стоящий при управляющей функции U[(t) в последнем уравнении новой системы) сюръективна (случай, описанный в § 1), либо она нулевая. На основании этого формулируются следующие теоремы.

Теорема 1.2 (критерий полной условной управляемости). Сис/тема (1) полностью условно управляема в том и только в том случае, когда существует I € N, такое, что Di - сюръсктивен (ker(Di)* = {0}).

Теорема 1.3 (критерий неуправляемости). Система (1) не является полностью условно управляемой тогда и только тогда, когда существует I G N такое, что Di = 0.

Теорема 1.4 (о существовании определяющего элемента обратной связи). Полностью условно управляемая система (1) имеет определяющий элемент обратной связи

Построив элемент можно найти u(t) и x(t).

В силу наличия ядер у операторов Du г = 0, /, неединственности разложений пространств в прямые суммы подпространств и в силу неединственности способов построения определяющего элемента обратной связи, функции u(t) и x(t) определяются неединственным образом.

Эта неединственность u(t) и позволяет находить управление в случае, когда накладываются дополнительные условия (например, в задачах оптимального управления).

Система (1.21), рассмотренная в примере 1.1, - это система, которая априори является расщепленной на уравнения в подпространствах, то есть она имеет вид, к которому приводится система (1) методом каскадного расщепления, описанным в данной работе. Полная условная управляемость этой системы очевидна, хотя при использовании критерия Калмана (4) необходимо построить всю матрицу управляемости.

Заметим, что количество ограничений, наложенных на значения функции u(t) и ее производных в точках t = 0 и t = Т (условия (5)), произвольно. Это количество влияет лишь на количество элементов V{, используемых при построении определяющего элемента обратной связи ui(t). В случае, когда эти ограничения отсутствуют (то есть в случае классической постановки задачи) критерий полной условной управляемости системы (1) становится критерием полной управляемости этой системы.

Возникает вопрос о связи полученного критерия с известными критериями (см. [1], |19{). В п. 2.3 доказывается эквивалентность условий нового критерия условиям критерия Калмана. Устанавливается

Теорема 1.5 (об эквивалентности условий критериев). Для выполнения условия rank(D BD . Bk~lD) = к необходимо и достаточно, чтобы существовало I Е N такое, что kerDf = {0}.

При этом критерий Калмана уточняется: в соотношении (4) играют роль лишь матрицы D, BD, ., BlD, где I 4-1 - количество определенных в п. 1.2 подпространств пространства Rfe. Остальные матрицы

D состоят из вектор-столбцов, являющихся линейными комбинациями вектор-столбцов матриц D, BD, ., BlD. Это следует из следующей теоремы.

Теорема 1.6 (уточнение условия критерия Калмана). rank(D BD . Bk~xD) = rank{D BD . BlD). (9)

Уточняется и критерий, приведенный в [1| (стр. 228): система (1) полностью управляема тогда и только тогда, когда rank{D BD . Bk~rD) = k, (10) где г = rankD.

Показывается, что в условии (10) нет "лишних" матриц тогда и только тогда, когда от исходного пространства "отщепляется" каждый раз лишь одномерное подпространство.

Приводятся примеры 1.2 и 1.3, показывающие, что в матрицах условий (4) и (10) есть "лишние" матрицы. Приведенные примеры показывают, кроме того, эффективность применения предлагаемого критерия в случае I = 1.

В параграфе 3 рассмотрена задача определения управляющей функции u(t), с помощью которой система (1) переводится из любого состояния ж(0) = ао в любое состояние х(Т) = 6о и удовлетворяет дополнительным условиям = (Li, i = 0,р-\-1, х^(Т) = 6г, г = + 1. Показано, что эти условия при определенных соотношениях между щ и o^-i, г = 1,р -I- 1, и между bi и bi-1, г = + 1, можно свести к условиям tiW(O) = Q, г = и®(Т) = cp+1+i, i =

То есть эта задача сводится к задаче, рассмотренной в §§ 1, 2.

В параграфе 3 рассмотрена также неоднородная система управления. Показано, что неоднородность в системе управления не влияет на управляемость системы, и методы нахождения функций состояния и управления, разработанные, в §§ 1, 2, применимы и в случае неоднородной системы.

§ 4 посвящен исследованию полной управляемости системы, не разрешенной относительно производной (дескрипторной системы) с дополни-у тельными условиями на управление в краевых точках.

Рассматривается система (6) с прямоугольной матрицей А при производной. Подобные системы возникают, например, в задачах межотраслевой динамики, которые в ряде случаев можно формализовать как задачи управления линейными динамическими системами (6). Здесь накопление представляется как произведение вырожденной матрицы приростных фондоемкостей А на производную валовых выпусков x(t). Вырожденность матрицы А связана с тем, что не все отрасли, участвующие в процессе производства, являются фондообразующими. Такой способ описания расширенного воспроизводства был впервые предложен В.В. Леонтьевым (см. |321).

Особенность уравнения (6) в сравнении с уравнением (1) состоит в следующем. Дифференциальное уравнение (1) при любой непрерывной функ ции u(t) имеет решение, удовлетворяющее одному из краевых условий (2), (3), и требуется подобрать функцию u(t) так, чтобы выполнялось другое краевое условие.

Решение же уравнения (6) может не принимать заданного значения в точках t = О или t = Т ни при каком u(t).

Например, решение системы о = Xl(t) - x2(t) не принимает произвольного значения ни в точке t = 0, ни в точке t — T.

Кроме того, при классической постановке задачи управляемости (то есть без условий вида (5)) дополнительные ограничения на u(t) могут появиться.

Например, задача об определении полной управляемости системы fM)=Xl(t)+l2(t) 0 = si(i) + wi(t) 0 = x2(t)+u2(t) является задачей полной управляемости с условиями на u(t), так как должны выполняться условия: и(0) = -ж(0), и(Т) = -х{Т).

Вопрос о полной управляемости системы (6) рассматривался, например, в работах |15|, [43] - [45], |52|, [53], [55], ]58], [59|, [64], [68|, [71[ - [73], но лишь в случае г = к и регулярного операторного пучка (А — еВ), то есть когда при всех достаточно малых значениях параметра £ ф 0 существует обратный оператор (А—еВ)~1. На функцию u{t) не накладывались ограничения вида (5). И поскольку в этих работах изучалась лишь возможность полной управляемости системы, то ограничения на и{Ь), вытекающие из самой системы (6), не рассматривались.

В данной работе значение г, вообще говоря, не равно к, поэтому на операторный пучок не накладывается никаких ограничений. Рассматривается задача полной управляемости с условиями на u(t). Для простоты берутся лишь два условия:

0) = а3, и(Т) = а*. (11)

Выясняется, как должны быть связаны значения «(0), и(Т) с х(0), х(Т) для полной управляемости системы.

Доказывается Теорема 1.7, в которой формулируются условия, необходимые и достаточные для полной управляемости системы (6) с дополнительными условиями (11).

Для доказательства совершается переход к эквивалентной системе, разрешенной относительно производной, что позволяет не только установить, является ли система п.у.у., но и, пользуясь результатами, полученными в § 1 и в п.п. 2.1, 2.2, выявить определяющий элемент обратной связи, построить семейство управляющих вектор-функций u(t) и семейство состояний

В качестве примера (пример 1.4) исследуется система, рассмотренная в работе [64]. Показывается, как более простым в сравнении с [641 и естественным путем не только устанавливается полная управляемость системы, но и выявляется определяющий элемент обратной связи и указывается алгоритм построения u(t) и x(t).

§ 5 посвящен исследованию сингулярно возмущенных систем управления. Установлению полной управляемости таких систем посвящено большое количество работ (см., например, |20], [21], ]28] - [31], [46], [57), |67|). В подавляющей части этих работ рассматривались системы управления с малым параметром при производных некоторых компонент функции состояния. Изучался также случай, когда при производных разных компонент функции состояния стоит малый параметр в разных степенях. Все эти системы являются частным случаем системы (8).

В основном, для выявления полной управляемости возмущенных с помощью малого параметра систем использовался критерий Калмана.

В настоящей работе возмущенные системы так же, как и невозмущенные, сводятся к эквивалентным системам в подпространствах. И полная условная управляемость устанавливается с помощью результатов, полученных в §§1 и 2. Эти результаты позволяют получить также оценки роста функции состояния и управляющей функции при стремлении параметра к нулю.

При исследовании применяются свойства операторного пучка оо

К(е) = £lKpi, £ 6 (0, £о]- Для общности и для возможности в даль-i=О нейптем исследовать управляемость систем в абстрактных пространствах, здесь рассматривается Кш € L(Ei,E2), i G N, где Ei, E2 - банаховы пространства. В работах [27], [60] исследовалась управляемость систем с операторными коэффициентами, действующими из Ei в Е2. Управляемость систем в гильбертовом пространстве изучалась, например, в [7[, [36], [37], [41], [42], [49].

Обратимость операторного пучка Ко + еК\ для случаев: Яо € L(Rn,Rn), Kq - фредгольмовский оператор, Кц ~ нётеров оператор, изучали многие авторы (Вишик М.А., Люстерник JI.A., Вайнберг М.М., Треногин В.А., Крейн С.Г., Сабиров Т.С., Турбин А.Ф., Руткас А.Г., Рад-бель Н.И., Зубова С.П., Чернышев К.И. и другие) (см. |6|, |8], (16|, |17|, [22|, [26], [38]).

Случай необратимого операторного пучка рассматривался в работах Руткаса А.Г., Радбель Н.И. [38], Зубовой С.П. [17}. оо

В п. 5.1 изучаются свойства пучка К(е) = ^Г^ £гКо{ в случае Kqq i=0 нётеров оператор. Известно (см. [26]), что при малых возмущениях нётеров оператор остается нётеровым с тем же индексом.

В п.5.1 доказывается теорема 1.8, устанавливающая необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения К(е)у = z и вид его решения при обратимости пучка К(е) и при необратимости К{е). Из этой теоремы вытекает

Следствие 1. 1 Оператор К(е) является петеровым оператором, причем размерности его ядра и коядра постоянны при всех достаточно малых значениях е.

Выводятся формулы для проекторов Р{е) и Q{s) на kerK(e) и cokerK(e), соответственно, таких, что

Ei = kerK(e)+coimK{e), Е2 — cokerK(e)+imK(£).

В и.5.2 способом, изложенным в 11. 2.1, система (7) сводится к эквивалентной системе в подпространствах и устанавливаются

Теорема 1.9 Система (7) является полностью условно управляемой тогда и только тогда, когда существует I € N, такое, что ker{Di{e))* — {0} (Di(e) - сюръективеи).

Теорема 1.10. Если все действительные части собственных чисел А(е) оператора Bi(e) равны нулю, то существуют управляющие функции u(t, s) и функции состояния. x(t, е) системы. (7) с условиями х(0, е) = er^(aQ,i + О(е)), х(Т, е) = er°>*(a0,2 + 0(e)) = a0,2(s);

0, е) = er°'i+3(c*o,i+3 + 0(e)), г = u(i)(T, е) = £ro'p+4+1(a0,p+4+i + 0{е)) = aQ^4+i(e), г = бГд; 7*0,г бК, i = 1, р + g + 4 такие, что выполняются неравенства x{t,e)\\<-^, ||u(M)||<^:, с > 0, т е R, te[0,Т], ь и с не зависит от е.

Здесь Bi - коэффициент при неизвестной функции в последнем уравнении системы, полученной из (7) методом каскадного расщепления. Через

О(е) здесь и далее обозначаются элементы соответствующих пространств, стремящиеся к нулю, при £ —» 0.

Теорема 1.11 Если в задаче управления, рассмотренной в предыдущей теореме, х(Т,е) = 0, иг(Т,е) =0, г = 0, q (или при отсутствии условий на х(Т,е) и и^(Т,е), i = 0,q), все собственные числа оператора В(е) лежат в открытой левой полуплоскости, то существуют управляющие функции u(t,£) и функции состояния x(t,e), удовлетворяющие неравенствам из предыдущей теоремы.

В этом случае функции x(t, £■) и £) могут быть функциями погранс-лоя. В качестве примера рассматривается система, описывающая работу нагревательной печи (см. |1]). Строится управляющая функция, переводящая температуру трех камер за время Т из нулевой в произвольную заданную температуру при условии: расход топлива в начальный момент времени равен нулю. При этом априори может быть задан и температурный режим в первой камере. В этом примере управляющая функция зависит от е голоморфно, её предел при £ —> 0 является управляющей функцией предельной (е = 0) системы.

Пункт 5.3 посвящен сравнению полной условной управляемости систем (1) и (7) при ц < 0, v > ji. Сравнение производится на основании результатов п.п. 2.2 и 5.2. Показывается, что если исходная система (1) является полностью условно управляемой, то и система (7) полностью условно управляема. Если же исходная система не является полностью условно управляемой, то можно так "пошевелить" коэффициенты системы, что возмущенная система станет полностью условно управляемой.

§ б гл. I посвящен исследованию полной условной управляемости возмущенной дескрипторной системы (8). В отличие от других работ (см., например, [29]) оператор А{ё) может быть необратимым при всех достаточно малых е, и операторный пучок А(е) — fiB(e) может быть нерегулярным. Показывается, что задача об определении полной управляемости такой системой является задачей определения полной управляемости с дополнительными условиями.

Теорема 1.12 дает критерий полной управляемости системы (8) с условиями и(0,£) = и°(е) и и(Т,е) = ит(£).

При доказательстве этой теоремы также применяется метод расщепления уравнения на уравнения в подпространствах, что позволяет выявить определяющий элемент обратной связи, построить x(t, е) и u(t, г) и получить оценки роста этих функций при £ —» 0. Приводится пример, показывающий, что если возмущенная система является управляемой, то ее предельная (е = 0) система может оказаться неуправляемой.

Заметим, что из результатов гл.1 следует: если рассматриваемые системы являются полностью условно управляемыми (полностью управляемыми), то существуют бесконечно гладкие управляющие функции u(t), в частности, многочлены по t с векторными коэффициентами.

Вторая глава диссертации посвящена полной и относительной наблюдаемости линейной стационарной системы.

Постановка задачи полной наблюдаемости динамической системы была сформулирована Р. Калманом в 1961 г. [18]. Рассмотривается система

12)

Ax(t) = F(t), где x(t) elк, в е L(Rfc, Mfc), А е L{Rk, R-"), F{t) е t е [о ,т]. Известно, что в результате реализованного неизвестного начального состояния ж(0) происходит переходный процесс системы (12). Состояние системы x{t) недоступно непосредственному измерению, в распоряжении наблюдателя имеется лишь функция F(t).

Система (12) называется системой наблюдения, функция F(t) - выходной функцией.

Система наблюдения называется полностью наблюдаемой, если начальное значение гс(0) по выходной функции F(t) определяется однозначно.

Доказано [18], что для полной наблюдаемости системы (12) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие гапк(А В*А . {В*)*-1 А) = к.

Известно ещё несколько форм критерия полной наблюдаемости системы (12) (см. |5], [25], [35]). Приведем один из них(см. [5|).

Критерий (*). Система (12) является полностью наблюдаемой в том и только том случае, когда система

ABlz = 0, i = 0, к (13) имеет лишь нулевое решение z.

Р. Калманом доказан также принцип двойственности (дуальности): система (1) является вполне управляемой тогда и только тогда, когда сопряженная система зг =

D*x(t) = Fit), является полностью наблюдаемой.

В дальнейшем задачи полной наблюдаемости рассматривались для различных систем: с переменными коэффициентами, с малым параметром, с запаздыванием, для нелинейных систем, систем с частными производными, для дискретных систем и т.д. (см. работы [1], [4[, [5[, [7]. [10], [13] - [15], [18], [19], [22], [23], [25], [33], [35], {40], [47], [51], [53], [54], [56], [61] - [64], [70], |74|, |75[).

Для линейных стационарных систем наблюдения, как правило, рассматривается случай регулярного операторного пучка А — XI. В отличие от этих работ в данной диссертации матрица А может быть прямоугольной, поэтому свойство регулярности этого операторного пучка не может быть использовано.

Система наблюдения может не быть полностью наблюдаемой, но обладать следующим свойством: в результате реализованного начального состояния системы по известной выходной функции F(t) однозначно определяется не х(0), а лишь некоторая часть сс(0), или вектор-функция Ех{0), где Е е Ь(Шк, Rfc). Например, в работе [23] дано определение х - относительной и у - относительной наблюдаемости системы, состояние которой описывается вектор-функцией (x(t),y(t)), где x(t) £ Rni, y(t) £ Rn*; исследуются x— и у— относительные наблюдаемости линейной стационарной сингулярно возмущенной системы наблюдения.

Систему наблюдения назовем наблюдаемой относительно Ex(t), или Ех — наблюдаемой, если в результате реализованного начального состояния системы по известной выходной функции F(t) однозначно определяется вектор Ех{0), где Е 6 L(Rk, Rk).

Заметим, что для системы (12) из единственности ж(0) следует единственность x(t), поэтому в дальнейшем будет говориться о единственности x(t).

В настоящей работе рассматривается система с дополнительной наблюдаемой функцией f(t) £ R* (f(t) - входная функция)

Ш = Вх{() + т {и]

Ax{t) = F{t).

Для исследования полной и относительной наблюдаемости этой системы применяется метод каскадного расщепления пространств на подпространства, в результате чего на каждом этапе система (14) сводится к системе относительно неизвестных, принадлежащих более узким пространствам. За счет конечномерности оператора А этот процесс конечен, и на последнем шаге полная наблюдаемость или ненаблюдаемость системы становится очевидной.

В результате получен новый по форме критерий полной наблюдаемости системы (14). Доказана эквивалентность его условий условиям критерия (*), при этом критерий (*) уточняется.

Кроме того, в случае полной наблюдаемости системы (14) не только устанавливается единственность x(t), но и находится x(t) в любой момент времени (по-видимому, впервые), а также определяются свойства функций f(t) и F(t): их дифференцируемость до определенного порядка, связь между ними.

Доказывается, что система (14) всегда является относительно наблюдаемой, и определяется, относительно какой части x(t) она является наблюдаемой. Выводится формула для определения этой части x(t).

С помощью критерия полной управляемости системы (1), полученного в §2 гл. I и критерия полной наблюдаемости системы (12), полученного в гл. И, подтверждается дуальность задач полной управляемости и полной наблюдаемости соответствующих систем.

Рассматривается также линейная стационарная система наблюдения, возмущенная с помощью малого параметра. Для неё выводится критерий полной наблюдаемости. Сравниваются полная наблюдаемость исходной (предельной) и возмущенной систем.

Переход от системы наблюдения (14) к эквивалентной системе в подпространствах реализован в §1 гл. II. На каждом этапе расщепления пространств возникает уравнение AiXi(t) = Fi(t), i = 1,2,., с неизвестными X{(t) из более узкого подпространства. Расщепление подпространств длится до тех пор, пока коэффициент Ар либо инъективен (her Ар = {0}), либо нулевой (Ар = 0).

На основании этого в §2 формулируются следующие теоремы:

Теорема 2.1 (критерий полной наблюдаемости). Система (Ц) является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда существует такое р £ N, что Ар - инъективен (kerAp = {0}).

Приводится формула (2.25) для определения x(t).

Теорема 2.2 (критерий ненаблюдаемости). Система (Ц) не является полностью наблюдаемой в том и только в том случае, когда существует q G N такое, что Aq = 0.

В этом случае ker Ai ф {0}, г > q.

Теорема 2.3 (критерий относительной наблюдаемости). Система (14) является наблюдаемой относителыю элемента (I—Pj)x(t) в том и только в том случае, когда Aj ф 0, j — 1,2,. При этом (/ — Pj)x(t) определяется в любой момент t G [0,Т] по формуле (2.28).

Здесь Pj - проекторы подпространств ker A/-i на ker Aj.

В качестве примера рассматривается линейная стационарная сингулярно возмущенная модель вращения упругого звена электромеханического манипуляционного робота (см. [22], [23]). Показывается, что методы, применяемые в диссертации, дают более полные (по сравнению с |23[) результаты.

В §3 гл. II доказывается эквивалентность условий полученного в §2 критерия полной наблюдаемости условиям критерия (*) с помощью следующей леммы.

Лемма 2.2. Решениями системы ABtz = 0, i < т < к являются элементы z £ ker Am и только они.

Следующая теорема уточняет критерий (*).

Теорема 2.4. Пусть р таково, что kerAp = {0}. Для того, чтобы система (14) была полгшетью наблюдаемой, необходимо и достаточно, чтобы из того, что ABlz = 0 (г = 0, р), следовало z— 0.

Эта теорема показывает, что в системе (13) уравнения ABiz = 0 (г = р + 1, к) являются излишними. О лишних уравнениях в (13) говорилось в [5], [19], [25], но их количество не было установлено.

Пример 2.2 подтверждает, что уравнения ABiz = 0 (i = р -Ь 1, к) липшие.

В §4 подтверждается дуальность задач полной управляемости и полной наблюдаемости с помощью критериев, полученных в §2 гл. I и §2 гл. II.

В §5 исследуется полная наблюдаемость системы, полученной из системы наблюдения (14) возмущением коэффициентов системы с помощью малого параметра е: dx = B(e)x(t,£) + f{t,e)

15)

A(e)x{t,e) = F(t, e), оо 00 где x(t, e) G Rfc, B(e) = ^ B* :Rk -> Rfc, Л(е) = ]Г i=0 i=0 A* : Rfc Rs; f(t, e) G R&, F(t, e)el8, t G [0, T], e G (0; e0].

Используются свойства операторного пучка Л(е), полученные в §5 гл. I. Система (15) также сводится к системе в подпространствах методом каскадного расщепления. При этом возникают уравнения оо г=0

Доказываются следующие теоремы.

Теорема 2.5. Для того, чтобы система (15) была полностью наблюдаемой при всех достаточно малых е Ф 0, необходимо и достаточно, чтобы существовало р G N такое, что оператор Aqр был иньективным (кегАър = {0}).

Теорема 2.6. При всех достаточно малых £ ф 0 система (15) не является полностью наблюдаемой в том и только в том случае, если существует q € N такое, что Aq(e) ~ 0.

Приводятся формулы для построения операторов А$р, Ач{е), для нахождения x(t, ё).

В §6 производится сравнение полной наблюдаемости возмущенной и невозмущенных систем без использования известных ранее критериев. Пример 2.3 показывает, что предельная система может быть ненаблюдаемой, а возмущенная система наблюдаемой. В этом параграфе к системе (15) применяется другой подход: расщепление системы производится не с помощью свойств операторных пучков, а с помощью свойств первых операторов в пучке. При этом ключевую роль играют операторы А\. получаемые при исследовании предельной системы (14).

Методами, разработанными в данной работе, доказывается

Теорема 2.7 Если предельная система (14) является полностью наблюдаемой, то и возмущенная система (15) является полностью наблюдаемой при всех достаточно малых £ ф 0.

Таким образом, в диссертации получены следующие ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

Введено понятие полной условной управляемости динамической системы с дополнительными краевыми условиями на функцию управления.

Введено понятие определяющего элемента обратной связи системы управления, знания которого достаточно для построения функций состояния и управления.

Получен новый по форме критерий полной управляемости (полной условной управляемости) для линейной стационарной системы управления. Найден определяющий элемент обратной связи.

Получен новый по форме критерий полной наблюдаемости для линейной стационарной системы наблюдения.

Обобщено понятие относительной наблюдаемости. Выведен критерий относительной наблюдаемости линейной стационарной системы наблюдения.

Доказана эквивалентность полученных критериев классическим критериям полной управляемости и полной наблюдаемости.

Уточнены классические критерии.

С помощью новых критериев подтверждена дуальность задач полной управляемости и полной наблюдаемости для сопряженных систем.

Получен критерий полной условной управляемости дескрипторной системы с дополнительными ограничениями на управление.

Выведены новые свойства возмущенного нётерова оператора.

С помощью этих свойств получены критерии полной условной управляемости и полной наблюдаемости возмущенных систем.

Для возмущенной системы управления получены оценки роста функции состояния и функции управления, осуществляющей полную условную управляемость системы, при стремлении параметра к нулю.

Для всех систем получены явные формулы для нахождения функций состояния. Для систем управления получены формулы для нахождения функций управления.

Все результаты диссертации получены самостоятельно и не опираются на результаты других авторов работ по теории управляемости и наблюдаемости.

Результаты работы могут быть использованы для выявления полной управляемости и полной условной управляемости линейных стационарных динамических систем, полной наблюдаемости стационарных систем наблюдения; для построения функций состояния систем и соответствующих функций управления, для получения оценок функций состояния и управления при изменении параметра в задачах теории управления и теории наблюдения.

Результаты диссертации докладывались в Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения - XIII" 2002 г., "Понтрягин-ские чтения - XIV" 2003 г., "Понтрягинские чтения - XV" 2004 г.; Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" 2003 г.; на конференции "XI математические чтения МГСУ" (Москва 2003 г.); на международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", посвященной 80 - летию Л.Д. Кудрявцева (Москва,

2003 г.); на международной конференции "Математика. Математическое образование" Российской ассоциации "Женщины - математики" (Воронеж, 2003 г.); на международной конференции "Математическое моделирование социальной и экономической динамики, MMSED - 2004" в г. Москва; на международной научно - технической конференции "Кибернетика и технологии XXI века" (в НИИ Связи, Воронеж, 2004 г.), на ежегодных научных сессиях ВГЛТА, на межвузовском научном семинаре при ВГУ под руководством проф. Куриной Г.А. и проф. Задорожнего В.Г., на семинарах проф. Булгакова А.И., проф. Костина В.А., проф. Покорного Ю.В.

Проведенные в работе исследования выполнены при частичной поддержке РФФИ (проект 02-01-00351).

Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах.

В заключение выражаю глубокую признательность научному руководителю проф. Куриной Г.А., а также проф. Задорожнему В.Г. за обсуждение результатов и ценные указания.

В данной работе применяется следующая нумерация. Во введении формулы пронумерованы последующими цифрами; в основном тексте применяется двойная нумерация: первая цифра означает номер главы, остальные цифры - номер соответствующей формулы или утверждения.

I. Полная условная управляемость линейных систем с постоянными коэффициентами

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами / Ю.Н. Андреев. - М. : Наука, 1976. - 424 с.

2. Антонович (Турина) Т.Н. Управляемость линейных систем при ограниченных управлениях / Т.Н. Антонович; // АН БССР, ин-т математики. Препринт N 15 (31). - Минск, 1977. - 13 с.

3. Асмыкович И.К. Задача управления конечномерными системами / И.К. Асмыкович, Р.Ф. Габасов, Ф.М. Кириллова // Автоматика и те-лемех. 1986. - N 11. - С. 5-29.

4. Асмыкович И.К. Двойственность между задачами управления и наблюдения в линейных дескрипторных системах / И.К. Асмыкович, В.М. Марченко // Труды Белорусского Государственного Технологического Университета. 1996. - Вып. 4. - С. 3 - 9.

5. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1980. - 222 с.

6. Вайнберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. М. : Наука, 1969. - 527 с.

7. Васильев Ф.П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения / Ф.П. Васильев // Диф. уравнения. 1995. - Т. 31, N 11.- С. 1893 1900.

8. Вишик М.И. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром / М.И. Вишик, JI.A. Люстерник // Успехи мат. наук. 1957. - Т. 12, вып. 5 (77).- С. 3 122.

9. Математические проблемы управления линейными конечномерными системами / Р.Ф. Габасов и др.]; АН БССР, ин-т математики. Препринт N 20(177). Минск, 1983. - 36 с.

10. Гурина Т.Н. Задачи управляемости при ограниченных воздействиях / Т.Н. Гурина // Проблемы оптимального управления. Минск, 1981. -С. 148 - 157.

11. Гурина Т.Н. Управляемость динамических систем, при ограничениях на управляющие водействия: автореф. дис. канд. физ.-мат. наук / Т.Н. Гурина. Минск, 1982. - 16 с.

12. Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления / В.И. Гурман. М. : Наука, 1977. - 304 с.

13. Д'Анжело Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез / Г. Д'Анжело. М. : Машиностроение, 1974. - 287 с.

14. Зайцев В.А. Задачи управления асимптотическими характеристиками билинейной динамической системы / В.А. Зайцев, С.Н. Попова, Е.А. Тонкое // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. естеств. и техн. науки. 2000. - Т.5 N 4. - С. 452 - 454.

15. Зубова С. П. О линейном дифференциальном уравнении с фредголь-мовским оператором при производной / С.П. Зубова, К.И. Чернышов // Дифференциальные уравнения и их применение / Ин-т физики и математики АН Лит. ССР. 1976. - Вып. 14. - С. 21-39.

16. Зубова С.П. Свойства возмущенного фредгольмова оператора. Решение дифференциального уравнения с фредгольмовым оператором при производной / С.П. Зубова; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1991. -17 с. - Деп. ВИНИТИ, 17.06.91 N 2516-В 91.

17. Калман Р. Об общей теории систем управления / Р. Калман / / Труды I Конгресса ИФАК. М., 1961. - Т.2. - С. 521-547.

18. Квакернаак X. Линейные оптимальные системы управления / X. Ква-кернаак, Р. Сиван. М. : Мир, 1977. - 650 с.

19. Копейкииа Т.Б. Об одном методе исследования управляемости линейных сингулярно возмущенных систем / Т.Б. Копейкина // Механика -95: Белорус, конгресс по теоретической и прикладной механике, Минск, 6-11 февр. 1995 г. Гомель, 1995. - С. 133-134.

20. Копейкина Т.Е. Об управляемости одного типа линейных нестационарных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием. Вырожденные системы / Т.Б. Копейкина, О.Б. Манцевич; АН БССР, ин-т математики. Препринт N 24 (474). - Минск, - 1991 - 32 с.

21. Копейкина Т.Б. Наблюдаемость линейных сингулярно возмущенных систем в пространстве состояний / Т.Б. Копейкина, О.Б. Цехан // Изв. РАН. Сер. Техн. кибернетика. 1993. - N3. - С. 40 - 46.

22. Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы / Н.Н. Красовский. М. : Наука, 1968. - 475 с.

23. Крейн С.Г. Функциональный анализ / С.Г. Крейн. М. : Наука, 1972.- 544 с.

24. Куржанский А. Б. К управляемости в банаховых пространствах / А.Б. Куржанский // Диф. уравнения. 1969. - Т.5, N 9.С. 1715-1718.

25. Курина Г.А. О полной управляемости одного класса линейных возмущенных систем / Г.А. Курина // Диф. уравнения. 1985. Т. 21, N 8. -С. 1444 - 1446.

26. Курина Г.А. Полная управляемость линейных матрично сингулярно возмущенных систем / Г.А. Курина; Воронеж, лесотех. ин-т. Воронеж, 1987. - 7с. - Деп. в ВИНИТИ 28.08.87, № 6373-В87.

27. Курина ГА. О полной управляемости разнотемповых сингулярно возмущенных систем / Г.А. Курина // Мат. заметки. 1992. - Т. 52, N 4.- С. 51-61.

28. Курина Г.А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной. Обзор /Г.А. Курина // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1992. - N 4. - С. 20-48.

29. Леонтьев В. В. Исследование структуры американской экономики / В.В. Леонтьев. М. : Госстатиздат, 1958. - 640 с.

30. Ли Э.Б. Основы теории оптимального управления / Э.Б. Ли, Л. М. Маркус. М. : Наука, 1972. - 574 с.

31. Мельник Т.А. Управляемость сингулярно возмущенных задач / Т.А. Мельник. Одесса, 1985. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 15.02.85, N 375.

32. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем / В.М. Попов- М. : Наука, 1970. 454 с.

33. Рузакова О.А. Об одномерной управляемости линейных уравнений со-болевекого типа / О.А. Рузакова // Уравнения соболевского типа: Сб. науч. тр. / Челябинск, гос. ун-т. Челябинск, 2002. - С. 215-219.

34. Рузакова О.А. Конечномерная управляемость уравнений соболевского типа / О.А. Рузакова // Вест. Челябинск, ун-та. Сер.З. 2003. - N 1.- С. 127-135.

35. Руткас А.Г. О линейных операторных пучках и неканонических системах / А.Г. Руткас, Н.И. Радбель // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков, 1976. - С. 3-14.

36. Тонкое E.JI. Ляпуновская приводимость линейной системы, стабилизация и управление показателями Изобова / Е.Л. Тонков // Тр. Ин-та математики АН Беларуси. 2000. - N 4. - С. 146 - 155.

37. Тонков Е.Л. Дифференцируемость вектора быстродействия и позиционное управление линейной докритической системой / Е.Л. Тонков, С.Ф. Николаев // Диф. уравнения. 2000. - Т. 36, N 1. - С. 76 - 84.

38. Федоров В.Е. Одномерная управляемость в гильбертовом пространстве линейных уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров, О.А. Рузакова // Диф. уравнения. 2002. - Т.38, N 8.С. 1137-1139.

39. Федоров В.Е. Управляемость линейных уравнений соболевского типа с относительно р-радиальными операторами / В.Е. Федоров, О.А. Рузакова // Изв. вузов. Сер. Математика. 2002. - N 7. - С. 54-57.

40. Хасипа Е.Н. Управляемость и стабилизируемость линейных систем управления, не разрешенных относительно производной / Е.Н. Хаси-на // Моделирование в экономических исследованиях. Новосибирск, 1978. - С. 79-84.

41. Хасина Е.Н. Методы исследования качнественных характеристик линейных систем экономической динамики: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / Е.Н. Хасина. М., 1979. - 16 с.

42. Хасина Е.Н. Об управлении вырожденными динамическими системами / Е.Н. Хасина // Автоматика и телемеханика. 1982. - N 4. - С. 30 - 37.

43. Хапаев М.М. Условия управляемости сингулярно возмущенных систем, содержащих сингулярные управления / М.М. Хапаев j j Докл. АН СССР. 1991. - Т. 320, N 2. - С. 300-302.

44. Цехап О.Б. Методы исследования управляемости и наблюдаемости нестационарных сингулярно возмущенных систем: автореф. дис. . .канд. физ.мат. наук / О.Б. Цехан. Минск, 1993. - 24 с.

45. Чистяков В. Ф. Управляемость линейных алгебро-дифференциальньтх систем / В.Ф. Чистяков , А. А. Щеглова j j Автоматика и телемеханика.- 2002. № 3. - С. 62-75.

46. Шолохович Ф.А. Об управляемости в гильбертовом пространстве / Ф.А. Шолохович // Диф. уравнения. 1967. - Т.З, N 3. - С. 479-484.

47. Ailon A. Controllability of generalized linear time invariant systems / A. Ailon // IEEE Trans. Aut. Control. - 1987. - V. AC - 32, N 5. - P. 429 -432.

48. Cobb J. D. Controllability, observability and duality in singular systems / J. D. Cobb // IEEE Trans. Autom. Control. 1984. - V. 29, N 12. - P. 1076 - 1082.

49. Cobb J.D. Topological aspect of controllability and observability / J.D. Cobb // J. of Math. Anal, and Appl. 1989. - V. 138. - P. 21 - 42.

50. Campbell S.L. Comment on controlling generalized state-space (descriptor) systems / S.L. Campbell // Int. J. Control. 1987. - V. 46, N 6. - P. 2229 - 2230.

51. Campbell S.L. Duality, observability and controllability for linear time varying descriptor systems / S.L. Campbell, N.K. Nichols, W.J. Terell // GRSC Tech. Rep. / North Carolina State University. 1990. - 3p.

52. Campbell S.L. Observability of linear time varying descriptor systems / S.L. Campbell, W.J. Terrel // SIAM J. Matrix Anal, and Appi. 1991. -V. 12, N 3. - P. 484 - 496.

53. Cheng Z. Controllability of generalized dynamical systems with constrained control / Z. Cheng , H. Hong , J. Zhang //J. Austral. Math. B. 1988. -V. 30, N 1. - P. 69 - 78.

54. Ishihara J. Y. Impulse controllability and observability of retangular descriptor systems / J.Y. Ishihara, M.H. Terra I j IEEE Trans. Aut. Cont.- 2001. V. 46, N 6. - P. 991 - 995.

55. Jacob B. Exact observability of diagonal systems with a finite dimensional output operator / B. Jacob, H. Zwart // Syst. and contr. letters. - 2001.- V. 43. P. 101 - 109.

56. Koumboulis F.N. On Kalman's Controllability and Observability Criteria for Singular Systems / Koumboulis F.N., Mertzios B.G. // Circuits Systems Signal Process. 1999. - V. 18, N 3. - P. 269-290.

57. Kokotovic P.V. Singular perturbation and order reduction in control theory an overview / P.V. Kokotovic , R.E. O'Malley, Jr.P. Sannuti // Automatica. - 1976. - V. 12, N 2. - P. 123 - 132.

58. Kokotovic P. V. Controllability and time-optimal control of systems with slow and fast modes / P.V. Kokotovic, A.H. Haddad // IEEE Trans. Aut. Cont. 1975. - V. 20, N 1. - P. Ill - 113.

59. Kopeikina T.B. The qualitive theory of control proceses / T.B. Kopeikina // Notes Mat. Univ. Andes. 2001. - N 215. - P. 1-73.

60. Lewis F.L. Reachability and Controllability for descriptor systems / F.L. Lewis , K. Qzcaldiran I j Proc. 27 Michvestern Symp. Circuits and Sys., Morgantown WV, June 1984. Morgantown, 1984. - P. 690 - 695.

61. Ozcaldiran К. A geometric characterization of the reachable and the controllable subspaces of descriptor systems / K. Ozcaldiran j j J. Circ. Syst. Signal Proc. 1986. - V. 5, N 1. - P. 37 - 48.

62. Paraskevopoulos P.N. Observers for singular systems / P.N. Paraskevopoulos, F.N. Koumboulis // IEEE Trans. Autom. Contr. -1992. V. 37, N 8. - P. 1211 - 1215.

63. Uetake Y. Adaptive observer for continuous descriptor systems / Y. Uetake // IEEE Trans. Autom. Contr. 1994. - V. 39, N 10. - P. 2095 - 2100.

64. Yip E.L. Solvability, controllability and observability of continuous descriptor systems / E.L. Yip, R.F. Sincovec // IEEE Trans. Autom. Control. 1981. - V. 3. - P. 702 - 707.

65. Zhou Z. Singular systems: a new approach in the time domain / Z. Zhou , M.A. Shayman , T.J. Tarn // IEEE Trans. Aut. Control. 1987.V. AC 32, N 1. - P. 42 - 50.

66. Zhang L. Robust guazanteed cost control of descriptor systems / L. Zhang, B. Huang, J. Lam j I Dynamics of Continuous Discrete and Impulsive Systems. Ser. B: Applications and Algorithms. 2003. - N 10. - P. 633 -646.

67. Раецкая Е.В. Об одной задаче наблюдения возмущенной системы / Е.В.Раецкая // Современные методы в теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. шк. "Понтрягинские чтения-XIII". Воронеж, 2002. - С.132.

68. Раецкая Е.В. Об одной задаче наблюдения возмущенной системы / Е.В.Раецкая // Математические методы и приложения : тр. десятых мат. чтений МГСУ. М. 2003. - С.80-85.

69. Раецкая Е.В. О критериях полной наблюдаемости одной системы /' Е.В.Раецкая // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Воронеж, зимн. мат. шк. : Воронеж, 2003. С. 207-208.

70. Раецкая Е.В. О влиянии "очень малых "возмущений на полную наблюдаемость одной системы / Е.В.Раецкая // Функциональные пространства, дифференциальные операторы, проблемы математического образования. М., 2003. - С. 215-216.

71. Раецкая Е.В. О полной управляемости дифференциально-алгебраической системы / Е.В.Раецкая // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронеж, весен, мат. шк. "Понтрягинские чтения - XIV".Воронеж, 2003. - С. 122-123.

72. Раецкая Е.В. О критериях полной управляемости линейной системы / Е.В.Раецкая // Математика. Математическое образование : тр. Рос. ассоциации "Женщины-математики". Воронеж, 2003. - С. 40-45.

73. Раецкая Е.В. Сравнение двух критериев полной управляемости стационарной системы управления / Е.В.Раецкая // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронеж, весен, мат. шк. "Понтрягинские чтения XV". - Воронеж, 2004. - С. 183-184.

74. Raetskaya E. V. On total conditionally controllability of singular perturbed descriptor system / E.V. Raetskaya // Mathematical modeling of social and economical dynamics : Proceeding of the International Conference. -M, 2004. C. 296-298.

75. Раецкая Е.В. О полной условной управляемости одной дескриптор-ной системы / Е.В.Раецкая // Математические методы и приложения одиннадцатых мат. чтений МГСУ, 26-29 янв. 2003. М.: 2004. - С.60-64.