Управляемость и устойчивость систем дифференциально-алгебраических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ПЕТРЕНКО ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ

УПРАВЛЯЕМОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск 2014

п т т

005548716

005548716

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте динамики систем и теории управления Сибирского отделения Российской академии наук (ИДСТУ СО РАН).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Щеглова Алла Аркадьевна, ИДСТУ СО РАН, зам. директора по н.р.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Фалалеев Михаил Валентинович, ИМЭИ ИГУ, директор

кандидат физико-математических наук Орлова Ирина Витальевна, НИИГТУ, доцент

Ведущая организация: Институт математики

им. С.Л. Соболева СО РАН (г. Новосибирск)

Защита состоится 19 июня 2014 г. в 10 ч. на заседании диссертационного совета Д 003.021.01 в ИДСТУ СО РАН но адресу: 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и па официальном сайте www.idstu.irk.ru ИДСТУ СО РАН.

Автореферат разослан 16 мая 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

Т.В. Груздева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследо-шшию качественных свойств систем обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной и тождественно вырожденных б области определения. Такого рода системы в литературе принято называть системами дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ). В линейном и в нелинейном случаях исследуются стаби-лизирусмость, устойчивость, управляемость, наблюдаемость, детектирус-мость, а также правильность и приводимость.

Рост интереса к исследованиям в области систем ДАУ стимулируется проблемами математического моделирования во многих прикладных областях: теории автоматического регулирования, оптимальном управлении со смешанными ограничениями, теории электронных схем и электрических цепей, механике, химической кинетике, гидродинамике и теплотехнике и др.

Систематическое исследование систем ДАУ и построение численных методов их решения началось в нашей стране (Ю.Е. Боярннцсв. D.M. Корсуков, Ю.Д. Шлапак, 1975) и США (C.W. Gear, S.L. Campbell L.R. Pctzold, 1971, 1973). Несколько позднее активно работающие в этой области математики появились в Германии (R. Maerz, Е. Griepentrog. M. Hanke, R. Lamour), a также в других странах, например в Швейцарии (Е. Hairer, Ch. Lubich).

Наряда' с исследованиями конечномерных задач активно развивается теория вырожденных дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в банаховых пространствах

Л[и'] + В[и) = /, кегЛ^О. (1)

Большую роль и развитии этого направления сыграли труды C.JI. Соболева и С.Г. Крейна. Важнейшие результаты теории уравнений вида (1) представлеш,I в работах H.A. Сидорова, М.В. Фалалеева (Иркутск), C.B. Успенского, Г.В. Демидснко, С.Г. Пяткова (Новосибирск), Г.В. Сви-ридкжа. В.Е. Федорова (Челябинск), И.В. Мельниковой (Екатеринбург), А.Г. Руткаса, Л.А. Власенко (Харьков), R.E. Shouolter, P. Chen, A. Favini. A. Yagi, K.J. Engel, R. Nagel, W. Rhcinboldt и их учеников.

Наиболее значимые результаты по теории управления и устойчивости систем ДАУ получены L. Dai, D. Cobb, F.L. Lewis, E. Jonckheere. S.L. Campbell, P. Mueller, R. Maerz, C. Tishchcndorf, V. Mehrmann.

Т. Stykel, V.H. Linh, A. Varga, C.A. Мазаником, Ю.Д. Шлапаком, Ю.Е. Bo-яринцевым, В.Е. Федоровым, Г.А. Куриной, С.П. Зубовой, И.А. Асмыко-вичем, В.М. Марченко, A.A. Щегловой и др.

За последние 30 лег теория ДАУ превратилась и быстро развивающуюся область современной математики. Несмотря на то, что уже опубликованы сотни работ, посвященных исследованию ДАУ, качественная теория таких систем далека от завершения. В настощее время достаточно полно исследованы линейные системы с постоянными коэффициентами. Известные из литературы результаты для линейных нестационарных систем или нелинейных ДАУ получены при довольно жестких ограничениях: постоянство рангов матриц при производной искомой функции, низкий индекс неразрешенное™1 системы, специальная структура. В связи с этим на настоящий момент актуальной задачей теории является получение результатов по качественным свойствам, ориентированных на системы ДАУ, не подчиняющиеся указанным ограничениям.

Цель работы состоит в получении достаточных, а также необходимых и достаточных условий стабилизируемое™, устойчивости, управляемости, наблюдаемости, детектируемости для линейных и нелинейных систем ДАУ в общих предположениях.

Объект исследования. В работе рассматриваются системы управления

F(í,z(i),i'(t).«(í)) = °. *€/ = [0,+00), (2)

где x(t) — искомая n-мерная вектор-функция; u(t) — ¿-мерная функция управления; F(t, х,у,и) : V -+ R-",

V - {(í, Х,у,и): te /; INI, IMI, Hull < K0} с R2n+,+1

(K0 - const > 0). Предполагается, что F(t,x,y,u) имеет в V достаточное число непрерывных частных производных по каждому из своих аргументов и det дР(1>х>У>и) о в V- Анализ проводится при допущении, что ду

функция F обладает свойством

F(í, 0,0,0) = 0 VíS/.

Изучаются качественные свойства ДАУ как в нелинейной (2), так и в линейной постановке

A(t)x'(t) + B(t)x(t) + U(t)u(t) = 0, (3)

1 Целочисленная величина, характеризующая меру неразрешенное™ ДАУ относительно производной. В диссертации используется попятис индекса по дифференцированию.

y(t) = C(t)x(t), tel, (4)

где A(t), B(t) — заданные (пхп)-матрицы, detyi(i) = 0 на U(t) и C(t) — заданные матрицы размеров nxl и тпхтг соответственно, y(t) — m-мерный наблюдаемый выход.

Методы исследования. В качестве методов исследования в диссертации использованы результаты из теории функций нескольких вещественных переменных, качественной теории систем ОДУ в нормальной форме, в частности, теории устойчивости, управляемости и наблюдаемости, а также аппарат обобщенных обратных матриц.

Методологической основой исследования, проведенного в диссертации, послужил разработанный A.A. Щегловой способ приведение рассматриваемой системы ДАУ (как в линейном, так и в нелинейном случае) к "эквивалентной структурной форме" с разделенными "дифференциальной" и "алгебраической" подсистемами.

Существование этой структурной формы доказано в условиях, близких к необходимым для регулярного поведения решений. При ее построении не используется замена переменных, вследствие чего сохраняется структура пучков матриц Якоби, описывающих систему. Нелинейные ДАУ, обладающие эквивалентной формой, допускают возможность исследования качественных свойств по линейному приближению. Кроме того, рассматриваемая ДАУ и ее структурная форма эквивалентны в смысле решений. В линейном случае метод преобразования к эквивалентной форме носит конструктивный характер, даст удобный способ нахождения многообразия решений и автоматически решает задачу о согласовании начальных данных.

Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми и доказаны в наиболее общих предположениях. Критерии R-унравляемости, Д-наблюдасмости, приводимости, правильности, устойчивости, стабилизируемое™ и детектируемости получены для таких классов линейных и нелинейных ДАУ, для которых неприменимы другие методики исследования. Допускается произвольно высокий индекс неразрешенное™, переменный ранг матриц Якоби dF/dx и dF/dx', сняты ограничения на ядра этих матриц и структуру системы как в линейном, так и в нелинейном случае.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов обусловлены строгостью доказательств, применением апробированных методой исследования, сравнением с известными резуль-

татами, а также обсуждениями на научных конференциях и семииарах.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные результаты по качественным свойствам охватывают широкие классы линейных и нелинейных систем ДАУ, у которых семейство решений не имеет особых точек. Полученные в диссертации условия являются конструктивными, сформулированы I! терминах входных данных и в предположениях, близких к необходимым для регулярного поведения решений.

Материалы диссертации могут быть использованы при разработке спецкурсов для студентов-математиков, а также при написании курсовых и дипломных работ, магистерских диссертаций.

Исследования по теме диссертации проводились в рамках проектов по программам СО РАН "Качественный и численный анализ гетерогенных систем" (№ гос. регистрации 01201351945), "Качественный анализ эволюционных уравнений и систем управления" (№ гос. регистрации 01201001351), Интеграционного проекта СО РАН № 85, Междисциплинарного интеграционного проекта № 107, программы Президиума РАН (проект № 17.1). программы ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (проект № 2012-1.2.1-12-000-1001-011), а также грантов РФФИ (проекты № 10-01-00132 и № 13-01-00287).

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В соответствии с паспортом специальности "01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление" в диссертации проведено теоретическое исследование качественных свойств систем дифференциально-алгебраических уравнений; получены достаточные, а также необходимые и достаточные условия стабилизируемое™, управляемости, наблюдаемости, устойчивости линейных и нелинейных ДАУ в общих предположениях (пн. 3, 5 области исследований).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались па Российско-монгольских конференциях молодых ученых по математическому моделированию, вычислительно-информационным технологиям и управлению, Иркутск (Россия) - оз. Хаих (Монголия), 2011, 2013; X Международной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление", Казань, 2012; III Международной школе-семинаре "Нелинейный анализ и экстремальные задачи", Иркутск, 2012, а также па ежегодных конференциях "Ляпуновские чтения", Иркутск, 20102013. Результаты диссертации обсуждались на семинаре в Институте ма-

тематики им. СЛ. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия; на семинаре и Институте математики, экономики и информатики ИГУ, Иркутск, Россия, а также неоднократно на семинарах Института динамики систем и

теории управления СО РАН.

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 5 статей [1-5] в журналах, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов диссертаций. Журналы, в которых опубликованы работы [1, 5], реферируются в международной базе цитирования SCOPUS. В совместных статьях [1, 4, 5] научному руководителю A.A. Щегловой принадлежат постановки задач и идеи некоторых доказательств.

В диссертации результаты научного руководителя, касающиеся разрешимости и построения эквивалентных структурных форм, приведены в первом и втором разделах первой главы со ссылками на соответствующие работы. Всс результаты, представленные в третьем разделе первой главы а также во второй и третьей главах, принадлежат автору диссертации. Все результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно. Результаты главы 1 опубликованы в работе [1], главы 2 - в работах [1,

3-51, главы 3 — в работах [2, 4, 5].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 142 наименования. Общий объем диссертации составляет 137 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведена постановка задачи, пояснена специфика объекта исследования, обоснована актуальность темы диссертации, приведены обзор литературы по данной тематике и краткое содержание работы, сформулированы основные результаты и обоснована их новизна.

В нервом и втором разделах первой главы содержатся вспомогательные сведения, касающиеся построения и некоторых свойств эквивалентной структурной формы для линейных и нелинейных систем ДАУ, сформулированы теоремы существования. Эти результаты послужили основой для

анализа, проведенного в других разделах диссертации.

Определение 1. Система конечных уравнений

/ \

= 0,

jFr(t,x,y,zu...,zrlu,v,,...,vr) -

Fi{t,x,y,zi,u,vi)

\ FT(t,x,y,Zi,...,zT,u,vi,...,vT) )

В которой х7у,г, € е ^ а функции

• ^ и' "'У/;' ^ Ч = г) обладают свойством: для любых двух вектор-функций € е С>(/) („ и /-мерной соответственно)

¿(0, ........, =

= (я)'^'М'МШ)),

называется г-продолжепной системой по отношению к ДАУ (2)

Поставим в соответствие функции РЦ, х, у, и) следующие матрицы размеров п(г +1) х пг, „(г +1) х п(г+1) и п(г +1) х п(г + 2) соответственно:

= IV) = ... дТг/дгГ),

Гг., = {дТг/ду Гг,г), Гг,. = (дТг/дх ГГ:У).

тТ^ТТ ДАУ (1) На ИНТерП£Ше Т ^ 1 бУДем понимать функцию С {1>> обращающую систему (1) „ тождество на Т при подстановке 1еорсма I2. Пусть

1) Р{Ь,х,у,и) е СГ+2(Х>);

% ^х*™; -_ +1);

4) в матрице Гг,х(аг) существует квадрат,пал подматрица порядка

+ вкм°™ющая в себя р столбцов матрицы Гг,г(аг) и п первых столбцов матрацы Гг<у(аг);

5) гапкГг+1,э(аг+1) = гапкГ,,у(ог) + п.

Тогда па некотором интервале 1Т = (£о -т,10 + т) с I все решения системы (2) являются решениями системы

= (5)

*а(*) - Ш, Х1Ц), и(1), „'(¿),..., цМф), (6)

и наоборот. Здесь

(7)

вектор-функции х^) и х2® имеют размерности п-йий = пт~о соответственно; д - матрица перестановок строк.

^5^А2Ш8У^Го~™ИПСЙПЬК снстом // Автоматика и

Определение 2. Система (5), (6) называется эквивалентной структурной формой для ДАУ (2).

Определение 3. Начальные данные x(to) = xq будем называть согласованными с системой (2), если выполняется соотношение

za(fo) = fait, ii(io), u{to),u'(to),uw(io)). Эквивалентная форма для линейной ДАУ (3) получается как результат

г •

действия на ДАУ (3) оператора 72. — ^ Rj(t) (jt) и имеет вид3

j=0

г

xi(t) + Mt^it) + Y, = О, (8)

г

j=0

где xi(i) и Х2(t) определяются по формуле (7). Оператор Л определен единственным образом и обладает левым обратным оператором

M = Mü{t) + Ml{t)jt. (10)

Если

т = dF(t,x,y,u){tMQl т =

W = 0F(t£VlU)(*.o,o,o), (11)

то система (3) будет линейным приближением для ДАУ (2). Известно2, что при выполнении предположений 2) 5) теоремы 1 и условия F(t,x,y,u) S С2г+2(Х>) система (8), (9), определенная на некотором интервале Iq С 1Т, является системой первого приближения для ДАУ (5), (6).

В третьем разделе первой главы построена эквивалентная структурная форма, получены условия согласования начальных данных и доказана теорема о разрешимости сопряженной линейной системы ДАУ

(¿T(i)z(i))' - BT(t)z(t) + CT(t)ü(t) = 0, (12)

3Щсглова A.A. Существование решения начальной задачи ;у1Я вырожденной линейной гибридной системы с переменными коэффициентами // Известия вузов. Математика. 2010. № 9. С. 57- 70.

y(t) = uT(t)z(t), tel. (13)

Получены условия, при которых оператор замены переменной, преобразующий сопряженную ДАУ к эквивалентной форме, имеет правый обратный.

Во второй главе исследуются качественные свойства линейных нестационарных систем ДАУ.

В первом разделе получены достаточные и необходимые и достаточные условия Д-управляемости ДАУ (3) и Я-наблюдаемости сопряженной системы (12), (13), в частности, в терминах матриц управляемости и наблюдаемости.

Определение 4. Система (3) называется В-управляемой, если за конечное время она может быть переведена из любого согласованного начального состояния х0 в любое состояние из достижимого множества М за счет выбора вектор-функции управления u(t).

Множество М С R" называется достиэюимым из xq Е R", если существует достаточно гладкое управление u(t), которое переводит систему (3) из состояния хо в некоторое состояние zi € М за конечное время.

Определение 5. Система (12), (13) называется R-паблюдаемой на отрезке I, если по известному выходу (13) и управлению u(t) можно единственным образом восстановить решение z(t) системы (12).

Показано, что система (3), (4) Я-наблюдаема, если iZ-управляема система (12). В свою очередь, Д-наблюдасмость ДАУ (12), (13) влечет за собой Д-управляемость системы (3).

Второй раздел посвящен стабилизируемое™ ДАУ с векторным управлением. Обоснованы достаточные условия стабилизируемое™, и предложен алгоритм синтеза стабилизирующего управления.

Определение 6. ДАУ (3) будем называть стабилизируемой, если существует обратная связь м(£) = H(t)x(t) такая, что замкнутая система

A{t)x'(t) + {B{t) + U{t)H{t)) x{t) = О

асимптотически устойчива.

Рассмотрим систему специального вида со скалярным управлением w(t)

x\(t) + Ji(t)Xl(t) + bi (t)w(t) = 0, (14)

x2{t) + J2(t)xl(t) + b2(t)w(t) = 0,

где Ji(t), J2(t) — матрицы из системы (8), (9); xi(f), x2{t) связаны с функцией x{t) соотношением (7).

Если /C(i) обратима па /, то определим функцию

w(t) = КГ^Ж«-^) = colon(t/i(i), «2(0, -.., V„-d(i)), (16) где colon(f i(i), v2(t),..., vn-d(t)) обозначает вектор-столбец с элементами

Vi(t),...,Vn-d(t).

Теорема 2. Пусть

1) A(t), B(t) е c4(r+1)+"-d(0, e c,(r+1)+n-,'(/);

2) в от,ношении ДАУ (3) выполнены условия 3), 4) теоремы 1;

3) rank U(L) = const;

4) rank W(t) = const < n, где

MQ(t) и Mi(t) — коэффициенты, левого обратного оператора (10) для И, U~(t) -- любая полуобратная для U(t) матрица с элементами из пространства

5) существует функция g{t) g С3г+2+n-d(I) такая, что для функции

b(t) = (Е - W~{t)W{t))g{t) = colon (62(i)AW)

выполняются условия:

i) в (15) K,{t) — матрица Ляпунова;

п) в (16) каждая из функций «¡(а') € <У~1(1) (г = l,n-d) ограничена вместе со своими производными до порядка г — 1 включительно;

6) II^WIIr" < h = const; |jJ2{t)\\ <h = const. Тогда найдется управление вида

стабилизирующее систему (3), при этом и>(4) — скалярное управление, стабилизирующее систему (Ц)-

В третьем разделе первой главы получены условия детектируемое™ для системы

W(t) =

{ (Е- U{t)U~(t)) M0(t) -jt({E- U{t)U-{t)) M^

V (Е-ит-тм^)

и I

.(0 = ir(t) (M0(t)b(t)w(t) + (b{t)w{t))j ,

A(t)x'(t)+B(t)x(t) = 0, t G I,

(17)

со скалярным выходом

у(4) = ст(*М*). (18)

Определение 7. Система (17), (18) называется детектируемой, если существует такая достаточно гладкая п-мерная вектор-функция что система

А{г)еЦЬ) + (В(<) - ¿(¿)ст(г)) е(0 = О

асимптотически устойчива.

Обоснованы достаточные условия детектируемости ДАУ (17), (18) индекса 1.

В четвертом и пятом разделах в предположениях существования эквивалентной структурной формы получены критерии приводимости и правильности ДАУ (3), доказаны теоремы о связи этих свойств.

Третья глава посвящена исследованию качественных свойств нелинейных систем вида (2) по первому приближению.

В первом разделе рассматривается локальная Д-управляемость в ноль. Под локальной /{-управляемостью к ноль подразумевается возможность перехода ДАУ (2) из любого согласованного начального состояния в ноль за счет соответствующего выбора гладкого управления. Теорема 3. Пусть

1) Р&х,у,и) е с2г+2(х>), и(г) е с2г+1С0;

2) выполнены условия 2)-5) теоремы 1.

Если система 1-го приближения (3) Я-управляема или локально Я-управляема в ноль па отрезке Т = [io.il] С 1Т, то ДАУ (2) является локально Я-управляемой в ноль на этом отрезке.

Во втором разделе получены условия локальной /{-наблюдаемости, которую, в предположениях теоремы 1, можно понимать как локальную наблюдаемость подсистемы (5).

Определение 8. Система (2) с выходной функцией

у(1) = ф(1,хЦ)) (19)

называется локально Я-иаблюдаемой на отрезке Т = [¿о, ¿1] С 1Т, если существует такое число <5 > 0, что для любых го, г0 £ И""11 из ¿-окрестности точки х\ = 0 выполняется условие

фЦ, ХгН, ¿о, -го)) Ф ФИ, ХхН, ¿о, го)), * € 1т, где х\Н,Ьо,го) — решение системы (5) с начальным условием х\(Ьо) = го-

В предположениях теоремы 3 доказано, что полная наблюдаемость си-

™РВ01"° (3) «* врезке Г = fo.tj С /г влечет за

собой локальную Л-паблюдасмость нелинейной системы ДАУ (2) (19)

В третьем, и четвертом разделах построена глобальная эквивалентная структурная форма для нелинейных ДАУ, доказана глобальная теорема существования решения задачи Коши. На основе этих результатов доказаны теоремы о стабилизируемое™ (в случае скалярного управления) и устойчивости нулевого положения равновесия нелинейной системы по первому приближению.

Определение 9. Систему (2), допускающую представление

A{t)x'{t) + B(t)x(t) + U(t)u(t) + r(t, x, x\ u) = 0,

будем называть стабилизируемой, если существуют достаточно гладкие (I х п)-матрила П(4) и вектор-функция p(t, х) такие, что при

u(t) = Sl(t)x(t)+p(t,x) (p(t,Q) = 0) нулевое положение равновесия замкнутой системы

F(t, x(t), x'(t), Q(t)x(t) + p(t, x(i))) = 0 асимптотически устойчиво при любых нелинейных функциях r(t, х, х', и) ких= Г;1ТГ=0ЩИХ "еКОТОРЫМ уСЛШшям малос™ в окрестности точ-

„Htfnïv "0;ЮЖе"ИЯХ' °^еспсчш'а1ощих эквивалентность в смысле решений ДАУ (2) системе вида

= <Pi(t,xi(<).«(<)), x2(t) = Mt,xi(t),u(t),u'(t),...,uV(t)),

порчены достаточные условия стабилизируемости системы (2)

Пусть в (2) функция F не зависит от переменной и. Допустим, что имеют место предположения 2)- 5) теоремы 1, условие F(t, х, у, и) е C2r+2(V) и функция F(t,x,y) определена в области V = / х ХхЪ» то у -

V, V Tld V С 1nn-d > '/"Л* <"t —

Л.1 Л н. , Л t К, — окрестность точки 2^ = 0 (см (5)-(7)) Введем обозначения: Zj = (гь ..., Zj), j = г> r + j

L{C) = «Si = ^ Ы',

С — некоторая (р х д)-матрица.

Подматрицу, фигурирующую в условии 4) теоремы 1, обозначим

= i). W

где colon (Zh Z2) = QtZr; *i e Rnfi, e Rrf (CM. (7)), Zx € R", e Rd; Ql — матрица перестановок строк.

Построим для (2) (г + 1)-продолжснпую систему

Fr+1(t,x,y,2r+1) = 0.

fdfr+i д?т+А

Предположим, что в п{г + 2) х (п + ^-матрице -g^— J име-

ется подматрица S размеров п(г + 2) х п такая, что в некоторой области

rank Гг+1,г = rank S^=p + n. (21)

При этом

S=^^{t,x,y,Z1,Z3,Z4), (22)

0Z3

где colon (Z3,24) - Q2 colon (Z2, zr+l), Q2 - матрица перестановок строк, g Rn, € Zi, Zi Q Rrf - окрестность точки = 0. Обозначим

(dTr+i дЪ+1 дТг+1 дТг+Л А (дЯг+1 дТг+1

Ar+1 = dz3 )' \ dt dxL dZ4 J ■

Теорема 4. Пусть

i)F(t,x,y)ec?+4v); л „ ,

rankГгz = p = const всюду в области Vx Z, где Z — W У-Z2, Z2 QRd — окрестность точки Z2 = 0;

3) в матрице Гг.г имеется квадратная порядка n{r + 1) подматрица (20), обратимая всюду в области V х Z и включающая в себя р столбцов матрицы ГГ)2 и п первых столбцов матрицы ГГг!/;

4) в матрице (^Г1 ^¡f) имеется (п(г + 2) х п)-подматрица (22)

такая, что в области V X Rp х Rn х Zi имеют место равенства (21);

5) существует непрерывная функция v(s) : / -> / со свойствами

00 f ds

v(s) >0, s 6 (0,00); I

v{s)

такая, что справедливы оценки

I (Дг+1) > О, L (д) /I (Дг+i) < и (||(х2, у, Zu Z3)\\) ■

Тогда любое решение системы (2) является решением системы

ix(i) = /i(*. *!(*)). *2(t) = Mt,xi(t)) (23)

и наоборот. При этом функции /о и fx определены всюду в области

I х Х\-

В сделанных предположениях система (2) может быть представлена в форме

A(t)x'(t) + B(t)x(t) + r(t, x{t),x'{t)) = О, где A(t), B(t) определяются из (11), функция r(t,x,y) удовлетворяет условию

lim r{t,x,y) _ 0 ¡WI.NHO ||х|| + \\у\\ В предположениях теоремы 4 систему (23) можно записать в виде

x'x(i) + Ji(*)xi(i) + n(i, xt(t)) = О,

®a(t) + Ji(t)xi(t) 4- r2(t, ®x(t)) = 0, (24)

( r2f'Xl\ ) =K[r{t,x,x')], (25)

V n(t,xi) J

оператор К преобразует систему первого приближения в эквивалентную форму.

Теорема 5. Пусть

1) F(t,x,y)e c2r+4v);

2) выполнены предположения 2)-5) теоремы 4;

3) существует константа m > 1 и функция fi(t) G С(I), имеющая неположительный характеристический показатель, такие что в некоторой окрестности точки хх = 0 функция ri(t,x{) из (25) подчинена условию

1Ь(*,х i)||<M№iUm;

4) система x\(t) + Jx(t)xi{t) = 0 правильна и все ее характеристические показатели отрицательны;

где

5) в (24) J2 имеет неположительный хара,ктперистичекий показат,ель и IMMi)||-> 0 туш ||Ж1||0.

Тогда тривиальное решение уравнения (2) асимптотически устойчиво.

В заключении основные результаты работы обсуждаются с точки зрения перспективы дальнейших исследований.

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Построена эквивалентная форма, получены условия согласования начальных данных и доказана теорема о разрешимости для сопряженной линейной системы ДАУ.

2. Для линейных ДАУ с векторным управлением получены условия стабилизируемое™, для систем индекса 1 получены условия дстсктируе-мости. Обоснованы достаточные и необходимые и достаточные условия Д-уиравлясмости и R- п аб л год ас м ост и, доказаны теоремы о связи этих свойств. Получены критерии приводимости и правильности.

3. Для нелинейных систем получены условия локальной Д-управляе-мости в ноль, локальной Д-наблюдаемости, достаточные условия стаби-лизируемости и устойчивости по первому линейному приближению.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

1. Щеглова А.А., Петренко П.С. R-наблюдаемость и R-управляемость линейных алгебро-дифферепциальных систем // Известия вузов. Математика 2012. № 3. С. 73-91.

2. Петренко П.С. Локальная R-управляемость в ноль нелинейных алгебро-дифференциальных систем // Известия ИГУ. Математика 2011. № 4. С. 101-115.

3. Петренко П.С. Детсктирусмость линейных систем дифференциально-алгебраичсских уравнений // Известия ИГУ. Математика 2013. № 3. С. 109-116.

4. Щеглова А.А., Петренко П.С. Правильные системы дифференциально-алгебраических уравнений // Известия ИГУ. Математика 2013. № 4. С. 107-127.

5. Shcheglova А.А., Petrenko P.S. Stabilizability of solutions to lincar and nonlinear differential-algebraic équations // Journal of Mathematical Sciences 2014. № 4. P. 596-615.

Рсдакцнонпо-тдагельский отдел Федералi.iloro государственного бюджетного учреждения науки Инсттлта динамики систем и теории управления СО РАИ 664033. Иркутск, ул. Лермонтова, д. 134 E-mail: riofti-iec.ru

Подписано к печати 11.04.2014 г. Формат бумаги 60x84 1/16. объем 1,1 п.л. Заказ 3. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ИДСТУ СО РАН

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт динамики систем и теории управления Сибирского отделения Российской академии наук

Управляемость и устойчивость систем дифференциально-алгебраических уравнений

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На 'про,в ах рукописи

04201459234

Петренко Павел Сергеевич

Научный руководитель: д.ф.-м.н. А.А. Щеглова

Иркутск - 2014

Оглавление

Введение 3

1 Эквивалентная структурная форма 21

1.1 Эквивалентная форма для линейных ДАУ..............21

1.2 Эквивалентная форма для нелинейных ДАУ.............27

1.3 Сопряженная система..........................34

1.3.1 Эквивалентная форма......................34

1.3.2 Разрешимость..........................41

2 Линейные системы 46

2.1 Д-управляемость и Д-наблюдаемость.................46

2.1.1 Определения...........................46

2.1.2 Критерии Д-паблюдаемости и ^.-управляемости.......48

2.1.3 О взаимосвязи свойств Д-управляемости и Д-наблюдаемости 53

2.2 Стабилизируемос.ть линейных ДАУ с векторным управлением . . 57

2.3 Детектируемоеть.............................65

2.4 Приводимость дифференциально-алгебраических уравнений ... 70

2.5 Правильные системы..........................76

3 Нелинейные системы 80

3.1 Локальная Д-управляемость в ноль..................80

3.2 Локальная Д-паблюдаемость......................88

3.3 Стабилизируемость по линейному приближению ..........90

3.3.1 Вспомогательные сведения...................90

3.3.2 Условия стабилизирусмостп ..................99

3.4 Устойчивость нелинейных систем по первом}-- приближению . . . .105

Заключение 117

Литература 119

Введение

Актуальность темы и объект исследования.

В работе рассматриваются управляемые системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) вида

= о, ге/ = [о,+оо), (0.1)

не разрешенные относительно производной искомой вектор-функции X' : / —>■ И71 и тождественно вырожденные в области определения:

дРи. х. у. и)

с1е1-^ ' ' ' = 0.

ду

Исследуются качественные свойства таких систем как в нелинейной постановке (0.1), так и в линейном случае

А(г)х'{г) + в{г)х{г) + и{г)и(г) = о, detЛ(í) = o, г е /, (0.2)

где А(Ь), В(Ь) — заданные (пх?г)-матрицы, С/(t) — заданная матрица размеров п х /, и^) — /-мерная функция управления.

В литературе для обозначения систем такого рода использовалось множество названий: алгебро-дифференциальные системы [50, 52. 57], сингулярные системы [4, 74, 81], системы ОДУ, неразрешенные относительно производных [53], вырожденные [3, 85]. неявные [73] или полуявные [62, 72], дескрипторные системы [71, 115] и другие. В настоящее время в англоязычной литературе термин ^дифференциально-алгебраические уравнения (ДАУ)" потеснил другие названия

и вошел в AMS Subject Classification. В диссертации используется именно этот термин для обозначения объекта исследований.

Рост интереса к исследованиям в области систем ДАУ стимулируется проблемами математического моделирования во многих прикладных областях: теории автоматического регулирования, оптимальном управлении со смешанными ограничениями, теории электронных схем и электрических цепей, механике, химической кинетике, гидродииамике и теплотехнике [3-5, 22, 26, 38, 52, 81].

Диссертация посвящена исследованию качественных свойств систем ДАУ. Получены условия Д-управляемости, i?-наблюдаемости, устойчивости и стабилизируемости для ДАУ (0.1), (0.2), а для линейных систем также условия детектируемости, правильности и приводимости.

По своим свойствам ДАУ существенно отличаются от систем ОДУ, разрешенных относительно производной (в нормальной форме). Решение ДАУ зависит от производных входных данных вплоть до порядка, совпадающего с размерностью системы. В общем случае отсутствует непрерывная зависимость решений от входных данных, а пространство решений может оказаться бесконечномерным. Неоднородная система может быть несовместна на своей области определения. Структура пучка матриц Якоби, описывающих систему, не инвариантна относительно преобразований, использующих замену переменных. Эта специфика обусловливает не только необходимость поиска принципиально новых теоретических подходов, но и переосмысления многих базовых понятий классической теории ОДУ, таких как устойчивость, управляемость, наблюдаемость и т.п.

В теории ДАУ одной из важнейших характеристик, отражающей меру неразрешенное™ системы относительно производной, является индекс неразрешенное™. Сравнительный анализ различных определений индекса приведен, в частности, в книге [50].

S.L. Campbell сформулировал понятие индекса ДАУ, связанное

с понятием г-продолженной системы [64, 67, 73, 76]. Под г-продол-женной системой понимается совокупность ДАУ (0.1) и г ее полных производных по t

( X, х') \

0.

(0.3)

Система (0.3) рассматривается как система конечных уравнений с независимыми переменными I, х, х',..., в предположении, что начиная с некоторого натурального р из (0.3) при р < г можно выделить уравнение вида х' + ф(Ь,х) = 0. При этом число р называется индексом по дифференцированию системы (0.1). Показано, что при выполнении некоторых ограничений решения полученной системы являются решениями ДАУ (0.1).

В работах [50, 52, 57] введено понятие левого регуляризирующсго оператора, действие которого преобразует ДАУ (0.1) к нормальному виду. Под индексом системы (0.1) понимается дифференциальный порядок такого оператора.

В монографии Р.Л. ИаЫег и ¥/.С. Ш1етЬо1с1Ь [117] рассмотрены многие аспекты качественной теории ДАУ. В частности, для квазилинейной автономной системы предлагается процедура последовательного понижения индекса ДАУ с помощью многообразий касательных пучков. Стабилизация процесса означает, что исходная система становится эквивалентна системе ОДУ в нормальной форме на некотором многообразии. Осуществление такой редукции требует на каждом шаге постоянства ранга матрицы при производной искомой функции на определенных многообразиях. Это ограничение значительно сужает класс рассматриваемых систем по сравнению с тем, который охватывается процедурами нормализации, предложен-

ными в работах [57, 64, 67, 73, 76].

Большое внимание ДАУ вида (0.1) индекса 1 и 2, а также численным методам их решения уделено в работах математиков Берлинской школы (см., в частности, [99, 107, 108]). При этом вводится свое определение индекса: tractability index, опирающееся на применение различных проекторов. В частности, линейная система A(t)x'(t) + B{t)x{t) + /(£) = 0, t € Т, имеет tractability index 1, если матрица A(t) + B(t)P(t) пеособениа для любого í 6 Т, P(t) — проектор па ядро матрицы A(t). Понятие tractability index существенно уже понятия индекса по дифференцированию, поскольку оно требует постоянства ранга матрицы dF/dx'.

В работе Р. Kunkel и V. Mehrmann [98] для нормализации ДАУ вида (0.1) также привлекаются продолженные системы. Здесь уже не требуется, чтобы rank<9F(í, x,x')/dx' = const, но основными ограничениями являются, в частности, предположения о том, что множество решений продолженной системы (0.3), представляет собой одно многообразие в пространстве Rn(r+2)+1, у. матрица

имеет постоянный ранг на этом многообразии. Следует заметить, что это единственная известная работа по нелинейным системам высокого индекса, в которой предположения охватывают системы с бесконечномерным многообразием решений. Для определения индекса вводится понятие strangeness index, который является одним из вариантов определения индекса по дифференцированию для нерегулярного случая, когда ранг матрицы

постоянен на всем множестве решений продолженной системы, по не является полным. Если же ранг этой матрицы полный, и все

решения продолженной системы лежат на одном многообразии, то strangeness index совпадает с индексом по дифференцированию.

В диссертации при анализе используется индекс по дифференцированию.

Активно развивается теория вырожденных дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в банаховых пространствах [6, 13-16, 19-27, 36, 37, 48, 49, 85, 112, 125]

A[u'} + B{u} = f, ker Д ф 0. (0.4)

Иркутскими математиками Н.А.Сидоровым, М.В. Фалалеевым и их учениками выполнен большой цикл работ по исследованию систем вида (0.4) в конечномерном и бесконечномерном случаях в предположении фредгольмовости или петеровости оператора А [39, 40, 44, 45, 123].

Еще 20-25 лет назад считалось, что в приложениях встречаются лишь самые простые случаи ДАУ индекса 1 и 2 (см., например, [4]). На сегодняшний день у специалистов, работающих в области ДАУ, не возникает сомнений в том, что на практике довольно часто приходится решать системы индекса 3 и выше. Примерами могут служить системы, моделирующие различные электронные схемы, работу роботов-манипуляторов и многие другие объекты [67, 80, 101, 119].

За последние 30-35 лет теория систем ДАУ превратилась в быстро развивающуюся область современной математики. Опубликованы сотни работ, посвященные исследованиям систем ДАУ и численным методам их решения [2, 52, 64, 117]. В то время как литература по приближенным методам решения ДАУ уже трудно обозрима, проблемы изучения вопросов качественных свойств представлены 4>рагментарно и не посят законченного и систематического характера. Как будет видно из приведенного ниже краткого обзора, в этом смысле достаточно полно исследованы линейные системы с постоянными коэффициентами. Известные из литературы результаты для

линейных нестационарных систем или нелинейных систем ДАУ получены при довольно жёстких ограничениях: 1) постоянство рангов матриц, при производной искомой функции; 2) низкий индекс системы; 3) специальная структура. В связи с этим па настоящий момент актуальной задачей теории является получение результатов по качественным свойствам систем ДАУ без описанных выше ограничений. Именно такие системы рассматриваются в диссертации.

Обзор литературы.

Различные аспекты управляемости и наблюдаемости для систем, разрешенных относительно производных,

x'{t) + F{t,x{t),u{t)) = 0, tel, (0.5)

как в линейном, так и в нелинейном случае хорошо изучены (см., в частности, [8-10, 12, 41-43]).

В теории ДАУ используются различные понятия управляемости.

Свойство полной управляемости (см. также [50, с. 121] и [111]) впервые было определено и исследовано для стационарных ДАУ в статье [140]. В книге [81] для линейных ДАУ с постоянными коэффициентами и регулярным матричным пучком вводится 3 важнейших понятия: управляемости, Я-управляемости и импульсной управляемости. Полученные алгебраические критерии используются при анализе задачи минимизации квадратичного функционала на решениях линейной ДАУ с постоянными коэфицисптами. В [68] получены условия Я-управляемости для линейных ДАУ с бесконечно-дифференцируемыми коэффициентами.

Д-управляемость означает возможность перехода ДАУ из любого согласованного начального состояния в любое состояние из достижимого множества за счет выбора соответствующей достаточно гладкой вектор-функции управления. Под достижимым множеством понимается объединение по всем возможным согласованным

начальным векторам ж о всех множеств состояний, в которые ДАУ может быть переведена из хо за конечный промежуток времени при соответствующем выборе управляющего воздействия.

Свойство импульсной управляемости позволяет с помощью подходящего управления менять индекс системы, в частности, преобразовать (0.1) в ДАУ индекса 1. Для стационарных ДАУ определение импульсной управляемости совпадает с понятием "управляемости па бесконечности" (см., в частности, [78, 96]). В [111] импульсная управляемость для систем с постоянными коэффициентами определяется как существование управления вида u(t) = F\x(t) 4- u(t) (F\ - некоторая матрица) такого, что система, замкнутая этой обратной связью, имеет регулярный пучок и индекс равный единице.

"Сильная управляемость" [65, 93] означает одновременное наличие у ДАУ свойств Я-управляемости и импульсной управляемости.

В работе [92] для линейных ДАУ вида (0.2) с полиномиальными коэффициентами вводится определение "управляемости через траектории". Не вдаваясь в детали, это понятие можно пояснить так: любые две пары (траектории) (х'ц)^), U(i)(t)) и (x(2){t), u^){t)), удовлетворяющие уравнению (0.2), могут быть связаны некоторой траекторией (x'(3)(i), ii(3)(i)), также удовлетворяющей (0.2), таким образом, что за конечное время траектория переходит в {x(2){t),U(2){t)) через (x'(3)(i), u(3)(i)).

В статье [60] для линейных и нелинейных управляемых ДАУ общего вида введено понятие локальной нуль-управляемости. Это понятие аналогично тому, которое определено для систем, разрешенных относительно производной искомой вектор-функции (ср., па-пример, [9]).

Различные определения управляемости ДАУ обсуждаются также в [65, 93, 111].

В книге [81] на основе приведения системы к канонической форме Кронекера детально исследована проблема управляемости и на-

блюдаемости линейных ДАУ с постоянными коэффициентами. Различные типы управляемости и наблюдаемости линейных стационарных ДАУ (в том числе управляемость на бесконечности, импульсные управляемость и наблюдаемость) рассматривались, в частности, в [68, 78, 93, 96, 111, 140]. Некоторые вычислительные аспекты проблемы наблюдаемости представлены в [130].

В статье [51] обоснованы признаки полной управляемости линейных нестационарных ДАУ. Используемая техника приведения к виду, разрешенному относительно производной, опирающаяся на преобразование к центральной канонической форме [9], позволила исследовать системы с вещественно аналитическими коэффициентами. В [60] исследована локальная пуль-управлемость нелинейной ДАУ по первому приближению. Получены критерии полной управляемости для линейных ДАУ с гладкими коэффициентами.

В работах [120, 133] для исследования управляемых линейных ДАУ с постоянными коэффициентами применяется преобразование Лапласа, на основе чего строятся довольно обширные теории, которые в некотором смысле являются частотными аналогами управляемости и наблюдаемости.

В обзоре [115] управляемые системы ДАУ в форме

x[{t) = f1{x1{t),x2{t),u{t))1 0 = f2(x1{t),x2{t),u(t))

подразделяются на два типа: системы, поведение которых определяется только управляемым входом (casual systems) и системы, зависящие также и от производных управления (non-casual systems). Для первого типа доказана применимость припципа максимума Понтря-гина. То же разделение играет ведущую роль и при анализе линейно-квадратичной задачи оптимального управления со связями в виде линейной управляемой стационарной ДАУ [114]. Система преобразуется к канонической форме Кронекера, а оптимальное управление строится через решение соответствующего уравнения Риккати.

В монографии [50] обоснованы признаки полной управляемости

ч

линейных ДАУ с вещественно аналитическими коэффициентами. Статья [60] посвящена исследованию локальной нуль-управлемости нелинейных ДАУ по первому приближению. В работах [68, 70] получены критерии Д-управляемости и ^-наблюдаемости для линейных систем с бесконечно-дифференцируемым и коэффициентами.

В работах [46, 47] исследуется управляемость линейных и полулинейных систем с операторными коэффициентами в банаховых пространствах.

Проблема стабилизации линейных ДАУ с постоянными коэффициентами привлекает внимание специалистов на протяжении последних 30-ти лет [81, 82, 104, 132, 136, 142]. В книге [81, с. 71] на основе преобразования системы к канонической форме Кроиексра [11, с. 315] показано, что стационарная система Ах'(Ь)-\-Вх(Ь) + ии(1) = 0 с регулярным матричным пучком стабилизируема тогда и только тогда, когда гапк(АЛ + В, и) = п при любых комплексных числах А : Ле(А) < 0. Доказано, что достаточным условием стабилизируемости системы является ее Я-управляемость.

В статье [132] предложены приближенные методы построения обратных связей, решающих задачи стабилизации и регуляризации.

В ряде работ исследуется проблема робастной стабилизации линейных стационарных ДАУ (см., например, [82, 104, 136, 142]). В статье [104] доказана разрешимость задачи робастной стабилизации ДАУ с ограниченным по норме возмущением в матрице при производной в предположении, что возмущение не меняет ранга матрицы.

Возможности стабилизации и робастной стабилизации посредством управления вида к\(1)х(Ь) + к2{Ь)х'(Ь) изучаются в работе [82]. Предполагается, что коэффициенты системы принадлежат компактным множествам из подходящих матричных пространств.

В [136] рассматривается класс линейных ДАУ с возмущенными матрицами В и II. С помощью "вспомогательной5'' функции система расщепляется па две подсистемы, одна из которых пе зависит от

управления.

На основе обобщенных матричных уравнений Ляпунова и Рик-кати в работе [142] получено достаточное условие робастиой устойчивости и предложен способ построения стабилизирующего управления для линейной стационарной ДАУ с нелинейным ограниченным возмущением. Подобная постановка задачи исследуется в работе [122], в которой предложен алгоритм построения нелинейного стабилизирующего управления.

Что касается линейных ДАУ с переменными коэффициентами, то автору известны работы по стабилизации и стабилизируемое™ систем с постоянной матрицей при производной искомой вектор-функции [91, 94, 127]. В [94, 127] получены условия робастной стабили