О некоторых задачах управляемости нелинейных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Метод штрихованных границ траекторных воронок управляемых систем.

§ 1. Траекторные воронки управляемых систем.

§ 2. Особые многообразия управляемых систем.

§ 3. О степени гладкости границ траекторных воронок линейных систем.

Глава 2. Устойчивая управляемость нелинейных систем.

§ 4. Различные типы локальной управляемости.

§ 5. Устойчивая управляемость на плоскости.

§ 6. Устойчивая управляемость в!".

Глава 3. Глобальная устойчивая управляемость.

§7. Вспомогательные утверждения.

§ 8. Достаточные условия глобальной устойчивой управляемости.

В данной работе рассматривается управляемая система x = f{x,u), жег, иеисшт (0.1) и различные вопросы управляемости данной системы.

Проблемы управляемости динамических систем, интенсивно изучаемые с 1961 года, когда на первом конгрессе ИФАК был прочитан доклад Р. Е. Калмана [12], не потеряли своей актуальности и сейчас. В линейной постановке эти вопросы хорошо изучены и достаточно полно освещены в научных монографиях и учебных пособиях. Для нелинейных же систем вопрос об управляемости, в частности исследование локальной нуль-управляемости, исследован не настолько хорошо, как для линейных систем. Особый интерес представляет исследование локальной нуль-управляемости в, так называемом, «критическом случае» (т. е. в случае, когда система линейного приближения для системы (0.1) не является вполне управляемой). Именно критические случаи доставляют массу интересных эффектов пограничной управляемости. Например, показано, что система может быть управляемой и при этом не являться устойчиво управляемой (см. ниже). Целью данной работы является изучение условий локальной управляемости, устойчивой локальной управляемости, устойчивой глобальной управляемости и позиционного управления системой (0.1) в критическом случае. Специальное исследование предпринято для системы второго порядка. Построены примеры внешне простых систем вида (0.1) с аномальным поведением управляемых траекторий.

Работа состоит из введения, трех глав, восьми параграфов (нумерация параграфов сквозная) и списка литературы.

Перечислим основные результаты диссертации.

В первой главе рассматривается, предложенный А.Г. Бутковским [4], «метод штрихованных границ траекторных воронок». В основе данного метода лежат понятия конуса допустимых направлений, траекторной воронки, штрихованной боковой границы жесткой траекторной воронки и особых многообразий системы (0.1).

В первом параграфе вводятся понятия конуса допустимых направлений, траекторной воронки, штрихованной боковой границы жесткой траекторной воронки данного метода.

В качестве допустимых управлений системы (0.1) берутся всевозможные измеримые функции и : t —> и.

Допустимым решением системы (0.1), удовлетворяющим начальному условию ж(0) = хо, называется абсолютно непрерывная вектор-функция £ £ [0, -7~], которая почти всюду на отрезке [0, г] удовлетворяет системе (0.1) при некотором управлении «(;£), Ь £ [0,т].

Конусом допустимых направлений скоростей системы (0.1) называется множество

К(жо) = {см £ ТКХ0: а £ М.+, ж € Г(х0) = /(х0,1/)}, п здесь ТКХо = .{у еШ." : У — сг7(^о, щ), с; 6 й, «,• £ ?/} — так назыг=1 ваемое, пространство скоростей системы (0.1)). Т.е. К(гсо) — это конус, состоящий из всех лучей, выходящих из точки 0 £ ТКХо и имеющих непустое пересечение с множеством -Р(хо) = f(xo, II)

Множество всех точек в К.п, в которые можно перейти из точки Хо £ К" за время г ^ 0, двигаясь по допустимым траекториям системы (0.1) называется множеством достижимости из точки х$ за время т и обозначается Ю)г(жо).

Отрезком траекторной воронки системы (0.1) называется множество г

Точка хо называется вершиной траекторной воронки У(хо , т).

Основанием траекторной воронки У(хо, т) называется множество д^(хо, г) = дУ(хо, г)\(У *)};

Кг т.е. основание д^(хо,т) состоит из тех точек траекторной воронки У(хо,т), в которые можно попасть из точки хо за время г с помощью допустимых управлений и нельзя перейти за время меньшее г.

Множество д8У(хо,т) = дУ(хо,т)\д/У(хо^) называется боковой границей траекторной воронки У(а?о,т).

Траекторная воронка У(хоУт) называется жесткой, если существует такое е > 0, что для любых ¿1 £ (0,г + е), ¿2 £ (0, т + е), ¿1 < ¿2 выполняется условие dsV(xQ,ti) f>\dsV(x0,t2) = dsV(xQ,ti).

Боковую границу д8У(х$,т) жесткой воронки У(хо, г) будем называть границей и обозначать д3У(хо), подчеркивая, что граница жесткой траекторией воронки У(хо), по крайней мере вблизи точки не зависит от момента времени т.

Доказаны следующие утверждения:

Лемма 0.1. Пусть граница жесткой воронки д8У(хо) существует и является гладкой (или кусочно-гладкой), то в точках гладкости границы ее можно описать как множество нулей гладкой (или кусочно-гладкой) функции ср(х) : Мп —> К, которая необходимо удовлетворяет принципу максимума во всех точках, гладкости.

Теорема 0.1. Пусть функция х F(x) = f(x,U) непрерывна в области G С М.п и удовлетворяет условиям: а) при любом х £ G множество F{x) выпукло, компактно и существует такое I > 0, что ^ /(1 + |ж|), где \F(x)\ = sup |g|. б) функция х —>• Р{х) удовлетворяет локальному условию Липшица, т.е. в каждой ограниченной области I) С С существует такое А = 0, что dist(JFl(a;l),^(^2)) ^ А(/))|;Г1 — х%\ для любых Х\,Х2 £ где сЦв^^Я!), ^(я^)) - метрика Хаусдорфа в стандартном евклидовом пространстве К".

Пусть существуют вектор р Е и константа а < 0; что для любого х £ С.

Тогда для любого £ С существует единственная дифференцируемая почти всюду функция (р : К™ —>■ К. удовлетворяющая принципу максимума (0.2) и начальному условию

0.2) qeF(x)

Н(х,р) = тах{/(ж,и),р) ^ а

0.3) f(x) = \х — Xq для всех х £ L = {х £ G: {х — хо,р) = 0}.

0.4)

Таким образом для любой точки хо в произвольной ограниченной области С С в которой выполнены условия а), б) и неравенство (0.3) можно построить границу <Э5У(жо) и продолжить ее по непрерывности, рассматривая ее, как множество нулей решения уравнения (0.2), вплоть до границы области С.

Во втором параграфе вводится понятие особых многообразий § системы (0.1), и в частности, многообразий перемены штриховки (сокращенно МПШ) границ траекторных воронок системы (0.1).

Точки ха £'д3У(хо), для которых К(жа) С ТХа(д8У(хо)) называются особыми точками границы д8У(хо) (предполагается, что граница траекторией воронки У(хо) данных точках является гладкой).

Множество всех особых точек на границах всех траекторных воронок системы (0.1) называется особыми многообразиями системы (0.1) и обозначается §.

Понятие особого многообразия тесно связано с понятием особых управлений (см. например [6]). Известно [6], что для системы х = ¡0(х)+и/1(х), (ж,и)бГ х(7, (0.5) где II = с1 и С К, /о, Л Е Ст(Еп), т ^ п, особые многообразия можно описать как множество нулей скалярной функции з(х) = ае1(/о(ж),/1(ж),. ,/„-1(ж)). Функции {/¿(ж)}^1 определяются следующим образом: = [/„(*),/-,(*)] = (Ж)/им - (?Ы£.)Мх)

Операция [/о(ж),/¿1(ж)] называется скобкой Ли-Пуассона или коммутатором функций /о(ж),/г-1(ж) (см. например [33]). Как будет показано в дальнейших параграфах функция в(х) играет ключевую роль в построении фазового портрета и исследовании управляемости систем вида (0.5).

В третьем параграфе, в качестве показательного примера, исследуется структура боковых границ траекторных воронок линейной системы х = Ах + иЪ, жбГ, г/6 [-1,1]. (0.6)

Доказана теорема.

Теорема 0.2. Пусть гапк(6, АЬ}., Ап 1Ь) = п — 1 и з(х0) = сЫ(Ая:о, Ъ,АЬ,., Ап~2Ь) ф 0. (0.7)

Тогда существует такое г > 0, что траекторпая воронка У(хо, г) системы (0.6) является жесткой, телесной, а ее граница д3У(хо,т) является кусочно-гладким многообразием класса С°°.

Показано, что в предположении (0.7) граница Т) является объединением непересекающихся гладких, класса С°°, многообразий т.е. п-1 имек=1

Доказано также, что многообразия Л^ и Д^., к = 1,п — 1 не ют общих точек и являются гладкими класса С°° слабо инвариантными многообразиями системы (0.6), причем для каждого к = 0,., п — 2, многообразие А^ и Л^ является общим краем многообразий и .

Многообразия Л^ строятся следующим образом: для каждого к = 1,., п — 1 многообразие является множеством концов всех, выходящих из точки допустимых траекторий системы (0.6), соответствующих допустимым управлениям =

1, 0 < ^ ^ ¿1 -1, ^<¿<¿2 где {¿г}£=1 — произвольная возрастающая последовательность моментов времени из промежутка (0,г). Т.е. ЛГ* = {х = : Е (0,г)}, где х^,ик+(-)), Ь Е (0,г) — допустимые решения системы, удовлетворяющие начальному условию х(0(•)) = 0.

Многообразия к = 1,., п — 1 строятся аналогичным образом с заменой допустимого управления на = —

Существенно в теореме 0.2 то, что гапк(Ь,АЬ,., = п — 1, т.е. система (0.1), вообще говоря, не является вполне управляемой.

Результаты данного параграфа можно рассматривать как продолжение исследований С. Ф. Николаева и Е. Л. Тонкова (см. [29], [30], [31]).

Вторая глава посвящена исследованию управляемости в нуль системы (0.1) в предположении, что U непустой выпуклый компакт в М.то, 0 Е int/(0, U), f Е С1^ X Rm,Rn).

Точка xq называется т-управляемой, если существует такое допустимое управление и : [0, г] —>■ U, что разрешима краевая задача x = f(x,u(t)), х(0) = жо, х(т) = 0.

Множество всех т-управляемых точек называется множеством управляемости системы (0.1) за время т и обозначается DT.

Множество Dqo = (Jr>o называется множеством управляемости системы (0.1).

Система (0.1) называется локально управляемой или просто управляемой [5, с. 39], если 0 Е intZ)r при некотором г > 0. Если при этом Dqq = Rn, то система (0.1) называется глобально управляемой.

H.H. Петровым (см. например [35], [36]), введено понятие iV-управля-емости системы (0.1). Свойство iV-управляемости означает, что 0 Е int DT при всех т > 0. Если при этом Dco = К", то система (4.1) называется глобально N-управляемой.

Наряду с уже известными понятиями локальной управляемости и n-управляемости, вводится понятие устойчивой управляемости.

Определение 0.1. Система (0.1) называется устойчиво управляемой, если для любого е > 0 найдется такое S = 6(е) >0, что для любого xq Е 0%(хо) существуют время т Е (0,оо) и допустимое решение x(t), t Е [0, г] системы (0.1) удовлетворяющее условиям: х(0) = хо, х(т) = 0, |x(i)| ^ е для всех ¿Е[0,г].

Понятие устойчивой управляемости не является новым. В работах И. П. Карасева (см. например [13],[14]) и Е. JI. Тонкова [45] встречается аналогичное понятие «локальной управляемости в малом».

Пусть £, Ш, 91 соответственно множества локально управляемых, устойчиво управляемых и iV-управляемых систем вида (0.1).

Теорема 0.3. 9t С Ж С £•

Доказано, что эти понятия не равносильны, приведены соответствующие примеры. Таким образом, свойство iV-управляемости является наиболее сильным из известных к настоящему времени свойств управляемости, а устойчивая управляемость занимает промежуточное положение между iV-управляемостыо и локальной управляемостью.

Параграфы 5 и 6 посвящены изучению условий устойчивой управляемости системы x = fQ(x) + ufi(x), жеГ, we [-1,1] (0.8) в предположении, что функции /o,/i голоморфны в некоторой окрестности начала координат, /о(0) = 0, /i(0) =6^0.

Через х — 7(t) х = 7+(t) и х — 7~(i) обозначим решения соответствующих систем

X = fi(x) , X = /о(я) + fi(x) , X = /о(ж) - /х(ж), удовлетворяющие начальному условию

7(0)=7+(0)=7-(0) = 0.

Теорема 0.4. Пусть п = 2. Для того, чтобы система (0.8) была устойчиво управляемой, необходимо и достаточноу чтобы функция s(7(i)) меняла в нуле знак.

Теорема 0.5. Пусть rank(6,A&,A26,.,An~16) ^ п — 1, а /oi.fi £ C°°(Rn,Mn). Если существуют число г > 0 и такие решения х +(t) = z(t,u+(-)), x[t) — x(t, (•)), t 6 [0, г] системы (0.8); что х+{0) = ж(0) = 0, s(x+(t))s(x-(t)) < 0 для всех t Е (0, т), то система (0.8) устойчиво управляема.

Теорема 0.6. Пусть rank (6, АЪ, А2Ъ,., Ап~Ч) ^ п — 1, а /0,/i Е C°°(IRn,IRra). Если существует такое г > 0, что s(7+(i))s(7(i)) < 0 для eceir t е (0,г), (0.9) то система (0'.8) устойчиво управляема.

Показано, что в случае п = 2 условие (0.9) является необходимым и достаточным условием устойчивой управляемости системы (0.8).

Задачам исследования локальной управляемости нелинейных систем посвящено немало работ (см. например [5], [7], [9], [12], [15], [16], [19], [28], [32], [34], [35], [36], [47], [48], [49], [50], [51], [52], [53], [54]). Наиболее известный результат принадлежит Калману (см. например [5, ]) и состоит в том, что система (0.1) локально управляема, если соответствующая ей, система линейного приближения является вполне управляемой. В работах Н. Н. Петрова [34], [35] доказано, что в случае если соответствующая (0.1) система линейного приближения является вполне управляемой, то система (0.1) является N-управляемой, а следовательно в этом случае, в силу теоремы 0.3, система (0.1) является и устойчиво управляемой. Поэтому наибольший интерес представляет, так называемый «критический случай» (т.е. когда система линейного приближения для системы (0.1) не является вполне управляемой).

К настоящему времени наиболее полная информация о локальной управляемости в критическом случае получена лишь для систем второго порядка (см. например [7], [9], [22], [28], [36]). Наиболее общий результат в случае п = 2 принадлежит Н. Н. Петрову [36], который получил критерий управляемости для систем второго порядка вида (0.1) с голоморфной правой частью. Следует отметить, что теорема 0.4 по сути является следствием данного критерия.

В случае произвольного п вопрос о локальной управляемости системы (0.1) в критическом случае пока исследован недостаточно. В ряде работ (см. например [16], [32], [35], [54]) получены достаточные условия локальной управляемости в критическом случае для некоторых видов управляемых систем, а в монографиях Т. Б. Копейкиной [15], [16] получены и необходимые условия локальной управляемости в критическом случае

Глава 3 посвящена исследованию глобальной управляемости системы (0.1). Существенно то, что в отличие от предыдущих параграфов, здесь рассматриваются позиционные управления и : Мп —> Ет, а решения системы х = /(х,и(х)) (0.10) понимаются в смысле А.Ф. Филиппова [46]. г3десь не приводятся результаты работ [16], [32], [35], [54], поскольку для формулировки основных утверждений данных работ требуется построение достаточно громоздких алгебраических структур.

Рассмотрим систему (0.1) в предположении, что а) множество U С Шт — непусто связно компактно и 0 Е int U; б) / Е С(ЕП х U), /(0,0) = 0, а многозначная функция х —> F{x) удовлетворяет локальному условию Липшица по х.

Определение 0.2. Система (0.1) называется глобально устойчиво управляемой, если: а) она устойчиво управляема; б) множество нуль-управляемости D^ системы (0.1) совпадает с IRn.

Определение 0.3 ([3]). Непрерывно дифференцируемая функция V. Мп —у К. называется бесконечно большой, если:

1. v(0) = 0, v(x) > 0 для всех х ф 0;

2. для любого а > 0, существует такое г > 0, что для всех ж € I", удовлетворяющих условию [ж| > г, следует v(x) > а.

Известны следующие утверждения:

34]77усть для любых х, ж о (\х\ ■ \xq = 0|, х ф хо) найдется такое и £ U, что (f(x,u),x — xq) < 0. Тогда система глобально управляема с помощью кусочно-постоянного управления.

ЩПустъ / Е C(Rn х U) и rank(ß, AB,. .,An~lB) = п, где ,df(x,u). ^ (df{x,u). dx 1 du }m

Предположим, что существуют бесконечно большая функция v(x) и непрерывно дифференцируемое позиционное управление и : IRn —»■ U, что dv(x) \ ж,ц(ж))у ^ 0, для всех х Е

Тогда множество управляемости системы совпадает с К.п. В §8 доказаны теоремы:

Теорема 0.7. Пусть система (0.1) устойчиво управляема. Если существуют измеримая по Борелю функция и : Мп —> Мт и бесконечно большая функция у Е С^КГ^М) такие, что у(х) = ¡(х,и(х))^ < 0, для всех ж Е 1", (О-11) причем множество {х Е Мп: и[х) = 0} не содержит целых траекторий системы (0.10), то система (0.1) глобально устойчиво управляема.

Теорема 0.8. Пусть система (0.1) локально управляема. Если существуют измеримая по Борелю функция и : IRn —>■ U и бесконечно большая функция v(x), удовлетворяющая условию (0.11), причем множество {х G М.п\{0} : v(x) = 0} не содержит, целых траекторий системы (0.10), то система (0.1) глобально управляема.

Заметим, что у теоремы 0.8 такое же соотношение с процитированными выше утверждениями о глобальной управляемости, как и соотношение между второй теоремой А. М. Ляпунова [20] и теоремой Барбашина-Красовского [3] о глобальной устойчивости нулевого решения системы i = f{x), жбГ, где /(0) = 0, т. е. существенно ослаблены условия накладываемые на функцию v(x). Приведен пример в котором с помощью теоремы 0.8 сравнительно несложно доказывается глобальная управляемость, а при применении процитированных выше теорем о глобальной управляемости возникают существенные трудности.

Наряду с достаточными условиями локальной и глобальной устойчивой управляемости в диссертации доказаны соответствующие теоремы о локальной управляемости системы (0.8) и глобальной iV-управляемости системы (0.1).

Результаты,' представленные в диссертации, опубликованы в работах [21], [22], [23], [24], [25], [26], [27].

Выражаю глубокую признательность Е. Л. Тонкову за постановку задачи, формулировку теоремы 0.7 и сделанные в процессе работы над диссертацией замечания. Выражаю также искреннюю благодарность H. Н. Петрову за обсуждение диссертации и, сделанные им, ценные замечания и советы.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 97-01-00413, 99-01-00454), Конкурсным центром фундаментального естествознания (грант 97-0-1.9).

Список основных обозначений

В работе используются следующие обозначения:

Rn — стандартное евклидово пространство размерности щ

R+ = {а Ё R : а ) 0}; )* — операция транспонирования; х = X2j., хп)* —вектор-столбец с компонентами х\, Ж2, ., хп\ х* — вектор-строка; п х, у) = xiVi — скалярное произведение векторов х = {х\, Х2, .,хп)* г= 1 и у = {уЪУ2,-,Уп)*] х\ = д/(ж, х) — абсолютная величина вектора х; Оеп(ж0) = {х е Mn, \x-xQ\< е}; dG — граница множества G; int G — внутренность множества G; dim G — размерность множества G; d(£, с) = sup6Gß infceC \ь - с|; dist(£,C) = max{d(£,C),d(C,£)};

Hom(Em, M.n) — пространство линейных отображений из Мт в К™, отождествляемое здесь с пространством матриц размером п х- т;

Ск(А, В) — пространство fc-раз непрерывно дифференцируемых функций из А в Б; fdf(x)\

-1-1 — тхп матрица, г-я строка которой составлена из частных V ох / производных dfi(x)/dxj, j = 1,.,п, если /(ж) = ((/í(^),., fm{x))* — m-мерная функция векторного аргумента х £ Ип; если т = 1, то

Мк — многообразие размерности к;

Сг,/с ----- класс гладких (степени г) к-мерных многообразий; тхо(мк) — касательное пространство к многообразию мк в точке xq.

1. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978. — 304 с.

2. А р н о л ь д В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1975. 240 с.

3. Б а р б а ш и н Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.-240с.

4. Бутковский А. Г. Фазовые портреты управляемых динамических систем. М.: Наука, 1985. - 136 с.

5. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов.— М.: Наука, 1971. 508 с.

6. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Особые оптимальные управления.— М.: Наука, 1973. 256 с.

7. Емельянов С. В., Коровин С. К., М а м е д о в И. Г., Н икитин С.В. Критерии управляемости нелинейных систем при фазовых ограничениях // Докл. АН СССР. 1986. - 290. - № 1. -С.18-22.

8. Зорич В. А. Математический анализ. Часть 1. — М.: Наука, 1981.- 544 с.

9. Калман РЕ. Об общей теории систем управления. / / Труды I Международного конгресса ИФАК. Изд-во АН СССР. -1961.-2.- С. 521-547.

10. К а р а с е в И. П. О существовании области достижимости.// Дифференц. уравнения 1967. -3. - № 12.

11. Карасе в И.П. Об эффективности определения « управляемость в малом» для исследования управляемости систем дифференциальных уравнений.// Труды РРТИ 1975. - № 62.

12. Копейкина Т. Б. К необходимым условиям управляемости нелинейных систем в критическом случае // "Ин-т мат. АН БССР, препр." 1985. - № 27/236. - 44 с.

13. Копейкина Т. Б. О локальной управляемости нелинейных систем в критическом случае // Весщ АН БССР, Сер. ф1з.-мат. наук. 1987. - № 27/236. - С.8-15.

14. К р е й н М. Г., Н у д е л ь м а н А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М., 1973.

15. К у л т ы ш е в С. Ю., Т о н к о в Е. Л. Управляемость линейной нестационарной системы // Дифференц. уравнения. 1975. - 11. -№ 7. - С. 1210-1216.

16. Л и Э. М., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. — М.: Наука, 1972. 576 с.

17. Л я п у н о в А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М.: ОНТИ, 1950.

18. Мастерков Ю. В. Об устойчивой локальной нуль-управляемости систем с квадратичной нелинейностью // Тезисы докл. междунар. матем. конфер.«Моделирование и исследование устойчивости систем» (Киев, май 1993 г.).

19. Мастерков Ю. В. Об устойчивой локальной нуль, управляемости систем с квадратичной нелинейностью на плоскостиИзв. отд. мат. и инф. Ижевск. -1993. - № 2. - С. 3-24.

20. Мастерков Ю. В. О глобальной устойчивой управляемости // Изв. отд. мат. и инф. Ижевск. -1997. - № 1(9). - С. 67-76.

21. Мастерков Ю. В. К вопросу об управляемости нелинейных систем // Тезисы докл. III Рос. унив.-акад. науч.-практ. конф. (Ижевск, УдГУ, апрель 1997).

22. Мастерков Ю. В. К вопросу о локальной управляемости нелинейных систем // Тезисы докл. междунар. матем. конфер. «Е-ругинские чтения»" (Витебск, май 1997).

23. Masterkov Ju. V. Controllability of Nonlinear Systems in Critical Case // Nonsmooth and Discontin. Probl. of Contr. and Optimiz. / Proceed, vol. from the IFAC Workshop (Chelyabinsk, Russia, 17-20 June 1998).

24. Мастерков Ю.В. К вопросу о локальной управляемости в критическом случае // Изв. ВУЗ-ов. Математика. -1999. № 2(441).- С. 68-74.

25. Митрохин Ю. С., Степанов А. Н. Критические случаи управляемости систем нелинейных дифференциальных уравнений оптимального регулирования // Дифференциальные уравнения (качественная теория). Рязань. - 1985. - С.61-70.

26. И и к о л а е в С. Ф. Т о н к о в Е. J1. Позиционное управление нелинейной системой близкой к докритической. — Изв. Ин-та матем. и информ. Ижевск. - 1998. - № 2 (13). - С. 3-26.

27. Николаев С. Ф. Тонков Е. Jl. Структура множества управляемости линейной докритической системы // Дифференц. уравнения. 1999. - 35. - № 1. - С. 107-115.

28. Н и к о л ь с к и й М. С. Об условиях второго порядка в задаче о нуль управляемости // Дифф. уравнения. 1998. - 33. - № 1. -С.137.

29. О л в е р П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. — М.: Мир, 1989. 639 с.

30. Петров Н.Н. Локальная управляемость автономных систем // Дифф. уравнения. 1968. - 4. - № 4. - С.1218-1232.

31. П е т р о в Н. Н. Об управляемости автономных систем // Дифф. уравнения. 1968. - 4. - № 7. - С.606-617.

32. П е т р о в Н. Н. Решение одной задачи теории управляемости Дифф. уравнения. 1969. - 5. - № 5. - С.962-963.

33. П е т р о в с к и й И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Изд-во МГУ, 1984. 296 с.

34. П о н т р я г и н Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1982.

35. Родионова А. Г., Тонков Е. Л. О непрерывности функции быстродействия линейной системы в критическом случае // Изв. ВУЗ-ов. Математика. -1993. № 5(372). - С. 101-111.

36. С у б б о т и н А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. — М.: Наука, 1991. 216 с.

37. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том 1. — М.: Изд-во Литература, 1953. 346 с.

38. Т а м у р а И. Топология слоений. — М.: Изд-во "Мир", 1979. -320с.

39. Т о н к о в Е. Л. Неосцилляция линейных систем. Связь с управляемостью и числом переключений // Тр. Московск. ин-та химич. машиностр. 1972. - Вып. 39. - С. 32-37.

40. Т о н к о в Е. Л. Неосцилляция и число переключений в линейной системе, оптимальной по быстродействию // Дифференц. уравнения. 1973. - 9. - № 12. - С. 2180-2185.

41. Тонков Е. Л. Управляемость нелинейной системы по линейному приближению // Прикл. матем и мех. 1974. - Вып. 4. - С. 599-606.

42. Ф и л и п п о в А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. 224 с.

43. Jurdjevic V., Kupka I. Polynomial control systems / / Math. Ann. 1985. - 272. - № 3. - P.361-368.

44. Aeyels Dirk. Global controllability for smooth о nonlinear systems: a geometrical approach // SIAM J. Contr. and Optim. 1985. - 23. -№ 3. - P.462-465.

45. Crasse Kevin A. Structure of the boundary of the attainable in certain nonlinear systems // Math. Syst. Theory. 1985. - 18. - № 1.- P.57-77.

46. Stefani Gianna. Lokal properties of nonlinear c&Qtrol systems // Sci. Pap. Inst. Techn. Cybern. Techn. Univ. Wrocl. 1985. - № 29 -P.219-226.

47. Kawski Matthias. A necessary condition for local controllability // Contemp. Math. 1987. - 68. - P.143-155.

48. Concalves J. Basto. Geometric conditions for local controllability // J. Differ. Equat. 1991. - 89. - № 2. - P.388-395.

49. Remakischna Viswanath. Controlled invariance for singular distributions // SIAM J. Contr. and Optim. 1994. - 32. -№ 3. - P.790-807.

50. Zhao Jun, Zhang Siying. A sulficient condition for local strong controllability of affine systems // Math. appl. 1993. - 6.- № 2. P.207-211.