К теории линейных управляемых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ШВА I. РАВНОМЕРНАЯ ЛОКАЛЬНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ

§ I. Динамическая система сдвигов

§ 2. Равномерная полная управляемость

§ 3. Оператор Грина и оператор управляемости

§ 4. Доказательства утверждений второго параграфа

§ 5. Равномерная локальная управляемость.

§ б. Замечание о равномерной полной управляемости

ГЛАВА 2. РАВНОМЕРНАЯ ГЛОБАЛЬНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ

§ 7. Достаточные условия равномерной глобальной управляемости

§ 8. Оценки опорной функции

§ 9. Ляпуновские преобразования

§10. О глобальной управляемости условно-периодического уравнения

ГЛАВА 3. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОЖЕСТВА. УПРАВЛЯЕМОСТИ

§11. Пример уравнения с "плохим" множеством управляемости.

§12. Мера множества глобально управляемых уравнений

§13. Доказательства теоремы 12.I и следствия 12.I

§14. О мере множества "Ш. в случае почти-периодического уравнения ip

ГЛАВА 4.СТАБИЛИЗАЦИЯ И УПРАВЛЯЕМОСТЬ

§15. Равномерная стабилизация линейного уравнения

§16. Несколько замечаний о полной управляемости.

ГЛАВА 5.НЕОСЦИЛЛЯЦИЯ И СТРУКТУРА ГРАНИЦЫ МНОЖЕСТВА УПРАВЛЯЕМОСТИ

§17. Структура границы множества управляемости.

§18. Неосцилляция линейной системы.

§19. Некоторые эффективные условия неосцилляции

§20. К вопросу о регулярном синтезе

Математическая теория линейных управляемых систем, развитие которой во многом обязано трудам Н.Н.Красовского [40], [41], [42], Р.Калмана [34], [35], Р.В.Гамкрелидзе [18], [19], А.Б.Куржанского [47], [48], Р.Конти [93], [94], [95] и ряду других исследователей (см, обзоры [16], [17] ) представляет важный раздел общей теории управляемых процессов. За последние 25 лет в линейной теории получен ряд фундаментальных результатов общего характера, связанных в первую очередь с задачами полной управляемости, наблюдаемости, стабилизируемос-ти уравнения х - А0сЪх + В0сЬи , хеЯ^ие^™-, (0.1) структурой оптимальных управлений и структурой множества управляемости. Стационарное уравнение х = А0х + £0и , хе1£а, ие Й^"1, (0.2)

А^ооавО изучено наиболее полно и большинство фактов,относящихся к уравнению (0.2), выражено в эффективных терминах. Значительно меньше изучено уравнение (ОД), в теории которого оформился ряд задач, не поддающихся решению в течение длительного периода времени. К числу таких задач относится задача о глобальной управляемости уравнения (ОД). Остановимся на этой задаче более подробно.

Пусть задано множество и, расположенное в К"1» Обозначим через I)ce,U)- множество управляемости в нуль уравнения(ОД) на [о,si ( сс0€ 3>ce,lh в том и только в том случае, если существует измеримое управление U, такое,что уравнение (0,1) при u=uotfcï имеет решение,удовлетворяющее условиямэссо)=хо, = Уравнение (0.1) называется глобально управляемым, если множество Ъс.Щ = и Xe,U} совпадает с в е-о

Хорошо известно (см.,например, [52], стр.102) следующее утверждение, относящееся к стационарному уравнению (0.2);пусть

1Х - компакт в (Rm и о е Crut (coriv II) ; (0.3) тогда уравнение (0.2) глобально управляемо в том и только в том случае, если гаак СВ0, А0В0,B0N - а» (0.4)

Re l= а,гъ, (0.5) где - собственные значения оператора А0.Это утверждение в работе А.К.Керимова [36] обобщено на уравнение (0.1) с со-периодическими A0cb,B>0tb: пусть уравнение (0,1) со -периодично и множество U удовлетворяет условию (0.3); тогда уравнение (0.1) глобально управляемо, если дополнительно выполнены следующие условия: (0.6) ^V*0' (0.7) где А. с А^- показатели А.М.Ляпунова ([Ш, глава I) уравнение

0.8)

В случае уравнения (0.2) условие (0.6) эквивалентно условию (0.4), а условие (0.5) ~ условию (0,7).

Отметим,что отказ от периодичности уравнения (0.1) (с сохранением условий (0.3),(0.б) и (0.7)) уже не обеспечивает глобальную управляемость уравнения (0.1). Более того, из условий (0.3), (0.6) и (0.7) не следует глобальная управляемость уравнения (0.1) даже в том случае, когда уравнение (0.1) условно-периодическое с двумерным базисом частот, а уравнение(О.в) - правильное (соответствующий пример приведён в § 10 главы И),

Решение задачи о глобальной управляемости уравнения (ОД) потребовало привлечения математического аппарата, ранее не привлекавшегося в теории управляемых систем: уравнению (0.1) ставится в соответствие так называемая динамическая система сдвигов, исследование Q - предельного множества которой приводит к ответу на вопрос о глобальной управляемости уравнения (ОД). Динамическая система сдвигов описана в монографии В.В, Немыцкого и В.В.Степанова ( [613, гл.6, § 9) и активно применялась В.М.Миллионщиковым [58] для исследования свойств показателей А.М.Ляпунова. Использование динамической системы сдвигов при исследовании уравнения (ОД) привело также к возникновению ряда понятий (названых в данной работе равномерной полной управляемостью, равномерной локальной управляемостью,равномерной глобальной управляемостью и равномерной стабилизиру-емостью), представляющих, как мне кажется, определённый интеpec в задачах управления в условиях неопределённости [48], [68] и в игровых задачах [43],[441,т.е. в тех случаях, когда возникает необходимость в позиционном управлении объектом.

Ещё одно обстоятельство следует отметить особо. Среди уравнений вида (ОД) существуют уравнения со следующими свойствами ( § II, глава Ш):

A) уравнение (0.1) с фиксированным множеством U, удовлетворяющим условию (0.3), глобально управляемо;

Б) для любого a^elR"' и любого -fco^0 найдётся такое т = t , что время быстродействия Т^х^из точки зссс>=эс0 в нуль удовлетворяет неравенству Тст,*:^ ^ i«0i;

B) для всякого е>1 найдутся такие t=tce)>o и x0eRa, что и при этом время быстродействия Ttt,x0>>®.

Причины существования уравнений со свойствами (А) - (В) удалось объяснить в терминах вероятностных мер, определённых на -предельном множестве соответствующей динамической системы, а это в свою очередь привело к некоторым новым задачам, связанным с вероятностными характеристиками множества управляемости.

Другая задача, которой в данной работе уделено достаточное внимание, состоит в изучении границы 6Dce,U) множества управляемости ЪСбД} уравнения (0.1) при малых s (точнее при не превосходящих некоторого критического значения е0, которое может быть и достаточно большим). Вопрос о структуре дЗкеДЛ) тесно связан с задачей построения синтезирующей функции. При исследовании этих вопросов (которые достаточно изучены для стационарного уравнения (0.2)) в работе привлекаются классические методы, связанные с теорией чебышевских систем и теорией неосцилляции в смысле Ш.Валле-Пуссена. Правда,понятие неосцилляции в смысле Ш.Валле-Пуссена относится только ¡с уравнению ■+ =0, что оказалось недостаточным для наших целей. Поэтому один из параграфов данной работы посвящен обобщению теории неосцилляции на линейные уравнения вида (0.8). При этом получились результаты, представляющие самостоятельный интерес. *

Диссертация состоит из введения, пяти глав, двадцати параграфов (нумерация параграфов сквозная) и списка литературы.

1. Г о м е с Х.А. Стабилизация неустойчивых положений равновесия линейных управляемых систем, Дифференц.уравне-ния, 1983, 19, № 9, с.1644-1645.

2. Гришин С.А,, Розов Н.Х. Метод поворотов в задаче стабилизации неустойчивых положений равновесия линейных динамических систем, Автоматика и телемеханика, 1975, № 12, с.18-26,

3. Г р и ш и н С.А, Некоторые вопросы управления и устойчивости линейных систем. Дифференц.уравнения, 1982, 18, № II, с.1862-1869.

4. Демидович Б .П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. - 472 с.

5. Е р у г и н Н,П, Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, Минск, 1963, - 272 с.

6. Забелло Л.Е. К теории управляемости нестационарных систем. Докл. АН БССР, 1980, 24, № 6, с.497-499,

7. Захаров Т.К., С е н я в и н М.М. Достаточные условия полной управляемости неавтономных систем. Дифференц. уравнения, 1981, 17, № 3, с. 423-430.

8. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. - 494 с.

9. Зубов В.И, Теория колебаний. М.: Высшая школа,1979. - 400 с.

10. И в а н о в А,Г., Т о н к о в Е.Л.,Ш н е й б е р г И.Я. О мере множества глобально управляемых систем. В кн.: нелинейные колебания и теория управления (Ижевск), 1981, вып.З, с, 3-32 .

11. И в а н о в а И.П., Иванов А.Г, К вопросу о полной- 260 управляемости линейной периодической системы. В кн.{Нелинейные колебания и теория управления (Ижевск),1982,вып. 4, с .10-19.

12. Изобов H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Матем. анализ. Итоги науки и техники, 1974, т.12, с.71-146.

13. И з о б о в H.A. Об уточнении оценок крайних показателей в методе замораживания. Дифференц. уравнения, 1983, 19, № 8, с.1454-1456.

14. И о ф ф е А.Д., Тихомиров В.М, Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1968. 475 с.

15. К а л м а н P.E. Об общей теории автоматического управления. В кн.: Труды I конгресса ИФАК, Из-во АН СССР, 1961, т. 2, с. 521-547.

16. Калман Р.,ФалбП.,Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. - 507 с.

17. Керимов А.К. Управляемость в целом линейных периодических систем при наличии ограничений на управления. -Дифференц.уравнения, 1975, II, № 9, с.1575-1583.

18. Корнфельд И.П., Синай Я.Г.,Ф о м и н С.В.Эр-годическая теория. М,: Наука, 1980. 383 с.

19. Коробов В,И, Решение систем синтеза с помощью функции управляемости. Докл. АН СССР, 1979, 248, 15,с.Ю51-1055.

20. К о р о б о в В.И. Общий подход к решению задачи синтеза ограниченных управлений в задаче управляемости. Матем.сб., 1979, 109 (151), № 4 (8), с.582-606.

21. Красовский H.H. К теории оптимального регулирования. Прикл. матем. и мех., 1959, 23, № 4, с.625-639.

22. К р а с о в с к и й H.H. Проблемы управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости динамических систем, В кн.: Труды II Всесоюзн,съезда по теор. и прикл,механике.1964, Обзорн.докл. ~М.: Наука, 1965, вып.1, с.77-93.

23. Красовский H.H. Теория управления движением. Линейные системы. М.; Наука, 1968. - 475 с.

24. Красовекий Н.Н, Игровые задачи о встрече движения. М.: Наука, 1970. - 420 с.

25. Красовский H.H., Субботин А,И. Позиционные дифференциальные игры. М#: Наука, 1974, - 455 с.

26. К р е й н М.Г,, Нудельман А,А, Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973,- 551 с.

27. Култышев С.Ю,, Т о н к о в Е.Л. Управляемость линейной нестационарной системы, Дифференц, уравнения, 1975, II, № 7, с, I206-I2I6.

28. К уржанский А.Б. О двойственности задач оптимального управления и наблюдения. Прикл. матем. и мех.,1970, 34, вып.З, с. 429-434.

29. Куржанский А,Б, Управление и наблюдение в условиях неопределённости. М.; Наука, 1977. - 392 с.

30. Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения +Успехи матем. наук, 1969, 24, вып,2146., с. 43-96.

31. Левитан Б.М, Почти-периодические функции. M,t ГИТТЛ, 1953. - 395 с,

32. Левитан Б.М., Ж и к о в В.В, Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения, М.: МГУ, 1978. -204 с.

33. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. - 574 с.

34. Л я п у н о в A.M. Общая теория об устойчивости движения. М.: ГИТТЛ, 1950. - 471 с.

35. М а л к и н И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. - 530 с.

36. М а с с е р а X., Ш е ф ф е р X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства, М.: Мир, 1970. - 456 с,

37. Миллионщиков В.М» О связи между устойчивостью характеристических показателей и почти приводимостью систем с почти периодическими коэффициентами. Дифференц. уравнения, 1967, 3, »12, с. 2127-2134.

38. Миллинщиков В.М. К теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Докт. диссертация, МГУ, 1968 (автореферат опубликован в Матем.заметках, 1968, 4,вып.4, с.483-490),

39. Миллионщиков В.М. Критерий устойчивости вероятного спектра линейных систем дифференциальных уравнений с рекуррентными коэффициентами и критерий почти приводимости систем с почти-периодическими коэффициентами. Матем. сборник 1969, 78:2,с,179-201,

40. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений, М.: ГИТТЛ,1949.- 550 с.

41. Никольский М.С, Об идеально наблюдаемых системах, Дифференц, уравнения,1971,7,1 4, с, 631-638.

42. Н и к о л ь с к и Й М.С, Линейная теория наблюдаемости. В кн.; Исследование операций,1974,вып.4, c.III-125.64Л о л и а Г., С е г е Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть первая.-М.:Наука, 1978. 391 с.

43. Понтрягин Л.С,, Болтянский В,Г., Гамкрелидзе Р,В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука,1969.- 384 с.

44. С а т и м о в Е.Я., Азамов А, 0 числе переключений в линейных системах. Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук,1982, № 2,с,20-23.

45. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: ЛГУ, 1981. - 198 с.

46. Субботин А.И,, Ч е н ц о в А,Г. Оптимизация гарантии в задачах управления, М.: Наука, 1981, - 287 с.

47. Т о н к о в Е.Л. Число переключений в линейной нестационарной системе,оптимальной по быстродействию. Тезисы I республ. конф. матем. по дифференц.уравнениям, Ашхабад, 1972, с, 35-39,

48. Тонков Е.Л. Неосцилляция и число переключений в линейной нестационарной системе,оптимальной по быстродействию. Дифференц.уравнения, 1973, 9, № 12,с,2180-2185,

49. Т о н к о в Е.Л. Управляемость нелинейной системы по линейному приближению. Прикл.матем. и мех., 1974, 38,№4, с.599-606,

50. Т о н к о в В.Л. Линейная задача оптимального управления периодическими решениями. Дифференц. уравнения, 1976, 12, № 6, с.1007-1011.

51. Т о н к о в Е.Л, Линейное уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами. Матем.физика, 1978, вып.24, с.58-69.

52. Тонков Е.Л. Замечание об управляемости линейной периодической системы. Дифференц.уравнения, 1978,14, №9, с.17X5-1717.

53. Тонко в Е.Лу Равномерная локальная управляемость и стабилизация нелинейной рекуррентной системы, В кн.:Ма-териалы Всесоюзн.конференции по динамич.управлению, 1979, с.262-263.

54. Т о н к о в Е.Л, Критерий равномерной управляемости и стабилизация линейной рекуррентной системы. Дифференц. уравнения, 1979, 15, К 10, с.1804-1813.

55. Тонков Е.Л, Стабилизация и глобальная управляемость почти-периодической линейной системы. -Дифференц,уравнения, 1979, 15, № 4, с, 757-758,

56. Тонков Е.Л, Некоторые свойства линейных периодических систем. Дифференц.уравнения, 1980, 16, № 4, с. 756757.

57. Тонков Е.Л. Динамическая система сдвигов и вопросы глобальной управляемости линейной почти-периодической системы. Успехи матем.наук, 1981, 36, вып.4 (220),с.226,

58. Тонков Е.Л. Динамическая система сдвигов и вопросыравномерной управляемости рекуррентной системы. Докл, АН СССР, 1981, 256, № 2, с. 290-294.

59. Т о н к о в ЕЛ. Равномерная локальная управляемость и стабилизация нелинейной рекуррентной системы. Дифференциальные уравнения, 1982, 18, № 5, с. 908-910.

60. Т о н к о в ЕЛ. Вероятностные характеристики множества управляемости линейного дифференциального уравнения. -Успехи матем. наук, 1982, 37, № 4, с.121.

61. Т о н к о в ЕЛ. К вопросу о неосцилляции линейной системы. В кн.; Нелинейные колебания и теория управления (Ижевск), 1982, вып.4, с.62-74.

62. Т о н к о в ЕЛ» 0 равномерной локальной управляемости линейного уравнения, Матем.физика, 1983, № 33, с.

63. Т о н к о в E.JI. О множестве управляемости линейного уравнения. Дифференц, уравнения, 1983, 19, № 2, с, 269 -278.

64. Т о н к о в ЕЛ. Неосцилляция и структура множества управляемости линейного уравнения. ~ Успехи матем.наук, 1983, 38, № 5 (233), с.131.

65. Филлипов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Матем,сборник, I960, 51, № I, с,99-128.

66. Халанай А.,ВекслерД. Качественная теория импульсных систем. М.: ДОир, 1971. - 309 с.

67. H a r t m a n P. Unrestricted n-parameter families.- Rend, circ. mathem.Palerrao,1953,7,2,p.123-142.

68. E a r t m a n P. Principal solutions of disconjuqate nth order lineal' differential equations.- Amer. J.Math., 1569,91,2,p.306-362.-267 102» K a 1 m a n R.E. Contributions to the theory of optimal control.- Bol.Soc.mathem.mexis.,I96o,5,I,p.I02-II9.

69. K e r n G. Uniform controllability of a class of linear time-varying systems.- IEEE Trans.Autom.Contr.,1982,27,15p-208-210.

70. Nik olson L.S. Disconjugate systems of linear differential equations.- Journal of Different.Equat., 1970,7,p.570-583.

71. S i 1 v e r rn a 11 L.M. , LI e a d 0 w s II. E. Controllability and observability in time-variable linear systems.- SJAM J.Control.,1967,5,I,p.64-73.

72. S u s s m a 21 H.J. A bang-bang theorem with bondes on the number of switchings.-SJAMJ.Contr. and Optim.,1979, 5,p.629-651.

73. S u s s m a n H.J. Piecewise analyticity of optimal cost function and optimal feedback.- AACC Proc.Joint. Autom.control Conf.Denver,Colo,1979, Nev York,N.Y.,1979, p.17-22.

74. Trench "k7.P. Canonical forms and principial systems for general aisconjugate equations.- Transact.of the Amer. mathem.society. 1974,189,p.319-327.