Метод пространства состояний в теории управления системами функционально-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Г 5 с^

3 вне да

Институт математики Национальной академии наук Беларуси

УДК 517.917

МЕТЕЛЬСКИЙ Анатолий Владимирович

МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Минск - 1997

Работа выполнена на кафедре методоз оптимального управления Белорусского государственного университета

Научный консультант - заслуженный деятель науки Беларуси, доктор физ.-мат. наук, профессор ГАБАСОВ Р.Ф.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, академик Российской академии наук КУРЖАНСКИЙ Александр Борисович

доктор физ.-мат. наук, член-корр. Национальной академии наук Беларуси КИРИЛЛОВА Фаина Михайловна

доктор физ.-мат. наук, профессор МИНЧЕНКО Леонид Изанович

Оппонирующая организация: Санкт-Петербургский государственный университет

(Россия)

Защита состоится 16 янзаря 1998 г. в 16.00 часов на заседании совета по защите диссертаций Д 01.02.02 в Институте математики Национальной академии наук Беларуси по адресу: 220072, г.Минск, ул. Сурганова, 11, Институт математики Национальной академии наук Беларуси.

С диссертацией мо*.но ознакомиться в библиотеке Института математики Национальной академии наук Беларуси.

Автореферат разослан "¿2." декабря 1997 г.

Ученый секретарь

совета по защите диссертаций

старший научный сотрудник

ЛЦстти^—

А.К.Астровский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. На поведение целого ряда объектов механической, биологической и др. природы влияет не только текущее состояние, но и предыстория (эффект последействия). Обширный класс объектов с последействием можно описать системами линейных автономных функционально-дифференциальных уравнений. Системы такого вида возникают и в теории оптимального управления. Анализу различных задач теории функционально- дифференциальных уравнений посвящены работы Н.В.Азбелева, Р.Габасова, И.В.Гайшуна, А.М.Зверкина, В.И.Зубова, Ф.М.Кирилловой, В.Б.Колмановского, Н.Н.Красовского, А.Б.Куржанского, Ю.К.Ландо, В.М.Марченко, С.А.Минюка,

A.Д.Мышкиса, С.Б.Норкина, Ю.С.Осипова, С. Н. Шиманова, JI. Э. Эльсгольца,

B.А.Asner, Н.Т. Banks, R.Bellman, K.P.Bhat, A.K.Choudhury, A.Halanay, J.K.Hale, M.Q.Jacobs, F.Kappel, H.N.Koivo, С.E.Langenhop, A.Manitius, A.W.Olbrot, L.Pandolfi, V.M.Popov, R.Triggiani, L.Weiss, R.B.Zmood и др.

Изучение динамических свойств систем функционально-дифференциальных уравнений (классов эквивалентных начальных состояний, точечной полноты, идентифицируемости текущего состояния, управляемости, достижимости, наблюдаемости начального s-состояния, обратимости и др.) составляет содержание данной работы. В центре диссертации - задача управления функционально-дифференциальными системами, когда измерению доступна лишь часть переменных состояния, называемая выходом (задача управления по неполным измерениям) . Система управления при этом предполагается системой неполного ранга: не вполне идентифицируемой и не вполне управляемой, что актуально для приложений. Известные подходы к перечисленным задачам здесь либо не применимы, либо приводят к неявны;.!, трудно интерпретируемым в пространстве состояний результатам.

Основные задачи качественной теории оптимального управления системами с последействием могут быть сформулированы через финитность решений систем управления. Поэтому проблема финитности решений систем функционально- дифференциальных уравнений, решаемая в диссертации методом пространства состояний, актуальна для данной теории. Заметим, что происхождение математической теории управления из практики автоматического регулирования предполагает формулировку получаемых результатов через параметры, которыми описан объект исследования. Данное требование можно обеспечить с помощью метода пространства состояний. Поэтому развитие метода пространства состояний на центральные задачи математической теории управления яв-

ляется актуальным.

3 перспективе учет эффекта запаздывания, присущего практически Есем ■процессам, позволит поднять на качественно новый уровень проектирование информационных и управляющих систем. Зто обстоятельство сущсетвэнно для Беларуси, развивающей машико- и приборостроение.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертационная работа выполнена на кафедре методов оптимального управления Белгос-университета в соответствии с планом, который является составной частью госбюджетных НИР, предусмотренных Республиканской программой в области математики и математического моделирования (регистрационный номер 0191С056832). По своему содержанию работа непосредственно примыкает к исследования;.! Института математики НАН Беларуси по теме "Математические структуры 19", осуществляемым согласно Государственной программе фундаментальных исследований Республики Беларусь на 1996-2000 годы.

Цель и задачи исследования. Цель диссертации - развитие метода пространства состояний на задачи качественной теории оптимального управления функционально-дифференциальными системами.

Цель диссертации реализуется через доказательство критериев финитно-сти решений систем управления, на базе которых решены задачи: описание классов эквивалентных начальных состояний и проблема точечной полноты; доказательство параметрических критериев идентифицируемости и управляемости е факторизованном пространстве состояний; исследование операций восстановления текущего состояния и формирования успокаивающего управления по выходу системы; установление связи между задачами достижимости и наблюдаемости и задачами идентифицируемости и управляемости.

Научная новизна полученных результатов. В работе доказаны новые критерии финитности решений функционально-дифференциальных систем.

Впервые описано ядро оператора сдвига по траекториям для функционально-дифференциальных систем в случае конечного спектра и для дифференциально-разностных систем с произвольным спектром. Получены ноЕые критерии точечной полноты и точечной вырожденности, относительной управляемости и относительной идентифицируемости.

Доказаны новые параметрические критерии с-идентифицируемости и с-уп-равляемости дифференциально-разностных систем с соизмеримыми запаздываниями. Получены нозые граничные задачи для идентификации текущих состояний и вычисления успокаивающих управлений в системах неполного ранга. Доказаны новые критерии управляемости по выходу функционально-дифференциальных систем.

Езедены новые понятия обратимости и полноты, установлена роль

свойств обратимости и полноты в задачах наблюдаемости и достижимости функционально-дифференциальных систем.

Практическая значимость полученных результатов. Методы и результаты 'диссертации применимы для анализа динамических характеристик функционально-дифференциальных систем управления и при конструировании регуляторов в объектах, моделируемых такими системами.

Развитый в работе метод пространства состояний позволяет в каждой из перечисленных выше задач предложить схему ее численного решения. Граничные задачи, реализующие идентификацию состояния и успокаивающее управление, применимы при синтезе оптимальных управлений по неполным измерения.!. Проверка параметрических критериев, предложенных в работе, связана с конечным числом операций по нахождению рангов постоянных или полиномиальных матриц, что существенно в приложениях.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

- Доказательство критериев финитности решений функционально-диффе-'ренциальных систем как осноеы развития метода пространства состояний на задачи теории управления.

- Описание ядра оператора сдвига для функционально-дифференциальных систем в случае конечного спектра и для дифференциально-разностных систем с произвольным спектром. Параметрические критерии точечной полноты и точечной вырожденности.

- Параметрические критерии с-идентифицируемости и с-управляемости дифференциально-разностных систем, доказанные через разложение пространства состояний в прямую сумму идентифицируемого и неидентифицируемого (управляемого и неуправляемого) подпространств.

- Граничные задачи, реализующие идентификацию состояния и успокаивающее управление для дифференциально-разностных систем с соизмеримы;® запаздываниями по известному Еыходу.

- Критерии наблюдаемости и достижимости функционально-дифференциальных систем, связанные с критериями идентифицируемости и управляемости через понятия обратимости и полноты.

Личный вклад соискателя. Из совместно опубликованных работ [1, 2, 9] в диссертацию вошли результаты, полученные автором лично.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались:

на Уральской региональной конференции "Функпионально-дифференциаль-ные уравнения" (Пермь - 1985), на III Уральской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь -1988), на Международном соЕетско-польском семинаре "Математические методы

оптимального управления и их приложения" (Минск - 1989), на IV Уральской региональной конференции (Уфа - 1989), на Республиканских научных чтениях по обыкновенным дифференциальным уравнениям (Минск - 1990), на 1-Ш научных чтениях "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимиза-'ция" (Минск - 1988, 1990, 1993), на Межгосударственной научной конференции под тем же названием (Минск - 1993), на Международной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям (Москва -

1994), на заседании Белорусского математического общества (Минск - 1995), на Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике "Механи-ка-95" (Минск - 1995), на Республиканской научно-методической конференции "ФПМИ-25" (Минск - 1995), на Республиканской научно-технической конференции "Автоматический контроль и управление производственными процессами" (Минск - 1995), на Вторых Республиканских научных чтениях по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященных 75-летию Ю.С.Богданова (Минск -

1995), на научно-технических конференциях Белорусской государственной политехнической академии (Минск - 1987-95);

в Санкт-Петербургском государственном университете на семинаре проф. Н.Е.Кирина (1990), в Харьковском государственном университете на семинаре проф. В.И.Коробова (1990), в Киевском государственном университете на семинаре проф. А.Г.Наконечного (1990), в Институте математики АН Беларуси на семинаре акад. И.В.Гайшуна (1993), в Московском государственном университете: на семинаре акад. А.Б.Куржанского (1993), на семинаре проф. М.С.Никольского (1993), а также неоднократно - на Минском городском семинаре по качественной теории оптимального управления (руководители: проф. Р.Габасоз и чл.-корр. Ф.М.Кириллова).

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-31], среди которых 20 статей - в научных изданиях (из них 17 - в научных журналах).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, шести глав, выводов, списка использованных источников (161 наименование). Полный объем диссертации 203 стр. машинописного текста, из которых 12 стр. занимает список использованных источников.

ОСНОВНОЕ СОДЕРНАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Для обыкновенной динамической системы

x(t) = АхШ + Bu(t), t > 0, х(О) = х° е Rn,

с выходом

у ( t ) = Gx(t), t e T = [0, t ], t > 0, (1)

где x(t) e Rn, u(t) e IRr, y(t) e IRl - векторы-столбцы, A, В, G - постоянные матрицы соответствующих размеров, Р.Калманом выделены четыре основных типа задач. Задача управляемости, состоящая в приведении траектории системы в нуль. Задача достижимости, как задача попадания из нулевого начального состояния в произвольное конечное состояние. Задача идентифицируемости - определения текущего состояния динамической системы по прошлому выходу. Задача наблюдаемости - определения начального состояния по "будущему" выходу. Множество допустили управлений u = u(t), t е Т, обычно - класс кусочно-непрерывных функций С = С(Г, К" ). В двух последних задачах управление предполагается нулевым.

Критерии управляемости и достижимости для обыкновенных систем оказались тождественными, как и критерии идентифицируемости и наблюдаемости. Поэтому было возможным оперировать, в основном, двумя понятиями - управляемости и наблюдаемости. В случае систем с последействием ситуация принципиально иная. Помимо того, что упомянутые критерии различаются, возможно рассмотрение перечисленных задач в конечномерном (IRn) и бесконечномерных ÇC, !J 12 и т.д.) пространствах. Во избежание терминологической путаницы, имеющейся в литературе по системам с последействием, будем придерживаться калмановской классификации основных задач теории управления.

Как ближайшее обобщение обыкновенной динамической системы, объектом исследований стала дифференциально-разностная система :

x(t) = Axit) + £ A^tt - h^ + ВиШ. t > 0, i = i

x(t) = 7)(t), t e (f = [-h, 0],

с выходом (1). Здесь - постоянные матрицы, h( - постоянные запаздывания: 0 < и = h < ... < h = h, начальное состояние 7j(t), t е выби-

1 m

рается из банахова пространства С = С(Н~, IRn) непрерывных функций, другие

обозначения пояснены выше. В свою очередь система - частный случай линейной автономной функционально-дифференциальной системы 2: о

x(t) = J [dM(e)]xt(e) + Butt), t > о, -h

•где M(e), 6 е Я , - матрица с элементами ограниченной вариации; х = = xt(e) = x(t + е), В £ I , - состояние в момент времени t г О (х е С). Под решением системы 2 понимается абсолютно непрерывная функция x(t), t > > 0, удовлетворяющая системе при почти всех t > 0.

В первой главе приводится краткий очерк развития теории управления системами с последействием и излагаются проблемные вопросы, составившие предмет диссертации.

Принципиальной в становлении теории функционально-дифференциальных систем оказалась идея Н.Н.Красовского - рассматривать сильно непрерывную полугруппу ÍS(t), t г 0) линейных ограниченных преобразований пространства состояний С, задаваемую оператором сдвига по траекториям системы I (и = 0): S(t)í) = х

t ,v

Концептуальная основа и проблематика теории управления динамическими системами с последействием разработаны в фундаментальных работах Р.Габа-соза, С.В.Емельянова, В.И.Зубова, Ф.М.Кириллоеой, Н.Н.КрасоЕского, А.Б. Куржанского, Ю.С.Осипова, A.Manitius, A.W.Olbrot, V.M.Popov и других математиков .

Цель диссертации - развитие метода пространства состояний на задачи качественной теории оптимального управления функционально- дифференциальными системами через новые критерии финитности решений.

Во второй главе сначала доказываются критерии финитности решений функционально-дифференциальной системы 2. и дифференциально-разностной системы Si. Затем через критерии финитности описываются классы эквивалентных начальных состояний этих систем (для системы 2 - в случае конечного •спектра).

Приведем основные факты теории разложения (С.Н.Шиманов, J.Hale) для систем функционально-дифференциальных уравнений. Характеристическое уравнение системы 2 имеет вид

о

detlV(A) = 0, WM = А£ - JeÄedM(9). (2)

-h

Множество корней Л е С уравнения (2), называемое спектром системы 2, обозначим через Л. Каждому значению А е Л соответствует обобщенное собственное пространство Р системы 2: Р с С. Пространство Р - действительная

линейная оболочка функций к-1 eJ

Ч> (в) = £ г —е , в е Я", к s 1, j=o J+ j/

где г = со1[у.....у ]. - л/с- вектор-столбец, удовлетворяющий системе линейных алгебраических уравнений

М(л)г = о. к

Постоянная лкхпй-матрица М = Н (\) задается формулой

И (А) к

Г Р/ иг . . W

1 2 к

0 ff . ¡V

1 к-

0 0 . . W

1

ИГИ'(А)

% + i= Ji ' J-o.fc-1-

(3)

Размерность пространства РА равна алгебраической кратности кчисла Л как нуля характеристического уравнения (2), поэтому в (3) можно взять к ='к . Пространство Ринвариантно относительно оператора сдвига по траекториям: Б(Ь)<р е Р , Ь > 0, если р е Р .

А # X

Введем систему Е : о

г*(т) = - | г*(т - е)[оМ(е)], т < г^, -ь

+ т) = ?"(т), т еН'= [0, Л], е С* = С*Ш\ йп*).

17*(т) = г*(т)В, х < Ь

формально сопряженную к системе 2 относительно билинейной формы Шиманова

о е

• (|1>' ,<р) = ф'{0)<р{0) - | | 1/1*(т-9) ЫМ(б) ]<р(т)с!тг <р е С, ф% с'. -11 о

Звездочка помечает линейное пространство из вектороз-строк или элемент

такого пространства.

Аналогично Р определяется Р* - обобщенное собственное пространство Л . л

для сопряженной системы Е . Обозначим: Л^ - множество из N спектральных значений А е Л; Р, Р - линейные оболочки пространств Р Р*, соответственно, А е Л . Пусть Ф, Ф - базисы конечномерных пространств Р, Р такие, что (Ф, Ф) = £. Справедливо разложение пространства С по набору Л^:

С = Р s Q, S(t)P = Р, S(t)Q £ Q, t а 0. (4)

где Р = {</> е С| <р = ФЬ, b - вектор-столбец!, Q = (<р е С I (Ф, <р) = 0].

При этом операторы проектирования имеют вид: <р¥ = Ф($, р), ¡р° = 9 -<р е С.

Целый круг задач качественной теории оптимального управления: описание классов эквивалентных начальных состояний, задачи идентифицируемости и управляемости, проблема точечной полноты замыкается на получении эффективных критериев финитности решений функционально-дифференциальных систем. Предлагаемый в диссертации подход к этой проблеме основан на разложении (4) пространства состояний С.

Поскольку Р[")С2 = СО), то неявный критерий финитности решения (х = 0) системы I заключается в совместном выполнении включений: х е Р, х е 0.

I '1

Условие х е б определяется конечным набором интегральных соотношений: (Ф, х1) =0, которые могут быть записаны явным образом, если указан спектральный набор Л^. Поэтому в диссертации основное внимание уделяется выбору спектрального набора Лн и получению условий, при которых х е Р.

Для исследования перечисленных выше задач и прежде всего проблемы точечной вырожденности выясним, при каком условии множество Квсех значений обобщенных собственных функций е Р образует собственное подпространство в 0?".

Л е м м а 2.1.2. Пусть С - ненулевая шхп-матрица. Для того чтобы равенство в<р = 0 выполнялось для всех обобщенных собственных функций ¡р е Р^ необходимо и достаточно, чтобы имело место условие

rank

M (А) к

G 0...0

= rank M (А), к

где к - алгебраическая кратность собственного значения А как нуля характеристического уравнения (2).

Обозначим через Г^ - лха^-матрицу (aj ^ л), составленную из первых л строк фундаментальной системы решений алгебраического уравнения ( 3), где к - алгебраическая кратность характеристического числа X. Пусть h^ = . .., А } s Л, К г 1, - произвольный набор характеристических чисел системы X. Образуем лха - матрицу (a s fin) Г^ = [Г .....Г^ ]. В диссер-

1 N

тации показано (следствие 2.1.2), что столбцы матрицы Гм образуют базис подпространства К s С" значений обобщенных собственных функций <р е Р.

Рассмотрим конечное множество Ек точек te(t -h, t ], t £ 0,

^ t ООО

0

в которых производные х(1> решения системы 2 могут иметь скачки 5х(1),

i = ÔJc. Пусть Xk = 6xln(t) I t e H1 , i = 0,к - матрица возмож-

*о L о

ных скачков этих производных. Для однородной системы 2 (В = 0) доказано

утверждение.

Т е о р е к а 2.2.2. Для того чтобы состояние х , t а 0, системы £

о

принадлежало обобщенному собственному пространству Р необходимо и достаточно, чтобы:

1) соответствующее решение х(Ь), { г ^ - й, удовлетворяло линейному дифференциальному уравнению порядка к, к г 1 (р = —);

1{р)х(.Ь) = О, Ь е и - 11, Ь + О), Ь е Нк"',

0 0 I

о

где К А) - некоторый многочлен степени к такой, что {А е Л I 1(А) = = 0] £ Лн;

2) матрица скачков была нулевой Хк 1 =0.

о

В важном частном случае системы £ с сосредоточенными запаздываниями

столбцы матрицы Хк выражаются через начальную функцию т) и решения 0 (¿) 1 к О

(к - целое число, { е й) определяющего уравнения

Qk*i(t) = AQ*U) + £ AA(t ~ V' i=i

Q Ш = 0, к < О V t < 0; Q (0) = Е. (5)

к О

m

Понятие определяющего уравнения, играющее важную роль в теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем, введено Ф.М.Кирилловой и С.В.Чураковой (1967)V

Для системы Z в качестве спектрального набора Д^, по которому выполняется разложение (4), предлагается основной спектральный набор. Пусть Д(р) = det(p£ - А).

0пределение2.2.1. Обыкновенный дифференциальный оператор dip) = Дг(р) (г - определенное натуральное число) назовем сопровождающим

дифференциальным оператором, а множество Л =(АбЛ|Д(А)=0}- основА

ным спектральным набором.

Как видно из определения 2.2.1, для построения основного спектрального набора Л„ = ЛА, достаточно знать корни полинома Д(Л).

Систему Е с соизмеримыми запаздываниями: h = iu, i = 0,га, далее

1 Кириллова Ф.М., Чуракова С.3. Относительная управляемость линейных динамических систем с запаздыванием // Доклады АН СССР,- 1967,- Т. 174, N 6.-С. 1260-1263.

будем обозначать 2^. Сопровождающий дифференциальный оператор позволяет связать решение х(.Ь), t ь 0, системы 2 с достаточно гладкой начальной функцией (обеспечивающей наличие требуемых производных).

Л е м м а 2.2.1. Пусть т) - начальная функция и раз непрерывно дифференцируема: V е С" «= С"(Я~, Кп), V = уп - 1, у = бш, б - натуральное число. Тогда справедливы дифференциальные соотношения

Дк + 1(р)хи + кы) = .1 (р)Н(4), 4 е П = [0, ы], к = 0, у - 1,

где 2 Ср) - матричный дифференциальный оператор порядка не выше пк + + л - 1, Ш) = со1[т) Ш..... т) (Ю], г) Ш =ч(4-ш),(б11, 1 = ТТЙ.

1 п) 1

Разложим пространство С по основному спектральному набору Л^: С =

= Р © В частности, возможно Л^ = и, тогда полагаем Р={0},Р*= (0). Для системы Е практически реализуемый критерий финитности решения имеет следующий вид (ниже Ф - базис обобщенного собственного пространства Р ).

Теорема 2.2.4. Пусть начальная функция т) непрерывно дифференцируема раз: т) б С" = С"(Г, Кп), v = уп - 1, у = бш, б - натуральное число. Для того чтобы решение системы 2^ было финитным (х(.Ь) = 0, 4 г - Л, Ьо = гй) необходимо и достаточно, чтобы:

1) 2(р,т)г](т) =0, т ей", т * -м, а = 0, д-1,

где 1{р, т) - линейный дифференциальный оператор порядка не Еыше v (см. лемму 2.2.1);

2) матрица скачков Хк , к = ул, нулевая;

о

3) (Ф, т|) =0, где разложение (4) взято по основному спектральному набору Л^. Если множество Л^ = 0, го в условии 3) полагаем Ф = 0.

Определение 2.3.1 (J.Hale). Начальные состояния ф эквивалентны (р - 0), если для некоторого т ь 0 порождаемые ими состояния совпадают х = х

т ,<р т

Пространство начальных состояний С разбивается на классы эквивалентности {Va}. Класс, содержащий <р = 0, обозначим Vo. Очевидно, что множество Vе = [<р е С I S(t)<p = 0 3t з nh} образует подпространство пространства С, инвариантное относительно оператора S(t), t £ 0. В диссертации дается явное описание ядра Vo оператора сдвига S(t), t * nh, для функционально-дифференциальной системы вида 2 в случае конечного спектра. Для дифференциально-разностной системы 2¡ с произвольным спектром описано

многообразие

V° _h = (f s С" | SCti)i> = 0, ti £ h], v = an - 1, a =

([/3] - целая часть числа ß). Введем обозначения:

; = {t I t = £ j й , j а 0 - любые целые числа), i=i

; =Sn (t - h, t ], t > 0. t 11 l l l

t - h l

Теорема 2.3.5. Пусть начальная функция ц е С". Для того что бы

т) е V0 _ , Ь г й, необходимо и достаточно, чтобы одновременно: 1

1) L(p, ер, t t)tj(t) = 0,

теВ; t

2) Sxl '(т) =0, t + т е ~ , т е Я , k = ß,an, ß i i

t ♦ т -0 1

+ 1;

з) сф, п) = о.

Здесь !,(А, е , , т) - дифференциально-разностный оператор, при есяком Ь > 0 заданный конечным числом матричных квазиполиномов относительно Л степени не выше V.

Рассмотрен Еопрос о разложении пространства С в прямую сумму ядра 7° оператора сдвига, порождаемого системой 2, и дополнительного инвариантного подпространства V: С = V, я V, Ь ± 0.

Теорема 2.3.6. Для системы разложение пространства С = !/°э © V, где одно из подпространств конечномерно, возможно лишь а двух случаях:

1) спектр системы конечен;

2) * 0. В этом случае обратный оператор S_1(t), t > 0, неогра-

ничен .

Проекция начального состояния на ядро V0 может игнорироваться при вычислении решения x(t), t г (л - 1 )h, системы I, поскольку соответствующая компонента резения обращается в нуль. Задачу успокоения системы £ можно трактовать как задачу попадания в одно из состояний, принадлежащих нулевому классу V .

В третьей главе изучается проблема точечкой полноты (точечной вырожденности) функционально-дифференциальных систем (L.Weiss) и связанные с

задач для системы . Далее штрих

ней задачи относительной управляемости, относительной идентифицируемости и т.д. Доказываются параметрические критерии разрешимости перечисленных

обозначает операцию транспонирования матрицы, в частности, столбца.

ОпределениеЗ.1.2. Система 2 (и = 0) называется точечно вырожденной в момент времени 4 >0, если существует ненулевой вектор g е е к" такой, что g'x(tl, т)) = 0 для всех начальных состояний •>). Вектор g называют вектором (направлением) вырождения системы Если такого вектора g не существует, то систему 2 называют точечно полной в момент времени Ь .

Допустим, что число различных корней характеристического уравнения (2) конечно. Систему £ в таком случае будем называть системой с конечным спектром и обозначать 2°. Матрицу Г^, составленную по полному спектральному набору Л, будем обозначать через Г .

л о

Т е о р ем а 3.1.1. Для точечной вырожденности системы 2 с конечным спектром Л в момент 4 а (п - 1)й необходимо и достаточно, что бы гапкГ < п. При этом совокупность направлений вырождения (й1} есть подпро-

А

странство решений алгебраической системы = 0.

Приведем параметрические критерии точечной вырожденности и точечной полноты системы 21 с произвольным спектром. Пусть основной спектральный набор Ла содержит N (1 £ N £ п) характеристических чисел А[ системы 2^

имеющих алгебраические кратности 1 = Í,N. Обозначим через Г матрицу Г , составленную по спектральному набору Л . Для определенности будем

N А

считать, что Г = 0, если = и. Введем матрицу

к - [ди)-1 |-

Ь

1

Ь £

"г +ь ' 1

составленную из решений определяющего уравнения (5).

ТеоремаЗ.2.2. Для точечной вырожденности системы в момент Ь > 0 в направлении g необходимо и достаточно, чтобы

1) Лд * и; 2) £'[Г, ^1=0.

Замечание 3.2.2. Условие 2) в силу леммы 2.1.2 можно заменить следующими

1) g'Q = 0'; 2) гапк 1

№ (А) ч! 1

. g■0...0 _

= гапкМ (А ), А е Л , 1 = 1,//.

4,1 *

ы

Образуем матрицу

М =

U (А ) 4i 1

О О

и (Л2) Ч2

и (А ) "к "

J

где I = [£, О,

О]

nxnq^-матрица.

Теорема 3.2.3. Для того чтобы система Z при А * и была то-

1 А

чечно полна в момент времени t >0, необходимо и достаточно, чтобы

N

rankM = n + n , п = У rank М (А ), X е Л . Если Л = о, то система 2

11** q 1 1 A А 1

1 = 1 1

заведомо точечно полна.

Постановка H.H. Красовским проблемы полной управляемости (1963)2 системы привела к задаче относительной управляемости (относительной нуль-управляемости) этой системы.

Определение 3.1.1. Система называется относительно управляемой, если для произвольного начального состояния т) е С существует

управление u е С, для которого х(^) = x(t , у, и) =0.

Наряду с введенной выше матрицей Q рассмотрим матрицу

1

Qt = [Qk(t)B, Ostsn-1, t e Н n [0, t )], l

составленную на базе решений определяющего уравнения (5).

Теорем а 3.3.2. Для относительной управляемости системы необходимо и достаточно, чтобы

g'Qt =0 ф g'[r, Qt ] = 0, g е Rn.

СледствиеЗ.З.2. Для относительной управляемости системы Sj

необходимо и достаточно, чтобы rank [Q , Г, Q ] = rank Q

1 1 1

0

0

2Красовский H.H. Оптимальные процессы в системах с запаздыванием // Оптимальные системы. Статистические методы. Тр. 2-го Конгресса ИФАК.- М.: Наука, 1965,- Т. 2,- С. 201-210.

Получены также параметрические критерии разрешимости задач относительной идентифицируемости, управляемости по начальной функции, приводимости функционально-дифференциального уравнения £ к обыкновенному дифференциальному уравнению (А.М.Зверкин). Сформулируем последний критерий.

Определение 3.3.5. Функционально-дифференциальное уравнение I назовем приводимым к обыкновенному дифференциальному уравнению '

v(t) = Vv(t), UO; v(0) = v° £ R", »

в момент времени t a 0, если существуют постоянные пхл-матрицы V, L, detL * 0, такие, что

Vrj е С 3v° е Rn -ф x(t) = Lv(fc), t t t* .

T e op e м a 3.3.6. Для того чтобы уравнение Z в момент времени t* г (л - 1)Л было приводимо к обыкновенному дифференциальному уравнению необходимо и достаточно, чтобы: 1) спектр А уравнении I был конечен; 2) rank Г = л.

А

Четвертая глава посвящается исследованию задачи идентификации текущих состояний функционально-дифференциальной системы £ неполного ранга. Для систем £ с соизмеримыми запаздываниями получена граничная задача,

ы

описывающая класс текущих состояний, совместимых с измеренным выходом. Доказывается параметрический критерий (¡-идентифицируемости системы £ в

03

факторизованном пространстве состояний.

Пусть У = (у I 1} £ С] - многообразие всех выходов у = y(t), t е Г, системы £. Вообще говоря, один и тот же выход (1) может порождаться несколькими начальными функциями т). Поэтому выходу у е У может соответствовать несколько текущих состояний х , каждое такое состояние будем на-

1 . . зызать совместимым с выходом у. Пусть {xf - класс текущих состояний,

совместимых с выходом у.

Обозначим: А = Ц е Л I rank с

многообразие текущих состояний, совместимых с нулевым выходом при t2 г nh. Для произвольной функционально-дифференциальной системы £ доказана лежа.

JI е м м а 4.1.1. Если множество Л конечно, то многообразие Р° конечномерно и имеет вид Р° = {<р е Р I G<p = 0}. Верно и обратное: из условия dim Р° < следует конечность множества Лс.

Разложим пространство С (см.(4)) по спектральному набору Лс.

G

WM

< п], Р° = [х } - линейное t о 1

Определение 4.2.1. Проекцию х назовем идентифицируемой, если у = 0, t a nh » х' = 0, ta nh.

Теорема 4.2.3. Разложение х = х^ + х° при t ^ nh есть разложение текущего состояния системы 2 на неидентифицируемую хр и идентифи-о

цируемую х* компоненты.

Исследован вопрос о разложении пространства состояний системы 2 по конечному спектральному набору Лс в прямую сумму неидентифицируемого Р° (dimP0 < +со) и идентифицируемого подпространств Q: С = Р° ® Q.

Те ор е» а 4.2.4. Для того чгсбы Р° = Р для системы Е, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства:

rank

w

rank M (A ), k i

A е Л , i с

i = 1,N,

где £ - алгебраическая кратность А( как корня характеристического уравнения (2); Z = [G, 0.....0] - Ixhk -матрица.

Обозначим через Dix) матрицу, присоединенную к АЕ - А,

kip) =

Dip)A Dip)Az Мр)Е О О Д(р)£

О

О

ЖрМ , D(pM

m-1 п

... о ... о

... Д(р)Г

, К(р) = ¿m(p).

Для системы £ с соизмеримыми запаздываниями вводится дифферекциаль-

CJ

ный оператор К (р) = col[G, GK(p).....GKn_1(p)], G = diag[G..... G¡

n

- Jraxa-катрипа, a = m, и доказывается теорема.

Теорема 4.3.1. Для того чгсбы подпространство Р° было конечномерно, необходимо и достаточно, чтобы

rank

'К (А)

П

Кп С А)

= rank.? (А) кроме, еозможно, конечного набора А е С. (6)

Пусть имеет место условие (6). Рассмотрим фактор-пространство F = = С / Р°, состоящее из классоз смежности <р° = 1<р + z), <р е С, z е Р°.

Фактор-пространство F - банахово относительно норм: n<p0iiF = inf lip ^

+ 211 . Выделим в нем линейное многообразие классов (х } , у е У. Введем

11 у

линейный оператор 1° : у -> (х4 где у е У. Оператор 1,° будем называть

оператором восстановления класса (х ) текущих состояний, совместимых с

tl у

измеренным выходом у. Задача идентификации превращается в задачу определения класса эквивалентных состояний, совместимых с измеренным выходом.

Определение^3.1. Систему назовем с-идентифицируемой,

если многообразие Р° конечномерно и оператор восстановления : Ь -э Г

1

(Ь2 = Ьг(Т, Е1)) ограничен:

Эк > 0 =» уII = II{х } II 2 кнуц Уу е У.

11 г у г ьг

Допустим, что выполнено условие (6). Тогда найдутся скалярный полином Л (Л) степени а и матричные полиномы в (Л), д = 0, л - 1, такие, о о 1

п-1 _

что Д (А)КП(А) = Т в (А)вК (А). В качестве полинома Д (А) можно взять О 1 о

1=0

базисный минор матрицы К (А), его степень ао £ а(л - 1). Введем обозначения:

ХШ = col[x(t), хЦ -и).....х(<; - (т - 1М1, t * -И,

УШ = соИбхШ, Gx(t - ы).....Gx(t - (га - 1)ш)], t £ -и,

Теорема4.3.2. Если выполнено условие (6), то класс текущих

состояний {х ] , t = t + лй, совместимых с выходом у1 = у(.Ь), С £ у

е [¿о - й, £ ], при достаточно большом г (<*о + (а - 1)л)й, совпадает с множеством решений граничной задачи

1) Шя + лй) = У(е + лй), До(р)Да(р)Х(в + лй) =

= ПЕ1С1(р)Дш'(р)У(з + ай), в е ио - и, 1=0

2) 5х'л(-аи) =0, = 1 = 1, п-1,

1

ш

хи*п(0) = Лх[л(0) + Е /

1 1=1 1

,7 = 0, V - 1, V = а + ал.

Равенство 1) связывает текущее состояние х , t - t + nh, с прошлым

1

выходом y(t), Ь е [tQ - h, t + (л - 1)Л], посредством сопровождающего

дифференциального оператора dip) = До(р)Д"(р). В главах 2-3 текущее состояние системы полагалось известным, т.е. в выражении (1) G = Е. В таком случае AQU) = const, что соответствует определению 2.2.1 второй главы.

Считаем выполненным условие (6), необходимое для с-идентифицируемос-ти системы £ . Тогда в силу теоремы 4.3.2 существует линейный оператор L° восстановления класса (х ] .

t t у

1 1

Обозначим: Up) = col[I (р).....1 (р)], здесь 1 (р) (i = 1~а, а =

1а 1

= пи) - дифференциальные операторы, о которых говорится в лемме 2.2.1;

y(t) = col[A(p)y(t).....Да(р)у(t + (а - 1)и)], t е П.

JI е мм a 4.3.2. Рассмотрим подмножество начальных функций т) е С",

V = па - 1, таких, что 5х11О(0) = 0, к = 0,р. Тогда класс функций (т)} ,

у

порождающих заданный выход у = у(t), t е [0, nh], совпадает с множеством решений граничной задачи

Up)H(t) = y(t) , tei2; Gi)<k)(-0) = y'k,(+0) , k = 0,n-l; 5x(k,(0) =0, k = oTv.

Сформулированная лемма позволяет доказать критерий с -идентифицируемости системы £ .

Теорема 4.3.3. Если выполнено условие (6), то оператор восстановления L° как оператор, действующий из L в F, при t , а, 2л(а + 1)h 1

ограничен, и система 2 с-идентифицируема.

Сформулирована и решена задача асимптотической оценки текущего состояния системы £ .

1

0пределение4.3.3. Систему £ назовем асимптотически идентифицируемой, если ее выход и совместимые с ним решения связаны условием lira у(t) =0 =» lim x(fc) = 0.

t-Э+оо t-)+a>

Теорема4.3.4. Система 2 асимптотически идентифицируема в том и только в том случае, когда ReX < 0 для любого собственного значения Л е

е V

В пятой главе рассматриваются задачи управляемости для системы £ не-

полного ранга. Доказывается параметрический критерий управляемости системы с соизмеримыми запаздываниями в факторизованном пространстве состояний, приводится граничная задача для нахождения успокаивающих управлений. Изучается задача управления выходом фукционально-дифференциальной системы 2.

Определение 5.2.1. Начальное состояние т) е С системы 21 •назовем управляемым, если найдется управление и е С такое, что

и) = 0, £ Ах(-с - и) = О, 1 = к* 1

t + h <t^í + h , к = 0, ra—1. 1 k 1 k+1

Система называется управляемой, когда управляемы все начальные состояния 7) е С.

Понятно, что x(t) = 0 при u(t) =0, t fe t > 0.

Пусть множество Л = [X е Л I rank [ff(A ), В] < п, i = 1,N) конеч-в i i

но. Разложим пространство С и сопряженное пространство С в прямую сумму

. . — — • —» —» — (4) по спектральному набору Л^ = Лв: С = Р о Q, С =Р ® Q . Здесь Р,

Р - обобщенные собственные пространства системы 21 и сопряженной к ней

— —» —Ож г • —»

системы, Q, Q - дополнительные подпространства. Через Р = [ ф е Р I

= 0 ] обозначим подпространство в Р . Теорема 5.2.1. Начальное состояние т) е С системы 2 управляемо посредством u е IRr) при достаточно большом t^ > 0 тогда и толь-

ко тогда, когда (i//*, i)) = 0 V^i* е í0, где Ф0 - базис подпространства Р°*.

Теорема 5.2.2. Разложение пространства С по спектральному набору Лв выделяет управляемую ксулоненту т)° начального состояния r¡ = т)Р + + т)° системы 2 . Успокаивающее управление для t¡q обеспечит включение

и

х еР, tat + Л, если u(t) =0, tat.

t,7) i i

Возможность обеспечить для любого начального состояния т) е С включение х е Р, tat + й, Еыбором подходящего управления назовем с-управ-

t, ti 1

ляемостью. Это свойство двойственно с-идентифицируемости системы 2 . Параметрическое условие представления пространства состояний системы 2^ в

виде прямой суммы С = Р © Q неуправляемого Р (dimP < +») и управляемого Q подпространств двойственно условию теоремы 4.2.4.

л

Пусть Ф - базис обобщенного собственного пространства Р систеш £ ,

связанного со спектральным набором Л ; - состояние, достижимое сис-

Л 5 л

темой £ в момент времени 6 = 0 из начальной функции е Ф; V* - еы-

ы С

ход системы порожденный той же функцией; Ь 2 (у + к)Ь, ц = + га -

- 1), V = а(к + 1), к - натуральное число.

Теор е а а 5.2.3. Для того чтобы ц раз непрерывно дифференциру-

емое управление u{t), t е [í^ - kh, t ], t * t + iu, i = 0, km, равное нулю вне указанного отрезка, было успокаивающим для начального состояния i) б С, необходимо и достаточно, чтобы

1) Kk*1(p)X(r) + 1 KJ(p)G(p)A°,(k-J,(p)í/(т +(k + 1 -j)h) = О,

J=i

i е |t - и, Ь ]; о о

s lcm + q

2) Y. Е Q . (iw)B5u s (t + (km + q - iM = 0,

s = 1, v, q=l, ra;

t r1

з; J V*(T)u(T)dT + (z°? T)) = 0 VZ°* к' 6 t.

t -kh 1

Здесь G(p) = [¿"^(píB, ____k(p)B, Б], В = col[D(A)3, 0, ..., 0],

t/(t) = col[u(t).....u(t - (ra - l)u)], 5u<s,(t) = u's)(t + 0) - u(s,(t -

- 0), смысл остальных обозначений прежний.

Замечание5.2.1. Пусть начальное состояние т) е С управляемо, тогда существует успокаивающее управление u = u(t), t е [0, t ], такое,

что х = 0. Из теоремы 4.3.3 и двойственности свойств с-идентифицизу-

V

емости и с-управляемости следует, что момент времени t = tQ + Wi, к = = 1, 2, ..., может быть взят один и тот же для всех управляемых состояний т): t £ 2(а + l)nh.

При помощи сопровождающего дифференциального оператора введена граничная задача, позволяющая находить успокаивающее управление только по измерениям выходного сигнала (1) при неизвестной начальной функции щ. При этом получено утверждение.

Следствие 5.2.2. Для того чтобы система Z была управляема по измерениям выхода (1), необходимо и достаточно, чтобы она была управ-

ляема и идентифицируема.

В диссертации поставлена и исследована задача предельной управляемости.

Определение 5.2.2. Систему ¡Е^ назовем предельно управляемой, если для любой начальной функции т) е С найдется управление u е С такое, что lim x(t) = 0.

t->+ro

Т е о р е м а 5.2.5. Система I предельно управляема тогда и только

тогда, когда ReA < 0 для любого собственного значения X е Л .

в

С позиций математической теории управления состояние - это внутренняя характеристика динамической системы. Измерению доступен лишь выход системы. Поэтому исследована задача обращения в нуль выхода системы X посредством подходящего управления - задача управляемости по выходу.

Определение5.3.2. Начальную функцию т} е С назовем управляемой по выходу, если найдется момент времени ^ > 0 и управление u е С такие, что, начиная et, система X имеет нулевой выход y(t) = 0 при u(t) = 0, t ь t . Систему X будем называть управляемой по выходу, если этим свойством обладают все начальные функции т) е С.

Т вор е « а 5.3.1. Для управляемости системы X по выходу необходимо , чтобы Aß s Л^.

Пусть пространство С = Р э Q разложено по спектральному набору Л

состоящему из v чисел. Постоянную матрицу J возьмем в виде diag [J .....

-J^l, где J - к xfcj-блок Йордана для спектрального значения At е Л£, алгебраическая кратность которого равна k , i = 1, v. Описано подпространство С начальных функций т) е С, управляемых по выходу системы .

Т е о р е м а 5.3.3. Если Ag £ Л , то подпространство CQ задается jt

равенством FM^e 1(Ф.ч) = 0, где Ы = со1[<Ж0), G4(0)J, ..., G®(0)Jp"1],

V

р = X k , F - фундаментальная система решений уравнения FM Ы = 0, М

1=1 1 G В В

= [Ф(0)Б, J4(0)B.....JP"4(0)B],

Т е о р е м а 5.3.4. Для того чтобы система Е^ была управляема по выходу, необходимо и достаточно, чтобы

1) А с А 2) rankЫ У = rankM. ВС с в с

В шестой главе на примере дискретных уравнений с фредгольмовым или вполне непрерывным оператором предлагается трактовка задачи наблюдения как способа регуляризации таких уравнений. Вводятся понятия обратимости и полноты фукционально-дифференциальной системы X, связывающие критерии

наблюдаемости и достижимости с критериями идентифицируемости и управляемости. Для системы с соизмеримыми запаздываниями названные критерии записываются в параметрической форме.

Рассмотрю.! дискретную систему вида 2 :

х = Ух , х е X, к = 0, 1.....

к+1 к к ...

у =бх, к = 1, 2.....

к к ...

где X - бесконечномерное банахово пространство, 7,6- линейные ограниченные операторы, хо - произвольное начальное состояние.

Определенней.1.2. Систему 2 назовем обратимой, если для

любого к * 1: х =0, у = 0 х =0.

к + 1 к к

Если система 2й обрати!«, то х^ = , у ), к ь 1, где оператор и

может быть неограничен. Поэтому рассмотрим вопрос о непрерывном обращении системы 2 .

а

Оператор сдвига системы 2 при t а й вполне непрерывен. Поэтому

считаем оператор У системы 2 вполне непрерывным (в силу бесконечнонерно-

<1

сти пространства состояний X оператор V не может быть непрерывно обратим). Введем оператор 4 = 1 + 4 (I - тождественный оператор), яеозжийся фредгольмовым. Тогда У = У^ + 7^, где 7^ - непрерывно обратим, а 7 - конечномерный оператор. В качестве выхода возьмем

Ук = (1

7 )х ,

Г к

к г 1.

(7)

Теорема 6.1.3. Если оператор 7 системы 2 вполне непрерывен,

й

го выход (7) обеспечивает непрерывную обратимость системы 2 .

с1

Определенней.1.1. Систему 2 (и = 0)' назовем обратимой,

если для любого Ь, Ь * Ь ± Ь \ х =0, у = вх = 0 =» х =0.

1 ^ь ' -Ч I I

Доказан параметрический критерий обратимости дифференциально-разкос-тных систем 2 с соизмеримыми запаздывания!.«.

Пусть постоянные матрицы {Л образуют фундаментальную систему решений алгебраических уравнений

[V

, Я 1

А

0

А А

т -1 т

о.

Теоремаб.1.4. Система 2 (и = 0) обратима тогда

и только

ш

тогда, когда

rank

ЯЛ + . . . + R А - R (ХЕ - А)

lm-l m-1 1 in

= П,

хотя бы при одном значении А е С.

Поскольку решение системы вообще говоря, не продолжимо влево, то зная текущее состояние, можно получить лишь некоторую информацию о прошлом состоянии.

_ -т

Определение 6.2.2. Набор данных х = (х(Ь); S ЫМ(е)]х (е +

-ь

+ т), т е Н*) назовем г-состоянием системы 2 в момент времени Ь а 0. На-_ -ь

■бор данных г1" = {г'Ш-, X г1*(т - в)[йМ(0)], т ей"]- Е-состоянием сопряженной системы 2* в момент времени Ь ± Ь (г1 = г1*(т) = г*(4 + т), т е Н*).

Очевидно, что а-состояние - необходимая и достаточная информация для нахождения решения х(т), т г Ь, системы I при заданном входном воздействии и. Пусть М~* = Кп"х£,~*, = К"*) - гильбертовы пространства.

Определениеб.2.3. Система 2 называется полной, если для

любых Ь £ Ь и функции С*, и£*11 * 0 (£*= (0); Д*(т - е)ЫМ(е)],

2 тг

т е Я"]), найдутся начальное состояние т) е С и управление и е С такие,

что (£*, х ) * 0. 1

Установлена двойственность свойств полноты системы £ и обратимости сопряженной системы £* (теорема 6.2.2).

Обозначим: М* = И?"х1.*, I* = Ь2(Н+, 0?") _ гильбертовы пространства,

__т

Хом = ^ = I а е К", /' = 11 т - т е [Л^, Л^), к =

= 0,я - 1}, / е I (Н~, К") ) 2 М* - подпространство начальных з-состояний для системы £ с соизмеримыми запаздываниями. Топологическое содержание

и

свойства полноты выражается следующей теоремой.

Теоремаб.2.4. Если система £ полна, то множество X* всех в-

и> 1

1

состояний, достижимых системой £ в момент времени Ь а Ь, всюду плотно в подпространстве Х°м е М* .

Формулируются двойственные понятия наблюдаемости и достижимости системы £.

0пределение6.2.4. Система £ (и = 0) называется идентифи-

цируемой, если у = 0 ф х^ = О. Система Г ! й, и = 0) называется

.наблюдаемой, если у = 0 =» хь = 0.

Определение 6.2.5. Система 2 (Ь г й) называется достижимой, если для нулевого начального состояния хо = 0 и произвольной функции

е С*, н!*П -* * 0, найдется управление ц е С такое, что (£*, х ) * 0. И2 11 Для системы свойство достижимости имеет содержание, аналогичное

свойству полноты при т) = 0 и переборе всех и е С.

Теоремаб.2.9. Если система £ достижима, то множество X*

всех б—состояний, достижимых системой 2 (х = 0, и е С) в момент времени

ы О

(; , всюду плотно в подпространстве начальных Б-состояний £ М*.

Роль понятий обратимости и полноты в задачах наблюдаемости и дости-'жимости системы 2 выражается следующими утверждениями.

Теорема 6.2.5. Система 2 наблюдаема тогда и только тогда, когда она идентифицируема и обратима.

Теорема 6.2.6. Система £ достижима в том и только в том случае, когда сопряженная система 2 наблюдаема как система с обратным временем.

Следствиеб.2.2. Система 2^, Ь г пй, с соизмеримыми запаздываниями достижима тогда и только тогда, когда она управляема и полна.

Отсюда вытекают параметрические критерии наблюдаемости и достижимости система 2 (при А =0, 2=1, ш, й=0, они совпадают с критериями

и 1

Р.Калмана). Для наглядности приведем критерий наблюдаемости системы Е . Теоремаб.2.7. Для того чтобы система Е , Ь а пй, была наблю-

ы 1

даема, необходимо и достаточно, чтобы Б '

1) rank

АЕ - А - V Л е Xhi u i 1 = 1

= П VA 6 С,

2) rank

R A + ... + R A - R Ш - A)

1 m-1 m-1 1 m

= n ЗА e C.

В шестой главе предложена концепция канонической реализации отображения вход-выход для систем с последействием вида 2 .

m

3 а д а ч а 3 (задача реализации дифференциально-разностных отображений Е^). Известен линейный оператор Р отображения вход-выход

уШ = (Ри)Ш, е е Т, (8)

системы Е^ с неизвестными матрицами А, А, I = 1,я, В, в, находящейся в нулевом начальном состоянии хо~ т) = О. Требуется найти матрицы А, А^, 2 =

= 1,га, В, в (включая их размеры л, га, г, 1), ы > 0, такие, что для хо = О

и произвольного управления и е С выход (1) системы Е^ совпадает с (8).

Определение 6.2.12. Систему Е^ называют реализацией отображения (8), если (*о = О Уи е С) => бхШ = (Ри)Ц), Ь е Т.

Введем определение, аналогичное определению Р.Калмана для обыкновенных систем.

Определение 6.2.13. Реализация Е отображения (8) называем

ется канонической, если она достижима и наблюдаема.

В рамках изложенной концепции для дифференциально-разностных систем

справедливо утверждение.

Т е о р е и а 6.2.8. Каноническая реализация £ отображения (8) яви>

ляется управляемой и идентифицируемой.

Значит, в математической модели Е^ отображения (8) возможно успокаивающее управление по неполным измерениям. Это подтверждает содержательность предложенного обобщения понятий Р.Калмана.

В заключение диссертации рассмотрены задачи наблюдаемости и достижимости для линейкой автономной дифференциально-разностной системы Е[ в гильбертовых пространствах Мг = и ¿2 = £г(Н",Кп). Приведем опреде-

ление и критерий М - достижимости.

На произвольном решении х(£), t & 0, системы Е1 определим набор

данных хь = (хШ; х^ ♦ т), те Н~), ¿2 0. Будем рассматривать данные

х как элементы пространства М.

Определение 6.3.1. Система £1 (<; а Ю называется Мг -достижимой, если для нулевого начального состояния хо = т) = 0 и любых х е

е М2, е > О найдется управление и е С такое, что выполняется неравенство

II* - х II < с.

I н 1 2

Теорема 6.3.5. Система Е^ ^ ь (л + 1)й, М^ - достижима тогда и только тогда, когда

1) гапк [\Е - А - £ Л^"^!, В] = л \/\ е С;

2) rank[Л , В] = п.

т

Для систе:.!ы Е^, находящейся в нулевом начальном состоянии, рассмотрена задача функциональной достижимости в пространстве

Vc > 0 найти в е I (Г, IRr) такое, что II® - х II < с, (9)

г t L

1 2

где <р - заданная функция, <р е L , х - конечное состояние системы Е .

2 tj 1

Определенней.3.4. Систему Е назовем функционально достижимой, если задача (9) разрешила для произвольной функции <р е L .

Впервые задача функциональной достижимости изучалась С.А.Минюком. В диссертации эта задача решена через рассмотрение двойственной задачи функциональной наблюдаемости. В случае системы Е с соизмеримыми запаздываниями доказан параметрический критерий функциональной достижимости.

ВЫВОДЫ

В диссертационной работе доказаны новые критерии финитности решений линейных автономных функционально-дифференциальных систем и на их основе дано развитие метода пространства состояний на широкий круг задач теории управления.

Через разложение пространства состояний по конечному спектральному набору в форме граничных задач, связывающих выход, управление и начальное состояние, установлены критерии финитности решений функционально-дифференциальных систем. Этот результат является главным в диссертации, с помощью его исследуются вопросы управляемости и наблюдаемости функционально- дифференциальных систем. Для дифференциально-разностных систем 'указан •способ получения названного спектрального набора. Изучены дифференциально-разностные системы с соизмеримыми запаздывания!®!, для которых доказаны параметрические критерии различных динамических характеристик.

В едином ключе исследованы как поставленные ранее, так и новые задачи математической теории управления системами с последействием. В списке первых - задача описания классов эквивалентных начальных состояний, проблема точечной полноты и связанные с ней задачи, двойственные задачи функциональной наблюдаемости и функциональной достижимости в пространствах М2

и I, . Новыми являются задачи идентификации и управления в факторизованном г

пространстве состояний, задачи асимптотической идентифицируемости и предельной управляемости, задачи наблюдаемости и достижимости в терминах

s-состояния. Предложены понятия обратимости и полноты, через которые задачи наблюдаемости и достижимости сводятся к задачам идентифицируемости и управляемости. Это позволило обобщить подход Р.Калмана к задаче реализации на дифференциально-разностные системы, сохранив его прикладную направленность (каноническая реализация должна быть идентифицируема и управ-.ляема). Существенным является то, что проверка доказанных в работе параметрических критериев точечной полноты, идентифицируемости, управляемости, обратимости и других связана с конечным числом операций по нахождению рангов постоянных или полиномиальных матриц.

Развитый в данной работе метод пространства состояний, будучи конструктивным по сути, в каждой из перечисленных выше задач позволяет предложить схему численного решения. Граничные задачи, реализующие идентификацию и управление в системах с соизмеримыми запаздываниями, могут использоваться для нахождения оптимальных управлений по неполным измерениям.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ АВТОРОМ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. ИГНАТЕНКО В.В., МЕТЕЛЬСКИЙ A.B. Управляемость линейных систем с распределенным запаздыванием // Весц1 АН БССР. Сер. ф1з.- мат.навук,-1978, N 3,- С. 26-33.

2. МЕТЕЛЬСКИЙ A.B., ШНЮК С.А. К теории полной наблюдаемости систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения,- 1978.- Т. 14, N 4.- С. 624-633.

3. МЕТЕЛЬСКИЙ A.B. Необходимые условия наблюдаемости системы линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // I областная научно-практическая конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". Матер, конф.— Гродно, 1983,- С. 115-117.

4. МЕТЕЛЬСКИЙ A.B. Критерий наблюдаемости систем дифференциально-.разностных уравнений // Доклады АН БССР.- 1987,- Т. 31, N 5.- С. 393-396.

5. МЕТЕЛЬСКИЙ A.B. Функциональная достижимость и функциональная наблюдаемость систем дифференциально-разностных уравнений // Доклады АН БССР,- 1988,- Т. 32, N 5,- С. 389-392.

6. МЕТЕЛЬСКИЙ A.B. Основные понятия теории управления систем дифференциально-разностных уравнений // III Уральская региональная конференция "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения". Тез. докл. конф,- Пермь, 1988.- С. 181.

7. МЕТЕЛЬСКИЙ A.B. Двойственные задачи достижимости и наблюдаемости для линейных стационарных систем с запаздыванием // Сб. Актуальные задачи

теории динамических систем управления,- Минск: Навука i тэхтка, 1989.-С. 27-37.

8. МЕТЕЛЬСКИЙ A.B. Обратимые системы с запаздыванием // Весщ АН БССР. Сер. ф1з.— мат. навук.- 1989, N 4.- С. 106-108.

9. МЕТЕЛЬСКИИ A.B., НАУМОВИЧ Р.Ф. Задача достижимости для систем дифференциально-разностных уравнений // IV Уральская региональная конференция "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения". Тез. докл. конф,- Уфа, 1989. С. 70.

10. МЕТЕЛЬСКИИ A.B. Двойственность по Калману в теории управления динамическими дифференциально-разностным системами // Автоматика и телемеханика,- 1989, N 9,- С. 81-90.

11. МЕТЕЛЬСКИЙ A.B. К теории управления системами дифференциально-разностных уравнений // Международный советско-польский семинар "Математические методы оптимального управления и их приложения". Тез. докл. семин,- Минск, 1989,- С. 82-84.

12. МЕТЕЛЬСКИЙ A.B. Критерий приводимости функционально-дифференциальных уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям // Республиканские научные чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Тез. докл. конф,- Минск, 1990,- С. 75-76.

13. МЕТЕЛЬСКИЙ A.B. О точечной полноте функционально -дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения,- 1991,- Т. 27, N 6,- С. 969978.

14. МЕТЕЛЬСКИЙ A.B. 0 классах эквивалентных состояний линей"~х автономных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения,- 1991,- Т. 27, N 10,- С. 1703-1712.

15. МЕТЕЛЬСКИИ A.B. Выделение идентифицируемой и управляемой компонент состояния динамической системы с запаздыванием // Дифференциальные уравнения,- 1992,- Т. 28, N 6,- С. 972-984.'

16. МЕТЕЛЬСКИЙ A.B. Обратимость и полнота линейных автономных систем с последействием // Дифференциальные уравнения,- 1592,- Т. 28, N 8,- С. 1302-1311.

17. МЕТЕЛЬСКИЙ A.B. 0 непрерывной идентификации класса текущих состояний дифференциально-разностных систем // Дифференциальные уравнения.-1992,- Т. 28, N П.- С. 1962-1969.

18. МЕТЕЛЬСКИЙ A.B. Параметрические критерии функциональной наблюдаемости и функциональной достижимости дифференциально-разностных систем // Дифференциальные уравнения.- 1993,- Т. 29, N 2.- С. 219-225.

19. МЕТЕЛЬСКИЙ A.B. Критерий управляемости по Еыходу линейных автономных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные урав-

нения,- 1993,- Т.29, N 6,- С. 961-969.

20. МЕТЕЛЬСКИЙ А.В. Задача управления выходом динамической системы с последействием // Межгосударственная научная конференция "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация". Тез. докл. конф.- Минск,

1993,- С. 63.

21. МЕТЕЛЬСКИЙ А.В. Проблема точечной полноты в теории управления дифференциально-разностными системами // Успехи математических наук,-

1994.- Т. 49, вып. 2.- С. 103-140.

22. METEL'SKII A.V. The state-space method in control theory for differential-difference systems (DDS) // International conference on functional-differential equations and applications. Abstracts.- Moscow,

1994. - P. 59.

23. МЕТЕЛЬСКИЙ A.В. Идентификация текущего состояния системы с последействием // 50-я научно-техническая конференция профессоров, преподавателей, научных работников, аспирантов и студентов Белорусской государственной политехнической академии. Матер, конф.- Минск, 1994.- Ч. 1,- С. 113.

24. МЕТЕЛЬСКИЙ А.В. Вычисление успокаивающего управления в системе с последействием // Белорусский конгресс по теоретической и прикладной механике "Механика-95". Тез. докл. конгр,- Минск, 1995.- С. 161-163.

25. МЕТЕЛЬСКИЙ А.В. Метод пространства состояний в теории управления системами дифференциально-разностных уравнений // Республиканская научно-методическая конференция, посвященная 25-летию факультета прикладной математики и информатики. Матер, конф,- Минск, 1995,- Ч. 1,- С. 187-190.

26. МЕТЕЛЬСКИЙ А.В. Задача идентификации в факторизованном пространстве состояний для дифференциально-разностной системы с соизмеримыми запаздываниями // Дифференциальные уравнения.- 1995.- Т. 31, N 8.- С. 13531360.

27. МЕТЕЛЬСКИЙ А.В. Задача идентификации для дифференциально-разностной системы в факторизованном пространстве состояний // Республиканская научно-техническая конференция "Автоматический контроль и управление производственными процессами". Тез. докл. конф.- Минск, 1995.- С. 58.

28. МЕТЕЛЬСКИЙ А.В. Описание нуль-класса эквивалентных начальных состояний линейного автономного дифференциально-разностного уравнения // Международная 51-я научно-техническая конференция "Состояние и перспективы развития науки и подготовки инженеров высокой квалификации в Белорусской государственной политехнической академии". Матер. конф.- Минск,

1995,- Ч. 7,- С. 90-91.

29. МЕТЕЛЬСКИЙ А.В. Наблюдение как способ регуляризации задачи обра-

щения динамической системы // Вторые Республиканские научные чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященные 75-летию Ю.С.Богданова. Тез. докл. конф.- Минск, 1995.- С. 55.

30. МЕТЕЛЬСКИЙ A.B. О построении успокаивающих управлений для дифференциально-разностных систем с соизмеримыми запаздываниями // Дифференциальные уравнения.- 1995.- Т. 31, N 12.- С. 1989-1995.

31. МЕТЕЛЬСКИЙ A.B. Задача успокоения динамической системы с запаздыванием по неполным измерениям У/ Автоматика и телемеханика,- 1996, N 2. - С. 56-66.

РЭЗШЕ

МЯЦЕЛЬСК1 Анатоль Уладз1м1рав1ч

Метад прасторы станау у тэорьи ¡аравання с1стэмам1 функцыянальна-дыферэнцыяльных раунанняу

Ключавыя словы: функцыянальна-дкферэнцыяльнае раунанне, метад прас-■торы станау, пунктавая пауната, пукктавая звыроднасць, ^дэнтыфЛцыруе-масць, к1руемасць, абарачальнасць, пауната, наз1раемасць, дасягаемасць.

Аб'ект даследвання - дынам1чная с1стэма лшейных аутаномных функцыя-нальна-дыферэнцыяльных раунанняу (СФДР) няпоунага рангу (вядомыя спякт-ральныя крытэрьа поунай наз1раемасщ 1 поунай йруемасщ парушаюцца).

Асноуная мэта дысертацьп - доказ крытэрыяу ф^ттнасщ рашэнняу СФДР 1 разв1.цце метада прасторы станау на актуальный заданы тэорьп к1равання СФДР.

Прапануемы падыход к даследванню задач тэорьц к1равання заснаваны на крытэрыях ф1нз.тнасц1 рашэнняу СФДР, устаноуленых аутарам.

Атсаны класы экв1валентных пачатковых станау. Атрыманы параметрыч-ныя крытэрьп пунктавай паунаты 1 пунктавай звыроднасц1, с -2.дэнтыф1цкруе-■масщ 1 с-гаруемасщ, абарачальнасщ 1 паунаты, наз1раемасц1 1 дасягаема-сц1, праверка як1х звязана з канечным л1кам аперацый над матрыцам1 с1стэш к1равання. Упершыню уведзены межавыя задачы для адшуквання бягу-чых станау 1 заспакойваючых к1раванняу па м1нуламу выхаду. Метады 1 рэ-зультаты дысертацы1 могуць ужывацца пры распрацоуцы алгарытмау сз.нтэзу заспакойваючага к1равання па няпоункм Еымярэнням 1 для вывучэння дынаьцч-ных уласц1васцяу СФДР.

РЕЗЮМЕ

МЕТЕЛЬСКИЙ Анатолий Владимирович Метод пространства состояний в теории управления системами функционально-дифференциальных уравнений

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, метод пространства состояний, точечная полнота, точечная вырожденность, идентифи-

цируеиость, управляемость, обратимость, полнота, наблюдаемость, достижимость .

Объект исследования - динамическая система линейных автономных функционально- дифференциальных уравнений (СФДУ) неполного ранга (известные спектральные критерии полной наблюдаемости и полкой управляемости нарушаются) .

Основная цель диссертации - доказательство критериев финитности решений СФДУ и развитие метода пространства состояний на актуальные задачи теории управления СФДУ.

Предлагаемый подход к исследованию задач теории управления основан ка критериях финитности решений СФДУ, установленных автором.

В работе описаны классы эквивалентных начальных состояний. Получены параметрические критерии точечной полноты и точечной вырожденности, с-кдентифицируемости и с-управляемости, обратимости и полноты, наблюдаемости и достижимости, проверка которых связана с конечным числом операций над матрицами системы управления. Впервые Еведены граничные задачи для отыскания текущих состояний и успокаивающих управлений по прошлому выходу. Методы и результаты диссертации могут применяться при разработке алгоритмов синтеза успокаивающего управления по неполным измерениям и для изучения динамических свойств СФДУ.

SUMMARY

METEL'SXII Anatolii Vladirr.irovich The state-space method in control theory for systems of functional-differential equations

Key words: functional-differential equation, state-space method, pointvdse completeness, pointwise degeneracy, identifiability, controllability, reversibility, completeness, observability, attainability.

An object under investigation is a dynamic system of linear autonomous functional-differential equations (SFDE) with incomplete rank (the well-known spectral criteria of complete observability and complete controllability are violated).

The main thesis's aim is a proof of criteria of finiteness SFDE solutions to develop the state-space method to actual problems of the control theory of SFDE.

The proposed approach to ivestigating problems under consideration

is based on criteria of finiteness SFDE solutions established by the author.

Classes of equivalent initial states are discribed. The parametric pointwise completeness and degeneracy, c-identifibility and c-controlla-bility, reversibility and completeness, observability and attainability criteria are obtained. The test of ones requires a finite number of operations under matrices of control systems. For the first time boundary-value problems from which current states and damping controls are found on past output are introduced. The thesis's methods and results may be used for working out algorithms for synthesis of damping control under incomplete measurments and for investigating SFDE dynamic properties.

Подписано в печать 26.11.97. Формат 60 х 84/16. Усл. печ. л. 2.1. Усл. кр.-отт. 2,33. __Уч.-изд. л. 1,6. Тираж 100 экз. Заказ 24.

Институт математики Национальной Академии наук Беларуси. 220072. Минск. Сурганова, 1 Отпечатано на ротапринте Института математики Национальной Академии наук Беларуси ЛВ № 1146. 220072, Минск, Сурганова, 11.