Развитие теории нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Н6 ОД

•.! ел

АКАДЕМИЯ НАУК КИРГИЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Специализированный совет Д 01.93.08

на правах рукописи

ШДАШЕБ 1УРСУН КАЫАЛДШОБИЧ

РАЗВИТИЕ

ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАКСИМУМАМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

БЖКЕК - 1993

АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСГИ1УТ МАТЕМАТИКИ

Специализированный совет Д 01.93.08

на правах рукописи

У1ДАШЕВ ТУРСУН КАМАДЦИШВИЧ

развитие

ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ С МАКСИМУМАМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

БИШКЕК - 1993

Работа выполнена в Институте математики АН Кыргызской Республики

Научный руководитель: академик АН Кыргызской Республики, доктор физико-математических наук, профессор

Ы.И.№*аналиев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

$>. В. Логинов (ИМ АН Республики Узбекистан)

Кандидат физико-математических наук, с.н.с.

Д.М.Иамытов (НА. АН Кыргызской Республики)

Ведущая организация;

Институт теоретической и прикладной математики

HAH Республики Казахстан

_Защита диссертации состоится " 5/9 " /О 1993 г,

аЧ ^QjacoB на заседании Специализированного совета Д 0I.93J по присуждению ученых степеней доктора и кандидата наук в Институте математики АН Кыргызской Республики.

С диссертацией можно ознакомиться в ЦДБ АН Кыргызской Республики.

Автореферат разослан " ДлЗ. "_(1 ?,_ 1993 г.

Отзывы на автореферат просим прислать по адресу: 7?0071, г.Бишкек-71, Проспект Чуй, 2£5 "А", Институт математики АН Кыргызской Республики, Специализированный совет Д 01.93.08.

Ученый секретарь Специализированного совета " кандидат физико-математических нау: старший научный сотрудник

С.Искандаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, особенно дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, находят много приложений: в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигателе, ряда экономических, экологических и других проблем.

Основополагающий вклад в эту область математики внесли Л.Э.Зльсгольц, С.Б.Нсркин, А.Д.Мышкис, Н.Н.Краеовский, Н.В. Азбелев, М.И.Иманалиев, ¡и.А.Ьедь, В.А.Митропольский, A.M. Самойленко, В.Н.Шепело, П.С. Панков', Дж.Хейл, Р.Д.Драйвер и многие другие ученые.

Б последнее время появился новый особый класс дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, составляющие уравнения, правая часть которых, наряду с "обычными"

аргументами,, зависит от конструкции

Их принято называть дифференциальными уравнениями с максимумами .

Качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений с максимумами впервые систематически Изучались в работах А.Р.Магомедова и его учеников.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. I) Установить достаточные условия существования, единственности и непрерывности решения по начальной функции для систем обыкновенных нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с максимумами и доказать непрерывность решения этих систем по отношению к функциональному параметру;

2) Установить достаточные условия существования, единственности и непрерывности решения по начальной функции для счетных систем нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с максимумами;

3) Установить достаточные условия существования периодических решений для нелинейных систем дифференциальных и. интегро-дифференциальных уравнений с максимумами, также указать практические пути отыскания этих периодических решений;

4) Установить достаточные условия осцилляции решений нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. Существование решений начальных задач для систем с максимумами доказывается методом последовательных приближений, а единственность этих решений доказана путем предположения от противного и сравнения одинаковых приближений. Существование периодических решений систем с максимумами доказывается с помощью численно-аналитического метода. Теоремы о достаточных условиях осцилляции решений доказываются методом от противного.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Впервые рассмотрены интегро-дифферен-циальные уравнения со сложным запаздыванием под знаком максимума , зависящим.от производной искомой функции. Доказаны теоремы: существования, единственности решения начальных задач, непрерывности решения по начальной функции и по отношению к функциональному параметру. Изучены вопроси существования и практического отыскания периодических решений нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных систем с максимумами. Установлены достаточные условия осцилляции решений дифференциальных уравнений второго порядка с максимумами.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. В теоретическом отношении результаты диссертации продолжают развитие теории дифференциальных уравнений с максимумами. Доказательства теорем конструктивны и позволяют строить алгоритмы при численных расчетах прикладных задач. Полученные результаты могут найти применение в теории колебаний и автоматического регулирования.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных конференциях " По проблемам Н1П и социально-экономического развития реп. )на " ( Андижан, 1989 ),

" Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач " ( Бишкек, 1991 ), "По качественной теории дифференциальных уравнений " ( Самарканд, 1992 ), на семинарах И»! АН Кыргызской Республики в 1989-1993 г.г. ( руководитель семинара член-корреспондент РАН М.И.Иманалиев ). По теме диссертации опубликованы статьи [с-ъ], [>-У] и тезисы докладов [1], [&}>ГОССТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии из .103 наименований. Общий объем работы 121 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ .

Во введении дается краткий обзор литературы и краткое содержание работы. Для того, чтобы изложить краткое содержание работы,приняты некоторые обозначения:

оо) . оо)) ЩП- п -мерное

евклидово пространство; - пространство Непрерывных

вектор-функций по всем' аргументам в области »5е?» С )

0п.о£(<М) ~ класс функций, ограниченных по норме числом

1/1>р(^)-и $ ) ~ 1018100 Функций, удовлетворяющих условию Липшица, по переменным • > ' с коэффициентом ,

а для функций одной переменной индекс будем опускать.

Далее, будем использовать понятия начальной функции и начального множества. Везде начальную функцию будем обозначать ^, начальное множество - просто £ . Предполагается, что везде под начальной функцией понимается непрерывная функция но начальном множестве, т.е.

Для (//"-периодической по функции (,, ; . .

посредством оператора ^^ будем обозначать интегральное

- о -

среднее по времени

Первая глава посвящена исследованию начальных задач для систем нелинейных дифференциальных и интегро-дифферен-циа^ьных уравнений первого порядка с максимумами и для счетных систем нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с максимумами.

В § 1.1 рассматривается нелинейная система дифференциальных уравнений вида

Ш* (I)

с начал^ннм условием

(2)

где Ф&ЗСС ¡Цсостояния, "Ц.С.1/С ~ функциональный параметр, притом , - ограниченные

замкнутее мнокесте», запаздывание зависит от времени ,

самой искомой функции и от функционального параметра

здесь И ниже - покомпонентно. ТЕОРЕМА 1.1.1. Пусть выполняются следующие условия:

¿-КТ4-)* - ^ = с-ои-вй;

з.-^ЫеирШ,-

- ь -

и/

где а=[о,т]*х*х*и ^=[о,т}*х*и х= Г (хеЙГ|||*- Yto)IU*}, ъ - »^(WW-WlllieEJ.

Тогда на отрезке Jo, ¿*J . f существует единственное решение системы (I) с начальным условием (2).

ТЕСРЕМА I.I.2. Пусть выполняются условия теоремы 1.1.1. Тогда решение системы (I) непрерывно, по.Начальной функции на отрезке [О; t*] ,

ТЕОРЕМА I.I.3. Пусть выполняются условия теоремы I.I.I

ч

г) Wt^^JeUpU^u).

Тогда решение задачи (I),l2) непрерывно по отношению к параметру ЛЛ/ (-tj-

В § 1.2 изучается аналогичная начальная задача для следующей системы интегро-дифференциальных уравнений вида

х yvva/xfxHhefe-Kla^x^eJIote^), t^Oj

где <XJ.£XC Ш, - вэктор состояния,

некоторый векторный параметр, запаздывание дополнительно зависит от искомой функции и ее производной,

3C(i,6) " непрерывная в треугольнике ^ rt~

латрица-функиия.

В § 1.3 исследуются вопросы разрешймости и непрерывности решения от начально^ функции следующей счетной системы нелинейных уравнений вида !

с начальными условиями

г^м^Ы, (4)

где " некоторый параметр и —* сх> при »V—¥ 00;

запаздывание к^Й^д^^Щ) ~ неотрицательная функция

- щ тщ * .и зависит дополнительно от самой искомой функции, причем

Обозначено церез 0 множество последовательностей

непрерывных на rfJ функций с обычным определением сложения элементов и умножения на скаляр, удовлетворяющих условию

|Р

^ ОО

и снабжено нормой

11 * < г}/]

где

ТЕОРЕМА 1.3,1. Пусть выполняются условия: и МТ4г, где ^ = *

3. % Ш £ lvi.pi.fU) И II tШQt * 03 I

где I%Ги'1 = ¥».

Тогда система 13) при условиях (4) имеет единственное решение на отрезке ^О»^} • ^

ТЕОРЕМА 1.3.2. Пусть выполняются условия

и аг^/иг'а,

где (р *= Ь г =

с(№гЛ*в!Акн»

з. м^м^'^И^ь

Тогда счетная система нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами (3) с условиями (4) имеет единственное решение на отрезке ^

ТЕОРЕМА 1.3.3. Пусть выполняются условия теоремы 1.3.1. Тогда решение системы (3) непрерывно по начальной функции

- 9 -

ни йтрезке ^О^Т],

Вторая глава посвящена исследованию периодических решений систем нелинейных дифференциальных и интегро-дифференцйальных уравнений с максимумами.

В § 2.1 рассматривается следующая система нелинейных дифференциальных уравнений

(5)

где непрерывная функция ^(^Х,^) является Ц/* -периодической по « запаздывание ~ СОп&Ь, ТЕОРЕМА 2.1.1. Пусть:

1. Функция х^) иГ-периодична по £ и

2. Радиус вписанного в шара больше

3.

Если,(а) имеет 1Д/*-периодическое решение, то оно может быть найдено Из системы интегральных уравнений

<Х>(^ос„)=ас, * ^[г&яфд), тм^фе^.в]})-

- 9 г(МвМ^1х(%ФФ-к>в]}1](1в • - (6) 0

Существование периодических решений системы (Ь) сводится к вопросу существования нулей функции

Д (хо) = 3}).

- ю -

Обозначим

где Х<„ - последовательные приближения, полученные по (6), ТЕОРЕМА 2.1.2. Пусть:

1, Выполняется условия теоремы 2.1.1}

2, Существует такое И. , что функция Ак(ф-,,) имеет изолированную особую точку (Ди[^)= р) » инДекс которой отличен от нуля;

3, Существует замкнутая выпуклая область У, .имеющая единственную особую точку ас, такую, "что на ее границе рХ^ выполняется неравенство

Тогда система (5) имеет периодическое решение -д&

цля которой» Х(о)£ЭСо»

В § 2.2 аналогично исследуется периодическое решение

1елинейной системы интегро-дифференциальных уравнений вида - р®

|иченная замкнутая область евклидова пространства Щ, } и к>0 — постоянное чиспо. Кроме того, - Л -

функция Ш -периодична по .

Третья глава посвящена исследованию осцйлляционных свойств решений нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами.

В § 3.1 устанавливаются признаки осцилляции решений нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами вида

где о ¿риксдаг и1Нх?, лхфо,

Ш=0, (9)

Обозначим через VV множество решений уравнения (8) ПРИ 'Ь >/ 0 » не слипающихся с нулем: для любого £$<7 существует такое I > I , что

ТЕОРЕМА 3.1.1. Для того, чтобы все решения -0& VI/ уравнения (8) были осциллирующими, достаточно выполнения условий: (9),

о

ТЕОРЕМА 3.1.2. Пусть выполняются условия (9), а также^

1. -йун —> 00^- Ой - неубывающая гладкая функция;

2. |(-и)

- неубывающая функция;

3. Для некоторого

4 VI при и> i.

О - 12 - Х

Тогда все решения уравнения (8) будут

осциллирующими. I

В § 3.2 аналогично устанавливаются достаточные условия "осцилляции решений нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами вида

о, ПО}

где Г(ьи,и-)ес(Д)), Г(М,о]=о,

- ограниченное множество, Ь -

при Ь>/0,

Публикации по теме диссертации:

1. Исследование разрешимости краевой задачи для одного типа дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Тез. докл. Всесоюзн. научно-практ. конф. по проблемам НГП и социально-экономического развития региона. - Андижан, 1989. - С. 204-205.

2. Исследование экспоненциальной устойчивости линейных систем с максимумами методом функции Ляпунова / Ред. журн. "Изв. АН Киргиз. ССР. Физ.-техн. и матем. наук". - Бишкек,

1990. - 6 с. - Деп. в ВИНИТИ II.10.1990, ),' 5341.

^

3. Смешанная задача для нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами ло времени / Ред. журн. "Изв. АН Киргиз. ССР. Физ.-техн. и матем. наук". - Бишкек, 1990, -- 9 с. - Деп. в ВИНИТИ И. 10.1990, № 5343.

4. (соавтор Шабадиков К.Х.) Исследование разрешимости смешанной задачи для интегро-дифференциальных уравнений с максимумами по времени // Исслед. по интегро-дифференц.

-; Г 3 -

Уравнениям. - Бишкек: Илим, 1991. - Вып.23. - С. 28-34.

5. Разрешимость краевой задачи для нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами // Там же. - С. 160-163

6. Дифференцируемость по параметру и асимптотическое представление решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа с запаздыванием //' Тез. докл. Всесоюзн.

- научн. нонф. по асимпт. методам теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач.

- Бишкек, 1991. - С. 119.

7,. Исследование зависимости решения одной смешанной задачи от параметра // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям -Бишкек: Илим, 1992. - Вып.24. - С. I76-I8I.

8. Существование слабого решения смешанной задачи для'нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами по времени // Там же. - С. I8I-I87.

9. Периодические решения нелинейных систем интегро-дифферен циальных уравнений с максимумами // Вопросы вычисл. и прикл. математики. - Ташкент: Фан, 1992. - Вип.93.

- С. II9-I29.

10. Об осцилляционных свойствах решений дифференциальных уравнений с максимумами // Тез. докл. научн. конф. стран СНГ по качественной теории дифференциальных уравнений.

- Самарканд, 1992. - С. 128.