Качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений с максимумами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

w Л т

| b'.i „

IIa пряпах рукописи

УЛК 517.91

МАГОМЕДОВ АХМЕДБЕЙ РАМАЗАН ОГЛЫ

КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАКСИМУМАМИ

0101.02 — .Лиффермшиальш.и- урапнспин

Лптореферат диссертации на соискание ученой степени доктора фи.шкомагемАТическкх наук

Ц0й()('И|]И1Ч'К l'Ji«

Работа «ыиолнена в Шемахинской астрофизической обсерватории им. II. Ту си All Азербайджана и кафе л ре "Высшая математика" Московского автомобильпо-дорожного института.

Научный консультант:

Официальный oaiioueuTu:

Оедущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор РЯБОВ 1С). А.

ак&лемик ЛИ Кыргызстана

И M АН A JiHEB М. И. (директор ИМ ЛИ

Кыргызстана),

академик ЛИ Азербайджана ГЛСЫМОВ М. Г. (ВГУ им м. Расу л зале),

д. ф.-M. к проф. АИИКОНОИ К). К. (Институт математики СО РАН)

Киевский Госуднргшеиний университет им. Т. Г. Шенченко

Защи та состой ген « ^ ^ » |r'а ИИ^ г.

AriMiaUMU ГШ'МИЛГШ UmnU^lllfrtm rnHf'1'й Л flliU П'} lit

4 Г

на заседании специалн.нфовашют совета il 0(>.Ч.У8.02 лри Новосибирском государстнсшшм ушшерситеге но адресу: (ШОУО, Новосибирск, Академгородок, Пирогова, 2..

С, диссертацией молшо ознакомиться » библиотеке уииверешета.

Автореферат разослан <r_

в

Ученый секретарь снешш ла.шронаниого совета, л. ф.-м. п., проф.

и/1

V

"a. ü. ka.mixoh

Общая характеристика работы

Актуальность темы и цель работы. Большой интерес и пристальное внимание исследователей к дифференциальным уравнениям я первую очередь объясняется неисчерпаемыми возможностями их приложений н механике, физики, биологии, медицине, экономике, астрофизике, динамике управляемых летательных аппаратов, нелинейной теории колебаний, математических моделях экологии и н других областях естествознания. Однако именно потребности приложений привели к необходимости рассматривать и исследовать не только «классические», но и принципиально новые тины дифференциальных уравнений, поскольку «классических» типов оказывается явно недостаточно для адекватного описания актуальных прикладных проблем. Таким образом возникли и развивались теории интегро-дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, функционально-дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в функциональных пространствах н др.

В последние годы наблюдается бурный рост исследовательского интереса к системам с последействием. Это объясняется наличием трудных и интересных теоретических проблем и большими возможностями приложений этих систем в различных областях науки и техник».

Большой интерес вызывает новая область приложений таких уравнений, разрабатываемая в последнее время научным коллективом под руководством академика Г. И. Марчука —■ математическое моделирование процессов иммунологии. Модели Г. И. Марчука (см., например: Марчук Г'. И. Математические модели в иммунологии. М: Наука, 1980. 261 е.; 2-е изд. перераб. и доп. М.: Наука, 1985. 239 с.) представляют собой системы функционально-ашфферешшаль-ных уравнений запаздывающего типа.

Систематические исследования дифференциальных уравнений с последействием были начаты н 1949 г. А. Л, Мьпнкисом. В дальнейшем они были направлены как на более углубленное изучение уравнений определенных классов и новых постановок задач для этих уравнений, так и на анализ новых типов уравнений (Л. Л. Мышкис, Н. II. Аэ-белен, И. Н. Красонский, Л. Э. Эльсгольц, Ю. А. Рябой, Р. Беллман, К. Кук, Р. Драйвер и др.).

Среди дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргумеп-юм наиболее трудно поддаются исследованию такие уравнения, в которых отклонение (и частности, запаздывание) аргумента зависит не только от времени, но и ог самой неизвестной функции. Эти уравнения, содержащие выражения вида х{1 — /г[/., х(£)]), принято называт ь диффср*:нци<1льны.лш уравнениями с ааторегулируемы.и мшам)иоч-

Л

нием аргул!ента (Н. Н. Красовсшй, Р. Драйвер).

Особый класс функционально-дифференциальных уравнений составляют уравнения, правая часть которых наряду с «обычными» аргументами ¡, х(1) зависит от верхней границы неизвестной функции х(£) на — Эти уравнения, содержащие выражения вила

шах х(т) Гф-Цф]

принято называть дифференциальными ураане»уял*и с макашума-мг1 [2, 11, 16]. Такие уравнения (в векторной форме) имеют вил

Ш) «= .«пах ,у(г), шах »(г),...), (1)

где ] --- 1 ,'2,3...,.........положительные функции (или постоянны*;),

/(<,и,и, и>,,.,) — некоторая нелинейна« нектор-фуншия своих аргументов.

Дифференциальные уравнения с максимумами являю! ся подходящей математической моделью рила задач автоматического регулирования, и это определяет их значимость с точки зрении практических приложений и актуальность их анализа. Отсюда следует один из аспектон актуальности диссертации,

.Дифференциальные ураииеиия с максимумами отличаются по своим особенностям от уравнений с простым запаздыванием. Результаты, полученные с помощью дифференциальных уравнений с запаздыванием, нельзя автоматически переносить на случаи дифференциальных уравнений с максимумам».

Множество решений линейных уравнений с максимумами не обладает линейностью (сумма решений не являет ел, вообще говоря, решением таких уравнений). Процесс, описываемый линейным неоднородным уравнением, нельзя разделить на переходный (соответствующий решению без правой части) и стационарный (соответствующий частному решению «олного уравнения).

Отдельного исследования требует также вопрос об устойчивости и об экспоненциальной устойчивости решений дифференциальных уравнений с максимумами.

Как. чисто теоретический интерес, так и практическая перспективность приложений дифференциальных уравнений с максимумами делают их подробное и всестороннее изучение весьма важным,

Таким образом, дифференциальные уравнения с максимумами Представляют собой социальный новый класс уравнений, для которого необходима своя теория. Именно созданию -мой теории и посвящена данная диссертация.

13 диссертации предложена качественная теория дифференциальных уравнений с максимумами (точнее, ннеденис н такую теорию), а именно, установлены

1) теоремы о сушосгнонании, единственности и непрерывности решений (о положительной разрешимости решений начальной задачи, непрерывной танисимости решения от изменения начальной функции и от функционального параметра);

2) теоремы о сушестноваиии, единственности и конструктивные алгоритмы построения периодических и почти-периодических решений (с малым параметром и с сингулярными возмущениями но малому параметру);

3) критерии экспоненциальной устойчивости решений (для некоторых классов).

Общая методика исследования. Содержание диссертации находится на стым' таких разделом математики, как функнионально-дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргумегом, дифференциальные уравнении с запаздывающим аргументом, теории нитомаигнчкого регулирования и управления, а также теории управляемых летательных аппаратов и теория динамики ракет.

Лля дока н'льстна теорем о существовании, единственности и пеирерыиности решений дифференциальных ураниений с максимумами иснольчошшы иоеледоиательные приближении типа Пикара, метод опенок с помощью мажорирующих функциональных уравнений Ля-пушшм, вспомоппсльиме функциональные неравенства, метод шагов, услонпя Клрагеодори, принцип иеноднижной точки Каччиополи --- Банаха.

Лля доказательства теорем о сушегпювании и единственности периодических и иочти-нериолических решений дифференциальных ураниений с максимумами и с малым параметром, а также сингулярных возмущений по малому параметру разработаны специальные аналитические методы конпруг,пятого анализа и алгоритмы, а также вспомогательные функциональные И дифференциальные неранепства.

Ляп домна ими.стиа ушерждений об устойчивости и об экспоненциальной усгойчиности решений дифференциальных уравнений с максимумами разработаны специальные* критерии.

Научные результаты, выносимые на защиту, их новизна

В диссертации получены следующие результаты:

доказаны теоремы о сутесгнонании, единственности и непрерывности решений для линейных и нелинейных дифференциальных уран-

нений с максимумами;

доказаны теоремы о положительной (нелокальной) разрешимости решений начальной палачи для нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами;

доказаны теоремы о существовании, единственности и непрерывной зависимости решения от изменения начальной функции и от функционального параметра;

разработаны специальные функциональные и дифференциальные неравенства для доказательства теоремы о существовании, единственности, непрерывности периодических и почти-периодических решений дифференциальных уравнений с максимумами и с малым параметром, а также сингулярных возмутеиий но малому параметру;

разработаны аналитические методы конструктивного анализа периодических и почти-периодических решений для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами;

доказаны теоремы о существовании и единственности периодических и почти-периодических решений для нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами и с малым параметром;

доказаны теоремы о существовании и единственности периодических и почти-периодических решений для синг улярных возмущений но малому параметру неавтономных и автономных систем дифференциальных уравнений с максимумами;

разработаны (получены) критерии некоторых классов об устойчивости и об экспоненциальной устойчивости лилейных, нелинейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с максимумами.

Развитые в диссертации методы дали возможность решить ряд проблем в теории дифференциальных уравнений с максимумами.

Все результаты диссертации являются новыми, строго математически обоснованы, снабжены иллюстративными примерами и выносятся автором па защиту.

. Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты имеют существенное значение для развития качественной теории функционально-дифференциальных уравнений и их приложений. Они, во-первых, выявляют специфические свойства решений мало изученного до сих пор класса функционально-дифференциальных уравнений, представляющего интерес с точки зрения общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, во-вторых, предложенные аналитические методы конструктивного анализа и алгоритмы поиска периодических и почти-периодических решений дифференциальных уравнений с максимумами могут найти практические приложения н теории колебаний, и динамике ракет и унравлле-мых летательных аппаратом: в-третьих, теория устойчивости и укс-

«

попенциальпой устойчивости решений дифференциальных уравнений с максимумами могут найти практические приложения при анализе процессов в задачах автоматического регулирования.

Диссертационная работа выполнена в отделе «Физика и динамика тел Солнечной системы» Шемахинской астрофизической обсерватории (ШЛО) им. II. Туси АН Азербайджанской республики в соответствии с планом научло-технических работ этого отдела по пятилетним планам и на. кафедре высшей математики Московского автомобильно-дорожлого института нол руководством доктора физико-математических наук, профессора Ю. А. Рябова.

Научные результаты диссертации использованы в Шемахинской астрофизической обсерватории им. Н. Туси АН Азербайджанской республики, Институте математики и механики АН Азербайджанской республики, Институте математики АН Киргизской ССР и НПО НИ Гланкосмоса СССР при выполнении работ по линии Госкомитета по науке и технике при Сонете министром СССР,

Апробация работы. Основные результаты диссертации докла-дыиались и обсуждались на научных конференциях и семинарах:

1. Семинар но теории дифференциальных уравнений кафедры высшей математики Московского автомобильно-дорожного института (рукоподитель д.ф.-м.н., npo(j>eccop Ю. А. Рябов) с 1978 г. по 1990 г.

2. Семинар отдела обыкновенных дифференциальных уравнений Института математики и механики ЛИ АзербССР (руководитель д.ф.-м.н., профессор 10. И. Ломшлак) с 197S г. по 1990 г.

3. Всесоюзная конференция «Функнионально-дифферешшальные уравнения» (рукоподитель д.ф.-м.н., профессор II, В. Азбелев) Магнитогорский педагогический институт, г. Магнитогорск, 1984 г.

4. Уральская региональная конференция «Функционально-дифференциальные уравнения» (руководитель д.ф.-м.н., профессор Н, В. Аз-(белеп), 1Гер,мский политехнический институт, г. Пермь, 1985 и 1988 it.

5. Уральская региональная конференция «Функционально-дифференциальные уравнении» (руконодитель д.ф.-м.н., профессор Н. В. Аз белен), Уфимский авиационный институт, г. Уфа, 1986 и 1989 гг.

6. Уральская региональная конференция «Функционалыю-диффе-решшпльные уравнении» (руководитель д.ф.-м.н.. профессор Н. В. Аз-ие.чен), Челябинский политехнический институт, г. Челябинск, 1987 г.

7. Семинар но качественной теории дифференциальных уравнений и дифференциальной 1еомегрии (руководитель д.ф.-м.н., профессор Леметр Крупка). Университет им. И. Е. Пуркуне, г. Врио, ЧССР, 19SS г.

8. Международная конференция по дифференциальной геометрии и ее приложениям, Унинерсип.ч им. И. Е. Пуркуне, г. Врио, ЧССР,

1989 г.

9. Общеинститутский семинар института математики и механики ЛИ АзербСОР (руководитель академик Ф. Г, Максудов), г. Баку, 1979, 1982, 1990 i г.

10. Общеинститутский семинар института математики АН Кир-•гизской ССР (руководитель чл,-корр. АН СССР М. И. Иманалиев), г. Фрунзе, 1989, 1990 гг.

Публикация. По теме диссертации опубликовано 1(» работ, библиографическое описание которых приведено в кони« автореферата; С из них выполнено н соавторстве. Кроме того, опубликована книга «Обыкновенные дифференциальные уравнения с максимумами» [10].

Из работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию включены только результаты, принадлежащие ¡штору.

Структура и объем работы. Диссертация объемом в 250 машинописных страниц состоит из введения, трех глав, пронумерованных 1, И, III, и списка литературы, содержащею 59 наименований и занимают«о 7 страниц текста.

Содержание работы

Во введении подробно описывается исследуемый объект — дифференциальные уравнения с максимумами, а также поясняется их смысл на двух примерах, сформулированных в терминах авюмаги-ческого регулирования.

Правые части .'рассматриваемых дифференциальных уравнений с максимумами являются функционалами или операторами, не обладающими свойствами линейности, даже в случае линейных ураннешш (как это имеет место в общем случае линейных уравнений с отклоняющимися аргументами", когда -отклонение зависит от искомых функ- • Щ1Й). Вместе с тем ути функционалы имеют специальную структуру, что позволило разработать методику исследований свойств решений уравнений с максимумами.

Проанализируем характер решений дифференциального уравнения с максимумом:

y(L) — ayil) -f b max y(r), -co < t < +oo, ' (2)

где a, b — постоянные. Исследуем монотонно возрастающие и монотонно убывающие решения уравнения (2).

I. Если решение y(t) монотонно возрастающее, то вдшч, него птах у(т) = y(i) и уравнение (2) принимает вид

re[i-A,t]

3/(0= (« + %(')• (3)

'Гак как это решение! удовлетворяет тем самым обыкновенному дифференциальному уравнению бет отклонения н аргументе, ему удовлетворяют и функции

у(/) = С,схр(А|(), (4)

где Ai = (а 4 Ь) и С\ — произвольная постоянная.

(а) Если Д) > 0, то при C'i > 0 формула (4) выражает монотонно возрастающее решение уравнении (2). Таким образом, при А) > О уравнение (2) обладает монотонно «отрастающими решениями вида (1) с параметром С\ > 0.

(б) Если А| > Ü и С\ < 0, то формула (4) не дает решения уравнения (2). Таким образом, множество решений уравнении (2) не обладает той же структурой, что и множество решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.

2. Коли у (f.) - ■ монотонно убывающее решение, то

in;« у(т)~ I¡{I - h).

Тогда получаем

i){t) ~<iy(l) 4- by{t-h). (5)

Таким образом, мои»юнко убмнашшее решение уравнения (2) является одновременно решением обыкновенного дифференциального ураинеиин с чисшм тил.тдытшием. Ио-ному будем искать монотонно убывающее решение -мою уравнении и виде

3/(0 = ех|>(А1)

где А - корень гак нашнлемого характеристического уравнения

А = а + = (в + 6) + ¿[ехр(-АЛ) - 1]. (6)

Так как мы ищем монотонно убынаюшее решение, то нас интересуют öl рш.нтрльные вещественные корни уравнения ((»). (а) Пусть [п 4-1>) > 0, b < I), тогда а > |Ь|.

lie трудно мметии,, чт о уравнение; (fi) имеет положительный и от-ринандьпый вещественные корни Ai и Ai соответственно. Следовательно, фупыша у{1) ехр(Аг<) и we функции y(t) — C^exp(Aji), С!> > 0 шндошшли, представ.чнкп монотонно убывающие решении Уравнении (5) и вместе с чем решения уравнения (2). Таким обратом, н случае (а Ь) >0, b < 0, имеем дна семейства решений:

уi(t) ^ C'i ехр(А,i), у,(1) = С'2ехр(Аг*>. А1 > «» <

где С\ > 0, V, > Ü. Сумма у jux решении, т. е.

у{1) = у, (/) + y,(t) = <?, ехр(А,0 4 О. expiX2t),

вообще говоря, не является решением, так как

тах [С\ ехр(Л1Г) 4- С^ехгПАзг)! г€[<-М)

= тах [С\ ехр(А|г)] + тах [Сгехр^т)). (7) гб(<-А,<] г€[(-А,()

. (б) Пусть (а + Ь) < 0, о < О, Ь > 0, тогда а < )Ь).

Монотонно убывающее решение ищем в виде

=схр(А1), А < 0.

Уравнение (6) имеет один вещественный отрицательный корень Аз. Следовательно, нри (о Ь) < 0, о < О, Ь > 0, исходное решение (2) имеет семейство монотонно убывающих решений у(1) — Сзехр(А^), Сз > 0. Монотонно возрастающих решений в атом случае не).

Первая глава посвящена исследованию фундаментальных свойств решений липсйных и нелинейных дифференциальных ураа-нений с максимумами различных типов, именно: 1) сущеслновацию, единственности и непрерывной зависимости решений от начальных функций и от правой части; 2) нелокальной разрешимости начальной задачи нелинейных уравнений; существованию, единственности и непрерывной зависимости решения от изменения начальной функции и от функционального параметра.

Идейное содержание результатов этой главы заключено в следующих теоремах.

1. Рассматривается лилейная система уравнений вида

( х{Ь) = Ла(£) + И тах х.(г) + /(<), ; reli-A.il ' (8)

1х(0 = ¥>(0, < € Е,0 = (¿0 -А,1о1,

где А — А(1), В — В[1) — непрерывные по I матрицы, /(*) — ьектор-функщтя, непрерывная но I нри всех í ^ /ц, — непрерывная или

кусочно-непрерывная начальная функция на начальном множестве Е(0,

Л > 0.

Теорема 1. Решение системы (8) существует, ограничено и единственно па любом отрезке полуоси -)-оо).

Для доказательства мы используем последовательные приближения типа Пикара и метод опенок с помощью мажорирующих функциональных уравнений Ляпунова.

П. Рассматривается система функционально-дифференциальных уравнений

/•"(<,£(<), тах 1(т)),1,17 6 И",

>"€['~М ип

/6-Е,в = М..т-А(/),/о), 1

■ г'и

где x(t) - (xt(<), ,x„{t)), F(-) = {F}{),.F„(-)) со значениями

в R", x(t) = max x(r), h ~ hit) — непрерывная положитель-re(i-A,()

нал функция or t, '-p(i) ■■■ кусочно-непрерывная начальная функция

на начальном множество Е((г Под символом шах jx(r )| понима-

re!i-A,i]

тем вектор ( max jx/fr)!,..., max |жп(г )j). Заметим, что под r£{t-A,l] r€[l-A,<]

max -aciir); i = l,n, мы подразумеваем глобальные максимумы re[<-M)

этих функций на отрезке [t — h, так что, строго говоря, надо писать sup ж,-(т) вместо max Так как sup х(г) — х(в), где

гф-h.t) г€[1~М гб[/-А,<]

О = 0(t,h(t))% то stip 2(г) есть функционал, определяемый функци-»">:[(-л,I)

ями h(t).

Справедлива с ледующая

Теорема 2. Пусть

1) функция F(t,x,:с г) при t ^ in и любых х, хТ £ R™ удовлетво-рнслп услооиям Кирнтеодори, т. е.

а} функция F(t,x,xT) измерима но t а любом конечном промежутке {¿о, 1\ при фаасираааиних г, хТ £ R"/

б) при постоянном t ¡г 1ц функция F{i,x,xr) nr.npepu.ena по х,

х*:

/гт о) сущг < ttmyein неотрицательная суммируемая на любом конечном ompr.JKt полуоси [<о, -toe) скалярная функцияw(t) такая, что при I > /о » любых фиксированных х, хТ, х, хг 6 R"

||/-U *,*»•) - < Ц'КИ* - ¿11 + ||* - ¿г||); (Ю) .

2) существуют числа а > 0, М > 0 такие, что при t > to

||/•'(«,(), 0)|| ^ ЛМ<)ехр ^ajw(3)ibj ; ' (11)

•Ч) мпсшУыоешие h = h(t) — непрерывная положительная функция таких, что h(t) > t при i > ¿о-Тогда при ¿п < t < 4-00

а) существу!in и при .»пом единственное решение х(1) системы (!)),'

б) для Очнного решения х{1) енрит длина оценка

¡ИЛИ < Ссхр { a ju(s)ds J , t -* +og, (12)

где С > 0 — некоторая постоянная.

замечании I. Число « в (11) всегда можно считать больше двух, так как если (11) выполнено при некотором положительном а — а < 2, то оно выполнено и при а > 2.

замкчлиик 2 Нормы |j • || для рассматриваемых здесь непрерывных но t вектор-функций и постоянных векторов определяем обычным образом, т. е. если f(t) = (/i (<),..., /»(<)). а ~ (°1 « • • • < ап ). 1°

||/(i)|| - шах }/,(J)|, ||л|1 = шах |в,|, « = М. t >

В дальнейшем мы будем использовать также равномерную норму дли непрерывных функций, рассматриваемых в некоторой области ÎÇQ: .

Ill/fOIII = supil/lOll- .

> ieQ

Для простоты записи примем далее, что начальный момент tu — 0, и выполним в (9) замену переменной, вводя новую неизвестную фЗ'Нкцию y(t) вместо -x(t) но формулам

y[i) = x(t) exp (-a Ju(s) èV ij 0, •

\ о / (13)

y(t) = x(t), (eEo = ljiif(l-A(0).Oj.

Уравнение для y(t), t 5 0, получим в виде

y(i) = -«w(0ï(0+*(»(0)e*P^-« - (M)

где Ф(|Д£)) — функционал, получающийся в результате нодеганоа-ки (13) в выражение правой части (9), т. е.

♦(¥(<))= С «,у(«)ехр

exp ^ск j u(s)ds^ ,

max { t/(r)exp ( a I u(s)di

гб[/-М\ \ J

.(15)

'Георема 2 доказывается на. основе пришита неподвижной точки Каччионоли — Банаха с использованием следующих неравенств:

шах (û(r) + г!г)) < шах ix(r) f max v{t), (Н>) re[*~M reti-A.ti ге[(-л,1)

где q > 0 — скалярная постоянная, у = (1 + q), sup |yu(<)| ^ /5, до

I

называется единственность периодического решения исходного урав нения (28) во всяким случае при тех значениях h, при которых мажо рирующие уравнения гарантируют сходимость итерации (.42). Кроме того, зто решение имеете со своей производной удовлетворяет оценкам

|®(1) ^ й, |i(i)| ^ v,

определяемым мажорирующими уравнениями. Справедлива следующая

Теорема 7. Лсд и последовательность сходится к пе-

риодическому решению x(t) уравнения (31) и при А = 0 уравнение имеап периодическое peint пне уа(1), то но оенком случае при достаточно малы* h (при тех значениях h, при которых, мажорирующие t/раонения аiipantnupymm сходимость) исходное уравнение (28) имеет едипапоенпое периодическое решение. Оно находится с помощью итераций, которые удовлетворяют нериаен-стоам (33) и соотношения.*-1 (34) или представимо в виде степенного ряда по h. Яри Л — 0 это решение обращается в yo(t).

II. Рассматривается вопрос о существовании, единственности и об алгоритме построения периодических решений нелинейных уравнений с максимумами (в векторной форме)

M = FUMt), niax y(T-)), (35)

гб[/-Л,<]

где F(t,y,vT), Vi(l) — max y(r) — аналитическая векгор-функцил

своих аргументов Î, у{1) и ут(t), периодическая но t.

Предполагается, что при h — 0 уравнение (35) имеет изолированное 2ir-периодическое решение уо(t). Полагаем

= »о(0+ *(«)•

Функция х(1) удовлетворяет уравнению

i{i) = F(t,y0(i) + x{t), max (у0(т) + z(r)))- F(i,»r.(0.УоШ (36) г€[/-Л,<]

Из скалярного неравенства

max yo{r) + max х(т) - max (уо(т) + х(т)) ге[<-М —a ,»î re[i-h,0

^ max x{T) — x(ti), те((~М1 4

где I1 G [t — h,t], вытекает, что

max (yo(r)+x(r)) = шаx ya(r) + max х(т) + q(x), (37)

где q{x) — такой функционал от х(1), что

|?(г)|< -итх x{t) ~ x(tx), *ie(i-A,<). (38)

r€[i-M)

Учитывая равенство (37), представим функцию

F(i,y0{t)+x(l), max ,Ы0 + *(г)))

в виде

F(t,W{t) + a(i),r max (уо(т) + г(т)))

«Wi,yo(0, шах т(1)) + x(t) +

X ( max x{r) + qW) +4>(t,x(l), шах x(r),q(x)j,

Vr(0= '¡»ах v(r),j:r(i)= max ®(т),

где индекс уо при upon »водных означает, что чти производные взяты

вдоль решения у« = уч(1), a ,ar(i). ,1,ах х(т).ч(г)) ф\'нкция,

re[<-A,i]

имеющая порядок малости выше первою относительно x(l), xr{t) и «Ид

Тогда уравнение (36) моыш записать в виде

x(t) = A(t)x(t) + НИ) max х(т) + Ф(*) + B(t)q[x) ie[(-A,i]

+4(î,ï(<). н.ах х(г),ч(х)), (39)

ie(«-M

где

- "lax Vo(r) ~ F(f,j/u(i),yu(t))

ie[<-M

при заданной функции ^o(t) янллек:л периодической функцией t.

Инн*м периодическое решение уравнении ('.J9) с помощью итераций, удовлетворяющих уравнениям

¿,(0 = (4(0 + fl(t))*i(0 + ЧЧ

x2(t) ~ (Л(1) + /i(£))r2(t) + ti(t)[ max i,(r) - ц(()]

<e(t~Mi

+Ф(0 + 5(09(и) + Фи,и(0, max XI)(TM(II)),

tt{l-h,t]

xk(t) = (A(t) + B(t))xk(t) 4- B{t)\ max rt_,(r) - a*-,(1)1

(•JO)

+ + niax xJt_](r)lV(z/l..1)),

i€[l-M

3,4,....

Уравнение для ii(<) является линейным неоднородным с известной 2?г-псриодической правой частью, имеющее единственное 27г-пе-риодическое решение, удовлетворяющее опенке

" ix"i(£)| (41)

(

где М — нскоторпя постоянная.

После нахождения xi(t) получим для ^2(0 аналогичное уравнение, имеющееединственное периодическое решение, удовлетворяющее оценке вида (11), и т. д.

Таким пук'м мы получим формальное периодическое решение уравнения (35).

Справедлива следующая

Теорема 8. Если а урааненъи (35) правая часть F(t,y,yr) апа-литичиа по своим аргументам и если при h = О это уравнение илист и.ю.троопиное периодическое решение l/a(t), то по всяком случае при достаточно малих h (точнее, не превосходящих некоторой границы ht) уршчнние (35) имеет единственное периодическое решите, нпходшчое с помощью итераций, предстачимое степенным рядом по t н обращающееся а yo(t) при h —* 0.

Заме]им, что проводимое локазательство и окончательный результат, а<| исключением вывода о разложимости решений в ряды по степеням Л, остаются справедливыми и в том случае, если правая часть уравнения (-45) является не аналитической, а лишь дважды дифференцируемой функцией своих аргументов — этого достаточно для построения мажорирующей функции, удовлетворяющей условиям

Г^'.Е.Зт.ЧЫИ dU(u.w) |Ф(«,1,хт,9(а))| < U(u,w), |- ¿ у" <

|Ф(<,а;.хг,д(г))| 01/(и, w) I Ф(<, х,хТ, q(x)) | dU(u,w)

I дх г(/) И ¿h ' I дф) И Jh, '

где |х(/)| ^ и, \zT(t)\ $ и, |<у(г)| ^ w.

III. Здесь изучает»-!! вопрос о связи между асимптотическими свойствами системы

Г !/(«) = F(t,y(t), niax у(т)),

< <€[(-».,i] (42)

ly(0=9(l), i € E,0 s [to - h, t0],

(ограниченность, асимптотическая устойчивость) и существованием периодических и почт и-периодических решений системы (42).

Доказываются следующие теоремы.

Теорема 9. Если система (42) удовлетворяет условиям:

1) функция F(t, у,уг) периодическая по t с периодом 2тт;

2) система (42) имеет ограниченное решение;

3) решение асимптотически устойчиво,

то система (42) при 2rr < h имеет периодическое решение периода 2жк, причем 2irk > А, где к — целое число.

Теорема 10. Если система (42) имеет ограниченное решение такое, что

liin [Vo(< + 2тг) - j(o(i)] = 0, (43)

i—>00

то система (42) имеет периодическое решение периода 27Г,

Теорема 11. Если система (42) удовлетворяет условиям 1, 2 теоремы 9 и равномерно асимптотически устойчива, то решение системы (42) почти-периодическое.

Далее, изучается вопрос о существовании периодических решений для системы дифференциальных уравнений с максимумами и с малым параметром (н векторной форме) вида

y{t) = F(t,y{t), шах у(т),£),

<е['~М (44)

!/(<) = V(i), ¿6E<0~(lo-/b<u),

и квазилинейных систем дифференциальных уравнений с максимумами и с малым параметром (в векторной форме) вида

A(t)y{i) + ВЦ) niax у{т)

+£,F,(/,y(0, max у(т)), (45)

teU-hj]

,y(t) = v{t), ieEl03|to-Mo],

где F(-) и /■)( ■) дифференцируемы no аргументам y(t), yT(t) и периодические по l с периодом 27г, £ > 0, €\ > 0 ~~ малые параметры, ip[t) —■ начальная функция на начальном множестве Е<и, /1(() и D(t) — непрерывные периодические матрицы с периодом 2л-. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 12, Если система (45) удоамтаариип условию: а)■ нулевое решение (15) при £] = 0 рнпноме рно асимптотически устойчиво, то тогда сущестнучн Ец > 0 такое, что для £l < £ц система (45) п.,мест периодическое ре пи nut. Если при 2л > h система (15) имеет периодиче скос ранение периода, ,2л-, « при2тх < h периода '2жк, причем 2жк > к, где к — целое число.

1) постоянная матрица /1о такова, что экспонента exp(Ao¿) допускает при t ^ / ¡j оценку

||ехр(Л(|<)|| $ С'ехр(--Ы), (70)

где С > 0, с* > 0 (примем С > 1);

2) матрица. /Ii(¿) при i > ta непрерывна и такова, что

|M,(t)||<a,, (71)

где ai > 0 - - число такое, что при некотором т выполняется неравенство

_ С' 4 (l - — - С4) C'exp(-am) < q < 1. (72)

а \ а /

Справедлива следующая

Теорема 19. Пусть y(t) — решение системы. (69) при заданной начальной функции <p(t)' ни начальной множестве Е(ц ~ (<о — /», /0], причем лига функция непрерывна либо кусочно-непрерывна и

M0NIMMII, <еЕ,0.

Тогда при выполнении (70)-(72) решение y(t) стремится по норме к нулю при I —» оо не медленнее, чем функция, пропорциональная jKcnoHenine ехр(—Ai) с некоторым А > 0.

Исследуется равномерна.» асимптотическая устойчивость решений линейных периодических систем дифференциальных уравнений с максимумами (в векторной форме)

Г i(t) = A(l)x(i)+ä(t) шах *(г), J г€[|-А,|] (7J)

li(¿) = v(0. í € Е(0 = (¿о — Л,<о),

где /1(¿) и 11(1) — периодические и кусочно-непрерывные матрицы периода 2я\ причем 2т > Ii с помощью мультипликаторов Флокз. Справедлива следующая

Теорема 20. Для того чтобы асе решения системы, (73) были ограничены, необходимо и достаточно, чтобы мультипликаторы находились о круге: |г| < 1, причем мультипликаторы, расположенные на \z\ = 1, имели простые элементарные делители. Для того чтобы тривиально» решение системы (73) било иеричиомер-но асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы мультипликаторы, находились о круге |л| < 1.

Изучена равномерная асимптотическая устойчивость решений нелинейных и квазилинейных дифференциальных уравнений (в векторной форме)

х(1) = Р(М(0, шах х(т)), (74)

и

¿(0 = Л(ф(<)+шах х(г) 4-шах а(г)). (75)

гб[<-л,<) ге|/-л,/]

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Магомедов Д. Р., Рябов 1С). А. О периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами // Инк АН Аэерб.ССР, сер. фит.-тех. и мат, наук. 1975, N 2. О. 76-8.4.

2. Магомедов А. Р. О некоторых вопросах дифференциальных уравнений с максимумами // Изв. АН Ан'рб.ССР, сер. физ.-тех. и мат. наук. 1977, N 1. С. 101-10!).

3. Магомедом А. Р., Рябой 10. А. О периодических решениях линейных дифференциальных уравнений с максимумами // Мат. физика ИМ АН УССР. 1978. Нын. '2:1. С. 3 -9.

4. Магомедов Л. Р. Исследование решений линейных дифференциальных уравнений с максимумами Ц Докл. ЛИ Азерб.ССР. 1980, N 1. С. 11-15.

5. Магомедов А. Р., Рябов 10. А. О периодических решениях линейных систем дифференциальных уравнений с максимумами // Докл. АН А.черб.ССР. 1980, N 2. С. 3-9.

6. Магам слои А. Р. К исследованию линейных дифференциальных уравнений с максимумами // Докл. ЛИ Азерб.ССР. 1080, N У. С. 12-15.

7. Магомедов А. Р. О периодических решениях системы дифференциальных уравнений с максимумами и с малым параметром // И.'ш. Аи Азерб.ССР, сер. физ.-тех. и мат. наук. Ш0, N 3. С. 22-27.

8. Магомедов /1. Р. Устойчивость периодических решений дифференциальных ураннешн! с максимумами // Мат. киберн. и нрикл; математика, сб. ИК АН Азерб.ССР. 1981. Нин. Г>. Паку. С. (¡2 (¡7.

9. Магомедов А. Р. Исследование решений дифференциальных уравнений с. максимумами для задач с управлением // Докл. АН Азерб.ССР. 1983, N 3. С. 12-18.

10. Магомедов .Л. Р. О некоюрых аспектах усгойчиносл и решений дифференциальных уравнений с максимумами // Локл. АН Азерб.ССР. 1983, N 10. С. 3-9.

11. Магомедов А. Р., Рибов 10. А. Дифференциальные уравнения с максимумами // Баку: ИФА11 Азерб.ССР, 11)83. 32 с. (Препринт N 75).

12. Магомедом А. Р., Нпбисв Г. М. Теоремы о -нелокальной разрешимости начальной задачи для систем дифференциальных уравнений с максимумами // Докл. ЛИ Лзерб.ССР. 1984, N 5. С. 14-11).

13. Магомедов А. Р., Нлбиен Г. М. О некоторых вопросах устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с максимумами // Локл. All Азерб.СОР. 1986, N 2. С. 3-6.

14. Магомедов А. Р. Применение метода усреднения для дифференциальных уравнений с максимумами // Локл. АН Азерб.ССР. 1988, N11. С\ 3-8.

15. Магомедов А. Р. О некоторых вопросах периодических решений для нелинейных уравнений с максимумами и с малым параметром // Mat. Slovaca, Slovenska Acad., VIED Bratislava, CSSR. 1990, N 3. P. 321 -324.

16. Магомедов A. P. Обыкновенные дифференциальные уравнения с максимумами. Баку: Изд. Улм АН Лзерб.ССР, 1991. С.220.