Ограниченные решения вырождающихся дифференциальных и разностных уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

?Г8 ОД

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН (»■ I <5р>)ТАД)КЙ1 КСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

1!-'-'-Ш-!^-1" ~ '-:__;___

Специализированный совет К 065.01.02

На правах рукописи УДК 517,91

РИЗОКУЛОВА Тути Дадоевна

ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ДУШАНБЕ—1993

Работа выполнена в Математическом институте с Вычислительным центр-ом Академии наук Республики Таджикистан.

Научные руководители:

Член-корреспондент Академии наук Республики Таджикистан, доктор физико-математических наук, профессор Э. Мухамадиев; Кандидат физико-математических наук С. Джумаев.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор А. Сатторов; Кандидат физико-математических наук, доцент М. Исматов.

Ведущее учреждение — Институт математики им. В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан.

1993 г.

Автореферат разослан « ^ » (?

Защита диссертации состоится « 1993 г.

на заседании специализированного совета К 065.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Таджикском государственном университете (Душанбе, 25, пр. Рудаки, 17, зал Учёного Совета).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Таджикского госуниверситета.

Учёный секретарь совета, доцент

О. ХОСАБЕКОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность работы. Многие проблем математики, мехака-кй, физики, биологии и др. приводят к системам дифференциальных уравнений с особенностью в некоторой точке или заданным в бесконечных областях. При этом часто в качестве граничного условия в этой особой точке ставится условие ограниченности решения. Многообразие ситуаций здесь велико: это дифференциальные уравнения с выро»да!о!5М1сл ила саа^дярными коэффициента*®; обыкновенные дайЬэронцпаяьт-е уравнения, заданные на бесконечном или полубесконечнсм интервал«; уравнения с частными пропззодяыт.-л в неограниченных областях и т.п. Различным аспектам исследования возникающих при этом задач, разработке методов пх качественного и приближенного анализа посвящены многочисленные статьи и монографии (А.И.Ачкльдяеъ, Ш.А.Далецкий, Ы.В.Келдшл, М.Г.Крейн, Д.Г.Михайлов, Н.Р.РаД-жабов, З.Д.Гсманов и др.).

•' Наиболее изученными среда систем обыкновенных дифференциальных уравнений (с.о.д.у.), заданных на полубесконечном интерзале, явлй'ся систем линейных уравнений с постоянными, периодическими, почти периодическими коэффициентами. Для таких систем построена стройная теория, позволяющая провести детальный анализ вопросов существования ограниченных на полуоси решений, разработаны эффективные метода их построения, изучены свойства соответствующих дифференциальных операторов в различных функциональных пространствах (Б.П.Демидович, М.А.Красносельский, Б.М.Левитан, Х.Массера, Э.М.Мухачадиев, Х.Шеффер и др.).

Существенно менее изученными являются аналогичные вопросы для с.о.д.у. с ограниченными на полуоси коэффициентами. Известно лишь ограниченное число работ, посвященных исследованию таких вопросов (Х.Массера, Э.М.Мухамадиев, Х.Шаффер). Представляет интерес изучение задач об ограниченных на полуоси решениях с.о.д.у. со слабоосщшшрунщиш на бесконечности коэффициентами, часто встречаемых в приложениях.

Исследованиям вопросов об ограниченных решениях с.о.д.у. о вырождающимися коэффициента®! работы многих авторов: A.A. Абрамов, А.К.Ачильдкев, Л.Г.Михайлов и др. Одним из наиболее эффективных здесь является метод перехода к эквивалентным уравнениям, заданным на бесконечном интервале и укз не содержащим особенностей. Здесь актуально описание класса уравнений с вироздаэдямЕся коэффициентами, допускающих переход к эквивалентным уравнениям со слабоосциллирующими ка бесконечности коэффициентами, а такяе проведение детального анализа задач об ограниченных решениях таких уравнений.

Наиболее распространенным методом приближенного исследования с.о.д.у. является переход к сеточным аналогам таких уравнений и изучение последних. При анализе задач приближенного построения ограниченных решений с.о.д.у., заданных на полубесконечном интервале,или с вырождающимися коэффициентами важно знать о том, имеют ли ограниченные решения разностные уравнения, соответствующие этим уравнениям, близки ли • ограниченные решения разностных и дифференциальных уравнений, какими должны быть начальные данные этих решений и т.п.

Существенный вклад в развитие теории и методов исследования разностных уравнений внесли работы таких авторов как С.К.Годунов, Г.И.Марчух, А.А.Самарский, Р.Рихтмайер, В.С.Ря-бенький и др. Здесь в связи с вышесказанным ванны исследования вопросов об ограниченных решениях систем разностных уравнений с переменны!,öl коэффициентами. Эти исследования актуальны не только в связи с применениями в теории дифференциальных уравнений, но и представляют самостоятельный интерес.

Цель работа. Исследовать задачи об ограниченных решениях линейных обыкновенных дифференциальных уравнений со слабоосци ляярувдиыи на бесконечности коэффициентами.

Описать класс линейных обыкновенных дифференциальных урав нений с выроадащимао«. коэффициентами, допускающими переход я эквивалентным уравнениям со слабоосцшгяирующиш на бесконечно сти коэффициентами, и проведение детального анализа задач об ограниченных решениях таких уравнений.

Исследовать задача об ограниченных решениях систем разнос

тных уравнений с переменными ковффициоктама. Провести еиа-лиз связи задач об ограниченных решениях дифференциальны:: уравнений со сущбоосцйллирувдищ на бесконечности иля ввт.э-ядавдищся коэффициентами с задачами об ограниченных решениях их разностных аналогов.

Научная новизна. Получены критерии существования ограниченных на полуоси решений линейных обыкновенных лтоврзню-альных уравнений со слабоосциллирзгсхцнмя на бесконечности ко-эффициедаами, изучены свойства порожденных такк-з! ураваенл-ями дифференциальных оператороз з различных фуккгг.?;:алъ1тшс пространствах.

Указаны условия приводимости лилейных с<Г- :яс диф-

ференциальных уравнений с выроздазвдиглися коэффициентам к уравнениям со слабоооцпллкрукцшя на бесг-энечлосгл г.ост.Т:'-циентаи!. Изучены критерии существовал;:,.. огр^зч/ипсс рзгго-ний приводимых уравнений.

Получены условия существования ограниченных резней слотом разностных уравнений с переменными когФ>г7ССТа,щ.

Разработаны схега исследования задач об огргхгпченшя: решениях дифференциальных уравнений со олабоосщллируюгг^'з на бесконечности пли вырозд&'счш.нся коофГяционтагя на основе анализа соответствующих разностных уравнений.

Практическая и теоретическая ценность. Работа тоерзт::-ческая. Полученные в ней результаты жегут быть вспользовггш при исследовании задач об ограниченных решениях дифференциальных уравнений со слабоосциишр-ге^-:.^. на бесконечности или выроядаадшяся коэффициентами» задач об ограниченных решениях систем разностных уравнений. Они могут служить основой при разработке процедур приближенного '.-огглгля таких задач.

Методы исследования. В работа использовагш обцяз 1'этоды теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, разностные метода решения дифференциальных уравнений, кзто-ды функционального анализа, теории штриц.

Апробация работы. Отдельные части диссертадаспгсй работы докладывались на Всесоюзной конференции по некорректно.!

задачам (г. Самарканд, 1983 г.), на конференциях молодых ученых и специалистов Таджикистана (г. Душанбе, 1982-84 гг, 1992 г.), на научной конференции "Комплексный анализ уравнений в частных производных" (г. Душанбе, 1992 г.), на научных семинарах Новосибирского госуниверситета (руководитель - академик М.М.Лаврентьев; 1983-87 гг., 1991-92 гг), Вычислительного центра СО Российской Акадеши наук (руководитель - профессор А.Л.Бухгейм; 1983-85 гг), Факультета вычислительной математики и кибернетики Московского госуниверситета (руководитель - профессор Н.С.Бахвалов; 1982 г.), Математического института;с ВЦ АН Республики Таджикистан (руководители - профессор "Э.М.ЭДухамадивв, к.ф.-м.н. А.И.Ачи-льдиев; 1982-93 гг).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано шесть научных статей, список которых цриведен в конце настоящего автореферата.

Личный вклад. Основные результаты получены автором самостоятельно. Постановки задач и некоторые идеи доказательств принадлежат научным руководителям.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 116 страницах машинописного текста, состоит из введения, двух глав, содержащих девять параграфов, а такае списка цитированной литературы, включающего наименований.

КРАТКОЕ СОДЕЕШИЕ РАБОТЫ •

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемых в диссертационной работе зaдaЧí приводится обзор литературных источников, формулируется цель исследований, кратко излагается основное содераание работы.

В первой главе (§§ 1-5) изучается задачи об ограниченных решениях дифференциальных уравнений со слабоосциллиру-ющими на бесконечности коэффициентами и дифференциальных • уравнений с выроадаицишся коэффициентами.

В § I приводятся постановки основных задач и вспомогательные сведения. В главе изучаются две основные задачи.

Первая связана с рассмотрением дифференциальных уравнений второго порядка вида

х V сс1) х - Ы) , (I)

в котором £) ({) , С(Ь и /("Ь) - непрерывные и ограниченные на полуоси функции. Для таких уравнений изучается задача об ограниченных на полуоси ?1+ решениях.

Вторая основная задача связана с рассмотрением дифференциальных уравнений второго порядка вида

¿ЙХ+^Л' + ^Хг^), (2)

с непрерывными на отрезке 0 Ь & i коэффициентами «£("&) * > уф а .причем

0, «¿(4) >0 (з)

Для таких уравнений изучается задача об ограниченных на промежутка 0 ¿,~Ь i решениях.

В § 2 изучаются свойства определенного левой частью уравнения (I) дифференциального оператора

X хс£) + х'сЦ+сШосН) . (4)

Пусть С СЙ+) - это банахово пространство непрерывных и ограниченных на полуоси Я + вместе с производными до порядка К включительно; при этом полагаем С = С 0 • Теорема 2.1. Для нормальной разрешимости оператора

1 : С\М ->С(£+) (5)

необходимо и достаточно, чтобы существовала постоянная

N 70 такая, что для любой функции ССС£)еС имеет место оценка

ЙСС1Шсь ¿г М[цХ ссШИ^-ь 1^(0^1 +1хШ] ( Х1Ъ в СЬ(К+)) ,

Напомним, что функцию называют слабоосщшшрую-

щей на бесконечности, если вшолнено равенство

и^р ¡ЦЬ-Ц^А = О-

Если коэ^фицйзнты оператора (4) слабо осциллируют на бесконечности, то утверждение творвш "Л может быть сформулировано в более удобной форме.

Теорема 2.2. Пусть коэффициенты оператора (4) ограничены на полуоси Р\ ц. к слабо осциллируют на бесконечности. Тогда для нормальной разрешимости оператора (5) необходимо и достаточно выполнение одного из условий:

Илги С(4) ^ 0 ; (6)

"Ь -¿»ОО

1шъ С(^) , 1шг вф > 0 ; (7)

-^ЧгОО —РОО

1\ЛГ1 есЪ >0 , Епь (8)

Установлена таете

Теорема 2.3. Если в условиях теоремы 2.2 вшолнено одно из условий (6)-(8), то оператор (5) катеров и его индекс определяется равенством

С , если выполнено (8), ЬясС с: \ А • если вшолнено (6), 2. , если вьшолнено (7).

В § 3 изучаются условия существования ограниченных на полуоси & + решений уравнения (I).

Теорега 3.1. Пусть в условиях теоремы 2.2 выполнено одно из соотношений (6)-(8). Тогда уравнение-(I) имеет ограниченное на полуоси R решение при любой ограниченной на полуоси R + правой части £(£) .

Далее в § 3 устанавливается, что если выполнено условие (8), то при каждой правой части /(¿) С ((?+) уравнение

(1) шеэт единственное ограниченное на полуоси R + решение. Бела выполнено условие (6), то для выделения единственного ограниченного на полуоси R + решения уравнения (I) следует задавать одно начальное условие; если же выполнено условие (7), то задавать следует уке два начальных условия.

В § 4 рассматривается задача об ограниченных решениях уравнения (2) с выроздавдимися коэффициентами Основным в этом параграфе является описание процедуры перехода к задаче об ограниченных решениях специально конструиромого по

(2) уравнения со слабоосциллирунщшися на бесхсонечности коэффициентами. С этой целью вводится новая независимая переменная t посредством равенства

■fc = Ш) (Ofe Z г Оо) ; (9)

где Ч'(Т) - решение задачи

чч-г) = - V^T^m], и>{0) = 1

Если выполнено условие

Г*. ^ = оо .

О VXÏÏU

то задача (10) имеет решение, удовлетворяющее условиям tirru Lp(z) = 0 , Dé, 1 .

Наряду с (II) будем считать выполненным равенство

(10) (II)

Ь1Л)Ъ _г — р .

таг <12)

зри некотором

Еапошшл, что функция %({) Еазывазтся асимптотически постоянной, если существует предел *} = 1(лп >7 ; в этом

. V I

случае, конечно, иушщпя Ч (¿) будет такие и слабоосцилли-рукшвйся на бесзюнечности.

Теорема 4.1. Пусть выполнены условия (II) и (12). Тогда замена (3) приводит уравнение (2) к уравнению

с асимптотически постоянными коэффициентами.

Далее в § 4 обсуздазтся развитие теореглы 4.1 для приведения уравнения (2) к уравнению со слабоосцшширующими на бесконечности тоэффациенташ.

Для изучения вопросов существования ограниченных на промежутке 0 -Ь 1 реиенпй уравнения (2), приводимого к уравнении с асимптотически постоянными или слабоосцнллирующши на бесконечности коэффициентами, моэно воспользоваться результатами § 3. Например, верна

Теорема 4.2. Пусть в условиях теоремы 4.1 либо 0 ,

.либо ^(0) > 0 к Р 0 . Тогда уравнение (2) при каждой непрерывной на отрезке [,0,1] правой части ^(Ь) тлеет ог-' рашгченное на промежутке (0,1 ] ренете.

В § 5 обсуздазтся вопросы получения априорных оценок ограниченных решений уравнения (2) с выроядаздишся коэффициентами.

Вторая глава (§§ 1-4) посвацэна изучению вопросов ограни-мчанной разреагзшста сестзы разностных уравнений и выяснении ^вязи -с аналогичными вопросами для дифференциальных уравнений.

В I рассматривается система разностных уравнений вида ■

Э'

Kv = {Vh=l,-Zr...) f сш

где А - квадратная матряда, л ~ соответствен-

но заданные и псхсогиз вектора, при: атс:.г

■ Wp \ оо сш

- Л/ 0

Изучается задача о решениях уравнения (13), удавлзтворяисзх условна ограниченности:

Slip 1 I ОО п,

Tsopera I.I. Пусть

6(A) :l=0 или . да)

Тогда при любой' удовлетворяицэй условии (14) последовательности векторов д^ уравнение (13) имеет ограниченное решила.

При доказательстве теоргкк установлены следствия. Следствие I.I. Если все собственные значения J\j. матрицы А удовлетворяют неравенствам 0 г. 1, то вез рз-пения уравнения (13) будут ограниченная.

Следствие 1.2. Ззли все собственные значения мат-

рицы А удовлетворяют неравенствам l^jj^A , та уравнение (13) имеет ровно одно ограниченное решение, начальны;'!, вектор Vc которого определяется равенством

ехэ ^

Следствие 1.3. Если собственные значения • . J' £ матрица Д таковы, что СМЛ^- ^t^ 1<I^il•■■ ^№¿1'

то урашекиа (13) нкеет рсв::о ланс:жо нззависиюгс огра-

ниченных решений, где \7L0 ~ сут.;.а геоштричзенпх кратнсс-теГ: собственных значений J, , • • • > ^;

В § 2 результаты § I применяются для анализа разностного уравнения второго порядка

(16)

Теорема 2.1. Пусть коэффициенты Ь и С уравнения (16) удовлетворяют соотношениям

СФ1 (если ^2), С ФО , -ьЬ Ф1+С. .

Тогда уравнение (16) при любой ограниченной последовательности /п. имеет ограниченное решение.

В § 3 рассматриваются системы разностных уравнений с переменными коэффициентами вида

Къ = АцУк-1 + = , (17)

где А ^ - квадратные матрицы, последовательность векторов ^ ^ удовлетворяет условию (14). Предполагается, что

1ип Ц А - А^Н = 0 ■ ■ (18)

\ь-*о<>

где А - некоторая постоянная матрида.

Теорема 3.1. Пусть выполнено условие (15). Пусть матрида А п ооратшш при каждом (г . Тогда при любой удовлетворяющей условию (14) последовательности векторов уравнение (17) имеет ограниченное решение.

В § 4 обсуждается связь результатов, полученных для дифференциальных уравнений (глава I) и разностных уравнений (глава 2). Уравнение (I) записывается в виде эквивалентной системы второго порядка

Разностный аналог уравнения (19) имеет вид

Теорема 4.1. Пусть существуют &0 г О и > 0 такие, что система уравнений (20) при каждом ¡1 & (О S" ) имеет ограниченное решение Z(£ ^ £ ^ )' ° так, что 0 ' 1 ' ' "

Sup Щ> \lf | z. И

ОО

Тогда уравнение (19) имеет ограниченное на полуоси Ь >О решение.

Далее приводятся утвэртоения, развивающие теорему 4.1, а также обратные утверждения.

В заключение § 4 устанавливается, что для построения ограниченных решений уравнения с вырождающимися коэффициентами вида (2) (в условиях теоремы 4.1 главы I) на основе их разностных аналогов наиболее эффективными является специальные неравномерные сетки, определяемые функцией (9).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1) Исследованы вопросы существования ограниченных на полуоси решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений со слабоосщшшрущими на бесконечности коэффициентами.

2) Предложены схемы конструирования для дифференциальных уравнений с вырождающимися коэффициента!,и эквивалентных уравнений со слабоооцяллирущиш на бесконечности коэффициентами и на этой основе изучены условия существования ограниченных решений уравнений с вырождающимися коэффициентами.

3) Изучены условия существования ограниченных решений систем разностных уравнений с переменными коэффивденташ.

4) Разработаны процедуры исследования задач об ограниченных решениях дифференциальных уравнений со слабоосдалли-

рувдими на бесконечности или вырождающимися коэффициентами на основе анализа соответствующих разностных уравнений.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Ризокулова Т.Д. Обобщенный принцип максимума для разностной схемы вырождающегося дифференциального уравнения второго порядка. - ДАН Тада.ССР. - 1982. - Т. 25, Ш 8. -

- С. 445-448.

2. Ризокулова Т.Д. Об аппроксимации, сходимости и устойчивости разностных схем для вырождающегося обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. - ДАН Тада.ССР.

- 1984. - Т. 27, В 4. - С. 189-193.

3. Ризокулова Т.Д. Об одной разностной схеме для вырождающихся обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. - Тез. докл. конф. мол. уч. Тада.ССР. - Душанбе. -

- 1982 г. - С. 19.

4. Ризокулова Т.Д. Свойства решений одной разностной схемы в окрестности особой точки соответствующего дифференциального уравнения. - Тез. докл. конф. мол. уч. Тада. ССР.

- Душанбе. - 1984 г. - С. 121.

5. Дяумаев С., ЭДухададиев 3., Ризокулова Т.Д., Юмагулов М.Г. Ограниченные решения систем разностных уравнений с переменными коэффициентами. - Деп. в ТадаикНИИНТИ. - Вып.1.

- 1993 г. - Л 45(834) Та 93.

6. Ризокулова Т.Д. Об ограниченных решениях систем разностных уравнений с постоянными коэффициентами. - Деп. в Тад-жикНИИНТИ. - Вып. I. - 1993 г. - К> 39(828) Та 93.

5/Х-1893 г. Заказ 102. Тираж 100 екз.

Ротапринт ТГУ,Душанбе,уп.Лахути 2.