Вариационная задача Дирихле для некоторых классов эллиптических операторов, вырождающихся на многообразиях произвольной размерности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ТАРАСОВА Галина Ивановна

ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ, ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ ПРОИЗВОЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Якутск — 2006

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Егоров И.Е. доктор физико-математических наук, профессор Исхоков С. А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кожанов А.И. кандидат физико-математических наук, доцент Лазарев Н.11.

Ведущая организация: Московский Энергетический Институт

(Технический Университет)

Защита состоится 30 декабря 2006 года в 15.00 на заседании диссертационного совета К 212.306.05 при Якутском государственном университете имени М.К. Аммосова по адресу: 677000, г. Якутск, ул. Кулаковского, 48, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова.

Автореферат разослан 30 ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

В.Е. Федоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Одним из методов исследования граничных задач для вырождающихся дифференциальных уравнений является метод, основанный на теории вложения весовых функциональных пространств. Этот метод впервые был продемонстрирован Л.Д. Кудрявцевым в работе «Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений» (1959) и получил дальнейшее развитие в работах С.М. Никольского, П.И. Лизоркина, C.B. Успенского, О.В. Бесова, X. Трибеля, А. Куфнера, Н.В. Мирошина, И.Е. Егорова, К.Х. Бойматова, С.А. Исхокова и других. Большинство этих исследований относится к эллиптическим дифференциальным уравнениям, определенным в некоторой области QczR" и вырождающимся на многообразии размерности п - 1.

В частности, в работе Н.В. Мирошина (1992) рассмотрена обобщенная внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора, заданного во внешности ограниченной области йсй", коэффициенты которого могут степенным образом вырождаться на [п — 1) -мерной

границей и иметь степенные особенности на бесконечности. Им доказана теорема о гладкости решений рассматриваемой задачи в зависимости от гладкости коэффициентов и правой части уравнений. Также доказана фредгольмовость задачи, в которой на конечной части границы задаются нулевые граничные данные, но требуется, чтобы на бесконечности искомое решение выходило на заданный полином.

В работе Салманова Ю.Д. (1987) изучаются теоремы вложения для весовых классов функций, определенных в ограниченной области и-мерного пространства, имеющей границу, состоящую из многообразий любых измерений.

Краевые задачи для эллиптических уравнений в полупространстве R" = [x = (rc,*11)= R*',xn >о}, вырождающиеся на гиперплоскости хл = О, рассмотрены в работах Ю.В. Рыбалова, И.И. Матвеевой, С.А. Исхокова, C.B. Успенского, В.П. Глушко, И.А. Киприянова, В.В. Катрахова и других.

В работе С.А. Исхокова (1995), в частности, рассматриваются весовые функциональные пространства типа нДо), где Q-произвольное открытое множество в R". С помощью свойств этих пространств найдена априорная оценка решений вырождающихся эллиптических уравнений в произвольной области, причем допускается более общий случай вырождения дифференциальных операторов, чем степенно-логарифмический. Им также доказана однозначная разрешимость и гладкость решения обобщенной задачи Дирихле для эллиптических уравнений в полупространстве.

Также в работе С.А. Исхокова (2002) на основе теории вложения весовых функциональных пространств исследована вариационная задача Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения в полупространстве = {x = (xc,.x„)e R"',xn >о}, которое вырождается на гиперплоскости хл = 0 и

при д: -> оо. Им доказана теорема о существовании и единственности обобщенного решения задачи Дирихле.

Цель работы. Исследовать вариационную задачу Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на многообразиях произвольной размерности.

В соответствии с выдвинутой целью решались следующие задачи исследования:

1) Исследование разрешимости внешней вариационной задачи Дирихле для эллиптического оператора с однородными граничными условиями, вырождающегося на многообразиях различных измерений и на бесконечности степенным образом, а также задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями на многообразиях и на бесконечности.

2) Исследование однородной и неоднородной вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на т -мерных гиперплоскостях, т = 1,..., п -1.

3) Исследование вариациошюй задачи Дирихле для линейных и квазилинейных эллиптических операторов, вырождающихся степенным образом на неограниченных т -мерных многообразиях.

Методы исследования. Основным методом исследования является метод, основанный на теории вложения весовых функциональных пространств. Методика исследования основана на работах Н.В. Мирошина, С.Л. Исхокова.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1) Получены теоремы вложения и компактность вложения весовых пространств типа С.Л. Соболева, с помощью которых доказаны теоремы повышения гладкости решения внешней вариациошюй задачи Дирихле с однородными граничными условиями в зависимости от правой части.

2) Доказана фредгольмовость вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями на многообразиях и вариационной задачи Дирихле, решешы которой стабилизируются к заданному многочлену на бесконечности.

3) Получены соответствующие теоремы вложения для вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на т -мерных гиперплоскостях, на основе которых доказаны однозначная разрешимость и гладкость решения однородной и неоднородной задач.

4) Доказаны однозначная разрешимость и гладкость решения вариациошюй задачи Дирихле для эллиптического оператора,

■ вырождающегося на неограниченных многообразиях произвольной размерности, и вариационной задачи Дирихле для вырождающегося квазилинейного эллиптического оператора.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты данной работы носят теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшего развития теории краевых задач для вырождающихся эллиптических дифференциальных уравнений, а также в учебном процессе при чтении спецкурса для студентов и аспирантов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре «Дифференциальные уравнения с частными производными» профессора И.Е. Егорова (НИИ математики при ЯГУ), на научной конференции «Лаврентьевские чтения РС(Я)» в 2001, 2005, 2006 г.г., на конференции «Информационные технологии в науке, образовании и экономике» (2003г., Якутск), на IV Международной конференции по математическому моделированию (2004 г., Якутск), на Всероссийской школе - семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка» (2004 г., Якутск), на Международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященной столетию Сергея Михайловича Никольского (2005 г., Москва).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 87 страниц. Список литературы содержит 85 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даны краткие исторические сведения по теме диссертации, обосновывается актуальность работы, сформулированы цели исследования, в кратком виде приводится содержание работы, а также дан краткий обзор использованной литературы.

В первой главе рассматривается вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на ограниченных многообразиях различных измерений.

В первом параграфе главы рассматриваются теоремы вложения пространств функций, определенных во внешности ограниченной области. Пусть в пространстве Я" заданы ограниченные попарно не пересекающиеся многообразия размерностей т без края Гм с Я", где т = ОД,..., п -1, класса С такие, что

¿>0 = ттр(Гм, Г() > 0, /' Ф т, г,т = 0,1,.., п -1.

Далее символами Q', KR обозначим соответственно область в R" с достаточно гладкой (и-1)-мерной границей и шар радиуса R с центром в начале координат такие, что для них выполнено условие

т=О

Пусть Q" - ограниченная область, границей которой является r„_t. Далее »-1 • всюду положим r=(Jrm, Q* = Rn \(Q" Пусть а = (а0,а1,...,ап_1) и /? -

m=0

вещественное число. Символом сг_ (х) обозначим бесконечно

дифференщфуемую положительную в Q" функцию, для которой выполнено условие

dp{x) VxiR*\KR,

Vx= n'\|Jrm DQ\ L«-0 V «=0 ,

где pn (x) -регуляризованное расстояшхе от x = |q'\ [Jrm П^' до Гт,

V «=0 /

d(x) = (l + |x|2)12 и знак ~ означает наличие двусторонней оценки с положительными постоянными.

Пусть г - целое неотрицательное число и р = (l;oo). Символом l' _ (q*)

обозначим множество всех измеримых в Q* функций, имеющих в СУ всевозможные обобщенные производные до порядка г включительно, и для которых конечна величина

где к = (А-,,...ДЯ) - мультшшдекс и Dku{x) = иа)(х) = 5 и(х)

Ниже символом в обозначим банахово пространство с нормой ||м;#||:

11 /р

(о

где р(х) - бесконечно дифференцируемая в Q* положительная функция, которая совпадает с р„(х) в некоторой окрестности многообразия гт и с сУ(х)"1 в R"\Kr. Если В{о) - некоторое банахово пространство измеримых в d с iv функций и с™(d)с b(d), то символом b(d) обозначим пополнение

класса С* (¿>) в норме пространства В(В), а через {в(о)) - множество всех антилинейных непрерывных на в{о) функционалов, наделенное нормой сопряженного пространства. Теорема 1.

а) Для любого целого числа 5 такого, что 0 < л < г, справедливо вложение

(о*) (а- 5 = - 5.....а.,-5.

б) Множество С™(о') плотно в (о*).

в) Норма (1) пространства (□*) эквивалентна величине

Р,аЛ

!11р

г) При выполнении условий

■{3*{\,...А —«{иг} (2)

Р Р

справедливо (с точностью до эквивалентности норм) равенство

а если, кроме того, у>р + г, то

РЛф4 ' 4 '

Теорема 2. Пусть выполнены условия (2), у>/3 + г и г-а> 0 для всех т = ОД,..., п -1. Тогда вложение

компактно.

Рассмотрим билинейную форму

В[«.Ч>]= £ [ан(х)и№>(хУ>(х)& (и,<р = С0ф')). (3)

Предполагается, что коэффициенты ан{х) являются измеримыми в £У

комплекснозначными функциями, удовлетворяющими условиям

^ (4>

для всех и любого набора комплексных чисел {^Г}^,.;

пусть 50 - некоторое целое неотрицательное число, тогда

| (5)

для всех х = О* и всех мультииндексов к, I, к таких, что |/| < г, |&|<

Задача Д. Для заданного числа у = Я и заданного функционала

Р = ) требуется найти функцию ы(х), удовлетворяющую условиям

В[и, <р]+ Л(и, <р\ = (Р,<р) 4<р Е ,

1 ,, ^ ' (6)

I V /

где Я - некоторое комплексное число и (-Д - скалярное произведение в

Теорема 3. Пусть заданы числа = Я, которые

удовлетворяют условию (2) при р = 2, и функционал (□'), где л-

1 -.-а+г.-р-г

произвольное целое число такое, что Допустим, что

коэффициенты аи (х) билинейной формы (3) удовлетворяют условиям (4),

(5). Тогда если функция и= № является решением уравнения

в[и,<р] = (^,<р) с;(п'), то и = (К/^ (о") и при наличии добавочного условия

выполняется неравенство

1Ь"Х,>' 1£ 4;1л>И+К-';.«,>' 1}'

Теорема 4. Пусть числа ат (т = 0Д,...,и-1),/?, / удовлетворяют условиям теоремыЗ. Тогда:

1) для любого заданного функционала Г = (о*), где целое число 5

таково, что 0 << 50, любое решение «(х) задачи (6) принадлежит классу V'*' (сг) и для него справедлива следуюгцая оценка

где постоянная с > О не зависит от ; 2) любая «весовая» собственная функция оператора Ь (т.е. решение однородной задачи (б)) принадлежит классу (о*).

Также в первой главе рассматривается задача Дирихле с неоднородными граничными условиями на многообразиях.

Задача Д. Для заданного функционала ^До*) и заданной

финитной относительно бесконечности функции /(*)= И-'^ Дй") требуется найти функцию «(д:), удовлетворяющую условиям

в[и,р]+Л(и,У)7 V <р= Ш (7)

Используя неравенство Харди, получены следующие результаты.

Теорема 5. При выполнении условий у > р + г,г-ат >0 для всех т = ОД.....п-1, и

— ~Р г (1,2.....г},ат + п~т г {1,2,..,г} задача (7) фредгольмова.

2 2

В четвертом параграфе рассматриваются решения вариационной задачи

Дирихле, стабилизирующиеся к заданному многочлену.

Пусть - конечномерное пространство многочленов, точная степень

которых не превосходит г -1.

Задача Д. Для задашюго числа /ей, заданного функционала

Р и заданного многочлена степени О = 0,г—1]

требуется найти функцию ы(д:), удовлетворяющую условиям

е IV

где (•, ) - скалярное произведение пространства ¿2;До').

Теорема 6. Пусть у> (5 + г,г-ат> 0 для всех /я = 0,1,..., и-1, <р+г-0,

где в - степень многочлена /*(*)> и пусть выполнены условия

1-рг{1,2,...,г1ат+^*{1,2.....г}.

Тогда задача (8) фредгольмова.

Во второй главе рассматривается вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на ш-мерных гиперплоскостях. Пусть С2 = Л* \ Ят, где Ят - гиперплоскость хк = =... = хт+1 = о размерности т = 1,л-1. Расстояшю от точки х = (х,,...,х„ )е О до гиперплоскости совпадает с

р(*)=л/*т+1+••• + *» •

Пусть функция с(й,+) такая, что 0<*<р{[)< 1 для всех /е [у2Л] и $?(/)= 0, когда /> 1, а 1 для всех t = .0;^].

Для любых двух вещественных чисел а, р определим функцию

«V, =<рШ)р{хГ +(1-<р(р(х)МхУ. Пусть р = (1;-н») и Г - некоторое неотрицательное целое число.

Определим следующие весовые классы функций, заданных в О:

J )

Пусть Р[и,\>] - билинейная форма

ХМ*^), (9)

где (у) - скалярное произведение £г(о), аи - комплекснозначные функции, удовлетворяющие следующим условиям:

МФ^ЬМ^^М. (10)

для всех мультииндексов к, I, но длине не превосходящих г; существует число с > 0 такое, что

Ые СИ)

|*1-г

в любой точке х = О и для любого набора комплексных чисел .

Пусть л - фиксированное целое неотрицательное число.

Получены соответствующие теоремы о вложении весовых функциональных пространств, и на их основе исследуется следующая задача.

Задача Д. Для заданного элемента Т7 = требуется найти

функцию м(дг), удовлетворяющую условиям

Р[и,г\ = {Рл) УуЕС-(а),

и^и М-

Теорема 7. Пусть числа а,р,у удовлетворяют условиям

-а+ " ™ = {и.-г}, Р + " ™ = {I...,г}, р-г>у, и пусть коэффициенты аИ(х)

билинейной формы (9) удовлетворяют условиям (10), (11), - любое целое число, такое, что 0 < < 5. Тогда для любого заданного элемента

У = Ф)) существует единственное решение м(дг) задачи Д, которое

на самом деле принадлежит пространству IV ^-^«„„..(Р). " при этом справедлива оценка

|(«I « •

В третьем параграфе второй главы исследуется неоднородная задача Дирихле.

Задача Д. Для заданного элемента F = £.„¿>,(£2) и заданной функции /(*)= Н^^До) требуется найти функцию удовлетворяющую условиям

Теорема 8. Пусть выполнены все условия теоремы 7. Тогда для любого заданного элемента (^г?-«-*,, (Ф) 11 заданной функции /(дг)н существует единственное решение м(дг) задачи Д, которое на самом деле принадлежит пространапву IV и при этом справедлива оценка

где постоянная С > 0 не зависит от F и /(*).

В третьей главе исследуется вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на неограниченных т-мерных многообразиях.

Сначала доказаны соответствующие теоремы вложе1шя. Обозначим через Гт - неограниченное многообразие размерности т,т = ОД,..., л —1, удовлетворяющее условию конуса. Это означает, что существует линейное преобразование А, осуществляющее поворот вокруг начала координат в Я", такое, что х= ЛУк сЯ"\Гт VА>О, V х = Гт.

Здесь Ук - множество, являющееся объединением всех конусов Кк(г}), когда 77 пробегает о5л.

¿'А = -|х = (х1.....хя)= Яп :х1 = ... = хт =0, ¿х,2 <Лг 1,

I ¿=т+1 )

К = |х = (х1,...,х„) = Я" :0<х„ <А,£х, <а2х*|,

где а,к> 0. Через Кк{т]),^=Кл,= обозначим конус, который получается путем поворота Кк вокруг начала координат так, что при этом точка (0,...,0,А)= Я" переходит в точку т/.

Пусть = Я" \ Гт, где Гм - неограниченное многообразие размерности т,т = ОД,..., л-1, удовлетворяющее условию конуса, р(х) - расстояние от точки х = (х1.....х„) = О до многообразия Ги.

Функция С"[я*) такая, что 0<^(/)<1 для всех г г и <р(/) = 0

при / > 1, а (р{{) = 1 для всех t = 0;—^.

Для любых двух вещественных чисел а,р определим функцию

°«АХ) = ^(хМ*Г +(!-.

Пусть р е (1;+оо) и г - некоторое неотрицательное целое число. Определим весовые классы функций, заданных в О, нормы которых имеют вид:

=[ЕК-а+^чЦ^ < +«> >

-1 £ < +«> •

0*1*15 J

Для этих пространств получены соответствующие теоремы вложения. Пусть Р[и, у] - билинейная форма

где (•,•) - скалярное произведение пространства <зй(х)

комплекснозначные функции, удовлетворяющие следующим условиям:

1) существует число Л/ > 0 такое, что

(13)

для всех мультииндексов к,1, по длине не превосходящих г;

2) существует число с > О такое, что

^ ^(х)?«?3 * с<АхШ[к]г (Н)

в любой точке х = й и для любого набора комплексных чисел ^.

Задача Дирихле. Для заданного элемента F = (й^^Дп)) требуется найти функцию м(.х), удовлетворяющую условиям

Теорема 9. Пусть числа а,р,у удовлетворяют условиям

-а + п~т £ (1.....г\ р + "~т £ р-г>у и пусть коэффициенты аи(х)

Р Р

билинейной формы (12) удовлетворяют условиям (13), (14), ¿г0 - любое целое число, такое, что О < < *.

Тогда для любого заданного элемента /•' = существует

единственное решение ы(х) задачи Дирихле, которое на самом деле принадлежит пространству IV гГа-*,, ,/»+*„,и при этом справедлива оценка

В последнем параграфе третьей главы рассматривается вариационная задача Дирихле для вырождающегося квазилинейного оператора.

Обозначим через До) подмножество множества ^¿Дсз) такое,

что для каждого элемента Ь'= все соответствующие функции /к{х),

когда \к\ < г, тождественно равны нулю.

Для заданных операторов Аи (¡А| = |/| = г), таких, что (Аыд>\х) - измеримые

функции для всех сръ\У Тг аф у{0), и для функционала Т7 5 2;в/,До) рассмотрим уравнение

X [(ЛФКЧ^^ММ- (15)

Предположим, что операторы Аы удовлетворяют следующим условиям:

Vrai 5ир|(4^Х*)°"а.Д*Г| < »

vrai sup

(4

М-М-' ■ |*К

для всех л: = О, <р,ф = IV и для любого набора комплексных чисел

. Положительные числа а/, с не зависят от ф,ф,х,£ .

Задача Дирихле. Для заданного функционала И = требуется

найти решение м(.г) уравнения (15), принадлежащее пространству IV \ а р До).

Теорема 10. Пусть числа а,Р,у удовлетворяют условиям п — т г, ) п п — т (, >

Р<г~, -г + ^<ай + у<р-г, у < +1.5,

где 50 - целое число такое, что г + + Тогда для любого

функционала Р в /'¿^(о) такого, что

где К = задача Дирихле имеет единственное решение и{х), и

И-г

справедлива следующая оценка:

Tw, Л") •

Работы автора по теме диссертации

[1] Исхоков С.А., Сивцева (Тарасова) Г.И. Вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора, вырождающегося на многообразиях различных измерений // Математические заметки ЯГУ, 1999. Т.6, выпуск 2. С. 28-41.

[2] Сивцева (Тарасова) Г.И. Вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора с вырождением // Лаврентьевские чтения Республики Саха (Якутия): Тезисы докладов. - Якутск, 2001. С. 44-46.

[3] Тарасова Г.И. Свойства пространств типа Соболева // «Информационные технологии в науке, образовании и экономике»: Тезисы докладов. - Якутск, 2003. С. 64-65.

[4] Тарасова Г.И. Вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора, вырождающегося на га-мерной гиперплоскости // IV Международная конференция по математическому моделированию: Тезисы докладов. - Якутск: Изд-во ГУ РОНПО, 2004. С. 39-40.

[5] Тарасова Г.И. Вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора с неограниченными условиями на многообразиях // Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка»: Тезисы докладов. - Якутск, 2004. С. 48-49.

[6] Тарасова Г.И. Вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора, вырождающегося на неограниченном многообразии произвольной размерности // IX Лаврентьевские чтения, посвященные Международному году физики: Научная конференция студентов и молодых ученых. Секция -Математика, механика и физика: Сборник статей. Том 1. - Якутск: Изд-во ГУ РОНПО, 2005. С. 115-120.

[7] Исхоков С.А., Тарасова Г.И. Обобщенная задача Дирихле для эллиптических уравнений, вырождающихся на неограниченных многообразиях // В сб.: Тезисы докладов Международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященной столетию С.М. Никольского. — Москва, 2005.

[8] Тарасова Г.И. О некоторых вариационных задачах Дирихле для эллиптического оператора, вырождающегося на ограниченных многообразиях различным образом //Вестник ЯГУ, 2006. Т. 3, №2. С. 32-37.

[9] Тарасова Г.И. Вариационная задача Дирихле для вырождающегося квазилинейного уравнения // X Лаврентьевские чтения, посвященные 50-летию Якутского государственного университета им. М.К. Аммосова: Научная конференция. Секция — Математика, механика и физика: Сборник статей. Том 1. - Якутск: Изд-во ЯГУ, 2006. С. 75-80.

[10] Исхоков С.А., Тарасова Г.И. Обобщенная задача Дирихле для эллиптических уравнений, вырождающихся на неограниченных многообразиях // Вестник НГУ. Серия «Математика, механика, информатика», 2006. Т. 6, выпуск 4. С. 43-49.

ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ, ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ ПРОИЗВОЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

автореферат ТАРАСОВА Галина Ивановна

Подписано в печать 29.11.2006 г. Формат 60x84/16. Печ. л. 1. Тираж 100 экз. Отпечатано в филиале издательства ЯГУ (Институт математики и информатики) Адрес: г. Якутск, ул. Кулаковского, 48. Тел: (4112) 49-68-33, факс: (4112) 49-68-33.

Введение

1 Внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на многообразиях различных размерностей

1.1 Теоремы вложения пространств функции, определенных по внешности ограниченной области.

1.2 Внешняя вариационная задача Дирихле с однородным и граничными условиями.

1.3 Внешняя вариационная задача Дирихле; с неоднородными граничными условиями на многообразиях.

1.4 О решениях вариационной задачи Дирихле, стабилизирующихся к заданному многочлену.

2 Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на т-мерных гиперплоскостях

2.1 Весовые пространства функций, определенные в — П"\Ят.

2.2 О вариационной задаче Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на т-мерных гиперплоскостях

2.3 Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями на гиперплоскости.

3 Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на неограниченных т- мерных многообразиях

3.1 Теоремы вложения для некоторых весовых пространств функций

3.2 Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на неограниченных т-мерных многообразиях

3.3 Вариационная задача Дирихле для иырождающегося квазилинейного уравнения

Одним из методой исследования граничных задач для вырождающихся дифференциальных уравнений является метод, основанный на теории вложения весовых функциональных пространств. Этот метод впервые был продемонстрирован Л. Д. Кудрявцевым в работе "Прямые и обратные теорем!>1 вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений" [30] и получил дальнейшее развитие в работах С.М. Никольского [52-5G], П.И. Лизоркина [3G-39J, C.B. Успенского [7G-79|, О.В. Бесова [2], X. Трибеля [75|, А. К.уфнера [32], Н.В. Миро-шина [44-51], И.Е. Егорова [10], К.Х. Бойматова |3-8|, С.А. Исхокопа [15-25] и других. Большинство этих исследований относится к эллиптическим дифференциальным уравнениям, определенным в некоторой области Q С Rn и вырождающимся на многообразии размерности п — 1.

В частности, в работе Н.В. Мирошина [4G] рассмотрена обобщенная внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора, заданного во внешности ограниченной области О, С R", коэффициенты которого могут степенным образом вырождаться на (п — 1)-мериой границе дЧЛ и иметь степенные особенности на бесконечности. Им доказана теорема о гладкости решений рассматриваемой задачи в зависимости от гладкости коэффициентов и правой части уравнений. Также; доказана фредгольмовость задачи, в которой па конечной части границ!»! задаются нулевые граничные данные, по требуется, чтобы на бесконечности искомое решение выходило на заданный полипом.

В работе Салманова Ю.Д. [Gl] изучаются теоремы вложения для весовых классов функций, определенных в ограниченной области /¿-мерного пространства, имеющей границу, состоящую из многообразий любых измерений.

Краевые задачи для эллиптических уравнений в полупространстве R'l — {х = (х®,хп) G Rn;xn > 0}, вырождающиеся на гиперплоскости хп = 0, рассмотрены в работах 10.В. Рыбалова [59-G0] , И.И. Матвеевой 42-43], С.А. Исхокопа [1G-18, 22], C.B. Успенского [7G], В.В. Катрахова [2G, 27] и других.

В работе С.А. Исхокопа [22], в частности, рассматриваются весовые функциональные) пространства тина V* (£7), где ^-произвольное открытое множество 15 В!1. С помощью свойств этих пространств найдена априорная оценка решений вырождающихся эллиптических уравнений в произвольной области, причем допускается более общий случай вырождения дифференциальных операторов, чем степенно-логарифмический. Им также доказана однозначная разрешимость и гладкость решения обобщенной задачи Дирихле для эллиптических уравнений в полупространстве.

Также в работе С.А. Исхокова [17] на основе теории вложения весовых функциональных пространств исследована вариационная задача Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения в полупространстве Щ — {х = (х®,хп) £ Яп',хп > 0}, которое вырождается па гиперплоскости хп = 0 и при х —> оо. Им доказана теорема о существовании и единственности обобщенного решения задачи Дирихле.

Таким образом, тема диссертационной работы, целыо которой является исследование вариационной задачи Дирихле; для некоторых классов эллиптических операторов, вырождающихся на многообразиях произвольной размерности, является актуальной.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1) Получены теоремы вложения и компактность вложения весовых пространств типа С.Л. Соболева, с помощью которых доказаны теоремы повышения гладкости решения внешней вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями в зависимости от правой части.

2) Доказана фредгольмовость вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями на многообразиях и вариационной задачи Дирихле, решения которой стабилизируются к заданному многочлену на бесконечности.

3) Получены соответствующие теоремы вложения для вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся па -мерных гиперплоскостях, на основе которых доказаны однозначная разрешимость и гладкость решения однородной и неоднородной задач.

4) Доказаны однозначная разрешимость и гладкость решения вариационной задачи Дирихле для эллиптического оператора, вырождающегося на неограниченных многообразиях произвольной размерности, и вариационной задачи Дирихле для вырождающегося квазилинейного эллиптического оператора.

Основным методом исследования является метод, основанный на теории вложения весовых функциональных пространств. Методика, исследования основана на работах Н.В. Мирошипа, С.А. Исхокова.

В перкой главе рассматривается вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на ограниченных многообразиях различных измерений.

В первом параграфе главы рассматриваются теоремы вложения пространств функций, определенных во внешности ограниченной области. Пусть в пространстве Rn заданы ограниченные попарно не пересекающиеся многообразия размерностей m без края Гш С Rn, где m = 0,1, .,п — 1, класса С00 такие, что ininp (Гт, Г,-) > 0, i ф т, г, m = 0,1,., п — 1. г,m

Далее символами ГУ, Кц обозначим соответственно область в /?" с достаточно гладкой (п — 1)-мериой границей и шар радиуса R с центром 1} начале координат такие, что для них выполнено условие il-1

U гш С Q' С о' С KR.

111=о

Пусть О!'- ограниченная область, границей которой является Гпь п—1

Далее всюду положим Г = (J Гш, Q* = Rn\(Q," UF). Пусть oi m=о o, ai,., an-\) и ¡3 - вещественное число. Символом ;j(x) обоз на

ИМ бесконечно дифференцируемую положительную в Q* функцию, для которой выполнено условие d* {х) Ух € Rn\KR, ж) ^ П-1 ^ П /СФ) V® € и Г,н п т=0 \ т={) /

1ДО Рт (а^-регуляризованное расстояние от £ 6 I и Г,„ ) до Г7„, 7)1 = 0 / 2\~1/2 й{х) — ( 1 + |ж| ) и знак ~ означает наличие двусторонней оценки с положительными постоянными.

Пусть г - целое неотрицательное число и р € (1; сю). Символом // -> (О*) обозначим множество всех измеримых в Г2* функций, имеющих в ГГ всевозможные обобщенные производш>1е до порядка г включительно, и для которых конечна величина

Е / (^wi^wi) где к = (к\,., кп) - мультииндекс и Бки(х) = и^(х) = . п

Ниже символом В обозначим банахово пространство с нормой ||м; В||:

1/р р;а,р 4 ' щИ^Ш) р;а,Р ' у \и(х)\Р(1х КНПП* щ \ут >„ т к;!"' .(<)') р-а р 4 ' [ [аТхр{х)р{х)^-г\Пки(х)\)\1х

1*1 <4

1/р

0.0.1) где р(х) - бесконечно дифференцируемая в положительная функция, которая совпадает с рт (х) в некоторой окрестности многообразия Гш и мес (1{х) в 1{п\Кц. Если В (Б) - некоторое банахово пространство и:* о римых в Б С Яп функций и С™ (Б) С В (И), то символом В (Б) обозначим пополнение класса С™ (Б) в норме пространства В (Б), а через (В (Б)) - множество всех антилинейных непрерывных на В (Б) функционалов, наделенное нормой сопряженного пространства. Для введенных весовых пространств доказаны теоремы вложения и компактности вложения.

Рассмотрим билинейную форму

В[иМ= Е (и, <р е с? №)). (0.0.2)

А|,|*|<гй.

Предполагается, что коэффициенты ац(х) являются измеримыми в О,* комнлекснозначными функциями, удовлетворяющими условиям

Яе ]Г аы{х)^1 > иаТц1){х)2 ^ к\,\1\<г ' \к\=г для всех х £ О,* и любого набора комплексных чисел {£}|/,.|<7.; пусть - некоторое целое неотрицательное число, тогда

0.0.3)

4Ч м

-2г+\к\ + \1\-\к

X)

0.0.4) для нсехж Е О,* и всех мультииндексов к, I, к таких, что \к\, |/| < г, к <

Задача Д. Для заданного числа 7 Е Я и заданного функционала

Р Е 1\\гг-> (^*)) требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям в [и, + л (и, „)7 = {Р, „) ^ е (ж (о-)), () где Л - некоторое комплексное число и (•, •) - скалярное произведение и

Во втором параграфе доказаны теоремы повышения гладкости решений задачи (0.0.5). В третьем параграфе рассматривается задача Дирихле с неоднородными граничными условиями на многообразиях.

0 А'

Задача Д. Для заданного функционала Р Е ( IV 247,0,7 ) и :1а~ данной финитной относительно бесконечности функции f (х) Е И^д-у требуется найти функцию и (ж), удовлетворяющую условиям

В [и, И + Л (и, = У^ Е Ж ^ (П*), (0<0 - К е И' (Я*) .

С помощью неравенства Харди, доказана фредгольмовость задачи (0.0.6).

В четвертом параграфе рассматриваются решения вариационной задачи Дирихле, стабилизирующиеся к заданному многочлену.

Пусть Рг-1 - конечномерное пространство многочленов, точная степень которых не превосходит г — 1.

Задача Д. Для заданного числа 7 Е В., заданного функционала о V , Е ( И7 2;гтд7 ) И заданного многочлена Р (х) Е Рг1 степени Е [0, г — 1] требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую .условиям

В [и, <р] + Л (и, <р)7 = (Р,<р) V Е ж УЛ7 т , ((ик7) « (х) - Р (х) е„ Е V/ Г2.АА1 (П*), где (•, •) - скалярное произведение пространства Ь-2;1 (О*). Доказана фред-гольмовость задачи (0.0.7).

Во второй главе рассматривается вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на т-мерных гиперплоскостях.

Пусть & = Яп\11т, где Ят - гиперплоскость хп = хп-\ = . = хт+\ — 0 размерности т = 1,п — 1. Расстояние от точки х = (х\, ., хп) £ О до гиперплоскости совпадает с р(х) — ^х,п+1 + . + х'^.

Пусть функция <р (¿) е С (Я^) такая, что 0 < у {I) < 1 для всех t € р/а; 1] и р (£) = 0, когда £ > 1, а <р (£) = 1 для всех I £ [0; Уг]-Для люГ)1>1х двух вещественных чисел а, ¡3 определим функцию ч> (Р (х)) Р (х)~а + (1 ~ V (Р (х))) Р (х)0 ■

Пусть р £ (1;+оо) и Г - некоторое неотрицательное целое число. Определим следующие весовые классы функций, заданных в £7: = {и (X) : |= { Е <+оо \к\=г И ) \ Е / (*«.A*)p(*f-r Wk4x)\)Pdx ll*l<rfi 4

1 /р < +00

Пусп» Р[и, v] - билинейная (}юрма fc|,|/|<r где (•, •) - скалярное произведение L2 (Cl), au - комилекснозиачные функции, удовлетворяющие следующим условиям: au(x)\<Mal0(x)p2r+^(x<), (0-0.9) для всех мультииндекеов к, /, по длине не превосходящих ; существует число такое, что

Re £ akl (ж) £<*>£«) > ca2nJj (x) ]T (0.0.10) fc|,||<r \k\=r в любой точке x G и для любого набора комплексных чисел

Пусть s - фиксированное целое неотрицательное число.

Получены соответствующие теоремы о вложении весовых функциональных пространств, и на их основе исследуется следующая задача.

Задача Д. Для заданного элемента F G (\V <j.rt ¡j 7 требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям

Р [щ v] = (F, <;} W G Со00 (О), 2-aAl (Q) *

Доказана теорема об однозначной разрешимости и гладкости решения задачи.

В третьем параграфе второй главы исследуется неоднородная задача Дирихле.

Задача Д. Для заданного элемента F € (\V \н заданной функции f (х) G W^apji®) требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям

Р [и, v] — (F, v) и-few r2;nAl (fi)

Для этой задачи также доказаны однозначная разрешимость и гладкость решения.

В третьей главе исследуется вариационная задача Дирихле; для эллиптических операторов, вырождающихся па неограниченных ш-мерпых многообразиях.

Сначала доказаны соответствующие теоремы вложения. Обозначим через Гш - неограниченное многообразие размерности m, т = 0,1,., ?? — 1, удовлетворяющее условию конуса. Это означает, что существует линейное преобразование , осуществляющее поворот вокруг начала координат в Яп, такое, что х Е AVh С Rn\rm Vh> 0, Уж G Гш.

Здесь Vh - множество, являющееся объединением всех конусов К/, (//), когда г] пробегает dS}t.

Sh x = (xh e Rn : Xi = . = xm = O, x\ < h2 l , = 7«+l

П-1

V/t = < x = (жь., xn) e Rn : O < z„ < h, ^ Xi < a2x2n \ , i= 1 где ají > 0. Через (77), 77 € Я", |r/| = /г, обозначим конус, который получается путем поворота К^ вокруг начала координат так, что при этом точка (0,., 0, h) £ R71 переходит в точку 77.

Пусть Q = Rn\Гш, где Гш - неограниченное многообразие размерности т, т = 0,1,., п — 1, удовлетворяющее условию конуса, р(х) -расстояние от точки х = (х\, .,хп) Е до многообразия Гш.

Функция <р (t) G С00 (Л}") такая, что 0 < <р (t) < 1 для всех t 6 l] и (р (t) = 0 при t > 1, а у? (£) = 1 для всех t G [0; .

Для любых двух вещественных чисел а, (3 определим функцию ж) = Ч> (р р (Х)~П + (1 - tp (р (ж))) р (xf .

Пусть р 6 (1; +оо) и г - некоторое неотрицательное целое число. Определим весовые классы функций, заданных в Q, нормы которых имеют вид: 1 щ || = Е / k\=rí Р +оо, щ W[,nAl(Q)\\ = Цг^(Щ\р+\\щ ^(fiJin^P < 4-00 Е/ (*M*),4|-r м|) Р dx +оо.

Для этих пространств получены соответствующие теоремы вложения. Пусть P[u,v] - билинейная форма fc|,|í|<r

0.0.11) где (•,•)" скалярное произведение пространства Ъ<1 ац (х) - ком-плекснозначные функции, удовлетворяющие; следующим условиям: существует число М > 0 такое, что аы(х)\ <Ма10(х)р(хГ'2г+^+Щ (0.0.12) для всех мультииндексов к,1, по длине не превосходящих г; существует число с > 0 такое, что

11е £ ак1 (х) ^ > саХР (х) £ (0.0.13)

Щ,\1\<Г \к\=г в любой точке для любого набора комплексных чисел

Задача Дирихле. Для заданного элемента ^ 6 (М^'о7 т1)(;" буется найти функцию и (.т), удовлетворяющую условиям

Р [и, V] = V) Уи€С0°°(П), € ^ 2^>7 (") *

Доказаны однозначная разрешимость и гладкость решения этой задачи.

В последнем параграфе третьей главы рассматривается вариационная задача Дирихле для вырождающегося квазилинейного оператора.

Обозначим через подмножество множества 2;ад7 такое, что для каждого элемента ^ € |,,се соответствующие функции /к(х), когда < г, тождественно равны нулю.

Для заданных операторов Аы (\к\ = \1\ = г), таких, что (Аьцр) (х) о пзмерим1»]е функции для всех 2;«,/?,7 и 'КучкН'юнала ^ 6 о V

I ) рассмотрим уравнение о

X) / (Лыи) (х) и<*> (х) г/О (х)йх = г;), V € IV ^ (П) •

1*М'1=гп

0.0.14)

Предположим, что операторы Ац удовлетворяют следующим условиям: угаг эир 2

Акцр) (х) (х) +00, vrai sup xeit

Аыч>) (x) - {Аыф) {x) M M \\<р-ф- ||, k)2 т\=г |л|=г о для всех ж £ Г2, </?, ф 6 И^ 2;ад7 " Для любого набора комплексных чисел Положительные числа М,с не зависят от ф, х,

Задача Дирихле. Для заданного (функционала ^ £ (И'г-аДч требуется найти решение и(х) уравнения (0.0.14), принадлежащее про-о

СТраНСТВу IV 2;аД7

Доказаны однозначная разрешимое!1!» и гладкость решения задачи.

Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались н обсуждались на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными" профессора И.Е. Егорова (НИИ математики при ЯГУ), на научной конференции "Лаврентьевскис чтения РС(Я)" в 2001, 2005, 2000 г.г., на конференции "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (2003г., Якутск), на IV Международной конференции ио математическому моделированию (2004 г., Якутск), на Всероссийской школе - семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка" (2004 г., Якутск), па Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию Сергея Михайловича Никольского (2005 г., Москва).

Результаты данной работы носят теоретическим характер и могут быть использованы для дальнейшего развития теории краевых задач для вырождающихся эллиптических дифференциальных уравнений, а также 15 учебном процессе при чтении спецкурса для студентов и аспирантов.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы состоят из пунктов. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое их которых указывает на поме]) главы, второе -- номер пункта, третье - номер формулы в пункте.

1. Бойматов К.Х Коэрцетивные свойства сильно вырождающихся эллиптических уравнений // Доклады РАН. 1993. Т. 330, №4. С. 409414.

2. Бойматов К.Х. О плотности финитных функций в весовых пространствах // ДАН СССР. 1989. Т. 307, №. С. 1296-1299.

3. Бойматов К.Х., Исхоков С.А. Интегральные неравенства с нулевыми следами на С0 -многообразиях и их приложения // Доклады РАН. 2001. Т. 378, М. С. 7-10.

4. Егоров И.Е. Весовые пространства Соболевского типа и вырождающиеся эллиптические уравнения // Casopis pro pestovani mateinatiky. 1984, roc. 109. P. 74-85.

5. Егоров И.Е. Краевая задача для одного уравнения высокого порядка с меняющимся направлением времени // Дифференциальные уравнения и их приложения. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1989. С. 30-39.

6. Егоров И.Е., Федоров В.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Издательство ВЦ СО РАН, 1995. 133 с.

7. Исхоков С.А. Вариационная задача Дирихле для вырождающейся на границе эллиптической системы дифференциальных операторов // Доклады АН СССР. 1992. Т. 322, т. С. 33-37.

8. Исхоков С.А. Вариационная задача Дирихле для эллиптических уравнений в полупространстве // Доклады РАН. 1995. Т. 345, №2. С. 164-167.

9. Исхоков С.А. О вариационной задаче Дирихле для вырождающегося квазилинейного уравнения в полупространстве // Доклады АН Респ. Таджикистан. 2002, Т. 44, №3, С. 65-70.

10. Исхоков С.А. О гладкости обобщенного решения вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространство // Доклад!,I РАН. 1993. Т. 330, JV4. С.420-423.

11. Исхоков С.А. О гладкости обобщенного решения эллиптического уравнения с постепенным вырождением // Дифференциальные уравнения. 2003, Т. 39, №11, С. 1536-1542.

12. Исхоков С.А. О гладкости обобщенного решения эллиптического уравнения с постепенным вырождением // Доклады АН (Россия). 2001. Т. 378, №3. С. 306-309.

13. Исхоков С.А. О гладкости решений обобщенной задачи Дирихле и задачи па собственные значения для дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными билинейными формами // Доклад!,i РАН. 1995. Т.342, М. С. 20-22.

14. Исхоков С.А. О гладкости решения вырождающихся дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1995. Т.31, J\M. С. 041-653.

15. Исхоков С.А., Сивцева (Тарасова) Г.И. Вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора, вырождающегося па многообразиях различных измерений // Математические заметки ЯГУ. 1999. Т. 0, выпуск 2. С. 28-41.

16. Исхоков С.А., Тарасова Г.И. Обобщенная задача Дирихле для эллиптических уравнений, вырождающихся на неограниченных многообразиях // Вестник НГУ. Серия "Математика, механика, информатика", 2000. Т. 6, выпуск 4. С. 43-49.

17. Катрахов В.В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений // Математический сборник. 1980. Т. 77, №3. С. 354-379.

18. Катрахов В.В. Спектральная функция некоторых сингулярных дифференциальных операторов // Дифференциальные уравнения, 1976. Т. 12, т. С. 1256-1266.

19. Кожанов А.И. Краевая задача для одного класса уравнений третьего порядка // Дифференциальные уравнения, 1980. Т. 16, JV-1 -С. 86-92.

20. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: Издательство Новосибирского университета, 1990. 132 с.

21. Кудрявцев Л.Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Труды мат. ин-та им. Стеклова АН СССР. 1959. Т. 55. С.1-182.

22. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -Москва: Наука, 1973. 407 с.

23. Ладыженская O.A. О дифференциальных свойствах обобщенных решений некоторых многомерных вариационных задач // Доклады АН СССР, 1958. Т.120, №5. С. 95G-959.

24. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптических уравнений с вырождением. Вариационный метод // Труды мат. ин-та им. Стеклова АН СССР. 1981. Т. 157. С. 90-118.

25. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью // Труды мат. ин-та им. Стеклова АН СССР. 1983. Т. 1G1. С. 157-183.

26. Лионе Ж.Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. Москва: Мир, 1978. 400 с.

27. Мазья В.Г. Пространства Соболева С.Л. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. 415 с.

28. Мирошин Н.В. Вариационная задача Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического оператора // Дифференциальные .уравнения. 1988. Т. 24, №3. С. 455-461.

29. Мирошин Н.В. Математические методы исследования физических процессов М., 1982.

30. Мирошин Н.В. Спектральные внешние задачи для вырождающегося эллиптического оператора // Известия вузов. Математика. 1988, №8. С. 47-55.

31. Никольский С.М., Лизоркин П.И. О некоторых неравенствах для функций из весовых классов и краевых задачах с сильным вырождением на границе // Доклады АН СССР. 1964. Т. 159, №3. С. 512-515.

32. Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений // Известия вузов. Математика. 1988. №8 (315). С. 4-30.

33. Никольский Ю.С. Поведение на бесконечности функций с заданными в Ьр дифференциальпоразностными свойствами // Труды МИ-АН СССР. 1974. Т.131. С.182-198.

34. Пиголкина Т.С. О плотности финитных функций в весовых классах // Математические заметки. 1967. Т. 2, №1. С. 53-00.

35. Рыбалов Ю.В. Краевые задачи в полупространстве с граничными условиями в точке // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, №5. С. 834-845.

36. Рыбалов Ю.В. О краевой задаче в полупространстве с граничными условиями на бесконечности // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №12. С. 2193-2204.

37. Салманов Ю.Д. Весовые классы функций с вырождением на многообразиях любых измерений // Доклады АН СССР. 1987. Т. 294, №3. С. 539-542.

38. Сивцева (Тарасова) Г.И. Вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора с вырождением // Лаврентьевскпе чтения Республики Саха (Якутия): Тезисы докладов Якутск, 2001. С. 44-40.

39. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. - М.: Наука, 1970. 295 с.

40. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1900. 292 с.

41. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. 808 с.СО. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального уравнения в математической физике. М.: Наука, 1988. 333 с.

42. Тарасова Г.И. О некоторых вариационных задачах Дирихле для эллиптического оператора, вырождающегося на ограниченных многообразиях различным образом // Вестник ЯГУ, 2000. Т. 3, №2. С. 32-37.

43. Тарасова Г.И. Свойства пространств типа Соболева // "Информационные технологии в науке, образовании и экономике": Тезисы докладов. Якутск: , 2003. С. 04-05.

44. Терсенов С.А. Об аналитичности решений одного класса дифференциальных уравнений, вырождающихся на границе // Доклады АН СССГ. 1970. Т. 228, №0. С. 1294-1297.

45. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

46. Триболь X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. GG4 с.7G. Успенский С.В. О теоремах вложения для весовых классов // Труды Матем. Института АН СССР. 1961. Т. 50. С. 282-303.

47. Успенский С.В. О теоремах вложения для обобщенных классов Wp Соболева // Сибирский математический журнал. 19G2. Т.З, №3 С.418-445.

48. Успенский С.В. Теоремы вложения и продолжения для одного класса функций, I // Сибирский математический журнал. 19G3. Т. 7, т. С. 192-199.

49. Успенский С.В. Теоремы вложения и продолжения для одного класса функций, II // Сибирский математический журнал. 19GG. Т. 7, т. С. 650-663.

50. Успенский С.В., Демиденко Г.В., Перепелкин В.Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. Новосибирск: Наука. Сиб. Отделение, 1984. 223 с.

51. Хермапдер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. М.: Мир, 1986.

52. Шаньков В.В. Обобщенное решение квазилинейного эллиптического оператора с вырождением // Известия ВУЗов. Математика. 1988. №8. С.85-87.

53. Iskhokov S.A. On Solvability and Smoothness of a solution of Variational Pirichlet Problem for Degerate Elliptic Equations in the Half-Space // Math. Zainetki YaGU, 1998. V. 5, №2. C. 85-105.

54. Iskhokov S.A. The Variational Problem for a Degeneration Elliptic Equation in a Limit-Tube Domain // Math. Zainetki YaGU, 1999. V. G, №1. C. 60-76.

55. Salmanov Yu.D. A boundary value problem of the first kind soft some nonlinear differential equations with degeneration on manifold of arbitrary dimensions // Differential equations. 1999. vol. 35, JY22. P. 1702-1708.