Аналитические и гладкие решения линейных систем функционально-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

§0.1. Функционально-дифференциальные уравнения как математические модели реальных процессов.

§0.2. Проблематика диссертационной работы.■

§0.3. Краткий обзор полученных результатов.

§0.4. Основные определения, обозначения.

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1.1. Функционально-дифференциальные уравнения. Аналитические решения.

§1.2. Аналитические решения линейных систем функционально-дифференциальных уравнений с линейным отклонением функционального аргумента.

§1.3. Аналитические решения линейных систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с аналитической структурой функционального аргумента.

§1.4. Аналитические решения линейных систем функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа с аналитической структурой функционального аргумента.

§1.5. Комментарии.

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ РЕГУЛЯРНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ

§2.1. Линейные системы функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа. Постановка задачи.

§2.2. Аналитические решения линейных систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа.

§2.3. Линейные системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа в окрестности регулярной особой точки. Постановка задачи.

§2.4. Аналитические решения однородных линейных систем функционально -дифференциальных уравнений нейтрального типа.

§2.5. Аналитические решения неоднородных линейных систем функционально -дифференциальных уравнений нейтрального типа.

§2.6. Комментарии.

ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО

РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА

§3.1. Полиномиальные квазирешения линейных систем дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа. Постановка задачи.172.

§3.2. Теорема существования полиномиальных квазирешений линейных систем дифференциально-разностных уравнений.

§3.3. Обратная начальная задача для линейных систем дифференциально-разностных уравнений. Постановка задачи.

§3.4. Условия разрешимости обратной начальной задачи для линейных систем дифференциально-разностных уравнений.

§3.5. Вариационные решения обратной начальной задачи.

§3.6. Комментарии.

ГЛАВА 4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§4.1. Разрешимость задачи Коши для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве функциональных параметров.

§4.2. Постановка задачи об оценках точности приближенных решений

§4.3. Мажорирующие последовательности метода функциональных параметров.

§4.4. Оценки точности приближенных решений задачи Коши для линейных систем дифференциальных уравнений в пространстве функционального параметра.

§4.5. Оценки метода пространства малого времени.

§4.6. Комментарии.

§0.1 ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

В теории и практике большое значение имеют дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений, которые представляют собой математические модели явлений, происходящих в природе и общественной жизни. Поэтому проблема решения дифференциальных уравнений относится к числу основных проблем современной математики. К настоящему времени получены важные результаты по различным методам исследования решений дифференциальных уравнений, накоплен большой опыт, позволяющий судить о достоинствах и применимости тех или иных методов.

При изучении математическими методами какого-либо явления во многих случаях предполагается, что будущее состояние системы не зависит от ее прошлых состояний и определяется только настоящим. Как правило, в качестве математической модели такого явления выступают либо обыкновенные дифференциальные уравнения, либо дифференциальные уравнения в частных производных. В результате интенсивных и глубоких исследований получено много важной информации о процессах путем анализа математических моделей такого типа. Несмотря на весьма удовлетворительное состояние теории дифференциальных уравнений, детальное изучение окружающего мира вынуждает обратиться к исследованию более сложных уравнений и принять во внимание тот факт, что скорость изменения в некоторых системах зависит не только от их состояния в настоящий момент времени, но и от их предыстории. Кроме того, многие задачи теряют смысл, если не рассматривать зависимость решения от прошлого.

Впервые уравнения, учитывающие предысторию процесса, появились в работах И.Бернулли [144] в 1728г. Однако, до работы В.Воль-терра [195], вышедшей в 1928г., наибольшая часть результатов, полученных в предшествующие годы, касалась специальных свойств очень узких классов уравнений. В исследованиях моделей "хищник - жертва" и работах по вязкоупругости В.Вольтерра [195, 196] получил некоторые достаточно общие дифференциальные уравнения, в которые входят прошлые состояния системы. Тем не менее, эти работы игнорировались другими исследователями и поэтому не оказали существенного влияния на развитие теории таких уравнений.

Систематическое изучение этих уравнений, названных дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, началось лишь в XX веке в связи с потребностями ряда прикладных наук. В начале сороковых годов Н.Минорский [185] в работах, посвященных стабилизации курса корабля и автоматическому управлению его движением, ясно указал на важность учета запаздывания в механизме обратной связи. Интенсивному исследованию математическими методами дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом послужил выход в 1951г. монографии А.Д.Мышкиса [61], в которой он ввел общий класс уравнений с запаздывающим аргументом и заложил основы общей теории функционально-дифференциальных уравнений. В своей монографии Р.Беллман и Д.М.Данскин [143] указали на широкую применимость уравнений, содержащих информацию о прошлом, в таких областях, как биология и экономика. Они также изложили хорошо построенную теорию линейных уравнений с постоянными коэффициентами и начала теории устойчивости. Наиболее полное развитие этих идей содержится в книге Р.Беллмана и К.Кука [9]. В настоящее время усилиями математиков разных стран теория функционально-дифференциальных уравнений глубоко разработана в различных направлениях, найдены естественные постановки задач, установлена адекватная терминология. Отметим здесь фундаментальные работы Л.Э.Эльсгольца [136], Э.Пинни [74], Н.Н.Красовского [40], А.Халаная [172], В.П.Рубаника [81], Ю.А.Митропольского и Д.И.Мартынюка [59], Л.Э.Эльсгольца и С.Б.Норкина [138], Д.Хейла[100], В.Б.Колмановского и В.Р.Носова [36], Н.В.Азбелева, В.П.Максимова и Л.Ф.Рахматуллиной [1].

При изучении реальных систем с отклоняющимся аргументом в качестве исходного приближения предполагалось, что зависимость от прошлого в дифференциальном уравнении осуществляется через переменную состояния, при этом запаздывание постоянно. Уравнения данного типа получили название дифференциально-разностных уравнений. Такое рассмотрение представляет собой шаг вперед по сравнению с моделью "идеального" процесса, которая получается при отсутствии отклонения аргумента, и в ряде случаев принятое предположение хорошо отражает действительные явления.

Так при рассмотрении транспортной задачи В.Боффи и Р.Скозафава [151] пришли к уравнению = £ - Ti). о

В статье В.М.Райта [197] приводится дифференциально-разностное уравнение x(t) = -ax(t- 1)[1 + а?(*)], которое встречается при изучении распределения простых чисел. Различные варианты этого уравнения использовались В.Д.Каннингеймом [166] в качестве математических моделей в теории роста численности изолированного вида.

Описывая распространение кори в городской среде, В.П.Лондон и А.Иорк [181] рассматривали уравнение

S(t) = -ß(t)S(t)[2<y + S(t - 14) - S(t - 12) + 7], где - количество восприимчивых к инфекции индивидов в момент времени t.

Обилие приложений, которое неуклонно расширялось, стимулировало бурное развитие теории функционально-дифференциальных уравнений. В работе А.Д.Мышкиса [62], вышедшей в 1977г. и посвященной обзору проблем теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, сообщается, что только за 1976г. в РЖМ было отреферировано статей, относящихся к данной области, значительно больше, чем было опубликовано до 1950г., т.е. почти за 200 лет. Так, широкое распространение получили математические модели, основанные на функционально-дифференциальных уравнениях, при исследовании физиологических систем. Здесь время, необходимое для обработки химических компонент, может быть значительным, что приводит к временным запаздываниям. В обзоре У.Хайдена [174] приводятся математические модели на основе дифференциально-разностных уравнений, описывающие динамику физиологических систем и рассматриваются примеры, показывающие, что запаздывания могут влиять на качественное поведение биологических систем: существование или несуществование устойчивых, периодических и даже хаотических решений может напрямую зависеть от присутствия или отсутствия запаздывания соответствующей продолжительности.

Более сложные математические модели, встречающиеся в биологии и представляющие собой нелинейные дифференциально-разностные уравнения, рассматриваются в работе К.Р.Хадлера [171].

На основе специально разработанных численных методов большой объем исследований иммунологических систем, описываемых существенно нелинейными системами дифференциально-разностных уравнений, выполнен коллективом ученых под руководством академика Г.И.Марчука [52, 149, 150].

С запаздываниями приходится встречаться и в различных разделах радиоэлектроники. Здесь запаздывание обусловлено конечной скоростью движения носителей электрических зарядов и тем, что нужно определенное время для прохождения электромагнитными волнами значительных расстояний. Время запаздывания в радиоэлектронных устройствах, обычно очень мало вследствие больших скоростей распространения электромагнитных сигналов, и поэтому в низкочастотных устройствах запаздываниями сигналов в большинстве случаев можно пренебречь. В высокочастотных же устройствах время запаздывания сигналов становится уже сравнимым с периодом колебаний и пренебрегать запаздыванием уже нельзя.

Так, учитывая время запаздывания в цепи обратной связи лампового генератора, В.П.Рубаник [81] рассматривал уравнение Ван-дер-Поля ах (г) - /(ж(< - г))х(г - г) + х(г) = о.

Исследования различных радиотехнических и электронных устройств с использованием в качестве математических моделей системы функционально-дифференциальных уравнений, приводятся в работах [18, 22, 32, 116, 167, 188].

До сих пор мы рассматривали случаи, когда запаздывание входило в неизвестную функцию и (или) ее производные низшего порядка. Существует также большое количество приложений, в которых запаздывание входит и в производную неизвестной функции высшего порядка. Уравнения такого типа представляют собой функционально-дифференциальные уравнения нейтрального типа. Такие задачи возникают, например, при изучении двух или более колебательных систем с некоторыми связями между ними [81, 167]. Исследования современного быстроходного дизеля показывает, что примерно пятидесятисантиметровая всасывающая труба по отношению к времени всасывания оказывается длинной линией и для описания процесса впрыска топлива приходится привлекать в качестве математической модели функционально-дифференциальные уравнения нейтрального типа.

Отметим здесь еще одно обстоятельство. Часто оказывается, что связь между частями составной системы может быть адекватно описана системой линейных гиперболических уравнений с частными производными, причем эволюция каждой отдельной колебательной системы описывается граничными условиями. В некоторых случаях связь, описываемая дифференциальными уравнениями с частными производными, может быть заменена связями с запаздыванием. Как правило, получающиеся при этом дифференциальные уравнения имеют структура функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа.

Следуя Р.Брайтону [153], рассмотрим линию электропередач без потерь, математическая модель которой может быть описана системой уравнений с частными производными с граничными условиями

Е - г>(0, *) - Яг(0, <) = О, С^М = ¿(1> ^(1, ¿)).

Если обозначить 5 = (¿Л7)-0'5 и г = (ХС)0'5, то общее решение системы уравнений с частными производными запишется в виде = (р(х — 4- ф(х +

ИЛИ

2<р(х — = у(х, + 2ф(х + = у(х, —

Это означает, что

2 <р(-8г) = г/(1, * + -) + гг(1, t + -), 10

2Ф(зг) = г/(1, t - -) - zi(l,t - -),

S S

Подставляя эти выражения в общее решение, учитывая второе граничное условие и полагал u(t) = v(l,t), приходим к дифференциально-разностному уравнению нейтрального типа u(t)-Ku(t-~) = f(u(t),u(t--)),

S S где К = (z - R)/(z 4- R)

Рецепт перехода от линейного уравнения с частными производными и нелинейными граничными условиями к уравнению с запаздыванием, несомненно, не является единственным, и другие преобразования могут быть подходящими в некоторых случаях (см., напр. [81, 155]).

В более сложных математических моделях как запаздывающего, так и нейтрального типов запаздывание может быть переменным, т.е. f) = f(t,x(h(t)),x(g(t))), (h(t) < t, git) < 0) и это налагает дополнительные сложности при исследовании таких уравнений. Особые трудности возникают в случае, когда запаздывание t — h(t) при t —» оо не ограничено. Так обобщенная задача о пантографе [175] сводится к исследованию функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа x(t) + Cx(qt) = Ax[t) + Bx(qt), s(0) = ar0, где A,BmC — dxd комплексные матрицы, xq e Cd. Здесь при q < 1 запаздывание имеет линейную структуру. Частные случаи этого уравнения встречаются в аналитической теории чисел [183], нелинейной динамике систем [170], теории диэлектриков [186], астрономии [20] и т.д.

При математическом описании эволюции реальных процессов с кратковременными возмущениями часто длительностью возмущения удобно пренебречь и считать, что эти возмущения носят "мгновенный" характер. Такая идеализация приводит к необходимости исследовать динамические системы с разрывными траекториями или, иначе, дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Теория таких уравнений берет свое начало с работы В.Д.Мильмана и А.Д.Мышкиса [55], и дальнейшее развитие она получила в трудах А.Д.Мышкиса и А.М.Самойленко [63]. Качественная теория функционально-дифференциальных уравнений с импульсным воздействием рассматривалась в работах А.Халаная и Д.Векслера [173], А.Анохина, Л.Березанского и Е.Браверман [140, 141].

Наконец, отметим функционально-дифференциальные уравнения, имеющие сложную структуру запаздывания. Сюда относятся случаи, встречающиеся в прикладных задачах, когда отклонение аргумента зависит от искомого решения и (или) от его производной [28, 135]. Зависящие от искомого решения т.е. авторегулируемое запаздывание, может количественно и даже качественно влиять на свойства решений, например, делать неустойчивую систему устойчивой, изменять скорость стабилизации устойчивой системы, изменять свойства управляемости и т.д.

Вариантом функционально-дифференциальных уравнений со сложной структурой запаздывания служат уравнения с максимумом, где в правую часть уравнения входят выражения типа тах^ х{Ь + г) [46, 47, 142].

Итак, функционально-дифференциальные уравнения находят многочисленные приложения в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигателе, в задачах долгосрочного прогнозирования в экономике, в ряде биофизических проблем и во многих других областях науки и техники, число которых неуклонно расширяется (см.напр.[18, 22, 32, 57, 143, 148, 152, 176, 191]). Обилие приложений стимулирует бурное развитие теории функционально-дифференциальных уравнений, и в настоящее время эта теория принадлежит к числу наиболее быстро развивающихся разделов математического анализа.

выводы

Основная цель диссертации состоит, во-первых, в исследовании вопросов существования аналитических и гладких решений линейных систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов в окрестности как регулярной, так и регулярной особой точки; во-вторых, в нахождении решений и, в-третьих, в том случае, когда решения представляются в виде рядов по степеням некоторого функционального параметра указать то необходимое число членов ряда, сумма которых гарантирует на исследуемом промежутке изменения функционального параметра необходимую точность возникающего при этом приближенного решения.

На этом пути получены следующие результаты:

1. Найдены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости в классе аналитических функций задачи Коши для линейных систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с линейной структурой функционального аргумента. Результаты сформулированы в виде теорем существования и единственности.

2. Установлены необходимые и достаточные условия существования аналитических решений задачи Коши для линейных систем функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа с линейной структурой функционального аргумента. Приведены теоремы существования как пучка аналитических решений, так и единственного аналитического решения данной задачи.

3. Для линейных систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с аналитической структурой запаздывания при отсутствии начального смещения функционального аргумента изу

1 Независимая переменная рассматривается как один из возможных функциональных параметров. чена задача Коши. В виде теорем существования приводятся достаточные условия разрешимости этой задачи в классе аналитических функций.

4. Исследована задача Коши для линейных систем функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа с указанной в п.З структурой функционального аргумента. В регулярном случае в виде достаточных условий получена теорема существования единственного аналитического решения этой задачи. В сингулярном случае доказаны теоремы существования пучка аналитических решений и теоремы о выделении из пучка единственного аналитического решения.

5. Получены достаточные условия существования аналитических решений задачи Коши для линейных систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа в окрестности регулярной особой точки с указанной в п.З структурой запаздывания.

6. Рассмотрена задача Коши для линейных систем функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа в окрестности регулярной особой точки с линейной структурой запаздывания. Изучены однородная и неоднородная задача. Определены необходимые и достаточные условия и доказаны теоремы существования аналитических решений различной структуры (тривиальных, полиномиальных или в виде ряда).

7. Исследована задача об условиях существования полиномиальных квазирешений линейных систем дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа в виде полиномов Тейлора.

8. Сформулирована обратная начальная задача для линейных систем дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа. Установлены достаточные условия и доказана теорема разрешимости обратной начальной задачи.

9. Поскольку в случае разрешимости обратная начальная задача имеет бесконечное множество решений, исследованы вопросы о нахождении решений, удовлетворяющих дополнительным условиям, которые представляются в виде функционалов. В зависимости то того, в какой области определен функционал, исследованы две задачи: задача идентификации начальной функции, когда функционал задан на начальном множестве, и задача управления по начальной функции, когда функционал определен в области существования порождаемого решения.

10. Обосновано применение метода функциональных параметров для исследования приближенных решений линейных систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами. Решена задача об оценках точности приближенных решений задачи Коши для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами в пространстве функциональных параметров. Основные результаты, сформулированные в виде теорем, представлены формулами, допускающими реализацию на ЭВМ.

В диссертации наряду с разделами, проработанными достаточно подробно, имеются разделы, где исследования находятся в стадии интенсивной разработки (напр. материалы, изложенные в §§3.3-3.5). И здесь имеются много вопросов, представляющих несомненный теоретический и практический интерес и ждущих своего удовлетворительного решения в будущем.

1. Азбелев H. В., Максимов В. П. и Рахматуллина J1. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1991.

2. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ДНТВУ ОНТП, 1939.

3. Амбарцумян В.А. О флуктуациях яркости млечного пути.// Докл. АН СССР, 1944, 44. С.223-226.

4. Андреев А.Ф. Особые Точки дифференциальных уравнений. -Минск, 1979.

5. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений.- М.: Мир, 1969.

6. Бахвалов Н.С. Численные методы.- М.: Наука, 1975.

7. Бахвалов Н.С. Вычислительные методы решений обыкновенных дифференциальных уравнений.// Материалы Международной летней школы по численным методам. Киев, 1970. Вып. 2.

8. Безикович Я.С. Исчисление конечных разностей. Л.:ЛГУ, 1939.

9. Беллман Р. и Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

10. Беллман Р. Методы возмущений в приложении к нелинейной механике.// Сборник переводов. Механика. М.: ИЛ, 1957. Вып. 2 (42). -С.154-159.

11. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1. М.: Наука,1966.

12. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

13. Будак Б.М., Фомин C.B. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука,1967.

14. Булгаков Б.В., Кузовков Н.Т. О накоплении возмущений в линейных системах с переменными параметрами.// ПММ, 1950. Т.14, вып.1. С.7-13.

15. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968.

16. Валеев К.Г. О численном исследовании устойчивости движения. // Тезисы доклада на IV Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике. Киев: Наукова думка, 1976. - С.15-16.

17. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотическое разложение сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

18. Виккер Д.А. Эффект запаздывания в процессах автоматического регулирования.// Автоматика и телемеханика, 1937. Т.2, N6.

19. Габасов 3., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.

20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

21. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.

22. Герасимов С.Г. Теоретические основы автоматического регулирования тепловых процессов. М.: Госэнергоиздат, 1949.

23. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.

24. Гойса Л.Н., Мартынюк A.A. О задаче приближенных интегрирований нестационарных линейных систем.// Мат. физика. Киев, 1976. Вып.19. - С.10-18.

25. Гребенщиков Б.Г. К вопрсу об устойчивости систем с большим запаздыванием.// Устойчивость и нелинейные колебания. Изд. УрГУ, Свердловск, 1979. - С.22-33.

26. Гребенщиков Б.Г. Об устойчивости нестационарных систем с большим запаздыванием.// Устойчивость и нелинейные колебания. Изд. УрГУ, Свердловск, 1984. - С.18-29.

27. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1972.

28. Животовский JI.A. О существовании и единственности решений дифференциальных уравнений с запаздыванием, зависящим от решения и его производной.// Диф. уравн., 1969, Т.5, 5. С.880-889.

29. Животовский JI.A., Норкин С.Б. Решения с лакунами и обобщенные решения дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.// УМЖ, 1970, Т.22, 4. С.542-549.

30. Забелло JI.E., Копейкина Т.Б. Управляемость по начальной функции систем с запаздыванием. // Дифф. уравн., 1976, Т.Б, 12. С.2267-2268.

31. Зубов В.И. Вопросы теории второго метода Ляпунова, построение общего решения в области асимптотической устойчивости.// ПММ, 1955. С.179-210.

32. Ицкович Э.Л. Синтез схемы автоматического регулирования вращающейся цементообжигательной печи. М.: Приборостроение, 1959. N10.

33. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.

34. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л.: Физматгиз, 1962.

35. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

36. Колмановский В.В.,Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

37. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.:Наука, 1973.

38. Корнейчук A.A. Оценки решений линейных разностных и дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.// ЖВММФ, 1965. Т.5, N4. С.768-773.

39. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

40. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

41. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. -Киев: Изд-во АН УССР, 1937.

42. Кублановская В.Н. Применение аналитического продолжения посредством замены переменных в численном анализе.// Труды математического института им. В.А.Стеклова. М.: Изд-во АН СССР, 1966.-С.145-185.

43. Кузнецов Н.Г., Орлов Ю.Ф., Черепенников В.Б., Шлаустас Р.Ю. Регулярные асимптотические алгоритмы в механике. Новосибирск: Наука, 1989 (в соавторстве, авторские 75с.).

44. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. M.-JL: ГТТИ, 1950.

45. Максимов В.П., Румянцев А.Н. Конструктивные методы в теории функционально-дифференциальных уравнений и их компьютерная реализация.// Функционально-дифференц. уравнения. Пермь, 1990. -С.79-92.

46. Магомедов А.Р. Теорема существования и единственности решений линейных дифференциальных уравнений с "максимумом". // Изв. АН Азер. ССР, 1979, 5. С.116-118.

47. Магомедов А.Р., Набиев Г.М. О некоторых вопросах устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с "максимумом".// Докл. АН Азер. ССР, 1986, Т.42, 2. С.3-6.

48. Мартынюк A.A. Техническая устойчивость в динамике. Киев: Техника, 1973.

49. Мартинюк A.A. Про одну реализащю швидкозб1жного 1терацшого процесу розв'язку дифференщальних р1внянь та деяю застосування.// УМЖ. Киев, 1970. Т.22, N6. - С.734-748.

50. Мартынюк A.A. Об устойчивости движений, определяемых параметрическим разложением.// Докл. АН УССР, 1971. N11. С.91-96.

51. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

52. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. М.: Наука, 1985.

53. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Вышейшая школа, 1974.

54. Милн В.Э. Численные решения дифференциальных уравнений. -М.: ИЛ, 1955.

55. Мильман В.Д., Мышкис А.Д. Об устойчивости движений в присутствии импульсов. // Сиб. мат. журнал, 1960, N1. С.233-237.

56. Миролюбов A.A., Солдатов М.А. Линейные однородные разностные уравнения. М.: Наука, 1981.

57. Миронов В.Д., Стефани Е.Д. Автоматические электронные регуляторы тепловых процессов. М.: Госэнергоиздат, 1956.

58. Митропольский Ю.А. Методы усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971.

59. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Лекции по теории колебаний с запаздыванием. Киев: Наукова думка, 1969.

60. Муровцев А.Н. Аналитические решения дифференциально-функциональных уравнений.//Укр. мат. журн., 1990, Т.42, 8. С.1068-1077.

61. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.-Л.: Гостехиздат, 1951.

62. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.// Успехи математич. наук. -1977. Т.32, вып.2. С.173-202.

63. Мышкис А.Д., Самойленко A.M. Системы с импульсами в фиксированные моменты времени. // Мат. Сб., 1967, Т.74. С.202-208.

64. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений.- M.-JL, 1949.

65. Нещерет В.И. Решение нелинейных операторных уравнений в пространстве малого времени.// Прикладная математика. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1971. Вып.З. - С.151-167.

66. Нещерет В.И., Кычаков В.П., Митюков В.И. Решение задачи Коши для электроэнергетической системы методом функциональных параметров./ / Асимптотические методы в теории систем. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1974. Вып.6. - С.109-116.

67. Островский A.M. Решение уравнений и систем уравнений. М.: Мир, 1963.

68. Панченков А.Н. Задача Коши в пространстве малого времени.// Тр. ИПИ. Иркутск, 1969. Вып.52. - С.233-239.

69. Панченков А.Н. Метод пространства малого времени в теории нестационарных процессов.// Асимптотические методы в теории нестационарных процессов. М.: Наука, 1971.

70. Панченков А.Н. Основы теории предельной корректности. М.: Наука, 1976.

71. Пелюх Г.П. О голоморфных решениях нелинейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа.// Дифференциально-разностные уравнения. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1971. -С.121-124.

72. Пелюх Г.П., Шарковский Ф.М. Введение в теорию функциональных уравнений. Киев: Наукова думка, 1974.

73. Персидский К.П. К устойчивости движений.// Мат. сб., 1935. Т.42, вып.1. С.37-41.

74. Пинни, Э., Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. Изд. Иностр. л-ра, Москва, 1961.

75. Полищук В.М., Шарковский А.Н. Представление решений линейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа. // Дифференциальные уравнения, 1973. Т.9, N9. С.1627-1645.

76. Полшцук В.М. Представление решений систем линейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа. // Дифференциальные уравнения, 1974. Т.10, N8.-C.1423-1429.

77. Понтрягин J1.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1970.

78. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.: Гостехиздат, 1947.

79. Родионов В.И. Аналитическое решение линейного функционально-дифференциального уравнения с линейным отклонением аргумента.// Дифференциальные уравнения, 1989. Т.25, N4. С.616-626.

80. Рождественский Б.Л. Метод Пикара как метод численного решения задач математической физики.// Численные методы механики сплошной среды. — Новосибирск: Наука, 1974.Т.5, N2. - С.96-107.

81. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969.

82. Рудых Г.А. О сходимости метода пространства малого времени для обобщенного уравнения Лиувилля.// Асимптотические методы в теории систем. Иркутск: СЭИ СО АН СССР,1980. Вып.13. - С.198-202.

83. Рыжик И.М., Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.

84. Серикбаев Ш.С. Оценка точности приближенного решения линейной системы дифференциальных уравнений.// Труды ун-та Дружбы народов им. П.Лумумбы. М., 1972. Вып.11. - С.62-66.

85. Сидоров H.A. Задача Коши для одного класса дифференциальных уравнений.// Дифференциальные уравнения, 1972. Т.8, N8. С.1521-1524.

86. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1974. Т.1.

87. Тауфер И. Решение граничных задач для систем линейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1981.

88. Ткаченко Н.В. Оценка решений неоднородных систем с полиномиальными коэффициентами.// Вычислительная и прикладная математика. Киев, 1972. Вып.16. - С.104-109.

89. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М-Л.: ГК ФМЛ, 1963.

90. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983.

91. Филатов А.Н. О некоторых классах операторных рядов и их приложениях./ / Вопросы вычислительной математики и техники. Ташкент: ФАН, 1967.

92. Фильчаков П.Ф. Про розв'язання систем нелшшних дифференщаль-нихр1внянь за допомогою степеневих ряд1в.// Докл. АН УССР, 1967. N9, сер.А. С.794-800.

93. Фильчаков П.Ф. Про розв'язок одного класу задач на власш значения.// Докл. АН УССР, 1971. N7, сер.А. С.608-612.

94. Фихтенгольц С.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1966. Т.2.

95. Хазанкина Н.П. Оценки необходимого количества членов ряда при решении систем дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами./ / Математические методы в специализированной вычислительной технике. Киев, 1969. Вып.2. - С.85-89.

96. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970.

97. Хаусхолдер A.C. Основы численного анализа. М.: ИЛ, 1956.

98. Хейл В. Теория функционально-дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1984.

99. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1972.

100. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. М.-Л., 1932.

101. Чернецкая Л.Н. Мажорантные оценки приближенного интегрирования неоднородных линейных систем с переменными коэффициентами.// Мат.физика. Киев, 1980. Вып.28. - С.40-45.

102. Черепенников В.Б., Борисюк М.Н. Об оценках решений линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменной матрицей.// Мат. физика. Киев, 1979. Вып.26. - С.79-87.

103. Черепенников В.Б., Борисюк М.Н. Приближенное интегрирование нестационарных систем дифференциальных уравнений методом функциональных параметров.// Асимптотические методы в динамике систем. Новосибирск: Наука, 1980. - С. 171-180.

104. Черепенников В.Б. Метод функциональных параметров в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.// Дис. . канд. физ.-мат. наук, Ленинград, 1981.

105. Черепенников В.Б. Об оценках точности приближенных решений для нестационарных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.// Методы возмущений в механике. Новосибирск: Наука, 1982. - С.84-93.

106. Черепенников В.Б. Оценки точности приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений на основе метода функциональных параметров.// Мат.физика. Киев,1983. Вып.34. - С.45-51.

107. Черепенников В.Б., Борисюк М.Н. Приближенное интегрированиенестационарных линейных систем дифференциальных уравнений методом функциональных параметров.// Асимптотические методы в механике. Новосибирск: Наука, 1983. - С.165-175.

108. Черепенников В.Б. Метод функциональных параметров в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1983.

109. Черепенников В.Б. Приближенное интегрирование линейных систем дифференциальных уравнений в пространстве малого времени.// Некорректные задачи теории возмущений. Новосибирск: Наука, 1984.-С.199-214.

110. Черепенников В. Б. Исследование решений одного класса дифференциально- функциональных уравнений.// Асимптотические методы в динамике систем. Иркутск: ВСФ СО АН СССР, 1985. - С.38-44.

111. Черепенников В.Б. Об одном методе интегрирования линейных систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами./ / Асимптотические методы. Прикладные задачи механики. Новосибирск: Наука, 1986. - С.153-170.

112. Черепенников В.Б. Аналитические решения одного класса дифференциально-функциональных уравнений. // Математическая физика. -Ленинград: Изд. Ленинградского госпединститута, 1987. С.74-77.

113. Черепенников В.Б. Аналитические решения некоторых систем функционально-дифференциальных уравнений.// Дифференциальные уравнения с частными производными. Ленинград: Изд. Ленинградского госпединститута, 1987. - С.17-21.

114. Черепенников В.Б. Метод функциональных параметров в теории интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.// Асимптотические методы. Задачи и модели механики. Новосибирск: Наука, 1987. - С.63-94.

115. Черепенников В.Б. Метод функциональных параметров в теориидифференциальных уравнений.// Труды XI Междунар. конф. по нелинейным колебаниям. Будапешт. Венгрия. 1987. - С.17-23.

116. Черепенников В.Б. Приближенное интегрирование одного класса функционально-дифференциальных уравнений.// Асимптотические методы. Задачи механики. Новосибирск: Наука,1988. - С. 176-183.

117. Черепенников В.Б. Приближенное интегрирование линейных систем функционально-дифференциальных уравнений в пространстве функциональных параметров.// Асимптотические методы в теории систем. Иркутск: ИНЦ СО АН СССР, 1989. - С.85-88.

118. Черепенников В.Б. Об аналитических решениях некоторых систем функционально-дифференциальных уравнений.// Дифференц. уравнения, 1990, Т.26, N6. С.1094-1095.

119. Черепенников В.Б. Аналитические решения линейных систем функционально-дифференциальных уравнений.// Тезисы докл. I Международного коллоквиума по дифференциальным уравнениям. Пловдив. Болгария, 1990. - С.5.

120. Черепенников В.Б. Аналитические решения некоторых систем функционально- дифференциальных уравнений. Тезисы докл. II Международного коллоквиума по дифференциальным уравнениям. Пловдив. Болгария. 1991. - С.61.

121. Черепенников В.Б. Оценки точности приближенных решений некоторых линейных систем дифференциальных уравнений.// Тезисы докл. III Международного коллоквиума по дифференциальным уравнениям. -Пловдив. Болгария, 1992.- С.ЗО.

122. Черепенников В.Б. Разрешимость некоторых линейных систем функционально-дифференциальных уравнений в классе аналитических функций.// Тезисы докл. III Международного коллоквиума по дифференциальным уравнениям. Пловдив. Болгария, 1992. - С.31.

123. Черепенников В.Б. Аналитические решения задачи Коши для некоторых линейных систем функционально -дифференциальных уравнений нейтрального типа.// Изв. вузов. Математика, 1994, N6. С.90-98.

124. Черепенников В.Б. Аналитические решения некоторых линейных систем функционально-дифференциальных уравнений в окрестности регулярной особой точки.// Дифференц. уравнения, 1994, Т.30, N12. -С.2191-2193.

125. Черепенников В.Б. Сингулярные аналитические решения некоторых линейных систем функционально-дифференциальных уравнений в окрестности регулярной особой точки.// Сиб. мат. журнал, 1996, Т.37, N1. С.197-210.

126. Черепенников В.Б. О разрешимости в классе аналитических функций некоторых линейных систем функционально-дифференциальных уравнений в окрестности регулярной особой точки.// Изв. вузов. Математика, 1996, N5. С.81-87.

127. Черепенников В.Б., Антошкина Г.И. Полиномиальные квазирешения линейных систем дифференциально-разностных уравнений. Препринт. Иркутский вычислительный центр СО РАН, Иркутск, 1996.

128. Черепенников В.Б. О разрешимости некоторых линейных систем ФДУ нейтрального типа в классе аналитических функций // Сиб. ма-тем. журнал. Деп. ВИНИТИ. N2289-697, 1997.

129. Черепенников В.Б., Антошкина Г.И. Обратная начальная задача для линейных систем дифференциально-разностных уравнений. Препринт. Иркутский вычислительный центр СО РАН, Иркутск. 1997.

130. Черепенников В.Б. Полиномиальные квазирешения линейных систем дифференциально-разностных уравнений.// Изв. вузов. Математика, 1999, N10.

131. Черепенников В.Б., Антошкина Г.И. Вариационная обратная начальная задача для линейных систем дифференциально-разностных уравнений.// Тезисы доклада на Международном Третьем Сибирском

132. Конгрессе по прикладной и индустриальной математике. Новосибирск, 1998. - С.153.

133. Четаев Н.Г. К вопросу об оценках приближенных интегрирований.// ПММ, 1957. Т.21, вып.З. С.419-423.

134. Шура-Бура М.Р. Оценки ошибок численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.// ПММ, 1952. Т.14, вып. 5. -С.575-588.

135. Эльсгольц Л.Э. Качественные методы в математическом анализе. М.: ГТТИ, 1955.

136. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.

137. Эльсгольц Л.Э.,Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

138. Янушаускас А.И. Двойные ряды. Новосибирск: Наука, 1980.

139. Anokhin A., Berezansky L., Braverman Е. Stability of linear delay impulsive differential equations. // Dynam. Sys. and Appl., 1995, V.4. -P.173-188.

140. Bellman R. and Danskin J.M. A survey of the mathematical theory of time lag, retarded control, and hereditary processes. The Rand Corporation, R-256, 1954.

141. Bernoulli J. Meditationes. Dechordis vibrantibis. . // Commentarii Academiae Sceintiarum Imperialis Petropolitanae. Collected Work, 1728, 3, V3. P.198.

142. Bierman G.J. Finite Series Solution for Transition Matrix and the Covariance of a Time-Invariant System.// IEEE Trans. AC-16, 1971. N2.1. P. 173-183.

143. Bierman G.J. Power Series Evaluation of Transition and Covariance Matrices.// IEEE Trans. AC-17, 1972. N2. P.228-234.

144. Bierman G.J. Weighted least Squares Stationary Approximation of linear Systems.// IEEE Trans. AC-17, 1972. N2. P.234-236.

145. Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the solution of certain differential equations containing a parameter.// Trans. Amer. Math. Soc., 1908. V.9. P.219-231, 373-395.

146. Bocharov G.A., Romanyukha A.A. Mathematical Model of Antiviral Immune-Response-III Influenza-A Virus-Infection.// J. Theor. Biol., 1994, 167. - P.323-360.

147. Bocharov G.A., Marchuk G.I., Romanyukha A.A. Numerical solution by LMMs stiff delay systems modelling on immune response.// Numer.Math., 1996, 73. P.131-148.

148. Boffi V. and Scozzafava R. Sull'equazione funzionale lineare f'(x) = -A(x)f(x 1).// Rend. Math. Appl.,1966, (5), 25. - P.402-410.

149. Brand L. Differential and difference equations. N.Y.: J.Wiley and Sons, 1966.

150. Brayton R. Nonlinear oscillations in a distributed network.// Quart. Appl. Math., 1976, 24. P.289-301.

151. Carr J., Dyson J. The Matrix Functional-Differential Equation yf(x) = Ay (Ax) + By(x).// Proc. Royal Soc. Edinburg 75A, 1976. P.5-22.

152. Cooke K.L., Krumme F. Differential difference equations and nonlinear initial-boundary-value problem for linear hyperbolic partial differential equations.// J. Math. Anal. Appl., 1968, 24. P.372-387.

153. Cherepennikov V.B. Analytical solutions of some linear systems of functional differential equations.// IV International Conference Lavrentyev Readings on Mathematics, Mechanics and Physics. Abstracts. Kazan, 1995. - P.56.

154. Cherepennikov V.B. Analytic solutions of some linear systems of functional differential equations of neutral type.// J. Functional Differential Equations. Israel, 1995, V.3, N1-2. - P.69-82.

155. Cherepennikov V.B. Analytic solutions of some functional differential equations linear systems.// Nonlin. Anal., Theor., Meth. & Appl., 1997, V.30, N5. P.2641-2651.

156. Cherepennikov V.B. Analytic solutions of functional differential equations linear systems. Abstracts of the International Conference "EQUADIFF-8". Brno, Czech, 1997. - P.26.

157. Cherepennikov V.B. Analytical solutions of certain linear systems of functional differential equations of neutral type in the neighborhood of a regular singular point. //J. Functional Differential Equations. Israel, 1998, V.5, N1-2. - P.107-119.

158. Cherepennikov V.B., Antoshkina G.I. Variation inverse initial value problen for differential difference equations linear systems.// Abstracts of the International Conference "Functional Differential Equations". - Ariel,1.rael, 1998. P.13.

159. Cherepennikov V.B. Controllability on the initial function of differential-difference equations linear systems.// Abstracts of the Fifth International Conference Mathematical Population Dynamics. Zakopane, Poland, 1998.- P.58.

160. Cunninghem W. A non-linear differential-difference equation of growth. // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1954. V.40 (8). P.709-713.

161. Driver R.D. A functional-differential system of neutral type arising in a two-body problem of classical electrodynamics.// Int. Simp. Nonlinear Differ. Equations and Non-linear Mech., Acad. Press, 1963. P.474-484.

162. Flamant P. Sur une equation differentielle fonctionelle lineaire.// Rend. Circ. Mat. Palermo, 1924. V.48. - P.135-208.

163. Fowler R., Lock W. On the behavior of the solutions of a differential equations.// Proc. Ld. Math. Soc., 1921. V.20, N2. P.127-147.

164. Gerfel G.A. Kato problem for functional-differential equations and difference Schródinger operators.// Operator Theory: Advances and Appl., 1990, 46. P.319-321.

165. Hadler K.P. Delay equation in Biology.// Lecture Notes in Mathematics, 1979, 730. P.136-156.

166. Halanay A. Differential equations: stability, oscillations, time lags. Acad. Press, 1966.

167. A.Halanay, D.Wexler. Qualitative theory of impulsive systems. Ed. Acad. RSR, Bucuresti, 1968.

168. Heiden U. Delays in Physiological Systems.// J. Wath. Biol., 1979, 8.- P.345-364.

169. Isereles A. On the generalized pantograph functional-differential equation.// Euro. J. Appl. Math, 1993, V.4. P.l-37.

170. Izumi S. On the theory of the linear functional differential equations. Tohoku Math.,J, 1929, N30. P.10-18.

171. Kato T., McLeod J.B. The functional-differential equation y(x) = ay(lx) + by(x).// Bul.Amer.Math.Soc., 1971, V77, N6.- P.891-937.

172. Kalecky M. Theory of economic dynamics. Georg. Allen Unvin Ltd, London, 1954.

173. Leau B. Sur les equations fonctionelles.// C.R. Acad. Sc. Paris, 1894, 119. P.901-902.

174. Lim E.-B. Asymptotic behaviuor of solutions of the functional differential equation x(t) = Ax(lt) + Bx(t),l > 0.// J. Math Anal. Appl. 55, 1976, 55. P.794-806.

175. London W.P. and York A. Recurrent epidemics of measles, chickenpox, and mumps I: Seasonal variation in contact rates.// Amer. J. Epid., 1973, 98. 453-468.

176. Lupas L. Power series solution of the matrix linear differential equation.// Rev. roum. teshn. Ser. electrotechn. et energ., 1974. V.19, N1. P.137-152.

177. Mahler K. On a special functional equation.// J. London Math. Soc.,1940, 15, MR 2. P.115-123.

178. Marchuk G.I., Romanyukha A.A., Bocharov G.A. Mathematical model of thé antiviral immune response. Parameters identification for acute viral hepatitis.// J. Theor. Biol., 1991, 151. P.41-70.

179. Milne-Thomson L.M. The calculus of finite differences. L.: Macmillan, 1951.

180. Minorsky N. Self-excited oscillations in dynamical systems possessing retarded actions.// J. Appl. Mech., 1942, 9. P.65-71.

181. Neuman J., Goldstain H. Numerical Inverting of Matrices of High Order.// Bull. Amer. Math. Soc., 1953. P.1021-1099.

182. Ockendon J.R., Tayler A.B. The dynamics of current collection system for an electric locomotive.// J. Inst. Math. Appl., 1971, 8. P.271-307.

183. Pandolfi L. Some Observation on the Asymptotic Behaviour of the

184. Solutions of the equation x — A(t)x(lt) + B(t)x(t),l > 0. // J. Math. Anal. Appl., 1979, 67. P.483-489.

185. Robinson L.V. On the Equation of Izumi Having a Singular Solution Holomorphic Exept at the Origin and Lacunary General Solution. Tohoku Math.,J, 1937, N43. P.310-313.

186. Roston S. Mathematical formulation of cardiovascalar dynamics by use of the Laplace transformation.// Bullet. Math. Biophysics, 1959. V.21, pap.l.

187. Schlesinger L. Handbuch der Theorie der linearen Differentailglei-chung.- Bd 1. Leipzig und Berlin, 1895.

188. Szekeres G. Regular iteration of real and complex functions.// Acta Math., 1958. V.100.- P.203-258.

189. Vogl F. Uber ein System linearer Functional-Diiferentialgleichungen.// Z. Angew Math, und Mech., 1980, V.60, 1. P.7-17.

190. Volterra V. Sur la theorie mathematique des phenomenes hereditates. // J. Math. Pures Appl., 1928, 7. P.249-298.

191. Volterra V. Theorie Mathematique de la Lutte pour la Vie. Gauthier-Villars, Paris, 1931.

192. Wright E.M. A functional equation in the heuristic theory of primes.// the Mathematical Gazette, 1961, 45. P.66-87.