Качественные свойства решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01 01 02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи УДК 517 9

Асташова Ирина Викторовна

МОСКВА 2008

003 17

003171730

Работа выполнена, на кафедре высшей математики Московского государственного университета экономики, статисаики и информатики (МЭСИ)

Официальные оппоненты — академик HAH Грузии,

доктор фичико-матемагических наук, профессор Кигурадзе Иван Тариелович,

доктор физико-математических наук, профессор Розов Николаи Христович,

доктор физико-математических наук, профессор Хромов Август Петрович

Ведущая организация — Математический институт

им В А Стеклова РАН

Защита состоится 27 нюня 2008 г в 16 час 40 мин на заседании диссертационного совета Д 501 001 85 в Московском государственном университет им М В Ломоносова по адресу 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ им М В Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 16-24

С дис< ертациеи можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 эгаж)

Автореферат разослан 23 мая 2008 г

УчЛныи секретарь диссертационного совета Д 501 001 85 в МГУ доктор фнзико-маюматических наук, профессор

И Н Сергеев

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена изучению качественных свойств решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка

Изучаются следующие дифференциальные уравнения

п-1

у^ + Е^^+^ЛУГ'У-о, (1)

1-0

у^(х)=р(х,у(т),у'(х), ,у(п-1Чх))\у(х)\к-1у(х), (2)

у{п) = рМх)\к~1у{х), (3)

У(п) +р{х)\у\к~1У = Ъ, (4)

! (*<*>! МО) )"1У|1'0 (6)

и неравенства

п-1

¡Л>+ £>,(*) л \у\к, (8)

)=о

п-1

У(п)+£>,(*) -р. (9)

;=0 п-1

у(") + -£сЪ(х)УЬ)>-р. \у\\ (10)

1—0 п-1

г/(»)ч £>,(*) (11)

Актуальность темы. Уравнения (1) - (G) являются обобщениями хорошо известного уравнения Эмлена - Фаупера

коюрое впервые появилось в работе Р Эмдена1 в начале XX века в связи с и?учением почитрошгои (степенной) модели газа, коюрая, в частности, описывает равновесные конфигурации звезд, подчиняющиеся иочшроп-ному уравнению состояния 2 При этом равнение (12) получалось заменой переменных из уравнения

в котором переменная £ обозначает величину, пропорциональную расстоянию от центра звезды, а функция (9(£))к — величину, пропорциональную пло 1 носа и звезды

Подобные уравнения встречакпся также в теории физики плазмы, газовой динамике и при описании поперечников Колмогорова

Асимптотические свойства решений уравнения (12) при различных значениях а и к подробно изучены в монографиях Р Беллмана3, Дж Сан-соне4 и Ф Хартмана5 В эти монографиях описываются также асимптотические свойства решении уравнения (4) при п — 2

Для уравнений вида (4) при п > 2 и (2) вопросы продолжаемости и непродолжаемос I и решении, вопросы, связанные с их колеблемостью и неколоблемостью, оценки продолжаемых и непродолжаемых решений изучались в работах И Т Кигурадзе и Т А Чантурия6, В А Кондратьева и В С. Самовопа7, Н А Изобова8, В А Рабцевича4, В А Коз-

Emden Gaskugeln Leipzig, 1907

2Я В Зельдович, С И Блинников, IIИ Шакура Физические основы с гроепия и эво люипи звезд Москва, МГУ, 1481

3 Беялман Р Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений М Иностранная лиюратура 1954

4 Сапсоне Лж Обыкновенные дифференциальные уравнения, i 2 М Иностран-

ная лшература 1954

&ХартманФ Обыкновенные дифференциальные уравнения М Мир 1970 6 Кигурадзе И Т, Чантурия Т А Асимпгошческие свойства решении неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений М Наука, 1990,432 с

7Кондратьев В А , Самовол В С О некоторых асимптотических свойствах решении уравнений тина Эмдена - Фаулсра -- Дифференц уравнения, 1981, г 17, №4,

ьШаобоч НА Об уравнениях Эмдена - Фаулера с неограниченными бесконечно продолжимыми решепиями — Мат заметки, 1984, т 35, JVis 2, с 189-199

9Изобов II А , Рабцевич В Л О неулучшаемости условия И Т Кигурадзе -Г Г Квияикагур существования неограниченных правильных решений уравнения Эмдепа-Фаулера — Дифф уравнения, 1987, т 23, N° 11, с 1872-1881

у" t- т" Лу — 0,

(12)

(13)

с 749-750

лова10, А Л Конькова11'12, А Д Мышкиса13идр Результаты, полученные до 1990 года, и подробная библиография содержатся в монографии И Т. Кпгурадзе и Т А Чаитурия14 В эюц работе описано гаюке асимптотическое поведение всех возможных решений эгого уравнения при 11 = 2 В частности, И Т Кигурэдзе доказано, что для уравнения (2) существует решение ( любой наперед заданной вертикальной асимптотой, а при л — 1 доказано, что все решения с вер шкальной агимшотои имеют степенную асимптотику В топ же работе была выдвинута гипотеза (задача 16 4) доказать, что при п > 2 все решения с вертикальной асимптотой имеют степенную асимптотику

Полная асимптотическая классификация решений уравнения (4) при п — 2 н р(т) < 0 была получена В А Кондратьевым и В А Никишкп-ным15

Следует отметить также монографию А Д Врюно1®, в которой разработаны алгоритмы локального н асимптотического анализа решений дифферепциа оьных уравнений

В качественной теории дифференциальных уравнений наряду с задачами об описании асимптотического поведения решений данного уравнения преде гавляют интерес задачи об оценках решении Так, в работе В А Кондратьева17 получены интегральные оценки решений полулинейных 'эллиптических уравнении В работе Г Г Квпиикадзе и И Т Кшурадзе18 приводятся оценки решений уравнения (4), обладающих некоторыми общими своиствами, например, решении, имеющих

10Kozlov V A OiiKiie^ei solutions of higher ordei nonlmeai ordinary differential equation — Ark Mat , 1499, v 37 , № 2, p 305-322

11 Конь ко о А А О решениях неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений —Известия РАН, сер Математика, 2001, т 65, № 2, с 8Í-J2G

12 Коньков А А Поведение решений квазилинейных эллиптических неравенств — Современная матемашка Фундаментальные направ ютия, 2004, г 7, с 3-158

13Мыш\ис А Л Пример непродолжимого на всю оеь решения дифференциального уравнения второго порядка колебательного типа — Дпф уравнения I960, т 5, №12, с 2267- 2268

14 И Т Кигурадэе, Т А Чаитурия, Асимшотичесхие евоисгва решении неавто-

номных обыкновенных дифференциальных уравнений М Наука, 1900, с

16Кондратьев В А , Яикишмт В А О положительных решениях уравнения у" -- р{х)ук В сб «Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением», Саранск, 1980, с 134-141

\вБрюно А Д Стеленная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях М Наука Физматлит, 1998, 288 с

17Кондратьев BAO качественных cboik гвах решений полулинейных эллиптических уравнений — Труды семинара им И Г Петровекого, 1491, т 16, с 186-100

18 КвиникасЬе Г Г, Кигурадзе И Т О быстро рас 1>щпх решениях нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений — Сообщ АН ГССР, 1982, т 106, N°. Л, с 465-468

вертикальную асимпюту

Получение оценок решений с общей областью определения интересно не только с точки зрения получения качественных характеристик решения, но и в связи с гем, чго они дают возможность доказать отсутствие глобально определенных нетривиальных решении В монографии Э Митидиери, С И Похожаева19 получены, в частности, условия отсутствия глобальных решении дифференциального неравенства 2/(п) > Чо\у\к i к > 1, д0 •= const

Дж Хей20 доказал аналогичный результат для неравенства г/-"' > qi(t)\y\kl + q2{t)\y\h ■ ■ f<Jm(<)Mim А А Коньков21 получил априорные оценки решений уравнения (4) с нелинейностью более общего вида

Проблема существования неколеблющихся решений и колеблемости всех решении дифференциального уравнения - одна из важных проблем качественной теории дифференциальных уравнений Она была подробно изучена для уравнения (1) в случае q} (х) = 0, у — 0, , п — 1 Для п = 2 Р Atkinson22 доказал следующий критерий колеблемости всех решении Теорема (F. Atkinson). Пусть f(x) непрерывная и положительная при х 0 функция Пусть к —• целое число, большее 1 Тогда все решения уравнения

У" + f(r)yu~l - О являются колеблющимися тогда и юлько тогда, когда

оо

J xf(x) dx - оо

о

Заметим, "что в линейном случае последнее условие является необходимым, но не достаточным Свойства колеблемости решении линейных

19 Mumuduepu Э, Потожаев С. И Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнения и переведет в частых производных — Труды МИЛИ им В А Стскиова, 2001, i 234, 383 с

20 Хей Дж О необходимых условиях существования глобальных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных неравенств высокого порядка — Дифференц уравнения,2002, г 38, № 3, с 362-368

п Коньков А А О решениях неавюномных обыкновенных дифференциальных уравнений — Известия РАН, сер Математика, 2001, т 6"), Ns 2, с 81—126

32Atkinson F V On second oidor nonlinear o&cilUtionb — Pacif J Math, 1955, v 5, JV« 1, p 644-647

уравнений исследовались в работах Т А Чантурия2'24,Л, В А Кондратьева26'27, D L Lovelady28'24, и И Т Кигурадзе и Т А Чанаурия30, где содержится подробная библиография вопроса

Для нелинейных уравнений второго порядка более общего вида

у" \ p{x)f{y) = Q и у" ь 9(1, у) - О,

■теоремы, подобные аеореме F Atkinson, были получены в рабогах S A Belohorec", И Т Кигурадзе32, J W Masci and J S W Wong53'"14'35 Для нелинейных уравнений 3-го и 4-го порядка вопросы колеблемости исследовали В А Кондратьев и В С Самовол36, Т Киьано и М Naito'iT,

23 Чантурия Т А Интральные признаки колеблемости решений линейных дифференциальных уравнении высших порядков —Лифференц уравнения, 1980, i 16, № 3, с 470-482 и № 4, с 635-64-1

24 Чантурия ТА О колеблемости решений линеипых дифференциальных уравнений высших порядков — Докл семинара Ин-та прикл маг им И Н ВекуаТбилис гос ун-та, 1982, т 16, с 3-72

25 Чантурия ТА О колеблемости решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения общего вида — Диффсрепц уравнения, 1986, i 22, N° 11, с 1905-1915

26 Кондратьев В А О колеблемости решений линейных уравнений третьего и чегвергого порядка — Труды ММО, 1959, т 8, с 259-281

27Кондратьев В А О колеблемости решений уравпения уМ _ р(г)у = 0 — Труды ММО, 1961, г 10, с 419-436

2iLovelady D L On the oscillatory behavioi of bounded solutions of higher order diT-feiential equations — J Diff Equations, 1975, v 19, N° 1, p 167-175

29Lovelady D L An asymptotic analysis of an odd order lineai diffeiential equation — Pauf J Math , 1975, v 57, № 2, p 475-480

30Кигурадзе И T, Чантурия Т А Асимптотические свойства решеппй неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений М Наука, 1940, 432 с , гл I

31 Belohorec S A criterion for oscillation and nonosoillation — Acta F R N Uruv Comen Math , 1969, v 20, p 75-79

32 Кигурадзе И T Об условиях колеблемости решений уравнения и" f a(i}|u|" sgnu = 0 — Саь pest mat , 1962, v 87 , N> 4, p 492-495

31 Masci J W, Wong J S W Oscillation of solutions to second-order nonlinear differential equations — Pacit J Math , 1968, v 24 , N2 1, p XI1-117

34 Wong J S W A note ou second order nonlinear oscillation — SIAM Review, 1968,

v 10, p 88-91

36 Wong J S W On second-ordei nonlinear oscillation — Funkcialaj Ekvauoj, 1968, v 11, p 207-234

36 Кондратьев В A , Самовол ВС О некоторых асимптотических свойствах решений уравнений типа Омдена-Фа>лера —Лифференц уравнения, 1981, т 17, №4, с 749-750

37Kxisano Т, Naito М Nonlinear oscillation of fouith-order diffeiential equations — Oanad J Math , 1976, v 28, № 4, p 840-852

D L Lovelady48. V R Taylor, Jr 39, P Waltman40

Результат F Atkinson был обобщен на уравнения высокого порядка

У{п) = О

И Т Кигурадзе41 и Т А Чантурия42

Уравнения вида (1) с некоторыми из коэффициентов q} (х) /= 0 были изучены также в других работах43'44,45,4Г>'47'48'49, при этом некоторые из э 1 их работ содержали иелинеиности более общего вида

Цель работы И основные задачи. Основной целью исследования является изучение качественных свойств решений дифференциальных уравнений и неравенств (1) - (11), в частности, получение для квазилинейного уравнения равномерных оценок положительных решений с общей областью определения, зависящих от оценок коэффициентов уравнения и не зависящих от самих коэффициентов, доказательство критерия колеблемости всех решений чт ого уравнения, получение результатов о равномерных оценках модулей решений для квазилинейных дифференциальных неравенств, изучение асимптотического поведения решений с вертикальной асимптотой для нелинейных уравнении

33Lovelady D I, An oscillation criterion for a fourth-order integrally buperlinear differential equation — Atti Accad Naz Lmcei Rend CI Sci Fis Mat Natur 1975, (8) 58, № 4, p 531-536

30 Taylor W E, Jr Oscillation criteria for ccrtain nonlinear fourth order equations — lnternat J Math , 1983, v 6, № 3, p 551-557

40 Waltman P Oscillation criteria for third order nonlinear differential equations — Pacif J Math, 1966, v 18, p 385-389

41 Ки?урадзе ИТ О колеблемости решений уравнения d'nu/dtm-l a(t)|u|"bgnu = О

— Мат сб , 19G4, т 05 , № 2, с 172-187

42Кигурадзе И Т, Чантурия Т А Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнении М Наука, 1990, 432 с , гл IV

43Kartsatos A G N th order oscillations with middle terms of oider N -2 — Pacific J Math , 1976, v 67, № 2, p 477-488

44 Кигурадзе И T Критерий колеблемости для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений — Дифф уравнения, 1992, т 28, № 2, с 207-219

ibKusano Т, Naito М Nonlinear oscillation of fouTth-order differential equations — Canad J Math , 1976, v 28, № 4, p 840-852

46Lovelady D L On the oscillatoiy behavior of bounded solutions of higher order differential equations — J Diff Equations, 1975, v 19, № 1, p 167-175

47Lovelady D L An oscillation criterion for a fourth-order integrally superlmear differential equation — Atti Accad Naz Lincei Rend CI Sci Fis Mat Natur, 1975, (8) 58, №4, p 531-536

48 Taylor W E, Jr Oscillation criteria for certain nonlinear fourth order equations

— lnternat J Math , 1983, v С, Ka 3, p 551-557

49 Waltman P Oscillation criteria for third order nonlinear differential equations — Pacif J Math, 1966, v 18, p 385-389

произвольного порядка, для уравнений третьего и четвертого порядка без младших производных описание асимптотического поведения всех возможных решений в случае регулярных и сингулярных иештеино-стеи, исследование асимпготического поведения решений и получение равномерных оценок модуля и аргумента решений одномерного уравнения Шредингера

Методы исследования. В работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, функционального анализа и топологии

Для получения равномерных оценок решений уравнения (1) в главе 1, неравенства (8) в главе 2 и доказательства кршерия котеблемости всех решении уравнения (1) в главе 3 используется представление оператора

где г3(т) — достаточно гладкие положительные функции

В работах G Polya60, Ch I de la Vallée-Poussin51, A Левина52 приводятся некоторые достаточные условия такого представления линейных дифференциальных операторов, но для получения результатов данной работы требуется, чтобы данное представление имело кооффициенты, обладающие специальными свойствами В главе 2 данной работы потребовалось доказать существование такого оператора каазиироизиод-нои, коэффициенты которого на отрезке имеют соответствующие оценки В главе 3 данной работы коэффициенты квазилинеиного оператора строятся таким образом, что их пределы при х —> +оо равны 1, что используется в доказательстве теоремы 3

Для доказательства основных результатов глав 4-7 в работе применяется замена переменных, позволяющая свести исходное уравнение п-го

60 G Pólya On the mean-value theorem torresponding to a given linear homogeneous différente équation — TYane Amer Math Soc , 1024, v 24, p 312-324

51 Ch 1 de la Vallée-Poussin Sur l'équation différentielle lméaiie du second oïdie Détermination d'une intégrale par deux valeurs assignées Extension aux équations d'ordre n — Journ Math Pur et Appl, 1929, v 9, Ni 8, p 125-144

62Левин A Ю Неосцилляция решений уравнения + -I pn(t)x = 0

УМН, 1969, т 24, вып 2 (14b), с 43-0Ь

в виде оператора квазипроизводпой

порядка к динамической системе на (п — 1)-мернои компактной сфере Изучение асимптотическою поведения траекторий полученной системы на сфере даег возможность исследовать асимптотическое поведение всех решении исходного уравнения

Научная НОВИЗНа. Все результаты работы являются новыми Основные и? них - следующие

• для уравнений (1), (5) и (6) подучены равномерные оценки положительных решений с общей областью определения, зависящие от оценок коэффициентов уравнения и не зависящие от самих коэффициентов,

• доказан критерий колеблемости всех решений уравнений (1) и (5) (обобщение теоремы Аткинсона),

• для квашлинеиных неравенств (8) - (11) получены равномерные оценки модулей решений с общей обласхыо определения, зависящие от оценок кооффициентов неравенств и не зависящие от самих коэффициентов,

• для уравнения (2) произвольного порядка доказано существование решения с вертикальной асимптотой, имеющего степенную асим-П101ику, а для уравнений четного порядка — кнезеровских решений, имеющих степенную асимптотику, при этом для уравнений третьего и четвертого порядков доказано, что все решения с вертикальной асимптотой имеют степенную асимптотику (гипотеза И Т Кигурад!е), а для уравнении четвертого порядка — что все кнезеровские решения имеют степенную асимшотику,

• для уравнения (4) третьего и уравнения (3) третьего и четвертого порядков получена асимптотическая классификация всех решений в случаях регулярных и сингулярных нелинейностей,

• исследовано асимптотическое поведение решений и получены равномерные оценки модуля и ар!умента решении нелинейного одномерного уравнения Шрсдшпера

Теоретическая и практическая ценность. Работа относится к области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и носит теоретический характер Ее результаты могут быть полезны в тех областях, где возникают вопросы о качественном и асимптотическом анализе решений нелинейных и квазилинейных

дифференциальных уравнений Разделы диссертации мог) т составить содержание специальных курсов для студентов и аспират on

Апробация работы. Результаты диссертации докладываг пись автором на следующих научных конференциях

• Расширенные заседания семинара ИПМ имени И Н Векуа Тбилиси 1985, 1988, 1990

• Воронежская весенняя математическая школа «Ноптрягипские чтения» Воронеж, 1993, 1994, 1995, 2000, 2002, 2004, 2006, 2007

• Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» Воронеж, 2001, 2003

• Конференция «Современные методы нелинейного анализа» Воронеж, 1995

• Международный семинар «Дифференциальные уравнения и их приложения» Самара, 1995, 1996, 2005, 2007

• The First International Scientific and Practical Conference "Differential Equations and Applications" Samt-Petersburg, 1996

• International Colloquium on Differential Equations Plovdiv, Bulgaria, 1996, 1997

• International Symposium "Complex Analysis and Related Topics" Cuernavaca, Mexico, 1996

• International Symposium Dedicated to the 90th Birthday Anniversary of Academician I Vekua Tbilisi, 1997

• 4th Symposium on Mathematical Analysis and Its Applications Aran-gelovac, Yugoslavia, 1997

• Международный семинар «Нелинейное моделирование и управление» Самара, 1997

• Mark Krem International Conference "Operator Theory And Applications" Odessa, Ukraine, 1997

• Conference on Differential Equations and Their Applications (EQUADIFF -9) Brno, Czech Republic, 1997

• Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения» Ростов-на-Дону, 1999

• Diffiety School School in Geometry of Paitial Differential Equations, S Stefano Del Sole, Avellmo, Italy, 2002

• International Petrovskii Conference "Diffeiential Equations and Related Topics" Moscow, 1996, 2001, 2004, 2007

• 3id ISAAC Congress Berlin, Germany, 2001

• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам Суздаль, 2002, 2004, 2006

• International Conference "Function Spaces, Approximation Theory, Nonlinear Analysis'' dedicated to the centennial of S M Nikolsku Moscow, 2005

• Международная конференция «Чебышевские чтения» «Математические идеи П Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания » Обнинск, 2006

• Международная конференция «Тихонов и современная магемаги-ка», Москва, МГУ 2006

• Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функции и приложения», посвященная 100-лотию со дня рождения академика И Н Векуа Новосибирск 2007

• Conference on Differential liquations and their applications (EQUAD-IFF2007) Vienna, Austria, 2007

• 14-я Саратовская зимняя математическая школа «Современные проблемы теории функций и их приложения» Саратов СГУ им Н Г Чернышевского 2008

• Международная конференция «Функциональные пространства Дифференциальные операторы Общая топология Проблемы математического образования» Москва РУДН 2008

Тезисы всех докладов опубликованы в сборниках тезисов соответсхву-ющих конференций

Кроме этого автор выступал с докладами на следующих научных семинарах

• Научный семинар по качественной теории дифференциальных уравнений механико-математического факультеха МГУ под руководством ироф В М Миллиошцикова, проф В Л Кондратьева, проф 11 X Розова — 1986, 1996, 1998, 2004, '2005, 2006, 2007, 2008

• Научный семинар по дифференциальным уравнениям кафедры дифференциальных уравнении механико-математнчсского факультета MTV п/р проф В Л Кондратьева, проф Е В Радксвича — 1996, 2001, 2005

• Научный семинар по дифференциальным уравнениям кафедры дифференциальных уравнении механико-математического факультета МГУ п/р проф В В Жикова, проф В А Шамаева, проф Т А Шапошниковой — 2005

• Научный семинар по дифференциальным уравнениям Владимирскою государственного недагошческого ушизерсигета под руководством проф В В Жикова, проф 10 В Алхуюва — 2005

• Научный семинар отдела теории функций Математического института им Стеклова РАН п/р акад С М Никольского — 2005, 2007

• Семинар махемахического отдела ИПМ им М В Кечдыша РАН под руководством проф А Д Брюно — 2004, 2006

• Научный семинар кафедры теории функции механико-математического факультета МГУ под руководством проф А Г Костюченко и проф А А Шкаликова — 2007-2008

• Научный семинар по качественной теории дифференциальных уравнений кафедры высшей математики Московского государственною университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ) — 2002-2008

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 32 работах (14 - - в изданиях, рекомендованных ВАК), среди которых 2 монографии Их список приведен в конце автореферата

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, разбитых на параграфы, и списка литературы Общий объем работы — 240 страниц, список литературы включает 136 наименований В работе имеется 12 поясняющих иллюстраций Нумерация

теорем, лемм, формул и иллюстрации — двойная номер главы и собственный номер, следствий — тройная номер главы, номер теоремы и собственный номер Во введении — независимая нумерация формул, а номера теорем совпадают с их номерами в основном тексте

Содержание работы Обозначения

В работе используются следующие обозначения

Верхний индекс в квадратных скобках []] обозначает оператор квазипроизвоцнои

»■"м-•.<•>£( ¿("МгН")) )'

где г} (х) — достаточно гладкие положительные функции Таким образом,

у!°](а:) = го(г)ф),

а при ? > О имеем

В выражениях, содержащих оценки коэффициентов использу-

ются обозначения

т\ = Д шГ |п{х) х € [а, Ь]|, Щ =■ Двир|г,(а!) я€[а,б1|,

1-х

м!

А =

т]

Таким образом,

О < т\ ^ М\, £ > 1

Для заданного на отрезке [а, Ь] линеиного дифференциального оператора

}=0 12

положим

вь-вар ||,,(«)! (Ь^)

х € [а, 6], 0 ^ з <(1с*/;

Будем также использовать обозначения

п

(15)

и

"»'А

(16)

Основные результаты Главы 1

В главе 1 рассматривается дифференциальное уравнение (1)

где п > 1, к > 1, а р{х) и дг(х) — непрерывные функции, причем |р(я)| > р, > 0, а также его частные случаи (соответственно, (5) и (0))

где верхний индекс в квадратных скобках []\ обозначает оператор ,)-й квазипроизводной

с достаточно гладкими положительными функциями г} (?)

Получены равномерные оценки положительных решений с общей областью определения, зависящие от оценок коэффициентов уравнения и но зависящие от самих коэффициентов Доказаны следующие теоремы

Теорема (1.1). Пусть у(х) — заданное на отрезке [я, Ь] положительное решение уравнения (5) или (6) Тогда для всех г € (а, Ь) справедлива оценка

п-1

»(П)+5>М У(,)+Р(*) \У\1~1У =- 0;

у[п] + |у|*-1у = о, г/1"1 - \у\к~1у = о,

где

п-1

тт < х — а, Ь — х

г=0

Ь — а

3

Следствие (1.1.1). Пусть функции г3(г), ] -= 0, ,гг, определены па всей прямой п удовлетворяют на ней неравенствам

О < 771« < 1}(х), 3 — 0, ,П — 1, г}{1)< М. < 1-оо, ] - 0, ,«

Тогда, по существует заданных на всей прямой отличных от нуля знакопостоянных решений уравнений (5) и (6)

Теорема (1.2). Для любою заданною на отроке [а, 6] положительного решения у (г) уравнения (5) справедлива оценка

У (г) < С2 (х-а) ' , г € (а, Ь\,

где

1--0 г-О

Следствие (1.2 1). Для любого заданного на отрезке [о, Ь] положительного решения у(х) уравнения (6) с нечетным п справедлива оценка

у(х) < С2 (Ь-х) , х € [а, 6),

где конаанта С2 та же, что и в теореме 1 2

Следствие (1 2.2). Для любою заданною на отрезке [«, Ь] положительною решения у{х) уравнения (5) с четным п справедлива оценка

у{х) ^ 2Г^Т С2 (&-а) ^ для всех х € [я,Ь],

где константа С2 та же, что н в теореме 1 2

Пример Заметим, что при нечетных п равномерная оценка общей конс1анюй дня положительных решений уравнения (5), вообще говоря, невозможна Пусть г > 0 Тогда заданные на [0,1] функции

у£(%) -- (х + е) 5=1

являются при нечетном п положительными решениями уравнения

-I

П^гттУ ¡/(n) + M*-V = o

3=0

При этом 2/f(0) —> +00 при г —* О

Следствие (1.2.3). Пусть функцииrj(x), / — 0, , п, определены па неограниченном слева интервале и удовлетворяют на нем неравенствам из следствия 111 Тогда на эюм итервале не сущеавует отличных от пуля знакопостоянных решений уравнения (5)

Пример Заметим, что условие (ж) < М, < +оо является существенным Уравнение

• In+l-k

п I

которое является частным случаем уравнения (5), не удовлетворяющим этому устовию, допускает определенное на нео1 раниченном слева интервале (-оо, —1) положительное решение у(х) - 1 1/х

Следствие (1.2 4). Пусть функции г3(х), ? = О, , п, удовлетворяют неравенствам из следствия 1 1 1 на неограниченном справа интервале Тогда на этом интервале не существует отличных от нуля знакопостоянных решений уравнения (5) г четным п и уравнения (6) г нечетным п

Пример Заметим, что вместе с тем на неограниченном справа интервале могут существовать отличные от нуля знакопостоянные решения уравнения (5) с нечетным и уравнения (6) с четным а Так, уравнение

пб+ггт)"1 у(п, + (-1)п+1 Ы*-1У = 0,

имеет положительное решение у(х) — х'1^, определенное на неограниченном справа интервале (0, оо)

Приведем результаты об оценках решений уравнения (1)

Теорема (1.4). Пустьу(х) —заданное на отрезке [а, Ь] положтель-ное решение уравнения (1), в котором

\р(т)\^р, и 3 = 0, ,п- 1,

при пскоторых pt > 0 и Q > О

Тогда для вссх х 6 (а, Ь) справедлива оценка

у(х) < С3 ¿3*=*,

где

I ь_а

53 - шт < ж - а, Ъ- х, —щ—

Теорема (1.5). Пустьу(х) —заданное на отрезке [а, Ь] положительное решете уравнения (1), в котором

и У — 0, ,п-1,

при некоторых р, > 0 и ф > О

Тогда для всех х € (а, Ь ] справедлива оценка

у{х) < С4 • 54

где

ТГТ

С, 16 i4(3V"*HA

г'

i=0 >=• о

2~n2-n и

¿4 = min ^ г - а, -—-

Следствие (1.5.1). Для любого заданного на отрезке [а, Ь] положительного решения у(х) уравнения (1) с нечетным п при р(х) < —pt < О и

I J = 0, ,/1-1,

справедлива оценка

__ п

y(a) < С4 х€ [а, Ь),

где

( 2~"2-"+1 5S — mm < b-x, -—-

а константа С\ та же, что и в теореме 1 5

Следствие (1.5.2). Для любого заданною па oí резке [а, Ь] положительного решения у(х) уравнения (1) с четным п при р(х) > р, > 0 л

J О, ,п-1,

справедлива оценка

y(t)^Cb, xe[a,b],

где

С\ С i ímn < b — а, -—-

a константа Сц та же, что и с теореме 1 5

Пример Так как оценки в теоремах 1 4 и 1 5 используют ограниченные сверху S3 и S.i, получить для уравнения (1) следствия, аналогичные следствиям 1.1 1, 1 2 3 и 1 2 4 для уравнений (5) и (6), нельзя Наоборот, можно привести примеры уравнений тпа (1) произвольного порядка со сколь угодно малыми ц3{х), имеющих положительные решения с неогра-ничешюй областью определения Так, уравнения у*"' - е2у + у3 = 0 и yin) -±-s2y — у^ — 0 имеют определенное на всей числовой прямой положительное решение у{х) = е

Основные результаты Главы 2

В главе 2 рассматривается дифференциальное неравенство (8)

где Uj (х) — непрерывные функции, р, > 0, n ^ 1, k > 1, а также его частный случай (7)

где все г, (а-) — достаточно гладкие положительные функции Получены равномерные оценки модулей решений, имеющих общую область определения

Теорема (2.1). Для любы о заданного па отрезке [ а, Ь) решения у{х) неравенства (7) справедлива оценка

|у(*)|«£Сг тт{ат-а,г>-т}-"/^-1), х€(а,Ь),

где

С\ =■ С\ (п, к, тГ г,(ж), ьир г,(ж)),

причем тГ (ж) берется по всем ж € [ а, Ь ] и ] — 0, , п — 1, а вир г} (ж) — по веем х € [ о, Ь] и у — 0, , п

Следствие (2.1.1). Пусть функции г3(ж), 1 = 0, ,», заданы на всей прямой и удовлетворяют на ней неравенствам О < гп, < г;(ж) < М» < Ч оо Тогда не существует ¡аданных на всей прямой нетривиальных решений неравенства (7)

Теорема (2.2). Для любых к > 1, р, > 0, > 0, п ^ 1 существуют такие 6 > 0 и С2 > 0, что для любых непрерывных функций а0( ж), ,а„_1(з), заданных на произвольном отрезке [о,Ь] и удовлетворяющих условию

вир{ |а=г(ж) ж € | а, Ь], ? - 0, , т» — 1 } < д,

и любого заданного на [ а, Ь] решения неравенства (8) справедлива оценка

|у(ж)| < С2 Пип {5, х - а, Ь - % }~п/(д~1), х 6 (а, Ь)

Так как любое решение неравенства (9) — это взятое с противоположным знаком некоторое решение неравенства (8) и наоборот, имеет место аналогичное утверждение и для неравенства (9) (следствие 2 2 1)

Замечание 1 Отметим, что для теоремы 2 2 не существует следствия, аналогичного следствию 2 11В качестве контрпримера приведем неравенство у^ |у|\ которое имеет определенное на всей прямой

решение у(х) =

Замечание 2. Для неравенств (10) и (11)

п- 1

»<л,н £>(*)у<»Чр, М*,

«=0 п- 1

/» + £>(ж) |у|*

1=0

при тех же условиях на а,(ж), р,, п и к не существует оценок, аналогичных оценкам, приведенным для неравенств (8) и (9)

Основные результаты Главы 3

В главе 3 исследуется уравнение (1), коэффициенты д3(з) которого таковы, чго сходятся интегралы

оо

J хп~^\Ъ{х)\йх, j -- О, ,»-1

х

В этом случае для функции р(х) получены достаточные условия, при которых уравнение (1) имеет неколеблющееся решение с ненулевым пределом при х —+ +оо При р(х) > 0 доказано, что эш условия являются необходимыми Для четных п этот результат имеет следствие, являющееся обобщением критерия F Atkinson колеблемости всех решений уравнения (1)

Теорема (3.1). Пусть в уравнении (1) функции р(х) и q,{x), ] = 0,1, , п — 1, удовлетворяют условиям

оо

j xn~l\p{x)\dx < 00, (17)

Т

ОО

j xn-3-l\qj{x)\d.x <00 (18)

X

То г да для любого h / 0 уравнение (1) имеет определенное в некоторой окрестности +оо неколеблющееся решение у(х), которое при г —* оо стремится к h, a em противодные удовлетворяют условиям

оо

yVl \yb)(x)\ dx <00, J = l, ,n (19)

Теорема (3.3). Пусть в уравнении (1) функция р(р.) положительна, а функции д3(х), у = О, , п — 1, удовлетворяют условиям (18) Тогда следующие условия равносильны (1) функция р(х) удовлетворяет неравенству (17), (и) уравнение (1) имеет определенное в некоторой окрестности +оо неколеблющееся решение у(х), которое прих —> оо не стремится к нулю

Следствие (Критерий колеблемости). Пусть в уравнения (1) четного порядка п функция р(х) положительна, а функции (¡¡{х), } = О, ,п — 1, удовлетворяют условиям (18) Тогда следующие условия равносильны

(О

оо

/х-ЬММ^оо,

X

(п) все решения уравнения (1), определенные в окрестности +оо, являются колеблющимися

Основные результаты Главы 4

В главе 4 исследуются асимптотические свойства знакопостоянных решений уравнения (2) Для произвольного n ^ 2 и k > 1 доказывается существование решений уравнения с вертикальной асимптотой, имеющих степенную асимптотику. При 2 ^ n < 13 доказывается существование (n — 1)-параметрического семейства таких решении В случае четного n доказывав гея существование однопараметрического семейства кнезеровских решении, стремящихся к нулю на бесконечности, имеющих степенную асимптотику При n = 3,4 и к > 1 доказывается, чго все решения, имеющие вертикальную асимптоту, имеют степенную асимптотику, а при n — 4 — что степенную асимптотику имеют и все кнезе-ровские решения

Рассматривается уравнение (2), в котором к > 0, а непрерывная положительная функция р(х, у0, уъ , yn-i) удовлетворяет условию Липшица по уа, уъ , уп_ 1

В этом разделе предполагается, что в уравнении (2) непрерывная положительная функция р(х, i/o, ,3/n-i) имеет предел ро > 0 при х —> я* ~ 0, ijo —> со, , ;/„_! —> оо, причем для некоторого 7 > 0 выполнено соотношение

р(®, Уо, , Vn-i) ~ Ро = О - ®р + g (20)

Кроме того, в окрестности точки х* для достаточно больших у о, ,

Уп-1, Zo,

zn-i предполагается выполненным соотношение

Р(х,Уо, .î/n-l) z0, ,2«-l)

< Ki max

3

I У,

-f - Iz.l"'1

для некоторых > 0 и /л > О

В случае, когда р = р0 = const > 0, то есть когда уравнение (2) принимает вид (3), непосредственными вычислениями проверяется, что функция

у(х) - С(х* - х)~а, х < х*,

является его решением при

_ п _ f а(а + 1) (a-fn-l)^ ^

a-~V P~o )

Доказывается, что уравнение (2) имеет решение вида у(т) - С(г* - х)~а (1 + о(1)), ж —> х* — О,

(22)

(23)

где константы а и С задаются формулами (22)

Доказывается также, что при 3 < п < 13 существует (?i - ^-параметрическое семейство решений уравнения (2) с такой асимптотикои Далее рассматривается уравнение (2) при четных значениях п Предполагается, что функция р(х, i/o, , уп-\) непрерывна и стре-

мится к пределу ро = const > 0 при т —> оо, уо —► О, причем для некоторого j > 0 выполнено соотношение

Уо, , Уп-i) ~ Ро = О Р + IZ1% Р j

Кроме того, при х —* оо, yQ —► 0, , уп _i —+ 0, г0 —► О предполагается выполненным соотношение

Уп-1

О,

р{х, Уо, ,2/n-l) - р{х, Zo, , Z„-t)

< К2 max j

для некоторых К2 > 0 и /г > О

£

(24)

, , Zn-1 -*• О

Уравнение (3) при четных значениях п имеет решение

у{х) --- С(х - х*)х > х*, (26)

где консганты а и С определяются формулами (22) Эго решение определено на интервале (х*, оо) и стремится к пулю вместе со всеми своими производными при 1 —>00

Доказывается, что существует оцнопараметрическое семейство решений уравнения (2) с асимптотикой

у(г) = Сх~а (1+о(1)), т-оо, (27)

где константы а и С определяются формулами (22)

Теорема (4 1). Пусть о уравнении (2) непрерывная положительная функция р(г, уо, ,2/n-i) имеет, при х х* — Q, ус —* оо, , Уп—i оо предел ро — const. > 0, причем выполтюггия условия (20), (21) Тогда для такого х* существует решение уравнения (2) с асимптотикой (23)-(22)

Теорема (4.2). Пусть 3 < /г < 13, а непрерывная функция Р(а> Уо, >2/n-i) а —> т* — 0, уо —i• оо, , i/n_i —> оо имеет предел Ро > 0, и выполняются условия (20), (21) Тогда существует (п — 1)-параметрическое семейство решении уравнения (2), имеющих асимптотику (23)-(22)

Ненулевое решение у (г) уравнения (2), определенное на интерпале [хо, оо) будем называть кнезеровским, если оно удовлетворяет условиям

> 0, x^tq, г — 0, ,д-1

Теорема (4.3). Если при г —► оо, уа —* О, , j/n_\ —> 0 непрерывная положительная функция р(х, уо, , уп _i) стремится к пределу ро > О, причем выполняются условия (24) и (25), то уравнение (2) при четном п имеет кпезеровское решение с асимптотикой (23), где константы а и С определяются формулами (22)

Для п — 3 и п — 4 при некоторых предположениях на функцию р(х, у0, , уп_ j) доказывается, что описанное выше асимптотическое поведение кнезеровских решений и решений с вертикальной асимптотой является для них единственно возможным

Теорема (4 5). Пусть в уравнении (2) п — 3 или п = 4, а положительная непрерывная функция р(х,уо, , J/»-t) удовлетворяет условию Липшица по уд, , уп-1 « имеет предел ро > 0 пру х —* х* — О, Уо —> сю, , уп-1 —► оо Тогда любое положительное решение уравнения (2) с вертикальной асимптотой % — х* имеет ш имптотику (23) с константами а и С, заданными формула mi (22)

Описаны все возможные случаи поведения знакопостоянных решений уравнения (2) при выполнении условия

о < Pram < р(г, г/0, , Уп-\) < Рти < <"00 (28)

Теорема (4.6). Все решения уравнения (2), зьакопостояппые, начиная с некоторого момента, имеют вертикальную асимптоту, либо стремятся к пулю вместе со всеми своими производными до порядка п Второй случай может иметь место только для четных п, при этом функции у^{х), j — 1, , п — 1 на всей области определения имеют, тот же знак, что и у{т), если j четно, и противоположный, если j нечетно

Теорема (4.7). Пусть в уравнении (3) п — 4 Тогда все кпезеров-ские решения уравнения (3) имеют вид

у(х) — С(х - х*) ~а, х > т*,

где С и а определяются формулами (22), ах* — произвольная константа (играющая роль параметра в одпопараметрическом семействе кнезеровских решений)

Теорема (4.8). Пусть в уравнении (2) п = 4, а положительная непрерывная функция р(г, уо, yi,y2, Ул) удовлетворяет по уо, уi, Va, Vi условию Липшица Тогда существует кпезеровское решение уравнения (2)

Теорема (4.9). Пусть п = 4, а функция р(х, у о, у и у2, уз) удовлетворяет условиям теоремы 4 8 и условию (28) Кроме того, пусть при х —* +оо, уо -» 0, , уА 0 существует предел функции р(х, у0, У1.У2, Уз), равный ро > 0 Тогда любое кнезеровское решение уравнения (2) стремится к нулю с асимптотикой

у(х) Сх~а (1 + о(1)), X +00, где С и а определяются формулами (22)

Далее рассматривается поведение решений уравнения (2) при убывании аргумента х

При четных п замена независимой переменной х' — —т переводит уравнение (2) в уравнение того же типа, поэтому справедливы результаты, которые были получены выше для поведения решений при возрастании х.

Теорема (4.10), При п --- 4 в предположении, что непрерывная положительная функция р(х,уо,у1, ,уп-1) имеет положительный пре-делро > 0 при х —► х*+0, (-l)'y, -* -t oo, г = 0,1, ,n-1, и удовлетворяет условию Липшица по уо, Ух, Уг, Уз, любое положительное решение уравнения (2), заданное па интервале (x*,xi) и имеющее вертикальную асимптоту х = х*, удовлетворяет соотношению

у(х)=С{х-х*)-а{1+о(1)), х-*х*+0, где С и а определены в (22)

Заметим, что при нечетных п у уравнения (2) с непрерывной положительной функцией р(х, уо, уи , yn-i) нет решений, имеющих вертикальную асимптоту и определенных справа от нее

Перейдем к кнезеровским решениям уравнения (2) Среди решений, определенных на интервале (—оо, аго), кнезеровским и, естественно назвать положительные решения, все производные которых до порядка п включительно также положительны

Теорема (4.11). При та — 3 или п = 4 все кнезероаские (при убывании аргумента) решения уравнения (3) имеют вид

у(х) = С(х* - х)~а, х <х*, еде С и а определяются формулами (22)

Теорема (4.12). Пусть п — 3 или п — 4, а р(х, уо, , yn-i) ~ непрерывная положительная функция, удовлетворяющая условию Липшица по уо, , у,i-i Тогда существует кнезеровское (при убывании аргумента) решение уравнения (2)

Теорема (4.13). Пусть п = 3 или п ~ 4 Кроме того, пусть функция р(х,уо, . ,3/n-i) удовлетворяет условиям теоремы 4< выполняется условие (28) и существует предел функции р(х,уо, , Уп-i) при х —* —оо, уо —* 0, . , y„_i —* 0, равный ро > 0 Тогда любое кнезеровское (при убывании аргумента) решение уравнения (2) стремится к нулю с асимптотикой

у(х) = С\х\~а, х —► — оо, где константы С и а определены в (22)

Основные результаты Главы 5

В эюй гласе доказано существование колеблющихся решений для любого п > 2 и исследуется асимптотическое поведение колеблющихся решений уравнения (2) при п — 3,4 Решение будем называть колеблющимся если оно имеет бесконечную последовательность нулей (ограниченную или неограниченную).

Теорема (5.1). При п > 2 уравнение (2), в котором непрерывная функция р(х,у0, , уп-1) удовлетворяет условию (28) и условию Лш-шица по уо, , уп-1, имеет знакопеременные решения

Для случая п — 3, для уравнения (3) имеют месю следующие результаты

Пусть хх < Х2 < < х1 < — такая последовательность точек, что у(х1) = 0, г = 1, 2, , и у{х) ^ 0 при х € (х„ х% н1), а х[ <х'2 < < х[ < — такая последовательность, что у'{х[) = 0, а на интервалах (х[, ,т'!+1), г = 1,2, , функция у{х) монотонна

Теорема (5.2). При п = 3 существует такая константа В € (О, 1), зависящая только от ро и к, что любое знакопеременное решение у(х) уравнения (3) удовлетворяет условиям4

1) ~== В-\ г ---- 2, 3, , (29)

х, - Х%-\

2) ^ --В", »«1,2,3, , (30)

3) ^ = *= 1,2,3,. , (31)

4) 1 = 1,2, з, (32)

для некоторых М > Чих,, причем константа М зависит только от Ро и гп0

Теорема (5.3). Пусть функция р{х, уа, г/1, уг) > 0 является непрерывной, удовлетворяет условию Липшица по Уо,У1,У2 и равномерно по Уо:У\,У2 стремится к ро > 0 при х —> оо Пусть кроме того у(х) — колеблющееся решение уравнения (2), а х\ < Х2 < и х\ < х'2 < — введенные выше последовательности точек обращения в нуль решения и точек локального экстремума решения Пусть В € (0,1) — константа, существование которой утверждается в теореме 5 2 Тогда

при г —> оо справедливы соотношения

_>в 2)

Гг+2 - Ж.+1 \х1/

Под знакопеременными решениями уравнения (2) при убывании аргумента будем понимать решения итого уравнения, определенные на интервале (я», то), где —оо ^ т* < хо < оо, и не являющиеся знакопостоянными 1Ш на каком интервале вида {х,,хх)) где ж* < Х\ < х0

Теорема (5.4). Пусть непрерывная функция р{г, 1/0,1/1,2/2) удовлетворяет условию Липшица по переменнымуо, у\, у^ Кроме того, пусть

Уо, г/1, У2) Ро > 0 при а- -» г, (-0 равномерно по у0, уи у2

Тогда для п ~ 3 существует такая постоянная В € (0,1), что любое знакопеременное решение уравнения (2), определенное на интервале (х*,Хо), —оо ^ х, < Хо ^ оо, удовлетворяет условиям

1) -1--► в г ОО,

х, - х1+г

31 Й^Г"8"' ' —

4) у^) - I®, - т;|-в+0(1\ г - оо,

где Хх > х-2 > > xi > и х\ > л'г > > х\ > — такие последовательности, что

у{хг) 0, у(х) ф 0 при ж3+1 <х <хг,

у'(х[) = 0 у'(х) / 0 при < х < х[

Теорема (5.5). Пусть п = 4 Тогда для любого знакопеременного решения у(х) уравнения (3) найдутся такие положительные постоянные Дтш и Дтях, что расстояние между двумя соседними точками, где решение у(х) обращается в нуль, больше, чем Дтт и меньше, чем Атах

Теорема (5.6). Для любого Н > 0 существует периодическое решение уравнения (3) с п — 1, все локальные экстремумы которого равны по модулю Н

Заметим, чю для каждого h > 0 такое периодическое решение единственно с точностью до сдвига вдоль оси ОХ

Теорема (5.7). Пусть у(х) — знакопеременное при возрастании аргумента, максимально продолженное вправо решение уравнения (3) при п — 4 Пусть xi < %г < < хг < — последовательность точек обращения в ноль знакопеременного решения у(х), такая что у(хг) - 0, г -- 1, 2, и у(х) / 0 при х е Ы,х,п), г - 1,2, , а х[ < т'2 < < х\ < — последовательность локальных экстремумов знакопеременного решения у (х), такая что у'[х[) — 0 иу(х) монотонна при х £ (x„x,+i), г = 1,2,

Тогда существуют конечные, отличные огп пуля пределы последовательностей (Хг+i-x,), \у{х[)\, |j/'(a,)|, \у"(х'г)\ и а последовательности у"{хг) и у"'(г'г) стремятся к нулю

Основные результаты Главы 6

В главе 6 приведена асимптотическая классификация решений дифференциальных уравнений (3) и (4) при п = 3,4 При этом рассматриваются как регулярные нелинейности (k > 1), так и сингулярные (О < к < 1)

Теорема (6.1). Пусть к > 1, а р(х) — заданная на всей числовой прямой непрерывная положительная функция, имеющая положительные пределы р» up* соответственно при х —* — оо и х —► -too Тогда все максимально продолженные решения уравнения

у'" + р(х) |y|i-1v - о

в соответствии с их асимптотическим поведением делятся на следующие шесть типов

О Заданное па всей числовой прямой тривиальное решение

у(а)=0

1-2 Заданные на полупрямой (6, 4-оо) кнезеровскис (с точностью до знака) решения со степенной асимптотикой вблизи обеих границ области определения (с совпадающими знаками ±J

у(х) = ±G'3fc(p(b)) (т - ЬУ & (1 f о(1)), х-*Ь + О, у{х) = ±C3k(p*) (1 + о(1)), л > I оо,

где

См(р) ~ \ р(к~ 1)3 J

3 Заданные на полупрямой (—оо, 6) решения, колеблющиеся вблизи обеих границ области определения. Расстояние между соседними нулями у них неограниченно возрастает при убывании аргумента и стремится к нулю при его возрастании Сами решения и их производные удовлетворяют соотношениям

Iim — О, Ш\уь\х)\ = оо, j =-0,1,2,

х—+■—со гс—vb 1 1

а в точках локального экстремума —

]у(х')\ = а^-оо,

|у(а;')| = !Ь-х'ГА+о(1), x'-^b + Q

4~5 Заданные на ограниченном интервале (Ь',Ь") решения, колеблющиеся вблизи правой границы области определения и соответственно положительные или отрицательные в некоторой окрестности левой границы При убывании аргумента они имеют степенную ai импто-тику (с совпадающими знаками ±.)

у[г) = ±C3k(p(b')) (х - (1 + о(1)), х - V + О,

а при возрастании — удовлетворяют соотношениям

Em |yW(®)|--оо, j — 0,1,2, причем в точках локального экстремума —

MaOl = IЪ" - x'f*4o(l), х' Ь" - О

Теоремг* (6.2). При k > 1 и р0 > 0 все максимально продолженные решения уравнения

I/^T)+Р0|У|*_1У = о

в соответствии с их асимптотическим поведением делятся па следующие четыре типа.

0 Заданное на всей числовой прямой тривиальное решение

У(х) = О

1 Заданные на полупрямой (—оо, Ь) колеблющиеся решения Расстояние между соседними нулями у них неограниченно возрастает при

убывании аргумента и стремится к нулю при его возрастании Сами решения и их производные удовлетворяют соотношениям

Inn у{0\х) = 0, limly^Or)! = оо, j = 0,1,2,3,

.с-»-с» x—*b

а в точках локального экстремума —

- ^ ^ ¡^ _ (зз)

с зависящими только от k и ро положительными константами С\ и С2

2 Заданные на полупрямой (6, +оо) колеблющиеся решения Расстояние между соседними нулями у них неограниченно возрастает при возрастании аргумента и стремится к нулю при. его убывании Сами решения и их производные удовлетворяют соотношениям

hm |yW(®)| ^ 00 1„п уЬ\г) = О, ; = 0,1,2,3,

х—>Ь 1 1 х— foo

а в точках локального экстремума — соотношением (33) с зависящими только от к и ра положительными константами С\ и С2

3 Колеблющиеся решения, заданные на ограниченном интервале (b',b") Для них и их производных выполняются соотношения

Em|yW(-0| = Iim |yW(«)| = oo, J =0,1,2,3,

x->V 1 1 i>Ь" '

а в точках локального экстремума, достаточно близких к какой-либо границе интервала — соотношения (33) соответственно с b = b' или b — b" и с зависящими только от к и р0 положительными константами Ci и С2

Теорема (6 3). При к > 1 и ро > 0 все максимально продолженные решения уравнения

ytv(x)-p0\y\k-1y = o

в соответствии с их асимптотическим поведением делятся на следующие четыре типа

О Заданное на всей числовой прямой тривиальное решение

у{х) = О

1-2 Заданные на полупрямой (Ь, )-оо) кнезеровские (с точностью до знака) решения со степенной асимптотикой вблизи обеих границ области определения (с совпадающими знаками

у(х) = ±С4МЬ)) (X - (1 Ь 0(1)), ® - Ь 4-0, у(т) = ±C4i(p') х~ & (1 + <,(!)), х - +оо,

где

С rW4(fc + 3)(2fe + 2)(3¿ + lA¿T

Заданные па полупрямой (—оо, Ь) кнезеровские (с точностью до знака) решения со степенной асимптотикой вблизи обеих границ области определения (с совпадающими знаками

у{х) = ±С4/к(р*) И"**! 0 4 о(1)), х -оо,

у(г) - ±С«(р(&)) (Ь - (1 + „(1)), х Ь - О

5 Заданные на всей числовой прямой периодические колеблющиеся решения Все они могут быть получены из одного, скажем, z(x), с помощью соотношения

у{х) ^ X4z(Xk'1x + а0)

с произвольными А > 0 и Хо Следовательно, существуют такие решения с произвольным максимумом h > 0 и с произвольным периодом Т > 0, но не с произвольной парой (h, Т)

6 -9 Заданные па ограниченном интервале (&', Ь") региепия со степенной асимптотикой вблизи каждой границы области определения (с независимыми знаками

у(х) ■= ±Са(р(Ь')) (х - Ь')-г±т (i + „(i)), Z-V+ О,

у(х) = ±CAL(p(b")) (Ь" - (1 + о(1)), х Ъ" - О

10 -11 Заданные на полупрямой (—оо, Ь) решения, колеблющиеся при х —> —оо и сохраняющие положгчпельный или отрицательный знак вблизи правой границы области определения, где они имеют степенную асимптотику

у(х) - ±С4к(р(Ь)) (Ь - (1 + 0(1)), х Ь-0

У каждого решения существует предел модуля локального экстремума при х —* —оо

12-13 Заданные на полупрямой {Ь, +оо) решения, колеблющиеся при х —<■ +00 и сохраняющие положительный или отрицательный знак вблизи левой границы области определения, где они имеют степенную асимптотику

у(х) - ±СМЬ)) (* - (1 "+ 0(1)), X - Ь + О

У каждого решения существует предел модуля локального экстремума при х —► -} оо.

Для уравнения

у'" +Р(х,у, у\ у") (34)

где к > 1, а функция р R х R3 —» R непрерывна, удовлетворяет условию Липшица по последним трем аргументам и

О < т < р(х, уо, уи Уг) ^ М < оо, (35)

доказывается непрерывная зависимость положения асимптот от начальных условий решения, а также сущес твование максимально продолженных решении с любой областью определения

Будем говорить, что функция у(х) имеет резонансную асимптоту х — х„ если

lim у(х) - +оо, íim у(ъ) ~ —оо

Теорема (6.4). Пусть к > 1, функция р(х, уо, Уи Vi) непрерывна, удовлетворяет неравенствам (35) и условию Липшица по последним трем аргументам Пусть у{х) — решение уравнения (34) имеющее резонансную асимптоту х = т. Тогда положение асимптоты х = т* непрерывно зависит от данных Коши решения в любой точке его области определения

Теорема (6.5). Пусть выполнены условия теоремы 6 4, относящиеся к уравнению (34) Тогда для любых конечных значений xt < v* существует решение этого уравнения, определенное на (х,, а*), имеющее вертикальную асимптоту х - х* и резонансную асимптоту х = х*

Теорема (6.6). При выполнении условий теоремы 6 4 для любых конечных или бесконечных значений г.» < з* существует максимально продолженное решение уравнения (34), которое определено па интервале (аф, х*)

Для уравнения (2) при ü < k < 1 условия классической теоремы единственности решения задачи Коши не выполняются Тем не менее имеет место следующее утверждение

Теорема (6.7). Пусть функция р(х,у0, , yn-i) непрерывна по х и удовлетворяет условию Липшица по у0, , yn~i Тогда для любого па-бора чисел xq, y(¿, , у°_,, у которого пе ncc j/f равны 0, соответствующая задача Копш имеет единственное решение

Приведем результаты об асимптотическом поведении решений уравнения (2) в случае п 3, 0 < k < 1

Теорема (6.8). Пусть п — 3, 0 < к < 1, а удовлетворяющая условиям теоремы 6 7 функция р(х,Уо,У1,У2) пРи х —* +00 стремится к р* > 0 равномерно по у0, j/i, Тогда любое максимально продолоюенное вправо решение уравнения (2) определено в окрестности +оо и либо тождественно равно 0 при достаточно больших х, либо имеет асимптотический вид

у{х) — ±СгТ^(1 4- о(1)), х —► +00,

где С

\з \ ih

3(k + 2)(2k+l)

Теорема (6.9). Пусть п = 3, 0 < & < 1, а удовлетворяющая условиям теоремы 6 7 функция р(х, г/о, 2/1, г/2) пРи х —00 стремится к равномерно по уо, у^, г/2 Тогда любое максимально продолженное влево решение уравнения (2) определено в окрестности —оо и либо тождественно равно 0 при достаточно больших по модулю отрицательных х, либо является знакопеременным

Во втором случае, если Х\ > Х2 > — такая стремящаяся к — оо последовательность, что

г/(х,)^0, у{х)ф 0 при т е (я.+ьх,), г = 1,2, ,

а х[ > х'г > — такая стремящаяся к —оо последовательность, что

1/00 = 0, у'{х)ф 0 при хе{х'^их[), г = 1,2, ,

то

ъиьи^в, -Д*. г —* оо,

- г, у(®;)

некоторой константы В > 1, зависящей только от к ир*

Теорема (6.10). Яри О < к < 1 и непрерывной положительной функции р(х) для любого решения у(х) уравнения

у1" — р(х) \у\к~1у

найдутся точки ах ^ аг, в которых

У(аг) — У'(аг) ~ У"(а') — 0, г = 1,2,

и выполняются приведенные ниже условия

В левой полуокрестности точки а! решение либо тождественно равно 0, либо является знакопеременным и если <х%< — такая

стремящаяся к а^ — 0 последовательность, что у{х,) = О, у[х) О при а, е (xt,xtii), г = 1,2, , а х\ < х'2 < — такая стремящаяся к <ii — О последовательность, что у'{х[) — О, у'{х) ф О при € (a-i, х'£ fl), г -=1,2, , то

z.fi-z, J/W+i)

для некоторой, постоянной В > 1, зависящей только от к и р(аi)

В правой полуокрестности точки а2 решение либо тождественно равно 0, либо является знакопостоянным и удовлетворяет асимптотическому соотношению

у(х) - ±С(х - а2)гЬ(1 + о(1)), х-*а2+ О,

где С задается той же формулой, что и в теореме в 8, по с р„ — р{а2) На отрезке [rxt, 0,2] (возможно, вырожденном) решение тождественно равно нулю

Основные результаты Главы 7

В главе 7 рассматривается дифференциальное уравнение

/(г)=р(*М*)ГУ(1), (3G)

где т > 0, х £ а р(х) — непрерывная комплекснозначная функция

Получены асимптотические формулы для модуля и аргумента решении и равномерные оценки решений

При р{х) =р0 = const € С\К существует решение Y{x), определенное на (0, +оо), которое имеет вид

|К(г)| = CX'j-2/m, argY(x) -= Calnx

с постоянными

Ci= у Q Cj = -Q

( 1 M/mV

Im ро J '

1 I- А/т

Impo '

-Rоро I yWo)2 4 fct|(ImP0)2

Q ~ _

Теорема (7.1). Пусть m > 0 и р(х) = р0 — const € С \ R Тогда все нетривиальные решения уравнения (36) исчерпывающе описываются следующим образом

1 Все непродолжаемыс решения, определенные па полуоси (—оо, хо) пли (з,'о, +оо), которые имеют точный вид

!f(s)l =" l^d2- -2о|) I, argy(x) = argy(|¡r- ¡r0|) + у?0 с произвольными вещественными xq и (ро

2 Для любого пепродолжаемого решения, определенного на ограниченном интервале х2), справедливо представлеше

ly(x)¡^¡Y(¡x~xk\)l (1 + о(1)),

arg у (ж) = arg У(|а; - xk |) (1 + о(1))

где х —у Xk, к — 1, 2

Теорема (7.2). Пустьр(х) —непрерывная комгшекснознячлая функция, m > 0 и р(хо) = ро € С \ R Пусть у(х) — пепродолжаемое решение уравнения (36), определенное па (x¡, х0) или (%о, x¡) при -оо ^ Х\ < х0 < X2 ^ -(-оо Тогда

|у(*)| = №-101)1(1+0(1)),

arg у(х) = arg У (|:г - х0|) (1 + о(1)),

при Т —> То

Теорема (7.3). Пусть р(х) —непрерывная комплекснозначпая функция, е — ±1, m > 0, р(х) —> р0 6 <C\R при х -» гоо Пусть у(т) —решение уравнения (36), определенное в окрестности гоо Тогда

|у(г)|=№1)| (1 + о(1)),

argy(a-) = argy(|a|) (1+о(1)),

при X —> £00

Теорема (7.4). Пусть Rер(х) > р, > 0 Тогда для любого решения у(х) уравнения (36), определенного на (v0—e, Xq+s) и такого, что у(х0) ф 0, справедлива оценка

р*

с постоянной С > О, зависящей только от т.

Следствие (7.4.1). Пусть для функции р(х) выполняются условия теоремы 74 Тогда для любого решения у(х) уравнения (36), определенною на [а, Ь], выполнено

для всех г € [а + е, Ь — е\.

Следствие (7.4.2). Пусть для функции р(х) выполняются условия теоремы 7 4 Тогда для любою решения у(х) уравнения (36), определенною на (—оо, То) или (хо, +оо), на всей области определения выполняется неравенство _

\у(х)\ < |т-жоГ2/т

Следствие (7.4.3). Если Иер(х) > <7»х~г, д» > 0, г > О, то для любою решения у(т) уравнения (36), определенною на (0, +со), для всех

х > 0 выполнено _

\у(х)\ < ч/Щ.

Во всех случаях С зависит только от ?п и совпадает с соответствующей посгояшюй из теоремы 7 4

Следствие (7.4.4). Если функция р(х) удовле1воряет условиям теоремы 7 4, то единственным решением уравнения (36), определенным на (—оо, + оо), является тривиальное решение у(х) = О

Автор выражает глубокую благодарность своему учителю профессору В Л Кондратьеву за внимание к работе и полезные рекомендации

Список основных работ автора по теме диссертации

(из официального перечня ВАК)

[1] И В Астпашова Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений — УМН 1985, т 40, выи 5 (245), с 197

[2] И В Лсташова Об асимптотическом поведении решении одного класса нелинейных дифференциальных уравнений - Диф уравнения 1Р86, т 22, № 12, с 2185

[3] И В Асташова О качественных свойствах решений уравнений типа Эмдена - Фаулера — VMH, 1996, т 51, № 5, с 185

|4] И В Асташова Об одномерном уравнении Шредингера с ком-плекснозначным потенциалом — Дифференц уравнения 1998, т 34, N 6, с 847

[5] И В Асташова О равномерных оценках положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений четного порядка, — Дифференц уравнения, 2004, т 40, №11, с 1570

[6] И В Асташова О равномерных оценках положительных решении квазилинейных дифференциальных уравнении — Дифференц уравнения, 2005, т 41, № И, с 1579-1580

[7] И В Асташова Равномерные оценки положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений четного порядка — Труды Семинара И Г Петровского, 2006, т 25, с 21-34 (I V Аь-tashova Umform estimâtes for positive solutions to quasy-lmear differential équations of even order — Journal of Matheinatical Sciences

New York Springer Science+Busmcss Media, 2006, v 135, № 1, p 26162624 )

[8] И В Асташова Равномерные оценки положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений — Доклады РАН, 2006, т 409, N° 5, с 586-590.

[9] И В Асташова О равномерных оценках положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений с отрицательным потенциалом — Дифференц уравнения, 2006, т 42, № 6, с 852

[10] И В Acmaiuoea О равномерных оценках решений квазилинейных дифференциальных неравенств — Дифференц уравнения, 2006, т 42, № 6, с 855-856

[11] И В Асташова Равномерные оценки решений квазилинейных дифференциальных неравенств — Труды семинара им И Г Петровского, 2006, т 26, с 1-10

[12] И В Acmaiuoea О колеблемости решений квазилинейных дифференциальных уравнений. — Дифференц уравнения, 2007, т 43, Na 6, с 852

[13] И В Асташова Равномерные оценки положительных решении квазилинейных дифференциальных уравнений высокого порядка — Труды МИАП им В А Сгеклова, 2008, т 261, с 26-36

[14] И В Асташова Равномерные оценки положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений — Известия РАН, 2008, т 72, № 6, с 103-124

(прочие)

[15] И В. Асташова Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений — В сб Доклады расширенных заседаний семинара ИПМ пм И Н Векуа Тбилиси ТГУ, 1985, т 1 № 3, с 9-11

[16] И В Асташова Об асимптотическом поведении решении некоторых нелинейных дифференциальных уравнений — Рукопись деп в ВИНИТИ, № 6152-85Деп, 16 с

[17] И В Лстпашова Асимптотическое поведение решений одного нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка — Рукопись деп в ВИНИТИ, № 7284-В86, 25 с

[18] И В Асташова Об асимптотическом поведении знакопеременных решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений третье! о и четвертого порядка — В сб Доклады расширенных заседаний семинара ИПМ имени И 11 Векуа Тбилиси ТГУ, 1988, т 3, № 3, ( 9-12

[19] И В Асташова О некоторых свойствах знакопеременных решений одного нелинейного дифференциального уравнения — В сб Доклады расширенных заседании семинара ИПМ имени И Н Векуа Тбилиси ТГУ, 1990, т 5, № 3, с 17-20

[20] И В Асташова Об асимптотическом поведении знакопостоянных решении одного нелинейного дифференциального уравнения — 1990 ЦНТИ «Информсвязь» Деп ВИНИТИ № 10, 12 с

[21] И В Асташова О существовании решения с заданной областью определения одного уравнения третьего порядка — В сб Доклады расширенных заседании семинара ИПМ имени И Н Векуа Тбилиси ТГУ, 1992, т 7, № 3, с 16-19

[22] I V Astashova On asymptotic propeities of one-dimentioiial Shrodmgei equation - Opeiator Theory Advances and Applications, 2000, v 114, Bukhauser Verlag Basel/Switzerland, p 15-19

[23] I V Astashova On asymptotic Behaviour of One-dimentional Shrodmger Equation with Complex Coefficients - - J of Natural Geometry Jnan Bhawan London, 2001, v 19 p 39-52

[24] Асташова ИВ, Кондратьев В Л, Муравей JIA, Филинов-ский А В Качественная теория дифференциальных уравнении — Москва, МЛТИ, 2001, 147 с (монография)

[25] I V Astashova, А V FiknovsLn, V A Kondratiev, L A Muravet Some Problems m the Qualitative Theory of Differential Equations — Journal of Natural Geometry Jnan Bhawan London, 2003, v 23, № 1-2, p 1-126 (монография)

[26] I V Astashova Estimates of Solutions to One-dimensional Schrodmger Equation — World Scientific Progress m Analysis Proceedings of the 3rd International ISAAC Congress Singapore, 2003, v II, p 955-960

[27] И В Асташова Применение динамических сислем к исследованию асимптотических свойств решении нелинейных дифференциальных уравнении высоких порядков — Современная математика н ее приложения, 2003, т 8, с 3-33 (Application of Dynamical Systems I о the Study of Asymptotic Properties of Solutions to Nonlinear Higher-Order Differential Equations — Journal of Mathematical Sciences Springer Science I Business Media, 2005, v 126, № 5, p 13611391 )

[28] И В Асташова О равномерных оценках положительных решении нелинейных дифференциальных уравнении — Современная математика и ее приложения, 2005, Современная математика и ее приложения, 2005, т 3G, ч 2, с 3-7 (I V Astashova On uniform estimates for positive solutions of nonlinear dilferential equations - - Journal of Mathematical Sciences New York Sprmgei Science+Busmess Media, 2007, v 145, № 5, p 5149-5154 )

[29] И В Астаиюва Об асимптотическом поведении решении уравнения типа Эмдсна - Фаулера с комплексным коэффициентом — Со-времениая математика и ее приложения, 2005 Т 29, с 14-18 (I V Astashova On the asymptotic behaviour of solutions of an equation of the Emden-Fowler type with a Complex Coefficient — Journal of Mathematical Sciences New York Springer Science-} Business Media, 2007, v 142, № 3, p 2033-2037 )

[30] И В Acmauioea О равномерных оценках решении квазилинейных дифференциальных уравнений — Фундаментальная и прикладная математика, 2006, т 12, № 5, с 3-9

[31J I V Abtashova On Existence of Non-oscillatory Solutions to Quasilinear Differential Equations - Georgian Mathematical Journal, 2007, v 14, № 2, p 223-238

[32] И В Асташова Асимптотическая классификация решений уравнении типа Эмдена-Фаулера четвертого порядка — Неклассические уравнения математической физики Труды международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функции и приложения», посвященной 100-летию со дня рождения академика И Н Векуа, Новосибирск, изд института Математики, 2007, с 41-

Подписано к печати 28 04 08

Формат издания 60x84/16 Бум офсетная №1 Печать офсетная

Печл 2,5 Уч-издл2,4 Тираж 100 экз

Заказ № 7533

Типография издательства МЭСИ 119501, Москва, Нежинская ул, 7

Введение

Общая характеристика работы.

Обозначения.

Основные результаты Главы

Основные результаты Главы

Основные результаты Главы

Основные результаты Главы

Основные результаты Главы

Основные результаты Главы б

Основные результаты Главы

1 Равномерные оценки положительных решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

1.1 Оценки для решений уравнений (5) и (6)

1.2 Представление линейного дифференциального оператора в виде оператора квазипроизводной.

1.3 Оценки решений уравнения (1)

2 Равномерные оценки решений квазилинейных дифференциальных неравенств

2.1 Оценки для решений неравенства (7).

2.2 Оценки для решений неравенств (8)—(11).

3 Критерий колеблемости всех решений квазилинейных дифференциальных уравнений

4 Асимптотическое поведение знакопостоянных решений нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка

4.1 Существование при п ^ 2 решений, имеющих вертикальную асимптоту, со степенной асимптотикой.

4.2 Кнезеровские решения при п ^ 2.

4.3 Решения с вертикальной асимптотой при п = 3 и п = 4.

4.4 Кнезеровские решения при п = 3 и п = 4.

4.5 Поведение знакопостоянных решений при убывании аргумента.

5 Знакопеременные решения

5.1 Существование колеблющихся решений для любого п > 2.

5.2 Асимптотическое поведение знакопеременных решений уравнений 3-го порядка при возрастании аргумента.

5.3 Асимптотическое поведение знакопеременных решений уравнения 3-го порядка при убывании аргумента.

5.4 Асимптотическое поведение знакопеременных решений уравнений 4-го порядка при yyw > 0.

5.5 Асимптотическое поведение решений уравнений 4-го порядка при yylv ^ 0.

6 Классификация решений уравнений третьего и четвертого порядков

6.1 Классификация решений уравнений третьего и четвертого порядков в случае регулярной нелинейности

6.2 О существовании решения с заданной областью определения уравнения третьего порядка.

6.3 Случай сингулярной нелинейности (0 < к < 1).

7 Асимптотическое поведение решений одномерного уравнения Шредингера

7.1 Фазовое пространство

7.2 Динамическая система на фазовом пространстве для постоянной р(х).

7.3 Случай щ = ±г. Замкнутые траектории.

7.4 Случай комплексных ро

7.5 Случай непостоянной р(х).

7.6 Оценки.

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена изучению качественных свойств решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств высокого порядка.

Исследуются следующие дифференциальные уравнения: уМ(х) =р {х,у(х),у'{х),. .,у(п-х\х)) \у(х)\к^у{х), (2)

П— 1

1)

У{п) = Ро\у{х)\к~1у{х)

3) у^+р(х) \у\к~1у = О,

4) М* = 0, (5) к = О (6) и неравенства: х)Тх(--Тх{Г1{х)1Ых)у))---) ы к

7)

71-1 уЫ+ V® > Р*\у\к 1 (8)

7=0

71—1 71-1

У{п)+ >(Ю)

7=0 п-1

3=о

Уравнения (1) - (6) являются обобщениями хорошо известного уравнения Эмдена - Фаулера у" + х" Ы^у = 0, (12) которое впервые появилось в работе Р. Эмдена [78] в начале XX века в связи с изучением политропной (степенной) модели газа, которая, в частности, описывает равновесные конфигурации звезд, подчиняющиеся политропному уравнению состояния [9]. При этом уравнение (12) получалось заменой переменных из уравнения в котором переменная £ обозначает величину, пропорциональную расстоянию от центра звезды, а функция (9(£))к — величину, пропорциональную плотности звезды.

Подобные уравнения встречаются также в теории физики плазмы, газовой динамике и при описании поперечников Колмогорова (см., например, [5]).

Асимптотические свойства решений уравнения (12) при различных значениях а и к подробно изучены в монографиях Р. Беллмана

2], Дж. Сансоне [53] и Ф. Хартмана [54]. В эти монографиях описываются также асимптотические свойства решений уравнения (4) при п = 2.

Для уравнений более общего вида (4) при п > 2 и (2) вопросы продолжаемости и непродолжаемости решений, вопросы, связанные с их колеблемостью и неколеблемостью, оценки продолжаемых и непродолжаемых решений изучались в работах И. Т. Кигурадзе и Т. А. Чантурия [33], В. А. Кондратьева [43], Н. А. Изобова [10], В. А. Рабцевича [11], В. А. Козлова [90], А. А. Конькова [44], [45],

A. Д. Мышкиса [50] и др. Результаты, полученные до 1990 года, и подробная библиография содержатся в монографии И. Т. Кигурадзе и Т. А. Чантурия [16]. В этой работе описано также асимптотическое поведение всех возможных решений этого уравнения при п = 2. В частности, И. Т. Кигурадзе доказано, что для уравнения (2) существует решение с любой наперед заданной вертикальной асимптотой, а при п = 2 доказано, что все решения с вертикальной асимптотой имеют степенную асимптотику. В той же работе была выдвинута гипотеза (задача 16.4): доказать, что при п > 2 все решения с вертикальной асимптотой имеют степенную асимптотику.

Полная асимптотическая классификация решений уравнения (4) при п — 2 и р(х) < 0 была получена В. А. Кондратьевым и

B. А. Никишкиным [42].

Следует отметить также монографию А. Д. Брюно [3], в которой разработаны алгоритмы локального и асимптотического анализа решений дифференциальных уравнений.

В качественной теории дифференциальных уравнений наряду с задачами об описании асимптотического поведения решений данного уравнения, представляют интерес задачи об оценках решений. Так, в работе В. А. Кондратьева [41] получены интегральные оценки решений полулинейных эллиптических уравнений. В [15] приводятся оценки решений уравнения (4), обладающих некоторыми общими свойствами, например, решений, имеющих вертикальную асимптоту.

Получение оценок решений с общей областью определения интересно не только с точки зрения получения качественных характеристик решения, но и в связи с тем, что они дают возможность доказать отсутствие глобально определенных нетривиальных решений. В монографии Э. Митидиери, С. И. Похожаева [49] получены, в частности, условия отсутствия глобальных решений дифференциального неравенства у^ ^ Яо\у\к , к > 1, qo = const.

В [55] аналогичный результат доказан для неравенства у^ ^

Qi(t)\y\kl +q2{t)\y\k2 Н-----\-Qm{t)\y\кт- В [44] получены априорные оценки уравнения (4) с нелинейностью более общего вида.

Проблема существования неколеблющихся решений и колеблемости всех решений дифференциального уравнения - одна из важных проблем качественной теории дифференциальных уравнений. Она была подробно изучена для уравнения (1) в случае qj(x) = О, j = 0,., п — 1. Для п — 2 F. Atkinson [70] доказал следующий критерий колеблемости всех решений.

Теорема (F. Atkinson).Пусть f(x) непрерывная и положительная при х ^ 0 функция. Пусть к целое число, большее 1. Тогда все решения уравнения y" + f(x)y2k~l=0 являются колеблющимися тогда и только тогда,когда оо

J х f(x) dx = оо. о

Заметим, что в линейном случае последнее условие является необходимым, но не достаточным. Свойства колеблемости решений линейных уравнений исследовались в работах Т. А. Чантурия [60, 65, 67], В. А. Кондратьева [38, 39], D. L. Lovelady [93, 94], и

И. Т. Кигурадзе и Т. А. Чантурия [33] (глава I), где содержится подробная библиография вопроса.

Для нелинейных уравнений второго порядка более общего вида

У"+рШ(у) = 0 и у" + д(х,у) = О, теоремы, подобные теореме F. Atkinson, были получены в работах S. A. Belohorec [71], И. Т. Кигурадзе [18], J. W. Masci and J. S. W. Wong [96], [101], [103, 104].

Для нелинейных уравнений 3-го и 4-го порядка вопросы колеблемости исследовали И. В. Асташова [110, 122], В. А. Кондратьев и В. С. Самовол [43], Т. Kusano и М. Naito [91], D. L. Lovelady [95], V. R. Taylor, Jr. [99], P. Waltman [102].

Результат F. Atkinson был обобщен на уравнения высокого порядка

У{п) +p{x)\y(x)\ksgny = О

И. Т. Кигурадзе [21], см. также [33] (глава IV).

Уравнения вида (1) с некоторыми из коэффициентов qj{x) ^ О были изучены в [81, 29, 91, 93, 95, 99, 102], при этом некоторые из приведенных работ содержали нелинейности более общего вида.

Основной целью данной работы является

• для уравнений (1), (5) и (6) получение равномерных оценок положительных решений с общей областью определения, зависящих от оценок коэффициентов уравнения и не зависящих от самих коэффициентов;

• получение критерия колеблемости всех решений уравнений (1) и (5);

• для квазилинейных неравенств (8)—(11) получение равномерных оценок модулей решений с общей областью определения, зависящих от оценок коэффициентов неравенств и не зависящих от самих коэффициентов;

• для уравнения (2) произвольного порядка доказательство существования решения с вертикальной асимптотой, имеющего степенную асимптотику, а для уравнений четного порядка — кнезеровских решений, имеющих степенную асимптотику; для уравнений третьего и четвертого порядков доказательство того, что все решения с вертикальной асимптотой имеют степенную асимптотику (гипотеза И. Т. Кигурадзе), а для уравнений четвертого порядка — что все кнезеровские решения имеют степенную асимптотику;

• для уравнения (4) третьего и уравнения (3) третьего и четвертого порядков получение асимптотической классификации всех решений в случаях регулярных и сингулярных нелинейностей;

• исследование асимптотического поведения решений и получение равномерных оценок модуля и аргумента решений нелинейного одномерного уравнения Шредингера.

В работе используются следующие методы получения результатов. Для получения равномерных оценок решений уравнения (1) в главе 1, неравенства (8) в главе 2 и доказательства критерия колеблемости всех решений уравнения (1) в главе 3 используется представление оператора в виде оператора квазипроизводной.

В работах G. Polya [97], Ch. I. de la Vallée-Poussin [100], A. Левина [48] приводятся некоторые достаточные условия такого представления линейных дифференциальных операторов, но для получения результатов данной работы требуется, чтобы данное представление имело коэффициенты, обладающие специальными свойствами. В главе 2 данной работы потребовалось доказать существование такого оператора квазипроизводной, коэффициенты которого на отрезке имеют соответствующие оценки. В главе 3 данной работы коэффициенты квазилинейного оператора строятся таким образом, что их пределы при х —► +оо равны 1, что используется в доказательстве теоремы 3. (см.также [124]). Для доказательства основных результатов глав 4-7 в работе применяется замена переменных, позволяющая свести исходное уравнение гг-го порядка к динамической системе на (п — 1)-мерной компактной сфере. Изучение асимптотического поведения траекторий полученной системы на сфере дает возможность исследовать асимптотическое поведение всех решений исходного уравнения.

Обозначения

В работе используются следующие обозначения. Верхний индекс в квадратных скобках Ц] обозначает оператор квазипроизводной: где г^х) — достаточно гладкие положительные функции. Таким образом,

УЩ{х) = г0(х)у(х), а при j > 0 имеем уЩх) = ф) (у[1~1])'(х) .

В выражениях, содержащих оценки коэффициентов rj(x), используются обозначения з т{ = : х Е [а,6]|,

1=1 з

М\ = Цвир |гч(я) : х в М]

1=1

Таким образом,

О < mj ^ М/, pi ^ 1.

Для заданного на отрезке [а, 6] линейного дифференциального оператора

3=о положим

Г fb-a\degL~j

Ql = sup < | qj(x)| • ( —— ) '■ x € la> 0 ^ j < degL

Будем также использовать обозначения а = ^ (15) и

Ynk — 2 (16)

Основные результаты Главы 1

В главе 1 рассматривается дифференциальное уравнение (1): п-1 г=0 где п ^ 1, к > 1, а р(х) и — непрерывные функции, причем \р{х)\ ^ р* > 0, а также его частные случаи (соответственно, (5) и (6)) у[п] + \vtly = О, уН \y\k-ly = О, где верхний индекс в квадратных скобках [7] обозначает оператор 7-й квазипроизводной: с достаточно гладкими положительными функциями г^(х).

Получены равномерные оценки положительных решений с общей областью определения, зависящие от оценок коэффициентов уравнения и не зависящие от самих коэффициентов. Доказаны следующие теоремы.

Теорема (1.1). Пусть у(х) — заданное на отрезке [а, Ь] положительное решение уравнения (5) или (б). Тогда для всех х £ (а, Ъ) справедлива оценка у{х) ^ С\ • 61 п к-1 где

1 I ■ Ф+^+тг^) г=О

Л • / ь Ъ'а

01 = тш < х — а, о — х, 3

Следствие (1.1.1). Пусть функции г^(х), ] = 0,.,п, определены на всей прямой и удовлетворяют на ней неравенствам

О < 772* < Г^(х), у = 0, . ,71 — 1,

Гу(х) < М* < +оо, у = 0,. ,п.

Тогда не существует заданных на всей прямой отличных от нуля знакопостоянных решений уравнений (5) и (6).

Теорема (1.2). Для любого заданного на отрезке [а, 5] положительного решения у(х) уравнения (5) справедлива оценка п у(х) ^ С2 • (х - а) хе (а, 6],

Сг = (3- v:k MS)*I ( 0 • E V*г=0 г=0

Следствие (1.2.1). Для любого заданного на, отрезке [а, Ь\ положительного решения у(х) уравнения (б) с нечетным п справедлива оценка п у(х) х Е [а, 6), где константа С2 та же, что и в теореме 1.2.

Следствие (1.2.2). Для любого заданного на отрезке [а, Ь] положительного решения у(х) уравнения (5) с четным п справедлива оценка п п у{х) < 2 • С2 • [Ь — о) для всех х Е [а, 6], где константа Ci та же, что и в теореме 1.2.

Пример. Заметим, что при нечетных п равномерная оценка общей константой для положительных решений уравнения (5), вообще говоря, невозможна. Пусть е > 0. Тогда заданные на [0,1] функции п у£(х) = (х + е) являются при нечетном п положительными решениями уравнения nG' + jfcTi)"1 • + Ы^у = 0.

При ЭТОМ у£(0) —iу +00 при £ —> 0.

Следствие (1.2.3). Пусть функции гj(x), j = 0,., п, определены на неограниченном слева интервале и удовлетворяют на нем неравенствам из следствия 1.1.1. Тогда на этом интервале не существует отличных от нуля знакопостоянных решений уравнения (5).

Пример. Заметим, что условие г3(х) < М* < +ос является существенным. Уравнение

I I & I ^г» | 1 I к н!-+ = п\ которое является частным случаем уравнения (5), не удовлетворяющим этому условию, допускает определенное на неограниченном слева интервале (—сю, —1) положительное решение у(х) = 1 + 1/ж.

Следствие (1.2.4). Пусть функции у — 0,., п, удовлетворяют неравенствам из следствия 1.1.1 на неограниченном справа интервале. Тогда на этом интервале не существует отличных от нуля знакопостоянных решений уравнения (5) с четным п и уравнения (6) с нечетным п.

Пример. Заметим, что вместе с тем на неограниченном справа интервале могут существовать отличные от нуля знакопостоянные решения уравнения (5) с нечетным и уравнения (6) с четным п. Так, уравнение

П-1 / ч -1

Пи + ггт) ■ *(п) + (-1Г1 • = имеет положительное решение у(х) = определенное на неограниченном справа интервале (0, оо).

Приведем результаты об оценках решений уравнения (1).

Теорема (1.4). Пусть у(х) — заданное на отрезке [а, 6] положительное решение уравнения (1), в котором р(х)\>р* И j = 0,. ,п — 1, при некоторых р* > 0 и $ > 0.

Тогда для всех х £ (а, Ь) справедлива оценка у{х) < Съ • 53 к-1 -Е2 [ 7 Ь - а 2~п2-п+1 дз = тш < ж-а, Ь-х, —-, ———

Теорема (1.5). Пусть у(х) — заданное на отрезке [а, Ь] положительное решение уравнения (1), в котором при некоторых р* > 0 и > 0.

Тогда для всех х Е (а, Ь] справедлива оценка у(х) ^ С4 • где

С4 = 16 А . ^ 2г(Н1+й) , g Р* / Л • л х ' г=0 г=0

4 = тт < х — а,

2-п2-гг+1 Я

Следствие (1.5.1). Для любого заданного на отрезке [а, Ь] положительного решения у(х) уравнения (1) с нечетным п при р(х) < —р* < 0 и справедлива оценка п у{х) ^ С±-8Ъ к~\ хе [а, Ь)} где

Ь-х, --а константа С\ та же, что и в теореме 1.5.

16

Следствие (1.5.2). Для любого заданного на отрезке [а:Ь] положительного решения у(х) уравнения (1) с четным п при р(х) ^ р* > 0 и а константа С\ та же, что и в теореме 1.5.

Пример. Так как оценки в теоремах 1.4 и 1.5 используют ограниченные сверху и ¿>4, получить для уравнения (1) следствия, аналогичные следствиям 1.1.1, 1.2.3 и 1.2.4 для уравнений (5) и (6), нельзя. Наоборот, можно привести примеры уравнений типа (1) произвольного порядка со сколь угодно малыми qj(x), имеющих положительные решения с неограниченной областью определения. Так, уравнения у^ — е2у + уъ = 0 и у^ + е2у — у3 = 0 имеют определенное на всей числовой прямой положительное решение у{х) = е.

Основные результаты Главы 2

В главе 2 рассматривается дифференциальное неравенство (8):

Эя-'} = 0,., п — 1, справедлива оценка где п-1 к где а^х) — непрерывные функции, а также его частный случай (7): гп[х)тх {■■■£{п{х)£(го{х) у))■•■) Ы к где все Vj(x) — достаточно гладкие положительные функции. Получены равномерные оценки модулей решений, имеющих общую область определения.

Теорема (2.1). Для любого заданного на отрезке [a,b] решения у(х) неравенства (7) справедлива оценка у(х)\ ^ Ci • min{:r -a,b- x}~n/{-k~l\ x G (a, b), где

Ci — Ci ( n, k, inf гДж), sup гДж) ), причем inf Vj(x) берется по всем x G [a, 6] и j = 0,., п — 1, а sup rj(x) — по всем x G [a, 6] я j = 0,., п.

Следствие (2.1.1). Пусть функции Tj(x), j = 0,. заданы на всей прямой и удовлетворяют на ней неравенствам О < m* < rj(x) < M* < +00. Тогда не существует заданных на всей прямой нетривиальных решений неравенства (7).

Теорема (2.2). Для любых k > 1, р* > О, Q > 0, n ^ 1 существуют такие Ö > 0 и С2 > 0, что для любых непрерывных функций ciq(x), ., ani(x), заданных на произвольном отрезке [a, Ь] и удовлетворяющих условию sup{ |а,(:r)|1/(n~j) :а:€ [0,6], j = 0,., n - 1 } ^ Q , и любого заданного на [а, Ь] решения неравенства (8) справедлива оценка у(х)\ ^ Ci min {(5, x — g, b — x J-™/^-1) 5 x G (a, 6).

Так как любое решение неравенства (9) — это взятое с обратным знаком некоторое решение неравенства (8) и наоборот, имеет место аналогичное утверждение и для неравенства (9) (следствие 2.2.1).

Замечание 1. Отметим, что для теоремы 2.2 не существует следствия, аналогичного следствию 2.1.1. В качестве контрпримера приведем неравенство у^ +еу ^ \у\к, которое имеет определенное на всей прямой решение у(х) =

Замечание 2. Для неравенств (10) и (11): п-1

V{i) ^ Р* lfl*> 0 п-1 у*"'+ £>(*) y{i)>-p, \у\к i=0 при тех же условиях на а^ж), п и А; не существует оценок, аналогичных оценкам, приведенным для неравенств (8) и (9).

Основные результаты Главы 3

В главе 3 исследуется уравнение (1), коэффициенты qj(x) которого таковы, что сходятся интегралы оо

J хп^-г\ф)\ dx, j = 0,., п — 1. х

В этом случае для функции р(х) получены достаточные условия, при которых уравнение (1) имеет неколеблющееся решение с ненулевым пределом при х —> +оо. При р(х) > 0 доказано, что эти условия являются необходимыми. Для четных п этот результат имеет следствие, являющееся обобщением критерия F. Atkinson колеблемости всех решений уравнения (1).

Теорема (3.1). Пусть в уравнении (1) функции р(х) и qj(x), j=0,l,.,n — 1, удовлетворяют условиям оо оо, (17) оо хп~:>-1\д0(х)\(1х < оо. (18)

Тогда для любого к ^ О уравнение (1) имеет определенное в некоторой окрестности +оо неколеблющееся решение у(х), которое при х —> оо стремится к к, а его производные удовлетворяют условиям оо

3-1 X у^\х) ¿х < оо, 7 = 1 ,.,71. (19) ж

Теорема (3.3). Пусть в уравнении (1) функция р(х) положительна, а функции ([¡(х), ] = 0,. — 1, удовлетворяют условиям (18).

Тогда следующие условия равносильны: ([) функция р(х) удовлетворяет неравенству (17), (И) уравнение (1) имеет определенное в некоторой окрестности +оо неколеблющееся решение у(х), которое при х —> оо не стремится к нулю.

Следствие (Критерий колеблемости). Пусть в уравнении (1) четного порядка п функцияр(х) положительна, а функции ^-(сс), 3 = 0,., 71 — 1, удовлетворяют условиям (18). Тогда следующие условия равносильны:

0) оо оо, X и) все решения уравнения (1), определенные в окрестности +оо, являются колеблющимися.

Основные результаты Главы 4

В главе 4 исследуются асимптотические свойства знакопостоянных решений уравнения (2). Для произвольного п ^ 2 и к > 1 доказывается существование решений уравнения с вертикальной асимптотой, имеющих степенную асимптотику. При 2 ^ п ^ 13 доказывается существование (п — 1)-параметрического семейства таких решений. В случае четного п доказывается существование однопараметрического семейства кнезеровских решений, стремящихся к нулю на бесконечности, имеющих степенную асимптотику. При п = 3,4и/с>1 доказывается, что все решения, имеющие вертикальную асимптоту, имеют степенную асимптотику, а при п = 4 — что степенную асимптотику имеют и все кнезеровские решения.

Рассматривается уравнение (2), в котором к > 0, а непрерывная положительная функция 2/о,2/1, • • • >2/71-1) удовлетворяет условию Липшица по 2/о, 2/1 > • • •> Уп-ь

В этом разделе предполагается, что непрерывная положительная функция р(х, ■ • •, Уп-1) в уравнении (2) имеет предел ро > 0 при х —» х* — 0, уо —» оо, ., Уп-1 оо, причем для некоторого 7 > 0 выполнено соотношение

РО, 2/о, • • -, 2/71-1) -ро = 0 п—1 V

7=0

-т

20)

Кроме того, в окрестности точки х* для достаточно больших Уо, • • •; Уп-1-, -^о, ■ • •> ^п-1 предполагается выполненным соотношение р(х, 2/о, , Уп-1) - рО, 20, • • •, 2п1) К\ шах з

1»Г" для некоторых > 0 и ¡л > 0.

В случае, когда р = = const > 0, то есть когда уравнение (2) принимает вид (3), непосредственными вычислениями проверяется, что функция у(х) = С(х* — х)"а, х < х*, является его решением при п „. /а(ck + 1). (а + п — 1)\ ^ 1 а С к - Г \ ро

Доказывается, что уравнение (2) имеет решение вида у(х) = С(х* - (1 + о(1)), х -> ж* - О,

22)

23) где константы а и С задаются формулами (22).

Доказыватся также, что при 3 ^ п ^ 13 существует (п — ^-параметрическое семейство решений уравнения (2) с такой асимптотикой.

Далее рассматривается уравнение (2) при четных значениях п. Предполагается, что функция р(х, ?/о, • • • ,уп-1) непрерывна и стремится к пределу ро = const > 0 при х —> оо, у q —> О,., уп-\ —> 0, причем для некоторого 7 > 0 выполнено соотношение р{х, 2/0, • • • ,2/n-i) = О п-1 Ж

-7 V

3=0 7

24)

Кроме того, при ж —► оо, j/o —► 0, ., уп-1 —> 0, ^о —> 0, . —> 0 предполагается выполненным соотношение р(х, 2/0) • • ■, Уп-i) - z0, ., ^n-l) max j для некоторых К2 > 0 и ¡i > 0.

Уравнение (3) при четных значениях п имеет решение у(х) = С{х - х*)~а, х > х*, (26) где константы а и С определяются формулами (22). Это решение определено на интервале (ж*, сю) и стремится к нулю вместе со всеми своими производными при х —> сю.

Доказывается, что существует однопарараметрическое семейство решений уравнения (2) с асимптотикой у(х) = СаГа(1 + о(1)), х-^оо, (27) где константы а и С определяются формулами (22).

Теорема (4.1). Пусть в уравнении (2) непрерывная положительная функция р(х, уо, ■ • •, уп-1) имеет при х —> х* — О, Уо —> оо, ., уп-1 —»■ сю предел ро = const > 0, причем выполняются условия (20), (21). Тогда для такого х* существует решение уравнения (2) с асимптотикой (23)-(22).

Теорема (4.2). Пусть 3 ^ п ^ 13, а непрерывная функция р(х, Уо, ., Уп-1) при X х* - 0, Уо оо, ., Уп-1 оо имеет предел ро > 0, удовлетворяющий условиям (20), (21). Тогда существует (п — 1)-параметрическое семейство решений уравнения (2), имеющих асимптотику (23)-(22).

Ненулевое решение у(х) уравнения (2), определенное на интервале [яд, оо) будем называть кнезеровским, если оно удовлетворяет условиям

-1)У0(ж) > 0, г = 0,., п — 1.

Теорема (4.3). Если при х —> оо, г/о —> 0, ., уп-1 —»■ 0 непрерывная положительная функция р(х, уо, . ,yn-i) стремится к пределу pq > 0, причем выполняются условия (24) и (25), то уравнение (2) при четном п имеет кнезеровское решение с асимптотикой (27), где константы а и С определяются формулами (22).

Для п = 3 и п = 4 при некоторых предположениях на функцию р(х, уо,., уп-\) доказывается, что описанное выше асимптотическое поведение кнезеровских решений и решений с вертикальной асимптотой является для них единственно возможным.

Теорема (4.5). Пусть в уравнении (2) п = 3 или п = 4, а положительная непрерывная функция р(х, ., уп-\) удовлетворяет условию Липшица по уо,., уп~\ и имеет предел ро > 0 при х —> х* — 0, уо —> оо, ., уп-1 —> оо. Тогда любое положительное решение уравнения (2) с вертикальной асимптотой х = х* имеет асимптотику (23) с константами а и С, заданными формулами (22).

Описаны все возможные случаи поведения знакопостоянных решений уравнения (2) при выполнении условия о < Ршт < р(х, 2/0, - - - , Уп~\) ^ Ртах < +00. (28)

Теорема (4.6). Все решения уравнения (2), знакопостоянные, начиная с некоторого момента, имеют вертикальную асимптоту, либо стремятся к нулю вместе со всеми своими производными до порядка п. Второй случай может иметь место только для четныхп, при этом функции у^\х), 3 = 1,., п — 1 на всей области определения имеют тот же знак, что и у(х), если j четно, и противоположный, если з нечетно.

Теорема (4.7). Пусть в уравнении (3) п = 4. Тогда все кнезеровские решения уравнения (3) имеют вид у(х) = С(х — х*)~а, х>х*, где С и а определяются формулами (22), а х* — произвольная константа (играющая роль параметра в однопараметри-ческом семействе кнезеровских решений).

Теорема (4.8). Пусть в уравнении (2) п = 4, а положительная непрерывная функцияр(х, уо, 2/1, г/25 Уз) удовлетворяет по 2/0» 2/1 ? 2/2,2/3 условию Липшица. Тогда существует кнезеров-ское решение уравнения (2).

Теорема (4.9). Пусть п = 4, а функция ;£>(£, 2/о> Уъ 2/2, Уз) удовлетворяет условиям теоремы 4-8 и условию (28). Кроме того, пусть при х —>• +оо; уо —> 0; • • •; Уз —* 0 существует предел функции р(х, уо?2/1? 2/2,Уз)> равный ро > 0. Тогда любое кнезеровское решение уравнения (2) стремится к нулю с асимптотикой у{х) = Сх~а (1 + о(1)), х —> -f-oo, где С и а определяются формулами (22).

Далее рассматривается поведение решений уравнения (2) при убывании аргумента х.

При четных п замена независимой переменной х' — — х переводит уравнение (2) в уравнение того же типа, поэтому справедливы результаты, которые были получены выше для поведения решений при возрастании х.

Теорема (4.10). При п = 4 в предположении, что непрерывная положительная функция р(х, уо, Уъ • • • > Уп-i) имеет положительный предел р$ > 0 при х х* + 0, (—1 )гу^ —» +оо, г' = 0,1,.,п — I, и удовлетворяет условию Липшица по г/о, 2/ъ 2/2; 2/3; любое положительное решение уравнения (2), заданное на интервале и имеющее вертикальную асимптоту

00 ОС *, удовлетворяет соотношению у{х) = С(х - гс*)-а(1 + о( 1)), х х* + 0, где С и а определены в (22).

Заметим, что при нечетных п у уравнения (2) с непрерывной положительной функцией р(.г, уо, ., уп-г) нет решений, имеющих вертикальную асимптоту и определенных справа от нее.

Перейдем к кнезеровским решениям уравнения (2). Среди решений, определенных на интервале (—оо,жо], кнезеровскими естественно назвать положительные решения, все производные которых до порядка п включительно также положительны.

Теорема (4.11). При п = 3 или п = 4 все кнезеровские (при убывании аргумента) решения уравнения (3) имеют вид у(х) = С(х* — х < где С и а определяются формулами (22).

Теорема (4.12). Пусть п = 3 или п = 4, а р(х, уо,., уп-\) — непрерывная положительная функция, удовлетворяющая условию Липшица по уо, уп-\. Тогда существует кнезе-ровское (при убывании аргумента) решение уравнения (2).

Теорема (4.13). Пусть п — 3 или п = 4. Кроме того, пусть функция р(х, у о,. ,уп-1) удовлетворяет условиям теоремы выполняется условие (28) и существует предел функции р{х,у0,. .,уп-\) при х -оо, уо -> 0, .уп 1 О, равный ро > 0. Тогда любое кнезеровское (при убывании аргумента) решение уравнения (2) стремится к нулю с асимптотикой у(х) = С \х\~а , х —> —оо, где константы С и а определены в (22).

Основные результаты Главы 5

В этой главе доказано существование колеблющихся решений для любого п > 2 и исследуется асимптотическое поведение колеблющихся решений уравнения (2) при п — 3,4. Решение будем называть колеблющимся если оно имеет бесконечную последовательность нулей (ограниченную или неограниченную).

Теорема (5.1). При п > 2 уравнение (2), в котором непрерывная функция р(х, уд> • • • > Уп-\) удовлетворяет условию (28) и условию Липшица по .уп 1} имеет знакопеременные решения.

Для случая п = 3, для уравнения (3) имеют место следующие резльтаты.

Пусть х\ < Х2 < ••• < XI < . — такая последовательность точек, что у(хг) = 0, г = 1, 2,., и у(х) ф 0 при х Е (х^, х^+х), а х^ < х'2 < • • • < х- < . — такая последовательность, что у'(х[) = 0, а на интервалах (х^, х^+1), г = 1,2,., функция у(х) монотонна.

Теорема (5.2). Лр-гг п — 3 существует такая константа В Е (0, 1), зависящая только отр$ и к, что любое знакопеременное решение у(х) уравнения (3) удовлетворяет условиям:

1) ^ ^ = В~\ г = 2, 3,., (29)

2) = ¿ = 1,2, 3,., (30) г/№)

4) |у(^)| = М(®;-х.)"а. ¿ = 1.2, з,. (32) для- некоторых М > 0 и х*; причем константа М зависит только от ро и то.

Теорема (5.3). Пусть функция р(х,уо,у1,у2) > 0 является непрерывной, удовлетворяет условию Липшица по У0,У\,У2 и равномерно по уо, У\,У2 стремится кро > 0 при х —» оо. Пусть кроме того у(х) — колеблющееся решение уравнения (2), а х\ < Х2 < . и х[ < х'2 <. — введенные выше последовательности точек обращения в нуль решения и точек локального экстремума решения. Пусть В Е (0,1) — константа, существование которой утверждается в теореме 5.2. Тогда при г —> оо справедливы соотношения:

1) > В, 2) хг+2 ~ хг+1 У\хг) з) - -Ва+\ 4) \У(ХГ)\ = (^Г+°(1)

У Vхi)

Под знакопеременными решениями уравнения (2) при убывании аргумента будем понимать решения этого уравнения, определенные на интервале (ж*,жо), гДе ^ х* < ^о ^ и не являющиеся знакопостоянными ни на каком интервале вида (ее*, xi), где ж* < CCi < Жо

Теорема (5.4). Пусть непрерывная функция р(х, уо, г/i, ?/г) удовлетворяет условию Липшица по переменным уо, у\, у2-Кроме того, пусть р{х,уо,у\,у2) —► Ро > 0 пРи х х* + О равномерно по уо, у\, У2

Тогда для п = 3 существует такая постоянная В Е (0,1), что любое знакопеременное решение уравнения (2), определенное на интервале (x*,xq), —оо ^ х* < xq < оо, удовлетворяет условиям

--> г -» оо,

З^г хг+1 v Щ;г~ва+Х>

4) у{х'г) = \х, - х[\'а+^\ i-oo, где х\ > Х2 > . > Х{ > . и х[ > х'2 > . > х\ > . — такие последовательности, что у(х{) = 0, у(х) -ф О при < х < Х{, у'(х\) = О у'(х) Ф О пРи х]+1 < х < х\.

Теорема (5.5). Пусть п = 4. Тогда для любого знакопеременного решения у(х) уравнения (3) найдутся такие положительные постоянные Лтщ и Атах, что расстояние между двумя соседними точками, где решение у(х) обращается в нуль, больше, чем Ат1П и меньше, чем Атах

Теорема (5.6). Для любого Н > 0 существует периодическое решение уравнения (3) с п = 4, все локальные экстремумы которого равны по модулю к.

Заметим, что для каждого Н > 0 такое периодическое решение единственно с точностью до сдвига вдоль оси ОХ.

Теорема (5.7). Пусть у{х) — знакопеременное при возрастании аргумента, максимально продолженное вправо решение уравнения (3) при п = 4. Пусть х\ < х2 < . < < . — последовательность точек обращения в ноль знакопеременного решения у{х), такая что у(х{) = О, г = 1, 2,. и у(х) ф О при X £ (Хг, Хг+1), I — 1, 2, . . а х[ < х'2 < . ■ . < х\ < . . . — ПОследовательность локальных экстремумов знакопеременного решения у(х), такая что у'(х[) = 0 и у(х) монотонна при х £ (х{, Х{+\), г = 1,2,.

Тогда существуют конечные, отличные от нуля пределы последовательностей (х{+1 — Х{), \у(х[)\, \у'(х^\, \у"{х'^\ и \у"'(х^\, а последовательности у"(хг) и у"'(х\) стремятся к нулю.

Основные результаты Главы 6

В главе 6 приведена асимптотическая классификация решений дифференциальных уравнений (3) и (4) при п = 3,4. При этом рассматриваются как регулярные нелинейности (к > 1), так и сингулярные (0 < к < 1).

Теорема (6.1). Пусть к > 1, а р(х) — заданная на всей числовой прямой непрерывная положительная функция, имеющая положительные пределы р* и р* соответственно при х —»• —оо и х —» -Ьоо. Тогда все максимально продолженные решения уравнения у"' + р(х) \у\к~1у = О в соответствии с их асимптотическим поведением делятся на следующие шесть типов (см. рис. 6.1).

0. Заданное на всей числовой прямой тривиальное решение у{х) = 0.

1-2. Заданные на полупрямой (6,-Ьоо) кнезеровские (с точностью до знака) решения со степенной асимптотикой вблизи обеих границ области определения (с совпадающими знаками ± ): у{х) = ±Сзк{р(Ь)) (х - Ь)-*5т (1 + 0(1)), я Ь + О, у(х) = ±Сзк(р*) х~А (1 + 0(1)), ж +оо, где

3. Заданные на полупрямой (—оо,Ь) решения, колеблющиеся вблизи обеих границ области определения. Расстояние между соседними нулями у них неограниченно возрастает при убывании аргумента и стремится к нулю при его возрастании.

Сами решения и их производные удовлетворяют соотношениям

Нт у^\х) = 0, Нт х—>Ь

У{з)(х) х—>—оо а в точках локального экстремума з оо, =0,1,2, у{х')\ = \х-\у{х')\ = \Ь-х X х' — оо, 6 + 0.

4~5. Заданные на ограниченном интервале Ь") решения, колеблющиеся вблизи правой границы области определения и соответственно положительные или отрицательные в некоторой окрестности левой границы. При убывании аргумента они имеют степенную асимптотику (с совпадающими знаками ± ): у(х) = ±Сф(Ь')) {х - (1 + о(1)), ж Ь' + О, а при возрастании — удовлетворяют соотношениям

УЬ)(х)

Нт оо,

7=0,1,2, причем в точках локального экстремума з у(х')\ = IЬ" - , X

0.

Теорема (6.2). При к > 1 и ро > 0 все максимально продолженные решения уравнения гЛ(®)+ро \УТ~1У — о в соответствии с их асимптотическим поведением делятся на следующие четыре типа (см. рис. 6.2).

0. Заданное на всей числовой прямой тривиальное решение к-1, у(х) = 0.

1. Заданные на полупрямой (—оо, Ъ) колеблющиеся решения. Расстояние между соседними нулями у них неограниченно возрастает при убывании аргумента и стремится к нулю при его возрастании. Сами решения и их производные удовлетворяют соотношениям

Нт г) = 0, х-^—оо

Нт х-^Ь уСй(х) оо,

3 = 0,1,2,3, а в точках локального экстремума —

С\ \х - ^ \у(х)\ <:с2\х

33) с зависящими только от к и ро положительными константами С\ и С2

2. Заданные на полупрямой (6, +оо) колеблющиеся решения. Расстояние между соседними нулями у них неограниченно возрастает при возрастании аргумента и стремится к нулю при его убывании. Сами решения и их производные удовлетворяют соотношениям

Нт х-^Ъ

У(з\х) оо,

Нт уМ(х) = 0, ¿ = 0,1,2,3, х—»+оо а в точках локального экстремума — соотношениям (33) с зависящими только от к и ро положительными константами Сх и С2.

3. Колеблющиеся решения, заданные на ограниченном интервале (Ь',Ъ"). Для них и их производных выполняются соотношения

Нт х^Ъ' у^\х)

Нт х^Ъ"

Уи\х)

3 = 0,1,2,3, а в точках локального экстремума, достаточно близких к какой-либо границе интервала — соотношения (33) соответственно с Ь — Ь' или Ь = Ь" и с зависящими только от к и ро положительными константами С\ и С^.

Теорема (6.3). При к > 1 и ро > 0 все максимально продолженные решения уравнения ylV(x)~Po \y\k~ly — О в соответствии с их асимптотическим поведением делятся на следующие четыре типа (см. рис. 6.3).

0. Заданное на всей числовой прямой тривиальное решение у{х) = 0.

1-2. Заданные на полупрямой (6,+оо) кнезеровские (с точностью до знака) решения со степенной асимптотикой вблизи обеих границ области определения (с совпадающими знаками ± ): у{х) = ±CAk(p(b)) (я - Ь)~А (1 + 0(1)), я - Ъ + О, у(х) = ±Сф*) х~А (1 + о(1)), я -> +00, где

4(fc + 3)(2fc + 2)(3fc + 1)\ ^

P(k~ I)4 J '

3-1 Заданные на полупрямой (—оо,Ь) кнезеровские (с точностью до знака) решения со степенной асимптотикой вблизи обеих границ области определения (с совпадающими знаками ± ): у(х) = ±САк{р*) (1 + о(1)), х -> -оо, у(х) = ±Сф{Ь)) (Ъ - (1 + о(1))? ж - Ъ - 0.

5. Заданные на всей числовой прямой периодические колеблющиеся решения. Все они могут быть получены из одного, скажем, z(x), с помощью соотношения у(х) = \4z(Xk~1x + х0) caiap) с произвольными А > 0 и xq. Следовательно, существуют такие решения с произвольным максимумом h > О и с произвольным периодом Т > О, но не с произвольной парой (/i, Т).

6-9. Заданные на ограниченном интервале (&', Ъ") решения со степенной асимптотикой вблизи каждой границы области определения (с независимыми знаками ±): у(х) = ±Cik(p(b')) (Я - &'ГА (1 + 1)), + О, у(х) = ±Cik(p(b")) (Ь" - (1 + о(1)), я - Ь" - 0.

10-11. Заданные на полупрямой (—оо, Ь) решения, колеблющиеся при х —> —оо и сохраняющие положительный или отрицательный знак вблизи правой границы области определения, где они имеют степенную асимптотику: у(х) = ±СиШ) (ь - х)-А (1 + о(1)), х^Ь-О.

У каждого решения существует предел модуля локального экстремума при х —» —оо.

12-13. Заданные на полупрямой (ft, +оо) решения, колеблющиеся при х —» +оо и сохраняющие положительный или отрицательный знак вблизи левой границы области определения, где они имеют степенную асимптотику: у{х) = ±C4k(p{b)) {х - (1 + о( 1)), + 0.

У каждого решения существует предел модуля локального экстремума при х —» +оо.

Для уравнения yl" + p(x,y,y',y") \у\к~1у = 0, (34) где к > 1, а функция р : R х Е3 —> Е непрерывна, удовлетворяет условию Липшица по последним трем аргументам и

О < т ^ р(х, у0, yh у2) < М < оо, (35) доказывается непрерывная зависимость положения асимптот от начальных условий решения, а также существование максимально продолженных решений с любой областью определения.

Будем говорить, что функция у(х) имеет резонансную асимптоту х — ж*, если lim у(х) - +оо, lim у(х) = —оо.

Теорема (6.4). Пусть к > 1, функция р(х, г/о, у\, г/2) не~ прерывна, удовлетворяет неравенствам

О < т ^ р(х, г/о, 2/1, 2/2) ^ М < оо и условию Липшица по последним трем аргументам. Пусть у(х) — решение уравнения у"' + р(х,у,у',у") \у\к1у = 0, (36) имеющее резонансную асимптоту х = х*. Тогда положение асимптоты х = х* непрерывно зависит от данных Коши решения в любой точке его области определения.

Теорема (6.6). При выполнении условий теоремы 6.4 для любых конечных или бесконечных значений х* < х* существует максимально продолженное решение уравнения (36), определенное на интервале (хх*).

Аналогичные результаты об асимптотическом поведении решений уравнения (36) получены в случае 0 < k < 1.

Основные результаты Главы 7

В главе 7 рассматривается дифференциальное уравнение у"(х)=р(х)\у(х)Гу(х), (37) где т > 0, х Е Ж, а р(х) — непрерывная комплекснозначная функция.

Получены асимптотические формулы для модуля и аргумента решений и равномерные оценки решений.

При р(х) = ро = const £ С \ R существует решение Y{x)) определенное на (0, +оо), которое имеет вид

Y{x)\ = arg У{х) = С2\пх с постоянными

1+4/га c2 = -q

Impo

-Rep0 + W(Repo)2 + ^^.^(Impo)2

Q =---• 2 Теорема (7.1). Пусть m > 0 и p(x) = po = const eC\R. Тогда все нетривиальные решения уравнения (37) исчерпывающе описываются следующим образом:

1. Все непродолжаемые решения, определенные на полуоси (—оо, xq) или (жо, +оо), которые имеют точный вид: у(х)I = I Y(\x ~ жо|) | , wgy(x) - arg У(|ж - х0\) + с произвольными вещественными xq и

2. Для любого непродолжаемого решения, определенного на ограниченном интервале (х\, Х2), справедливо представление у(х)\ = \У(\х- а*|)|(1 + 0(1)), argу(х) = argy(|x - xk\) (1 + о(1)) где х —> Xk, k = 1, 2.

Теорема (7.2). Пусть р(х) —непрерывная комплекснознач-ная функция, m > 0 и р(х0) — ро Е С \ М. Пусть у(х) — не-продолжаемое решение уравнения (37), определенное на (xi, xq) или (х0, Х2) при —оо < х\ < xq < Х2 ^ +оо. Тогда у(х)\ = №-^о|)| (1 + 0(1)), argу(х) = aigY(\x - ж0|) (1 + о(1)), при X —> Xq.

Теорема (7.3). Пусть р(х) —непрерывная комплекснознач-ная функция, е = ±1, m > 0, р(х) —» Е С \ Ж при х —> еоо. Пусть у(х) — решение уравнения (37), определенное в окрестности еоо. Тогда y(x)\ = \Y(\x\)\(l + o(l)): argу(х) — arg Y(|:r|) (1 + о(1)), при X —> £00.

Теорема (7.4). Пусть Rep(x) > р* > 0. Тогда для любого решения у(х) уравнения (37), определенного на (xq — е, xQ + с) и такого, что у(хо) 0, справедлива оценка г2 < -ЬЫГт

Р* с постоянной С > 0, зависящей только от т.

Следствие (7.4.1). Пусть для функции р(х) выполняются условия теоремы 7.4. Тогда для любого решения у(х) уравнения (37), определенного на [a,b], выполнено для всех х Е [а + е, 6 — е].

Следствие (7.4.2). Пусть для функции р(х) выполняются условия теоремы 7.4. Тогда для любого решения у(х) уравнения (37), определенного на (—оо, Хо) или (хо, +оо), на всей области определения выполняется неравенство у(х)\ <\х — \fcjp~f

Следствие (7.4.3). Если Кер(х) > д*х~г, д* > 0, г > О, то для любого решения у{х) уравнения (37), определенного на (О, +оо), для всех х > 0 выполнено

Во всех случаях С зависит только от т и совпадает с соответствующей постоянной из теоремы 7.4.

Следствие (7.4.4). Если функция р(х) удовлетворяет условиям теоремы 7.4, то единственным решением уравнения (37), определенным на (—оо,+оо), является тривиальное решение у(х) ЕЕ 0.

1. Беклемишева J1. А. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка. — Матем. сб., 1962, т. 56, № 2, с. 207-236.

2. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. — М.: Иностранная литература. 1954.

3. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгбраических и дифференциальных уравнениях. — М.: Наука. Физматлит, 1998, 288 с.

4. Бурбаки Н. Общая топология. — М.: Наука, 1975.

5. Буслаев А. ПТихомиров Б. М. Спектры нелинейных дифференциальных уравнений и поперечники соболевских классов. — Матем сб., 1990, т. 181, № 12, с. 1587-1606.

6. Дж. У. Бик. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО. 2005.

7. Евтухов В. М. Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. — Сообщ. АН ГССР, 1982, т. 106, № 3, с. 474476.

8. Евтухов В. М., Костин А. В. Асимптотика решений одного нелинейного дифференциального уравнения. — ДАН СССР, 1976, т. 231, № 5, с. 1059-1062.

9. Я.Б.Зельдович, С.И.Блинников, Н.И.Шакура. Физические основы строения и эволюции звезд. — Москва, МГУ, 1981.

10. Изобов Н. А. Об уравнениях Эмдена Фаулера с неограниченными бесконечно продолжимыми решениями. — Мат. заметки, 1984, т. 35, № 2, с. 189-199.

11. Изобов Я. А., Рабцевич В. А. О неулучшаемости условия И. Т. Кигурадзе Г. Г. Квиникадзе существования неограниченных правильных решений уравнения Эмдена-Фаулера. — Дифф. уравнения, 1987, т. 23, № 11, с. 1872-1881.

12. Изюмова Д. В., Кигурадзе И. Т. Некоторые замечания о решениях уравнения и" + a(t)f(u) = 0. — Дифференц. уравнения, 1968, т. 4, № 4, с. 589-605.

13. Квиникадзе Г. Г. Некоторые замечания о решениях задачи Кнезера. — Дифф. уравнения, 1978, т. 14, № 10, с. 1775-1783.

14. Квиникадзе Г. Г. О монотонных правильных и сингулярных решениях обыкновенных дифференциальных уравнений. — Дифф. уравнения, 1984, т. 20, № 2, с. 360-361.

15. Квиникадзе Г. Г., Кигурадзе И. Т. О быстро растущих решениях нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — Сообщ. АН ГССР, 1982, т. 106, № 3, с. 465-468.

16. И. Т. Кигурадзе, Т. А. Чантурия, Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, (1990) 432 с.

17. Кигурадзе И. Т. О колеблемости решений некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений. — ДАН СССР, 1962, т. 144, № 1, с. 33-36.

18. Кигурадзе И. Т. Об условиях колеблемости решений уравнения и" + a(t)|ii|nsgnw = 0. — Cas. pëst. mat., 87 (1962), № 4, 492-495.

19. Кигурадзе И. Т. Об асимптотических свойствах решений уравнения и" + a{t)un = 0. — Сообщ. АН ГССР, 1963, т. 30, № 2, с. 129-136.

20. Кигурадзе И. Т. О неколеблющихся решениях уравнения uff + a{t)\u\nsgiiu = 0. — Сообщ. АН ГССР, 1964, т. 35, № 1, с. 15-22.

21. Кигурадзе И. Т. О колеблемости решений уравнения dmu/dtm + a{t)\u\nsgnu = 0 — Мат. сб., 65 (1964), № 2, 172-187.

22. Кигурадзе И. Т. К вопросу о колеблемости решений нелй-нейных дифференциальных уравнений. — Дифференц. уравнения, 1965, т. 1, № 8, с. 995-1006.

23. Кигурадзе И. Т. Асимптотические свойства решений одного нелинейного дифференциального уравнения типа Эмде-на Фаулера. — Известия АН СССР, мат., 1965, т. 29, № 5, с. 965-986.

24. Кигурадзе И. Т. О монотонных решениях нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка. — Известия АН СССР, мат., 1969, т. 33, № 6, с. 1373-1398.

25. Кигурадзе И. Т. Об условиях колеблемости решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — Дифференц. уравнения, 1974, т. 10, № 8, с. 1387-1398 и № 9, с. 1586-1594.

26. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. — Тбилиси: ТГУ, 1975.

27. Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. — В сб.: «Современные проблемы математики. Новейшие достижения», т. 30 /Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР/, М.: 1987, с. 3-103.

28. Кигурадзе И. Т., Шехтер Б. Л. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. — В сб.: «Современные проблемы математики. Новейшие достижения», т. 30 /Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР/, М.: 1987, с. 105-201.

29. Кигурадзе И. Т. Критерий колеблемости для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений. — Дифф.уравнения. 1992. т. 28, № 2. с. 207-219.

30. Кигурадзе И. Т. О взрывных кнезеровских решениях нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков. — Дифф.уравнения, 2001, т. 37, № 6, с. 735-743.

31. Кигурадзе И. Т., Рахункова И. О. О разрешимости нелинейной задачи типа Кнезера. — Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, № 10, с. 1754-1765.

32. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Замечании об асимптотическом поведении решений уравнения и" + а(1)и = 0. — Дифференц. уравнения, 1970, т. 6, № 6, с. 1115-1117.

33. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1990, 432 с.

34. Кигурадзе И. Т., Мухигулашвили С. О нелинейных краевых задачах для двумерных дифференциальных систем. — Дифференц. уравнения, 2004, т. 40, № 6, с. 747-755.

35. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.

36. Кондратьев В. А. Элементарный вывод необходимого и достаточного условия неколеблемости решений линейного дифференциального уравнения второго порядка. — Успехи мат. наук, 1957, т. 12, вып. 3 /75/, с. 159-160.

37. Кондратьев В. А. Достаточные условия неколеблемости и колеблемости решений уравнения у" + р(х)у = 0. — ДАН СССР, 1957, т. 113, № 4, с. 742-745.

38. Кондратьев В. А. О колеблемости решений лйнейных уравнений третьего и четвертого порядка. — Труды ММО, 1959, т. 8, с. 259-281.

39. Кондратьев В. А. О колеблемости решений уравнения уМ р(х)у - 0. — Труды ММО, 1961, т. 10, с. 419-436.

40. Кондратьев В. А. О колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядков. — ДАН СССР, 1968, т. 118, № 1, с. 22-24.

41. Кондратьев В. А. О качественных свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений. — Труды семинара им. И. Г. Петровского, 1991, т. 16, с. 186-190.

42. Кондратьев В. А., Никишкин В. А. О положительных решениях уравнения у" = р(х)ук. — В сб. «Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением», Саранск: 1980, с. 134-141.

43. Кондратьев В. А., Самовол В. С. О некоторых асимптотических свойствах решений уравнений типа Эмдена Фау-лера. — Дифференц. уравнения, 1981, т. 17, № 4, с. 749-750.

44. Коньков А. А. О решениях неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. — Известия РАН, сер. Математика, 2001, т.65, № 2, с. 81-126.

45. Коньков А. А. Поведение решений квазилинейных эллиптических неравенств. — Современная математика. Фундаментальные направления, т. 7 (2004), с. 3-158.

46. Костин А. В. К вопросу о существовании у системы обыкновенных дифференциальных уравнений ограниченных частных решений и частных решений, стремящихся к нулю при t —*■ оо. — Дифференц. уравнения, 1965, т. 1, № 5, с. 585-604.

47. Костин А. В. Об асимптотике непродолжаемых решении уравнений типа Эмдена Фаулера. — ДАН СССР, 1971, т. 200, № 1, с. 28-31.

48. Левин А. Ю. Неосцилляция решений уравнения х^ +• • • + рп(г)х = 0. — УМН, 1969, т. 24, вып. 2 (146), с. 43-96.

49. Митидиери Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных. — М.: Наука, 2001, Труды МИАН им. В. А. Стеклова, т. 234, 383 с.

50. Мышкис А. Д. Пример непродолжимого на всю ось решения дифференциального уравнения второго порядка колебательного типа. — Диф. уравнения, 1969, т. 5, № 12, с. 22672268.

51. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.

52. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.

53. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 2. — М.: Иностранная литература, 1954.

54. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970.

55. Хей Дж. О необходимых условиях существования глобальных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных неравенств высокого порядка. — Дифференц. уравнения, 2002, т. 38, № 3, с. 362-368.

56. Чантурия Т. А. О неколеблющихся решениях нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. -— Со-общ. АН ГССР, 1969, т. 55, № 1, с. 17-20.

57. Чантурия Т. А. Об асимптотическом представлении решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. — Дифференц. уравнения, 1970, т. 6, № 6, с. 948-961.

58. Чантурия Т. А. Об асимптотическом представлении решений уравнения и" Л- ansignu^0j~Дифференц. уравнения, 1972, т. 8, № 7, с. 1195-1206.

59. Чантурия Т. А. О некоторых асимптотических свойствах решений обыкновенных, дифференциальных уравнений. — ДАН СССР, 1977, т. 235, № 5, с. 1049-1052.

60. Чантурия Т. А. Интегральные признаки колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений высших порядков. — Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, № 3, с. 470-482 и № 4, с. 635-644.

61. Чантурия Т. А. О колеблемости всех решений линейных дифференциальных уравнений нечетного порядка. — Матем. заметки, 1980, т. 28, № 4, с. 565-569.

62. Чантурия Т. А. О монотонных и колеблющихся решениях обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков. — Ann. Polon. Math, 1980, т. 37, № 1, с. 93-111.

63. Чантурия Т. А. Об асимптотическом представлении колеблющихся решений уравнений типа Эмдена Фаулера. — Дифференц. уравнения, 1981, т. 17, № 6, с. 1035-1040.

64. Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений некоторых классов неавтономных дифференциальных уравнений. — Матем. заметки, 1982, т. 32, № 4, с. 577-588.

65. Чантурия Т. А. О колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений высших порядков. — Докл. семинара Ин-та прикл. мат. им. И. Н. Векуа Тбилис. гос. ун-та, 1982, т. 16, с. 3-72.

66. Чантурия Т. А. О неограниченных решениях линейннх обыкновенных дифференциальных уравнений. — Мат. заметки, 1984, т. 35, № 2, с. 231-242.

67. Чантурия Т. А. О колеблемости решений линейного обыкновенного дифференцпального уравнения общего вида. — Дифференц. уравнения, 1986, т. 22, № 11, с. 1905-1915.

68. Чантурия Т. А. О существовании сингулярных и неограниченных колеблющихся решений дифференциальных уравнений типа Эмдена Фаулера. — Дифференц. уравнения, 1992, т. 28, № 6, с. 1009-1022.

69. Якубович В. А. Об асимптотическом поведении решений системы дифференциальных уравнений. — Матем. сб., 1951, т. 28, вып. 70, с. 217-240.

70. Atkinson F. V. On second order nonlinear oscillations. — Pacif. J. Math., 1955, 5, № 1, p. 643-647

71. Belohorec S. A criterion for oscillation and nonoscillation. — Acta F. R. N. Univ. Comen. Math., 1969, v. 20, p. 75-79.

72. Belohorec S. Two remarks on the properties of solutions of a nonlinear differential equation. — Acta F. R. N. Univ. Comen. Math., 1969, v. 22, p. 19-26.

73. Belohorec S. Monotone and oscillatory of solutions of a class of nonlinear differential equation. — Math. Casop., 1969, 19, № 3, 169-187.

74. M. F. Bidaut- Véron, Local and global behaviour of solutions of quasilinear elliptic equations of Emden-Fowler type. — Arch. Rat. Mech. Anal. v. 107 (1989) 293-324.

75. H. Brezis, T. Kato, Remarks on the Shrôdinger operator with singular complex potential. — J. Math, pures et appl., v. 58 (1979) 137-151.

76. P. Constantin, Decay estimates of Schrôdinger equations. — Commun. Math. Phys., v. 127 (1990) 101-108.

77. S. Doi, On the Cauchy problem for Schrôdinger type equations and the regularity of solutions. — J. Math. Kyoto Univ., v. 34 (1994) 319-328.

78. R. Emden, Gaskugeln. — Leipzig, 1907.

79. B. Guerch, L. Véron, Local properties of stationnary solutions of some nonlinear singular Schrôdinger equation. — Rev. Mat. Iberoamericana v. 7 (1991) 65-114.

80. N. Hayashi, Global existence of small solutions to quadratic nonlinear Schrôdinger equations. — Comm. P. D. E., v. 18 (1993) 1109-1124.

81. Kartsatos A. G. N th order oscillations with middle terms of order N 2 — Pacific J. Math., 67 (1976), № 2, 477-488.

82. T. Kato, Shrôdinger operators with singular potentials. — Israël Jl. Math., v. 13 (1972) 135-148.

83. T. Kato, On some Shrôdinger operators with a singular complex potential. — Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Ser. IV, v. 5 (1978) 105114.

84. I. Т. Kiguradze. On asymptotic behaviour of solutions of nonlinear non-autonomous ordinary differential equations. — Col-loq. Math. Soc. Janos Bolyai. 30. Qualitative theory of differetial equations, Szeged (Hungary), 1979, p. 507- 554.

85. I. T. Kiguradze. On Kneser solutions of the Emden-Fowler differential equation with a negative exponent. — Tr. In-ta matem-atiki NAN Belarusi 4 (2000), 69-77.

86. I. T. Kiguradze., T. A. Chanturia. Asymptotic properties of solutions of nonautonomous ordinary differential equations. — Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1993.

87. I. T. Kiguradze., T. Kusano. On periodic solutions of even-order ordinary differential equations. — Ann. Mat. Рига Appl., 180 (2001), № 3, 285-301.

88. A. J. Kneser. Untersuchung und asymptotische Darstellung der Integrale gewisser Differentialgleichungen beigrosser reden. — Wethen der Arguments, I. J. Reine und angew. Math., 1898, 116, p. 173-212.

89. V. Kondrat 'ev, M. Shubin, Discreteness of spectrum for the Schrödinger operators on manifolds of bounded geometry. — Operator Theory: Advances and Applications, v. 110, Birkhäuser Verlag Basel/Switzerland (1999).

90. Kozlov V. A. On Kneser solutions of higher order nonlinear ordinary differential equations. — Ark. Mat., 1999, v. 37, № 2, p. 305-322.

91. Kusano Т., Naito M. Nonlinear oscillation of fourth-order differential equations. — Canad. J. Math., 28 (1976), № 4, 840-852.

92. Kusano Takasi, Trench William F. Global existence of nonoscillatory solutions of perturbed genral disconjugate equations. — Hiroshima Math. J., 17 (1987), 415-431.

93. Lovelady D. L. On the oscillatory behavior of bounded solutions of higher order differential equations. — J. Diff. Equations, 19, (1975), № 1, 167-175.

94. Lovelady D. L. An asymptotic analysis of an odd order linear differential equation. — Pacif. J. Math., 57 (1975), № 2, 475-480.

95. Lovelady D. L. An oscillation criterion for a fourth-order integrally superlinear differential equation. — Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 58 (1975), № 4, 531536.

96. MasciJ. W.j Wong J. S. VF. Oscillation of solutions to second-order nonlinear differential equations. — Pacif. J. Math., 24 (1968), № 1, 111-117.

97. G. Polya On the mean-value theorem corresponding to a given linear homogeneous differential equation. — Trans. Amer. Math. Soc. 24 (1924), 312-324.

98. Rozov N. Kh. Duck trajectories of three-dimensional sigularly perturbed systems. — Georgian Math. J., 14 (2007), № 2, 341350.

99. Taylor W. E., Jr. Oscillation criteria for certain nonlinear fourth order equations. — Internat. J. Math., 6 (1983), № 3, 551-557.

100. Ch. I. de la Vallée-Poussin Sur l'équation différentielle linéaire du second ordre. Détermination d'une intégrale par deux valeurs assignées. Extension aux équations d'ordre n. — Journ. Math. Pur. et Appl., 1929, v. 9, № 8, p. 125-144.

101. Waltman P. Some properties of solutions of u" + a(t)f(u) = 0. — Monatsh. Math., 67 (1963), 50-54.

102. Waltman P.Oscillation criteria for third order nonlinear differential equations. — Pacif. J. Math, 18 (1966), 385-389.

103. Wong J. S. W. A note on second order nonlinear oscillation. — SIAM Review, 10 (1968), 88-91.

104. Wong J. S. W. On second-order nonlinear oscillation. — Funk-cialaj Ekvacioj, 11 (1968), 207-234.Список основных работ автора по теме диссертации

105. И. В. Асташова. Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений. — В сб. Доклады расширенных заседаний семинара ИПМ им. И. Н. Векуа, Тбилиси: ТГУ, т. 1, № 3, 1985. с. 9-11.

106. И. В. Асташова. Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений. — УМН, 1985, т. 40, вып. 5 (245), с. 197.

107. И. В. Асташова. Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений. — Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 6152-85Деп, 16 с.

108. И. В. Асташова. Об асимптотическом поведении решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений. — Диф. уравнения, 1986, т. 22, № 12, с. 2185.

109. И. В. Асташова. Асимптотическое поведение решений одного нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка. — Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 7284-В86, 25 с.

110. И. В. Асташова. О некоторых свойствах знакопеременных решений одного нелинейного дифференциального уравнения. — В сб.: Доклады расширенных заседаний семинара ИПМ имени И. Н. Векуа, Тбилиси, ТГУ, 1990, т. 5, № 3, с. 17-20.

111. И. В. Асташова. Об асимптотическом поведении знакопостоянных решений одного нелинейного дифференциального уравнения. — 1990, ЦНТИ «Информсвязь», Деп. ВИНИТИ № 10, 12 с.

112. И. В. Асташова. О существовании решения с заданной областью определения одного уравнения третьего порядка. — В сб.: Доклады расширенных заседаний семинара ИПМ имени И. Н. Векуа, Тбилиси, ТГУ, 1992, т. 7, № 3, с. 16-19.

113. И. В. Асташова. О качественных свойствах решений уравнений типа Эмдена Фаулера. —УМН, 1996, т.51, № 5, с. 185.

114. И. В. Асташова. Об одномерном уравнении Шредингера с комплекснозначным потенциалом. — Дифференц. уравнения, 1998, т. 34, № 6, с. 847.

115. Асташова И.В., Кондратьев В.А., Муравей Я.А., Филинов ский А.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — Москва, МАТИ, 2001, 147 с. (монография)

116. I. V. Astashova, А. V. Filinovskii, V. A. Kondratiev, L. A. Muravei. Some Problems in the Qualitative Theory ofDifferential Equations. — Journal of Natural Geometry. Jnan Bhawan. London. 2003. v. 23. № 1-2. p. 1-126. (монография)

117. I. V. Astashova. Estimates of Solutions to One-dimensional Schrodinger Equation. — World Scientific: Progress in Analysis. Proceedings of the 3rd International ISAAC Congress. Singapore, 2003, v. II, p. 955-960.

118. И. В. Асташова. О равномерных оценках положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений четного порядка. — Дифференц. уравнения, т. 40, №11, 2004, с. 1570.

119. И. В. Асташова. О равномерных оценках положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений. — Дифференц. уравнения, 2005, т. 41, № 11, с. 1579-1580.

120. И. В. Асташова. Равномерные оценки положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений. — Доклады РАН, 2006, т. 409, № 5, с. 586-590.

121. И. В. Асташова. О равномерных оценках положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений с отрицательным потенциалом. — Дифференц. уравнения, т. 42, № 6 (2006), с. 852.

122. И. В. Асташова. О равномерных оценках решений квазилинейных дифференциальных неравенств. — Дифференц. уравнения, т. 42, № 6 (2006), с. 855-856.

123. И. В. Асташова. О равномерных оценках решений квазилинейных дифференциальных уравнений. — Фундаментальная и прикладная математика, т. 12 (2006), № 5, с. 3-9.

124. И. В. Асташова. Равномерные оценки решений квазилинейных дифференциальных неравенств. — Труды семинара им. И. Г. Петровского, 2007, вып. 26, с. 29-38.

125. И. В. Асташова. О колеблемости решений квазилинейных дифференциальных уравнений. — Дифференц. уравнения, т. 43, № 6 (2007), с. 852.

126. I. V. Astashova. On Existence of Non-oscillatory Solutions to Quasi-linear Differential Equations. — Georgian Mathematical Journal, № 2, v. 14 (2007) p. 223-238.

127. И. В. Асташова. Равномерные оценки положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений высокого порядка. — Труды МИАН им. В. А. Стеклова, т. 261, 2008,с. 26-36.

128. И. В. Асташова. Равномерные оценки положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений. — Известия РАН, т. 72, № 6, 2008, с. 103-124.