Поведение решений квазилинейных эллиптических неравенств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1. Введение

2. Дивергентные неравенства с измеримыми коэфициентами

2.1. Неотрицательные решения дивергентных эллиптических неравенств.

2.2. Редукция теоремы 2.1.2 к бесконечно гладкому случаю

2.3. Доказательство соотношения (2.13).

2.4. Доказательство соотношения (2.14).

3. Недивергентные неравенства

3.1. Неотрицательные решения недивергентных эллиптических неравенств.

3.2. Доказательство (2.13) в недивергентном случае

3.3. Доказательство (2.14) в недивергентном случае

4. Решения эллиптических неравенств в неограниченных областях

4.1. Некоторые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

4.2. Оценки для решений эллиптических неравенств. Теоремы единственности.

4.3. Субэллиптические функции в неограниченных областях.

4.4. Неравенства типа Эмдена-Фаулера.

5. Эллиптические неравенства в областях, принадлежащих

5.1. Неотрицательные решения эллиптических неравенств в плоских областях.

5.2. Доказательство соотношения (5.8).

5.3. Доказательство соотношения (5.9).

6. Эллиптические неравенства в неограниченных областях, являющихся подмножествами

6.1. Решения эллиптических неравенств в неограниченных плоских областях.

6.2. Неравенства типа Эмдена-Фаулера в областях, принадлежаш;их.

6.3. Субэллиптические функции в плоских областях

7. Эллиптические неравенства в областях, расположенных в слое

7.1. Неотрицательные решения эллиптических неравенств в областях, расположенных в слое

7.2. Теоремы единственности.

А. Свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Багиров Л.А., Кондратьев В.А. Об эллиптических уравнениях в // Дифф. ур-я. 1975. Т. 11. лл 3. С. 498-504.

2. Багиров Л.А., Кондратьев В.А. Об асимптотике решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Матем. сб. 1991. Т. 182. № 4. С. 508-525.

3. Вере Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966.

4. Блохина Г. Н. Теоремы типа Фрагмена-Линделёфа для линейного эллиптического уравнения 2-го порядка / / Доклады РАН. 1965. К2 4. С. 727—730.

5. Блохина В. Н. Теоремы типа Фрагмена-Линделёфа для линейного эллиптического уравнеия 2-го порядка // Матем. сб. 1970. Т. 84(124). 4. С. 507—531.

6. Бор сук Н,В., Кондратьев В. А. Поведение решения задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка вблизи угловой точки // Дифф. ур-я. 1988. Т. 24. № 10. С. 1778-1784.

7. В ер в ер М. Л., Ландис В. М. Одно обобщение теоремы о среднем для многих переменных // Доклады РАН. 1962. № 4. С. 761—764.

8. Кигурадзе И. Т., Чантурил Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990.

9. Кондратьев В. А. О качественных свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений // Труды Семинара им. И.Г.Петровского. 1992. Вып. 16. С. 186-190.

10. Кондратьев В. А., Ландис Е. М. Полулинейные уравнения // УМН. 1987. Т. 42. 5. С. 233-234.И. Кондратьев В.А., Ландис Е.М. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка / / Матем. сб. 1988. Т. 135(177). 3. С. 346-360.

11. Кондратьев В.А., Ландис Е.М. Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М. : ВИНИТИ, 1988. Т. 32. С. 99-215.

12. Кондратьев В. А., Ландис Е. М. Полулинейные уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Матем. заметки. 1988. Т. 44. Вып. 4. С. 457-468.

13. Кондратьев В.А., Никишкин В.А. Об асимптотике вблизи границы решения сингулярной краевой задачи для полулинейного эллиптического уравнения // Дифф. ур-я. 1990. Т. 26. № 3. С. 465-468.

14. Кондратьев В.А., Никишкин В.А. Об асимптотике вблизи кусочно-гладкой границы сингулярных решений полулинейных эллиптических уравнений // Матем. заметки. 1994. Т. 56. Вып. 1. С. 50-56.

15. Кондратьев В.А., Олейник O.A. О поведении на бесконечности одного класса нелинейных эллиптических уравнений в цилиндрической области // Доклады РАН. 1995. Т. 341. W 4. С. 446-449.

16. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988.

17. Ладыженская О. А., Уралъцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

18. Ландис Е.М. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка // УМН. 1963. Т. 18. № 4. С. 3-62.

19. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и парвболического типов. М.: Наука, 1971.

20. Ландис Е. М. О поведении решений эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // Труды ММО. 1974. Т. 31. С. 35-58.

21. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966.

22. Мазъя В. В. О регулярности на границе решений эллиптических уравнений и конформного отображения // Доклады РАН. 1963. Т. 152. № 6. С. 1297-1300.

23. Мазъя В. В. О модуле непрерывности решений задач Дирихле и Неймана вблизи нерегулярной границы // Сб. " Проблемы матем. анализа". ЛГУ. 1966. С. 45-48.

24. Мазъя В. В. О поведении вблизи границы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме // Матем. заметки. 1967. Т. 2. № 2. С. 209-220.

25. Мазъя В.В. Пространства С.Л.Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

26. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977.

27. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Итоги науки. Сер. Матем. Математический анализ. М. : ВИНИТИ, 1971. С. 7-251.

28. Понтрлгин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.

29. Похожаев СИ. О краевой задаче для уравнения Л^ = II Доклады РАН. 1961. Т. 140. л5 3. С. 518-521.

30. Похожаев С. И. Об одном подходе к нелинейным уравнениям // Доклады РАН. 1979. Т. 247. № 6. С. 1327-1331.

31. Похожаев С. И. Об уравнениях вида Агл = /{х,и,Ви) // Матем. сб. 1980. Т. 113. № 2. С. 324-338.

32. Похожаев С. И. О разрешимости эллиптических уравнений в Мл с суперкритическим показателем нелинейности // Доклады РАН. 1990. Т. 313. № б. С. 1356-1360.

33. Похожаев С. И. О целых решениях одного класса квазилинейных эллиптических уравнений // Доклады РАН. 1991. Т. 318. № 6. С. 1319-1324.

34. Похожаев С. Я. Об эллиптических задачах с суперкритическим показателем нелинейности // Матем. сб. 1991. Т. 182. № 4. С. 467-489.

35. Похожаев С. И. Об асимптотике целых радиальных решений квазилинейных эллиптических уравнений / / Доклады РАН. 1991. Т. 320. К5 4. С. 808-813.

36. Похожаев С. И. О целых решениях квазилинейных эллити-ческих уравнений // Доклады РАН. 1991. Т. 318. 4. С. 815-820.

37. Похожаев С. И. О точных априорных оценках для некоторых суперлинейных эллиптических уравнений // Доклады РАН. 1992. Т. 327. № 4-6. С. 433-437.

38. Похожаев С. И. О целых радиальных решениях квазилинейных эллиптических уравнений // Тр. Матем. ин-та РАН. 1993. Т. 204. С. 251-273.

39. Похожаев С. И. Точные априорные оценки для одной квазилинейной вырождающейся эллиптической задачи // Матем. сб. 1993. Т. 184. JYs 8. С. 3-16.

40. Похожаев С. И. Точные априорные оценки для некоторых квазилинейных эллиптических уравнений // Дифф. ур-я. 1993. Т. 29. W 3. С. 472-486.

41. Халмош П. Теория меры. М.: ИЛ, 1953.

42. Arend W., Batty С, Benilan Ph. Asynaptotic stability of Schrodinger semigroups // Math. Z. 1992. V. 209. li'- 4. P. 511518.

43. В aras P., Pierre M. Singularités eliminables pour des equations semi-lineaires // Ann. Inst. Fourier. 1984. V. 34. P. 182-206.

44. Baras P., Pierre M. Critère d'existence de solutions positives pour des equations semi-lineaires non monotones // Ann. Inst. Henri Poincare. 1985. V. 2. P. 185-212.

45. Benestryki H., Nirenberg L. Some qualitative properties of solutions of semilinear elliptic equations in cylindrical domains / / Analysis (volume dedicated to J. Moser). Academic Press, New York, 1990, P. 115-164.

46. Benguria R., Lorca S., Yarur С. Nonexistence of positive solution of semilinear elliptic equations // Duke Math. J. 1994. V. 74.

47. Brezis H., Lieb E. Long range atomic potentials in Thomas-Fermi theory // Comm. Math. Phys. 1979. V. 65. P. 231-246.

48. Brezis H., Strauss W. A. Semi-linear second-order ehiptic equations in L V / J- Math. Soc. Japan. 1973. V. 25. P. 565-590.

49. Brezis H., Veron L. Removable singularities of some nonlinear elliptic equations // Arch. Rational Mech. Anal. 1980. V. 75. P. 1-6.

50. Clement P., Mandsevich R., Mitidieri E. Positive solutions for a quasilinear system via blow-up // Comm. in P.D.E. 1993. V. 18. № 12. P. 2071-2106.

51. Gallouet T., Morel J.-M. Resolution of a semihnear equation inLA II Proc. Royal Soc. Edinburgh. 1984. Ser. A. V. 96A. P. 275-288.

52. Galsina A., Mora X., Sola-Morales J. The dynamical approach to elliptic problems in cylindrical domains and a sdudy of their parabolic singular Hmit / / J . Diff. Eq. 1993. V. 102. P. 244-304.

53. Gilbarg B., Trudinger N.S. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Springer-Verlag, 1977.

54. Haviland E. K. A note on unrestricted solutions of the differential equation A^ = f{u) 11 J. London Math. Soc. 1951. V. 26. P. 210-214.

55. Keller J.B. On solutions of Aix = f{u) // Comm. Pure. Appl. Math. 1957. V. 10. № 4. P. 503-510.

56. Kondratiev V.A., Veron L. Asymptotic behaviour of solutions of some nonhnear parabohc or elliptic equations // Asymptotic Analysis. 1997. V. 14. P. 117-156.

57. Kuzin I., Pohozaev S. Entire solutions of semilinear elhptic equations. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Apphcations, 1991, Vol. 33.

58. Levine H.A., Payne L.E. On the nonexistence of entire solutions to nonlinear second order elliptic equations // SIAM. J. Math. Anal. 1976. V. 7. W 3. P. 337-343.

59. Littman W., Stampacchia G., Weinberger B. Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. Ser. 3. 1963. V. 17. JVA 1-2. R 4377.

60. Moser On Harnak's theorem for elhptic differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1961. V. 14. № 3. R 577-591.

61. Ni W.M. On the elliptic equation A'u-Kir(j;)u("+2)/("-2) A Q, itsgeneralizations, and applications in geometry // Indiana Univ. Math. J. 1982. V. 31., R 493-529.

62. Ni W.-M., Serrin J. Non-existence theorems for singular solutions of quasihnear partial differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1986. V. 39. P. 379-399.

63. Osserman R. On the inequality l\u > f{u) // Pacific J. Math. 1957. V. 7. JVA 4. P. 1641-1647.

64. Redheffer R. On entire solutions of nonlinear equations // BuU. Amer. Math. Soc. 1956. V. 62. R 408.

65. Sard A. The measure of the critical values of differential maps // Bull, of the Amer. Math. Soc. 1942. V. 48. P. 883-897.

66. Serrin J. Local behaviour of solutions of quasihnear equations // Acta Math. 1964. V. 111. P. 247-302.

67. Stampacchia G. Contributi alia regolarizzazione della soluzioni del problemi al contoro equazioni del seconde ordine ellitici / / Ann. Scu. Norm. Super. Pisa. Ser. 3. 1958. V. 12. P. 223-245.

68. Stampacchia G. Le problème de Dirichlet pour les equations elliptique second ordre a coefficients discontinus // Ann. Inst. Fourier. 1965. V. 15. jY* 1. P. 189-257.

69. Vazques J. L. Existence of solutions bounded at infinity for a semihnear elliptic equations on // Cellecf. Math. 1980. V. 31. № 1. P. 11-22.

70. Vazques J. L. An a priori interior estimate for the solutions of a nonhnear problem representing weak diffusion // Nonlinear Anal. 1981. V. 5. P. 95-103.

71. Vazques J. L. On a semilinear equation in involving bounded • measures // Proc. Roy Soc. Edinburgh. 1983. Ser. A. V. 95A. P.181.202.

72. Vazques J. L., Veron L. Singularities of elliptic equations with an exponential nonhnearity // Math. Anal. 1984. V. 269. P. 119135.

73. Vazques J. L., Veron Isolated singularities of some semilinear elhptic equations // Journal of Diff. Eq. 1985. V. 60. P. 301-322.

74. Vazquez J.L., Yarur C. Schroedinger equations with unique positive isolated singularities // Manuscripta Math. 1990. V. 67. P. 143-163.

75. Veron L. Solutions singuhere d'equations eUiptiques semi-lineaires // C. R. Acad. Sci. 1979. V. 288. Ser A. R 867-869.

76. Veron L. Singular solutions of some nonlinear elliptic equation // Nonlinear Anal. Theory, Methods and Appl. 1981. V. 5. № 3. P. 225-242.

77. Veron L. Comportement asymptoticue des solutions d'equations elliptiques semi-hneaires dans // Ann. Math. Pure. Appl. 1981. V. 127. P. 25-50.

78. Veron L. Global behavior and symmetry properties of singular solutions of nonhnear elliptic equations // Ann. Fac. Sei. Toulouse. 1984. Ser. 5. V. 6. P. 1-31.

79. Veron L. Singularities of solutions of second order quasilinear equations. Addison Wesley Longman Limited, 1996, Vol. 353.

80. Walter W. Uber ganze Lösungen der Differentialgleichang Au = f{u) II Jber. Deutsch. Math. Verein. 1955. V. 57. P. 94-102.

81. Wittich H. Ganze Lösungen der Differentialgleichang Л^ = // Math. Z. 1944. V. 49. P. 579-582.

82. Yarur C. Nonexistence of positive singular solutions for a class of semihnear elhptic systems // E. Journal of Diff. Equal. 1996. W 8. P. 1-22.Публикации автора по теме диссертации

83. Коньков A.A. Об оценках для решений квазилинейных эллиптических неравенств // УМН. 1995. Т. 50. Вьш. 4 (304). С. 79.

84. Коньков A.A. О поведении на бесконечности решений одного класса нелинейных уравнений второго порядка // Матем. заметки. 1996. Т. 60. Вып. 1. С. 30-39.

85. Коньков А.А. 06 оценках для решений квазилинейных элли-птичсеких неравенств в областях, принадлежащих цилиндру // УМН. 1996. Т. 51. Вып. 5 (311). С. 215-216.

86. КопЪоу А.А. Positive solutions of nonlinear second-order elliptic inequalities in unbounded domains // Russ. J. Math. Ph. 1997. T. 5. № 1. C. 119-122.

87. Коньков A.A. 0 поведении решений квазилинейных эллиптических неравенств, содержащих члены с младшими производными // Матем. заметки. 1998. Т. 64. Вып. 6. С. 946949.

88. Коньков А.А. Сингулярные решения эллиптических неравенств // УМН. 1998. Т. 53. Вып. 4. (322). С. 185.

89. Коньков А. А. О неотрицательных решениях квазилинейных эллиптических неравенств // Известия РАН. Сер. Матем. 1999. Т. 63. № 2. С. 41-126.

90. Коньков А. А. О неотрицательных решениях квазилинейных эллиптических неравенств в областях, расположенных в слое // Дифф. ур-я. 2000. Т. 36. 7. С. g 8 9 В9Л.

91. Коньков А.А. О поведении решений квазилинейных эллиптических неравенств в окрестности особой точки // Доклады РАН. 1999. Т. 366. Ш 5. С. 595-598.

92. КопЪоу А. А. Behavior of solutions of nonlinear second-order elliptic inequalities // Nonlinear Analysis. Theory, Methods and Appl. 2000. T. 42. № 7. C. 1253-1270.

93. КопЪоу A.A, Elliptic inequalities in unbounded plane domains // Russ. J. Math. Ph. 2000. V. 7. КЛ 1. P. 120-124.

94. Коньков A. A. 0 решениях квазилинейных эллиптических неравенств, обращающихся в нуль в окрестности бесконечности // Матем. заметки. 2000. Т. 67. Вып. 1. С. 153-156.

95. Коньков A.A. О единственности решения задачи Дирихле для нелинейных уравнений второго порядка в неограниченных областях // УМН. 1993. Т. 48. Вып. 4(282). С. 187.

96. Коньков A.A. О сингулярных решениях нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Матем. заметки.1996. Т. 60. Вып. 4. С. 616-620.

97. Коньков A.A. О сингулярных второго рода решениях нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифф. ур-я. 1996. Т. 32. Ш 6. С. 854.

98. Коньков A.A. О растущих решениях нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Матем. заметки.1997. Т. 62. Вып. 5. С. 792-795.

99. Коньков A.A. О поведении решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Доклады РАН. 1998. Т. 358. № 6. С. 739-742.

100. Коньков A.A. On nonnegative solutions of quasilinear elliptic inequalities in domains belonging to // Russ. J. Math. Ph. 2000. T. 7. Ш 4. C. 371-401.

101. Коньков A.A. 0 решениях неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия РАН. Сер. Матем. 2001. Т. 65. № 2. С. 4