Численно-аналитические методы исследования решений двухточечных краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ ПРАВЫМИ

ЧАСТЯМИ.

§ I. Численно-аналитический метод последовательных периодических приближений.

§ 2. Алгоритм построения периодических решений

§ 3. Теорема существования периодических решений

§ 4. Схема численно-аналитического метода для уравнений второго порядка

§ 5. Исследования существования периодических решений дифференциальных неравенств.

ГЛАВА П. ДВУХТОЧЕЧНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 6. Алгоритм приближенного нахождения решений краевых задач для дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной

§ 7. Существование решений краевых задач.

Выбор области начальных значений искомых решений.

§ 8. Краевая задача для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка.

§ 9. Краевая задача для дифференциального уравнения с разрывной правой частью

ГЛАВА Ш. МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ.

§ 10.Отыскание периодических решений методом тригонометрической коллокации

§ II. Периодические решения для уравнения с управляющим параметром

§ 12. Использование в численно-аналитическом методе приближений, найденных по методу тригонометрической коллокации . 108 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений представляет собой весьма интенсивно развивающиеся разделы качественной теории дифференциальных уравнений и прикладной математики. Это обусловлено с одной стороны, важностью практического приложения теории краевых задач при решении самых разнообразных задач науки и техники /"6, 7, 8, 91 У, с другой стороны - необходимостью решения целого ряда теоретических вопросов, связанных с исследованием существования, единственности, непрерывной зависимости решения от данных задачи /14, 19, 26, 94/, а также построением эффективных методов их отыскания. Кроме того, двухточечные краевые задачи охватывают и такой важный раздел теории дифференциальных уравнений, как теория вынужденных колебаний в системах, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями /27, 74, 84/.

Практическая важность изучения периодических движений в колебательных системах требует дальнейшего развития и совершенствования методов исследования, а также разработки конструктивных методов их нахождения £ 22, 23, 37 У.

Весьма эффективным средством изучения нелинейных колебаний являются асимптотические методы нелинейной механики, разработанные в фундаментальных трудах Н.М.Крылова, Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольского [ 9, 35, 46 У, которые получили дальнейшее развитие в работах [ 44, 45 У, метод малого параметра, предложенный А.Пуанкаре, А.МДяпуновым /~39, 61/ и развитый в работах их последователей [ 22, 23 J, метод точечный отображений А.А.Андронова /"4, II, 48 У, методы усреднения [ 21, 42,

83 ]. Однако эти классические методы не решают в полной мере проблему выявления и приближенного нахождения периодических движений систем с существенной нелинейностью. Для исследования периодических решений существенно нелинейных систем дифференциальных уравнений созданы функционально-аналитические [ 33, 48, 85, 94, 96У, численно-аналитические /II, 18, 25, 58, 63, 64, 74, 75, 84, 92 7 и численные [ 2, 13, 28, 38, 77, 89, 90, 93 У методы. Функционально-аналитические методы являются мощным аппаратом качественного изучения решений периодических и краевых задач, а также исследования вопросов их существования, единственности и устойчивости. Благодаря тому, что численно-аналитические и численные методы удобны для реализации на ЭВМ, они стали универсальным средством выявления и приближенного отыскания периодических решений краевых задач. Характеризуя в целом методы нахождения решений краевых задач, в том числе периодических, можно разбить их условно на две группы. К первой из них можно отнести те методы, которые ориентированы непосредственно на нахождение решений рассматриваемых периодических и краевых задач, например, проекционные методы Галер-кина [ 28, 101, 102 У, коллокации /14, 17, 74 У, разновидности разностных методов /2, 12 У, метод последовательных приближений [ 7, 37, 84, 92, 100 У. Другая группа методов, в основном такие численные схемы, как метод дифференциальной прогонки, стрельбы и редукции к задачам Коши /"I, 5, 6, 62, 75 У, нацелены на отыскание начальных точек, через которые проходят искомые решения. Большинство основных теоретических результатов, полученных к настоящему времени при рассмотрении общих двухточечных и многоточечных краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений, касаются качественных вопросов существования решений, их единственности и непрерывной зависимости от параметра [ 19, 26 7» и имеется сравнительно мало результатов, касающихся алгоритмов построения решений краевых задач. Отметим, в частности, что вопросам существования и отыскания периодических решений существенно нелинейных систем дифференциальных уравнений посвящены работы Л.Чезари [ 86, 94 7» М.Урабе f 102, 101 7, Г.Кноблоха [ 977» Ж.Мавина С98 7, А.М.Самойленко [ 65, 66, 67 7 и др.

В 1965 году А.М.Самойленко [ 65, 667 был предложен численно-аналитический метод последовательных периодических приближений для отыскания периодических решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий находить периодические решения в виде равномерно сходящейся последовательности периодических функций. Кроме того, этот метод позволяет, исходя из приближений к периодическому решению, судить о существовании таких решений. Он существенно дополнил ряд методов исследования периодических решений систем дифференциальных уравнений, среди которых выделяются асимптотические методы, функционально-аналитические методы, дающие возможность осуществлять некоторые качественные оценки решений, а также численно-аналитические и численные методы, с помощью которых можно находить приближенные решения. Благодаря простоте и доступности численно-аналитический метод последовательных периодических приближений А.М.Самойленко нашел широкое применение при исследовании периодических систем высших порядков f 58 7» счетных систем [ 68 7» систем не разрешенных относительно старшей производной [ 87, 887» дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом/"40, 417» интегро-дифферен-циальных уравнений /20, 49 7» систем дифференциальных уравнений с частными производными /"80, 81 У, систем описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с импульсным воздействием [ 59 , 73 У, при исследовании краевых задач /~76/. Дальнейшие возможности применения численно-аналитического метода к исследованию новых классов периодических систем отмечены в работе [ 74 У.

Универсальность метода подчеркивается также возможностью сочетания его с другими методами. Новые эффективные алгоритмы для отыскания периодических решений на основании синтеза численно-аналитического метода и метода двусторонних приближений получены в работе [36 У, численно-аналитического и проекци-онно-итеративного методов - в работах [ 24, 25 У.

Однако класс уравнений, для которых, благодаря упомянутым выше работам, оказалось узаконенным применение численно-аналитического метода, не охватывает ряда практически важных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям с разрывной правой частью. Поэтому весьма актуальным является вопрос о разработке методов исследования периодических краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Среди задач такого рода, возникающих практической деятельности, отметим задачи, рассмотренные в работах /43, 71/.

Целью настоящей работы является исследование периодических краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью; изучение возможности применения при решении периодических краевых задач некоторых приближенных методов, в том числе численно-аналитического и тригонометрической коллокации; обобщение численно-аналитического метода на случай линейных двухточечных краевых задач для систем дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной и распространение метода на системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка; построение эффективных итерационных схем, основанных на использовании вышеуказанных приближенных методов; исследование двухточечных краевых задач с управляющими параметрами для нелинейных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты исследований, приведенных в диссертации, состоят в следующем:

1. Развиты идеи численно-аналитического метода последовательных приближений А.М.Самойленко для исследования нелинейных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями.

2. Выделены классы нелинейных периодических уравнений с разрывной правой частью, для которых разработаны итерационные схемы построения их периодических решений в виде равномерно сходящихся последовательностей периодических функций.

3. Исследован вопрос существования периодических решений выделенных классов дифференциальных уравнений и разработан алгоритм приближенного отыскания периодических решений таких уравнений. Для дифференциальных уравнений второго порядка предложен алгоритм отыскания периодических решений, установлены достаточные условия существования таких решений, указан способ отыскания их начальных значений.

4. Обобщен и распространен численно-аналитический метод последовательных приближений на исследование решений систем нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной, подчиненных линейным двухточечным краевым условиям. Аналогичные результаты получены и для системы дифференциальных уравнений второго порядка.

5. Обосновано применение метода тригонометрической коллокации для построения периодических решений определенных типов дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Получены условия разрешимости системы определяющих уравнений метода тригонометрической коллокации и установлено существование приближенного решения.

6. Полученные в диссертации результаты иллюстрируются примерами.

- из

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абрамов А.А. О переносе граничных условий для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1961, I, № 3, с.542-543.

2. Абрамов А.А., Андреев В.Б. О применении метода прогонки к нахождению периодических решений дифференциальных и разностных уравнений. Журн.вычисл.мат. и мат.физ., 1963, 3, В 2, с .377381.

3. Александров П.С. Комбинаторная топология. М.-Л.: Гостехиз-дат, 1947. - 660 с.

4. Андронов A.M., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. -М.: Наука, 1981. 568 с.

5. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные -процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969. - 368 с.

6. Батчер Дж.К. и др. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Мир, 1979. - 312 с.

7. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.:Мир, 1968. 183 с.

8. Бернштейн И., Халанай А. Индекс особой точки и существование периодических решений систем с малым параметром. Докл. АН СССР, 1956, III, № 5, с.923-925.

9. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.:Физматгиз, 1963. 503 с.

10. Боль П.Г. О дифференциальных неравенствах. В кн.: П.Г.Боль. Избр.труды АН ЛатССР, Рига, 1961, с.177-213.

11. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.:Наука, 1976. 384 с.

12. Вайникко Г.М. О сходимости квадратурно-разностных методовдля линейных интегро-дифференциальных уравнений. Журн.вычисл.- 114 мат. и мат.физ., 1971, II, $ 3, с.770-776.

13. Вайникко Г.М. О сходимости разностного метода ж задаче о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений.- Журн. вычисл. мат. и мат.физ., 1975, 15, № I, с.87-100.

14. Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов. Тарту: Изд. Тартуского гос.университета, 1976. 161 с.

15. Вайникко Г.М. О сходимости и устойчивости метода коллокации.- Дифференциальные уравнения, 1965, I, J£ 2.

16. Вайникко Г.М. О сходимости метода коллокации для нелинейных дифференциальных уравнений. Журн.вычисл. мат. и мат.физ., 1966, 6, № I.

17. Вайникко Г.М., Мийдла П.Х. О сходимости приближенных методов отыскания автоколебаний. Учен.зап. Тартуского госуниверситета, 1977, 43, с.75-88.

18. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. К.: Наукова думка, 1981. 412 с.

19. Васильев Н.И., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: Изд. Зинатне, 1978.- 189 с.

20. Вахабов Г. Численно-аналитический метод исследования периодических систем интегро-дифференциальных уравнений. Укр.мат. журн., 1969, 21, № 5, с.675-683.

21. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд.МГУ, 1971. 508 с.

22. Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. М.: Наука, 1971. 442 с.

23. Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 432 с.

24. Гречко В.И. О нахождении периодических решений нелинейных- 115 дифференциальных уравнений. В кн.: Приближенные и качественные методы теории дифференциальных и дифференциально-функциональных уравнений. К., Ин-т математики АН УССР, 1979, с.5-12.

25. Гречко В.И. Об одном проекционно-итеративном методе определения периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Укр.матем.журн., 1974, 26, № 4, с.534-539.

26. Гудков В.В., Клоков Ю.А., Лепин А.Я., Пономарев В.Д. Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: Изд. Зинатне, 1973. 135 с;

27. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

28. Забрейко П.П., Стриг!на С.О. Р1вняння Чезар1 та метод Гальор-KiHa вщпукання пер1одичних розв"язк1В. ДАН УРСР, 1970, № 7,с.583-586.

29. Канторович Л.В. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных. ДАН СССР, 1934, 4, Ш 8, 9.

30. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.-Л.: Физматгиз, 1959. 684 с.

31. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теорий функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 542 с.

32. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. - 331 с.

33. Красносельский М.А. Функционально-аналитические методы в теории нелинейных колебаний. Труды У-ой междунар. конф. по нелинейным колебаниям. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1970, т.1,с.322-331.

34. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутиц-ский Я .Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных урав- 116 нений. М.: Наука, 1969. 456 с.

35. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Новые методы нелинейной механики. К.: ГТТИ, 1934.

36. Курпель Н.С. О двусторонних приближениях к периодическим решениям дифференциальных уравнений. В кн.: Труды У-ой междун. конф. по нелинейным колебаниям. Киев.; Ин-т математики АН УССР, 1970, т.1, с.348-352.

37. Лика Д.К., Рябов Ю.А. Методы итераций и мажорирующие уравнения Ляпунова в теории нелинейных колебаний. Кишинев: Изд. Штиинца, 1974. 292 с.

38. Лучка АЛО. Проекционно-ятеративные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. К.: Наукова думка, 1980.263 с.

39. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 471 с.

40. Мартынюк Д.И. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом. -Укр.мат.журн., 1967, 19, № 4, с.125-132.

41. Мартынюк Д.И., Самойленко A.M. О периодических решениях нелинейных систем с запаздыванием. Математическая физика, 1967, вып.З, с.128-145.

42. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. К.: Наукова думка, 1971. 440 с.

43. Митропольский Ю.А. О периодических решениях систем нелинейных дифференциальных уравнений, правые части которых недиффе-ренцируемы. Укр.мат.журн., 1959, II, ^ 4, с.366-379.

44. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. К.: Вища школа, 1979. 248 с.- 117

45. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. К.: Вища школа, 1976. 589 с.

46. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981. 400 с.

47. Мышкис А.Д. О дифференциальных неравенствах с локально ограниченными производными. Уч. зап.Харьк. ун-та, 138, 30, 1964, с.152-163.

48. Неймарк Ю.й. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 471 с.

49. Нуржанов О.Д. Численно-аналитический метод исследования нелинейных периодических систем одного класса интегро-дифферен-циальных уравнений. Математическая физика, 1977, вып.22,с.22-30.

50. Овездурдыев X. Периодические решения дифференциальный уравнений с разрывной правой частью. В сб.: Методы нелинейной механики и их приложения. К. : Ин-т математики АН УССР, 1982,с.108-116.

51. Овездурдыев X. Об условиях существования периодических решений дифференциальных неравенств стандартного вида. Математическая физика, 1983, вып.ЗЗ, с.25-27.

52. Овездурдыев X. О периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с разрывными правыми частями. Укр.мат.журн., 1984, 36, I I, с.45-51.- 118

53. Овездурдыев X. Численно-аналитический метод исследования периодических решений дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. ДАН УССР, 1984, Jfc 2, с.13-15.

54. Овездурдыев X. Краевая задача для одного дифференциального уравнения с разрывной правой частью. В сб.: Приближенные методы анализа нелинейных колебаний. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1984, с.80-85.

55. Овездурдыев X. Метод тригонометрической коллокации для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Киевский ун-т, Киев, 1984. - 17 с. (Рукопись деп. в УкрНИИНТИ 30 января 1985 г. № 188 УкД85).

56. Перестюк Н.А., Шовкопляс В.Н. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Укр. мат. журн., 1979, 31, № 5, с.517-524.

57. Перестюк Н.А. О периодических решениях некоторых систем дифференциальных уравнений. В сб.: Асимптотические и качественные методы в теории нелинейных колебаний. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1971, с.136-146.

58. Перестюк Н.А. Численно-аналитический метод исследования периодических систем с импульсами. Труды семинара по мат. физике. Киев: Ин-т математики АН УССР, вып. 3, 1969.

59. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. 279 с.

60. Проскуряков А.П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977. 256 с.

61. Роято В.А. Об определении начальных значений решений нелинейных краевых задач методом продолжения решения по параметру. -Укр.мат.журн., 1980, 32, № I, с.128-133.- 119

62. Ронто Н.И., Ронто В.А. Численно-аналитические алгоритмы отыскания периодических решений. Colloquium on Qualitative Theory of Differential Equations, 1979. Szeged-Budapest, JA'NOS BOLYAI Mathematical Society, 1978, p.70.

63. Рябов Ю.А., Толмачев Й.Л. Построение условно периодических решений в задачах теории нелинейных колебаний с помощью ЭВМ. -Труды У-ой междунар. конф. по нелинейным колебаниям, Киев: Ин-т математики АН УССР, 1970, т.1, с.489-494.

64. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений. I. Укр.мат.журн., 1965, 17, $ 4, с.16-23.

65. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений. П. Укр.мат.журн., 1966, 18, № 2, с.9-18.

66. Самойленко A.M. О периодических решениях нелинейных уравнений второго порядка. Дифференциальные уравнения, 1967, 3,1. Jfe II, с.1903-1912.

67. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования счетных систем периодических дифференциальных уравнений. -Математическая физика, 1966, вып.2, с.115-132.

68. Самойленко A.M. Об одном случае непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметра. Укр.мат.журн., 1962, 14, В 3, с.289-297.

69. Самойленко A.M. К вопросу о периодических решениях дифференциальных уравнений с недифференцируемыми правыми частями. Укр. мат.журн., 1963, 15, £ 3, с.328-332.

70. Самойленко A.M. Обоснование принципа усреднения для дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Вссб.: Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Киев :- 120

71. Ин-т математики АН УССР, 1963, с.90-95.

72. Самойленко A.M., Овездурдыев X. Численно-аналитический метод исследования периодических решений дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Тезисы докл. Ш республ.конф. "Вычисл. мат. в соврем, научно-технич. прогрессе". Киев, 1982, с.71-72.

73. Самойленко A.M., Перестюк Н.А. Периодические решения слабо нелинейных систем с импульсным воздействием. Дифференциальные уравнения, 1978, № 6.

74. Самойленко A.M., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. Киев: Вища школа, 1976.180 с.

75. Самойленко A.M., Ронто В.А. Определение начальных значений решений дифференциальных уравнений при периодических и многоточечных краевых условиях. Электронное моделирование, 1981,16 I, C.II-I5.

76. Самойленко A.M., Ронто В.А. О численно-аналитическом методе решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Укр.мат.журн., 1981, 33, & 4, с.467-475.

77. Синицкий Л .А., Шумков Ю.М. О поиске периодических режимовв нелинейных цепях численными методами. Теоретическая электротехника. Львов: Изд. Львовского госуниверситета, 1970, вып.9, с Л10-П5.

78. Собкович Р.И. Численно-аналитический метод исследования краевых задач с управлением. Автореф. канд. дис. Киев, 1983.17 с.

79. Стрижак Т.Г. О периодических решениях систем нелинейных уравнений второго порядка. В сб.: Асимптотические и качественные методы в теории нелинейных колебаний. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1971, с.195-203.- 121

80. Ткач Б.П. 0 периодических решениях систем дифференциальных уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом нейтрального типа. Труды семинара по мат.физике. Киев: Ин-т математики АН УССР, вып.2, 1968.

81. Ткач Б.П. Периодические решения систем уравнений в частных производных нейтрального типа. Дифференциальные уравнения, 1969, 5, № 4, с.735-748.

82. Тондл А. Нелинейные колебания механических систем. М.: Мир, 1973. 344 с.

83. Филатов А.Н. Методы усреднения в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях. Ташкент : Фан, 1971. 280 с.

84. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М. : Мир, 1966. 230 с.

85. Хохряков А.Я. О периодической краевой задаче для дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения, 1967, 3, № 10.

86. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Мир, 1964.

87. Шлапак Ю.Д. О периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, не разрешенных относительно старшей производной. Укр.мат.журн., 1974, 26, № 6, с.850-854.

88. Шлапак Ю.Д. Периодические решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной. Укр.мат.журн., 1980, 32, № 5, с.638-644.

89. Шнейдер К.Р. Числовые расчеты вынужденных колебаний проекци-онно-итерационным методом. Тезисы докл. У1 междун. конф. по нелинейным колебаниям. Варшава, 1972, с.68.

90. Эйприлл Т. (мл.), Трик Т. Анализ стационарного режима нелинейных цепей с периодическими входными сигналами. Автоматизация в проектировании. М.5 Мир, 1972, с.148-155.

91. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные- 122 уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 718 с.

92. Arnold Stokes. On the approximation of nonlinear oscillations. J. Differential Equations, 1972, 12, p. 535-558.

93. C.T.H.Baker. The numerical treatment of integral equations. Oxford Clarendon Press, 1978. 1034 p.

94. Cesari L. Functional analysis and periodic solutions of nonlinear differential equations. Contributions to Differ. Equations. New York, J.Wiley. Sons. Inc. 1963, 1, p.149-167.

95. Prezer R.A., Jones W.P., Skan S.W. Approximation to functions and to the solutions of differential equations. Reports and Memor. of the Aeron Research Committee, 1799, 1937.

96. Keller H.B. Approximation methods for nonlinear problems with application to two-point boundary value problems. Math. Comput., 1975, 29, N 130, p. 464-473.

97. Knobloch H.W. Remarcs on a paper L. Cesari on functional analysis and non-linear differential equations. Michigan Math. J., 10, 1963.

98. Mawhin J., Periodic solutions of strongly nonlinear differential systems., Труды У-ой Междун.конф. по нелинейным колебаниям. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1970, т.1.

99. Hikolova T.S., Bainov D.D. Об одной краевой задаче для дифференциальных уравнений сверхнейтрального типа с управлением. Болгария: Годишин. Висш. уч. завед. Прилож. мат., 1976, 12, № 3, с.209-218.

100. Mc.Candless Y/.Ъ. Hewton's method and nonlinear boundary value problems. J. Math. Anal, and Appl., 1974, 48, If 2, p.434-445.

101. Minoru Urabe. Galerkin's procedure for nonlinear periodic- 123 systems. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 20, p.120-152.

102. Urabe M., Reiter A. numerical computation of nonlinear forced oscillations by Galerkin*s procedure, J. Math. Anal. Appl., 1966, 14, p.Ю7-140.

103. Urabe M., Periodic solutions of differential systems, Ga-lerkin^ procedure and the method of averaging. J. of Dif. Eq., 2, 1966.