Двухточечная краевая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ПЕРМСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ техническим

УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

ТЕНЯЕВ ВИКТОР ВИКТОРОВИЧ

УДК 517.929

ДВУХТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НЕЛИНЕИНОИ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ПЕРМЬ - 2002

Работа выполнена на кафедре математического анализа Рязанского государственного педагогического университета

имени С. А. Есенина

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор М. Т. Терёхин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. И. Зейфман

кандидат физико-математических наук, доцент Т. А. Осечкина

Ведущая организация: Мордовский государственный

университет им. Н.П. Огарева

Защита состоится ''9'' октября 2002 г. в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 212.188.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Пермском государственном техническом университете по адресу: 614000, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29а, ауд. 423.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан ''21'' августа 2002 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук, доцент

В. А. Соколов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящей работе изучается нелинейная система дифференциальных уравнений с запаздыванием. Правая часть системы нелинейна и непрерывна по фазовым переменным, матрица соответствующей линейной однородной системы непрерывна. Изучаемая нелинейная система имеет тривиальное решение. Задачей исследования является поиск условий существования малых ненулевых решений двухточечной задачи системы дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Исследованием систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом посвящено большое количество работ. Существенный вклад в развитие этой теории внесли Эльсгольц Л.Э., Мыш-кис А.Д., Рубаник В.П., Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф., Шиманов С.Н., Красовский Н.Н., Кюн О.И., Работнов Ю.Н., Ха-ланай А., Векслер Д. и другие математики.

Многообразие конкретных систем, описывающих реальные процессы, и сложность проблемы не позволяют пока найти общего подхода к ее решению. Обширную область для исследования представляют случаи, требующие рассмотрения нелинейных членов для решения задачи. Таким образом, задача поиска достаточных условий ненулевых решений двухточечной краевой задачи в нелинейных случаях является актуальной.

Цель работы заключается в получении достаточных условий существования малых ненулевых решений двухточечной краевой задачи системы п дифференциальных уравнений с запаздыванием

х = А()х + А(, X) + В(, X)х + ]Х)+/(( х, х, X), (0.1)

в которой А((), А((, X), В((, X)- непрерывные (п х п) - матрицы, /((, X), /х, у, X) - непрерывные п -мерные вектор-функции, - оператор

сдвига (определение дано в §1.1 первой главы).

Методика исследования. Задача поиска условий существования нетривиальных решений двухточечной краевой задачи системы (0.1) сводится к задаче поиска условий существования ненулевой неподвижной точки нелинейного оператора. Построение нелинейного оператора основано как на свойствах матрицы линейного приближения, так и на свойствах нелинейных членов правой части системы.

Научная новизна. В работе изложен новый способ получения достаточных условий существования малых ненулевых решений двухточечной краевой задачи системы дифференциальных уравнений запаздывающего типа (0.1). Доказаны теоремы, являющиеся новыми

достаточными условиями существования таких решений. В основе исследований, содержащихся в диссертации, лежит специальным образом построенный вид решения системы дифференциальных уравнений с запаздыванием (0.1), что позволило для решения двухточечной краевой задачи существенно привлечь свойства нелинейных частей системы.

Научная и практическая ценность работы заключается в возможности применить полученные признаки существования решений двухточечной краевой задачи к исследованию конкретных систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, являющихся моделями природных, социальных и экономических процессов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Структура решений нелинейной системы функционально-дифференциальных уравнений вида (0.1).

2. Достаточные условия существования решений двухточечной краевой задачи системы (0.1) по первому приближению.

3. Алгоритм разрешимости решения двухточечной краевой задачи в критическом случае (когда решение двухточечной краевой задачи зависит от нелинейных членов системы).

4. Достаточные условия существования нетривиального решения системы дифференциальных уравнений (0.1) частного вида.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на VIII Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" в г. Пущино, на VI Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач, Понтрягинские чтения - XII» в г. Воронеж, на XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Публикации. Основные результаты работы отражены в десяти публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, приложения, заключения и библиографического списка литературы. Общий объем диссертации 99 страниц машинописного текста. Библиографический список содержит 85 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, содержится краткий обзор работ по ее тематике, сформулированы основные результаты, полученные в работе.

В первой главе исследуются свойства решений системы дифференциальных уравнений с запаздыванием в окрестности нулевого решения.

В первом параграфе вводятся основные определения и обозначения, формулируется задача исследования.

Пусть ¥<П - множество определенных и непрерывных на сегменте [0, ш ] п -мерных вектор-функций, Жшпхп - множество определенных и непрерывных на сегменте [0, ш] (п х п)-матриц, вектор-функция || е= {| | | е С1 () 0 < (() < г, г е[0, ш] г = 1~п}.

Определение. Оператор Т|, действующий на и(()еГшп и и (г) = и (()]еЖшПП по закону

Т1О = (1 (1 О)' и2 (12 (()> ип (1 п Ш , ^П (1 ()) «12 (1 •• и1п (1 0)

«21 (12 ()) и22 (12 () •• и2п (12 ()

- (n х n)-матрица,

Un1 ( n ()) U n 2 ( n (•)) ••• Unn ( n Q)_

назовем оператором сдвига.

В дальнейшем в работе будут приняты следующие обозначения:

i n

|x| = maxfc.}, \G\ = max Д gl}\, ||GQ| ( = sup |G(s|, ||xQ| ( = sup |x(s)|, где x - n -

l=!. n i=1, nj=1 se[0, t] se[0, t]

мерный вектор, G - (n х n)-матрица.

Обозначим множества: .0(5 )= (x| x e En, |x| < 5},

Л(5)={х|хеEm, |X|<5}.

Рассмотрим систему функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием

X = F(t, x, Tx, X), (1.1)

где t e [0, ш], x e 0(50), 1еЛ(50), 50 - некоторое число, 50 > 0, ^eMt, вектор-функция Fx, y, X) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица с постоянной K на множестве

[0, ш]х 0(5 0 )х о(5 0 )хЛ( 0):

|F(( У1, x)-F((, x2, y2, x)< К max {{ - x2|, - y2\ }.

ДВУХТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА. Пусть дано уравнение (1.1), вектор-функция запаздывания деMt и отрезок времени

[0,ш]. Требуется найти начальное значение аеd(50) и параметр X е Л{8 0) такие, что система (1.1) при а = а и X = X имеет малое решение x((, д, а, х), определённое на сегменте [о, ш] и удовлетворяющее краевым условиям

х(о, д, а, х)= х(ш, д, а, х).

Во втором параграфе доказывается теорема о существовании на сегменте [о, ш ], единственности и непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметра системы общего вида и находится оценка решений исследуемой системы.

Теорема 1.1. Пусть выполнены следующие условия:

1. вектор-функция F(t, х, y, X) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица с постоянной К > 0 на множестве [0, ш]х D(5 0 )х D(5 0 )хЛ(5 0 )

2. система (1.1) при X = 0 имеет определенное на сегменте [0, ш] решение х =у({) такое, что Цф(-Цш <5 0.

Тогда существует 5 > 0, что для любой точки (а, X), удовлетворяющей неравенствам |а-у(0)<5 , |X|<5 , система (1.1) имеет единственное решение х =ф((, а, X) с начальным условием ф(0, а, X) =а , определенное и непрерывное на множестве

{((, а, X) t е [0, ш], а - V (0) < 5, IX < 5 } и |ф(, а, X) < 5 0.

Следствие 1.1. Пусть выполнены условия:

1. вектор-функция F(t, х, y, X) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица с постоянной К > 0 на множестве [0, ш]х D(5 0 )х D(5 0 )хЛ(5 0 );

2. система (1.1) при X = 0 имеет решение х = 0.

Тогда существует 5 > 0, что для любой точки (а,X): а <5 ,

IX <5 система (1.1) имеет единственное решение х = ф((,а, X) с начальным условием ф(0, а, X) =а , определенное и непрерывное на множестве {((, а, X))t е [0, ш],а <5, XI <5} и |ф(-, а, X)) <50.

Теорема 1.2. Пусть вектор-функция F((, х, y, X) удовлетворяет условию Липшица с постоянной К > 0 на множестве [0, ш]хD(50)хd(50)хЛ(50) и F(t, 0, 0, X) = 0, х = х((, д, а, X) - малое решение системы (1.1), тогда верно неравенство ||х(, д, а, X) < С|а|, где

C = eKc.

В третьем параграфе исследуется система, в которой выделены линейные относительно х члены, находятся оценки, и изучается структура решений.

Рассмотрим систему

х = A(t)x + A(t, Я)х + B(t, Х)тмх + f(t, я)+f((, х, Tx я), (1.2)

где A(t), A(t, я), B(t, Я)- непрерывные (n xn) - матрицы, f (t, я), f (t, х, y, я) - непрерывные n -мерные вектор-функции.

Пусть X (t, s) - фундаментальная матрица системы х = A (t)х , тогда получим \X (t, s )< CX, 0 < s < t, 0 < t < с, CX > 1 - некоторое постоянное число.

Теорема 1.3. Пусть вектор-функция f (t, х, y, Я) удовлетворяет условию Липшица с постоянной K > 0 на множестве [0, co]x D(ô0 ) x d(ô0 ) x л(50 ) и f (t, 0, 0, Я) = 0, х = х(, и, а, Я) - малое решение системы (1.2), тогда верно неравенство

(с Л

|х( / а я)| с < C ^+J f (s, я)

ds

V 0 J

CX f((~(s, я)+|B(s, я)+К)ds

где С = Схе 0

Теорема 1.4. Пусть /((, х, у, Я) удовлетворяет условию

Липшица с постоянной К > 0 на множестве [0, со]х о(30)х о(30)хЛ(б0) и / (

0, 0, Я)= 0, тогда малое решение системы (1.2) х = х((, ¡л, а, Я) имеет вид

х(, л, а, Я) = ф((, л, Я)а + ф(1:, л, Я)+^((, ¡л, а, Я), где Ф((, л, Я) = £Фк((, ¡л, Я) - непрерывная (п х п)-матрица,

к=0

Ф,

((, и, я) = )X((, s)[(s, я)Фк-1 (s, и, я)+B(s, я)Ф^, /у, я)]) (к = 1, 2, ...),

-|-IXJ -I-CJU

Ф0 (t, и, Л)= X(t, 0) ; (p(t, и, а, я) = £ (к (t, а, я), ((t, я) = £ (к (t, я)

k=0 k=0

непрерывные n -мерные вектор-функции, (pk (t, а, я) = ) X (t, s )[[ (s, я(к-1 (s, а, я) + B (s, я)Т(к-1 (s, и, а, я^,

Vк

(t, и, я) = ) X (t, s )[[ (s, я)к-1 (s, и, я) + B (s, я))(к-1 (s, и, я) (к = 1, 2, ...),

t

Ро((, / а, А) = |Х(, s)fх(, / а, А), Т^х(, V, а, А), А^,

о

t

Ро (, и, А) = \X(, s)ts, А^,

о

матрица Ф((, А) и вектор-функции р(, и, Л) и р(, и, а, А) удовлетворяют неравенствам

\\Л(; А) +|\Б(, а)

1Ф( / А) < С

( / А\

1+-

\А(; а)+|Ы1 а)

||АМ)||( +|| /В(,А) 1 | С*

-1

<

У (, А) ( t

А(, А) + 1Ы11 1В( А\,1

лА(, А)11+11ЕЛ\°(, А)11| ^ .

еч у -1

llРt, / а, А\

<

кс I а +

У( А)

а)|(+||Е/Цв(;А)\ | crt

-1

К А) +|\еДВ(, А\

Рассмотрим систему

X = А(()х + ^((, X, Т/Х, а)х + ^((, X, Т/Х, а)/ + У((, А), (1.3) где ^(, х, у, А), Е2(, х, у, А) - непрерывные по совокупности своих аргументов (п х п) - матрицы, /((, А) - непрерывная п -мерная вектор-функция.

Теорема 1.5. Пусть х = х(, а, А) - малое решение системы (1.3), тогда это решение имеет вид

х((, а, А) = ф((, а, А) + р((, А),

где Ф((, а, А) = ^Фк(, а, А) - непрерывная (пхп)-матрица,

к=0

Ф

t t (, / а, А)=1Х^ sf(s, X, Т/Х, л)фк-1(5, / а, sf (( X / а)фы($ / а, А)

(к = 1, 2, ...), Ф0((, а, А) = X((, о); р(, А) = ^рк((, А) - непрерывная

к=о

п -мерная вектор-функция,

t t

Р( / а)=|х( ( х ТХ ^Фк-М / а)х( ( Х ТХ ^(Л^ / а)

оо

t

(к = 1, 2, ...), (о(( V, А) = \Х((, s\~ts, А)Ь.

о

Для матрицы Ф((, а, А) и вектор-функции р(, и, А) верны оценки:

е

||ф( м, а, А)) < С

Ы м, Щ <

1 + 1

И1 +1 п

и+ ЫН N1

0(ИНЕм'|Ы)СХ< - 1

/( А)

и + Ем I

,((1+11ЕЛ\N )с*

-1

Теорема 1.6. Если в системе (1.2) Л(, А) = Л(л)((, А) + о()\р1 ), Б(, А^Б^, А+ф-), ,7((, А)=7(й)((, А)+о()), /(( X,у, А)=Л( X,у, А+о^), ^е г = (х, у, А), Л{л)((, А), Б(р2А), /(р3)((, А) - формы порядка р1, р2, р3 по А, /(<г, х, у, А) - форма порядка ц по г, то малое решение системы (1.2) представимо в виде

х(( м, а, А)= [Х((, 0)+Н(р12м, А)]а + ^(рзА)+ /м, г)+

+ о (АР3)+ о (АР12 а + о (г|ц),

где г = (а, А), р12 = шт(р1, р2}, Н(р12}((, м, А), ^(рз^, А) - формы порядка р12 и р3 по А, /(<г)(, г) - форма порядка ц по г.

Теорема 1.7. Пусть Г( х, у, А) = Я!'1 >((, А) + Я(2>( х, у) + Я(3>(, х, у, А) + о) )+ о(г[2)+ о(г[3),

Г((, х, у, А) = ф>((, А) + Й*>((, х, у) + 03%)((, X, у, А) + о)1)+ о(г\Чг)+ о(г|93),

/ ((, А)=.7 (р)(, а)+о(\р), где г = (х, у, А), г = (х, у), /(р)(, А), я()((, А) и ф1)((, А) - формы порядка р, г и ц по А; Я(2х, у) и О^2^, х, у) - формы порядка г2 и ц2 по х и у; Я(з^, х, у, А) и о3Чъ, х, у, А) - формы порядка г3 и ц3 по х, у и А.

Тогда малое решение системы (1.3) представимо в виде

х((, м, а, А) = [Х((, 0)+Н(1)((, м, А)+Н(р2)((, м, а)+Н(^3)((, м, г)+^р)((, А)+

+ о)\р)+ о(ар2+1)+ [о()р1)+ о( г\р3 )]а,

где г = (а, А), р1 = ш1п(г1, ц1}, р2 = шт(г2, ц2}, р3 = шт^, ц}, Н()((, м, А) и g(р^ А) - р1 и р-формы по А, Н 2р2}((, м, а) - р2 -форма по а, Н3р3\(, м, г) - формы порядка р3 по г.

Во второй главе находятся достаточные условия существования решения двухточечной краевой задачи системы дифференциальных уравнений с запаздыванием в окрестности тривиального решения.

В первом параграфе двухточечная краевая задача решается по первому приближению.

Во втором параграфе исследуется система (1.2), используя свойства нелинейных членов системы.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

х = А(()х + А(, Я)х + В((, X)Tлx + /((, Л)+/((, х, Тлх, X). (2.1)

Пусть х = х((, л, а, X) - малое решение системы (2.1), А(, Л) = А<р>(, X) 0(Л\Р1), В((, X)В*>((, Я)+О^2), ~(, Я)=)(, Я)+), /((, х, у, X = /^((, х, у, X + о^), где 7 = (х, у, X), А(р1)((, X) , В(Р2)(( X) , /(рз)(, X) -формы порядка р1, р2, р3 по X, /(<г, х, у, X) - форма порядка q по г = (х, у, X), причем порядок по х и у не меньше 2, тогда, согласно теореме 1.6, решение можно представить в виде х(, л, а, я)= [х (, о)+н <р12)((, л, *(рзX)+/ (, л, г)+

+ о^3 )+ О(х\Pl2 а + о(гГ ), где г = (а, X) , Р12 = т1п{р1, Р2}, н(р12) ((, л, X), *(рз, X) - формы порядка р12 и р3 по X, /(<г)((, л, г) - форма порядка q по г.

Из условия х (®) = х (о) = а получим систему

е - х(®, о)-Нр2 )(л, X)]*(р3 X/(\л, г)+о^3)+о^12 а+о(г|q). (2.2)

~ К ~

Пусть Е - X(®,о)= о , К - г х п -матрица, тапкК = г . Это представление можно всегда получить, умножая слева на неособенную матрицу, которая исходную матрицу преобразует к нужному виду. Систему (2.2) запишем в виде

Ка = н!р12)(л, X)а+*(рзX/«(л, г)+о^3)+О^12)а+о(г|q),

>(р12 V X)а=*2рз )(X)+/Кл, г)+о(рз)+о(хPl2)+о((С1).

Введем замену X = pe, е - т -мерный вектор, р = IX > о, |е| = 1, тогда систему (2.3) можно записать

|Ка = рй2Н^2)л, е)а+о(рй2), [Нр)(л, е)а = о(р).

(2.3)

(2.4)

Положим Н(л, е) =

Г К

Кл, а, р, е) =

(

рр2Н(р2\л, е)а+о(рй2}

К

>(р)

Н12)(л, е). Систему (2.4) представим в виде

Н(л, е)а = г{л, а, р, е). (2.5)

Теорема 2.1. Если найдется такой вектор е, \е\ = 1, для

_( ) /^)(л, г)+о(г|q)

которого ёе1Н(л, е)о, р3 > р12, q > р12, '-ш-'

#)(л, г) + о(гГ)

Нш

IX

= о,

Нш

р12

= о, то система дифференциальных уравнений (2.1)

имеет малое ненулевое решение двухточечной краевой задачи.

1о

Пусть а, а2,..., ап-г линейно независимые решения системы [ - X(о, 0)]а = 0. Составим п х(п - г)-матрицу О = [, а2, ап-г ]. Тогда с помощью замены а = О в, в - (п - г)-мерный вектор систему (2.2) можно привести к виду

Н^ Л)в+)(д)+)+о(^й2)в+9)= 0, в котором Н(й2\/л, Л)=Н(й2)(//, Л), = (в, А) - (п + т - г)-мерный вектор.

Обозначим п -мерную вектор-функцию (форму порядка р = тт{р>12 +1, р3, д} по 5р )

Н(р12V Л)в+^А/%, в если рз = д = р12 +1,

Н(р12 V Л)в+^(рзА если Рз = Р12 +1, д >р,2 +1, Н(Р12V Л)в+/(д)(л, ¿в), если д = +1, Рз >Р12 +1 £(Рз)(А+/(д)(л, в если рз = д <р^ +1, Н(р12Л)в, если д > р12 +1, рз > р12 +1,

^(рз)(4 если рз <р12 +1,д >рз , /(д)( ¿в), если д<р12 +1,д<рз .

Тогда предыдущая система примет вид

и(5в)=фв|р )• (26) Сделаем замену переменных 5в= ре, е - (п + т - г)-мерный вектор, р = |5в| > 0, |е| = 1, тогда систему (2.6) можно записать

и(е) = Р. (2.7)

Лемма. Пусть выполнено условие(е, |е| = (е0). Тогда

система (2.6) не имеет решений отличных от нуля в некоторой малой окрестности нуля, а система дифференциальных уравнений (2.1) не имеет малых нетривиальных решений двухточечной краевой задачи.

Теорема 2.2. Если существует такой (п + т - г) -мерный

вектор е0, |е0| = 1, что и(е0) = 0 и га^и(е0) = п, где и(е0) = — - матри-

де

е=е0

ца Якоби, то система (2.6) имеет ненулевое решение ¿в = (в*, Л0,

¿в| , а система дифференциальных уравнений (2.1) имеет ненуле-0

вое решение х = х^, /, а*, Л*), удовлетворяющее равенству

*

а

<8,.

(* Л* | * * у--)*

ш, л, а , Л )=а , а = Ор ,

Пусть выполнено условие

(е0, |е01 = 1)((е0) = 0 & 0 < га^и(е0 ) = г1 < п), да > г + г1.

в котором и (е0) = —

де

- матрица Якоби Рассмотрим систему

и(е0)Ае = о(Ае|) + Р . (2,8)

Введём замену Ае = ЬА~, где А~ - (п + да - г - г1)-мерный вектор, Ь - (п + да)х(п + да - г - г1)-матрица, составленная из (п + да - г - г1) линейно независимых решений системы и (е0) = 0^ Тогда предыдущая система примет вид

о(А~ ) = ^

Рр

Пусть о(Ае|)=п(Ае) + о(а~|к), пк(А~) - форма порядка к > Тогда

получим систему Пк (А~ ) = о(а~ |к)+ °(р>_ ) • Сделаем замену переменной,

рР

положив А~ = ру„ у - (п + да - г - г1)-мерный вектор, р = |А~| ф 0, |у\ = Ь Предыдущую систему можно привести к виду

Пк (г) = + • (2-9)

Р рРр

Теорема 2.3. Если существует (п + да - г - г1 )-мерный вектор

у0, \у(\ = 1 такой, что пк(/0) = 0 и гangQ.(y0) = п, где 0.(у0) = дПк

- мат-

7=70

ду

рица Якоби, то найдутся числа 8 > 0 и 8 > 0 такие, что для любых фиксированных чисел р<8, р ф 0 и р <8, р ф 0 система (2.9) имеет ненулевое решение у = у0 +Ау*. Система (2.6) имеет ненулевое решение = р(е0 +рь(у0 +Ау*))=(>#*, Л), гв <8°-, а система дифференциальных уравнений (2.1) имеет ненулевое решение х = х(г, ц, а\ Л), удовлетворяющее равенству х(ш, ¡л, а*, Л) = а*, а* = 00*, |а*| <80.

Пусть га^О.(у0) < п, тогда процедура получения условий существования решения двухточечной краевой задачи может быть продолжена до тех пор, пока размерность да >г + г1 + ••• + гк (к - номер процедуры^ Если да <г + г1 + ••• + гк+1, то далее этим методом получить достаточные условия существования малого решения двухточечной крае-

вой задачи будет невозможно. Следовательно, процедура остановится.

В третьем параграфе исследуется система (1.3) в случае, когда решение двухточечной задача зависит от нелинейной части. Рассмотрим систему

х = A(t )х + F (t, х, тмх, Я)х + F2 (t, х, тмх, я)х + f (t, я), (2.10)

в которой

F (t, х, y, я) = Rt )(t, я) + Rt2)(t, z) + Rf3)(t, z) + а(я\Г1 )+ o(zf2 )+ o(zf3 ), F (t, х, y, я) = Q(q'% я) + Q(2\ z) \ z) + Оя )+ o(z|'2 )+ o(z|q3

f (t, я=f ^e, 4яр ),

где z = (х, y, я), z = (х, y), f(p)(t, я), Rt1 \t, я) и ф1 |(t, я) - формы порядка p, r и q1 по я; Rt2 )(t, z ) и q292 )(t, z ) - формы порядка r2 и q2 по z ; R(3 \t, z) и Qf3 )(t, z) - формы порядка r3 и q3 по z . Тогда решение, согласно теореме 1.7, можно представить в виде

х^, и, а, я) = [X(t, 0)+#iP1 )(t, и, Я)+Hp)(t, и, а)+H3Р3)(t, и, ¿) +gW((, я)+

+ о(яР )+ о(аР2+1 )+ OU* )+ о( z\Р3 )]а,

где z = (а, я), рх = тт{, qj, p2 = min(r2, q2}, Р3 = min{, q3}, HfP1 )(t, и, я) и g(p )(t, я) - pj и p -формы по я, H 2P2 )(t, и, а) - р2-форма по а, H3p3 )(t, и, z) - формы порядка p3 по z .

Условие существования решения двухточечной задачи задается системой

[e-X(c, 0)-H^/, я)-H(2)(и, а)-H3p3^ z)\x =¿»\я)+

+ оя)+ о\аГ+1 )+ Оя )+ 0(z\p3 )]а . Как и в предыдущем параграфе будем предполагать, что rang (E - X (с, 0)) = r < n, m > r .

Пусть а1, а2,..., ап-г линейно независимые решения системы [E-X(с, 0)]а = 0. Составим n x(n - r)-матрицу G = [а1, а2, ..., ап_г ]. Тогда с помощью замены а = GP, в - (n - r) -мерный вектор предыдущую систему можно привести к виду

H* V я)+h(2 v в)+Ht V ^в)]в=g е\яЯ+

+ оЕя )+ о(в p2+1 )+ОяГ )+ о(*в| p3 )]в, в котором H^Eu, Я) = -H1(pl|(u, я)?, H(p2V в) = -H2p2V Ge)), H3(p3)(и, zp)=-H(E'3)(и, ,ze)G, = (в, Я) - (n + m - r)-мерный вектор.

Обозначим n -мерную вектор-функцию (форму порядка

р = min{{ p^ p3, p - 1}+ 1 по Zp )

и((в)=^

(п()(л, Л)+Н(р2)(/, в)+Нз(рз)(л, ¿в))в+Л), если р = р2 = рз = р-1: ((/, Л+Н2р^(л, в)+Нз(рз)(л, ¿в))в, если р = р2 = рз <р-1, ()(л, Л)+Н2р2)(л, в))в+£(р)(А), если р = р2 = р-1,рз > р ,

(((л, Л)+Нз(рз V ¿в))в+£Ы(4 если р = рз = р-1,р2 > р , ()(л, в)+Нз(рз)(л, ¿в))в+£Ы(4 если р2 = рз = р-1,р >р2 , Н1р\л, А)в+^(р)(А), если р1 = р-1,,

, рз > р1 , р2 > р1 ,

Н2р2)(л, в)в+£(р)(Л, если р2 = р-1,р1 >р2 ,рз >р2 ,

Нз(рз)(л ¿в)в +^И, если рз = р-1 ,р1 >рз ,р2 >рз , £^р)(Л), если р1 >р-1,р2 >р-1,рз >р-1. Тогда система примет вид

и

4)=ФвГ). (2.11)

Сделаем замену переменных 5в= ре, е - (п + т - г)-мерный вектор, р = |5в| > 0, |е| = 1, тогда систему (2.11) можно записать

(е) = -

(2.12)

Система (2.12) в точности совпадает с системой (2.7). Дальнейшие рассуждения ведутся аналогично рассуждениям предыдущего параграфа.

Следует отметить, что для системы (2.12) справедливы теоремы 2.2 и 2.з, в формулировках которых необходимо заменить систему (2.1) на систему (2.10).

В третьей главе рассмотрены частный случай системы (1.з) и приложения теории, разработанной в предыдущих главах.

В первом параграфе исследована система (1.з) частного вида и для этой системы получены достаточные условия существования и отсутствия ненулевого решения двухточечной краевой задачи в малой окрестности нулевого решения.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с запаздыванием (1.з) частного вида

х = А()х + ^ (г, х, Гц х, Л)х + (г, х, Гц х, л)тл х. (з.1)

Пусть х, у, Л) = [(//1.((), л)+о(Л)], F2(( х, у, Л) = [(/^((), л)+о(л|)], где И\ (() и Щ (() - непрерывные т -мерные вектор-функции (', ] = 1, п), (, ) -

скалярное произведение векторов.

Введем обозначение

со

Ф(Л) = JХ(с, s){[(s), л], 0) + [(s), x)x(s, 0))ds = [, л)],

0

n с

где Wn = Е Jхгк (с, s)[ М)^(s)+ xkj ((s), 0)k()] - постоянные m -

kj, k=1 0

мерные векторы, X((, s) = [ ((, s)]in - фундаментальная матрица системы x = A(t)x , X(s, s) = E.

Теорема 3.1. Если det(((c,0)-E)0, то система (3.1) не имеет малого ненулевого решения двухточечной краевой задачи.

Пусть rank(X(с, 0)-E) = r < n. Будем считать, что X(с, 0) - E = (G 0), G - n х r -матрица, rankG = r . Составим (n x m) -матрицы w = (wi, i, W2,i, •••, w„,i)T, (i = ITn).

Теорема 3.2. Пусть существует номер q e(r +1,..., n} такой, что rankWq = n, m > n. Тогда существует такое 5> 0, что для любого

X, |л*| <5 существует а* ф 0, для которых малое решение х = x(t, л, а*, X) системы (3.1) удовлетворяет условию х(0, /, а*, X)= х(с, л, а*, X).

Теорема 3.3. Если существуют число k, I < k < n - r и набор но-

(w. Л

меров iI, i2, •••, ik, r <iI <i2 <•••<ik <n такие, что rankW = kn, W =

V гк

т > кп, то система дифференциальных уравнений (3.1) имеет малое решение х=х(/, л, ос, X), а =(о, 0, ...,аг, 0, ...,0, аг 0,...,0, ак ,0,...,0), удовлетворяющее условию X(0, л, а*, X)= X(со, л, а*, X).

где

Пусть X, у, Х) = к((, Х+^(ХЙ)], р*((> X, У, Х = к((, Х)+о(ХР2) к! ((, X) и И22 (, X) - непрерывные т -мерные вектор-функции, формы по X порядков р1 и р2 соответственно (г, ] = 1, п). Введем обозначение

Ф(Л) =

с

JX(с, s){[(s, ^)]xX(s, 0)+[(s, X]/X(s, 0))ds, еслиp = P2,

0

JX(с, s)[(s, Л)]](s, 0)ds, если pI < p2,

0

JX(с, s)[(s, A)]x(s, 0)ds, если pI > p2.

Матрица ф(я) является формой по Я порядка p = min{p1, p2}. Далее будем предполагать, что rank(X(0,0)- E) = r < n и x(с,0)-E = (G 0), G - nxr -матрица, rankG = r (см. абзац перед теоремой 3.2). Пусть (я) (г = 1, n) - столбцы матрицы Ф(Я).

Введем замену переменной: А = ре, р = |А| > о, \е\ = 1.

Теорема 3.4. Если существуют вектор ео, |ео| = 1 и номер к,

Якоби, т > п, то система дифференциальных уравнений (3.1) имеет малое ненулевое решение двухточечной краевой задачи.

Теорема 3.5. Если существуют вектор ео, |ео| = 1 и номера

m > kn, то система дифференциальных уравнений (3.1) имеет ненулевое малое решение двухточечной краевой задачи.

Во втором параграфе исследована математическая модель динамического взаимодействия сегментов финансового рынка. Найдены условия, при которых исследуемая система за время t = с самопроизвольно перейдет в исходное состояние.

В третьем параграфе рассмотрена математическая модель противовирусного иммунного ответа. Решена задача нахождения условий, при которых зараженный малой дозой вирусов орган через время t = с восстановится до первоначального состояния без медицинского вмешательства.

В приложении разработан алгоритм численного решения систем с запаздыванием, написана программа в среде Delphi 4.0. Приведен тест программы на уравнениях, для которых известно точное решение. Результаты расчетов представлены в виде графиков.

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору Терёхину М.Т. за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

де

матрица

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1 Теняев ВЗ^ Двухточечная задача неоднородной системы с линейным запаздыванием / Ряз^ гос пед^ ун-т - Рязань, 2001 - 9 с - Дет в ВИНИТИ 02•03•2001 г, № 550 - В2001 2^ Теняев ВЗ^ Двухточечная задача нелинейной системы с линейным запаздыванием / Ряз^ гос пед^ ун-т - Рязань, 2001 • - 9 с - Дет в ВИНИТИ 02.03.2001 г, № 551 - В2001 3^ Теняев ВЗ^ непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметра нелинейной системы с запаздыванием / Ряз^ гос пед^ ун-т - Рязань, 2001 - 12 с - Дет в ВИНИТИ 02.03.2001 т, № 552 - В2001

Теняев ВЗ^ Оценки и представление решений систем дифференциальных уравнений с линейным запаздыванием // Известия РАЕН Дифференциальные уравнения^ / РГПУ^ Рязань, 2001 • № 4^ С 96-102^

5^ Теняев ВЗ^ Условия существования и отсутствия решения двухточечной краевой задачи нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Известия РАЕН Дифференциальные уравнения^ / РГПУ^ Рязань, 2001 № 4^ С 103-107^ 6^ Теняев ВЗ^ Об одной задаче системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Известия РАЕН Дифференциальные уравнения^ / РГПУ\ Рязань, 2001 № 5^ С 165-171 7^ Теняев ВЗ^ Двухточечная задача нелинейной системы с запаздыванием // VIII международная конференция «Математика, компьютер, образование» (г Пущино, 31Ш - 05•02•2001 г Тезисы докла-дов^ Москва: Прогресс-Традиция • 2001 г С 236^ Тираж 550 экз^ 8^ Теняев ВЗ^ Двухточечная задача системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения» Воронеж, ВГУ, 2001 С 151 -152^ Тираж 300 экз^ 9^ Теняев ВЗ^ Достаточные условия существования решения двухточечной краевой задачи нелинейной системы с запаздыванием // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании (НИТ-2001) VI Всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых учёных и специалистов • Рязань: РГРТА, 2001 С 16 - 17^ Тираж 110 экз^ 10^ Теняев ВЗ^ Условия существования решений двухточечной задачи нелинейной системы с линейным запаздыванием • Математик Компьютер^ Образование^ Вып 8^ Часть II Сборник научных тру-

дов / Под редакцией Г.Ю. Ризниченко. - М.: «Прогресс-Традиция», 2001. С. 443 - 449. Тираж 200 экз.

Теняев Виктор Викторович

Двухточечная краевая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Лицензия ЛР № 020049 от 11.07.97. Подписано в печать . Бумага офсетная. Формат 60x84/16.

Гарнитура Times New Roman. Печать ризографическая. Усл. печ. л. 1,17. Уч. -изд. л. 0,6. Тираж 100 экз. Заказ № .

Рязанский государственный педагогический университет

имени С. А. Есенина Россия, 390000, г. Рязань, ул. Свободы, 46

Отпечатано в редакционно-издательском центре РГПУ 390023, г. Рязань, ул. Урицкого, 22

Введение.

Глава I. Свойства решений системы дифференциальных уравнений с запаздыванием.

§ 1.1. Постановка задачи.

§ 1.2. Непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметра.

§ 1.3. Исследование свойств решений: оценка и структура

Глава II. Двухточечная краевая задача системы дифференциальных уравнений с запаздыванием.

§ 2.1. Решение двухточечной краевой задачи нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием по линейной части.

§ 2.2. Исследование системы (1.2) в случае, когда решение двухточечной задача зависит от нелинейной части.

§ 2.3. Исследование системы (1.3) в случае, когда решение двухточечной задача зависит от нелинейной части

Глава III. Математические модели.

§ 3.1. Исследование системы (1.3) при f (t, Х) = 0 в критическом случае.

§ 3.2. Модель в экономике.

§ 3.3. Моделирование в иммунологии.

Актуальность темы. В настоящей работе изучается система дифференциальных уравнений с запаздыванием. Правая часть системы нелинейна и непрерывна по фазовым переменным. Матрица соответствующей линейной однородной системы непрерывна. Изучаемая нелинейная система имеет тривиальное решение. Задача исследования: поиск условий существования малых ненулевых решений двухточечной задачи системы дифференциальных уравнений с запаздыванием в окрестности нулевого решения.

В период становления классической механики господствовало мнение, что скорость изменения (движения) реальных систем в настоящий момент зависит только от их состояния (положения) в этот же момент времени. Стало быть, для описания таких систем с целью предсказания их поведения в будущем вполне пригодны обыкновенные дифференциальные уравнения x'(t) = F(t, x(t)), t e[tо, o>[, x = ( X2, ., x„ X F = ( F2, Fn ).

Более детальное изучение окружающего нас мира привело исследователей к необходимости учитывать во многих случаях то, что состояние физических систем в данный момент времени существенно зависит от их состояний в прошлом.

В 70-х годах XIX в. Больцман предложил теорию упругого последействия, в основе которой находилось соотношение t ф(( )= J к (t —т)Т (т)т , ад где ф - деформация; T - напряжение деформируемого тела; к функция релаксации. Эта теория получила дальнейшее развитие в работах Вольтерра.

Понятие последействия в механике Вольтерра переносит в область биологии [14], и далее возводит явление последействия в общий принцип естествознания (принцип остаточного действия) и развивает теорию интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, учитывающих остаточные, наследственные эффекты в поведении динамических систем.

По свидетельству академика Ю.Н. Работнова [54], теория линейной наследственности Вольтерра нашла приложения в ряде разделов механики и математической физики (механика деформируемого твердого тела, теория поведения полимерных материалов при умеренных напряжениях, описание внутреннего трения в металлах, когда амплитуды напряжений очень малы).

Другим классом математических моделей явлений и процессов с последействием являются дифференциально-функциональные уравнения. Такие уравнения содержат операции дифференцирования и сдвига аргумента, поэтому пригодны для описания движения систем, скорость которых в данный момент зависит не только от состояния в данный момент, но и от прошлых состояний. В простейшем случае систем с запаздыванием вместо обыкновенных дифференциальных уравнений следует рассматривать уравнения x'(t) = F [t, x(t), х(т(())], где т (t) = t - A(t), A(t) > 0.

В плане классификации дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом различаются случаи сосредоточенного = £a()х((-тг(())+/((), к>i i=1 и распределённого a(t) x(t) = J pit, T )x(( -T )t + f ((), a (() > 0 0 запаздываний.

Известно, что специалисты по математической физике XVIII в. изучали дифференциально-функциональные уравнения в связи с попытками распространения механики конечных систем на сплошные среды, но в дальнейшем для развития механики сплошных сред стали применяться уравнения в частных производных. Замечательным является опосредованное возникновение дифференциально-функциональных уравнений в процессе решения краевых задач для уравнений в частных производных гиперболического типа, описывающих различные волновые процессы. Дифференциально-функциональные уравнения всё чаще используются непосредственно как математические модели реальных явлений и процессов в различных областях естествознания, в частности в биологии, экономики, физике. В ряде работ [59, 60, 78] на основе анализа различного рода экологических систем показано, что для их описания можно использовать уравнения с сосредоточенным или распределённым запаздываниями.

Динамические системы с запаздыванием и процессы, происходящие в таких системах, в большинстве случаев описываются дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом или системами таких уравнений. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, которыми описываются динамические процессы в реальных системах, как правило, являются нелинейными. Но так как линейные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом сравнительно легче поддаются исследованию и теория таких уравнений разработана достаточно хорошо то, при решении различных теоретических и особенно практических задач нелинейные системы приближенно заменяются линейными. Такая линеаризация задач во многих случаях является законной. Но иногда, как, например, в теории колебаний, линеаризация уравнений является недопустимой, так как приводит к весьма грубым и даже ошибочным результатам. Поэтому разработка теории систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием, в частности теории колебаний нелинейных систем с запаздыванием, имеет большое теоретическое и практическое значение.

Цель работы заключается в получении достаточных условий существования малых ненулевых решения двухточечной краевой задачи системы n дифференциальных уравнений с запаздыванием X = A{t)x + A(t, X)x + B(t, X)x + f (t, X)+f ((, x, T\x, x), (0.1) в которой At), A(t, X), B(t, X)- непрерывные (nxn) - матрицы, f (t, X), f (t, x, y, X) - непрерывные n -мерные вектор-функции, T^ оператор сдвига (определение дано в §1.1 первой главы).

Методика исследования. Задача поиска условий существования нетривиальных решений двухточечной краевой задачи системы (0.1) сводится к задаче поиска условий существования ненулевой неподвижной точки нелинейного оператора. Построение нелинейного оператора основано как на свойствах матрицы линейного приближения, так и на свойствах нелинейных членов правой части системы.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.

Основы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений были заложены А. Пуанкаре [53] и А.М. Ляпуновым [32]. Методы исследования колебаний нелинейных систем, основанные на работах Ляпунова и Пуанкаре, сводятся к представлению периодических решений исследуемых систем в виде степенных рядов, составленных по степеням малого параметра и малых начальных отклонений, абсолютно и равномерно сходящихся для этих значений на любом заданном конечном промежутке времени. Большой вклад в развитие этих методов внесли А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин [7, 8], И.Г. Малкин [33, 34], Л.И. Мандельштам [35, 36] и другие ученые. Основные идеи качественного исследования систем дифференциальных уравнений содержатся в книге В.В Немыцкого и В.В. Степанова [45].

Для исследования квазилинейных и нелинейных систем без запаздывания особенно широкое распространение получили следующие методы: Пуанкаре-Ляпунова-Малкина исследования периодических и почти-периодических решений [7, 8, 15, 32, 33, 34, 47, 53], эквивалентной линеаризации нелинейностей [27], осреднения [10, 40, 41, 58], сравнения [17], асимптотические методы [9, 38, 61].

В работе [17] уравнением сравнения является дифференциальное уравнение, не имеющее периодических решений, за исключением состояния равновесия. Близость правых частей сравниваемых уравнений порождает существование однотипных решений.

Г.В. Каменковым [22] был развит метод исследования колебаний нелинейных систем с помощью функций Ляпунова. Он рассматривал системы как с одной, так и со многими степенями свободы, квазилинейные и существенно нелинейные. Особенно эффективный метод построения периодических решений квазилинейных и существенно нелинейных систем был предложен им при исследовании систем второго порядка. После перехода к полярным координатам r, в им была введена замена 7 натам r, в им была введена замена r = V + ((1) +.+¥щи(m)), где i=1 u(к) - некоторые полиномы от sine, cose, подлежащие определению. Этот метод, кроме ответа на вопрос о существовании периодических решений по членам с конечной степенью л и исследования проблемы устойчивости, позволяет решить задачу об оценке той величины малого параметра, при которой и менее которой построенные периодические решения существуют. Методом функций Ляпунова решается задача о существовании периодических решений у существенно нелинейных дифференциальных уравнений в статье [16].

В теории колебаний нелинейных систем с запаздыванием методы Пуанкаре-Ляпунова-Малкина нашли развитие в работах Н.Н. Красовского, А. Халаная, Л.Э. Эльсгольца, С.Н. Шиманова и др. [26, 69, 73, 74, 75]. В прикладных работах [9, 30] применяется метод эквивалентной линеаризации. Асимптотический метод Крылова-Боголюбова для систем с запаздыванием частного вида впервые применен в работе С.И. Тетельбаума и Г.Н. Рапопорта [66]. Эти методы получили дальнейшее развитие в работах Рубаника В.П. [56, 57], Азбелева Н.В., Максимова В.П., Рахматуллиной Л.Ф. [2 - 6] и их учеников.

Книга В.П. Рубаника [56] посвящена теории периодических решений линейных и квазилинейных колебательных систем с запаздыванием, особое внимание уделено изложению асимптотических методов исследования колебаний в квазилинейных системах с запаздывающими связями и их приложениям.

В работе Б.Г. Гребенщикова [19] рассмотрена нестационарная линейная неоднородная система с запаздыванием, линейно зависящим от времени t: x (() = A (t )x(() + B (t )x(/i t) + f (t), (0.2) t > t0 > 0, / = const, 0 < / < 1, x(i) = (p(ji) : л t0 <n< t0, с почти периодическими матрицами и вектор-функцией. Для системы (0.2) найдены условия существования единственного почти периодического решения, которое является асимптотически устойчивым.

В работе М.Т. Терёхина [64] изучается проблема существования ненулевого периодического решения функционально-дифференциального уравнения вида x(t) = A(X)x(t) + (FAx)(()x((), (0.3) где x(t) - n -мерный вектор, a(a), (FA)t) - n x n-матрицы, Ae Em - параметр, Es - s -мерное векторное пространство. Для исследуемой системы получены достаточные условия того, чтобы A0 = 0 являлось бифуркационным значением параметра A системы (0.3) Приводится пример.

Основными методами исследования большинства работ [6, 11, 19, 29, 62, 63, 64, 69], содержащих исследования по проблеме существования решения двухточечной краевой задачи системы с отклоняющимся аргументом, являются методы функций Грина, последовательного приближения, малого параметра и осреднения.

Содержание работы. Настоящая работа содержит результаты исследования системы (0.1) с точки зрения существования ненулевых решений двухточечной краевой задачи в малой окрестности тривиального решения. В отличие от работ [6, 19, 29] в диссертации рассмотрена система дифференциальных уравнений запаздывающего типа, имеющая векторный параметр и запаздывание специального вида. Запаздывание носит такой характер, что не требуется вводить начальную функцию, как для систем с постоянным запаздыванием, вместо этого начальное условие выглядит также как и классическое: x(p) = a, то есть начальный промежуток вырождается в точку. Также в работе не используется метод разложения решения по степеням параметра и начальных данных. Результаты настоящей работы применимы для исследования систем функционально-дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, в критическом случае порядка выше первого. В отличие от работ [62, 63, 64, 65, 69], посвященных исследованию проблемы существования решения двухточечной краевой задачи (или периодических решений), в основе исследований, содержащихся в диссертации, лежит специальным образом построенный вид решения системы (0.1), что позволило для решения двухточечной краевой задачи существенно привлечь свойства нелинейных частей системы. В диссертационной работе используется метод решения нелинейных недифференциальных уравнений отличающийся от методов, использованных в работах [1, 21].

Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы и приложения.

В §1.1 главы 1 вводятся основные определения (оператор сдвига и малое решение). Формулируется постановка задачи. В §1.2 главы 1 доказана теорема существования, единственности и непрерывной зависимости решений системы функционально-дифференциальных уравнений от параметра и начальных данных. В §1.3 главы 1 находятся оценки решений, исследуется структура решений системы (0.1)

В главе 2 получены достаточные условия существования ненулевых решений двухточечной краевой задачи системы с параметром (0.1), с использованием свойств нелинейных членов. В §2.1 двухточечная краевая задача решается по первому приближению. В §§2.2, 2.3 исследования ведутся с использованием нелинейных членов системы. Приводятся примеры.

В главе 3 рассмотрен частный случай системы (0.1), построены математические модели: 1) модель динамического взаимодействия сегментов финансового рынка; 2) математическая модель противовирусного иммунного ответа. В построенных моделях найдены условия существования ненулевых решений двухточечной краевой задачи.

В приложении содержится анализ программы написанной автором для численного решения систем дифференциальных уравнений с параметром и запаздыванием. Проводится тестирование программы на системах дифференциальных уравнений, для которых решение найдено в аналитическом виде. Результаты представлены в виде графиков.

Необходимые сведения по теории обыкновенных дифференциальных уравнений взяты из [12, 13, 20, 34, 50, 51, 52, 70], по теории дифференциальных уравнений с запаздыванием - из [5, 42, 43, 56, 72, 74], по качественной теории - из [11, 24, 25, 44, 45, 48, 49, 69, 71, 75], по функциональному анализу - из [23, 31, 67], по линейной алгебре - из [18, 28].

На защиту выносятся следующие положения:

Структура решений нелинейной системы функционально-дифференциальных уравнений вида (0.1).

Достаточные условия существования решений двухточечной краевой задачи системы (0.1) по первому приближению.

Алгоритм разрешимости решения двухточечной краевой задачи в критическом случае (когда решение двухточечной краевой задачи зависит от нелинейных членов системы).

Достаточные условия существования нетривиального решения системы дифференциальных уравнений (0.1) частного вида.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на кафедре дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского государственного университета, на VIII Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" в г. Пущино, на VI Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач, Понтрягинские чтения - XII» в г. Воронеж, на XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Основные результаты исследований опубликованы в работах [80 - 89].

Заключение

Работа посвящена изучению системы n функционально-дифференциальных уравнений вида

X = A{t)x + A(t, A)x + B(t, X)TMx + f(t, Л)+f (t, x, TMx, л), (1) в которой At), A(t, л), B(t, л)- непрерывные (nxn) - матрицы, f (t, Л), f (t, x, y, л) - непрерывные n -мерные вектор-функции, TM оператор сдвига.

Цель работы найти достаточные условия существования ненулевых решений двухточечной задачи системы (1). В результате исследований изучена структура решений системы (1), получена система нелинейных не дифференциальных уравнений, которая исследована с помощью построения операторных уравнений относительно начальных условий и параметра, определяющих искомые решения, а также с помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке. Рассмотрены случаи, когда задача решается по свойствам нелинейной части.

1. Аваков Е.Р. Теоремы об оценках в окрестности особой точки отображения // Мат. заметки. - 1990. - Т. 47, вып. 5. С. 3-13.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Априорные оценки решений задачи Коши и разрешимость краевых задач для уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15, № 10. С. 1731-1747.

3. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18, № 12. С. 2027-2050.

4. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Функционально-дифференциальные уравнения // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14, № 5. С. 771-797.

5. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 278 с.

6. Азбелев Н.В. Краевая задача для одного класса квазилинейных уравнений // Труды МИХМа. Выпуск 64. Автоматизация химических производств на базе математического моделирования. Тезисы докладов. Под ред. Азбелева Н.В. Москва, 1975. С. 52 54.

7. Андронов А.А. Собрание трудов. Изд. АН СССР, 1956.

8. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 915 с.

9. Бенуа Е.Ю. Автоколебательные режимы в системах экстремального регулирования с запаздыванием // Ученые записи Ленинградского госпединститута им. Герцена, 1960, т. 218.

10. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1955. 344 с.

11. Бойчук А.А. Конструктивные методы анализа краевых задач. Киев.: Наук. думка, 1990. 96 с.

12. Вайнберг М.М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

13. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984. 320с.

14. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 286 с.

15. Воскресенский Е.В. Асимптотическое равновесие, периодические решения и прямой метод Ляпунова // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № 6. С. 729-732.

16. Воскресенский Е. В. О периодических решениях возмущенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1991. № 1. С. 11-14.

17. Воскресенский Е. В. О периодических решениях нелинейных систем и методе сравнения // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, № 4. С. 571-576.

18. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

19. Гребенщиков Б.Г. О почти периодических решениях одной нестационарной системы с линейным запаздыванием // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 3. С. 531-537.

20. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

21. Измаилов А.Ф., Третьяков А.А. Факторанализ нелинейных отображений. М.: Физматлит, 1994. 336 с.

22. Каменков Г.В. Избранные труды. т. I. М.: Наука, 1971. 214с.

23. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 572 с.

24. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. 332 с.

25. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 511 с.

26. Красовский Н.Н. О периодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием времени. // Докл. АН СССР, 1957. т. 114 № 2.

27. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. Изд. АН УССР, Киев. 1937.

28. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ, 1963. 432 с.\

29. Кюн О.И. Краевая задача для системы нейтральных уравнений нейтрального типа // Труды МИХМа. Выпуск 64. Автоматизация химических производств на базе математического моделирования. Тезисы докладов. Под ред. Азбелева Н.В. Москва, 1975. С. 8 11.

30. Лернер А.Я. Автоколебания в системах с нелинейной скоростной связью при наличии запаздывания в регуляторе. Сб. статей по автомат. и электротехн., Изд. АН СССР, 1956.

31. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 510с.

32. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950. 471 с.

33. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ, 1956. 365 с.

34. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.532 с.

35. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972. 470с.

36. Мандельштам Л.И. Полное собрание трудов. Изд. АН СССР, тт. 1-3, 1948-1952.

37. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир, 1983. 397 с.

38. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. М.: Наука, 1980.

39. Митропольский Ю.А. Математические методы в биологии. Киев, 1983.

40. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. М.: Наука, 1964.

41. Митропольский Ю.А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике. Киев.: Наукова думка, 1966.

42. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 352 с.

43. Мышкис А.Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи матем. наук, 1950, 5, № 2 (36), С. 148-154.

44. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 471 с.

45. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949. 550 с.

46. Никишов А.А. Исследование системы с отклоняющимся аргументом, описывающей реакцию иммунной системы организма на появление в нем вируса // Дифференциальные уравнения. Рязань, 1994. С.75-78.

47. Папалекси Н.Д. Собрание трудов. Изд. АН СССР, 1948.

48. Перов А.И. Признаки устойчивости в критических случаях. // Устойчивость и управление для нелинейных трансформирующихся систем: 2-я Международная конференция, Москва, 25 28 сентября, 2000: Тезисы доклада. М. 2000, С. 36.

49. Перов А.И. Достаточные условия устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами в критических случаях. // Автоматика и телемеханика. 2000, № 10. С. 49 59.

50. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука, 1964. 367 с.

51. Плисс В.А. О существовании периодических решений у некоторых нелинейных систем // Докл. АН СССР. 1961. Т. 137. №5. С. 1060-1073.

52. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 332 с.

53. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука, 1971. Т.1. 771 с.

54. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики. М.: Наука, 1977. 336 с.

55. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984. 304 с.

56. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. 288 с.

57. Рубаник В.П. Резонансные явления в квазилинейных колебательных системах с запаздывающими аргументами // Изв. ВУЗ СССР. Математика, 1962. № 5 (30).

58. Сафонов Л.А., Стрыгин В.В. Метод осреднения в линейно-квадратичных задачах управления // Докл. РАН. 2000. 375, № 2, С. 166 168.

59. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978. 352 с.

60. Смит Дж.М. Модели в экологии. М.: Мир, 1976. 184 с.

61. Стрыгин В.В., Есипенко Д.Г. Гибридный метод построения асимптотики для нелинейной сингулярно возмущенной задачи Коши с быстро осциллирующими условно-периодическими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1998. 34, № 3. С. 320 - 325.

62. Терехин М.Т. О решениях дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, № 4. С. 597-602

63. Терехин М.Т. О существовании неподвижной точки одного нелинейного оператора // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20, № 9. С. 1561-1565.

64. Терехин М.Т. Бифуркация периодических решений функционально-дифференциальных уравнений // Известия высших учебных заведений. Математика. № 10 (449). 1999. С. 37-42.

65. Терехин М.Т., Насыхова Л.Г. Существование бифуркационного значения параметра системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Укр. мат. журн. 1997, Т. 49. № 6. С. 799-805.

66. Тетельбаум С.М., Рапопорт Г.Н. К вопросу о применении метода разложения по степеням малого параметра для исследования автоколебательных систем с элементами запаздывания // Сб. научно-техн. статей Инст. электротехн. АН УССР, вып. 2, 1948.

67. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

68. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1966. Т.2. 608 с.

69. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. (Под ред. Рубаника В.П.) М.: Мир, 1971. 313 с.

70. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1980. 720 с.

71. Хейл Дж. К. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966. 230 с.

72. Шевело В.Н. Осциляция решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Киев: Наук. думка, 1978. 156 с.

73. Шиманов С.Н. К теории колебаний квазилинейных систем с запаздыванием // Прикл. математ. и механ., 1959, т. 23, вып. 5.

74. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1964. 128 с.

75. Эльсгольц Л.Э. Качественные методы в математическом анализе. М.: Физматгиз, 1955.

76. Coel N.S., Maitra S.C., Montroll E.W. On the Valterra and other nonlinear models of interacting populations. // Revs Mod. Phys., 1971, 43, № 2, p. 1, p. 231-276.

77. Cunningham W.J. A nonlinear differential-difference equation of growth. // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1954, 40, p. 708-713.7 8.Mac-Donald N. Time lags in biological models. Lect. Notes Bio-math., 1978, № 27. 112 p.

78. Marchuk G.I., Petrov R.V. The mathematical model of the antiviral immune response. In: Mathematical modeling. - North-Holland, 1983, p. 161-174.

79. Теняев В.В. Двухточечная задача неоднородной системы с линейным запаздыванием / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2001. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.03.2001 г., № 550 - В2001.

80. Теняев В.В. Двухточечная задача нелинейной системы с линейным запаздыванием / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2001. - 9 с. -Деп. в ВИНИТИ 02.03.2001 г., № 551 - В2001.

81. Теняев В.В. непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметра нелинейной системы с запаздыванием / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2001. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.03.2001 г., № 552 - В2001.

82. Теняев В.В. Оценки и представление решений систем дифференциальных уравнений с линейным запаздыванием // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. / РГПУ. Рязань, 2001. № 4. С.96-102.

83. Теняев В.В. Условия существования и отсутствия решения двухточечной краевой задачи нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. / РГПУ. Рязань, 2001. № 4. С. 103-107.

84. Теняев В.В. Об одной задаче системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. / РГПУ. Рязань, 2001. № 5. С. 165-171.

85. Теняев В.В. Двухточечная задача нелинейной системы с запаздыванием // VIII международная конференция «Математика, компьютер, образование» (г. Пущино, 31.01 05.02.2001 г. Тезисы докладов. Москва: Прогресс-Традиция. 2001 г. С. 236. Тираж 550 экз.

86. Теняев В.В. Двухточечная задача системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения». Воронеж, ВГУ, 2001. С. 151 152. Тираж 300 экз.