Сингулярные функционально-дифференциальные уравнения второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Основные обозначения

Введение.

ГЛАВА I. МОНОТОННОСТЬ ОПЕРАТОРА ГРИНА ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1.0. Основные определения и вспомогательные утверждения.

§1.1. Пространство Б^'6.

§1.2. Условия сохранения знака функции Грина сингулярных краевых задач с изотонными операторами.

§1.3. Условие "А" в исследовании монотонности операторов Грина сингулярных краевых задач в общем случае.

§1.4. Операторы Грина модельных задач.

§1.5. Пространство

ГЛАВА II. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕСУММИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ

§2.1. Сингулярная краевая задача в пространстве Теоремы вида теоремы

Балле Пуссена.

§2.2. Пространство

§2.3. Критерии компактности в пространстве В^.

§2.4. Сингулярная краевая задача в пространстве 1)^'". Теоремы вида теоремы

Балле Пуссена.

ГЛАВА III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§3.1. Теорема вида теоремы Нагумо для сингулярной задачи в пространстве Б^'

§3.2. Об одной сингулярной краевой задаче в пространстве

§3.3. О задаче, возникающей в теории химического реактора.

§3.4. Об одной нелинейной задаче с несуммируемой особенностью в пространстве

Вопросы, связанные с сингулярными дифференциальными уравнениями давно привлекают математиков. Книга И. Т. Кигурадзе [25] положила начало в изучении сингулярных уравнений. Им систематически исследованы вопросы существования и единственности решения и зависимость решения от начальных данных и параметров для задачи Коши-Николетти, для задачи Балле Пуссена и для периодической задачи в сингулярном случае.

Теории сингулярных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) посвящено большое количество исследований. Отметим, в частности, работы Г. А. Бессмертных [12], Н. И. Васильева, Ю. А. Клокова [17], Р. Г. Гра-бовской [18], И. Т. Кигурадзе [25], И. Т. Кигурадзе, Б. Л. Шехтера [26], А. И. Шиндяпина [47], [48], С. М. Лабовского [36], [37], Н. В. Азбеле-ва, Л. Ф. Рахматуллиной [52] и Е. И. Бравого [13], [14], [15]. В работах Пермского Семинара были завершены основы нового раздела Анализа, получившего название "Теория абстрактного функционально-дифференциального уравнения". Большинство результатов этих исследований систематизированы в монографии [52] и обзорных статьях [1], [6], [8], [49], [50]. Эта теория открыла новые возможности изучения широкого класса сингулярных уравнений как обыкновенных дифференциальных, так и фу нкционально-д иф ф еренциа льных.

В рамках теории ФДУ к этим задачам возможно применение единого подхода, основанного на построении специального пространства Б решений, в котором данная сингулярная задача становится регулярной [52]: к ней становится возможный применить стандартные приемы и методы исследований ФДУ. Такой подход был впервые использован в работах С. М. Лабовского [36], [37], А. И. Шиндяпина [47], [48], Е. И. Бравого [13], [14]. В предлагаемой диссертации развиваются идеи упомянутых работ.

Прежде чем перейти к описанию полученных результатов, сформулируем некоторые положения теории абстрактного ФДУ, которые положены в основу нашей работы. Центральным понятием теории АФДУ является понятие банахова пространства D функций х : [0,1] —R1, изоморфного прямому произведению В х Rn, где В — банахово пространство функций г : [0,1] —► R1. Если В = Lp, п = 2 и изоморфизм J =f {Л, Y} : LpxR2 —► D определяется равенством

Az)(t) М j(t - s)z(s) ds, (Y0)(t) M ¡31 + (5\l - *), о то элемент x 6 D имеет представление t x(t) = J(t - s)z(s) ds + (31 + /3\ 1 - t), 0

C\ и мы имеем дело с соболевским пространством D = Wp — традиционным при изучении обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Общая схема регуляризации сингулярных задач для ФДУ

Сх — f выглядит следующим образом. Выберем такое банахово пространство В функций, чтобы при любых ^ G В и а Е R^ краевая задача

Cqx = Z, lx = а для линейного "модельного" уравнения Cqx = z имела единственное решение ж, которое записывается в виде формулы Грина (см. [7], [51], [52]) х = Wz + Ua.

Пространство функций D определяется равенством D = WB(&UHN. Если оператор С действует из пространства D в пространство В, причем оператор CW : В —> В обратим или хотя бы фредгольмов, то уравнение Сх — f перестает быть сингулярным. Отметим, что свойство фредгольмовости "главной части" (стр. 13) характеризует важные внутренние особенности уравнения. Условия, при которых справедлива альтернатива Фредголь-ма для двухточечной краевой задачи с сингулярными точками на концах отрезках, сформулированы для линейного ОДУ в работах И. Т. Кигура-дзе [25], И. Т. Кигурадзе и Б. JI. Шехтера [26], А. Г. Ломтатидзе [38], а для линейного ФДУ в статье И. Т. Кигурадзе и Б. Пужа [55]. Фредголь-мовость различных видов линейных функционально-дифференциальных операторов с сингулярными точками на концах отрезка установливалась в работах С. М. Лабовского [36], [37] и А. И. Шиндяпина [47], [48].

А. И. Шиндяпин [47] изучал уравнение

Сх = х — Sx — Кх — Ах (а) = f с неограниченным оператором S : L\ —► Li внутренней суперпозиции (стр. 41) и неограниченным интегральным оператором К : Li —► Li. Таким образом, в пространстве абсолютно непрерывных функций это уравнение сингулярное. А. И. Шиндяпин строит пространство В, более узкое, чем Li таким образом, что оба оператора S и К в этом пространстве ограничены. С. М. Лабовский [36], [37] изучает уравнение

Cx)(t) М /(1 - t)x(t) + p(t)(Shx)(t) = f(t), t G [0,1], с измеримым h и суммируемыми p, /. Если рассматривать это уравнение в пространстве Wf, то главная часть оператора С не является даже нёте-ровым оператором. С. М. Лабовский строит специальное пространство D ~ Li х R2. При таком выборе пространства D оператор С : D —► Li становится нётеровым.

В теории ОДУ хорошо известна теорема Штурма о разделении нулей [41, с.167-169], [44, с.135] решений линейного однородного уравнения и теорема Балле Пуссена [53] о дифференциальном неравенстве. Часть диссертации посвящена исследованию условий однозначной разрешимости и знакоопределенности функции Грина краевой задачи Штурма-Лиувилля для сингулярных ФДУ второго порядка. Указанные вопросы изучены и освещены в журнальной и монографической литературе в случае задачи Балле Пуссена для некоторых типов уравнений с отклоняющимся аргументом, а также более общих ФДУ (напр., [2], [37]).

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В первой главе получены условия сохранения знака функции Грина для сингулярного ФДУ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Остановимся здесь на некоторых возможностях дальнейшего развития полученных в диссертации результатов.

Следуя работе [52], сингулярным линейным ФДУ второго порядка назовем любое уравнение вида

C0x)(t) - (Tx)(t) = /(/), f€[0,l], где линейный оператор Cq : W2 —► Lp не является нётеровым оператором, а линейный оператор Т : W* —> Lp (или оператор Т : С —> Lp) ограничен. В качестве модельного уравнения представляется интересным выбрать сингулярное ОДУ вида

C0x)(t) = ¿ai(l - t)a2x(t) + b(t)x(t) + c(t)x(t) = z(t), t e [0,1].

При этом, если степень сингулярности а>1 + Ot-I выше единицы, то можно воспользоваться аналогами пространств В^'", а также пространством LJ.

В качестве модельного уравнения можно брать ФДУ вида (Cox)(t) тг(t)x(t) - (Sx)(t) = z(t), t e [0,1], где

Sx)(t) = £ bk(t)xhk(t), k=1 bk, hk : [0,1] —^ R1 — измеримые функции. Системы ФДУ аналогичного вида были изучены в работах А. И. Шиндяпина [47], [48]. Представляется интересным исследовать свойства оператора S в случае пространств В^'".

Представляется интересным и важным распространение идей и результатов диссертации, а также результатов А. И. Шиндяпина, С. М. Лабов-ского, Е. И. Бравого и других авторов на сингулярные линейные ФДУ выших порядков.

Было бы интересно применить другие методы исследования на разрешимость квазилинейных сингулярных краевых задач для ФДУ. Упомянем, например, принцип Лерэ-Шаудера, технику монотонных (по Минти-Брауэру) операторов, топологические методы.

1. Азбелев Н. В. Современное состояние и тенденции развития теории функционально-дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1994. № 6. С. 8-19.

2. Азбелев Н. В., Дейфт В. А. Условия неосцилляции и необращения в нуль вронскиана для уравнения с запаздывающим аргументом // Труды ин-та химического машиностроения. Тамбов, 1971. № 6. С. 28-29.

3. Азбелев Н. В., Домошницкий А. И. К вопросу о линейных дифференциальных неравенствах.I // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 3. С. 376-384.

4. Азбелев Н. В., Домошницкий А. И. К вопросу о линейных дифференциальных неравенствах.II // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 6. С. 923-931.

5. Азбелев Н. В., Исламов Г. Г. Об одном классе функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1976. № 3. С. 417-427.

6. Азбелев Н. В., Исламов Г. Г. К абстрактной теории линейного уравнения // Функц.-дифференц. уравнения: Сб. научн. тр. / Перм. политехи. ин-т. Пермь, 1989. С. 15-27.

7. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина JI. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

8. Азбелев Н. В., Рахматуллина JI. Ф. Функционально-дифференциальные уравнения // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, № 5. С. 771-797.

9. Азбелев Н. В., Рахматуллина Л. Ф. Об оценке спектрального радиуса линейного оператора в пространстве непрерывных функций // Изв. вузов. Математика. 1996. № 11. С. 14-22.

10. Азбелев Н. В., Рахматуллина Л. Ф., Терентьев А. Г. "\У-метод в исследовании дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Тр. Тамбовск. ин-та хим. машиностроения. ТИХМ. Тамбов, 1970. Вып. 4. С. 60-63.

11. Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель 3. Г. Функциональный анализ. Киев: "Выща школа", 1990. 600с.

12. Бессмертных Г. А. Несколько замечаний к вопросу о существовании решения у сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Приближенные методы решения дифференц. уравнений. Киев, 1964. Вып. 2. С. 23-32.

13. Бравый Е. И. О выборе области определения сингулярной дифференциальной операции // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм-ПИ. Пермь, 1991. С. 12-19.

14. Бравый Е. И. О регуляризации сингулярных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 1. С. 26-34.

15. Бравый Е. И. Линейные функционально-дифференциальные уравнения с внутренними сингулярностями: Дис. канд. физ.-матем. наук. Пермь, 1996. 107 с.

16. Васильев А. В., Ермаков А. Е., Колосов С. В., Колосов А. И. Об одной задаче теории химических реакций // Математическая физика и нелинейная механика.: Киев. 1987. № 8. С. 35-39.

17. Васильев Н. И., Клоков Ю. А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: "Зинатне", 1978. 184 с.и

18. Грабовская Р. Г., Диблик И. О сингулярных уравнениях п ого порядка, не разрешенных относительно производной // Функц. анализ инекоторые вопросы качественной теории дифференц. уравнений. Саранск, 1976. С. 103-105.

19. Гризанс Г. П. Об одной краевой задаче для уравнения с несуммируе-мой особенностью // Лат. мат. ежегодник. 1985. Вып. 29. С. 22-35.

20. Данфорд П., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. 896 с.

21. Забрейко П. П. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 448 с.

22. Исламов Г. Г. Об оценке спектрального радиуса линейного положительного вполне непрерывного оператора // Функц.-дифференц. уравнения и краевые задачи матем. физики: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т, Пермь, 1978. С. 119-122.

23. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

24. Канторович Л. В., Вулих Б. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полупорядоченных пространствах. М.: Государств, изд-во тех.-теоретич. лит-ры, 1950. 548 с.

25. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1975. 352 с.

26. Кигурадзе И. Т., Шехтер Б. Л. Сингулярные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнении // Итоги науки й техники. Со-временные проблемы математики: Новые достижения. 1987. Т. 30^ С.105-201.

27. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624 с.

28. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. 394 с.

29. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 500 с.

30. Красносельский М. А., Стеценко В. Я. О некоторых задачах, имеющих много решений // Сиб. матем. журн. 1963. Т. IV, № 1. С. 120-137.

31. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. 104 с.

32. Функциональный анализ / Под общей ред. С. Г. Крейна. М.: Наука, 1972. 544 с.

33. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интегральные линейные операторы. М.: Наука, 1978. 400 с.

34. Кудрявцев Л. Д. Функциональные пространства со степенным весом // Докл. АН СССР. 1983. Т. 270, № 6. С. 1317-1322.

35. Кухта Г. М. Замечание по поводу условий Ь* и Ь** Н. В. Азбелева // Ученые записки Кишинёвского ун-та / КГУ. Кишнев, 1957. Т. XXIX (физ.-матем.). С. 49-52.

36. Лабовский С. М. Положительные решения двухточечной краевой задачи для линейного ФДУ // Функц.- дифференц. уравнения и краевые задачи матем. физики: Межвуз. сб. науч. тр. Перм. политехи, ин-т, Пермь, 1985. С. 39-45.

37. Лабовский С. М. О положительных решениях двухточечной краевой задачи для линейного сингулярного функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, N° 10. С. 1695-1704.

38. Ломтатидзе А. Г. Об одной краевой задаче для нелинейного обыкно-венногодифференциального уравнения с сингулярностями // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 3. С. 416-426.

39. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 519 с.41