Свойства решений функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

СУРКОВ АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ

СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 2008 00345ВЭ 19

003456919

Работа выполнена в Институте динамики систем и теории управления Сибирского отделения Российской академии наук (ИДСТУ СО РАН).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Финогенко Иван Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук,

профессор

Тонков Евгений Леонидович

кандидат физико-математических наук, доцент

Козлов Равиль Измайлович

Ведущая организация: Институт математики и механики

УрО РАН (г. Екатеринбург)

Защита состоится 25 декабря 2008 г. в 14.00 ч. на заседании диссертационного совета 003.021.01 при Институте динамики систем и теории управления СО РАН по адресу. 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИДСТУ СО РАН. Автореферат разослан 24 ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н.

А.А. Щеглова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Отдельные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом изучались более 200 лет назад (Кондорсе, 1771), но систематическое развитие теории таких систем началось значительно позднее. В период с 20-х до начала 40-х годов прошлого столетия Н. Минорский в своих работах, посвященных стабилизации курса корабля и автоматическому управлению его движением, ясно указал на важность рассмотрения запаздывания в механизме обратной связи. Большой интерес к теории автоматического регулирования в течение этих и последующих лет существенно способствовал быстрому развитию теории дифференциальных уравнений с запаздыванием. К результатам, которые также в значительной степени стимулировали теорию, можно отнести работы В. Вольтерра по исследованию модели "хищник-жертва". В 50-60-х годах прошлого столетия А.Д. Мыш-кис ввел общий класс уравнений с запаздывающими аргументами и впоследствии заложил основы теории линейных систем1. Развитие общей теории и многочисленные прикладные задачи инициировали интерес к качественной теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и особенно к проблемам устойчивости движений в системах, описываемых такими уравнениями (работы С.Н. Шиманова, Л.Э. Эсгольца, R.D. Driver2 и многих других авторов).

Для обыкновенных дифференциальных уравнений основным подходом к исследованию вопросов устойчивости является метод функций Ляпунова. Применительно к дифференциальным уравнениям с последействием использование метода функций Ляпунова нашло свое выражение в теоремах B.C. Разумихина. Однако в целом метод функций Ляпунова для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом не обладает такой же полнотой, как для дифференциальных уравнений без запаздывания. Более плодотворной оказалась концепция H.H. Красовско-го3, который предложил рассматривать в качестве области определения правой части дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом пространство непрерывных функций даже тогда, когда переменная

1Мышкис А.Д Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А.Д. Мышкис. — М.; Наука, 1972.

2Driver R.D. Ordinary and Delay Differential Equation / R.D. Driver. — N.Y.: Springer-Verlag, 1977.

3Красоаский H.H. О применении второго метода A.M. Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени / H.H. Красовский // Прикладная математика и механика. — 1956. — Т. 20, вып. 3. — С. 315-327.

состояния представляет собой конечномерный вектор. Работы H.H. Кра-совского, а в последующем и других авторов прояснили функциональную природу дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, и в настоящее время этот подход является общепризнанным. С этой точки зрения дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом обычно называются функционально-дифференциальными уравнениями.

Однако, следует отметить, что при исследовании вопросов устойчивости для функционально-дифференциальных уравнений методом функционалов Ляпунова возникают проблемы, связанные с вычислением производных функционалов вдоль решений. Это лишает теорию конструктивности, так как требует знание самого решения. В приложениях и при исследовании конкретных систем эта трудность так или иначе разрешается. Многочисленные примеры показывают, что часто производная функционала вдоль решения разделяется на две части, одна из которых инвариантна относительно продолжения решения в последующие моменты времени, а другая может быть выражена через правую часть уравнения. Это свойство функционалов было формализовано в работах A.B. Кима4, где были введены понятия инвариантной производной и инвариантной дифференцируемости и разработан соответствующий аппарат для исследования функционально-дифференциальных уравнений на устойчивость.

Еще одно направление работ в данной диссертации связано с дифференциальными уравнениями с разрывной правой частью. Общепризнанные подходы к исследованию таких уравнений основаны на теории дифференциальных включений. Существенным толчком к развитию этой теории послужила известная дискуссия на 1-ом конгрессе ИФАК по докладу А.Ф. Филиппова в 1961 г. Обзорный материал многочисленных исследований, сформировавших основные методы и направления развития теории разрывных систем в последующие годы, представлены в ряде книг и статей таких авторов, как А.Ф. Филиппов, М.А. Айзер-ман, Е.С. Пятницкий, В.И. Уткин. Здесь следует отметить, что многие задачи теории автоматического регулирования приводят к системам с разрывными обратными связями, и основные режимы функционирования таких систем представляют собой движения по пересечению поверхностей разрыва правых частей этих систем. Такие движения называ-

4Ким Л.В ¿-гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения / A.B. Кии. — Екатеринбург: УрО РАН, 19J6.

ются скользящими режимами. Если придерживаться функциональной концепции H.H. Красовского, то при описании "скользящих режимов" функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью возникают те же трудности, что и в теории устойчивости с применением функционалов Ляпунова, связанные с вычислением производных функционалов вдоль решений. Поэтому актуальной задачей является распространение результатов ¿-гладкого анализа, который базируется на понятии инвариантной дифференцируемости, на класс функционально-дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями. Это позволяет изучать "скользящие режимы" при соответствующем описании множеств разрывов правых частей систем в функциональном пространстве. Также эти исследования актуальны как дополнение существующей теоретической базы для решения многих прикладных задач в теории автоматического регулирования, механике, биологии, экономики и т.д., которые приводят к системам функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью при надлежащей идеализации реальных процессов. Так, например, в математических моделях стабилизации курса корабля важно учитывать запаздывание в механизме обратной связи, но эти обратные связи часто моделируются разрывными (релейного типа) функциями. Такие сочетания ранее практически не изучались.

Целью работы является распространение основных методов, подходов и результатов общей теории разрывных систем на функционально-дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями в рамках функциональной концепции, основанной на бесконечномерности области определения правых частей таких систем, а также развитие для них методов теории устойчивости с использованием инвариантно дифференцируемых функционалов Ляпунова.

Методы исследования. В диссертационной работе использовались методы теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, теории функционально-дифференциальных уравнений, теории дифференциальных включений, многозначного анализа, теории ¿-гладкого анализа и методов теории устойчивости.

Научная новизна. В работе разработаны более общие, чем известные ранее, подходы к доопределению правых частей функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью с использованием инвариантно дифференцируемых функционалов для описания множеств точек разрыва правых частей. Обоснованы новые теоремы

о существовании решений функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Предложены новые способы непрерывных аппроксимаций разрывных систем функционально-дифференциальных уравнений. Впервые исследована неявная форма функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Доказаны новые теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости тривиальных решений функционально-дифференциальных включений с использованием инвариантно дифференцируемых функционалов Ляпунова и обоснован принцип инвариантности Ла-Салля в автономном случае. Исследованы задачи стабилизации и быстродействия управляемых систем, представленных в форме функционально-дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты данной работы распространяют общую теорию систем функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью на случай бесконечномерного фазового пространства и могут быть использованы при исследовании устойчивости и стабилизации широкого класса реальных физических, биологических, экономических и др. процессов, представленных функционально-дифференциальными уравнениями.

Апробация работы. Результаты, излагаемые в диссертации, докладывались на следующих конференциях:

• III Школа-семинар молодых ученых "Математическое моделирование и информационные технологии: управление, искусственный интеллект, прикладное программное обеспечение и технологии программирования", Иркутск-Ангасолка, 25-28 сентября 2003 г.

• Конференция ИДСТУ СО РАН "Ляпуновские чтения", Иркутск, 1-3 декабря 2004 г.

• III Всероссийская конференция (с международным участием и молодежной секцией) "Математика, информатика, управление", Иркутск, 29 июня - 1 июля 2004 г.

• V Школа-семинар молодых ученых "Математическое моделирование и информационные технологии: управление, искусственный интеллект, прикладное программное обеспечение и технологии программирования", Иркутск-Ангасолка, 20-25 октября 2004 г.

• Всероссийская конференция с международным участием "Матема-

тика, се приложения и математическое образование", Улан-Удэ, 2530 июня 2005 г.

• XIII Байкальская международная школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения", Северобайкальск, 2-8 июля 2005 г.

• Международный симпозиум "Обобщенные решения в задачах управления", Улан-Удэ, 5-7 июля 2006 г.

• Международный конгресс "Нелинейный динамический анализ — 2007", Санкт-Петербург, 4--10 июня 2007 г.

• IX Международная Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", Иркутск, 12-16 июня 2007 г.

• Школа-семинар "Нелинейный анализ и экстремальные задачи", Иркутск, 23-30 июня 2008 г.

Результаты диссертации неоднократно обсуждались на семинарах Института динамики систем и теории управления СО РАН и использовались при выполнении проектов ИНТАС-СО РАН (проект 06-10000139019) и РФФИ (проект 06-01-00247).

Публикации и личный вклад автора. По материалам диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце автореферата. В число указанных работ входят статьи [7, 8] из "Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ 2008 г.". Из совместных статей [1-3] в диссертации используются только результаты, полученные лично автором.

Структура и объем диссертации. Данная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, включающего 71 наименование. Общий объем диссертации составляет 93 страницы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обозначен объект исследования, представлен обзор литературы по теме диссертации, обоснована актуальность темы диссертационной работы и сформулирована цель научного исследования.

Первая глава посвящена вопросам общей теории функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и состоит из

шести разделов.

В первом разделе вводятся общие способы доопределения разрывной правой части систем функционально-дифференциальных уравнений и дается определение решения для таких систем в смысле Л.Ф. Филиппова5, М.А. Айзермана и Е.С. Пятницкого6.

Простейшее выпуклое доопределение в смысле Филиппова применяется к системам вида

X = f(t,xt(-)), (1)

где xt(-) 6 Ст — непрерывная функция, для каждого t определяемая равенством xt(0) = x(t+6), —т < 0 < О, функция / определена, ограничена и непрерывна на множестве Q\M, где Q С R1 х Ст — некоторое открытое связное множество (область), AicSî - граничное множество. Пространство Ст непрерывных на отрезке [—т, 0] функций наделено обычной sup-нормой, пространство Rn наделено евклидовой нормой.

Пусть для любой точки (t,ip(-)) € Œ множество F(t,ifi(-)) — выпуклая оболочка всех предельных значений функции /(£', ф'(-)) при условии

Под решением системы (1), определенном на некотором отрезке [io — т,ti], > to, понимается непрерывная функция x(t), абсолютно непрерывная на отрезке [io,ii], удовлетворяющая начальному условию xto(-) = ^о(-) с некоторой функцией <р0(-) € Ст и для почти всех t € [t0, t\\ удовлетворяющая дифференциальному включению

±(i)€F(i, *,(•)). (2)

Доопределение в смысле Айзермана-Пятиицкого применяется к управляемой системе

х = f{t,xuu{l,xt)), (3)

где функция непрерывна по совокупности аргументов,

а функции u,{t, ф(-)) разрывны, каждая на своем множестве М„ 0 < г < тп < г. Остальные функции m + 1 < j < г, предпола-

гаются непрерывными. Обозначим через Fi(t,ip(-)) выпуклую оболочку

5 Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой мастью / Л.Ф Филиппов. — М,- Наука, 1985.

6 Айзермап M А. Основы теории разрывных систем / М.А. Лйзерман, Е.С. Пятницкий j j И> бранные труды теории управления — M : Физматлит, 2004. — Т. 1.

множества

/(*, ф(-), их(1, ф{-)),..., ит(1, ф(-)),ит+!(<, ■ ■ •, ИГ(£, ^ (■))).

Под решением уравнения (3) понимается решение дифференциального включения

Во втором разделе приводится понятие инвариантно дифференцируемых функционалов (см. сноску 4) и определяется структура множеств точек разрыва кусочно-непрерывных функций, стоящих в правых частях функционально-дифференциальных уравнений. Записываются уравнения "скользящих режимов" в простейшем случае, а в общем случае рассматривается метод эквивалентного управления.

Пусть функция / является кусочно-непрерывной с множествами разрывов

где Щ — непрерывные и инвариантно дифференцируемые функционалы и Ух\\>\ / 0 для всех i в точках (Ь. ф(-)) € Б = иД. Тогда Д граничны, и для функционально-дифференциального уравнения (1) может быть применено доопределение в смысле Филиппова.

Движение по пересечению Г\Д будем называть "скользящим режимом". Метод эквивалентного управления для разрывных систем без запаздывания развит в работах В.И. Уткина7. Он предназначается для исследования скользящих режимов в системах управления, которые при наличии последействия можно записать в виде

где иг(1,ф(-)) — кусочно-непрерывные функции, каждая со своим множеством разрывов Д. Суть метода состоит в том, что на пересечении множеств Д разрывов управлений «¡(¿, ф(-)): 1 < г < тп < г, вектор производной х выбирается так, чтобы он лежал на пересечении гиперплоскостей

= (уда, ф(0),ф(-)), + ф(-)) = 0}, (6)

где сгг- = д\¥{/дЬ+дфУ/^ д-ф 1У{ — инвариантная производная функционала \¥{ по переменной ф(-). В точках, лежащих на пересечении множеств Д,

7 Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления / В.И. Уткин. — М.: Наука, 1981.

хег^х^-)).

(4)

Д — {(£> Ф(')) Ф(0), Ф(-)) = о},

х = ¡{Ь,хьщ,...,иГ),

это достигается выбором эквивалентных управлений = из

системы уравнений

<V„Wi, f(t, ф(-), и\\..., uZ ит+1,..., wr))+ +а(Ь,ф{-)) = 0, i = l,...,m.

В третьем разделе приводятся теоремы существования для функционально-дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, основанные на теории функционально-дифференциальных включений.

В четвертом разделе для функционально-дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями исследуется неявная форма записи и доказывается теорема о правосторонней единственности решений.

Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение (1) с кусочно-непрерывной правой частью, терпящей разрыв на множествах

где Wt — инвариантно дифференцируемые функционалы. Обозначим через S объединение всех множеств 5,- и через Qj — области непрерывности функции /, на которые разделена область П.

Для любого вектора z £ Rn и числа h € (0, т) введем функцию фЦт):

= ¡Ф(Ь + 9), -T<e<-h-hK ' [ ф(0) + (ft + 0)z, -h < 0 < 0,

и обозначим через f(t,ip(-);z) предел функции /(¿, фЦ-)) при h —> +0.

В каждой фиксированной точке (i, i/>(-)) £ О, для любого вектора z € Rn определим множество F(t,^(-);z) как выпуклую оболочку предельных значений отображения

z' -> f(t, ф{-)\ z') при z' 2,

z?tKi = {ze Rn : + fyWi = 0}.

Рассмотрим алгебраическое включение

z€F(tM-,z). (7)

Из теоремы Какутани о неподвижных точках многозначных отображений вытекает, что множество решений этого включения не пусто. Обозначим его через Н{1,ф(-)).

Теорема 1. Функционально-дифференциальные уравнения (1) и неявное функционально-дифференциальное уравнение

x(t) = z(t,xt(-)), z(t,xt(-))€H(t,xt{-)) (8)

равносильны в том смысле, что множества их решений совпадают.

Отметим, что уравнение (8) в виде х € F(t,ip(-)]x) можно рассматривать как неявную форму записи функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

Теорема 2. Решение z(t,ip(-)) включения (7) единственно, если для любых t, ф(-), ф{-) выполнено неравенство

(Ф(о) - ф{о), f{t, Ю) ~ Ж Ф{-))) < Ш) - Ф(-)\\Ъ (9)

где I — l(t) — некоторая непрерывная неотрицательная функция.

Отметим также, что неявное функционально-дифференциальное уравнение (8) при условии, что Zi(t, ф(-)) € Ki для всех г, описывает движение в "скользящем режиме", т.е. движение по пересечению множеств

Д.

В пятом разделе вводится понятие приближенного i-решения и доказываются теоремы о ломаных Эйлера.

Ломаные Эйлера определяются следующим образом. Для любого N £ N разобьем интервал [¿о,Т] на N — 1 частей с шагом h = (Т — to)/N — tj+1 - tj, где j = 0,..., N - 1.

Будем рассматривать дискретное по времени включение

ти+1ЕО?(к,%(-)), г,о = щ(0), (10)

где отображение %(■)) : R1 х Ст —> Rn определено следующим

образом:

Gf(h,rltj(-)) = rlj + hF(tj,%(.)).

Функцию

<Po(t-t0), t0-T<t<t0]

Ti(t), te[tj,tj+1], j = 0,...,N-l,

будем называть ломаными Эйлера для включения (2).

Пусть многозначное отображение F(t,^(-)) с непустыми компактными выпуклыми значениями полунепрерывно сверху по совокупности аргументов и ограничено. Тогда справедливы следующие теоремы.

V W

Теорема 3. Существует подпоследовательность последовательности ломаных Эйлера г)к(£), которая сходится к решению включения (2) при N —> +оо.

Теорема 4. Пусть решение включения (2) существует и единственно. Тогда приближенные решения равномерно сходятся к решению включения (2) при N —> +оо.

В шестом разделе рассматриваются функционально-дифференциальные уравнения, правые части которых могут быть представлены в виде суммы двух функций, одна из которых предполагается лишпицевой по аргументу пространства СТ, а другая — разрывна и обладает свойством монотонности. Для этих уравнений строятся аппроксимирующие системы уравнений с непрерывными правыми частями по типу аппроксимаций Иосиды для максимально монотонных многозначных операторов, а также некоторые другие аппроксимации разрывных характеристик релейного типа.

Рассматривается система функционально-дифференциальных уравнений, которая в векторной форме имеет вид

я =/(*,£,(■))-ЭМО)- (12)

Функция /(¿,ж{(-)) -. Т х Ст —> Дп предполагается непрерывной по совокупности переменных и липшицевой по переменной хг(-) в каждой ограниченной области П С Т х Пп, где Т = (а,(3) — некоторый конечный или бесконечный интервал.

Относительно функции — {д\,...,дп) предполагается, что она

ограничена на каждом ограниченном множестве из области определения Гхй", разрывна на некотором граничном множестве М С й1 х Я™ и для всех точек (¿, х) $ М и (£, у) ^ М выполняется неравенство

(д(1,х)-д{1,у):х-у)> 0. (13)

Наряду с уравнениями (12), будем рассматривать систему уравнений

х = НьМ-))-о%х(г)) (14)

с непрерывной правой частью, которую назовем аппроксимирующей. Здесь Сл(£, х(Ь)) — аппроксимация Иосиды.

Теорема 5. Пусть х(Ь) и хх(1) — решения уравнения (12) и (14) соответственно, отвечающие одним и тем же началы1ым данным (¿о,х(о) и определенные на отрезке [¿о — т, ¿1]. Тогда существует константа С такая, что для любого А > 0 выполняется неравенство

(15)

при всех Ь € [¿о, <1].

Замечание 1. Утверждение теоремы 5 останется справедливым, если рассматривать уравнение

± = /(1,х)-д(1,х(1-т)), (16)

а аппроксимирующую систему уравнений (14) заменить на систему

где функция / непрерывна и липшицева по переменной х, а функция х) обладает теми же свойствами, что и ранее.

Вторая глава посвящена вопросам качественной теории функционально-дифференциальным уравнений с разрывной правой частью и состоит из четырех разделов.

В первом разделе приводятся необходимые определения, среди которых основным является следующее.

Определение 1. Верхняя V* и нижняя К производные инвариантно дифференцируемого функционала У(Ь,х,ф{-)) в силу функционально-дифференциального включения (2) определяются равенствами

V*= sup (?¥. + <yxv,y)+dtV

j=V>(O)

inf (^ + (ЧхУ,у)+дфу) veFW))\dt J x=m

Во втором разделе исследуются вопросы (слабой) устойчивости и (слабой) асимптотической устойчивости нулевого решения функционально-дифференциального включения (2) при условии, что 0 € F(t, 0) для всех t > ¿о- Исследуются ш-предельные множества и обосновывается аналог принципа инвариантности Ла-Салля в автономном случае. Через D С Ст обозначается множество, содержащее открытую -окрестность нулевой функции, D[0] = {х : х = ф(0), ф(-) € D}, I = [¿о, +оо).

Теорема 6. Пусть У^,х,ф(-)) — определенно-положительный, инвариантно дифференцируемый н-епрерывный функционал такой, что V* < 0 на мноокестве вида I х Д[0] х О. Тогда тривиальное решение функционально-дифференциального включения (2) устойчиво.

Теорема 7. Если условия теоремы 6 выполнены с заменой У* на К, и кроме того, частные производные дУ/дЬ, УХУ, дфУ непрерывны, то тривиальное решение функционально-дифференциального включения (2) слабо устойчиво.

Теорема 8. Пусть У(1,х,ф(-)) — определенпо-полоокительный инвариантно дифференцируемый непрерывный функционал, имеющий бесконечно малый высший предел, такой, что

У*(Ь,ф{0),ф(-)) < -ЩИ-)||с) (17)

на множестве вида I х Б[0\ х В, где т — непрерывная, скалярная, неубывающая функция такая, что м;(0) — 0 и ш(и) > 0 при всех и > 0. Тогда тривиальное решение функционально-дифференциального включения (2) асимптотически устойчиво.

Теорема 9. Если условия теоремы 8 выполнены с заменой V* па V, и частные производные дУ/дЬ, д^У непрерывны, то триви-

альное решение функционально-дифференциального включения (2) слабо асимптотически устойчиво.

Рассматривается автономное дифференциальное включение

х(Ь) е ^ы-)), яо(-) = <Ро(-), (18)

где Р : СТ Пп — полунепрерывное сверху многозначное отображение с выпуклыми компактными значениями. Через Г2(х(-)) С Ст для каждого решения а;(4) включения (18), заданного на промежутке [—г, +оо), обозначим ^-предельное множество и

где и>{и) > 0 — некоторая непрерывная скалярная функция.

Теорема 10. Пусть х(Ь) — решение включения (18), для которого множество Г2(а;(-)) £ СТ непусто, компактно и полуинвариантно. Пусть существует непрерывный инвариантно дифференцируемый функционал У(х,ф(-)) такой, что

у*(ф(0),ф(-)) < -М1Ш1с). (19)

Тогда П(х(-)) С Е{и>).

В третьем разделе приводятся теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости для функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью на основе исследований, представленных выше.

В четвертом разделе изучаются некоторые условия стабилизации управляемых систем с последействием с использованием инвариантно дифференцируемых функционалов Ляпунова, а также рассматриваются вопросы быстродействия применительно к таким системам. Рассматривается управляемая система в форме функционально-дифференциальных уравнений

¿ = /(4, и, и), (20)

где и = (щ,..., ит) — вектор управления с ограничением и € II, II С Ят — компактное множество, / : Я х СТ х и —► В.п — непрерывная функция. Пусть 0 € II и /(£, 0,0) = 0 для всех Ь.

Определение 2. Управление и(£, стабилизирует систему (20), если тривиальное решение этой системы (понимаемое в смысле Филиппова или Айзермана-Пятницкого), соответствующее обратной связи и = и{Ь, а^О), асимптотически устойчиво.

Определение 3. Управление и(Ь,ф(-)) = (щ,..., ит) называется оптимальным по отношению к демпфированию функционала У(Ь,ф(0),ф(-)), если этот функционал убывает вдоль решения х = х(Ь,и), соответствующего этому управлению, наибольшим образом, т.е. полная производная функционала У(Ь,ф(0),ф(-)) в силу системы (20), определенная равенством

^ = д~Ш + ж ши)) +

достигает своего минимума на множестве II при каждых фиксированных

МО).

Теорема 11. Пусть существует определенно-положительный, имеющий бесконечно малый высший предел, и инвариантно дифференцируемый функционал У(Ь,ф(0),ф(-)) такой, что частные производные дУ/дЬ, ЧХУ, д^У непрерывны. Пусть для всех £ выполняется неравенство дУ/дЬ + 0,0) < 0 « для любых (£,ф{-)), (И^ОНс <

существует и £ U, такое что

^(t,mM-u)<-wm-)\\c), (2i)

где w(u) > 0 — неубывающая скалярная функция, w(0) = 0. Тогда любое управление u(t,ip(-)) со свойством u(t, 0) = О, оптимальное по отношению к демпфированию функционала V(t, ф(0), ф(-)), стабилизирует систему (20).

Определение 4. Управление и — (щ,... ,ит) называется оптимальным по быстродействию, если среди всех управлений, переводящих систему (20) из начального состояния (i0, xio) на множество D° = R1 х D (D С СТ — компактное множество), оно доставляет времени перехода Т = t\ — to наименьшее возможное значение.

Теорема 12. Пусть управление и(Ь,ф{-)) является оптимальным по отношению к демпфированию инвариантно-дифференцируемого функционала У^,ф(0),ф(-)) > 0 такого, что У(Ь,ф(0),ф(-)) = 0 <£=?■ (¿>Ф{')) £ и при этом управлении dV/dt — —1. Тогда управление и^,ф{-)) оптимально по быстродействию.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА

ЗАЩИТУ

1. Предложено описание структуры множеств разрывов правых частей функционально-дифференциальных уравнений, определенных на бесконечномерном пространстве непрерывных функций. Обоснованы способы определения решений, согласующиеся с основными подходами теории разрывных систем, развитой в работах А.Ф. Филиппова (простейшее выпуклое доопределение), М.А. Айзермана, Е.С. Пятницкого (репрезентативное представление) и В.И. Уткина (метод эквивалентного управления). Обоснованы теоремы о существовании решений функционально дифференциальных уравнений с разрывной правой частью с использованием теорем для функционально-дифференциальных включений. Получена неявная форма записи для функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, которая при определенных условиях однозначно определяет движение в "скользящем режиме" и доказана теорема о правосторонней единственности решений.

2. Доказаны теоремы о непрерывных аппроксимациях разрывных монотонных характеристик разрывных систем с последействием одно-параметрическими семействами непрерывных функций, получены оценки близости решений исходных и аппроксимирующих систем функционально-дифференциальных уравнений.

3. Доказаны теоремы о (слабой) устойчивости и (слабой) асимптотической устойчивости для функционально-дифференциальных включений с использованием инвариантно дифференцируемых функционалов Ляпунова и доказан аналог принципа инвариантности Ла-Салля в автономном случае. Исследованы вопросы стабилизации и быстродействия с использованием разрывных обратных связей, оптимальных по отношению к демпфированию инвариантно дифференцируемых функционалов.

В целом в диссертационной работе аппарат инвариантно дифференцируемых функционалов систематически применяется для исследования функционально-дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями с бесконечномерным фазовым пространством непрерывных функций. Вначале — для описания множеств разрывов правых частей и описания "скользящих режимов", затем — при изучении устойчивости. На разрывные системы с последействием перенесены методы и ряд результатов общей и качественной теории разрывных систем и теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Сурков A.B. Об аппроксимациях регулируемых систем с разрывными монотонными характеристиками / A.B. Сурков, И.А. Фино-генко // Оптимизация, управление, интеллект. — 2004. — Т. 7. — С. 40-52.

2. Сурков A.B. О стабилизации управляемых систем с запаздыванием с использованием инваринатно дифференцируемых функционалов Ляпунова / A.B. Сурков, И.А. Финогенко // Тр. XII Байкальской

междунар. школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". - 2005. - Т. 2. - С. 195-200.

3. Сурков A.B. О стабилизации функционально-дифференциальных включений / A.B. Сурков, И.А. Финогенко // Материалы Всерос. конф. с междунар. участием "Математика, ее приложения и математическое образование". — Улан-Удэ, 2005. — С. 206-212.

4. Сурков A.B. Об устойчивости и слабой устойчивости функционально-дифференциальных включений / A.B. Сурков // Известия Института математики и информатики УдГУ. — Ижевск, 2006. — Вып. 3 (37). - С. 149-150.

5. Сурков A.B. Об однозначной определенности "скользящих режимов" систем управления с последействием / A.B. Сурков // Материалы Междунар. симп. "Обобщенные решения в задачах управления". — Улан-Удэ, 2006. - С. 77-79.

6. Сурков A.B. Метод Эйлера для функционально-дифференциальных уравнений / A.B. Сурков // Тр. IX Междунар. Четаевской конф. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". - Иркутск, 2007. - Т. 5. - С. 218-223.

7. Сурков A.B. Об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с использованием инвариантно дифференцируемых функционалов Ляпунова / A.B. Сурков // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43, № 8. - С. 1055-1063.

8. Сурков A.B. О функционально-дифференциальных уравнениях с разрывной правой частью / A.B. Сурков // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44, № 2. - С. 278-281.

Редакционно-издательский отдел Института динамики систем и теории управления СО РАН 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, д. 143

Подписано к печати 20.11.2008 Формат бумаги 60x84 1/16, объем 1,2 п.л. Заказ 10. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ИДСТУ СО РАН

ВВЕДЕНИЕ

1 Общие свойства решений функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой

частью

1.1 Основные подходы к определению решения.

1.1.1 Простейшее выпуклое доопределение.

1.1.2 Доопределение систем с разрывными управлениями

1.2 Структура множеств точек разрыва и "скользящие режимы"

1.2.1 Понятие инвариантно дифференцируемого функционала

1.2.2 Множества точек разрыва.

1.2.3 Метод эквивалентного управления.

1.3 Существование решений.

1.3.1 Вспомогательные определения и утверждения

1.3.2 Существование решений.

1.4 Неявная форма уравнений

1.4.1 Правосторонняя единственность.

1.5 Приближенные решения функционально-дифференциальных уравнений.

1.5.1 Приближенные 5-решения

1.5.2 Метод Эйлера.

1.6 Непрерывные аппроксимации разрывных характеристик функционально-дифференциальных уравнений.

1.6.1 Аппроксимации Иосиды.

1.6.2 Аппроксимирующая система уравнений.

1.6.3 Другие непрерывные аппроксимации.

2 Устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений

2.1 Определения и постановка задачи.

2.2 Устойчивость решений функционально-дифференциальных включений.

2.2.1 Устойчивость и слабая устойчивость.

2.2.2 Асимптотическая устойчивость и слабая асимптотическая устойчивость.

2.2.3 Принцип инвариантности.

2.3 Устойчивость функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.'

2.4 Оптимальное демпфирование в задачах стабилизации и быстродействия систем с запаздыванием

2.4.1 Стабилизация.

2.4.2 Быстродействие.

Объект исследования

В диссертации рассматривается система функционально-дифференциальных уравнений = /(*,**(.)), **,(■)=¥>(■)» (1) где / : В1 X Ст —> Яп, С[Г)о] — Ст - пространство непрерывных функций из отрезка [—т, 0] в п-мерное евклидово пространство ¥С. Для непрерывной на отрезке [¿о — т, ¿о + Т] функции х{Ь) и любого £ 6 [¿о^о +Т] функция я^(-) £ Ст определена равенством = + в). —г < 0 < 0, Х10(-) = </?(•) 6 Ст - начальная функция. Функция /(£, предполагается в общем случае разрывной по совокупности переменных. Общепринятым методом исследования разрывных систем является переход к дифференциальным включениям. В данной работе решение уравнения (1) понимается, как решение функционально-дифференциального включения

•)=¥>(•), (2) где Р^Ь^х^-)) - многозначная функция, которая строится с помощью доопределения функции /(¿, в ее точках разрыва. Здесь будет использоваться метод простейшего выпуклого доопределения правой части в смысле Филиппова [46], а для управляемых систем будет рассматриваться доопределение в смысле Айзермана-Пятницкого [2].

Обзор литературы

Многочисленные задачи теории автоматического регулирования, техники, механики, радиофизики, биологии, экономики и т.д. описываются дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. Так, например, транспортное запаздывание обычно возникает в системах, в которых вещество, энергия или сигналы передаются на расстояние [56]. Технологическое запаздывание может встречаться в химико-технологических процессах [55, 10], в теплоэнергетике [30, 32]. В системах управления, где одним из звеньев является человек, важное значение при построении математической модели всей системы имеет учет запаздывания реакции человека [5, 6]. Во многих задачах экономики учет запаздывания необходим для правильного качественного и количественного описания различных явлений [45]. Модели управления поточным производством, а также задачи управления запасами с учетом запаздывания рассматриваются в [29].

Отдельные результаты теории систем с запаздывающим аргументом были получены более 200 лет назад (Кондорсе, 1771 г., см. [57, стр. 9]), однако систематическое развитие теории таких систем началось значительно позднее. В период с 20-х до начала 40-х годов Н. Минорский в своих работах [68, 69], посвященных стабилизации курса корабля и автоматическому управлению его движением, ясно указал на важность рассмотрения запаздывания в механизме обратной связи. Большой интерес к теории автоматического регулирования в течении этих и последующих лет существенно способствовал быстрому развитию теории дифференциальных уравнений с запаздыванием. К результатам, которые также в значительной степени стимулировали теорию, можно отнести работы В. Вольтерра по исследованию модели "хищник-жертва" [9], а также его работы по вяз коупругости

70]. В 50-60-х годах А.Д. Мышкис [23, 24], ввел общий класс уравнений с запаздывающими аргументами и заложил основы теории линейных систем, которая интенсивно развивалась в последующие годы [20, 25, 58, 21, 59, 1].

Развитие общей теории и многочисленные прикладные задачи инициировали интерес к качественной теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и особенно - к проблемам устойчивости движений в системах, описываемых такими уравнениями. Для обыкновенных дифференциальных уравнений основным подходом к исследованию вопросов устойчивости является метод функций Ляпунова. Применительно к дифференциальным уравнениям с последействием использование метода функций Ляпунова нашло свое выражение в теоремах Разумихина [21, 58]. Однако в целом метод функций Ляпунова для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом не обладает такой же полнотой, как для дифференциальных уравнений без запаздывания и его применение сопряжено с определенными трудностями. Более плодотворной оказалась концепция Н.Н. Красовского, который рассматривал интегральные кривые решений дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом в пространстве Я,1 х Ст даже тогда, когда переменная состояния представляла собой конечномерный вектор [15] . Трактовка Н.Н. Красовского прояснила функциональную природу дифференциальных уравнений запаздывающего типа, дала возможность провести глубокие аналогии между теорией таких уравнений и теорией обыкновенных дифференциальных уравнений и показала причины не менее глубоких различий этих теорий, проистекающие в первую очередь из бесконечномерности пространства Ст. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргумен том часто называются функционально-дифференциальными уравнениями.

При исследовании вопросов устойчивости для функционально-дифференциальных уравнений методом функционалов Ляпунова обычно используется правое верхнее производное число функционала вдоль решений. Это позволяет достаточно полно исследовать рассматриваемые задачи, поскольку правое верхнее производное число функционала существует при достаточно общих условиях, что придает методу определенную универсальность. Однако элемент конструктивности при этом теряется, так как требуется (теоретически) знать само решение, а не только правую часть уравнения. В приложениях и при исследовании конкретных систем эта трудность так или иначе разрешается. Многочисленные примеры имеются в книгах [59], [21]. Из них видно, что часто производная функционала вдоль решения разделяется на две части, одна из которых инвариантна относительно продолжения решения в последующие моменты времени, а другая может быть выражена через правую часть уравнения. Это свойство функционалов было формализовано в работах A.B. Кима (см. [17]), где было введены понятия инвариантной производной и инвариантной диффе-ренцируемостп и разработан соответствующий аппарат для исследования устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений.

Еще одно направление, которое отражено в объекте исследований данной диссертации, связано с дифференциальными уравнениями с разрывной правой частью. Общепризнанные подходы к исследованию таких уравнений основаны на теории дифференциальных включений. Существенным толчком к развитию этих подходов послужила известная дискуссия на 1-ом конгрессе ИФАК по докладу А.Ф. Филиппова в 1961 г. Обзорный материал многочисленных исследований, сформировавших основные методы и направления развития теории разрывных систем в последующие годы, представлены в ряде книг и статей таких авторов, как А.Ф. Филиппов, М.А. Айзерман, Е.С. Пятницкий, В.И. Уткин. В частности, в монографии А.Ф. Филиппова [46] представлены различные способы определения решения решения дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Приведем три из них, которые представляются наиболее употребительными как в теории, так и в приложениях.

1. Простейшее выпуклое доопределение (А.Ф. Филиппов, 1961 г.) для уравнений вида где функция / - разрывна по переменным t их. При простейшем выпуклом доопределении за правую часть уравнения (3) в точках разрыва функции / принимается выпуклая замкнутая оболочка всех ее предельных значений. Далее исследуется дифференциальное включение, в правой части которого стоит полученная многозначная функция, и под решением системы уравнений с разрывной правой частью понимается решение полученного дифференциального включения.

2. Применительно к управляемым системам вида где вектор-функция /(¿,#,^1,. ,иг) - непрерывна по совокупности аргументов, а функции «¿(i, х) - разрывны (каждая на своей поверхности), М.А. Айзерманом, Е.С. Пятницким в работе [2] был предложен способ доопределения правых частей, который они охарактеризовали, как репрезентативное представление уравнений (4). Формально и для этих уравнений может быть применен первый способ, но к понятию решения дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями предъявляются определенные требования. Помимо содержательности (возможности построения достаточно полной математической теории) есть еще требование физичности (учет физических законов или инжех = f(t, ж),

3)

X = /(£, х, Ui(i, х),., ur(t, я;))

4) нерных соображений). Именно последнее обстоятельство приводит к репрезентативному представлению. Эти два подхода совпадают, если правая часть (4) линейна по щ,., иг , но в общем случае они различны. Первое направление в работе [2] условно названо математическим, а второе - техническим.

3. Метод эквивалентного управления для уравнений (4), рассмотренный в работах В.И. Уткина [44], предназначен для описания скользящих режимов разрывных систем и общего определения решения решения не дает. Суть метода состоит в том, что на пересечении поверхностей разрывов управлений щ(Ь,х) новые (эквивалентные) управления выбираются так, чтобы вектор производной скользящего режима лежал на пересечении касательных плоскостей этих поверхностей. С учетом ограничений на управления, это не всегда возможно. В этом направлении имеются работы [51, 53], где предложен общий неявный метод доопределения дифференциальных уравнений с кусочно непрерывными правыми частями.

Различным задачам общей и качественной теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и их приложениям посвящено большое количество работ. Классификация и сравнительный анализ различных подходов к понятию решения имеется в [22]. Тем не менее, тот факт, что дифференциальные уравнения с разрывной правой частью могут быть заменены соответствующими дифференциальными включениями, позволяет использовать разделы существующей теории дифференциальных включений с выпуклой правой частью без каких-либо ограничений. Среди работ, посвященным теории дифференциальных включений, отметим [60, 27, 7, 4, 48, 65, 71].

Что касается самих функционально-дифференциальных включений, то их изучение, по-видимому, началось с работы А.Д. Мышки-са [23] и к настоящему времени рассмотрен достаточно широкий класс таких включений [3, 11, 20, 42, 50, 28, 31, 63, 66J, где были исследованы вопросы существования, продолжимости и непрерывной зависимости решения.

Актуальность темы диссертации

Если придерживаться функциональной концепции H.H. Красовского, то при описании движений по пересечению множеств разрывов (аналогов скользящих режимов) здесь возникают те же проблемы с вычислением производных функционалов, задающих эти множества, что и в теории устойчивости. Разница лишь в том, что даже теоретически невозможно потребовать знание решения для этих вычислений, так как оно подлежит определению или определено неоднозначно. Вместе с тем отметим, что такие задачи теории управления, как задача стабилизации, приводят к системам с разрывными обратными связями, и основные режимы их функционирования представляют собой движения по пересечению поверхностей разрыва. Поэтому актуальной задачей является распространение аппарата инвариантно дифференцируемых функционалов для исследования функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, как для описания множеств точек разрывов, так и для исследования устойчивости. Эти исследования актуальны также, как дополнение существующей теоретической базы для решения различных прикладных задач, которые приводят к системам функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью при надлежащей идеализации реальных процессов. Так, например, в математических моделях стабилизации курса корабля важно учитывать запаздывание в механизме обратной связи, но эти обратные связи часто моделируются разрывными (релейного типа) функциями. Такие сочетания ранее практически не изучались.

Цель работы

Целью данной работы является распространение основных методов, подходов и результатов общей теории разрывных систем на функционально- дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями в рамках функциональной концепции, основанной на бесконечномерности области определения правых частей таких систем, а также развитие для них методов теории устойчивости с использованием инвариантно дифференцируемых функционалов Ляпунова.

Структура и объем работы

Данная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, включающего 71 наименований. Общий объем диссертации составляет 94 страницы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты.

1. Предложено описание структуры множеств точек разрыва правых частей функционально-дифференциальных уравнений с бесконечномерным фазовым пространством непрерывных функций. Разработаны способы определения решений согласующиеся с основными подходами теории разрывных систем, развитой в работах А.Ф. Филиппова (простейшее выпуклое доопределение), М.А. Айзермана, Е.С. Пятницкого (репрезентативное представление) и В.И. Уткина (метод эквивалентного управления).

2. Обоснованы теоремы о существовании и продолжимости решений функционально дифференциальных уравнений с разрывной правой частью с использованием теорем для функционально-дифференциальных включений.

3. Получена неявная форма записи для функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, которая обобщает метод эквивалентного управления и при определенных условиях однозначно определяет движение в "скользящем режиме". Доказана теорема о правосторонней единственности решений.

4. Рассмотрены вопросы о непрерывных аппроксимациях разрывных монотонных характеристик разрывных систем с последействием однопараметрическими семействами непрерывных функций. Получены оценки близости решений исходных и аппроксимирующих систем функционально-дифференциальных уравнений, что позволяет использовать хорошо известные схемы численных методов для функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

5. Доказаны теоремы о (слабой) устойчивости и (слабой) асимптотической устойчивости для функционально-дифференциальных включений с использованием инвариантной дифференцируемое™ функционалов Ляпунова. Преимущество данного подхода заключается в том, что при вычислении производных функционалов Ляпунова вдоль решений не требуется знать самих решений. В то же время достаточно широкий класс функционалов обладает свойством инвариантной дифференцируемости.

6. Доказан аналог принципа инвариантности Ла-Салля в автономном случае.

7. При исследовании вопросов устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью обоснован переход к исследованию этих вопросов для функционально-дифференциальных включений.

8. Исследованы вопросы стабилизации и быстродействия с использованием разрывных обратных связей, оптимальных по отношению к демпфированию инвариантно-дифференцируемых функционалов.

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматулина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений: Методы и приложения. - Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2000.

2. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. I, II. // Автоматика и телемех. 1974. №7. С. 33-47; №8. С. 39-61.

3. Ананьев Б.И. Теорема существования для дифференциального включения с переменным запаздыванием. // Дифференциальные уравнения. 1975. Т. 11. №7. С. 1153-1158.

4. Барбашин Е.А., Алимов Ю.И. К теории релейных дифференциальных уравнений. // Изв. ВУЗов, сер. математика. 1962. №1. С. 3-13.

5. Боднер В.А. Оператор и летательный аппарат. М.: Машиностроение, 1976.

6. Боднер В А., Закиров P.A., Смирнова И. И. Авиационные тренажеры. М.: Машиностроение, 1973.

7. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д. Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: КомКнига, 2005.

8. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Многозначные отображения. // Итоги науки и техники. Серия Математический анализ. 1981. Т. 19. С. 127-231.

9. Волтерра В. Математическая теория больбы за существование. -М.: Наука. 1976.

10. Гурецкий X. Анализ и ситез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1974.

11. Дочев Д. Т., Байданов Д.Д. О существовании решений одного класса многозначных дифференциальных уравнений. // Украинский математический журнал. 1978. Т.ЗО. №5. С. 659-664.

12. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

13. Зубов В. И. Теория уравнения управляемого движения. Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1980.

14. Канторович, Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

15. Красовский H.H. О применении второго метода A.M. Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. Вып. 3. С. 315-327.

16. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения М.: Гостехиздат, 1959.

17. Ким A.B. i-Гладкий анализ и функционально дифференциальные уравнения. Екатеринбург: УрО РАН, 1996.

18. Ким A.B., Пименов В. Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004.

19. Куратовский К. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966.

20. Куржанский A.B. О существовании решений уравнений с последействием. // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6, №10. С. 1800-1809.

21. Колмтювекий В.В., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

22. Матросов В .М. Метод векторых функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физма.тлит, 2001.

23. Мышкис А Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. // Успехи мат. наук. 1949. Т. 4. выи. 5. С 99-141.

24. Мышкис А.Д. О решениях линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка периодического типа с запаздывающим аргументом. // Матем. Сб. 1951. 28 /70/. № 1. С. 15 -54.

25. Мышкис А.Д., Эсгольц Л.Э. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. // Успехи матем. наук. 1967. 22. № 2 /134/. С. 21 - 57.

26. Мышкис АД. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

27. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988.

28. От,акулов С. О дифференциальных уравнениях с многозначной правой частью. // Вопросы вычислительной и прикладной математики. 1978. Вып. 52. С. 12-21.

29. Первозвапский А. А. Математические маодели в управлении производством. М.: Наука, 1975.

30. Плетнев Г. П. Автоматическое регулирование и защита теплоэнергетических установок электрических станций. М.: Эрегния, 1970.

31. Поволоцкий А.PL, Ганго Е.А. О дифференциальных уравнениях с многозначной правой частью с запаздывающим аргументом. // Ученые записки ЛГПИ, сер. алгебра и анализ. 1972. Т. 496. Вып. 2. С. 281-293.

32. Ротач В. Я. Расчет динамики промышленных автоматических систем регулирования. М.: Энергия, 1973.

33. Руш М., А бет с ПЛалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

34. Сурков A.B. Об устойчивости и слабой устойчивости функционально-дифференциальных включений частью // Известия Института Математики и Информатики. Ижевск. 2006. Вып. 3(37). С. 149-150.

35. Сурков A.B. Об однозначной определенности «скользящих режимов» систем управления с последействием. // Материалы международного симпозиума "Обобщенные решения в задачах управления". Улан-Удэ. 2006.

36. Сурков A.B. Метод Эйлера для функционально-дифференциальных уравнений. // Труды IX Международной Четаевской конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Иркутск. 2007. Т. 5. С. 218-223.

37. Сурков A.B. Об устойчивости функционально-дифференциальных влючений с использованием инвариантно дифференцируемых функционалов Ляпунова. // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43. Ш. С. 1055-1063.

38. Сурков A.B. О функционально-дифференциальных уравнениях с разрывной правой частью. // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44. №2. С. 278-281.

39. Сурков A.B., Финогенко И.А. Об аппроксимациях регулируемых систем с разрывными монотонными характеристиками // Оптимизация, управление, интеллект. 2004. Т. 7. С. 40-52.

40. Сурков A.B., Финогенко И.А. О стабилизации функционально-дифференциальных включений // Материалы всероссийской конф. с меж дун ар. участием "Математика, ее приложения и математическое образование". Улан-Удэ. 2005. С. 206-212.

41. Толстоногое A.A., Финогенко И.А. О функционально-дифференциальных включениях в банаховом пространтсве с невыпуклой правой частью. // Докл. АН СССР. 1980. Т. 254. №1. С. 45-49.

42. Трубников Ю.В., Перов А.И. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями. Минск: Наука и Техника, 1986.

43. Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М: Наука, 1981.

44. Фаерман Е. Ю. Проблемы долгосрочного планирования. М.: Наука, 1971.

45. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

46. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. // Матем. сборн. 1960. Т. 51. №1. С. 99-128.

47. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравенния с многозначной разрывной правой частью. // Докл. АН СССР. 1963. Т. 151. №1. С. 65-68.

48. Филиппов А.Ф. О приближенном вычислении решений обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями // Вест. Моск. Ун-та, Сер. 15, Вычисл. Матем. И Киберн. 2001. Ш. С. 150-152.

49. Финогенко И.А. О решениях функционально-дифференциальных включений в банаховом пространстве. // Дифференциальные уравнения, 1982. Т. 18. №11. С. 2001-2002.

50. Финогенко И. А. Об условии правой липшицевости для дифференциальных уравнений с кусочно непрерывными правыми частями. // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 38. № 8. С. 1068-1075.

51. Финогенко И.А. О скользящих режимах регулируемых разрывных систем с последействием. // Известия РАН. Сер. Теория и системы управления. 2004. №4. С. 19-26.

52. Финогснко И.А. О непрерывных аппроксимациях и правосторонних решениях дифференциальных уравнений с кусочно непрерывной правой частью. // Дифференциальные, уравнения. 2005. Т.41. №5. С.647-655.

53. Финогенко И. А. Неявные формы записи разрывных систем // Известия РАЕН. Сер. МММИУ. 2003. Т. 7. № 3-4. С. 5-24.

54. Шигин Е.К. Классификация динамических моделей объектов регулирования химико-технологических процессов. // Автоматика и телемеханика. 1968. №6. С. 145-162.

55. Эрриот П. Регулирование производственных процессов. М.: Энергия, 1976.

56. Эсгольц Л. Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

57. Эльсгольц Л.Э. Устойчивость решений дифференциально-разностных уравнений // Успехи математических наук. 1954. Т. 9. Вып. 4.

58. Хейл Док. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

59. Aubin J.Р., Cellina A. Differential Inclusions. Springer-Verlag Heidelberg, 1984.

60. Dontcheu A, Lempio .F Difference methods for differential inclusions: a survey. // SIAM Review. 1992. V. 34. Issue 2. Pp. 261-279.

61. Driver R. D. Ordinary and Delay Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 1977.

62. Janiak T., Luczak-Kumorek E. Kisielewicz M. Existence theorem for functional-differential relations. // Deomnstratio Math. 1979. V.12.

63. Himmelberg C.J. Measurable relations. // Fund. Math. 1975. V. 87. Pp. 53-72.

64. Kikuchi N. On some fundamental theorems of contingent equations connection with the control problems. // Publ. RIMS, Kyoto Univ., ser. A. 1967. V.3. №2. Pp. 177-201.

65. Kisielewicz M., Janiak T. Existence theorem for functional-differential contingent equations. // Ann. Pol. Math. 1977. V. 35. Pp.161-166.

66. Frank Lempio, Vladimir Veliov Discrete approximations of differential inclusions // Bayrcuther Mathematische Schriften. 1998. V. 54. Pp.

67. Minorsky N. Directional Stability and Automatically Steered Bodies. // J. Am. Soc. Nav. Eng. 1922. V. 34. Pp. 280.

68. Minorsky N. Self-excited oscillations in dynamical systems possesing retarded actions. // Journal of Applied Physics 9. 1942. A65—A71.

69. Volterra V. La teoria deifunzionali appiata aifenomcni ereditari // Atti congr.lut.Mat. Bolongna'. 1928. V.l.

70. Wazewsky T. Systèmes de commande et equations au contingent. // Bull. Acad. Pol. Sci., ser. math. 1962. V.10. №1. Pp. 11-15.12. Pp. 411-420.149.232.