О краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью

Зуев, Алексей Викторович

О краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Зуев, Алексей Викторович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «О краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью»

Автореферат диссертации на тему "О краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью"

На правах рукописи УДК 517.911.5, 517.927.21

Зуев Алексей Викторович

О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.В. Филиппов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор И.К. Лифанов, доктор физико-математических наук, профессор И.Н. Сергеев

Ведущая организация: Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

Защита диссертации состоится 7 апреля 2006 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 зтаж).

Автореферат разослан 7 марта 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ, профессор

В.Н. Чубариков

ZOOQh S4<0

Общая характеристика работы

Диссертация подготовлена на кафедре общей топологии и геометрии Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. В работе рассматриваются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных включений с разрывной правой частью.

Актуальность темы. Становление и развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью можно связать с именами ведущих зарубежных и отечественных математиков, таких как К. Каратеодори, Дж.Л. Дэви, А.Ф. Филиппов. Актуальность исследований в данной области была продиктована большим количеством задач в теории оптимального управления, приводящих к дифференциальным уравнениям с разрывами в правой части. К таким задачам приводит рассмотрение1 систем с переменной структурой, со скользящими режимами, задач автоматического управления с переключателями и др.

Впервые теория обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью построена2 К. Каратеодори. Записав интегральное уравнение

равносильное дифференциальному уравнению х' = g(t,x), Каратеодори сформулировал условия, при которых функция g(s, x(s)) интегрируема по Лебегу, известные теперь как условия Каратеодори. В этом случае формула (1) определяет решение задачи Коши x(t(¡) = xq для дифференциального уравнения х' = g(t, х). Различные вопросы качественной теории дифференциальных уравнений Каратеодори рассмотрены в работах1 А.Ф. Филиппова.

В последние годы наблюдается значительный прогресс в области обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, связанный с работами3 В.В. Филиппова. Успех построенной В.В. Филиппо-

1 Филиппов а Ф Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М • Наука, 1985.

JC. Carathéodory. Vorlesungen über reele Funktionen. 2-ie Aufl., Leipzig, 1927.

3Филиппов В В Пространства решений обы сравнений. М.: Изд

(1)

МГУ, 1993.

вым теории во многом связан с использованием аксиоматического подхода. Истоки этой идеи можно отыскать в работе4 польского математика С.К. Зарембы, а также в позднейших публикациях. В работах В.В Филиппова идея аксиоматического подхода получила опору в виде теории задачи Коши, в рамках которой были разработаны5 средства проверки основных свойств пространств решений, опираясь на свойства правой части дифференциального уравнения (включения) либо на геометрические и топологические свойства пространств решений.

В рамках подхода В.В. Филиппова проверка основных свойств пространств решений позволяет перенести на интересующий нас класс дифференциальных уравнений или включений сразу широкий спектр результатов Среди таких фактов следует упомянуть условия единственности нулевого решения и условия, при которых решение неограниченно продолжается во времени.

Для построенной В.В. Филипповым теории оказалось несущественным требование единственности решения задачи Коши. Это наблюдение позволило упростить формулировки отдельных теорем в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также распространить построенную теорию на дифференциальные включения. Кроме того, понимание несущественности отдельных условий, с которыми привыкли работать специалисты в области обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью, позволяет строить теорию, применимую к дифференциальным уравнениям со сложными разрывами в правой части, такими, что зачастую подходы к уравнениям такого типа просто не рассматривались другими теориями.

Теория краевых задач занимает одно из центральных мест в классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ее развитие в рамках классического подхода можно связать с такими известными именами, как Ж. Лиувилль, Э. Пикар, А. Пуанкаре, С.Н. Бернштейн, Ф. Харт-ман, М. Нагумо, М.А. Красносельский. Для доказательства существования решения краевых задач может быть использован метод сдвига вдоль траекторий, известный также как метод Пуанкаре - Андронова.

В достаточно простом случае, когда решение задачи Коши для диф-

*S.K. Zaremba. Stir certaine» familles de courbes en relation avec la théorie des équations différentielles Ann. Soc. Polon. Math., 1937, 1S, pp. 83-100.

'Филиппов В В О теории задачи Коши для обыкновенного дифференциальною уравнения с разрывной правой частью. Мат. сборник, 1994, Т. 185, №11, С. 95-118.

ференциалыюго уравнения с непрерывной правой частью или с правой частью, удовлетворяющей условиям Каратеодори, единственно и продолжается на весь рассматризаемый временной отрезок, вопрос о существовании решения краевой задачи элементарным образом сводится к вопросу о существовании решения уравнения f{x) = 0 для непрерывного отображения / : Ет —> Ет. Название «метод сдвига вдоль траекторий» возникло, очевидно, из рассмотрения задачи о существовании периодического решения для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. В этом случае в качестве отображения / следует рассмотреть сдвиг за время Т, то есть разность х(Т) — х(0). Тем не менее, предложенный метод применим для любой краевой задачи для дифференциального уравнения порядка к в пространстве К", заданной уравнением Л(х(0),х(Г),...,®(к-1)(0),®№-Ч(Т)) = б, где отображение Л : К2*" К*" непрерывно.

Существование решения уравнения /(ж) = 0 может быть доказано указанием такого ограниченного открытого множества <3 С Кт, что функция / не принимает значения 0 на его границе, и степень6 отображения / множества <?£? отлична от нуля. Существенным недостатком метода сдвига вдоль траекторий, ограничивающим возможности его применения, долгое время оставались требования единственности и нелокальной продолжимости решения задачи Коши.

Определенными преимуществами перед классическим методом сдвига обладает метод Лерэ - Шаудера. При этом с краевой задачей связывается определенный интегральный оператор, неподвижные точки которого являются решениями краевой задачи. Для доказательства существования неподвижной точки считается степень интегрального оператора. Существование явной формулы для интегрального оператора М.А. Красносельский относит7 к преимуществам метода Лерэ - Шаудера.

По сути, метод Лерэ - Шаудера является косвенным методом подсчета степени сдвига /. Тем не менее, в рамках этого метода удалось преодолеть некоторые ограничения, связанные со сдвигом вдоль траекторий, в первую очередь требование единственности решения задачи Коши. В рамках принципа продолжения по параметру метод Лерэ - Шаудера зарекомендовал себя эффективным средством доказательства существования решения кра-

63ейферт Г, Трельфалль В Топология. М. - Л.: ГОНТИ, 1938

'Красносельский М.А Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений М/ Наука, 1966.

евых задач. Однако область его применения ограничена дифференциальными уравнениями с непрерывной правой частью или, самое большее, с правой частью, удовлетворяющей условиям Каратеодори. В более общей ситуации соответствующий интегральный оператор может просто не существовать.

Предложенный В.В. Филипповым8 новый вариант метода сдвига вдоль траекторий предполагает возможность непосредственного вычисления степени сдвига, без перехода к интегральным операторам. Основная идея метода состоит в сопоставлении сдвига не начальным данным, а решению рассматриваемого уравнения или включения, определенному на всем временном отрезке. Таким образом, вопрос о существовании решения краевой задачи сводится к вопросу о существовании решения уравнения f(z) = О для непрерывного отображения / некоторого подмножества H пространства C([0;T],Rn) bR".

Предположим, удается выделить некоторое ограниченное открытое множество G и содержащий его компакт H в пространстве С([0;Т],М"), такие что во множестве H \ G нет решений уравнения f(z) = 0. Обычно ограничиваются рассмотрением случая, когда G - внутренность компакта H При этом множество G выбирают таким образом, чтобы из уравнения f(z) = 0 следовало, что z € G. Это можно сделать, если рассматриваемое уравнение обладает априорной оценкой:

(2) вне множества G нет решений уравнения f(z) = 0.

Достаточным условием существования решения уравнения f(z) — 0 при выполнении условия (2) является9 отличие от нуля степени deg(/, H, G)

Цель работы. Основной целью настоящей работы является перенесение известных теорем существования решений краевых задач для уравнений с непрерывной правой частью на класс уравнений и включений со сложными разрывами в правой части.

Методы исследования. Работа опирается на исследования в теории задачи Коши и топологического строения пространств решений обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, а также в теории гомологий. Для исследования геометрии пространств решений

"Филиппов В В О существовании периодических решений. Мат заметки, 1997, Т 61, В 5, С 769784.

'Филиппов В В. О гомологических свойствах множеств решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Мат сборник, 1997, Т. 188, №6, С. 139-160.

дифференциальных уравнений и включений в работе используются методы топологии и функционального анализа.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:

Уточнена формулировка принципа продолжения но параметру для нового варианта метода сдвига вдоль траекторий обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющего доказывать существование решений краевых задач для дифференциальных уравнений и включений с разрывной правой частью.

Доказаны теоремы о существовании решения задачи Дирихле, периодического решения и решений некоторого класса задач с нелинейными краевыми условиями для дифференциальных уравнений и включений с разрывной правой частью. Доказанные теоремы обобщают известные результаты классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений и носят характер законченных результатов.

Теоретическая и практическая ценность. В диссертации доказаны результаты, распространяющие известные теоремы существования решений краевых задач классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений на дифференциальные уравнения и включения с разрывной правой частью. Проделанная работа представляет собой определенный шаг в построении достаточно полной теории уравнений с разрывной правой частью.

Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались автором на семинаре им. П.С. Александрова (научно-исследовательском семинаре по общей топологии) механико-математического факультета МГУ (неоднократно).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах (1]-|3|, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 70 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 41 наименование.

Содержание работы

Пусть и = (а; Ь) х К" х К", а < 0 < Т < Ь, п ^ 1 и V - некоторое подмножество области и. Пусть задана многозначная функция д : V К". Рассмотрим дифференциальное включение

(3) х" ед(г,х,хГ), где х : [0; Т] —» К". Краевые условия

(4) х(0) = и, х(Т) = V,

где и,ь € К", определяют задачу Дирихле для включения (3).

Решением краевой задачи (4) для включения (3) называем обобщенно абсолютно непрерывную функцию г : [0; Т) —> Кп, удовлетворяющую условию (4), такую что ее вторая аппроксимативная производная3 удовлетворяет включению (3) при почти всех £ € [0; Т] В частности, для выполнения последнего условии необходимо, чтобы для почти всех t € [0; Т] функция д была определена в точке то есть чтобы (£, г(£)) € V.

Принцип продолжения по параметру сформулирован в диссертации следующим образом:

Теорема 1.1. Пусть € Ясен{и) при любом А € [с; с£] и отображение С : —♦ Ясе^и), заданное формулой ((А) - непрерывно; МV -открытое ограниченное подмножество пространства С([0;71],Жт), при А 6 [с;(¿] Нх = П[IV] ивх = ; отображение / : [IV] -> Жт непре-

рывно и при Ас \c\d\ дли любой функции г £ Н\\ С\ /(г) / 0. Пусть степень отображения }с — множества IIс \ Сс отлична от ну

ля. Тогда степень отображения /а = /|цл\ал множества На \ также отлична от нуля и найдется такая функция г € Са, что п(г) = [0;Т] и

№ = о.

Символ Ясе/,([/) обозначает класс пространств решений обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных включений, удовлетворяющих условиям:

(с) для любого компакта К С II множество = {г 62: Сг(г) С К} компактно;

(с) для каждой точки (¿о.гоо) € II существуют е > 0 и функция г € 2 с 7г(г) = [£0 — е; ¿о + е], удовлетворяющая условию г(<о) = гко;

(Н) = ПРИШ = п

при т> О,

1°

для любой точки {а,ы) € I/ и для любого отрезка [а;/?], удовлетворяющего условию: любое решение задачи Коши г{а) — и> продолжается на отрезок [а; /?]. Условие (е) означает существование решения задачи Коши, условие (с) - непрервность его зависимости от начальных данных. Условие (Л) означает ацикличность множества решений задачи Коши и играет важную роль в теории краевых задач.

В таком виде принцип продолжения по параметру применим для доказательства существования решения различных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных включений с разрывной правой частью.

Для задачи Дирихле (4) отображение / задаем формулой

Д*) = (х(0 )-и,х(Т)-у).

Тогда выполнение краевых условий (4) равносильно равенству /(г) = 0.

Основным результатом, доказанным в первой главе диссертации, является следующее утверждение:

Теорема 1.2. Пусть пространство 2 решений дифференциального включения (1.2) принадлежит классу Ясе/,(£0/ и>и 6 ®"> > 0 и

1иаш£ (х,д(Ь,х,у)) > 0

для любых т е [0;Т], € К", таких что |£| ^ А, (£,г)) — 0. Пусть г = (х,у) : 7г(г) Е" х К" и выполнено по крайней мере одно из условий■

если г е тг(г) С [0;Т] и |у(£)| = оо, то

Ит^вирф) |ж(<)| =

(5)

если г е , 7г(г) С [0\Т\ и Ит^ы^) \у{г)\ = оо, то 11т^Ш)г(г) |х(«)| = оо.

Тогда задача (3), (4) имеет решение.

Условия (5) выполняются для пространства решений дифференциального уравнения или включения второго порядка, если его правая часть

удовлетворяет условиям Бернштейна - Нагумо10.

Условие Бернштейна для векторных дифференциальных включений второго порядка может быть сформулировано следующим образом: Замечание 1.1. Пусть Z € Я(и) и, кроме того, включение (3) с помощью подходящей замены координат может быть переписано в виде

(6)

х'{ е gi(t,x, х1),

х"п € gn(t,x,x')

таким образом, что для i — 1 ,...,п найдутся такие неотрицательные функции Ci = Ct(i,яг, j/i,... D, = Dt(t,x,yi,.. .,yt-i), ограниченные на компактных подмножествах пространства [0;Т] х Rn х R'-1, что выполнены неравенства \g,(t,x,y)\ ^ Ct(t, х, у\,..., Уг-\) у? + D%{t,x,y\,... ,y,-i) при всех t £ [0;Т], х 6 R", у G К" Тогда выполнены условия (5).

Следствием теоремы 1.2 и замечания 1.1 для дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью является следующее утверждение-Теорема 1.3. Пусть функция g : U —> R" непрерывна; и, v € R", А > 0 и

(х, g(t, х, у)) ^ 0 для любых t б [0; Г], х, у £ R" : |х| > А, {х, у) = 0.

Пусть уравнение

(7) x" = g(t,x,x')

с помощью подходящей замены координат может быть переписано в виде

х" = gi(t,x,x'), x'^ = gn{t,x,x')

таким образом, что для i = 1,... ,п найдутся такие неотрицательные функции Q(t, х, j/i,..., yi-i), D,(t, x, i/i,..., yi~i), ограниченные на компактных подмножествах пространства [0; Т] х R" х R'-1, что выполнены

I0A. Granaa, R.B. Guenther, J W. Lee Some general existence principles in the Carathéodory theory of nonlinear differential systems Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1991, t. 70, f. 2, p 153 à 196.

неравенства \дг{г,х,у)\ < С,^,!, уи... ,уг-г)у^ + Д(*, я, уь..., г/»_ 1) при всех £ 6 [0; Т\, х € Ж", у € К". Тогда задача (7), (4) имеет решение.

Таким образом, теорема 6.4 работы10 является простым следствием результатов первой главы диссертации.

По аналогии, простое обобщение условия Нагумо на случай векторных дифференциальных включений дается следующим утверждением: Замечание 1.2. Пусть 2 е Я(и) и, кроме того, включение (3) с помощью подходящей замены координат может быть переписано в виде (6) таким образом, что для i= 1,..., п найдутся непрерывные неубывающие функции Н, : [0; +оо) —» [0; +оо), удовлетворяющие условиям

8 ,

аэ = +оо,

такие что выполнены неравенства

при всех Ь € [0;Т], х € К", у € К" Тогда выполнены условия (5).

Кроме, того, есть возможность проверить выполнение условий (5), рассмотрев асимптотические свойства решений дифференциального уравнения или включения при \{х,у)\ —► +оо:

Замечание 1.3. Пусть 2 € /?(£/) и А > 0. Рассмотрим замену переменных х = х/Х, у = у/Х. Тогда включение (3) примет вид

Х^, х/Х,у/Х).

Предположим, что при А —> 0 пространства решений включений (8) сходятся к пространству решений некоторого включения

(х1 е Хх(^х,у),

(УехуМ.!/),

принадлежащему классу Ясе([/). Пусть, кроме того, либо пространство не содержит функций 5 = (х, у), таких что ж(£) = 0, Нш4_яр1(г) |у(*)1 ~ 00 < либо пространство не содержит функций

* = таких что х(г) = 0, Нт^^,^) = оо. Тогда простран-

ство X решений включения (3) удовлетворяет соответствуют,ему условию (5).

Рассмотренный в диссертации пример 1.3 показывает, как можно воспользоваться утверждением 1.3 для доказательства существования решения задачи Дирихле в ситуации, когда условия Бернштейна - Нагумо не выполняются.

Наконец, пример 1.4 дает отрицательный ответ на вопрос: если пространство решений диффернциального уравнения или включения обладает свойством (/г), можно ли утверждать, что множество решений задачи Дирихле для данного уравнения (включения) ациклично?

Идея контрпримера достаточно проста и состоит в построении двух гомологически тривиальных множеств решений, пересечение которых несвязно.

Во второй главе диссертации рассмотрена задача о существовании периодического решения для дифференциальных включений первого и второго порядка.

Основные результаты второй главы заключаются в следующих ниже утверждениях.

Теорема 2.1. Пусть пространство 2Г решений дифференциального включения

(9) х'ед^х)

принадлежит классу Rceh{U)- Пусть функции a,ß : [0; Т] —» R интегрируемы по Лебегу и положительны,

liininf (x,g{t,x)) > -а(т)|£|2,

limsup (x,g(t,x)) ^/?(т)(|$|2 + 1)

при всех г € [0; X*] и £ G R". Кроме того, пусть существует такая постоянная А > 0, что для всех непрерывных на отрезке [0; Т] функций х, удовлетворяющих условиям а;(0) = х(Т) и mini€j0.'/-j ]x(t)| ^ А, найдется интегрируемая по Лебегу функция рх : [0; Т] —> R, такая что почти при всех t € [0; Т] выполнены соотношения

sup(x(t),g(t,x(t)))

« г

[ px(t) dt ^ 0. J о

Тогда задача

(10) x(0) = x(T)

для дифференциального включения (9) имеет решение.

Еще один вариант условий, обеспечивающих существование периодического решения, рассмотрен в следующей теореме:

Теорема 2.2. Пусть пространство Z решений дифференциального включения (9) принадлежит классу Rcek{U) Пусть, кроме того, существует такая постоянная А > 0, что

lim sup (x,g(t,x)) < 0

при всех т € [О;!1] и £ £ R", удовлетворяющих условию ^ А. Тогда задача (9), (10) имеет решение.

Теорема 2.1 с некоторыми ограничениями обобщает теорему 7.1, полученную Гранасом и соавторами в работе10, на дифференциальные уравнения и включения с разрывной правой частью. Ограничения возникли из-за невозможности применения для уравнений со сложными разрывами в правой части гомотопии, использованной для получения прежнего результата.

Теорема же 2.2 полностью обобщает теорему 7.2 из упомянутой работы10, здесь наши условия даже слабее использованных ее авторами.

В диссертации доказана также теорема о существовании периодического решения дифференциального включения второго порядка вида

(11) х" £ах'+ g(t,x).

Теорема 2.3. Пусть пространство Z решений дифференциального включения (11) принадлежит классу Rceh{U). Пусть функция g ограничена на компактных подмножествах пространства R х К"; А > О и

liminf (x,g(t, х)) > О

при всех т £ [0; 7^] и £ £ R", удовлетворяющих условию ^ А. Тогда задача

(12) х(0) = х(Т), х'{0) = х'(Т)

для дифференциального включения (11) имеет решение.

Третья глава диссертации посвящена краевым задачам общего вида для дифференциальных включений первого и второго порядка.

Для дифференциального включения первого порядка рассмотрим краевую задачу, заданную уравнением вида

(13) h(x(0),x(T)) = б,

где функция /i: М" х Ж" —> Rn непрерывна.

Следующий результат является аналогом теоремы 3.1 работы11 для дифференциальных уравнений и включений с разрывными правыми частями:

Предложение 3.1. Пусть пространство Z решений дифференциального включения (9) принадлежит классу RCeh{U), а < 0, b > Т, и пространства Z\ при А £ (а; Ъ) определены посредством подклейки3 с пространством X решений уравнения х' — 0. Пусть существует такая постоМ > 0, что каждое решение х краевой задачи (13) из какого-либо пространства Z\, А € [а; 6], удовлетворяет условию

||х|| = sup |х(*)| Ф М. ее[о;Г)

"R-E. Games, J Mawhin Ordinary differential equations with nonlinear boundary conditions Journal of Differential Equations, 1977, v. 26, Л»2, pp. 200-222.

Пусть для всех и Е вм выполнено условие (и) = к(и, и) ^ б, и степень deg(/гl, Ям) отлична от нуля. Тогда задача (9), (13) имеет решение.

На языке свойств правых частей дифференциальных уравнений и включений в диссертации очерчен следующий класс краевых задач, где могут быть использованы условия утверждения 7.2 из работы10: Теорема 3.1. Пусть пространство 2 решений дифференциального включения (9) принадлежит классу Ясел(^0- Пусть А > 0 и

при всех т € [0; Т] и £ 6 К", удовлетворяющих ■условию > А. Предположим, что в подходящей системе координат функция h может быть представлена в виде h(uQ,Uj) — uq — Hut, где (вообще говоря, нелинейный) оператор Н : R" —» К" удовлетворяет условию 11*11 - suP«eR"\{ö} \Н(и)\/\и\ < Пусть для всех и е Sa выполнено условие h\(u) = h(u,u) ф 0, и степень deg(/ib Sa) отлична от нуля. Тогда задача (9), (13) имеет решение.

Для диффеернциального включения второго порядка (3) рассмотрим краевую задачу, заданную уравнением

где функция h : R4" —► R2n непрерывна.

Важное место в теории краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка занимает условие Нагумо12. Существует несколько способов его обобщения на случай векторных уравнений. Один из них приводится ниже.

Лемма 3.1. Пусть функция х почти всюду на отрезке [0;Т] имеет вторую аппроксимативную производную, и z — (х, х'). Пусть постоянная M > 0 выбрана так, что ||а:|| = supi6[0rj \x(t)\ < M. Пусть существует непрерывная неубывакпцая фунщия ф : [0; +оо) —> [0; +оо), удовлетворяющая условию

1гМ Naguino Uber das System der gewöhiUtcher Dtffavnttalgleichvngen Japanese Journal of Mathematics, 1927, v 4, JV»4, pp. 215-230.

lim sup (x,g(t,x)) < 0 (UMT*)

(14)

h(x(0),x(T),x'(0),x'(T)) = Ö.

такая что выполнены неравенства

\xn(t)\ < wwm

\x"(t)\^a-(\x(t)\2)" + *

при всех t € (0; Т], удовлетворяющих условию |i(i)| < М, и некоторых положительных постоянных а, к. Тогда существует постоянная N > 0, зависящая только от М, а, н и функции ф, такая что справедливо неравенство

Цг'11 = sup |z'(t)| < N. te(o,r]

Таким образом, для дифференциальных включений второго порядка получаем следующие результаты:

Предложение 3.2. Пусть пространство Z решений дифференциального включения (3) принадлежит классу Rceh{U), а < 0, b > Т, и пространства Z\ при А € (а, Ь) определены посредством подклейки с пространством X решений уравнения х" = 0. Пусть существует такая постоянная М > 0, что каждое решение z = (я, у) краевой задачи (14) из какого-либо пространства Z\, А 6 [й;Ь], удовлетворяет неравенству

¡|ж|| = sup |x(i)| < М.

Пусть существует непрерывная неубываюгцая функция ф • [0; +оо) —► [0;+оо), удовлетворяющая условию (15), такая что выполнены неравенства

(16) и

(17) \g(t,x,y)\ ^ 2а ■ (mf(x,g(t,x,y)) + \у\2) + лг

при всех t € [0,Т], х € К", удовлетворяющих условию |х| si М, и у € К" для некоторых положительных постоянн'ых а, я. Пусть для, всех (и, v) S д(Вм х Вм), где постоянная N определена в лемме 3.1, выполнено условие h2(u, v) = h(u, и + Tv, v, v) ф 0, и степень deg(Л2, д(Вм х BN)) отлична от нуля. Тогда задача (3), (14) имеет решение.

И, рассматривая краевые задачи, аналогичные рассмотренным в статье11, получаем следующий результат:

Теорема 3.2. Пусть пространство Z решений дифференциального включения (3) принадлежит классу Rceh(U) Пусть существует постоянная А > 0, такая что при всех т 6 [0; Т], € R", удовлетворяющих условиям |£| = А и (£, rj) — 0, справедливо неравенство

liminf ((x,g(t,x,y)) + \y\2) >0

Пусть существует непрерывная неубывающая функция ф : [0; +оо) —> [0; +оо), удовлетворяющая условиям (15)—(17), Пусть для всех щ,ит € R", удовлетворяющих условию \щ\2 + |«7-|2 ^ Л2, и v0, uj € К", удовлетворяющих условиям |г>0| < N + е, \vr\ < N + е, где е > 0, а постоянная N = N(A) определена в лемме 3.1, выполнено условие

((ио,ит),Ь(ио,г1т,ио,Ут)) > 0.

Тогда задача (3), (14) имеет решение.

В заключение отметим, что полученные нами результаты, опирающиеся на свойства пространств решений (теоремы 1.2 и 2 1, замечание 1.3 и предложения 3.1 и 3 2), могут найти и другие применения для получения теорем, в формулировках которых присутствуют свойства правых час-гей уравнений и включений.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Владимиру Васильевичу Филиппову за полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Зуев A.B. О задаче Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с разрывной правой частью. Диф уравнения, 2006, Т. 42, №3, С. 320-326.

2. Зуев AB. О периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Мат. замегки, 2006, Т. 79, В. 4, С. 560-570.

3. Зуев A.B. О краевой задаче с нелинейными условиями для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной правой частью. Вестник МГУ, сер. 1, Мат., мех., 2006, K« 2, С. 23-29.

Подписано о печать 03. 03. &(> Формат60x84/16. Усл.псч.л. Тираж экз. Заказ

Огпечатяно в Отделе печати МГУ

2,006 ft S'iAO

51 1fr

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Зуев, Алексей Викторович

Введение.

§1. Аксиоматический подход к построению теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

§2. Метод Лерэ - Шаудера и сдвиг вдоль траекторий.

§3. Новый вариант метода сдвига вдоль траекторий.

§4. Аппроксимативные производные и интеграл Данжуа

Глава 1. Задача Дирихле.

§1. Существование решения.

§2. Об ацикличности множества решений задачи Дирихле

Глава 2. Периодические решения.

§1. Дифференциальное включение первого порядка.

§2. Дифференциальное включение второго порядка.

Глава 3. Задача с нелинейными условиями.

§1. Дифференциальное включение первого порядка.

§2. Дифференциальное включение второго порядка.

Введение диссертация по математике, на тему "О краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью"

Сформулирован принцип продолжения по параметру для нового варианта метода сдвига вдоль траекторий обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий доказывать существование решений краевых задач для уравнений и включений с разрывной правой частью.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[3].

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Зуев, Алексей Викторович, Москва

1. Зуев А.В. О задаче Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с разрывной правой частью. Диф. уравнения, 2006, Т. 42, №3, С. 320-326.

2. Зуев А.В. О периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Мат. заметки, 2006, Т. 79, В. 4, С. 560-570.

3. Зуев А.В. О краевой задаче с нелинейными условиями для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной правой частью. Вестник МГУ, сер. 1, Мат., мех., 2006, №2, С. 23-29

4. Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. М. Л.: ГОНТИ, 1938.

5. Зуев А.В., Филиппов В.В. О задаче Неймана для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной правой частью. Диф. уравнения, 2005, Т. 41, №6, С. 755-760.

6. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

7. Сакс С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949.

8. Теория систем с переменной структурой / под ред. Емельянова С.В. М.: Наука, 1970.

9. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981.

10. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Изд. МГУ, 1988.

11. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с многозначной разрывной правой частью. ДАН СССР, 1963, Т. 151, №1, С. 65-68.

12. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с правой частью, разрывной на пересекающихся поверхностях. Диф. уравнения, 1979, Т. 15, №10, С. 1814-1823.

13. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Мат. сборник, 1960, Т. 51, №1, С. 99-128.

14. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

15. Филиппов А.Ф. Система дифференциальных уравнений с несколькими разрывными функциями. Мат. заметки, 1980, Т. 27, В. 2, С. 255-256.

16. Филиппов А.Ф. Устойчивость для дифференциальных уравнений с разрывными и многозначными правыми частями. Диф. уравнения, 1979, Т. 15, №6, С. 1018-1027.

17. Филиппов В.В. Замечание о непрерывности зависимоти решений дифференциального включения у' G F{t, у) от правой части. Вестник МГУ, сер. 1, Мат., мех., 1995, №3, С. 16-21.

18. Филиппов В.В. Об ацикличности мноэюеств решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Доклады РАН, 1997, Т. 352, №1, С. 28-32.

19. Филиппов В.В. О гомологических свойствах множеств решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Мат. сборник, 1997, Т. 188, №6, С. 139-160.

20. Филиппов В.В. О дифференциальных включениях второго порядка. Фундаментальная и прикладная математика, 1994, Т. 3, № 2, С. 587-623.

21. Филиппов В.В. О задаче Дирихле для векторного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Диф. уравнения, 1997, Т. 33, №8, С. 1057-1068.

22. Филиппов В.В. О существовании периодических решений. Мат. заметки, 1997, Т. 61, В. 5, С. 769-784.

23. Филиппов В.В. О теореме Ароншайна. Диф. уравнения, 1997, Т. 33, №1, С. 75-79.

24. Филиппов В.В. О теории задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывами по пространственным переменным. Диф. уравнения, 1997, Т. 33, №7, С. 885-891.

25. Филиппов В.В. О теории задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной правой частью. Мат. сборник, 1994, Т. 185, №11, С. 95-118.

26. Филиппов В.В. Пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд. МГУ, 1993.

27. Филиппов В.В. Смесь методов Лерэ Шаудера и Пуанкаре - Андронова в задаче о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений. Диф. уравнения, 1999, Т. 35, № 12, С. 1709-1711.

28. Филиппов В.В. Топологическое строение пространств решений обыкновенных дифференциальных уравнений. УМН, 1993, Т. 48, №1, С. 103-154.

29. Филиппов В.В. Что лучше в теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, метод Лерэ Шаудера или сдвиг вдоль траекторий? J\иф. уравнения, 2001, Т. 37, №8, С. 1049-1061.

30. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

31. С. Caratheodory. Vorlesungen uber reelle Funktionen. 2-ie Aufl., Leipzig, 1927.

32. J.L. Davy. Properties of the solution set of a generalized differential equation. Bull. Austral. Math. Soc., 1972, v. 6, №3, pp. 379-398.

33. C. Fabry. Nagumo conditions for systems of second-order differential equations. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1985, v. 106, №1, pp. 132-143.

34. V.V. Filippov. Basic topological structures of ordinary differential equations Dordrecht Boston - London: Kluwer Academic Publishers, 1998.

35. R.E. Gaines, J. Mawhin. Ordinary differential equations with nonlinear boundary conditions. Journal of Differential Equations, 1977, v. 26, № 2, pp. 200-222.

36. A. Granas, R.B. Guenther, J.W. Lee. On the theorem of S. Bernstein. Pacific Journal of Mathematics, 1978, v. 74, №2, pp. 67-82.

37. A. Granas, R.B. Guenther, J.W. Lee. Some general existence principles in the Caratheodory theory of nonlinear differential systems. Journal de Math£matiques pures et appliquees, 1991, t.70, f. 2, p. 153 a 196.

38. A. Granas, R.B. Guenther, J.W. Lee. Topological transversality II. Application to the Neumann problem for y" = f(t,y,y'). Pacific Journal of Mathematics, 1983, v. 104, №1, pp. 95-109.

39. J. Mawhin. Boundary value problems for nonlinear second-order vector differential equations. Journal of Differential Equations, 1974, v. 16, №2, pp. 257-269.

40. M. Nagumo. Uber das System der gewdhnlicher Differentialgleichungen. Japanese Journal of Mathematics, 1927, v. 4, №4, pp. 215-230.

41. S.K. Zaremba. Sur certaines families de courbes en relation avec la theorie des equations differentielles. Ann. Soc. Polon. Math., 1937, 15, pp. 83-100.