О краевых задачах с негладкими и разрывными решениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

!

ДАВЫДОВА МАЙЯ БОРИСОВНА

О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ С НЕГЛАДКИМИ И РАЗРЫВНЫМИ РЕШЕНИЯМИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о з:.:/.? 2311

Воронеж - 2011

4856581

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Баев Александр Дмитриевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Задорожиый Анатолий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Сапронов Юрий Иванович

Ведущая организация: Саратовский государственный университет

Защита состоится 15 марта 2011 года в 15.10 на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, математический факультет, ауд 335.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «£Л февраля 2011 года

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22, доктор физико-математических наук,

профессор

Смагин В. В.

Актуальность темы. В последнее десятилетие интенсивно изучаются качественные свойства решений уравнения

X

Lu = + К)(°) + /udlQ] = - (!)

о

и соответствующая ему линейная спектральная задача

i

Lu = X J и cl[M], и{0) = и{1) = 0. (2)

о

Здесь p,Q,F — функции ограниченной на [0; /] вариации; ¡i{x) и М(х) — строго возрастающие функции; производная и' понимается как производная по мере (производная Лебега, если ц(х) = х, и производная Стилтьеса в общем случае); обрамление d[Q] функции Q(x) квадратными скобками подчеркивает, что речь идет об интеграле, понимаемом как 7Г-интеграл, и совпадающего с интегралом Стилтьеса в случае непрерывной и[х) (когда ц(х) = х).

Если функции Q(x) и F(x) окажутся гладкими (dQ = Q' dx и dF = F' dx), то обе части (1) па решении могут быть продифференцированы, уравнение (1) принимает вид

-(pu'll)'x + Q'xu = F'x. (3)

Последнее уравнение оказывается совсем привычным при ц{х) = х (или гладкой (i(x)). Таким образом, уравнение (1) н задача (2) адекватны классической ситуации, изучаемой в теории Штурма-Лиувнлля в случае гладких параметров.

Допускаемая возможность наличия у параметров уравнения особенностей как тина 5-функций, так и более сильных, которые возникают, например, в случае разрывных решений, когда ¿-образные сингулярные особенности присутствуют уже у первых производных, усугубляется вторым дифференцированием.

В работе изучаются нелинейные краевые задачи

-(pu'Jix) + (jrn'jm + SudlQ] = //М(5М<7(*)],

Ю(0) - 7i«(0) = 0, (ри'^1) + Ъи{1) = 0,

как для случая непрерывных решений (ц(х) = х), так и для случая разрывных (/и(х) — произвольная строго возрастающая функция); здесь о(х) — строго возрастающая функция, f(x,u) — функция двух переменных, удовлетворяющая определенным условиям, обеспечивающих существование интеграла но Ю. В. Покорному.

Расширение понятия интеграла позволило нам сохранить поточечное толкование как самого решения, так и уравнения, что в рамках теории обобщенных функций было бы невозможно. Большинство классических результатов (для нелинейных краевых задач) удастся перенести на случай не просто негладких, но даже разрывных решений.

Используемое понятие /¿-производной (для случая разрывной ц{х)) можно определить следующим образом: /¿-суммируемая функция /(х) называется /г-производпой Е(х), если на множестве полной /¿-меры

х

F(x) - J f{s) d[/t(s)] = const.

Последняя формула позволяет определять значения f(x) = —F(x) в точке

AF

£ либо как предел отношения ——, либо как пару односторонних пределов

Д/г

(левая и правая производные, если они различны), либо как тройку чисел, которая получается добавлением промежуточного (между левым и правым) значения производной "собственного в точке равного отношению скачков F(g + 0)-F($-0)

—;-г--г1. Подобная ситуация возникает, например, при дифферсп-

/*(£ + о) - MC - °)

цировании функции Хсвисайда в(х) (равной 1 при х > 0 и нулю при х < 0) по ц{х) = х + 6(х), когда вместо привычного 9'(х) = 5(х) в соответствующем

уравнении оказывается —(х) = тт{х), где п(х) = 0 при х / 0 и 7г(0) = 1. ац

Обыкновенное дифференциальное уравнение

~{ри')' + qu = f

с обобщенными коэффициентами и соответствующая задача Штурма-Лиувилля изучалась многими авторами. Из большого количества работ особо отметим работы Дерра В. Я., Егорова Ю. В., Завалшцина С. Т., Сссс-кина А. Н., Покорного Ю. В., Шаброва С. А., Зверевой М. Б., Kurzweil J., Левина А. Ю., Максимова В. П., Pandit S. G.

В классической монографии Ф. Аткинсона описывались решения со скачками производных; достаточно тонкий анализ однородного уравнения с обобщенными коэффициентами проводился в работах А. Д. Мышкиса, J. Kurzweil; более полную библиографию можно найти в монографиях Ф. Аткинсона, А. Ф. Филиппова, С. Т. Завалшцина и А. Н. Сссскина.

Актуальность диссертационной работы обусловлена как очевидной практи-

ческой востребованностью анализа краевых задач для уравнения

X X

-К)(*) + К)(°) + / = //М*))Ф(*)Ь

о о

так н тем, что в настоящее время работы по задачам для дифференциальных уравнений второго порядка носят фрагментарный характер.

Цель работы. Получить достаточные условия существования и единственности решения, существования нескольких решений краевой задачи

' -КК*) + К)(°) + ] = ИМ*М<*)Ъ

Ю(0)-71и(0) = 0, ° Ю(0 + 72«(0 = О.

Методы исследования. В диссертации используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, аппарата тссрш; интеграла Стпл-тьеса, теории вполне непрерывных положительных операторов.

Научная новизна. Все результаты являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить:

1. Получены оценки функции Грина краевой задачи с негладкими решениям н.

2. Изучена непрерывная ветвь нелинейной спектральной задачи.

3. Получены достаточные условия существования нескольких решений краевой задачи с «монотонной непрерывностью».

4. Получены нелокальные условия существования зиакоонределенного решения нелинейной краевой задачи.

5. Получены достаточные условия существования второго решения нелинейной краевой задачи.

6. Изучен случай сильной нелинейности.

7. Получены оценки функции Грина краевой задачи с разрывными решениями.

8. Получена оценка вторых собственных значений спектральной задачи с разрывными решениями.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в пей результаты могут быть использованы в качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений с производными но мерс.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории

функций и смежные проблемы» (2007 г.), Крымской осенней математической школе (2006 г.), Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач — Понтрягинские чтения — XX» (2009 г.), Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач — Понтрягинские чтения — XXI» (2010 г.), на семинарах проф. Покорного Ю.В., доц. Баева А.Д., проф. Сапронова Ю.И.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[11]. Из совместных публикаций [3]-[6], [9] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [3] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы, включающего 50 наименований. Общий объем диссертации 102 страницы.

Краткое содержание диссертации. Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется объект и предмет исследования, научная новизна.

В главе 1 изучается линейная краевая задача с непрерывными решениями.

Первый параграф посвящен вариационной мотивации избранного подхода. Рассматривается задача минимизации квадратичного функционала

1 г 1 1 2 2

ООО

определенного на Е — пространстве функций, абсолютно непрерывных на [0;/], первая производная которых принадлежит ВУЩ1] — пространству

I

функций с конечным на [0;!] изменением, с нормой ЦиЦвк = |г"(0)| + \/{у),

о

I

здесь У (у) — вариация функции г;(х).

о _

Дается описание множества [0; которое пробегает х в изучаемом уравнении. Пусть а(х) = х+р1(х)+р2(х) + (32(х) + р1(х) + Р2{х), гррр^х) и р2(х) — функции, участвующие в жордановом разложении функции р(х) на разность двух неубывающих функций: р(х) = р\{х) — р2(х); аналогично определяются <51(2:), и Р[(х) и /^(х). Функция сг(х) содержит все скачки функций

р(х), С}{х) н Р(х), т.е. все точки, в которых эти функции могут иметь скачки. Через 5(сг) обозначим множество точек разрыва функции а{х). На множестве Зв = [0; I] \ 3(а) введем метрику р(х,у) = |сг(сс) — а{у)|. Если Б(а) ф 0, то метрическое пространство {3$,р), очевидно, не является полным. Стандарт-

нос пополнение (Js,p), при котором каждая точка £ € S(a) заменяется нарой собственных элементов {£ — 0, £ + 0}, и приводит нас к [0; l]s. В каждой точке f € 5(a) уравнение

X

-сри'г)(х) + JudQ = F(x) - F(0) - (K)(0),

0

принимает вид

где = 1р(£ + 0) — ip(£ — 0) — скачок функции ^(х) в точке

Применение классической схемы Лагранжа приводит нас к задаче, которую мы будем называть краевой задачей ' i

+[ udQ = F(x) - F(0) - (р<)(0),

о (1.1.8)

-(pu'T)(0) + 7í)u(0) = f0, (K)(0+7iu(0 = /i-

Во втором параграфе устанавливаются достаточные условия разрешимости (1.1.8).

Определение 1.2.1. Краевую задачу (1.1.8) назовем невырожденной, если однородная краевая задача (при F(x) = F(0), /о = /i = 0) имеет только тривиальное решение.

Будем считать, что случай 70 = оо (71 = оо) соответствует краевому условию щ(0) =0 (и{1) = 0).

Теорема 1.2.1. Пусть Q{x) не убывает на [0;/]; 70 > 0 и 71 > 0. Тогда задача (1.1.8) невырождена при выполнении одного из следующих условий:

1) 7о = оо или/и 7i = оо;

2) 7о = 71 = 0 и Q(l) - 0(0) > 0.

В третьем параграфе получены достаточные условия существования минимума квадратичного функционала

1 ,2 1 2 1 Ф(и)= JEydx + JjdQ-JudF,

000

определенного на множестве Е, при дополнительном условии и{1) = 0.

Интегральной обратимости краевой задачи посвящен четвертый параграф. В пятом параграфе дается доказательство осцилляцношюго спектра задачи с производными по мере с привлечением теории осцилляционных ядер.

Последнее стало возможным в силу непрерывности функции Грина краевой задачи.

В шестом параграфе доказываются оценки функции Грина изучаемой задачи (1.1.8). Доказаны следующие теоремы

Теорема 1.6.1. Пусть ^ 0 (г = 1,2), + |72| > 0; р{х) € BV[0;/]; infp(:r) > 0 и Q{x) — не убывает на [0;í]. Тогда существует функция щ(х) такая, что для всехх, sur, принадлеокащих [0; справедливо неравенство

G(x,s) ^ u0(x)G(t,s).

Теорема 1.6.2. Пусть выполнены все условия предыдущей теоремы. Тогда существуют положительная внутри [0;2] функция щ(х) и а-сулшируемые на [0;Z] ^i(s), «2(s) такие, что

ñ0(x)vi(s) < G(x,s) ^ ü0(x)u2(s).

Вторая глава посвящена изучению нелинейной краевой задачи. Через К обозначим множество неотрицательных непрерывных на [0; I] функций. Очевидно, что К телесный конус в С'[0; /].

В первом параграфе рассматривается спектральная задача

X X

Lu = ~{ри'х){х) + (ри'х)( 0) + íudQ = \¡ f(t,u(t))do(t) _

о о (íe[0;í].)

(Ю(0)-71И(0) = 0,

. (ри'х){1) + Ъи(1) = 0,

здесь Л ^ 0 — спектральный параметр; функция а(х), порождающая меру на [0; /], непрерывная на концах отрезка [0; /], и такая, что р(х) и Q(x) являются и-абсолютно непрерывными на [0;/]; f(x,u) — функция, порождает оператор суперпозиции

[Fu](x) = f{x,u(x)),

который непрерывно действует из С[0; I] в LPjCT[0; Z] — пространство измеримых на [0; Í] функций, сг-суммируемых с р степенью (1 ^ р < оо). Доказана Теорема 2.1.2. Пусть выполнены следующие условия:

1) однородное уравнение Lu — 0 не осциллирует на [0; I);

2) функция f{x,u) порождает непрерывный из С[0; í] е Lp(T[0;í] оператор суперпозиции (Fu){x) = f(x,u(x));

3) функция f(x,u) не убывает по и при и ^ 0 и всех х € [0; Z];

fix U)

4) функция ——— убывает по и при и > 0 и почти при каждом х € [0; i];

5) f(x, 0) = О.

Тогда множество Л значений А ^ О, при которых задача (2.1.1) имеет хотя бы одно нетривиальное решение в К, обладает следующими свойствами:

а) Л непусто и совпадает с некоторым интервалом (Ao,A^) при О < Лп < < Аэо < оо;

6) каждому A G Л отвечает лишь одно решение ид € К краевой задачи (2.1.1), причем

шах |ил(ж)| —► 0 при А —► Ао и шах |г{д(а;)| —+ оо при А —> А^;

в) функция и\(х) монотонна по А;

(Ai-A2)K(j:)-UA2^))>0

для всех х € [0; £];

г) при каждом X* s Л для любого начального приближения uq(x), принадлежащего К, последовательность состоящая из решений линейной краевой задачи

X X

~(ри'х)(х) + (Ю(0) + JudQ = X J f(t, un-\(t))da(t)

(K)(0)-7i«(0) = 0,

(K)(0+72U(0 = 0,

n = 1,2,..., равномерно сходится к иу(х).

Во втором параграфе получены достаточные условия существования нескольких различных решений краевой задачи

X X

-(pu'x)(x) + (piQ(0) + J UdQ = J f(s,u(s))da(s),

(K)(0) - Tiu(O) = 0,

(K)(0 + 72«(0 = 0. с монотонной нелинейностью.

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены следующие условия:

(2.2.1)

1) однородное уравнение Ьи = 0 не осциллирует па [0; /] /

2) функция /(ее,и) не убывает по и при каждом х € [0; ¿] и

/(х,0)>0; (2.2.2)

3) существует N пар чисел оц,^, удовлетворяющих неравенствам

0 «С ац < А < а2 < 02 < ■ ■ ■ < ап < А. (2.2.3)

¡(х, /Зкио{х)) < --^- (х е [0; I]). (2.2.4)

J Н2(в)с1а(з) о

4) для каждого к существует множество и>к С [0; /] положительной а-меры такое, что

Лх,акщ{х))^-Г--- (а:е[0-ДЛ = 1,...,ЛГ) (2.2.5)

I h\(s) da(s)

Если неравенства (2.2.4) и (2.2.5) превращаются в строгие па множествах положительной о-меры, то задача (2.2.1) имеет 2N — 1 нетривиальных решений {iii{x)}l~1xN~1, удовлетворяющих неравенствам

г)>0 (г = l,2,...,2iV- 1)

и

U2í~i(x) < u2i+i{x) (г = 1,2,..., N - 1)

В третьем параграфе продолжено изучение вопроса о разрешимости задачи (2.2.1) для случая 71 = 72 = 00:

X X

-(ри'х)(х) + (pu'x)(0) + JudQ = J f(s, u(s))da(s), g 4

о 0

u{ 0) = u(l) = 0.

В четвертом параграфе получены достаточные условия существования второго решения у нелинейной краевой задачи (2.3.4). Теорема 2.4.1. Пусть выполнены следующие условия:

1) оператор суперпозиции, порождаемый функцией f(x,u), действует из С[0; ¡] в 0; i] туш некотором р е (1; оо);

2) f{x, 0) > 0 при всех х € [0; /] и и > 0;

3) f(x,0) = 0;

4) при некотором R > 0 и любом А € (0; 1) краевая задача

Lu = Л f(x, и),

и(0) = 0, (2.4.1)

и(1) = 0,

не имеет решений и(х) таких, что

u(x) ^ Ящ(х)\

5) екя некоторого г > 0 и некоторой функции h(x) ^ 0, отличной от тождественного нуля, такой, что 'п(х) t ¿¡»[О; Z] при достаточно малом Л > 0 задача

Г Lu = f{x,u) + \h(x), \ u(0) = u(0) = 0,

не имеет решений, для которых

щ{х) • |Н|с ^ и{х) ^ г,

где щ(х) ~ Мщ(х).

Тогда задача (2.3.4) имеет в К нетривиальное решение. В пятом параграфе изучен случай сильной нелинейности, который теоремами предыдущих параграфов не охватывается. Теорема 2.5.1. Пусть выполнены следующие условия:

1) /М)= 0;

2) f(x, и) порождает непрерывный оператор суперпозиции, действующий из C[0;i] в некоторое Lp.a[0;l];

3) однородное уравнение Lu = 0 не осциллирует на [0; 1]\

4) при некоторых 0 < г < R < оо справедливо

(а) краевая задача (2.4.1) при любых A £ (0; 1) не имеет решений, удовлетворяющих неравенствам

ип(х) ■ ||?/||с ^ и(х) ^ г; 11

(б) для некоторой h{x), (отличной от тождественного нуля), принадлежащей Ь1,а[0; /], и для любого А > 0 краевая задача (2.4.2) не имеет решений, для которых

щ(х)[{и\\с < и(х) < R.

Тогда задача (2.3.4) имеет в К нетривиальное решение.

В третьей главе изучается уравнение

X

Lßu = -ри'^х) + ри'„{0) + J u(s)d[Q{s)} = F(x) - F(0) (3.0.1)

о

с разрывными решениями. Интеграл в (3.0.1) понимается по 10. В. Покорному; его в дальнейшем мы будем называть тг-интегралом, и чтобы отличить его от интеграла Лебега-Стилтьеса, дифференциал будем заключать в квадратные скобки.

В первом параграфе приводятся необходимые сведения о 7г-интеграле, присутствующем в (3.0.1), описывается множество, которое пробегает х в (3.0.1).

7г-интеграл был введен Ю. В. Покорным, и может быть онисап следующим образом. Пусть а(х) и Ь(х) — функции с конечным на [0; /] изменением. Через Ьо(х) обозначим непрерывную составляющую b(x); A~b(s) = b(s) — b(s — 0) — левый скачок функции в точке s; A+b(s) = b{s + 0) — b(s) — правый скачок b(s) в точке 5. Тогда i i

iad[b] = íadb0+ ]Г a(s - 0)A"b(s) + J] a{s + 0)A+b(s).

0 Q IKs^l 0<s<i

Если b{x) — непрерывна (или непрерывна во всех точках разрыва а(х) па [0; i], то тг-иитергал совпадает с интегралом Рнмана-Стилтьеса.

Опишем множество, которое мы в дальнейшем будем обозначать [0;¿]s. Через S(ß) мы обозначим множество точек разрыва функции р.(х). Наиболее интересный и существенный для нас случай, когда S(p) ф 0. Пусть JIi = [0\l]\S(p). На Jß введем метрику р(х;у) = \ц(х) — ц(у)\. Если S(/i) ф 0, то метрическое пространство (Jß,p), как нетрудно видеть, пе является полным. Стандартное пополнение его обозначим через [0; В полученном множестве всякая точка £ £ £>(д) заменена па упорядоченную пару собственных элементов, которое мы будем обозначать через £ — 0 н £ + 0.

Объединение [0; l]ß и S{p) мы обозначим через Rß. Функция а(х), определяемая равенством

а{х) = р{х) + pi(x) + р2{х) + Qi(x) + Q2(x) + Fi(x) + F2{x),

где pi (х) и pi{x) — возрастающие функции из жорданова представления функции р(х) ограниченной вариации (аналогично определяются Qi{x) и Fj(x)), определена на /?,,, причем в собственных элементах £ ± 0 своими предельными значениями. Через S обозначим множество точек разрыва функции с (ж), отличных от S(fi). Пусть JRfl = Rlt \ S. Пополнение JRfl по метрике р\(х\у) = \(т(х) — а(у)\ обозначим через [0;

Каждая точка £ € S(n) в множестве [0; заменена на упорядоченную тропку собственных элементов {£ — + 0}; £ € S(a) \ S([i) — на пару собственных элементов {£ — 0, £ + 0}.

Во втором параграфе дастся обоснование избранного подхода: показывается, что экстремаль некоторого квадратичного функционала должна быть решением уравнения (3.0.1).

В третьем параграфе доказывается, что функция влияния G(x,s), определяемая как ядро интегрального оператора

и{х) = J G(x,s)d[F(s)}, (3.3.1)

о

краевой задачи

имеет вид

{

Lfíu = F(x) - F{0), u(0) = u(l) = 0,

G(x, s) = ^Mfl^(min{.T, s}) W) ~ Ф(т^{х, s})), (3.3.2)

где <p(x) — положительное на [0; /] решение однородного уравнения Lfíu = 0 и dfi(t)

ф(х) = у.

p(tMí-oMt + o)'

о

В четвертом параграфе доказаны важные для приложения оценки функции Грнпа краевой задачи

X

-(ри'^х) + (р<)(0) + J ud[Q} = F(x) - F{0), 4

о

^ и(0) = и{1) = 0.

Теорема 3.4.1. Для функции Грина G(x,s) краевой задачи (3.4.1) справедливо неравенство

G(x,s)^uo(x)G(t,s)

« » r 6 л «W - I (Э'^жа,

<p(x) — положительное решение однородного уравнения

X

-(ри;)(х) + Ю(0) + j ud[Q] = О, о

тп = min (р(х), M = max <р(х), Со = inf р(х), С\ = sup р(х).

xêJO;^ ie[0;¡] гб0;/]

Теорема 3.4.2. Для функции Грина G(x,s) краевой задачи (3.4.1) при некоторых сг-суммируемых функциях vi(s) uv2(s) справедливо двойное неравенство

Щ(x)vi(s) < G{x,s) ^ ыц^иг^)- (3.4.6)

В пятом параграфе получена оценка вторых собственных значений спектральной задачи с разрывными решениями

X X

-K)W + КХ°) + J udlQ] = A J ud[M],

о о

и( 0) = и{1) = 0,

где Л — спектральный параметр, М(х) — возрастающая на [0; /], непрерывная на концах отрезка [0; I], функция.

Теорема 3.5.1. Пусть Лу — ведущее собственное значение задачи (3.5.1);

_ CS . m' Mx)-№W)-K*)). д (s) _ SUD G(xts) W (p(l)-n(Q))2 ' ^"ÄW

где G(x, s) — функция Грина (3.5.1). Тогда, для остальных собственных значений (3.5.1) справедлива оценка

А > \ -—г Ло, Р- 1

где р — определено равенством

i

Публикации автора по теме диссертации

1. Давыдова М.Б. Об одной краевой задаче для упругой струны с незащем-ленными концами/ М.Б. Давыдова / / Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней математической школы. - Воронеж: ВорГУ, 2009. - С.54-59.

2. Давыдова М.Б. Об интегральной обратимости нулевой задачи для стил-тьссовской струны со свободными концами/ М.Б. Давыдова / / Современные методы теории краевых задач: материалы весенней математической школы «Понтряпшские чтения - XX». - Воронеж: ВорГУ, 2009. - С. 45-46.

3. Давыдова М.Б. Дифференциал Стилтьеса в импульсных задачах с разрывными решениями / Покорный Ю.В., Зверева М.Б., Шабров С.А. // Доклады Академии Наук, 2009. - Т. 428, № 5. С.595-597.

4. Давыдова М.Б. Метод дифференциалов Стилтьеса в некоторых задачах с импульсными особенностями /Ю.В. Покорный, Ж.И. Бахтина / / Современные проблемы вычислительной математики и математической физики: материалы международной научной конференции памяти академика Самарского A.A. - Москва: 2009, с.498. http://vm.cs.msu.su/samarski2009/abstracts/

5. Давыдова М.Б. Об условиях экстремума функционала с интегралами Стилтьеса /М.Б. Зверева, С.А. Шабров, С.Н. Бровкина/ Актуальные проблемы математики и информатики: Труды математического факультета - ВорГУ, 2009. - № 2. С.24 -39.

6. Давыдова М.Б. Оценки функции Грина краевой задачи с разрывными решениями / М.Б. Зверева, С.А. Шабров/ / Актуальные проблемы математики и информатики: Труды математического факультета - Воронеж: ВорГУ, 2009. - № 4. С.16 -27.

7. Давыдова М.Б. О нелинейных краевых задачах второго порядка с производными по мере / М.Б. Давыдова // Современные методы теории краевых задач: материалы весенней математической школы «Понтряпшские чтения -XXI» - Воронеж: ВорГУ, 2010. - С.75 -76. 8.

Давыдова М.Б. Математическое моделирование поведения стилтьесовской струны с квазисвободнымн концами / М.Б. Давыдова / / Современные методы теории краевых задач: материалы весенней математической школы «Понтряпшские чтения - XXI. - Воронеж: ВорГУ, 2010. - С.75.

9. Давыдова М.Б.Об оценках функции Грина краевой задачи второго порядка с разрывными решениями / М.Б. Зверева, С.А. Шабров/ / Современные методы теории краевых задач: материалы весенней математической школы «Понтряпшские чтения - XXI. - Воронеж: ВорГУ, 2010. - С.76 -77.

10. Давыдова М.Б. О нелинейных краевых задачах с производными по мерс /М.Б. Давыдова / / Современные методы теории функций и смежные иробле-

мы: материалы конференции Воронежской зимней математической школы. -Воронеж: ВорГУ, 2011. - С. 101-106.

11. Давыдова М.Б. Об оценке вторых собственных значений спектральной задачи с разрывными решениями /М.Б. Давыдова / / Современные методы теории функций и смежные проблемы:материалы конференции Воронежской зимней математической школы. - Воронеж: ВорГУ, 2011. - С.106-112.

Работа [3] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Подписано в печать 09.02.11. Формат 60*84 '/|<„ Усл. печ. л. 0,93 Тираж 100 экз. Заказ 168,

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Введение

1 Краевая задача с непрерывными решениями

1.1 Вариационная мотивация избранного подхода.

1.2 Разрешимость краевой задачи

1.3 О достаточных условиях экстемума квадратичного функционала

1.4 Интегральная обратимость краевой задачи с непрерывными решениями

1.5 Осцилляционность спектра задачи с производными по мере

1.6 Оценки функции Грина.

2 Нелинейная краевая задача с интегралом Стилтьеса

2.1 Непрерывная ветвь нелинейной спектральной задачи.

2.2 О числе решений краевой задачи с «монотонной нелинейностью»

2.3 Нелокальные условия существования хотя бы одного знакоопре-деленного решения.

2.4 Достаточное условие существования второго решения.

2.5 Случай сильной нелинейности

3 Краевые задачи с расширенным интегралом Стилтьеса

3.1 Необходимые сведения о 7г-интеграле

3.2 Вариационная мотивация поточечного подхода.

3.3 Функция Грина краевой задачи с разрывными решениями

3.4 Оценки функции Грина краевой задачи с разрывными решениями

3.5 Оценка вторых собственных значений спектральной задачи с разрывными решениями.

В последнее десятилетие интенсивно изучаются качественные свойства решений уравнения X

Lu = -(ЮМ + (К)(°) + /udlQ] = F(x) - F(x) (!) о и соответствующая ему линейная спектральная задача i

Lu = X J ud[M], и(0) = u(l) = 0. (2) о

Здесь p,Q,F — функции ограниченной на [0; I] вариации; ц(х) и М(х) — строго возрастающие функции; производная и'^ понимается как производная по мере (производная Лебега, если fi(x) = х, и производная Стилтьеса в общем случае); обрамление d[Q] функции Q(x) квадратными скобками подчеркивает, что речь идет об интеграле, понимаемом как 7г-интеграл, и совпадающего с интегралом Стилтьеса в случае непрерывной и(х) (когда ¡i(x) = х).

Если функции Q(x) и F(x) окажутся гладкими (dQ — Q'dx и dF = F'dx), то обе части (1) на решении могут быть продифференцированы, уравнение (1) принимает вид

-{pu^x + Q'xu = F'x. (3)

Последнее уравнение оказывается совсем привычным при fi(x) ~ х (или гладкой ¡i{x)). Таким образом, уравнение (1) и задача (2) адекватны классической ситуации, изучаемой в теории Штурма-Лиувилля в случае гладких параметров.

Допускаемая возможность наличия у параметров уравнения особенностей как типа ¿-функций, так и более сильных, которые возникают, например, в случае разрывных решений, когда ¿-образные сингулярные особенности присутствуют уже у первых производных, усугубляется вторым дифференцированием.

В работе изучаются нелинейные краевые задачи

-04)(*) + 04)(0) + J ud№ = J о о

КХ°) - 71^(0) = о, 04) (Z) + 72и(1) = о, как для случая непрерывных решений (/х(ж) = х), так и для случая разрывных (/х(ж) — произвольная строго возрастающая функция).

Расширение понятия интеграла позволило нам сохранить поточечное толкование как самого решения, так и уравнения, что в рамках теории обобщенных функций было бы невозможно. Большинство классических результатов (для нелинейных краевых задач) удается перенести на случай не просто негладких, но даже разрывных решений.

Используемое понятие /¿-производной (для случая разрывной /¿(ж)) можно определить следующим образом: /¿-суммируемая функция f(x) называется ц-производной F(x), если на множестве полной /¿-меры х

F(x) - J f(s) d\fi(s)] = const. d

Последняя формула позволяет определять значения f(x) = —F(x) в точке

U/JLX

A F либо как предел отношения ——, либо как пару односторонних пределов

А р левая и правая производные, если они различны), либо как тройку чисел, которая получается добавлением промежуточного (между левым и правым) значения производной "собственного в точке равного отношению скачков F(£ + 0)-F(Z-0) j-—-г-j-—-г-. Подобная ситуация возникает, например, при дифферен

Ms + 0J ~ /4? ~ цировании функции Хевисайда ©(ж) (равной 1 при х > 0 и нулю при х < 0) по ¡i{x) = гг + в(ж), когда вместо привычного 0'(х) = 5{х) в соответствующем уравнении оказывается -т~(х) = тг(ж), где 7г(.т) = 0 при ж^Ои 7г(0) = 1.

JLLL

Актуальность темы. Обыкновенное дифференциальное уравнение

-(pu')! + qu = / с обобщенными коэффициентами и соответствующая задача Штурма-Луивилля изучалась многими авторами. Из большого количества работ молено отметить следующие [7], [6], [8], [9], [11], [13], [3], [17], [18], [2].

В классической монографии Ф. Аткинсона [4] описывались решения со скачками производных; достаточно тонкий анализ однородного уравнения с обобщенными коэффициентами проводился в работах А. Д. Мышкиса [19], J. Kurzweil [3]; более полную библиографию можно найти в монографиях Ф. Аткинсона [4], А. Ф. Филиппова [37], С. Т. Завалищина и А. Н. Сесеки-на [10] i

Актуальность диссертационной работы обусловлена как очевидной практической востребованностью анализа краевых задач для уравнения

X X

-KW + K(°) + / = J f(s,u(s))d[a(s)}, о о так и тем, что в настоящее время работы по нелинейным краевым задачам для дифференциальных уравнений второго порядка с производными по мере носят фрагментарный характер [34], [39].

Цель работы. Получить достаточные условия существования и единственности решения, существования нескольких решений краевой задачи pu'ß)(x) + (pu'ß)( 0) + fud[Q] = ff(s,u(sMr(s)], о о (pu'ß)(0) — 7iu(0) = 0, (pu'ß)(l) - Ъи(1) = 0.

Методы исследования. В диссертации используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, аппарата теории интеграла Стил тьеса, теории вполне непрерывных положительных операторов.

Научная новизна. Все результаты являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить:

1. Получены оценки функции Грина краевой задачи с негладкими и разрывными решениями.

2. Изучена непрерывная ветвь нелинейной спектральной задачи.

3. Получены достаточные условия существования нескольких решений краевой задачи с «монотонной непрерывностью».

4. Получены нелокальные условия существования знакоопределенного решения нелинейной краевой задачи.

5. Получены достаточные условия существования второго1 решения нелинейной краевой задачи.

6. Изучен случай сильной нелинейности.

7. Получены оценки функции Грина краевой задачи с разрывными решениями.

8. Получена оценка вторых собственных значений спектральной задачи с разрывными решениями.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений с производными по мере.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (2007 г.), Крымской осенней математической школе, Воронежской весенней математической школе Понтрягинские чтения - 2010, Воронежской весенней математической школе - 2008, на семинарах профессора Покорного Ю. В., профессора Сапронова Ю. И. и доцента Бае-ва А. Д.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [40], [41], [42], [43], [44], [45], [46], [47], [48], [49], [50]. Из совместных публикаций в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [45] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы, включающего 50 наименования.

1. Feller, W. Generalized second order differential operators and their londitions/W. Feller// 1.liois J. Math. - 1957. - V.l, №4. - P.459-504.

2. Pandit, S.G. Differential systems involving impulses/ S.G. Pandit, S.G. Deo//Lect. Notes Math. 1982. - V.954.

3. Kurzweil, J. Generalized ordinary differential equations/ J. Kurzweil// Czech. Math. J. 1958. - V.8. - P. 360-388.

4. Аткинсон, Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи: пер. с англ./ Ф. Аткинсон. — М.: Мир, 1968. — 749 с.

5. Гантмахер Ф.Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем / Ф.Р. Гантмахер, М.Г. Крейн. — M.-JI. : Гостехиздат, 1950. 360 с.

6. Дерр, В.Я. Неосцилляция решений линейного квазидифференциального уравнения /В.Я. Дерр // Изв. Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 1999. - Вып.1 (16). - С.3-105.

7. Дерр, В.Я. К определению решения линейного дифференциального уравнения с обобщенными функциями в коэффициентах/ В.Я. Дерр //Докл. АН СССР. 1998. - Т.298, № 2. - С.269-272.

8. Дерр, В.Я. О решениях дифференциальных уравнений с обобщенными функциями в коэффициентах/ В.Я. Дерр// Известия Института математики и информатики УдГУ. — Ижевск, 1995. — Вып.1. — С.51-75.

9. Егоров, Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа /Ю.В. Егоров. М.: Наука, 1984. — 360 с.

10. Завалищин, С.Т. Импульсные процессы: модели и приложения /С.Т. За-валшцин, А.Н. Сесекин. — М.: Наука, 1991. — 255 с.

11. Завалищин, С.Т. Формула Коши для линейного уравнения общего вида в обобщенных функциях /С.Т. Завалищин //Дифференциальные уравнения. 1973. - Т.9, №6. - С.1138-1140.

12. Зверева М. Б. О некоторых вопросах качественной теории дифференциальных уравнений с производными Стилтьеса : дис. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.02 / М.Б. Зверева; Воронеж, гос. ун-т; науч. рук. Ю.В. Покорный. Воронеж, 2005. 120 с.

13. Зверева М.Б. О некоторых вопросах из качественной теории уравнений с разрывными решениями /М.Б. Зверева; Воронежский государственный университет. 2005. - 12с. - Деп. в ВИНИТИ 02.06.2005, № 797-В 2005

14. Клюева, М.Б. Об интегрировании по частям в интеграле Лебега-Стилтьеса / М.Б. Клюева // Сб. тр. молодых ученых мат. фак. Воронеж, гос. ун-та .- 2001 .- С. 87-91.

15. М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. Геометрические методы нелинейного анализа. М., "Наука 1975. 512с.

16. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, А.В. Соболев. — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. 256 с.

17. Левин, А.Ю. Вопросы теории обыкновенного линейного дифференциального уравнения /А.Ю. Левин //Вестник Ярославского университета. — 1974. Вып. 8. - С. 122-144.

18. Максимов, В.П. О некоторых обобщениях обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач и их приложениях к задачам экономической динамики /В.П. Максимов //Вестник Пермского универитета.- 1997. Вып. 4. - С.103-120.

19. Мышкис, А.Д. О решениях линейного однородного двучленного дифференциального неравенства второго порядка с обобщенным коэффициентом/ А.Д. Мышкис //Дифференциальные уравнения. — 1996. — Т.32, № 5. С.615-619.

20. Покорный Ю. В., Зверева М. В., Шабров С. А. Осцилляционная теория Штурма-Лиувилля для импульсных задач // Успехи математических наук, 2008, Т. 63, вып. 1 (379). С. 98-141

21. Покорный Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный и др.]. — М. : Физматлит, 2004. — 272 с.

22. Покорный Ю. В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях // ДАН. — 1999. — Т. 364, № 2.- С.167-169.

23. Покорный Ю. В., Зверева М. В., Шабров С. А. О задаче Штурма-Лиувилля для разрывной струны // Известия ВУЗов. СевероКавказский регион. Математика и механика сплошных сред. Спецвыпуск. Ростов-на-Дону. 2004. - С. 186-190.

24. Покорный Ю. В., Бахтина Ж. И., Зверева М. Б., Шабров С. А. Осцилля-ционный метод Штурма в спектральных задач. — М.: Физматлит, 2009.- 192с.

25. Покорный, Ю.В. О спектре задачи Штурма-Лиувилля для уравнения с обобщенными коэффициентами / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева.// Труды математического факультета .— (Новая серия) . — 2004 .— Вып. 8 .- С. 80-92.

26. Покорный, Ю.В. О задаче Штурма-Лиубилля для разрывной струны / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естественные науки. Математика и механика сплошной среды 2004 С. 186-190 .— (Спецвыпуск) .

27. Покорный, Ю.В. О задаче Штурма-Лиувилля с разрывными решениями / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Труды математического факультета .— Воронеж, 2006 .— Вып. 10. С. 119-130 .

28. Покорный, Ю.В. Некоторые вопросы качественной теории негладкой задачи Штурма-Лиувилля /Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Труды семинара им. И.Г. Петровского .— М., 2007 .— Вып. 26. С. 255-274 .

29. Покорный, Ю.В. О расширении осцилляционной теории Штурма-Лиувилля на задачи с импульсными параметрами / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Украинский математический журнал .— Киев, 2008 Т. 60. С. 95-99

30. Покорный, Ю.В. и др.] О нерегулярном расширении осциляционной теории спектральной задачи Штурма-Лиувилля / Покорный, Ю.В.// Математические заметки .— М., 2007 Т. 82, вып. 4. С. 578-582

31. Покорный, Ю.В. Об особенностях краевых условий Штурма-Лиувилля / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронежской весенней мат. шк. — Воронеж, 2007

32. Покорный, Ю.В. О дифференциалах Стилтьеса в обобщенной задаче Штурма-Лиувилля /Ю.В. Покорный //Докл. АН. — 2002. Т.383, №5. - С.1-4.

33. Покорный, Ю.В. О задаче Штурма-Лиувилля для разрывной струны /Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров //Изв. вузов. СевероКавказ, регион. Естественные науки. Математика и механика сплошной среды. — 2004. Спецвыпуск. — С.186-191.

34. Савчук, A.M. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами/ A.M. Савчук, A.A. Шкаликов //Мат. заметки. — 1999. — Т.66. — Вып. 6. С.897-911.

35. Сесекин, А.Н. О нелинейных дифференциальных уравнениях в классе функций ограниченной вариации/ А.Н. Сесекин //Дифференциальные уравнения . 1989. - Т.25, № 11 . — С.1925 -1932.

36. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью/ А.Ф. Филлипов. — М.: Наука, 1985. — 224 с.

37. Шабров, С.А. О краевых задачах с импульсными коэффициентами: ди-исертациия кандидатская физико-математических наук. Шабров Сергей Александрович. — Воронеж, 2000. — 74 с.

38. Шабров С. А. О разрешимости нелинейных квазидифференциальных уравнений второго порядка // Воронежская зимняя математическая школа "Современные проблемы теории функций и их приложения": Тез. докл. Воронеж, 1999. С. 230.

39. Давыдова М.Б. Об одной краевой задаче для упругой струны с неза-щемленными концами/ М.Б. Давыдова / / Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней математической школы. Воронеж: ВорГУ, 2009. - С.54-59.

40. Давыдова М.Б Дифференциал Стнлтьеса в импульсных задачах с разрывными решениями / Покорный Ю.В., Зверева М.Б., Шабров С.А. // Доклады Академии Наук, 2009. Т. 428, № 5. С.595-597.

41. Давыдова М.Б. Об условиях экстремума функционала с интегралами Стилтьеса /М.Б. Зверева, С.А. Шабров, С.Н. Бровкина/ Актуальные проблемы математики и информатики: Труды математического факультета ВорГУ, 2009. - № 2. С.24 -39.

42. Давыдова М.Б.Оценки функции Грина краевой задачи с разрывными решениями /М.Б. Зверева, С.А. Шабров/ / Актуальные проблемы математики и информатики: Труды математического факультета Воронеж: ВорГУ, 2009. - № 4. С. 16 -27.

43. Давыдова М.Б. О нелинейных краевых задачах с производными по мере /М.Б. Давыдова / / Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней математической школы. Воронеж: ВорГУ, 2011. - С.101-106.