Об уравнениях с нелинейными дифференциалами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Уравнения с нелинейными дифференциалами

1.1 Постановка задачи.

1.2 Основные определения и понятия

1.2.1 Уравнения с нелинейными дифференциалами

1.2.2 Квазипотоки

1.2.3 Транзитные квазипотоки.

1.3 Теорема о существовании, единственности и свойствах решения задачи с нелинейным дифференциалом

1.3.1 Теорема о существовании, единственности и свойствах решения задачи (3)-(4).

1.3.2 Лемма о свойствах 7[А]|ж.

1.3.3 Лемма о расстоянии между и j[B]stx

1.3.4 Лемма о существовании.

1.3.5 Лемма о единственности.

1.3.6 Лемма о правой производной.

2 Применение уравнений с нелинейными дифференциалами для описания негладких процессов

2.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения

2.2 Модель оператора упора.

2.3 Задача Коши в условиях типа Каратеодори.

2.4 Дифференциальные включения с максимальными монотонными операторами.

2.4.1 Применение основной теоремы к дифференциальным включениям с максимальными монотонными операторами.

Для исследования негладких эволюционных процессов традиционно применяются методики, связанные с различными обобщениями понятия решения дифференциального уравнения. Среди них можно отметить теорию Каратеодори, используемую, например, в известных работах Э.А. Коддингтона, Н. Левинсона [12], А.Ф. Филиппова [33]; теорию дифференциальных уравнений с разрывной правой частью [33]; теорию дифференциальных включений ( Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский [5, 6], J.P. Aubin, Н. Frankowska [39], М. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca [42]), в частности, включений с максимальными монотонными операторами (Н. Brezis [40], К. Deimling [41], Ж.-П. Обэн, И. Экланд [19]), в рамках которой используются такие обобщенные понятия как, например, контингентные производные (J.P. Aubin, A. Cellina [38]); негладкий анализ, в частности, субдифференциальное исчисление выпуклых функций (Р. Рокафеллар [25], Ф. Кларк [11], В.Ф. Демьянов, A.M. Рубинов [8]); теорию гистерезиса (М.А. Красносельский, А.В. Покровский [16]); теорию обобщенных функций, широко используемую в работах по изучению систем с импульсным воздействием (В.Д. Мильман, А.Д. Мышкис [17, 18], Н.А. Перестюк, A.M. Самойленко [29, 30, 31], С.Т. Завалищин [9, 10], Е.А. Барбашин [2], А. Халанай, Д. Векслер [36]); теорию построения разностных схем (А.Н. Тихонов [32], А.А. Самарский [27, 28], Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков [3, 4], Д.К. Фаддеев [34], см. также [1], [35]).

В диссертации развивается иной подход к решению такого типа задач. В его основу положена идея изначального описания негладкого процесса с помощью разностных схем (или конструкций подобного рода) с последующим выявлением условий, при которых рассматриваемые разностные схемы сходятся к некоторой функции, которую и можно считать идеальным описанием процесса. Однако существенным отличием от теории разностных схем является то, что данная функция может не являться решением никакого дифференциального уравнения, понимаемого в классическом смысле, то есть дифференциальное уравнение, описывающее рассматриваемый негладкий процесс, может не существовать.

Эта идея была предложена и развивалась в ряде работ А.И. Па-насюка [20, 21, 22, 23, 24], Б.Н. Садовского, Р.Е. Kloeden'a [43, 50]. Представленный в диссертационной работе подход реализуется с помощью математических конструкций, введенных в работах Б.Н. Садовского [26, 43, 50], - это "дифференциальные уравнения с нелинейными дифференциалами" и "квазипотоки". Данные конструкции являются аналогами разностных схем, трактуемых в смысле непрерывных, а не сеточных функций.

Основная цель диссертационной работы - построить метод моделирования негладких процессов, исследовать условия разрешимости полученного уравнения (уравнения в нелинейных дифференциалах) и найти оценку сходимости приближенного метода (реализованного с помощью транзитных квазипотоков) к точному решению данного уравнения.

В указанных выше работах А.И. Панасюка с соавторами [20, 21, 22, 23, 24] исследуемая методика носит название "Анализ без производных". Данное направление подразумевает использование вместо производных аппроксимаций первого порядка малости в терминах квазидифференциальных уравнений и инфинитезимально-шаговых уравнений (см. [21, 22]).

Поскольку исследуемые в диссертации негладкие процессы имеют широкое прикладное значение, то значительное место в работе занимает рассмотрение примеров приложения полученных теоретических результатов к задачам, возникающим в электротехнике, теории управления (в частности, в системах с гистерезисом).

В диссертации использованы методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, теории разностных схем, теории дифференциальных включений с максимальным монотонным оператором.

Диссертация прошла апробацию на ряде конференций и семинаров. Ее результаты докладывались на Воронежской зимней математической школе "Современный анализ и его приложения" (Воронеж, 2000 г.) [46], Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (Воронеж, 2000 г.) [47], Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач (Понтрягинские чтения - XII)" (Воронеж, 2001 г.) [51], а также семинарах кафедры функционального анализа и операторных уравнений математического факультета ВГУ. Один из докладов по теме диссертации [48] занял первое место на 8-ой Международной Олимпиаде студентов и аспирантов по автоматическому управлению (Санкт-Петербург, 2000 г.)

Все основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях и 4 тезисах [44]-[51].

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 51 наименование.

1. Ахмеров P.P. Численные методы решения ОДУ. Учебное пособие. - Новосибирск, Изд-во Новосибирского ун-та, 1994. -100 с.

2. Барбашин Е.А. Об устойчивости по отношению к импульсным воздействиям // Дифференц. уравнения. 1966. - Т. 2, № 7. - С. 863-871.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. - 630 с.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 2000. - 622 с.

5. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В. В. Многозначные отображения // Итоги науки и техники. Математический анализ. Т. 19. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1982. - С. 127-231.

6. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., ОбуховскийB.В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж, Изд-во ВГУ, 1986. - 104 с.

7. Герштейн В.М., Ерофеев А.А., Куцовский А.И., Садовский Б.Н. Об одном подходе к математическому исследованию дискретных систем с тиристорами // Математическое моделирование и теория элекрических цепей. 1977. - Вып. 15.C. 41-56.

8. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа. -М.: Наука, 1990. 432 с.

9. Завалищин С.Т. Устойчивость обобщенных процессов. I // Дифференц. уравнения. 1966. - Т. 2, № 7. - С. 872-881.

10. Завалищин С.Т. Устойчивость обобщенных процессов. II // Дифференц. уравнения. 1967. - Т. 3, № 2. - С. 171-179.

11. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. - 279 с.

12. Коддингтон ЭЛ., Левинсон Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: ИИЛ, 1958. - 474 с.

13. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. - 544 с.

14. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. - 331 с.

15. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. - 511 с.

16. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983. - 272 с.

17. Мильман В.Д., Мышкис А.Д. Об устойчивости движения при наличии толчков // Сиб. мат. журн. 1960. - № 2 - С. 233-237.

18. Мильман В.Д., Мышкис А.Д. Случайные толчки в линейных динамических системах // В кн.: Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Киев: Изд-во АН УССР, 1963. - С. 64-81.

19. Обэн Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ . -М.: Мир, 1988. 510 с.

20. Панасюк А.И. Квазидифференциальные уравнения в метрических пространствах // Дифференц. уравнения. -1985. Т. 21, № 8. - С. 1344-1353.

21. Панасюк А.И. Квазидифференциальные уравнения в полном метрическом пространстве в условиях типа Каратеодори. I // Дифференц. уравнения. 1995. - Т. 31, № 6. - С. 962-972.

22. Панасюк А.И. Квазидифференциальные уравнения в полном метрическом пространстве в условиях типа Каратеодори. II // Дифференц. уравнения. 1995. - Т. 31, № 8. - С. 1361-1369.

23. Панасюк А.И. Свойства решений квазидифференциального уравнения в полном метрическом пространстве и уравнения интегральной воронки // Дифференц. уравнения. -1995. Т. 31, № 9. - С. 1501-1506.

24. Панасюк А.И., БентсманДж. Применение квазидифференциальных уравнений к описанию разрывных процессов // Дифференц. уравнения. 1997. - Т. 33, № 10. - С. 1339-1348

25. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. - 472 с.

26. Садовский Б.Н. О квазипотоках // Тезисы докладов конференции 26-29 апреля 1995. Воронеж: ВГУ, 1995. - С. 80

27. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. - 614 с.

28. Самарский А.А. Введение в численные методы . М.: Наука, 1982. - 272 с.

29. Самойленко A.M., Перестюк Н.А. Об устойчивости решений систем с импульсным воздействием // Дифференц. уравнения. 1981. - Т. 17, № 11. - С. 1995-2001.

30. Самойленко A.M., Перестюк Н.А. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с импульсным воздействием // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13, № И. - С. 1981-1992.

31. Самойленко A.M., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Вища шк., 1987. -286 с.

32. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 735 с.

33. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . М.: Наука, 1987. - 224 с.

34. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.И. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963. - 734 с.

35. Фундаментальные основы математического моделирования. -М.: Наука, 1997. 198 с.

36. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. - 309 с.

37. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 1970. 720 с.

38. Aubin J.P., Cellina A. Differential Inclusions. Heidelberg: Springer-Verlag, 1984. - 432 p.

39. Aubin J.P., Frankowska H. Set-Valued Analysis. Boston-Basel-Berlin: Birkhauser, 1990. - 462 p.

40. Brezis H. Operateurs maximaux monotones et semigroupes de contractions dans les espaces de Hilbert. Amsterdam -London - New York: North-Holland, 1973. - 183 p.

41. Deimling K. Nonlinear functional analysis. Heidelberg: Springer-Verlag, 1984. - 444 p.

42. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces. -Berlin-New York: de Gruyter, 2001. 232 p.

43. Kloeden P.E., Sadovsky B.N. // The 33rd Australian Applied Mathematical Conference, Lome, Australia, Febrary 2-6, 1997.

44. Васильева И.Е. Об одном применении теоремы о сходимости квазипотоков // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: Изд. ВГУ, 1998. - № 3 (новая серия). - С. 20 - 25.

45. Васильева И.Е. О моделировании негладких процессов с помощью квазипотоков //IV Международная электронная научная конференция "Современные проблемы информатизации". Тезисы докладов. Воронеж: Изд. ВГПУ, 1999. - С. 135.

46. Васильева И.Е. Об условиях разрешимости дифференциальных уравнений с "нелинейными дифференциалами" // Воронежская зимняя математическая школа (ВЗМШ 2000) "Современный анализ и его приложения". Тезисы докладов. - Воронеж: Изд. ВГУ, 2000. - С. 58 - 59.

47. Vasilyeva I.E. An application of quasi-flows for modeling of non-smooth processes // Preprints of the 8th International Student Olimpiad on Automatic Control, Saint-Petersburg, Russia, May 24-26, 2000. P. 81 - 83.

48. Васильева И.Е. О моделировании задачи Коши в условиях типа Каратеодори // Сборник трудов молодых ученых математ. факультета ВГУ. Воронеж: Изд. ВГУ, 2000. - С. 34 - 37

49. Kloeden Р.Е., Sadovsky B.N., Vasilyeva I.E. Quasi-flows and equations with nonlinear differentials. Preprint 41/2000. FB Mathematik, Johann-Wolfgang-Goethe Universitat, Frankfurt am Main, Germany. 23 p.

50. Васильева И.Е. К условиям разрешимости уравнений с нелинейными дифференциалами // Воронежская весенняя математическая школа "Современные методы в теории краевых задач (Понтрягинские чтения XII)". Тезисы докладов. - Воронеж: Изд. ВГУ, 2001,- С. 43 - 44.