Дифференциалы прима на переменной компактной римановой поверхности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Тулина Марина Ивановна

ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПРИМА НА ПЕРЕМЕННОЙ КОМПАКТНОЙ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный

анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2013

31 ОКТ 2013

005536887

Работа выполнена на кафедре математического анализа физико-математического факультета Горпо-Алтайского государстпегшоги упиверептета

Научный руководитель: док1ч>р физико-математических наук, профессор

Чуешев Виктор Васильевич

Официальные оппоненты: Лейнартас Евгений Константинович

доктор физико-математических паук, доцент ФГАОУ ВПО Сибирский федеральный университет, кафедра теории функций, профессор;

Абросимов Николай Владимирович кандидат физико-математических паук-Институт Математики им. С. »П. Соболева СО РАН, Новосибирск-лаборатория "Теория фупкций,"научпый сотрудник-

Ведущая организация: Национальный Исследовательский Томский

государственный университет

Защита состоится "18" ноября '2013 г. в 10:00 часов па заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Сибирском Федеральном университете по адресу 600041. г. Красноярск, пр. Свободный, 79, и ауд. Р8-06.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат ратослап ". 3 " Ои^.сЯ/^Р 2013 г.

/ .

УченыП секретарь диссертационного совета Федчепко Дмитрий Петрович

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Проведенные в работе исследования берут начало в основной работе Р. Ганнинга (1980 г.)1, который возродил интерес к дифференциалам Прима для любых характеров и вместо пространства периодов предположил так называемое когомологическое расслоение Ганнинга для фиксированной поверхности и для любых характеров. В работе Чуешева В. В.2 предложено обобщить понятие когомологического расслоения Ганнинга над базой из пространства Тейхмюллера и группы характеров. В этой работе начато построение общей теории дифференциалов Прима для произвольных характеров, причем для переменной римановой поверхности.

В работах Х.М. Фаркаша и И. Кра3 изложены элементы геометрической теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима для фиксированной поверхности и для любых характеров. Они изложили основной классический материал на 10 страницах своей книги (1992

г)-

Наша цель создать основы общей теории дифференциалов Прима для любых характеров как аналог теории абелевых дифференциалов. Отметим, что общая классическая теория абелевых дифференциалов строилась только на фиксированной поверхности.

Построенные в работе основы теории дифференциалов Прима на переменной поверхности и с переменными характерами существенно отличаются от классической теории, причем используются новые средства

'Gunning R.C. On the period classes of Prym differentials. J. Reine Angew. Math. 1980. V. 319. P. 153- 171.

2Чуешев В. В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности. КемГУ, Кемерово. 2003, 248 с.

»Farias Н.М., К ra I. Riemann surfaces. Grad. Text's Math. 1992. V. 71. New-York : Sprmger.

3 Г

V

геометрической теории функций: пространства Тейхмюллера, группы характеров, векторные расслоения из дифференциалов Прима над пространством Тейхмюллера, универсальное многообразие Якоби, расслоения целых дивизоров с голоморфными сечениями над пространством Тейхмюллера и сложную технику работы с классами дивизоров на ри-мановой поверхности.

Теория однозначных (абелевых) дифференциалов (р s 1) имеет ряд принципиальных отличий от теории дифференциалов с произвольными характерами (р ф 1). Кроме того, однозначные дифференциалы (особенно случаи порядков q = 1, q — 2) даже на фиксированной поверхности уже нашли многочисленные приложения в уравнениях математической физики, при алгебро-геометрическом интегрировании ряда нелинейных уравнений в работах С.П. Новикова4, И.М. Кричевера5, Б.А. Дубровина6, И.А. Тайманова7 и в теоретической физике (Р. Дик, С. Климек), а также в аналитической теории чисел в работах X. Фаркаша, И. Кра и теории пространств Тейхмюллера в работах J1.B. Альфорса, JT. Берса8, С.Л. Крушкаля9 и К. Эрла10.

Отметим существенные отличия наших результатов от имеющихся

*Кричевер И.М., Новиков С.П. Алгебра типа Вирасоро, тензор энергии-импульса и операторные разложения на римановых поверхностях. Функцион. анализ и его приложения. 1989. Т.23. В.1. С. 24 - 40.

Новиков С.П. Периодическая задача Кортвега - де Фриза. Функцион. анализ и его приложения. 1974. Т. 8. В 3. С. 54 - 66.

5Кричевер И.М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений. Успехи матем. наук. 1977. Т. 32, Вып. 6. С. 180-208.

6 Дубровин Б.А. Тэга-функции и нелинейные уравнения. Успехи матем. наук. 1981. T.36. В. 2. С. 11 - 80.

7Тайманов И. А. Секущие абелевых многообразий, тэта функции и солитонные уравнения. Успехи матем. наук. 1997. Т. 52. В. 1. С. 150 •- 224.

8Альфорс Л.В., Берс Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М. : ИЛ, 1961.

9Крушкаль С.Л. Квазиконформные отображения и римановы поверхности. Новосибирск: Наука, . 1975.

10Earle C.J. Families of Riemann surfaces and Jacobi varieties. Annals of Math. 1978, v. 107, p. 255-286.

классических результатов, приведенных в книгах Дж. Спрингера11, Фар-каша-Кра и других книгах по классической геометрической теории функций на компактной римановой поверхности. Сначала заметим, что все объекты рассматриваются на переменной компактной римановой поверхности Для построения общей теории однозначных дифференциалов большую роль играют, так называемые, элементарные дифференциалы любого порядка, которые имеют минимальное количество полюсов: либо один полюс порядка > 2, либо два простых полюса, и голоморфно зависящие от модулей [ц] компактных римановых поверхностей В кашей работе впервые дано полное конструктивное описание дивизоров элементарных как абелевых дифференциалов, так и дифференциалов Прима всех трех родов. Также рассмотрены элементарные дифференциалы любых целых порядков. Этот случай, как правило, отсутствует в учебниках по классической теории функций. Кроме того, в отличии от случая абелевых дифференциалов при д = 1 для случая д > 1 на переменной компактной римановой поверхности рода д > 2 существует дифференциал порядка д с единственным простым полюсом.

Метод дивизоров и применение многообразий Якоби для переменной поверхности позволяют дать методы для развития теории как мультипликативных дифференциалов, так и однозначных дифференциалов.

Исследование группы монодромии для решений линейных дифференциальных уравнений на компактной римановой поверхности с помощью вариационных методов начато в работах Д.А. Хейхала (1976 г.). Он нашел первую вариацию для группы монодромии. В работах В.В. Чуешева получена точная вариационная формула для вектор-решения и элементов группы монодромии линейного дифференциального уравнения второго порядка на римановой поверхности. Задача Пуанкаре о нахождении

"Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. М. : ИЛ, 1360.

группы монодромии для заданного уравнения на компактной поверхности до сих пор не решена, за исключением очень небольшого числа уравнений (так, например, для гипергеометрического уравнения с тремя особыми точками на С). Так как явные решения найти невозможно даже для уравнения второго порядка, то возникают вариационные задачи (Д.А. Хейхал12), которые показывают, как зависят образующие группы монодромии от малых вариаций в пространстве голоморфных дифференциалов.

Вариационные формулы нашли приложения в геометрической теории функций комплексного переменного на компактных римановых поверхностях и в теории пространств Тейхмюллера, в связи с униформизацией компактных римановых поверхностей.

В нашей работе предлагается компактный способ вывода вариационных формул для вектор решения и элементов группы монодромии с помощью векторно-матричной записи. Получены точные вариационные формулы при вариации в пространствах голоморфных квадратичных и кубических дифференциалов для вектор-решения и элементов группы монодромии на компактной римановой поверхности рода g > 2 для линейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка с любыми голоморфными коэффициентами. Эти теоремы продолжают исследования Д.А. Хейхала и В.В. Чуешева13 для уравнений порядка два

на случай уравнений порядка три. Найдена связь этих вариационных

12Hejhal D.A. Monodromy groups for higher-order differentials equation. Bull. Amer. Math. Soc., 1975, v. 81, N 3, p. 590-592.

Hejhal D.A. Monodromy groups and Poincare series. Bull. Amer. Math. Soc., 1978, v. 84, N 3, p.339-376. Hejhal D.A. The variational theory of linearly polymorphic functions. J. d'Analyse Math.. 1976, v. 30, p. 215-264.

13Чуешев B.B. Точная вариационная формула для группы монодромии на компактной римановой поверхности. Математические труды Института математики им. С.Л. Соболева, СО РАН, 2004, т. 7, N 2, С. 126-158.

формул и дифференциалов Прима с матричными характерами и с сечениями специальных голоморфных векторных расслоений на компактной римановой поверхности.

Цель диссертации

Целью работы является:

1) построение основных типов элементарных (р, ^-дифференциалов Прима трех родов, голоморфно зависящих от характера р и от модулей компактной римановой поверхности; нахождение базисов локально голоморфных сечений двух основных типов векторных расслоений, со слоями из (р, <?)-дифференциалов Прима, над произведением пространства Тейхмюллера и группы характеров;

2) построение основных типов элементарных однозначных (абелевых) ^-дифференциалов трех родов целого порядка 5 > 1, голоморфно зависящих от модулей компактной римановой поверхности; нахождение базисов локально голоморфных сечений двух основных типов векторных расслоений, со слоями из абелевых д-дифференциалов, над пространством Тейхмюллера рода д > 2;

3) нахождение точных вариационных формул для вектор-решения и элементов группы монодромии линейного дифференциального уравнения третьего порядка при вариации по базе кубических голоморфных дифференциалов на фиксированной компактной римановой поверхности рода д > 2.

Методы исследования

Методы исследования используют:

1) универсальное расслоение Якоби над пространством Тейхмюллера;

2) метод построения базисов голоморфных дифференциалов, и различных видов мероморфных дифференциалов Прима, которые голоморфно зависят от модулей [/х] римановой поверхности и характеров р;

3) сложную технику работы с классами дивизоров и голоморфными сечениями К. Эрла в пространствах целых дивизоров на переменной римановой поверхности.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми и представляют научный интерес.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в многомерном комплексном анализе, геометрической теории функций на компактной римановой поверхности, аналитической теории чисел, уравнениях математической физики и комплексной алгебраической геометрии.

Практическое применение полученных результатов состоит в их включении в учебные программы специальных курсов по геометрической теории функций и многомерному комплексному анализу для магистрантов и аспирантов кафедры математического анализа Кемеровского и ГорноАлтайского государственных университетов.

Степень достоверности и апробация работы

Все утверждения диссертации снабжены строгими математическими

доказательствами.

Результаты работы обсуждались и докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях :

международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"/ Новосибирск, НГУ, 2010, 2011, 2012 г.

всесибирском конгрессе женщин-математиков / Красноярск, СФУ, 2010

г.

на школе-конференции по геометрическому анализу / Горно-Алтайск, ГАГУ 2010, 2011, 2012 г.

международной школе-конференции по геометрии и анализу / Кемерово, КемГУ, 2011 г.

международном конгрессе ISAAK 2011 / Москва, 2011 г. на совместном заседании семинаров "Геометрическая теория функций'^ "Инварианты трехмерных многообразий"в Новосибирском Институте Математики (СО РАН) под руководством член-корр. РАН А.Ю. Веснина, профессора НГУ А.Д. Медных и профессора НГУ В.В. Асеева в 2013 г.

в Сибирском Федеральном университете на семинаре по многомерному комплексному анализу под руководством проф. А.К. Циха и проф. A.M. Кытманова (Красноярск), 2013 г.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-16], из них 3 работы [1-3] в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК, 3 публикации [4-6] в материалах конференций, 11 публикаций [717] являются тезисами конференций.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы, насчитывающей 34 наименования. Компьютерный набор выполнен с использованием пакета ВД^К. Объем работы - 112 страниц.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность и изложена история исследуемых задач и кратко охарактеризовано содержание диссертации.

В первой главе построены все типы элементарных дифференциалов Прима, голоморфно зависящих от характера и от модулей компактной римановой поверхности рода g > 2. С их помощью построены базисы локально голоморфных сечений всех основных типов векторных расслоений, со слоями состоящими из дифференциалов Прима, над произведением пространства Тейхмюллера и группы характеров. В частности, получена размерность и построен базис для первой голоморфной группы когомологий де Рама для характеров на переменной компактной римановой поверхности.

Впервые дано описание (р, д)-дифференциалов Прима для отрицательных порядков. Дано описание множества специальных дивизоров для (р, ^-дифференциалов Прима на поверхности рода g > 2.

Напомним основные определения, используемые в нашей работе.

Пусть F - фиксированная гладкая компактная ориентированная поверхность рода g > 2, с отмечанием {а^, Ьк}3к=1, т. е. упорядоченным набором образующих для -к\(F), a Fq - риманова поверхность с фиксированной комплексно-аналитической структурой на F. По теореме униформи-зации существует конечно порожденная фуксова группа Г первого рода, инвариантно действующая на единичном круге U = {z € С : |z| < 1} такая, что U f Г конформно эквивалентна Fo и Г изоморфна iri(F). Любая

другая комплексно-аналитическая структура на Р может быть отождествлена с некоторым дифференциалом Бельтрами р. на Г0, т. е. выражением вида р{г)с[г/йг, которое инвариантно относительно выбора локального параметра на где ^¿(г) - комплекснозначная функция на ^о и ||м||£ (Го) < 1. Эту структуру на ^ будем обозначать через Элементами пространства Тейхмюллера Тг являются классы конформной эквивалентности отмеченных компактных римановых поверхностей

рода д > 2. Модули таких классов для краткости будем обозначать через [р].

Характером р для ^ называется любой гомоморфизм р : (щ^), •)

(<С*, •), С* = <С \ {0}.

Определение, (р, <?)-дифференциалом называется дифференциал ф = ф^гч такой, что ф(Тг){Т'гУ = р{Т)ф{£),г 6 ¡7,Т € Г, р : Г С*. В частности, при <7 = 0, это мультипликативная функция относительно Г для р.

Если /о - мультипликативная функция на ^ для р без нулей и полюсов, то ее характер р будем называть несущественным, а /0 - единицей. Характеры, которые не являются несущественными, будем называть существенными на тп(^). Обозначим через Нот(Г, С*) группу всех характеров на Г. Несущественные характеры образуют подгруппу Ьд в группе Нот(Т, С*).

Обозначим через /^(Г^, р) для р € Нотп{Гм, С*) множество всех отображений ф : Гм —> С таких, что = ф[в) + р{Б)ф{Т), Б, Т 6 Г„. Пусть В1(Гм,р) - одномерное подпространство в ¿^(Г^р), порожденное элементом а. Тогда Нг(Г^р) = г1{Т11,р)/Вх(Т11,р) - комплексное векторное (2д - 2)-мерное пространство для р ф 1. Будем называть

множество (3 = и Я^Г^р) когомологическим расслоением Ганнин-р&Ы

га над Тд х (Нотп{Г, С*)\{1}).

В §1.1 установлен аналог результата Э. Арбарелло, о голоморфной зависимости мультипликативных точек Вейерштрасса от модулей поверхности.

В §1.2 найден общий вид элементарных (р, д)-дифференциалов Прима на Рр.

Теорема 1.2.1. Для любого характера р на ^ рода д,д > 2 и любых натуральных чисел т > 1, д > 0 существует элементарный (р,д)~ дифференциал с полюсом в любой точке <5 = 6 Рц точно

порядка т, локально голоморфно зависящий от р и [//], у которого общий вид дивизора = где <р(Дх • • • Яд) = -2К[р\д+ч>{дт)-<р(Пд+1 ■ • ■ Лм) + ф(р) в многообразии Якоби для При этом точки Я.д+1,..., RN выбираются как локально голоморфное сечение дивизоров степени N — д над Тд, N = (2д — 2)д + т и = (¿[[г] - локально голоморфное. сечение дивизоров степени 1 на ^ для любого [/х] иа односвяз-ной окрестности 1/[цо] СТ} и для любого р 6 и(ро) С Нот(

В теореме 1.2.2. для любого характера р на рода д, д > 2 и любого натурального числа д > 1 доказано существование элементарного (р, д)-дифференциала третьего рода точно с простыми полюсами <31 =

СЦ^р], €¡2 = ¿¡Ыр] € локально голоморфно зависящего от р и ¡/л].

В §1.3 дано полное описание мультипликативных единиц и мультипликативных функций с заданными полюсами и существенно особыми точками на переменной компактной римановой поверхности.

В §1.4 найдена размерность и построен базис фактор пространства Пг.Д-Р),)/Пе.Д-Р),) для произвольного характера. Обозначим через Пг.Д-Р^) пространство мероморфных дифференциалов второго рода для характера р на Ер, т. е. с нулевыми вычетами во всех полюсах, а -

подпространство всех мультипликативно точных дифференциалов для р. Пусть CÍ, Сд-1 - любой базис пространства голоморфных дифференциалов Прима для существенного характера р на Fкоторые голоморфно зависят от [/i] и р.

Введем наборы дифференциалов, представляющих классы смежности в фактор пространстве П2: для несущественных характеров: либо

/оСъ ЛСь "> М„, Tp.p¡p¡,..; ТР.Р2Р2, (1)

где тр.р2р2 - дифференциал Прима для р с полюсами в точках Ра и Р, второго порядка с нулевыми вычетами, j = 2,...,<?, и = 1 на

Ffl; либо

/oCl,-,Мк,-,Мд, T(^,Tp,P2Ph ...,Тр,ргр-2, (1')

и для существенных характеров : либо

7 7 =<2) ~(2) Г2ч

либо

7 7 ^«1 + 1) ~(ñs-i+l) /о\

где элементарный дифференциал Прима т^ = ^ + 0( 1)^2, в окрестности Рь ¿(Рх) = 0, п;- - мультипликативные пробелы Вейерштрасса для Р,2 в точке Рь и = 0 на Рм.

В теоремах 1.4.1. и 1.4.2. доказано, что векторные расслоения = и П2 над Тг х (£9\{1}) и £2 = и ^(Р^/^Д^) над

Тд х (Нот(Г,С) \ Ьд) будут голоморфными векторными расслоениями ранга 2д - 2, причем сокращенный набор (1) и наборы (2) и (3) из 2д — 2 классов смежности дифференциалов будут базисами локально голоморфных сечений этих расслоений соответственно. Расслоения Е\ и будут аналитически эквивалентны расслоению Ганнинга С? над такими базами.

Обозначим через Р^) векторное пространство, состоящее

из (р, д)-дифференциалов кратных дивизору дй1 1ДПт, а через — векторное пространство голоморфных (р, д)-дифференциалов на Р^.

Теорема 1.5.1. Векторное расслоение Е$= у«!

Н.р 1

над Тд х (Нотп{Т, С')\Ьд) (над Т9 х \ {1}); будет голоморфным векторным расслоением ранга £*! + ••• + ат, при условии 5 > 1, д е N. > 1, ау € М, = 1,..., т, и тп > 1, причем набор из а>1 + ■ ■ ■ + ат классов смежности (р, д) -дифференциалов

(1) (т) (1) (<*т)

будет базисом локально голоморфных сечений этого расслоения.

Следствие 1.5.1. дает описание первой голоморфной группы когомо-логий де Рама для характеров, как частный случай предыдущих теорем 1.5.2 и 1.5.3, что подчеркивает важность этих теорем.

В §1.7 впервые дано описание дифференциалов Прима для отрицательных порядков.

В §1.8 исследованы множества специальных дивизоров для голоморфных (р; (^-дифференциалов Прима, относительно несущественных и существенных характеров.

Теорема 1.8.1. Пусть Р — компактная римаиова поверхность рода д > 2. Тогда: 1) если р — несущественный характер и П — любой целый дивизор, а1едВ = £ < д — 1 на Р1; 2) если р — существенный характер и И — любой целый дивизор, ЛедВ = Ь < д — 2 на Р, то, в обоих случаях : а] существует ненулевой голоморфный дифференциал Прима т для р на Р такой, что (т) > В, а значит В — (р, 1) -специален на .Р; б) имеют место канонические изоморфизмы ЬР-1(В~1) = П1(£) и Ьр-^Е-1) ^ Пг(В), где ВЕ = (г).

Во второй главе диссертации построены все основные типы элемен-

тарных абелевых дифференциалов любого целого порядка, голоморфно зависящие от модулей компактной римановой поверхности рода д> 2. С их помощью построены базисы локально голоморфных сечений всех основных типов векторных расслоений со слоями, из абелевых д—дифференциалов, над пространствами Тейхмюллера рода д > 2. Впервые дано полное описание дивизоров всех основных типов элементарных абелевых дифференциалов на переменной компактной римановой поверхности. Впервые дано описание абелевых дифференциалов отрицательных порядков.

В §2.1 найден общий вид элементарных однозначных д -дифференциалов

на

Теорема 2.1.1. На переменной компактной римановой поверхности Р^ рода д >2 для любой точки €¡1 € ^ и натурального числа д > 1 существует элементарный ц-дифферепциал третьего рода с единственным простым полюсом (¿1 = <?1М па Гц, локально голоморфно зависящий от [р], у которого общий вид дивизора (т^,) = где ц>{П.1 ■•■Яд) = -2К[ф + <р(С?1) - <р{Яд+1 ■ ■' Я^). При этом точки Яд+1,...,Ян выбираются как локально голоморфное сечение дивизоров степени N - д над Тд, где N = [2д - 1)д + 1 и (^[р] - локально голоморфное сечение дивизоров степени 1 на для [д] из любой односвяз-ной окрестности 11[цо] С Та.

В теореме 2.1.2. на переменной компактной римановой поверхности ^ рода д > 2 для любого натурального числа <? > 1 доказано существование элементарного д-дифференциала третьего рода точно с простыми полюсами <5! = <31И <32 = <32М е локально голоморфно зависящего от [р].

Для теоремы 2.1.2 приводится два доказательства, первое короткое,

так как в нем ссылаемся на классические факты о голоморфной зависимости абелева дифференциала тд^ от модулей поверхности и от (5г, хотя прямое доказательство этой зависимости не найдено. Поэтому, кроме доказательства 1, приводится прямое конструктивное новое доказательство, идея которого взята из теории дифференциалов Прима для характеров. Доказательство 2 показывает, что методы из первой главы диссертации для характеров можно успешно применять к объектам без характера, т. е. однозначным функциям и дифференциалам.

В теореме 2.1.3. на переменной компактной римановой поверхности рода д > 2 для любых натуральных чисел тп > 2,д > 1 доказано существование элементарного ^-дифференциала т^д = 4- 0(1))(Аг?, г(<5) = 0, с полюсом в любой точке <3 = СЩ^] € .£), точно порядка т, локально голоморфно зависящего от [/ф

В параграфе 2.2 построены базисы из локально голоморфных сечений для всех основных типов векторных расслоений абелевых дифференциалов, аналогичные расслоениям из первой главы. Но доказательства и формулировки этих теорем имеют принципиальные отличия.

В третьей главе изучается линейное обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка с голоморфными коэффициентами на компактной римановой поверхности рода д > 2. Доказана точная вариационная формула для вектор-решения при вариации по одному дифференциалу в пространстве голоморфных квадратичных абелевых дифференциалов. Найдены точные вариационные формулы как для вектор-решения, так и для элементов группы монодромии при вариации по полной базе пространства голоморфных кубических дифференциалов на компактной римановой поверхности. Эти вариационные члены являются матричными дифференциалами Прима по Р. Ганнингу, у кото-

рых характер совпадает с группой монодромии этого уравнения и сами вектор-решения являются голоморфными сечениями векторного расслоения, которое является тензорным произведением расслоения монодромии и канонического расслоения поверхности.

В §3.1 определяются основные понятия, связанные с вариационными формулами на римановой поверхности, и вводятся обозначения, которые используются в следующих параграфах данной главы.

В §3.2 рассматривается возмущенное уравнение на О/Г

+ (<Эо(г) - + Яо(*)и(г) = С1)

( и(г, А, 0) 0 0 ^

А е С. Обозначим через II(г, А, 0) =

0 и(л,А,0) 0 \ 0 0 сф,А,0)

( и(г, А,0) и(2,А,0)

- вектор-решение задачи Коши в точке г0 для возмущен-

ного уравнения (1).

Теорема 3.2.1. Для уравнения

+ (<30{г). - + Я^)и(г) = 0

верна точная вариационная формула для вектор-решения

II(г, А,0) =[Е + АЛо(г) + А2^*) + ... + АпАп^{г) + .. .][/(*, 0,0),

где г 6 Д |А| < £ и

Ап(г) = \а{х)Оп{х) + А0(х)А(х)Оп~1(х) + А1{х)А{х)Вп~\х) + ... +

Ап-2{х)А{х)0(х) + Ап-1{х)А{х)Ух, где А{х) = д(х)и^\х,0,0)У(х),

И(х) = д(х)и{х,0,0)У{х), А0{г) = / А(х)<1х,Е - единичная матрица

^20

порядка 3.

В §3.4 найдены точные вариационные формулы для вектор-решения и элементов группы монодромии при вариации по базе кубических дифференциалов.

Рассмотрим возмущенное дифференциальное уравнение

<г

«(3){г) + <Зо(г)«(1)(г) + (Яо(*) - Е ММХ*) = 0 (2)

з=1

на поверхности ¥ = £>/Г, где п, ..., гд - базис кубических голоморфных дифференциалов в пространстве <1 = 5д — 5. Положим

/л = (дь ..., д^). Как и ранее будем обозначать через и {г, 0, д) (и(гг, 0, 0,^,10(0,0,^))

три линейно независимых решения задачи Коши в точке го, заданные условиями

1/(20,0,ц) =ь (1,о,0); 0,0, /х) =' (0,1,0); С/(2)(*о,0,р) =( (0,0,1),

(3)

для любого ¡1.

Теорема 3.4.1. Для вектор-решения возмущенного по базе гз = 1, ...,(1 — 5д — 5, уравнения (2) с нормировкой (3) верна точная вариационная формула

и (г, 0, р) = [Е + £|Ц=1 ВМцЬ + £1*1=2 ВМцк + • • •

где Вм(г) = "Р" к = е,-, = г,-(4)У(4,0,0)У(4), 3 =

1, ...,сг,

.....*,)(*) = при \к\ > 2, 1Н1 < е.

Теорема 3.4.2. Для элементов группы монодромии уравнения (2) с нормировкой (3) на компактной римановой поверхности Я = И/Г рода д > 2 верна точная вариационная формула

Х(Ь,0,р) = [Я + Е В0,к(Ьг0)11к + Е Вик(Ьг0)^к + •■■ 1*1=1 \к\=2

+ + • ■ - ] хсм, о),

\к\=п

где Ь € Г, при ЦдУ < е.

Исследования по теме диссертации были поддержаны грантами:

1) Аналитическая ведомственная целевая программа, 2.1.1.3707;

2) Федеральная целевая программа, №-02.740.11.0457; 11-01-90709-моб-ст;

3) РФФИ Ко. 12-01-00210-а.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Чуешеву Виктору Васильевичу за постоянное внимание и всестороннюю поддержку.

Основные результаты

1) построены основные типы элементарных (р, д)-дифференциалов Прима трех родов, голоморфно зависящих от характера р и от модулей поверхности; найдены базисы локально голоморфных сечений двух основных типов векторных расслоений, со слоями из (р, д)-дифференциалов Прима, над произведением пространства Тейхмюллера и группы характеров; доказано, что одно из этих расслоений аналитически эквивалентно когомологическому расслоению Ганнинга и дано описание множества специальных дивизоров дифференциалов Прима для любых характеров;

2) построены основные типы элементарных абелевых д—дифференциалов трех родов целого порядка д > 1, голоморфно зависящих от модулей компактной римановой поверхности; найдены базисы локально голоморфных сечений двух основных типов векторных расслоений, со слоями из абелевых д-дифференциалов, над пространством Тейхмюллера рода д >

2;

3) найдены точные вариационные формулы для вектор-решения и элементов группы монодромии линейного дифференциального уравнения третьего порядка при вариации по базе кубических голоморфных дифференциалов на фиксированной компактной римановой поверхности рода д > 2.

Публикации по теме диссертации

Статьи в журналах из перечня ВАК

[1] Головина М.И. Дивизоры дифференциалов Прима на римановой поверхности // Востник КемГУ / Кемерово, 2011, т. 3/1. С.193-199.

[2] Тулина М.И. Однозначные дифференциалы и специальные дивизоры для дифференциалов Прима // Сиб. матем. журн. 2013. Т. 54, № 4. С. 914-931.

[3] Тулина М.И. Explicit variational formulas for third-order equ'ations on Riemann surfaces // Journal of Siberian Federal University, Mathematics, Physics, 2013, 6(3), C. 366-376.

' Материалы конференций

[4] Головина М.И. Пространства мероморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности // Материалы XLHI Студенческой научно-практической конференции / ГАГУ. Горно-Алтайск. 2008. С. 300-307.

[5] Головина М.И. Дифференциалы с общими характерами па римановой поверхности // Сборник научных трудов кафедры математического анализа Г-АГУ, Горно-Алтайск. N 3, 2011. С. 12-21.

[6] Головина М.И. Meromorphic Prym differentials on compact Riemann surface // Works of the 8th Congress of the ISAAK - 2011. - Moscow, 2011, C. 15-22.

Тезисы конференций

[7] Головина М.И. Дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности // VI Всесибирский конгресс женщин - математиков / Красноярск. 2010. С. 90-94.

[8] Головина М.И. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу / Горно-Алтайск, 2010. С. 10-13.

[9] Головина М.И. Дифференциалы Прима на переменной компактной поверхности // XLVIII Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс"/ Новосибирск, 2010. С. 24.

[10] Головина М.И. Пространства дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу / ГАГУ/ Горно-Алтайск, 2011. С. 21-24.

[11] Головина М.И. Дифференциалы Прима и мультипликативные точки Вейерштрасса на переменной римановой поверхности // Материалы XLIX международной научной студенческой конференции / Новосибирск, 2011. С. 94.

[12] Головина М.И. Мультипликативные дифференциалы Прима на переменной римановой поверхности // Материалы десятой международной Казанской летней научной школы-конференции / Казань, 2011. С. 92-94.

[13] Головина М.И. Meromorphic Prym differentials on a variable Riemann surface // 8-й Международный конгресс ISAAK 2011 / Москва, 2011. С. 49

[14] Головина М.И. Пространства мероморфных дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности // Международная школа-конференция по геометрии и анализу / Кемерово, КемГУ, 2011. С.12-14.

[15| Головина М.И. Prym differentials on Riemann swfacc ij Материалы школы-конференции по геометрическому анализу / ГАГУ, Горно-Алтайск, 2012. С. 11.

[16] Голошша М.И., Чуешов В.В. О&юзшчнш диффсренщтли т компактной ¡тмаиочой noac.pxv.ocum Н Тезисы IV российско-армянского совещания по математической физике., комплексному анализу и смежным вопросам / Красноярск, 2012, С. 15-10.

[17] Тулина М.И. Специальные, дичторы диффертцшнов Прима /,/ Дни геометрии в Новосибирске / Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2013. С. 89.

Издательство Горно-Алтайского государственного университета 049000, г. Горно-Алтайск, ул. Ленкина, 1. Подписано в печать 01.10.2013г. Формат 60 х 84/16. Бумага для множительных аппаратов. Печать ризо. Печ. л. 1,4. Тираж 120 экз. заказ122. Отпечатано полиграфическим отделом

Горно-Алтайского госупиверситета . .

649000, г. Горно-Алтайск, ул. Ленкина, 1.

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования ГОРНО-АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

04201364246

Тулина Марина Ивановна

ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПРИМА НА ПЕРЕМЕННОЙ КОМПАКТНОЙ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный

анализ

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата ф из ико - м ате м атиче с к и х наук

Hay чиып руководитель доктор физ -мат наук, профессор Чусшсв Виктор Васильевич

Горно-Алаайск - 2013

Содержание

Вводенио 4

Глава 1. Дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности 10

§11 Предварительные с ведения 10

§12 Элементарные дифференциалы Прима 23

§13 Мультипликативиыс функции и единицы 33

§14 Базис фактор пространства Огр(^)/Ое35 §15 Векторные расслоения дифференциалов Прима над пространством Тейхмюллера 42 §1 С Дифференциалы Прима па гиперэллиптическои поверхности 48 §17 Дифференциалы Прима отрицательных порядков 50 §18 Специальные дивизоры дифференциалов Прима 53 Глава 2. Однозначные дифференциалы на переменной компактной римановой поверхности 62 §2 1 Однозначные элемешарпые диффереицпалы 63 §2 2 Пространства однозначных дифференциалов па переменно!I компактной римановой поверхности 73 §2 3 Однозначные дифференциалы отрицательных порядков 80 Глава 3. Точные вариационные формулы для группы моно-дромии уравнения третьего порядка на римановой поверхности

83

§3 1 Предварительные сведения 84

§3 2 Разложение вектор-решения в ряд при вариации в пространстве квадратичных дифференциалов 86

§3 3 Разложение в ряд Тейлора вектор-решения и элементов группы могюдромии 91

^3.4. Элементы группы монодромни при вариации по базе кубических

дифференциалов .....................................................98

Литература ......................................................108

Введение.

Теория мультипликативных функций и дифференциалов Прима для случаи специальных характеров на компактной римаповой поверхности нашла многочисленные приложения в теории функций, аналитической теории чисел и в уравнениях математической физики [1-9; 13:21;24-28:33:3 1|.

В работах [17;27] начато построение основ теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности для произвольных характеров.

Проведенные в работе исследования берут начало в основной работе Р. Ганнинга (1980 г.)[27], который возродил интерес к дифференциалам Прима для любых характеров и вместо пространства периодов предложил так называемое когомологическое расслоение Гаппинга для фиксированной поверхности и для любых характеров. В работе Чусшева В. В.117] предложено обобщить понятие когомологического расслоения Ганнинга над базой из пространства Тейхмюллера и группы характеров. В этой работе начато построение основ теории дифференциалов Прима для произвольных характеров, причем для переменной римановой поверхности.

В работах Н.М. Фар каш а и И. Кра [24] изложены элементы геометрической теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима для фиксированной поверхности и для любых характеров. Они изложили основной классический материал на 10 страницах своей книги (1992

г)-

На,та цель создать основы теории дифференциалов Прима для любых характеров как аналог теории абелевых дифференциалов. Отметим, что общая классическая теория абелевых дифференциалов строилась только

на фиксированной поверхности.

Построенные в работе основы теории дифференциалов Прима на переменной поверхности и с переменными характерами существенно отличаются от классической теории, причем используются новые; средства геометрической теории функций: пространства Тейхм юл.пера, группы характеров, векторные расслоения из дифференциалов Прима над пространством Тсйхмтоллера, универсальное многообразие Якоби, расслоения целых дивизоров с голоморфными сечениями над пространством Тейхмюллера и сложную технику работы с классами дивизоров на ри-мано вой поверхности.

Теория однозначных (абелевых) дифференциалов (р = 1) имеет ряд принципиальных отличий от теории дифференциалов с произвольными характерами (р 1). Кроме того, однозначные дифференциалы (особенно случаи порядков д = 1, д = 2) даже па фиксированной поверхности уже нашли многочисленные приложения в уравнениях математической физики, при алгебро-геометрическом интегрировании ряда нелинейных уравнений в работах С.П. Новикова [6; 9], И.М. Кричевера [5], Б.А. Дубровина [3]. И.А. Тайманова [13] и в теоретической физике (Р. Дик, С. Климек), а также в аналитической теории чисел в работах X. Фаркаша, И. Кра и теории пространств Тейхмюллера в работах Л.В. Альфорса, Л. Берса [1]. С.Л. Крушкаля [7] и К. Эрла [23].

Отметим существенные отличия наших результатов от имеющихся классических результатов, приведенных в книгах Дж. Спрингера [11]. Фаркаша-Кра и других книгах по классической геометрической теории функций на компактной римановой поверхности. Сначала заметим, что все объекты рассматриваются на переменной компактной римановой поверхности Для построения теории однозначных дифференциалов боль-

шую роль играют, так называемые, элементарные дифференциалы любого порядка, которые имеют минимальное количество полюсов: либо один полюс порядка > 2, либо два простых полюса, и голоморфно зависящие от модулей [д] компактных римановых поверхностей В нашей работе впервые дано полное конструктивное описание дивизоров элементарных как абелевых дифференциалов, так и дифференциалов Прима всех трех родов. Также рассмотрены элементарные дифференциалы любых целых порядков. Этот случай, как правило, отсутствует в учебниках по классической теории функций. Кроме того, в отличие от случая абелевых дифференциалов при д = 1 для случая д > 1 на переменной компактной римаповой поверхности рода д > 2 существует дифференциал порядка с.[ с единственным простым полюсом.

Метод дивизоров и применение многообразий Якоб и для переменной поверхности |17; 23] позволяют дать методы для развития теории как мультипликативных дифференциалов, так и однозначных дифференциалов.

Исследование группы моиодромии для решений линейных дифференциальных уравнений на компактной римаповой поверхности с помощью вариационных методов начато в работах Д.А. Хейхала (1976 г.). Он нашел первую вариацию для группы монодромии. В работах В.В. Чуешева получена точная вариационная формула для вектор-решения и элементов группы монодромии линейного дифференциального уравнения второго порядка на римаповой поверхности. Задача Пуанкаре о нахождении группы монодромии для заданного уравнения на компактной поверхности до сих пор не решена, за исключением очень небольшого числа уравнений (так, например, для гипергеометрического уравнения с тремя особыми точками на С). Так как явные решения найти невозможно

даже для уравнения второго порядка, то возникают вариационные задачи (Д.А. Хейхал [29-32]), которые показывают, как зависят образующие группы монодромии от малых вариаций в пространстве голоморфных дифференциалов.

Вариационные формулы нашли приложения в геометрической теории функций комплексного переменного на компактных римановых поверхностях и в теории пространств Тейхмюллера, в связи с упиформизацией компактных римановых поверхностей [1; 7; 8].

В нашей работе предлагается компактный способ вывода вариационных формул для вектор—решения и элементов группы монодромии с помощью векторпо-матричпой записи. Получены точные вариационные формулы при вариации в пространствах голоморфных квадратичных и кубических дифференциалов для вектор—решения и элементов группы монодромии па компактной римаповой поверхности рода д > 2 для линейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка с любыми голоморфными коэффициентами. Эти теоремы продолжают исследования Д.А. Хсйхала [29: 31] и В.В. Чуешева |18] для уравнений порядка два на случай уравнений порядка три. Найдена связь этих вариационных формул с матричными дифференциалами Прима и с сечениями специальных голоморфных векторных расслоений па компактной римановой поверхности.

В первой главе впервые доказано существование и дано конструктивное построение элементарных дифференциалов для любых переменных характеров на переменной компактной римановой поверхности. Кроме того, дано полное конструктивное описание дивизоров элементарных дифференциалов всех трех родов на поверхности. Получены новые свойства пространств мероморфиых дифференциалов Прима на переменной

компактной рнмановой поверхности и для переменных характеров; найдены размерности и построены базисы основных типов векторных расслоений таких дифференциалов. В частности, найдена размерность и построен базис в первой голоморфной группе когомологий до Рама. Кроме того, построены явные базисы для таких фактор пространств на гиперэллиптической римановой поверхности.

Во второй главе построены основные типы элементарных абелевых дифференциалов любого целого порядка, голоморфно зависящие от модулей компактной римановой поверхности рода g > 2. С их помощью построены базисы локально голоморфных сечений всех основных типов векторных расслоений со слоями из абелевых q—дифференциалов над пространствами Тейхмюллера рода g > 2. Впервые дано полное описание дивизоров основных типов элементарных абелевых дифференциалов на переменной компактной римановой поверхности. Впервые дано описание абелевых дифференциалов отрицательных порядков.

В третьей главе изучается линейное обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка с голоморфными коэффициентами на компактной римановой поверхности рода g > 2. Доказана точная вариационная формула для вектор-решения при вариации по одному дифференциалу в пространстве голоморфных квадратичных абелевых дифференциалов. Найдены точные вариационные формулы как для вектор-решения, так и для элементов группы монодромии при вариации по полной базе пространства голоморфных кубических дифференциалов на компактной римановой поверхности. Эти вариационные члены являются матричными дифференциалами Прима по Р. Ганнингу, у которых характер совпадает с группой монодромии этого уравнения и сами матричные решения являются голоморфными сечениями векторного расслоения, которое яв-

лястсм тензорным произведением расслоения монодромии и канонического расслоения поверхности.

Глава 1.

Дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности.

§1.1. Предварительные сведения.

Пусть I7 будет фиксированная гладкая компактная ориентированная поверхность рода д > 2, с отмечанием {а^, т. е. набором об-

разующих в первой фундаментальной группе ^(.Р), а Го - фиксированная комплексно-аналитическая структура на К В дальнейшем ри-манову поверхность (Р; Ро) для краткости будем обозначать через ^о. По теореме униформизации существует конечно порожденная фуксова группа Г первого рода, инвариантно действующая на единичном круге (/ = {г е С : |г| < 1} такая, что V/Г конформно эквивалентна Ро, Г

изоморфна 7Г1 (Т7), и эта группа имеет представление:

9

¿=1

где Cj — [Ау, В-)\ = А]В:,А^1 В^1, ] = 1, .... д. и / - тождественное отображение плоскости С [1; 7].

Любая другая комплексно-аналитическая структура на Сможет быть отождествлена с некоторым дифференциалом Бельтрами д на Ро, т. е. выражением вида ¿г. которое инвариантно относительно выбо-

ра локально ['о параметра на Ро, где - комплекснозиачная функция на Ро и < 1 [1; 7]. Эту структуру на Р будем обозначать че-

рез Ясно, что ¡л = 0 соответствует Рц. Пусть М(Р) - множество всех комплексно-аналитических структур на ^ с топологией С°° сходимости на Dг//+(f?) - группа всех сохраняющих ориентацию гладких

диффеоморфизмов поверхности F на себя, Diff0(F) - нормальная подгруппа в Diff+(F), состоящая из всех диффеоморфизмов гомотопных тождественному диффеоморфизму id на F. Группа Di ff+(F) действует на M(F) по правилу ß ->• />, где / <е Diff+(F),ß е M(F). Тогда пространство Тейхмюллера Tff(F) = Tg(Fo) есть фактор-пространство M(F)/Diff0(F) [1; 7].

Так как естественное отображение U Fq = U/Г локальный диффеоморфизм, то любой дифференциал Бельтрами ß на Fq поднимается до Г—дифференциала Бельтрами ß (его обозначим тем же символом) на U, т. е. ß е Loo(U), |H|Loo(t/) = esssupz&u \ß{z)\ < 1, и

ß{T(z))T{z)/T{z) = zeu,Te г.

Если Г—дифференциал дна U продолжить на С\U, положив ß = 0, то существует единственный квазиконформный гомеоморфизм wß : С —> С с неподвижными точками +1,-1, г, которьш является решением уравнения Бельтрами w^ = ß(z)wz. Отображение Т —» Tß = wßT(ги^)'1 задает изоморфизм группы Г на квазифуксову группу Гм = wßT(wß)~l = (Af,..... : n?=iK. = -О- Два Г—дифференциала Бельтрами ß и v называются конформно эквивалентными, если существует конформное отображение h : Fß —» Fv гомотопное id на F. Класс [ß] конформно эквивалентных Г—дифференциалов соответствует точно одной точке И е Tg(F).

Классические результаты Альфорса JL, Берса J1 и других авторов утверждают, что: 1) Tg(F) является комплексно-аналитическим многообразием размерности Зд — 3 при д > 2; 2) Тg(F) имеет единственную комплексно-аналитическую структуру такую, что естественное отображение Ф : M(F) —>• M(F)/Diffo(F) = Тg(F) будет голоморфным и при этом Ф имеет только локальные голоморфные сечения; 3) элементы из

Гм голоморфно зависят от [/¿].

Два Г—дифференциала Бельтрами /I и и будут конформно эквивалентными, если и только если и^Т^и^)-1 = 'ш!УТ('ш'у)~1, Т ■ е Г. Естественно, что выбор образующих Ьк}дк=1 в тт^Р) эквивалентен выбору системы образующих {а^, Ь^}9к=1 в 7Г1(РМ), и {.А^, в Гм для любого

[д] из Т9.

Элемент 6 можно также задать как класс Е)] кон-

формно эквивалентных отмеченных компактных римановых поверхностей где Е есть упорядоченный набор гомотопических классов [<21]. [Ь\],..., [ад], [Ьд] ориентированных петель оц, Ь\, .... ад, Ьд. выходящих из фиксированной точки О е Г. и задающих каноническое рассечение на К При этом Е1) называется конс1юрмно эквивалентной Е2), если существует конформное отображение /г : —>• и образ упорядоченного набора петель из Е1 по к будет свободно гомотопен упорядоченному набору петель из Е2 на Р.

Отсюда получаем отождествления = ТЭ(Р) = Т5(Г),

положив [д] = Ь%}9к=1] = Гм. При этом имеем взаимно однознач-

ное соответствие между классами дифференциалов Бельтрами [д], классами конформно эквивалентных отмеченных римановых поверхностей [^ц] К, Щ£=1] и отмеченными квазифуксовыми группами Г^ [1; 7].

Универсальное многообразие Якоби рода д есть расслоенное пространство над чей слой над [д] £ Тэ есть многообразие Якоби для поверхности Т7^ [23; 24].

В работе Берса [1, с. 99] построены голоморфные формы (1М = ОЦмЦЖ-, -чСдЫ = Сд{ЫА№; удовлетворяющие условиям:

дТ ' ГА№

для всех Т Е Г/4, [д] Е Т9, £ 6 т= 1 ,...,д, где интеграл берет-

ся по любому пути в от £ до Для любого фиксированного

[д] £ Тд, эти формы являются поднятиями на голоморфных абе-

ловых дифференциалов (лМ)..., С5[м] на которые образуют канонический базис Берса на двойственный к каноническому гомотопическому базису на отмеченной компактной римановой поверхности Этот базис голоморфно зависит от модулей [д] отмеченной компактной римановой поверхности Кроме того, матрица Ь—периодов ^(м) = (^М)?/с=1 иа Рцч состоит из комплексных чисел.

гт)

*3кЫ = I^ ^Ы^^ш^ <Е и)»{и)..

Ясно, что эта матрица голоморфно зависит от [д] [24¡.

Для любых фиксированных [//] £ Т9 и £о Е определим класси-

ческое отображение Якоби : ги^(и) —> С9 по правилу:

= / = 1,......д.

По

Тогда (р индуцирует голоморфное вложение из ^ в причем инду-

цироваипое отображение из в Н\( J(F^l). Z) будет изоморфизм.

Далее, для любого натурального числа п > 1 существует расслоенное пространство ттп над Тд, у которого слой над [д] € Тд есть пространство всех целых дивизоров степени п па компактной римановой поверхности Голоморфные сечения этого расслоения определяют па каждой ^ целый дивизор степени п. который голоморфно зависит от [д]. Также существует голоморфное отображение <рп из этого расслоения на универсальное расслоение Якоби, п> 1, чьё ограничение па слои является продолжением классического отображения Якоби (р : ^ —> Известно, что для п — д отображение </? : [/¿] —> является аналитическим изоморфизмом, где ^[д] - д—кратное симметрическое произведение компактной римановой поверхности ^ и = )

имеет комплексную размерность, не превышающую д — 2 [24]. Установлено в |23], что при п > 2д — 2 существуют глобальные голоморфные сечения для 7ГП, проходящие через любую заданную точку в расслоении дивизоров. Локальные голоморфные сечения для 7Гп над окрестностью U([fio]) С можно получить (для любого п > 1 ) из локальных голоморфных сечений К. Эрла s для Ф : M(F) —>■ Тд над U([/j,q\) [23].

Характером р для F^ называется любой гомоморфизм р : (^(F^), •) —>■ (С", •). С" = С \ {0}. Характер единственно задается набором

Характер р для Fo называется нормированным, если \р(Т) \ — 1,Т G Г.

Определение 1.1.1. Мультипликативной функцией / па поверхности FM для характера р назовем мероморфную функцию / на w^(U) такую, что

f{Tz) = p{T)f{z), zew*{u), тег,;

Определен