Интеграл типа Коши на негладкой неспрямляемой кривой и его приложения к решению краевой задачи Римана и сингулярным интегральным уравнениям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.544

Погодина Анна Юрьевна

ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ НА НЕГЛАДКОЙ НЕСПРЯМЛЯЕМОЙ КРИВОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

К РЕШЕНИЮ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РИМАНА И СИНГУЛЯРНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

01.01.01. — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань — 2004

Работа выполнена на кафедре высшей математики Казанской государственной архитектурно-строительной академии.

Научный руководитель —

Кац Борис Александрович

Гарифьянов Фархад Нургаязович

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук,

профессор Журбенко Лариса Никитична

Ведущая организация — Волгоградский государственный университет.

Защита состоится 28 октября 2004г. в 14.30 часов на заседании диссертационного совета К.212.081.07 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Казанском государственном университете (420008, г.Казань, ул. Кремлевская 18, корпус 2, ауд. 217).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Ло-

бачевского Казанского государственного университета,

п аII

Автореферат разослан_

2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических н а у к , А г а ч е вЮ.Р.

доцент

сМ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию граничного поведения интеграла типа Коши на негладкой и неспрямляемой кривой. Эти вопросы вызывают большой интерес в комплексном анализе в связи с решением краевых задач для голоморфных функций и сингулярных интегральных уравнений. История исследования этих задач до середины 70-х годов подробно освещена в классических монографиях Ф.Д. Гахова и Н.И. Мусхелишвили.

Одно из основных направлений в развитии теории интеграла типа Коши и задачи Римана связано с изучением контуров возможно более общего типа: негладких, неспрямляемых, состоящих из счетного множества кривых, сгущающихся к точке, либо к континууму (см. работы Н.И. Ахиезера, И.Н. Кар-цивадзе и В.В. Хведелидзе, В.А. Пааташвили, А.В. Айзенштата, Л.И.' Чи-бриковой, И.Г. Салеховой, М.Ф. Кулагиной, В.А. Каца, М.Х. Бренермана, С.Р.Мироновой и др.)

Данная диссертация примыкает к этому направлению.

Целью работы является исследование граничного поведения интеграла типа Коши на негладкой неспрямляемой кривой и применение полученных результатов к краевой задаче Римана.

Методика исследования. В диссертации используются различные методы теории функций действительного и комплексного переменного, а также методы теории краевых задач.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. В диссертации дана характеристика возмущений негладкого контура, при которых интеграл типа Коши по этому контуру сохраняет свои граничные свойства. Получен ряд новых, условий существования граничных значений инте-

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

грала типа Коши на негладких и неспрямляемых контурах. Доказаны новые теоремы существования решений краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений на неспрямляемой кривой.

Теоретическое значение и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании граничных свойств интеграла типа Коши, а также при решении краевых задач теории аналитических функциий.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Казанской школе-конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д Ф. Егорова (1999), на Саратовских зимних школах-конференциях по теории функций (2002, 2004), на Воронежской зимней математической школе по теории функций (2003), на Волгоградской международной конференции "Геометрический анализ и его приложения" (2004), а также неоднократно на семинаре по геометрической теории функций под руководством проф.Л.А. Аксентьева при Казанском государственном университете.

Публикации. По теме диссертации опубликовано две статьи и 7 тезисов научных конференций. В двух работах, написанных в соавторстве с научным руководителем, ему принадлежит постановка задачи и определение общего метода исследования.

Объем работы. Диссертация изложена на 105 страницах и состоит из введения, двух глав, включающих 9 параграфов, и списка литературы, содержащего 54 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор литературы по исследуемой теме, описаны основные результаты диссертации и приведены некоторые предварительные сведения.

Пусть Г есть простая спрямляемая кривая на комплексной плоскости. Тогда для любой заданной на Г непрерывной функции ОД интеграл типа Коши

существует и представляет собой голоморфную в С\Г функцию. Обозначим через пределы получающиеся при стремлении

точки г к точке Г слева и справа соответственно.

Хорошо известно, что интеграл (1) по замкнутой кусочно-гладкой кривой Г имеет непрерывные граничные значения на Г, если его плотность / удовлетворяет условию Гельдера

с каким-либо показателем

В 1979 году Е.М. Дынькин и независимо от него Т. Салимов дали оценку для модуля непрерывности интеграла типа Коши по спрямляемой (вообще говоря негладкой) кривой Г через модуль непрерывности его плотности / и некоторые величины, характеризующие метрические свойства Г.

Несколько позднее Б.-А Кац исследовал интеграл типа Коши (1) на неспрям-ляемой кривой. Он доказал, что интеграл в определенном смысле существует и непрерывен вплоть до границы, если где

а — верхняя метрическая размерность кривой Г.

(1)

8иР : 6 * <"} = < 00 (2)

Эти результаты не исключают возможности существования негладких и неспрямляемых кривых, по которым интеграл типа Коши с. плотностью / € Г) имеет непрерывные предельные значения на кривой с обеих сторон, несмотря на то, что приведенное выше условие \f> а/2 не выполняется. Данная работа посвящена описанию таких классов кривых.

Первая глава содержит ряд новых условий непрерывности интеграла типа Коши по негладким и неспрямляемым кривым.

В параграфе 1 сначала вводятся необходимые определения и обозначения для множества кривых Г и классов функций f. Пусть на отрезке действительной оси задана непрерывная вещественная функция у = Y(x). Обозначим ее график через grY. Пусть множество G состоит из всех дуг вида Г = grY, где Y — непрерывная вещественная функция такая, что

При конструировании примеров удобно пополнять это множество графиками функций с разрывами первого рода. Класс таких кривых обозначим GG.

Через RqG и RqGG ниже обозначаются множества кривых, входящих в классы G и GG соответственно, для которых дуги

спрямляемы при любом но пределы их длин при могут

оказаться бесконечными.

Интеграл типа Коши по кривым этих классов понимается как несобственный:

С(Г,Г,ж)тШ±[ (3)

• 4 " ' *-»о 2яч Уг« С - z '

Заданную на Г £ С? функцию f(z) отнесем к классу ЛДГ), если f(x + iy) = = f(x) 6 Н„{1) для некоторых v € (0,1], /(0) = /(1) = 0 и / 6 H^I') при

любом где

Теорема 1.1» Пусть дуга 1\ = дгУ\ принадлежитЯоСС», а заданная на ней функция f — классу Л„(Г). Если для некоторой непрерывно дифференцируемой на отрезке I функции Уз(х) и некоторого числа р >2 выполняется условие

то интеграл типа Koutu С{Г\,/;г) существует в смысле определения (3) при любом г 6 С\Г1, в любой точке дуги Г\ имеет граничные значения с обеих сторон, удовлетворяющие условию Гельдера с показателем., ц = тт{1/, 1 - 2/р).

В параграфе 1 получены некоторые обобщения этого результата, а также следствие из него, которое можно рассматривать как аналог теоремы И.И. Привалова. Кроме того, в нем приведены примеры, показывающие, что полученные результаты позволяют установить непрерывность интеграла типа Коши в случаях, когда условия теорем Е.М. Дынькина и Б.А. Каца нарушены.-

Интегральное условие теоремы 1.1 есть условие близости Г к некоторой гладкой дуге. Его можно трактовать, как ограничение на скорость сужения области, заключенной между Г и этой гладкой дугой (т.е. графиком Уг), при приближении к началу координат.

В параграфе 2 используется условие близости негладкой дуги Г к гладкой Го несколько иного характера. Пусть Го есть гладкая дуга с началом в точке О и концом в точке 1. Пусть Л* = {с^} И бТ = — две (вообще говоря,

бесконечные) последовательности областей с кусочно-гладкими границами, примыкающих к Го сверху и снизу соответственно и сгущающихся к точке 0. Они определяют негладкую дугу Г с теми же началом и концом, такую что все эти области ограничены дугами Г и Го- Будем говорить, что Г получена

из Го путем возмущения этой дуги областями и d . Основным результатом параграфа 2 является

Теорема 2.1. Пусть дуга Г с началом в точке 0 и концом в точке 1 получена из гладкой дуги Го с теми оке началом и концом путем возмущения ее областями последовательностей й+ и d~, причем область й+ (соответственно <1^) ■имеет периметр Х^ (соответственно А~) и может быть вписана в прямоугольник с меньшей стороной а* (соответственно о^). Пусть функция / 6 Н„(Г) обращается в нуль в точках 0 и 1, причем v > 1/2. Если для некоторого р € (2,(1 — V)-1) сходятся ряды

то интеграл типа Коши С(Г-, /; г) существует в смысле определения (3) при любом г € С \ Г и в любой точке дуги Г имеет.граничные значения с обеих сторон.

В параграфе 2 построен пример, показывающий что теорема 2.1 может гарантировать непрерывность интеграла типа Коши вплоть до контура интегрирования в случаях, когда результаты предшественников не работают.

В параграфе 3 сконструирован пример, показывающий что интеграл типа Коши может терять непрерывность, если условия теорем параграфов 1-2 нарушены.

В параграфах 4-5 изучается интеграл типа Коши по контурам, которые неспрямляемы тотально. Это значит, что вместе с дугой Г неспрямляемой является любая дуга не сводящаяся к точке. В этом случае возникает вопрос о том, в каком смысле понимать интеграл типа Коши по такому контуру.

В параграфе 4 атот вопрос решается следующим образом. Пусть Г есть график непрерывной вещественной функции У^), заданной на отрезке [0,1]. При отсутствии дополнительных ограничений на У^) дуга Г будет, вообще говоря, тотально неспрямляема. Для каждой точки г 6 С\Г зафиксируем разрез Аг, который соединяет ее с бесконечностью, не пересекаясь с Г, и выберем в С\А, однозначную ветвь натурального логарифма — г). Тогда при интеграл

/г»

существует как интеграл Стилтьеса, поскольку вариация функции /* на отрезке [е, 1] ограничена. Это дает возможность определить интеграл типа Коши равенством

Основным результатом параграфа 4 является

Теорема 4.1. Пусть Г есть график непрерывной вещественной функции У(%), заданной на отрезке [0,1], и / € Л|/(Г). Если для некоторой непрерывно дифференцируемой на [0,1] функции YQ(X) и для некоторого р > 2 выполняется условие

I

О I йх

|У(х) - Го(г)|</1 < оо,

то интеграл типа Коши С(Г, /; г) существует в смысле определения (4) при любом'г € С \ Г, в любой точке дуги Г имеет граничные значения с обеих сторон и эти граничные значения удовлетворяют условию Гельдера с показателем ц = шт^, 1 — 2/р}.

Таким образом, для тотально неспрямляемой дуги Г справедлив результат, вполне аналогичный теореме 1.1.

В параграфе 5 для исследования интеграла типа Коши по неспрямляемой дуге применяется система функций Фабера-Шаудера <р„. При п = 2* + 1 < 2 < 2*, функция Фабера-Шаудера <рп{х) обращается в нуль вне отрезка = [(7 — 1)2~*, з 2~*], а на этом отрезке ее график совпадает с боковыми сторонами равнобедренного треугольника высоты 1 с основанием Известно, что любая непрерывная на отрезке [0,1] функция У (х) представима равномерно сходящимся рядом Фабера-Шаудера

Иначе говоря, ее график получается из отрезка [0,1] в результате бесконечной последовательности его возмущений треугольниками. Основной результат

параграфа 5 довольно громоздок. Приведем относительно простое

Следствие 5.1. Пусть Г = дгУ, где У € НцЦ) имеет разложение вида

(5), а заданная на Г функция / такова, что /' € Н„(1), /(0) = /(1) = 0.

Если ц + V > 1 и сходятся ряди

при некоторомр > 2, то интеграл типа Коши С(Г,/;г) существует как интеграл Стилтьеса при любом г € С\Г и имеет на Г непрерывные граничные значения с обеих сторон.

В параграфе 6 контур интегрирования Г считается гладким, а плотность / интегрируемой. В нем исследуется вопрос о существовании предельных значений не самого интеграла типа Коши, а его симметрических разностей. Они определяются следующим образом. Пусть ¿6 Г — точка гладкости кривой

Г = дгУ, а VI — комплексное число, соответствующее единичному вектору нормали к Г в точке t. Симметрическая разность интеграла типа Коши в точке t равна С(Г, + Лц) — С(Г,— Лц). На основе теории сингулярного (в смысле Лебега) интеграла в параграфе 6 доказана

Теорема 6.4. Если функцияинтегрируема па гладкой кривой Г, то предел симметрической разности интеграла типа Коши при Л —> 0+ существует в каждой точке Лебега этой функции и равен значению функции f в этой точке.

Заметим, что классическое определение точки Лебега для функций, заданных на отрезке, обобщается на случай функций, заданных на кривых.

Глава II посвящена приложениям полученных условий непрерывности интеграла типа Коши. Традиционным полем их приложений является решение краевой задачи Римана и сингулярных уравнений с ядром Коши..

В параграфах 7 и 8 изучается краевая задача Римана соответственно на-замкнутых и разомкнутых неспрямляемых кривых и вводятся специальные классы единственности Нц(Г). Полученные результаты отличаются от известных результатов Б.А. Каца тем, что за счет применения условий параграфа 4 здесь рассматриваются новые классы неспрямляемых кривых. Напомним постановку этой задачи.

Пусть Г — замкнутая кривая, разбивающая плоскость С на области и Требуется найти голоморфную в рункцию граничные

значения которой в каждой точке существуют и связаны соотношением

где G и g — заданные на Г функции. При С?(<) = 1 задача (6) превращается в

задачу о скачке

Ф+(() - ф-(0 = </(<),ф-(оо) = 0.

(7)

Обозначим через ад (Г) размерность Хаусдорфа кривой Г. Доказана Теорема 7.1. Пусть кривая Г = Г*1 и Гг, где Г^ = дгУ1<2. Пусть £ V < 1, /л == тш{с, 1 — 2/р}, /х > агя(Г) — 1. Если для некоторой непрерывно дифференцируемой функции Y(x) и некоторого числа р > 2 выполняется условие

является единственным решением задачи о скачке (7) класса Г).

На этой основе в параграфах 7-8 доказано, что картина разрешимости задачи (6) на неспрямляемой кривой Г в классе НДГ) при условиях теоремы 4.1 совпадает с классической, если показатель ц удовлетворяет приведенному выше условию. Отметим, что в данной работе нигде пе используется условие и > а/2, систематически возникающее при решении задачи Римана на неспрямляемой кривой в работах Б.А. Каца .

В параграфе 9 исследуется характеристическое и союзное с ним сингулярное интегральное уравнение на замкнутой неспрямляемой кривой. Хорошо известно их решение на кусочно-гладких кривых. Следуя идее В.А. Селезнёва, мы определяем сингулярный интеграл с плотностью g на неспрямляемой кривой равенством

то функция

•м-йзздХ.,1

I ?(СК!о6(С-г)

где Ф(г) есть исчезающее в бесконечности решение задачи о скачке (7). Чтобы добиться его единственности, мы должны искать это решение в классе ЯЙ(Г), ц > «н(Г) — 1. В параграфе 9 установлено, что в предположениях теоремы 4.1 картина разрешимости рассматриваемых уравнений совпадает с классической.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Изучено граничное поведение интеграла типа Коши в новых классах негладких и неспрямляемых кривых.

2. Доказано существование предельных значений симметрической разности интеграла типа Коши в точках Лебега плотности.

3. Получены новые условия существования решений краевой задачи Рима-на на неспрямляемой кривой, а также для сингулярных интегральных уравнений.

В заключении автор выражает глубокую признательность научному руководителю профессору Б. А. Кацу и участникам семинара по геометрической теории функций под руководством профессора Л. А. Аксентьева при Казанском государственном университете за постоянное внимание к работе и ценные советы.

РАБОТЫ АВТЪРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кац Б.А. О граничных значениях интеграла типа Коши на негладкой кривой/ Б.А. Кац, А.Ю. Погодина // Изв. вузов. Математика. - 2002. - N0 3. - С. 15-21.

2. Кац Б.А. Непрерывность интеграла типа типа Коши на негладкой кривой/ Б.А. Кац, А.Ю. Погодина// Актуальные проблемы математики и механики. Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань. -2000. - Т.5. - С.104-105.

3. Погодина А.Ю. Непрерывность интеграла типа Коши на одном классе негладких контуров / А.Ю. Погодина // Теория функций и её приложения и смежные вопросы. Материалы школы-конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова. - Казань. - 1999. - С.176-177.

4. Погодина А.Ю. Свойства интеграла типа Коши по негладкой кривой, имеющей обобщенную касательную / А.Ю. Погодина // Теория функций и её приложения и смежные вопросы. Материалы школы-конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова. - Казань. - 1999. - С.177-178.

5. Погодина А.Ю. Об оценке интеграла типа Коши / А.Ю. Погодина // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы, посвященнной памяти выдающихся профессоров МГУ Н.К. Бари и Д.Е. Меньшова. - Саратов. - 2002. - С.153-154.

6. Погодина А.Ю. Предел симметрической разности интеграла типа Коши / А.Ю. Погодина // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы, посвященнной памяти выдающихся профессоров МГУ Н.К. Бари и Д.Е. Меньшова. - Саратов. -

2002. - С.154-155.

7. Погодина А.Ю. О пределе симметрической разности интеграла типа Ко-ши / А.Ю. Погодина // Изв. вузов. Математика. - 2004. - N0 2. - С.80-83.

8. Погодина А.Ю. Граничные значения интеграла типа Коши на негладкой и неспрямляемой кривой и функции Фабера-Шаудера / А.Ю. Погодина // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы. - Воронеж. - 2003. - С. 182-183.

9. Погодина А.Ю. О краевой задаче Римана на замкнутой неспрямляемой кривой / А.Ю. Погодина // Современные проблемы теории функций и их приложения. Материалы Саратовской зимней математической школы. - Саратов. - 2004. - С.141-142:

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ.л. 1,0. Усл. печ.л. 0,93. Усл.кр.-отт. 1,02 Тираж 100. Заказ Д 196.

Типография издательства Казанского государственного технического

университета 420 П1, Казань, К. Маркса, 10

»17 4 85

ВВЕДЕНИЕ.

§0.1. Краткие исторические сведения.4

§ 0.2. Содержание диссертации.

§ 0.3. Некоторые предварительные сведения.

ГЛАВА I.

ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ТИПА

КОШИ НА НЕГЛАДКОЙ КРИВОЙ.

§ 1. О граничных значениях интеграла типа Коши на негладкой кривой.

§ 2. Возмущения областями с ограничениями на периметр и ширину.

§ 3. Нижняя оценка интеграла типа Коши.

§ 4. Свойства интеграла типа Коши по неспрямляемой кривой.

§ 5. Интеграл типа Коши по неспрямляемой кривой и функции Фабера-Шаудера.

§ 6.Предел симметрической разности интеграла типа Коши.

ГЛАВА II.

§ 0.1. Краткие исторические сведения

Диссертация посвящена исследованию граничного поведения интеграла типа Коши на негладкой неспрямляемой кривой. Эти вопросы вызывают большой интерес в комплексном анализе, в том числе, в связи с решением краевых задач для голоморфных функций и сингулярных интегральных уравнений(см. [1], [2]). В этой области имеется огромное количество различных достижений. Однако для понимания результатов необходимо процитировать некоторые из них. Пусть Г есть простая спрямляемая кривая на комплексной плоскости. Тогда для любой заданной на Г непрерывной функции f{t) интеграл типа Коши f «»> существует и представляет собой голоморфную в С\Г функцию. Обозначим через

С+(Г, /; t) = lim С(Г, /; z), С"(Г, /; t) = lim С(Г, /; г) z—bt Z—bt пределы, получающиеся при стремлении точки 2 к точке t Е Г слева и справа соответственно.

Хорошо известно, что интеграл (0.1) по замкнутой кусочно-гладкой кривой Г имеет непрерывные граничные значения на Г, если его плотность f(t) удовлетворяет условию Гельдера с каким-либо показателем и G (0,1].

Как отмечается в книге [2], этот факт был известен еще Гарнаку, Морера и Сохоцкому. Ниже через Ни(Г) будем обозначать пространство Гельдера, т.е. множество всех заданных на Г функций, удовлетворяющих условию (0.2). Теорема Гарнака-Морера-Сохоцкого была в дальнейшем уточнена И.И.Приваловым [3]. Он установил, что при условии / G НДГ),^ < 1, граничные значения интеграла типа Ко-ши по кусочно-гладкой кривой Г не только непрерывны, но и сами принадлежат классу Н„{Г). Если дуга Г не замкнутая, то для непрерывности интеграла типа (0.1) на ее концах необходимо дополнительно потребовать, чтобы плотность / не обращалась в нуль в концевых точках Г; в остальном формулировка теоремы Гарнака-Морера-Сохоцкого и теоремы Привалова для разомкнутых дуг не отличается от их формулировки для замкнутых кривых. Почти сразу после доказательства теоремы И.И.Привалова начали появляться разные ее обобщения для негладких кривых. Первые результаты в этой области были получены Н.А.Давыдовым [4], а одним из наиболее важных достижений последнего времени является теорема, доказанная в 1979 году Е.М.Дынькиным [5] и независимо от него Т.Салимовым [6]. Эта теорема дает оценку для модуля непрерывности интеграла (0.1) по спрямляемой (вообще говоря, негладкой) кривой Г через модуль непрерывности его плотности / и некоторые величины, характеризующие метрические свойства Г. Простейшие следствия этой оценки таковы: а) если / G Н^Т) при и > 1/2, то граничные значения С±(Г, f\z) существуют и непрерывны без дополнительных ограничений на спрямляемую кривую. Этот результат вместе с утверждением о его неулучшаемости (см. ниже) может рассматриваться как решение вопроса о возможности перенесения теоремы Гарнака-Морера-Сохоцкого на произвольные негладкие спрямляемые кривые; б) если кривая Г удовлетворяет условию ©г(^) ~ т, где ©г (г) есть максимальная (по ( G Г) суммарная длина дуг Г, лежащих в круге \z — < г, то граничные значения (0.1) с плотностью / 6 ^(Г) существуют при каком-либо г/ 6 (0,1], причем при г/ < 1 справедливы включения С±(Г, f\z) 6 это прямое обобщение теоремы И.И.Привалова.

Если 6Г = 0(гА),О < Л < 1, то теорема Дынькина-Салимова дает нижнюю границу для тех показателей и, для которых из включения / £ Н„(Г) следует существование граничных значений интеграла (0.1) и верхнюю границу для гельдеровских показателей этих граничных значений. Е.М.Дынькин [5] установил, что эти результаты неулучша-емы в терминах модулей непрерывности и используемых в этой работе метрических характеристик кривой Г. В частности, для произвольного фиксированного v 6 (0,1/2] он построил такую кривую Г и такую, заданную на ней функцию f„ G HV{T), что интеграл (0,1) с Г = / / = f„ теряет непрерывность в одной из точек интегрирования. Конструкция этой кривой и функции такова. Кривая Г состоит из двух частей: из лежащей в верхней полуплоскости и соединяющей точки 0 и 1 пилообразной ломаной, состоящей из бесконечного числа горизонтальных и вертикальных отрезков, сгущающихся к точке 0, и из соединяющих точки 0 и 1 гладкой дуги, лежащей в нижней полуплоскости, таким образом, часть этой кривой, расположенная вне любой окрестности нуля, состоит из конечного числа отрезков и гладких дуг.Далее, функция / в работе [5] определяются равенством fu(x 4- iy) = х + гу Е Г„, где график заданной на вещественной оси функции /* также представляет собой ломаную с бесконечным числом звеньев, сгущающихся к точке нуль.Таким образом вне нуля эта функция удовлетворяет условию Гельдера с показателем 1 (т.е. условию Липшица).

При надлежащем выборе обеих этих ломаных интеграл (0.1) теряет непрерывность в точке 0. Таким образом, теорема Дынькина-Салимова оказалась неулучшаемой даже в классе кривых и функций, негладкость которых сосредоточена в одной точке. Отметим, что условия существования граничных значений интеграла типа Коши и их свойства описываются в работах [5], [б] в терминах длин. То же относится ко всем другим известным нам работам в этой области. Несколько позднее Б.А.Кац исследовал интеграл типа Коши (0.1) на неспрямляемой кривой [7]. Он показал в каком классе и при каких условиях этот интеграл существует и доказал, что этот интеграл непрерывен вплоть до границы, если плотность f(t) £ HV{T), v > а/2, а € [1,2), где а — верхняя метрическая размерность кривой Г (или фрактальная размерность; см. § 0.3).

Заметим, что результат Б.А.Каца, указанный выше, также неулучшаем по всему классу размерности а в целом. В то же время, эти результаты не исключают существования негладких и неспрямляе-мых кривых, по которым интеграл типа Коши (0.1) с плотностью f(t) 6 ^(Г) имеет непрерывные предельные значения на кривой с обеих сторон, несмотря на то, что приведенные выше условия v > 1/2 и v > а/2 не выполняются.

Одной из классических областей приложения теории интеграла типа Коши является решение краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений.

Задача Римана является одной из классических краевых задач теории аналитических функций и имеет многочисленные приложения в различных областях математики и физики. История исследования этой задачи до середины 70-ых годов подробно освещена в монографиях Ф.Д.Гахова [1] и Н.И.Мусхелишвили [2]. Отметим, что основополагающий вклад в разработку теории краевой задачи Римана внесли советские математики, в первую очередь, авторы этих монографий, ими были получены вполне законченные результаты о картине разрешимости задачи Римана на конечном числе гладких кривых с гель-деровскими коэффициентами. Дальнейшее развитие краевой задачи Римана шло ,в основном, по двум путям.

I. Ослабляются требования на коэффициенты задачи Римана: рассматриваются случаи, когда коэффициенты задачи принадлежат пространству Lp или имеют особенности в конечном числе точек (работы Хведелидзе Б.В. [12], Симоненко Н.Б. [16], [17], Говоров Н.В. [18], Данилюк И.И. [19] и др.)

И. Рассматриваются контуры более общего типа:негладкие, неспря-мляемые, состоящие из счетного множества кривых, сгущающихся к точке либо к континууму (работы Н.И.Ахиезера [20], Карцивадзе И.Н., Хведелидзе Б.В. [21], Фрейдкин С.А. [22], Пааташвили В.А. [23], Айзенштат А.В. [24]). Значительный вклад в исследование задачи Ри-мана на счетном множестве кривых внесла школа Л.И.Чибриковой [25], И.Г.Салехова [29], Кулагина М.Ф. [28] и др. В работе Б.А.Каца [10] по разрешимости задачи Римана на произвольной жордановой кривой был определен метод регуляризации квазирешения, который успешно применялся затем при решении многих краевых задач [30], [34], [35] и др.

Практически все достижения в решении краевой задачи Римана приводили к подтверждениям в исследовании сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши. их история также отражена в выше упомянутых работах.

В настоящей работе накладываются условия на негладкую кривую Г совсем иного характера. Их можно трактовать как условия малости площадей или иных геометрических характеристик областей, заключенных между Г и некоторой гладкой дугой.

Основные результаты содержатся в следующих двух теоремах.

Теорема 6.3 Если функция f(r) непрерывна на гладкой кривой Г, то предел (4-3) существует и равен значению функции в каждой точке t Е Г за возможным исключением концов Г; если кривая разомкнута.

Теорема 6.4 Если функция f(t) интегрируема на гладкой кривой Г, то предел симметрической разности интеграла типа Коши при h —> 0 существует в каждой точке Лебега этой функции и равен значению функции в этой точке.

Для доказательства этих теорем понадобятся некоторые сведения из теории сингулярного интеграла в смысле Лебега ([13], гл. 10, § 1, в точке xq. Тогда для любого е > 0 существует > 0, что при всех х, таких, что неравенство |f(x) + iY{x) — f(x0 + гУ(а;0))| < е. При (5 < <5(е) имеем

2). Отметим, что, в отличие от [13] мы рассматриваем не последовательности, а семейства функций, зависящие от вещественного положительного параметра h.

Определение 6.3. Семейство функций Ф/Дх, £), h G R+, заданных на квадрате (0 < х < 1,0 < £ < 1), называется ядром, если

1) функция Ф/Дгг, £) суммируема по х при произвольном фиксированном

2) 2

Km J ФЛ(х,0^ = 1 (6.5) 1 для любых «1, «2-* О < с*1 < £ < <*2 < 1.

Определение 6.4. Функция называется горбатой мажорантой функции Ф/^а;,^), если

2) £) при фиксированном £ возрастает на [0, гг] и убывает на 1]. 1

Интеграл вида f Фк(х,£)ф(х)с1х, где — ядро в смысле опрео деления 3, называют сингулярным интегралом по Лебегу (см., напр., [13], гл. 10, § 1). Теория сингулярных интегралов имеет многочисленные применения. Эта теория устанавливает связь предельных значений интеграла Фh{x,£)g{x)dx J о со значением функции д(х) в точке т.е.

Km [ Фл(х, £)g(x)dx = д(х), h—>-0+ J о где Фл(:г, С) — ядро. Это справедливо для точек непрерывности и точек Лебега интегрируемых функций. В дальнейшем используется следующая теорема

Теорема Д. К. Фаддеева ([3], гл. 10, § 2). Если ядро Фл(я;,£) при каждом h имеет горбатую мажоранту такую, что 1

J 4>h(x,Z)dx < < +оо, (6.6) о где В(£) зависит лишь от то для любой суммируемой функции д{х), имеющей точку х = £ точкой Лебега, 1 fclim J ФнЫ)д(х) dx = д(£). (6.7) о

Для упрощения вычислений без ограничения общности можно считать, что

1) Г — разомкнутая гладкая кривая, и t — ее внутренняя точка;

2) кривая Г начинается в точке 0, а ее касательная в этой точке направлена вдоль положительного луча вещественной оси;

3) при обходе кривой Г ее касательная поворачивается на угол, меньший 7г/4. Можно представить такую кривую в виде

Г = {(х, : х е [0,1], у = ЗГ(аг)}, 69 где Y(x) — дифференцируемая вещественная функция, У(0) = О, Г(0) = О, \Y'(x)\ <к< 1, О < ж < 1.

Следующие результаты являются основными.

Семейство функций Ф/Дя, £) строим следующим образом. Учитывая (6.1) и заменяя т = х + iY(x), 0 < х < 1, t = £ + гУ(£), 0 < £ < 1, в формуле (6.2) д фМ = 1 Г f^dT J Г f^dT = Л W 2ттг Уг т - (£ -b hv) 2ттг Jr т - (t - hv) 1 ri f(r)T'(x)dx ~hw~iJo (r{x)-t)2(hv)-2 - 1' получим представление симметрической разности в виде 1

АьФМ = J 0/(® Но где

ФЛ(Х о =(1 + ^мхм-1 (б 8)

М'т([х - £ + i{Y{x) - У(0]2(И"2 - 1)' Лемма 6.1 Семейство функций (6.8) является ядром.

Доказательство. Фиксируем 0 < «i < аг < 1. Учитывая (6.8) и делая замену z = [х — £ + i{Y{x) — в интеграле (6.5), получим ^ , 1 ? dz 1 , z-lZ2 . ч qj z\ где Zj(h) = [aj - e + - i = 1,2.

Обозначим Wj(h) = -7. Дробно-линейная функция w = -—

3K ' Zj(h) +1 z + l отображает плоскость с разрезом вдоль отрезка [—1,1] на плоскость с разрезом вдоль отрицательной вещественной полуоси. Обозначив через a,j = ocj — f, bj = Y{ctj) — Y(£),j = 1,2 получим

Wj(h)=«ф,(Л»==ехргв

Тогда т* /ix сё+Щ-h2

R ewj(h)= 3 3 aj + h cos в)2 + (bj + h sin в)21 * \ Л. a7- sin 0 — 6,- cos 9 lmwj(h) = -2h- 3 3 dj -b h cos 0)2 + (bj + h sin в)2' j = 1,2. Очевидно, что при h —>■ 0 имеем Rem, (Л) 1, Imw^/i) —>■ 0.

Тогда |wj(/i)| = yjReWj(h)2 + ЬпгиДА)2 —>■ 1. Следовательно, In jjJJ- —>

О при h 0. arg^i(/i) —7Г, a,ig w2(h) —>• 7r при Л- —>• 0 ,т.е. разность argw2(A) — argw\(h) —У 2тг. Тогда га 2 lim / ФЛ(х, £)<*& =

Л-»0+ yai -i-: lim [In \w2(h)/wi(h)\ + i(aigw2(h) - arg = 1.

Z7TI ft—>0+

Лемма 6.1 доказана.

Теперь найдем горбатую мажоранту Фл(аг, £) ядра Фд(:с,£). Очевидно, что (1-h А:2)1/2, где |У(а;)| <^<1,0<аг<1. Рассмотрим ядро (6.8)

1 + iY'(x)

- ht/ni^x + ^у(х) - Y(e))\2(hv)-2 - 1)' ( }

Обозначив а = х — b = Y(x) — У(£), запишем ядро в виде

7гг (а + гб)^^2 71

Оценим сверху модуль ядра. Очевидно, что |1 + iY'{x)\ < (1 + к2)1'2 < \/2, \v\ = | ехр(г'0)| = 1. По формуле Лагранжа существует х € такое, что Ь = Y(x)—= Y'(x)(x—£) = ка, где к = Y'{x). Введем обозначения: z\ = (а + ib)2h~2, Z2 = v2 и рассмотрим квадрат модуля знаменателя ядра \zi — Z2I2 = \zi\2 + \z2\2 — 2|zi||z2| cos<£> = (a2 + b2)2h~4 + 1 + 2(a2 + b2)h~2{- cos cp) > (a2 + b2)2h~* + 1 - 2(a2 + b2)h~2^ = [{a2+b2)2h~2 — -bl/2 = [h-2{x-Q2{l+k2)-±]2 + l/2 [h~2(x — i)2 — + 1/2. Следовательно, л/2 h~l

7Г ([h-2(x02^]2 + l/2)l/2

Обозначим правую часть последнего неравенства через

Фл(*,е)| (6.12)

Лемма 6.2. Функция Ф^гт, £) является горбатой мажорантой функции и удовлетворяет условию (6.6).

Доказательство. Очевидно, что функция Ф/Дх, £) удовлетворяет всем условиям определения 6.4. Действительно:

1) |ФА(аг,0|<Фл(а:,0,

2)Ф/1(х, при фиксированном £ возрастает на [0, х] и убывает на [х, 1]. Сделав замену и = h~l(x — £) в интеграле (6.6), получим Фл(х, fld* = ^ J——^—— < u1 yfl d < -1 1/Л+ФУ" < +0°' (6ЛЗ) где ui = — u2 = Д1(1 — £), зависят только от £ при каждом фиксированном Д. Таким образом, условие (6.6) выполнено, т.к. несобственный интеграл сходится по известному признаку сходимости.

Докажем сначала теорему 6.3. Пусть f(t) = /(£+гК(£)) непрерывна в точке £ 6 (0,1). Чтобы доказать существование Ишд^о Д/гФ(Ои равенство его значений функции f(t) в каждой точке t € Г, рассмотрим разность гь — ДьФ(£) — f(t),t = f + Е Г. Учитывая, что сингулярный интеграл /0г Ф/Дгг, £)f(x)dx, где Фл(х,£) — ядро в смысле определения (6.3) , запишем разность тн = ДлФ(0 - /(*) = ДЛФ(«) - /(f) [1 ФА(х,ОЛ: = о Г *h(x,£)(f(x + iY(x) -/K + »r(0)cfa. Jo

Покажем, что —»• 0 при h —> 0. По определению непрерывности функции /(t) = /(£ + iV(O) точке t = £ + имеем: для любого > 0 существует J > 0 такое, что при \х — f | < 5 будет

Считая, что 0<ж — <5<а: + 5<1, разобьем интервал (0,1) на три интервала (0,х — 5), (х — 5, х Ч- 5) и (х -Ь 6,1), соответственно введем обозначения = rj^ + rj^ + г^К В силу (6.12) и (6.13) имеем

И>2)| < Г+б |ФЦх,ОП/(х + iY(x)) - /(£ + iY(0)\dx <

Jx—5 мажоранта ядра. Далее, учитывая (6.12) и (6.11), при \х — £ > <5|, получим при h « 5 01 < *»(х,€) = < уДh 7г ([(£2 - h2/V2)}2 + ^2/2)1/2 •

Тогда

J о ~ J*~S I f{x + iY{x)) - /(£ 4- <r(0)|cte < Ml W, где A\{h) не зависит от h. Аналогично доказывается, что r^ < hA2(5), где А2{8) не зависит от h. При достаточно малом h « 5 можно сделать h(Ai(5) + А2(5)) < 2е, т.е. г^ + г£3) < 2е. Итак, \rh\ < Зг, т.е. ть —> 0 при h —У 0. Теорема 6.3 доказана.

Докажем теперь теорему 6.4. Простые вычисления показывают, что если t — точка Лебега функции f,TOX = Ret — точка Лебега функции g(x) = f(x-hiY(x)). В силу леммы 6.2 ядро Фь(х,£) имеет горбатую мажоранту, удовлетворяющую условиям теоремы Д. К. Фаддеева. Следовательно, соотношение (6.7) справедливо и теорема 6.4 доказана.

Если функция / непрерывна на гладкой кривой Г, то каждая точка кривой, за исключением концов, является ее точкой Лебега. Отсюда следует справедливость теоремы 6.3.

Следствие 6.1. Если функция f(t) непрерывна и в какой-то точке t 6 Г существует предельное значение по нормали к кривой Г интеграла типа Коши (6.1) с одной стороны, то существует предельное значение его по нормали к кривой и с другой стороны.

Имеет место и более сильный результат, когда функция f(t) интегрируема.

Следствие 6.2. Если функция д(х) интегрируема на кривой Г ив некоторой лебеговой точке х = £ функции д(х) существует предельное значение по нормали к кривой Г интеграла типа Коши (6.1) с одной стороны, например, то и с другой стороны существует предельное значение Ф~(t) по нормали к кривой Г.

Отметим, что в книге [11] предлагается задача, близкая по формулировке теоремы 6.3, однако доказательство этого утверждения там не приводится. Что же касается теоремы 6.4, то она, насколько известно является новым результатом.

ГЛАВА II

1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

2. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. М: Физматгиз, 1962. - 600с.

3. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. Москва-Ленинград, ГИТТЛ. 1950.

4. Давыдов Н.А. Некоторые вопросы теории граничных значений аналитических функций. Дисс.канд. физ.-мат. наук, Московский университет, 1949.

5. Дынькин Е,М. Гладкость интеграла типа Коши// Записки научи. семин. ЛОМИ АН СССР. 1979. - Т.92. - С.15-133.

6. Салимов Т. Прямая оценка для сингулярного интеграла Коши по замкнутой кривой// Научн.-тр. MB и ССО Азерб. ССР. 1979. -No 5. - С.59-75.

7. Кац Б.А. Интегрирование по плоской фрактальной кривой, задача о скачке и обобщенные меры// Изв. вузов. Математика. 1998. -No 10.-С.53-65.

8. Селезнев В.А. Краевая задача Римана в классах жордановых границ// Метр. вопр. теории функций. Киев. - 1980. - С.125-132.

9. Кашин B.C., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Издательство АФЦ, 1999. - 550 с.

10. Кац Б.А. Задача Римана на замкнутой жордановой кривой// Изв. вузов. Математика. 1983. - No 4. - С.68-80.

11. Маркушевич А.И. Избранные главы теории аналитических функций. М.: Наука, 1976. - 192 с.

12. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения // Тр. Тбилисск. матем. ин-та АН Груз. ССР. 1957. -Т.23. - С.3-158.

13. Натансон Н.П. Теория функций вещественной переменной. -М.: Физматгиз, 1974, 2-ое изд. 480 с.

14. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. - 509 с.

15. Кац Б.А. Интеграл Стилтьеса по фрактальному контуру и некоторые его приложения// Изв. вузов. Математика. 2000. - No 10. - С.21-32.

16. Симоненко Н.Б. Краевая задача Римана с непрерывным коэффициентом// Докл. АН СССР. 1959. - Т.124. - No 2. - С.276-281.

17. Симоненко Н.Б. Краевая задача Римана для п пар функций с измеримыми коэффициентами и ее применение к исследованию сингулярных интегралов в пространстве Lp с весами// Изв.АН СССР. Сер. Матем. Т.28. - No 2. - 1964. - С.227-306.

18. В. A. Kats. The Stieltjes Integral Along Fractal Curve. Le Matematiche vol. LIV, 1999, Fasc. 1, pp. 159-173.

19. Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости.-М.: Наука. 1975. - 295 с.

20. Ахиезер Н.И. О некоторых формулах обращения сингулярных интегралов// Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1945. - Т.9 - No 4. -С.275-290.

21. Карцивадзе И.Н., Хведелидзе Б.В. Об интеграле типа Коши.// Труды/ Тбилис. матем. ин-т. АН ГССР. Т.20. - 1954. - С.211-244.

22. Фрейдкин С.А. Дальнейшее исследование задач сопряжения и сингулярных интегральных уравнений в случае счетного множества замкнутых контуров// Уч. зап./ Кишинев, ун-т. 1967. - Т.91.

23. Пааташвилли В.А. Однородная разрывная задача линейного сопряжения в случае счетно-связной области// Труды Тбилисск. матем. ин-т АН ГССР. 1986. - Т.82. - С.127-141.

24. Айзенштат А.В. О задачах Римана и Газемана на счетном множестве контуров// Докл. АН СССР. 1975. - Т.216. - No 1. - СЛЗ-17.

25. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1977. -303 с.

26. Чибрикова Л.И., Салехова И.Г. Задача Римана в случае счетного множества контуров// Труды семин. по краев, зад./ Каз. ун-т. -1972. Вып.9. - С.216-233.

27. Чибрикова Л.И. О некоторых кусочно-голоморфных функциях со счетным множеством особых контуров// Изв.вузов. Математика. -1974. No 5. - С.198-204.

28. Кулагина М.Ф. О разрешимости неоднородной задачи Римана в случае счетного множества контуров// Изв. вузов. Математика. -1977. С. 131-134.

29. Салехова И.Г. Однородная задача Римана в случае счетного можества разомкнутых дуг// Изв. вузов. Математика. 1975. - No 6. - С.124-135.

30. Кац Б.А. Задача Римана на разомкнутой жордановой кривой// Изв.вузов. Математика. 1983. - No 4. - С.30-38.

31. Бренерман М.Х., Кац В.А. Оценка нормы сингулярного интеграла и ее применение в некоторых краевых задачах// Изв. вузов. Математика. 1985. - No 1. - С.8-16.

32. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир. - 1973. -342 с.

33. Долженко Е.П. О "стирании"особенностей аналитических функций// УМН. 1963. - Т. 18. - Вып.4. - С.135-142.

34. Кац Б. А. Об интеграле типа Коши и задаче Римана на счетном множестве замкнутых кривых// Изв. вузов. Математика. 1985. -No 3. - С.20-29.

35. Кац Б.А., Миронова С.Р. О краевой задаче Римана на счетном множестве с коэффициентами, допускающими степенные особенности// Изв. вузов. Математика. 1986. - No 11. - С.71-74.

36. R. Lesniewicz, W. Orlitz. On generalized variation II. Studia Mathemati XLV, 1973, Fasc. 1, pp. 71-109.

37. Кац Б.А. Интеграл Стилтьеса по фрактальному контуру и некоторые его приложения// Изв. вузов.Математика. 2000. - No 10.- С.21-32.

38. Кац Б.А. Задача о скачке и интеграл на неспрямляемой кривой// Изв. вузов. Математика. 1987. - No 5. - С.49-67.

39. Кац Б.А. Об интеграле типа Коши и задаче Римана на счетном множестве замкнутых кривых.// Изв.вузов. Математика. 1985.- No 3. С.20-29.

40. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функциональный анализ. М.: Наука. - 1981. - 544 с.

41. Квеселава Д.А. Граничная задача Гильберта и сингулярные интегральные уравнения в случае пересекающихся контуров// Тр. Матем. ин-та АН Груз.ССР. Тбилиси, 1949. - Т. 17. - С.1-27.

42. Куперадзе В.Д. Некоторые новые замечания к теории сингулярных интегральных уравнений.// Тр. Тбилисск. ун-та. 1951. -Т.42. - С. 1-23.

43. Гегелия Т.Г. О некоторых сингулярных интегральных уравнениях частного вида// Сообщ. АН Груз.ССР. 1952. - Т.13. - No 10. -С.581-586.

44. Миронова С.Р. Сингулярные интегральные уравнения на неспрямляемой кривой// Изв.вузов. Математика. 1993. - No 8. - С.40-48.

45. Миронова С.Р. Сингулярные интегральные уравнения на счетном множестве замкнутых неспрямляемых кривых// Изв.вузов. Математика. 1998. - No 5. - С.43-49.

46. Кац Б.А., Погодина А.Ю. О граничных значениях интеграла типа Коши на негладкой кривой// Изв. вузов. Математика. 2002. -No 3. - С.15-21.

47. Кац Б.А., Погодина А.Ю. Непрерывность интеграла типа Коши на негладкой кривой// Актуальные проблемы математики и механики. Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань. - 2000. - Т.5. - С.104-105.

48. Погодина А.Ю. Непрерывность интеграла типа Коши на одном классе негладких контуров// Теория функций и ее приложения и смежные вопросы. Материалы школы конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д. Ф. Егорова.-Казань, 1999. С.176-177.

49. Погодина А.Ю. Свойства интеграла типа Коши по негладкой кривой, имеющей обобщенную касательную// Теория функций и ее приложения и смежные вопросы. Материалы школы конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова.-Казань, 1999. С.177-178.

50. Погодина А.Ю. Об оценке интеграла типа Коши// Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы, посвященнной памяти выдающихся профессоров МГУ Н.К. Бари и Д.Е. Меньшова. Саратов. - 2002. -С.153-154.

51. Погодина А.Ю. О пределе симметрической разности интеграла типа Коши// Изв. вузов. Математика. 2004. - No 2. - С.80-83.

52. Погодина А.Ю. Граничные значения интеграла типа Коши на негладкой и неспрямляемой кривой и функции Фабера-Шаудера// Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж. - 2003.- С.182-183.

53. Погодина А.Ю. О краевой задаче Римана на замкнутой неспрямляемой кривой// Современные проблемы теории функций и их приложения. Материалы Саратовской зимней математической школы. -Саратов. 2004. - С.141-142.