Краевая задача Римана на фрактальных и других негладких контурах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

(25 г, 5 3 %

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ФТО'ПСО—ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕЯТЕРАТУР

На правах рукописи КАЦ Б0П!С АЛЕКСАНДРОВИЧ

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Н1МАНА НА ФРАКТАЛЫ ИХ И ДРУГИХ НЕГЛАДКИХ К01ГГУРАХ 01.01.01. - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Х.фМСО!: 1991

Работа выполнена в Казанском инженерно-строительном институте

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Э.И.Зперович

доктор физико-математических наук, профессор Г.С.Литвинчук

доктор физико-математических наук, профессор Н.Е.Симонепко

Веду.цая организация Московский Госуда^ютвенный Университет

им.М.В.Ломоносова

Зацита состоится 8 июня 1992 г. на заседании специализированного совета Д.016.27.02 в Физико-техническом институте низких температур АН Украины, г.Харьков, просп.Ленина, 47

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико-технического института низких температур

АН Украины

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализиропаш юго со ьета, доктор физико-математических наук,

профессор В. А ,Ткач(:ико

; ОЕЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Краевая задача Римана является одной из важнейших краевых задач теории голоморфных функций. Она возникает как модельная задача в механике сплошных сред, электродинамике.теории массового обслуживания и других прикладных дисциплинах. В то не время методы и результаты теории задачи;Римана успешно применяются при исследовании многих классических проблем анализа.

Постановка краевой задачи Римана такова.' Пусть Г есть ориентированный контур на комплексной плоскости С . Отыскн- -ваится голоморфные в <С \ Г функции ФСг) < , имеющие при приближении к точкам ± контура Г слева и спрапа предельные значения ЯР*^) и Ф^О , связанные соотношением

здесь С и ^ - заданные на Г функции. Систематическое исследование этой задачи было начато Ф.Д. Гаховым и Н.И.Мус-хелишвили. 0/(н не только получили фундаментальные результаты, но и основали математические школы, далеко продвинувшие данную проблематику. Число работ на эту тему, опубликованных к настоящему времени, чрезвычайно велико. Задача Римана (I) исследуется в них при самых различных предположениях о коэффициентах <1 , и контуре Г. Однако во всех этих работах за небольшим исключением контур Г предполагался гладким,кусочно-гладким или спрямляемым, хотя постановка задачи Римана имеет смысл для любой системы ориентированных кривых. Такие ограничения были обусловлены с одной стороны методом исследования, основанном на использовании интеграла типа Копти по контуру Г, а с другой - ориентацией на приложения. (Го за последние годы изменились представления о характере кривых и поверхностей, встречающихся в прикладных задачах. Выяснилось, что во многих ситуациях адекватной математической моделью границ реальных тел является не гладкие или кусочно-гладкие кривые и поверхности, а фрактали - объекты дробной метричее-

кой размерности. Все аргумента, предьявляемыз обычно в поль эу этой точки зрения ( см.,иалр. Handci btot B.B. The Fractal aeowttiixy 'of Na tu*« . -_ 6aiv Ftondisto, t'wcwen - 1932 ), сохраняют си-

лу и в отношении кривых, фигурируют^ и традиционных приложениях задачи Римана. Выяснилось также, что необходимость р шения краевой задачи Рима;iа на различных негладких контурах естествешо возникает при исследовании ряда проблем теории функций ( см.,напр.: Любарский Ю.И.Свойства систем линейных комбинаций степени.// Алгебра и анализ. - 1989. - т.1, вып.: - с.1-70, а также: 'йзенштат A.B., Карлович Ю.И., Литвкнчук P.C. Об одной теореме конформного склеивания и её прилотени (ix. // Докл.расш.заседание семин.Ин-та иринл.ыат.им. И.II.Be куа. - 19Б8. - т.З, № I. - с.9-12 ). Эти обстоятельства bmöi те с естественным желанием свести к минимуму ограничения на контур делают актуальной проблему исследования краевой задачи Римана на неспрямляемых контурах и в том числе на контур; фрактальных. Метод решения этой задачи не может опираться hi использование интеграла типа Коши по контуру Р и, следова -тельно, должен коронным обозом отличаться от существующих методов.

Целью данной работы является построение такого метода, исследование с его помощью задачи Римана на нсспрямляемтхх контурах разли-шых типов и выяснение характера зависимости картины разрешимости этой задачи от фрактальной размерности контура и других его характеристик.

Прежде, чем переходить к описанию этого метода, приведём несколько замечаний, обрисовипаичих положение данной ра боты относительно об'^ей линии разлития этой отрасли математики.

Первоначальные успехи в исследовании зяцачи Рим ма i.u-ли достигнуты п предположении, что контур Г проставляет г.< бой конечное число гладких или кусочно-гладких кривых, а ко: фициенты G и ^ непрерывны и удовлетворит' уилоннм P»jii дера С см.: Ф.Д.Гахов. Краевые задачи. - '.!.: Наука. - 1977.

620 с. Н.И.Мусхэлиивили, Сингулярные интегральные уравнения. - П.: Наука. - 1958. - 511 с. 1. Последующее развитие во мигом было связано со стремлением расширить классы рассматриваемых контуров и коэффициентов. По-видимому, сначала возник интер.с к максимально возмокиому расширения классов коэффициентов. Больиие достижения в стон направлении были полутоны Б.В.Х^эдолндэе, П.Ф.Маддтавидзе, 3.В.Ивановом, И.И.Данилюком, И.Б.Скмокенко, Н.В.Говоровы?!, И.Ц.Гохберго?!, H.H.Крупником, B.C.Владимировым ( характеристику работ большинства упомянутых авторов, а такяэ многих других, иожно найти в обзеро Б.З.Хве-делидзе "Метод интегралов типа Ко-ц в разрывных гранимых задачах теории голоморфных функций одной комплексной переменней. Итог:? науки и техники. Совр.проблемы математики Ii.,-1975 -т.7 - с.5-162 ). Работы этих апторов, их учеников и последователей позеолягу? довольно чётко пр-здетавлпть ту грань е расширении класса коэффициентов, за которой картина разрешимое -ти зада-га коренным образом и-зняотся, а такгго характер этих на-ме^еннй.

задачи статат гзррд г.обо» второе напрдогэппс развития атоЯ теории - расширение клясеа кентур^п. Пепксна -•гхпь:;у'Л пгбпр ограничений на ксктур сил обуг.топлзн nrswiKjin»-см кнтегр^а типа Кепи по эточу контуру и форг^ул Сохсцкегг»--Пл?и?ли. Поэтому прогресс в рассагрэнки клгсссс контуров o6irr-:o сводя с получением или пулилачекн';:.? ногчх рэзулы.лос об ¡стзгрп.-е 'гиг.г. Kor«, Те:аяг путем било показано, что в случае замкнутой кривой классичоскгл карггс-.а раэротиксстя задачи ?«-пена сохранится при переходе от кусочно-гладких контуров к некотором болез с&шрлич ед&сс&м спрлмдяе-5.г!2с кривых. Ваяниг результат'.-: в зтом направлении бита полутени И.II. Дан и.таком, Г).М. Кокилашйиди, В.А.Ояагаашшц А.А.Бкбаггзд, З.З.Салаесыг-ч 0.£. Герусок. Однако потеря гладкости ралоикнугам контуром гоя&т сильно менять картину раэрззимоати. Вероятно, первым ято заметил Н.В.Говоров. Для различных кягссов р'ззг-ккиутцх негладких спр»!ляе?лгх криЕнх (г, т-гхк-я кпизчх, спрп>*лрем-к вне любой окрестности одноР особой точ/и ) ото .-тление изучали

Р.К»Сейфулдаев, Е.А.Данилов, Т.А.Запускалова, а также автор данной диссертации"; все эти работы также основывались на изучении соответствующих иитегралов типа Коши.

В 60-70 годы большой размах получили исследования задачи Римана на счетных множествах кривых. Здесь также идет речь о расширении, классов контуров, и в этом смысле данные исследования можно считать родственными с только что упомянутыми. Основным инструментом исследования задачи Рймала на таких контурах служили ряди из интегралов тина Коши, а также различные регуляризации таких рядов ( см.Л.И.Чибрикова. Основные краевые задачи для аналитических функций. - Казань. - 1977 -303 с. ). Все кривые предполагались спрямляемыми.

Существует несколько работ по задаче Римана в классах кривых, содегкащих существенно неспрямлясмне контуры, однако число этих работ весьма невелико. Сюда можно отнести работы по задаче Римана на квазиконформных кривых (квазиокружностях). На такое использование теории квазиконформных отображений указывали С.Н.Антонцев и В.II. Монахов ( см.В.II.Монахов. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. - Новосибирск. Наука. - 1977. - 420 с. К Краевую задачу Римана на квазиконформных кривых исследовали В.А.Селезнев С Краевая задача Газемана на римановых поверхностях в клас -сах квазиконформных контуров и сдвигов.// Динамика сплошной среды, Новосибирск. - 1973. - вып.13 - с.99 - 115. Линейные сингулярные уравнения на квазиконформных контурах и задача линейного сопряжения для голоморфного вектора на замкнутых римановых • оорхиостях // "Вопр.метричл чрии отобр.Материалы 5-го колски..Донецк, 1976. "Киев - Т978- с.125-135 ) и И.М.Бат-чаев С Об аналоге формулы Сохоцкого-/7л1?меля в оьластях с квазиконформной границей // "Труды межд.конф.по приближ.функций, Киев, 31.05.-5.06.1983 ". М..Наука - 19В7 - с.436. Наконец, В.А.Селезнев в работе " Краевая задача Римсла в класса жорда-новых кривых " ( в кн."Метрич.вопр.теор.функций и отобр." Киев. - 1900 - с.125-132 ) заметил, что формула Гюролн-Помпейю может служить определением интеграла типа Коши по ппмкнутой

неспрямляемой кривой Г, если плотность этого интеграла является сужением на Г функций соболевского класса т.е. функций, первые производные которых интегрируемы на С в степени р . На этой основе он построил решение задачи Ри-мана на неспршлязмой замкнутой кривой с коэффициентами, представллзгщгали собою следы соболевских функций на этой кривой. По-видкмому, это первый результат по задаче Римана на контуре, который не является, вообще гоЕоря, ни спрямляемым, ни кваэи-конфорлшм.

Метод решения задачи Римана, предложенный автором насто-ятцой работы, можно назвать методом регуляризации квазирешений. Он состоит из двух этапов. Вначале ищутся все непрерывные С но, вообще говоря, не голоморфные ) функции ф на <£. ^ Г, предельные значения которых на Г связаны соотношением С1К Следуя сло;гивч'ейся в смежных областях анализа традиции, назовем эти функции квазкрезениями задачи (I).' Затем среди них ищутся функции, голоморфные в С \ Г Тем см ¡г.! исследование краевой задачи Р^гла сводится к решению & - проблемы в

специальном классе функций.

Так, если ( ^г ) есть какое-либо квазирешение задачи о скачке

- = * ш. ± * Г,

т.е. непрерывная в 'С \ Г функция со скачком на Г,

то любое другое квазкрешение этой задачи !!т.:еет вид г ) -»-+ лу" ( ), где у ^ 2 !> - непрерывная в <С функция. Сумма ^ + ту" голоморфна в С Ч Г , если 3 /Э г + - О . Поэтому решение задачи (2) имеет вид

конечно, мы должны ещо убедиться, что эта формула корректна и что её интегральное слагаемое есть непрорывная в С функция. Аналогично, общее квазирешениз задачи (I) имеет вид ^ ( с? )--*?(*)+ ), где _ произвольная

(2)

непрерывная в £ функция, «g - частное квазирешение задачи CI), а £ частное квазирешение соответствующей однородной задачи С т.е. задачи CI) с )в0 ).

Решениями задачи_ (I) являются функции указанного ввда, удовлетворяющие в С\Г уравнению • ЭЯР/QS «• О . Это позволяет получить для решений задачи СП формулу

= о(«> - их-Ч«1* • , (4)

» 2я» oí t - й >

где

Формулы (3),(4),(5) не содержат контурных интегралов, поэтому они могут использоваться для неспрямляемых контуров. Однако этот метод оказался полезным и при исследовании задачи Римана на негладких спрямляемых кривых.

К основным новыл результатам данной работы можно отнести следующие.

1. Построен метод регуляризации квазирешений краевой задачи Римана, позволяющий исследовать эту задачу на контурах весьма общего вида, в том числе на замкнутых и разомкнутых неспрямлагмых и фрактальных кривых.

2. Получено неулучшаемое условие разрешимости задачи о скачке на замкнутой неспрямляемой кривой в терминах верхней метрической размерности этой кривой. На этой основе изучена картина разрешимости задачи Римана на замкнутой неспрямляемой кривой с коэффициентами, удовлетворяющими на этой кривой условию Гёльдера.

3. Исследована краевая задача Римана на негладких, и том числе неспрямляемых разомкнутых кривых. Получены условия, при которых пространство решений становится бесконечномерным, а также условия, при которых картина разрешимости задачи con-

падает с классической. В частности, получено необходимое и достаточное условие на спрямляемую кривую, при выполнении которого любая однородная задача Римана на этой кривой с гёльдеровским не обращающимся в нуль коэффициентом тлеет классическую картину разрешимости.

4., Исследована краевая задача Римана в полунепрерывной постановке, т.е. в постановке, предполагающей появление у ре-пения особенностей предписанного характера в конечном числе точек контура. Получено неулучшаемое условие разрешимости задачи о скачке в такой постановке в терминах верхней метрической размерности. Построены решения задачи Римана на замкнутой не-спрямляемой кривой с коэффициента?™, допускающими разрывы различных типов.

5. Исследована краевая задача Римана на счетных множествах негладких и песпрямляемых кривых. Установлены связи между задачей Р/мана на счетном »множестве замкнутых кривых и задачей Римана на негладкой разомкнутой кривой, позволяющие построить решения задачи Римана в классе контуров " с сильным закручиванием " , не охватываемом предыдущей теорией.

Осносны-з результаты диссертации докладывались на семинарах академика З.С.Владимирова, нроф.Б.В.Иабата, проф. Е.П.Долженко, проф.Ю.А.Казьмина, проф.С.Я.Хавинсона С Москва), академика ЛИ РССР Б.З.Хведелидзе (Тбилиси), проф.И.Б.Симонен-ко (Ростов-на-Дону), проф.Б.Я.Левина и члена -корреспондента АН "ССР И.В.Островского (У пьков), проф.Г.С.Литвинчука (Одесса), проф.В.И.Монахова (Новосибирск ), проф.И.А.Александрова (Томск ), а также на Воронежской зимней математической школз (1979), Краснодарской (1982), Сухумской (1986) и Донецкой (1987 ) школах-конференциях. Кроме того, по теме диссертации автор неоднократно выступал на Казанских семинарах по краевым задачам ( руководитель проф.Л.И.Чибрикова ) и по теории функпнй ( руководитель проф.Л.А.Аксентьев ).

Список основных публикаций по теме диссертации приведен в кот« аегорефората. Из совместных работ [16] , [17] , [20} в диссертацию включены только результаты, принадлежащие авто-

ру. Некоторые результаты диссертации приведены в §3 обзора Ф.Г.Авхадиева, Л.А.Аксентьева и А.М.Елизарова " Достаточные условия конечнолистности аналитически" функций и их приложения. Математический анализ, т.25 " (Итоги науки и техн. АН СССР ) М., 1987, с.3-120.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух дополнений и списка литературы. Общий объем работы составляет 310 страниц машинописного текста, из них основная часть занимает 299 страниц. Библиография - 101 наименований.

0

содатаниЕ работы

Введение к диссертации содержит краткие исторические сведения по её теме, изложение причин и целей проводимых, в ней исследований и перечисление основных положений работы. В нем также вводятся некоторые понятия и обозначения, используемые на протяжении всего последующего изложения.

Первая глава диссертации посвящена исследованию краевой задачи Римана на контуре Г, представляющем собою одну замкнутую жорданову кривую. Глава состоит из трех основных парагра-фйв и краткого введения.

Если простаг жорданова кривая Г разбивает комплексную плоскость С на конечную область Т>* и содержащую «о область , то одним из квазирешений задач (I) и (2> является функция (*) , равная произведению харакгеристич:ской функции %(*) области В* . на продолжение функции <> ( соответственно, ? 1 с кривой Г в плоскость С . Если функции -Г и ^ удовлетворяют на кривой Г условию Гель-дера с показателем V С класс таких функций всюду ниже обозначается Ну(П ) , то в качестве таких продолжен. мы можем использовать продолжения Уитни ( см.,напр.Стойн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. -М.: Мир. - 1973 - 342 с. ). Продолжение Уитни непрерывной функции -Р М мы будем обозначать Т" ""СО .

Чтобы воспользоваться формулами (3)-(5), необходимо еыяснить, в каких степенях интегрируема производная Э-f**/Э 'Z. Этот вопрос обсуждается в § I.I. Выяснилось, что степень интегрируемости этой производной можно оценить в терминах так называемой верхней метрической размерности контура Г.

Определение. Пусть т.А есть число пересекающих множество Г квадратов вида

{•* = « ♦¡.у : nt « «,, + 1, Z\ <■ rt2 +1

где taL и п.2 - целые числа. Предел dm Г = îint tccj а m.^ / Vc

называется верхней метрической размерностью Г.

Это определение эквивалентно приведенному в работе А.Н. Колмогорова и B.ÎÎ. Тихомирова " g - 'энтропия и емкость множества в функциональных пространствах " (Успехи мат.наук. - 1959 - т.14, $ 2 - с.3-86 ). Отметим ещё, что в сопременных физических работах эту размерность часто называют фрактальной. Для плоской кривой Г величина dm Г заключена между I и 2; если Г - спрямляемая кривая, то dm Г = I. Кроме того, верхняя метрическая размерность любого множества не меньше его хаусдорфовой размерности.

Основной результат первой главы заключен в следующих цнух теоремах из § 1.2.

Теорема I. Лусть f tH„Cr} и выполнено хотя бы о.цно из двух условий: •

a) v >■ dm Г/2 • Сб)

» = I и плоская мора Г ранн.ч нулн» . ('/1

Тогда задача о скачке (2) имеет решение. Одно и.) ропк uni) цаетеп формулой (3) при =

Теорема ?.. Для любой нары чисел л. , v , удовлетворяющих неравенстъам 0-cv««./2< 1, найдутся такая замкнутая кривая Г и такая заданная на ней функция f , >|м

dm Г = л , f а у С Г), а задача о скачке (I) не имеет решений.

Таким образом, неравенство (6) является неулучшаемым условием разрешимости задачи -о скачке на замкнутой кривой.

На неспрямляемой кривой возникает вопрос о единственности решения задачи о скачке, так как неспрямляемая кривая не является, вообще говоря, устранимым множеством в классе функций, непрерывных на этой кривой и голоморфных в её окрестности. Для решения этого вопроса используется теорема Е.П.Долженко С см.Долженко Е.П. О " стирании" особенностей аналитических функций . //Успехи мат.наук. - 1963. -т.18, № 4. - с.135 142 ). Обозначим через H^CVjlT) множество всех голоморфных в С\Г функций, удовлетворяющих условию Гёльдера с показателе« в области и в любой Х>~ - окрестности кривой Г. Следующая теорема из § I. дает условие однозначной разрешимости задачи о скачке в клас се

Теорема 3. Пусть выполнено одно из

условий (б), (7) и условие

<*т.нГ- 1« ja^Cdiw. Г, С8)

где dm.H Г - размерность Хаусдорфа кривой Г, а (ct, v>

, ete Z , V в 1.

Тогда определенная по фор^ле (3^ с = X функция

является единственным решением задачи (2) в классе Н^ОЬ*, Ю с точностью до аддитивной постоянной;

В третьем параграфе главы I эти результаты применяются для исследования задачи Римана (I) на замкнутой неспрямляемс кривой. Приведем заключительную теорему этого параграфа.

Теорема 1.3.2. Пусть в задаче I коэффициенты й к ^ принадлежат Н у (Г', (I ( Л. ) не обращается в нуль, а чио.

V, /«,*-<Ь*Г , а«.иГ удовлетворяют условиям (6) или (7) и (8). Если £и.<1г<х = к ( здесь 1пага есть по-

деленное на 2 * приращение сп^ & при однократном положительном обходе Г ), то справедливы следующие утверждения,

I. При к = -I решение задачи (I) в классе Н^СО^ТГ) единственно и дается формулой

<?>(*> - *«>,-<« - Шя • ^ •

где

X(z) =

^ Ш (.1 - *(х(1:) 9 zo- внутренняя точка

области "В*

2. При к > 0 общее решение (I) в этом классе есть

Ф-Ф.+ ХР*.

где Рк - произвольный многсчлен степени не выше к.

3. При к < -I задача (I) разрешима в классе Ну,(Т>*;Ь~) лишь при выполнения уелоиий

единственным решением задачи в этом случае является та же. функция Фа(г).

Отметим, что при нарушении условия v> <*/2 задача мокет не иметь решений, а при нарушении условия jit >с|»пнГ-1 цокот иметь бесконечномерное семейство решений независимо от значения к .

Вторая глава работы ¡.освящена краевой задаче Римана на разомкнутой кривой Г. Как обычно, не требуется выполнения краевого условия (I) в начальной точке а4 кривой Г и в её конечной точке схй . Взамен этого в точках о.4 , о. х налагаются условия на рост искомой функции С •х. ). Чаще всего в этой главе используется условие "3 :

Ф(х>- оси-о.; г «Г), ¿«1,2, (9)

Кроме того, неспрямляемость Г заставляет искать функцию *Р в классе Н^(Г) функций, удовлетворяющих условию Гёльдера с показателем р*- в С- - полуокрестностях внутренних точек кривой Г.

Глава П состоит из краткого введения и 4 параграфов.

5 2.1. посвящен замыкаемым кривым. Кривая Г называется замыкаемой, если её концы , а.^ можно соединить гладкой дугой Г' так, чтобы она не имела других общих точек с Г. Основная теорема этого параграфа - теорема 2.1.2. - показывает, что картина разрешимости задачи Римана на замыкаемой кривой совпадает с классической с теми же оговорками., относительно размерностей , что и на замкнутой кривой.

Остальные три параграфа главы посвящены кривым, которые не являются, вообще говоря, замыкаемыми. В § 2.2 исследуется квазирешения задачи (2) вида , су (х) = 8гр (.*) "3.) , где

*сгСО = (гзг^-1-(10)

2 - <4

и их регуляризации. Здесь однозначная ветвь логарифма выделяется посредством разреза по кривой Г и условия к.г (со } = О а продолжение имеет компактный носитель. Выяснилось,

что удовлетворяющие условию 3 решения задачи о скачке существуют лишь в случае, когда логарифмическое ядро кг удовлетворяет некоторым ограничениям роста в точках с»., и .

Теорема 2.2.1. Пусть разомкнутая кривая Г удовлетворяет условию

ООх-а-гМ, СШ

а Т £ ну (г) ' И ЕЫП0Л!2Н0 одно из условий (6),(г к Если А. < I, то задача о скачке (2) имеет решение, удовлетворяющее условию (9 ). Одно из таких решений дается форулей (3) с с£=?сг , При условии (В' это реиение является единственным с точностью до аддитивной постоянной решением этой задачи в классе 3 0Н£,(Г>.

Если же на поведение решения на концах кривой никак не регламентируется, то не возникает и никаких дополнительных ограничений на поведение ?с г.

Теорема 2.3.3. Пусть заданная на разомкнутой кривой Г функция -? (-Ь ) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем у на каждой дуге Г кривой Г, не содержащей концов Г. Если выполнена одно из условий (5), ( 7 ), то существует голоморфная в £ \ Г функция {СЗ ) со скачком ? на Г\ Аа^.а^Ь, _

Условие У>с1гяГ*/2. ' в обеих этих теоремах неулуч-шаемо.

5 2.3. посвящен однорогой задаче Римана на разомкнутой кривой.

Т е о р е м а '2.3.1. Пусть Г - разомкнутая кривая, £ принадлежит НУ(Г) и не обращается в нуль на Г, выполнено одно из условий (5 ), (7 ), а также условие С б) и условие «Ос X < V) .Обозначим ? а) =

= Яе-РСар - 1пЛ<кСа3>1 , ^ = ^

АгСх) = Ке кг(2) , = $лт ^ Ар(г)/еи.и-а.\,

и.

Д. = {кш. т.<х?с и.-А 1х-а-1

1 2-0 1*-в;|-* * •»'•

И д «

Тогда: I) если среди чисел Л , , Д, есть - «о , то задача (I) с <} ( 1: ) &0 не имеет нетривиальных решений в классе Э П Н£ (Г) ;

2) если одно из чисел 5« , равно + <*> , а второе отлично от - оо , то эта задача имеет бесконечное множество решений указанного класса;

3) если числа А* , А^ конечны, то число линейно независимых решений этой задачи в классе Э П СП равно таэеЧО, 1 -* ^ •»• К г \ , где

а 1зе£ означает наибольшее из целых чисел» строго меньших да.

Отметим, что при Д"= - во или = - «о не

существует даже голоморфных в окрестности Г нетривиальных функций класса .ЭпН^(Г) , удовлетворяющих граничному условию однородной- задачи Римана.

Введем следующее понятие. Будем говорить, что однородная задача Римана имеет классическую картину разрешимости, если она либо имеет конечномерюе ( но не сводящееся к нулю) семейство решений, либо не имеет нетривиальных решений, но существуют нетривиальные функции, голоморфные в окрестности кривой Г и удовлетворяющие граничному условию этой задачи.

Теорема 2.3.2. Цусть Г - разомкнутая спрямляемая кривая, V > 1/2. Для того чтобы однородная задача Римана на кривой Г с любым не обращающимся в нуль коэффициентом класса Ну(Г) имела классическую картину разрешимости, необходимым V ^статочным является условие

кр(аП«0(1»11*-ал.Г4). ¿-1,2. (12)

Далее в этом параграфе обсуждается случай, когда кривая Г удовлетворяет условию (II) с X > I, а коэффициент Ск дифференцируем в точках сх4 , <ха по ТеГ ору не менее Я раз. Приведем результат о такой задаче, соответствующий теоремам 3 и 4 из 5 2.3.

Т е о р е м а. Пусть Г есть разомкнутая кривая, удовлетворяющая условию (II ) с Я. ■> I, причем вблизи aj

Cfl1» - a.j Ia <5 Ar(2)< С,-1*-а,Гх4

Пусть коэффициент CU-fc ) принадлежит НУ(Г), не обращается на Г в нуль, а вблизи концов .Г допускает представления

Git)-*?' 4. ...

... (t-Qj)**Sj(t) ,

где йз«Н„<Г>,

X - iX Й (<W Г . V ■) .

Пусть наконец, выполнено одно из усяозий (6 ), (?) и условие ( 3 ). Тогда: I) если хотя бы одно из чисел Cj tn. I (i(a.j)l , j 3 1,2, положительно, то однородная задача Ркмана на контуре Г с коэффициентом (г ( "t ) не имеет нетривиальных решений класса СГПН^.(Г);

2) если одно из чисе*. Cj Ьъ I ) 1 отрицательно,

а второе неположительно, то задача имеет бесконечное множество линейно независимых решений этого класса;

3) если 1йС<»,)1 Ckíapl =1 и 6} X , j-1,2

то задача тлеет .таг&ЧО, линейно незави-

симых решений, где Xj - 1* Ivyt •

4) если \Сс (ад>1 = I <* Ca,)l » i , причем хотя бы одно из чисел Cj меньше % , но но равно Х/2, то задача не имеет решений указанного класса.

Показано также, что при CSy = Х/2 задача может иметь »«тривиальные решения.

П 5 2.4 рассматривается неоднородная задача (Л.

Теорема 2.4.2. Пусть в задаче (I) <* , С Ну < Г) , а решение ищется в классе Нр (Г) Л 3. Пусть показатели V , и размерности «!тГ,амнГ связаны условиями (б ) или (7) и (8). Пусть, наконец, на каждом из концов кривой выполняется одна из следующих групп условий:

А) I й(.а,-М I и существует конечный предел

= вгл АР С50/Ы. I 5£ -о.-* ; (13)

Б) 1€гСа|>1в 1 и выполнено условие (II) с %<^«(.¿»»^у). Положим = К« + , где -те же числа, что в теореме 2.3.1. Тогда при к = -I решение единственно, при к О общее решение задачи содержит 1+ к произвольных постоянных, а при к < -I задача разрешима при выполнении - »: -I условий.

При появляется дополнительное условие су-

ществования предела (13). Далее в § 2.4 устанавливается, что его можно заменить условием дифференцируемости по Тейлору отношения ^ / (1— й ) в точках а] не менее

КкМсОДиС €¡¿1 Аг<2- 'Cn.lSL-Ct.jl- Ьпь Аг(х)/еп1«-о:|)

раз. Показано, что при нарушении этого условия дифференцируемости задача (I) может оказаться неразрешимой несмотря на наличие нетривиальных решений у соответствующей однородной за -дачи.

Эти утверждения, как и многие другие результаты этой главы, являются новыми и для негладких спрямляемых кривых.

Исторически одним из первых обобщений в теории краевой задачи Римана был переход от требования существования непрерывных предельных значений Ф* и во всех точках контура Г к допущению у искомой функции (*) конечного числа точек разрыва ( предписанного характера ) на контуре. Такую постановку задачи Римана называют полунепрерывной. Она включает задание на контуре Г конечного множества

С Я*« _____ ^ 1:1 Г возможных точек разрыва Я?

и описание характера этих разрывов. Обшзно пользуются условием

^(а*- 6(1*-г^Г®'), л, г-у*4?)-«!.

В дг юй работе используется также близкое к нему условие

Ъ. (Е) интегрируемости ЯР в квадрате вблизи Е относительно плоской меры Лебега. Одним из первых важных результатов, полученных .ри исследовании такой постановки задачи Ркмана на кусочно-гладких кривых был следующий принцип: если коэффициенты задачи остаются Н - непрерывными, то вышеописанное расширение класса искомых функций не влечёт увеличения количества решений. Иначе говоря, на кусочно-гладкой кривой разрывы решений появляются в точках разрыва коэффициентов.

Третья глава работы посвящена исследованию задачи Римана на замкнутой неспрямляемой кривой в полунепрерывной постановке. В ней, в частности, показывается, что только что сформулированный принцип на негладких критк теряет свою справедливость, V. наследуются эффекты, связанные с нарушениями этого принципа. Глава состоит из трех параграфов и краткого введения. 5 3.1. посвящен разрывам, которые решение может иметь в точках ухудшения метрической структуры Г несмотря на II - непрерыгность коэффициентов. В случае, когда такая точка одна, результат можно ,фо]>-мулиропать следующим образом.

Теорема 1.1.1. Пусть Г есть замкнутая жорданова кривая, « Р , * Ну<гу и выполнены устовия

V - С4 - { , V г^ /2 ,

где с4 - ¿т. Г . а. ¿кг (Г\: -2^1- £ Ь)

* » г.-» о

Тогда задача о скачке

- С141»

имеет решения, интегрируемые в квадрате вблизи точки .

Теорема 3.1.2. Пусть заданы такие числа а, V что 0 < V* ос - ! < 1. Тогда существуют такие кривая Г , функция £« НV(Г) и точка 2,< Г , чтойтГ-ос,

а задача (14) на имеет решений, интегрируемых в квадрате вблизи точки . _

Таким образом, условие V »■ сАт. Г - 1 является неулуч-шаемым условием разрешимости задачи о скачке в полунепрерывной постановке.

Остальные два параграфа главы Ш поев. 1ены исследованию эффектов, возникающих в задаче Римана на негладких и неспрям-ляемых кривых в связи с появлением у её коэффициентов разрывов различных типов.

В чет' ;ртой главе обсуждаются возможности применения метода регуляризации квазиресений задачи Ркмана на счетном множестве замкнутых кривых. Если контур У состоит из замкнутых кривых 1\ , , ..., Гл ,.... ограничивающих области Е>*, О* ,...» О^,... и с1ущаязщихся к точке , то квазиреше-11иск' задачи о скачке может служить локально конечная сумма

Хп(£) где Хп - характеристическая функция

области , а - продолжение Уитни скачка £ с кри-

вой Е,.Если скачок f непрерывен на , то здесь

всюду можно использовать продолжение {" с множества 1П1, и это квазирешение приобретает вид Т. )

Если области не налегают друг на друга, то

есть характеристическая функция множества и^!)^ и по-

лученное квазирешение вполне аналогично квазирешению задачи о скачке на одной замкнутой кривой. Если области В* после-довагсльно вложены друг в друга, то сумма растет вбли

зи точки сгущения этих областей подобно тому, как функция А Р(% ) растет вблизи конца разомкнутой кривой Г. Поэтому если среди чисел 1и.<АГп<1 лишь конечное число отличных от нуля то картина разрешимости задачи Римана па счетном множестье не налегающих кримгх оказывается аналогичной случаю одной замкну той кривой, а на счетном множестве последовательно вложенных

кривых - Случаю одной разомкнутой негладкой кривой. Во всяком случае, использование метода регуляризации квазирешений позволяет исключить тако^ этап решения задачи Римана на счетном множестве кривых, как исследование рядов из интегралов типа Коши. Поэтому многие результаты, полученные этим методом, оказываются новыми и для счетных множествах спрямляемых кривых. Приведем две теоремы из этой главы.

Теорема 4.1.5. Пусть контур Г состоит из счетного числа замкнутых кривых ГЛ , я =1,2, ...., расположенных вне друг друга и сгущающихся к множеству Е, состоящему из конечного числа точек. Пусть коэффициенты 6 и удовлетворяют условию Гёльдера с показателем v на каждой из кривых Гл , причем последовательности их гёльдеровских коэффициентов на этих кривых ограниченны,

М*1« »ttctll А м , «|(t) = 0(lt-3jj~ir) р , ,

и среди чисел к„ = £п<!г (л лишь конечное число отличных от нуля. Пусть, наконец, выполнено одно из условий (б),(7), а также условие (8>. Тогда к^втина разрешимости задачи

= (к (t) -v<5 (t> , 11 Г\Е ,

в классе функций, удовлетвори ни< услов:го

2) - (*<1я-*|Г*),»л-«Е, fefm-^L

и услович Гёльдера с показателем Iй- в областях int Гл t и. = 1,2,..., и в их дополнении, определяется числом к = КЛ . Г)то значит, что при к ~з>- 0 решение содержит К ч- i произвольных постоянных, [три X =-1 единственно, а К< -I задача однозначно разрешима при выполнении - V? —1 уелоьий С ср. с теоремой 1.3.2

Теорема 4.2.0. Пусть контур Г состоит из счетного множества замкну уых кривых ГЛ , я. = 1,2,..., последова-

телько вложенных одна Енутрь другой и сгущающихся к точке то- м образом, что су*ма характеристических функций их внутренностей удовлетворяет условию

Z = Аг<а) - OCU-2,1-*), X^i.

п *

Пусть Й,с i Hv (Г) и Gi it) не обращается на Г_в

нуль. Пусть показатели X, V и размерности ct = cirri Г, • удовлетворяют неравенству t одному

из условий (б), (7) и оценке (8). Пусть, наконец, в точке сгущения кривых rt= 1,2,... выполнено одно из следу-

ющих условий:

А) iCeC^M** 1 , и существует конечный предел

££m Ar(«)/trt.l35-ajl; Б) •

Тогда картина разрешимости задачи

t) = GtCt^TO+fiit^terM^1!,

в классе функций, удовлетворяющих оценке

и условию Гёльдера с показателем ¡л в областях

1\Мг:1й-*П<е Ъ , ©jut Г, \<х ; lii-e V при любом > 0, определяется величиной 1С = 21 i»*4r Сс -s-*(4 + 13П, где ё « ftm ^ IAfCsJ/ln-lЕ-к'П ,

т.е. при Н>0 общее решение содержит к +1 произвольных постоянных, при к =-1 решение единственно, а при И < -Т задача однозначно разрешима при выполнении - к - I условий ( ср. с теоремой 2.4.2 ).

Аналогии между счетными множествами последовательно вложенных замкнутых кривых и негладкими разомкнутыми кривыми оказались плодотворными и при исследовании задачи Римана на ра-

зонкнутой кривой, удовлетворяющей условию (II) при X > I п случае, когда её коэффициенты не диффере!¡цируемы по Тейлору. Удалось показать, что картина разрешимости задачи Римапа ¡(а многих таких кривых совпадает с картиной разрешимости этой задачи на контуре, состоящем из -счетного множества концентрических округлостей и вдаодящей из'их общего центра гладкой дуги. Простые геометрические свойства этого контура позволяют строить на нем по,вдающиеся регуляризации квагшрешения в случае, когда коэффициенты задачи не дифференцируемы по Тейлору в центре окружностей, а лишь имеют там частные производные достаточно высоких порядков. Эти результаты также приведены в главе 1У.

Перпое дополнение к работе поспящрно построение обобщенного интеграла по нсспрямляемои кривой. Обсуждаются свойства этого интеграла и возможность его использования при решении краевой задачи Римана на несирямляеммх кривых.

В дополнении 2 решается краевая зздача

= а ^(»О, 0< -с< V.

здесь 6. I I есть положительное число, а Функции ищется голоморфной в ^Ч^эсеггг-О^ . Эту задачу Гикана со сдвигом удалось свести методом конформного склеивания к обычной задаче Риман" на ко:,туре, представляющем собою спираль, накручивающуюся на обоих своих концах на окружности. Затем эта задача решается методом регуляризации кваэиретеиий ,

ПУГЛтСЛЩГЛ ПО ТК.Е ДИССЕРТАЦИИ

I. Кяц Б.А. Крапая задача Римана с осциллирующим коэффициентом. //Груди семинара по краевым задачам. - Казань, 1977. - вып.И. - с. 110-120.

2. Кац Б.Л. О краевой задаче Рнчана с коэффициентом, допускающим раярыьм колебательного типа. // Докл. АН СССР. -1979. - т.244, № 3. - с.521-625,

3. Кац Б.А. О задача Римана с коэффициентом, допускающим особенность типа нуль-полюс. // Труды семинара по краевым задачам. Казань. - 1980. - вып.17. - с.09-99.

4. Кац П.А. Краевая задача Римана с коэффициентом, допуска-гощим разрывы колебательного типа. Казань, 1980. Деп. б В1ШШ 18.05.1930, Р 2441-80. с.40.

5. Кац Б.А. Об исключительном случае задачи Ранена с осциллирующим коэффициентом. /Л!зв.ВУЗов. Математика. - 1931.

- № 12. - с.41-50.

6. Кац Б.А. Краевая задача Римана на неспрклльзмой жордано-вой кривой. // Докл.А!? 'СССР. - 1982. - т.267, » 14. -

с.759-792.

7. Кгц Б..*.. 0 кдасс.фшац'ли кнтегралов типа Кокк по контурам, .попускаю^:.; точечную особенность. //Йзб.ВУЗов. Математика.

- Ш>2. - )■■' Э ~ с.»11-50.

8. К&ц Б,А. Об условиях рдэргаимости однородной зада;;;! Романа не нзгладг-.ой кривой бесконечней длины. // Из

Ц.- .•ематкми - 1982. - {5 6. - с.75-7'/.

9. Кац Б.А. Краевая задача на негладко'«: контур-; с'ескопочиой длины. //Ь'атем.зьмотга. - 1983 - т.33, Ьч- 5. - с.669-678.

10. Кац Б.\. Задач-э, Ъллини на саккнугой коррапоьоЯ криьсй. // Изе.БУЗов, Математика. - 1993. - $ 4 - с.68-83.

¿1. Кац Б.А. Задача Романа ка разомкнутой кордансг.ой кривой, // Кзв.БУЗов, Математика - 1933 - У .12 - с.35-33.

12. Кац Е.А. 0 неоднородной задаче Ркглзла па разомкнутой аорданоЕОЙ кр;;ной. //Труда семинара по краекгл задачи.!. Казань - 1934 - ьыл.21. - с.57-93.

13. Кац Б.А. Об интеграле та Коал и задаче Римана на счетном множеств.; замкнутых кривых. //Изв.ВУЗов, Математика. -1985

- № 3 - с.20-29.

И. Кац Б.А. Задача Римяиа на замкнутой жордянозсЯ криьой ч полунепрермрной постановке. // Ияй.ВУЗоп, Математика.

- 1555 - » 6. - с Л4-22.

15. Кац Б.А. Краевая задача FnüOHa на разомкнутой кордяновоП кривой.//' Изв. ВУЗов, Математика, - 1906. - $ 7 - е.55-60.

16. Каи Б.А., Миронова С.Р. 0 краской заг,аче FuMnua на с»к->т-ном множестве кривых с коэффицигнтами, долуокатцими сц-о-иешшс особенности. /7il33.ВУЗов, Математика, - IQ0T-. - J? JI

- 0.71-74.

17. Кац Б. А., Миронова С.Р. Крае пая задача Римана на счетном множестве кривых с коэффициентами, допуекгтчтаи стопен -ные особенности. // Труды семинара по краевым задачам. Казань. - I9G6 - вып.23 - с.103-114.

13. Кпц Б.А. Задача о скачке и интеграл по н-чепрямлн^мой кри-г,ой, /ЛЬв.ВУЗоп, Математика. - 1907 - » 5 - с.49-57.

19. Кац Б.А. 0 краевой задаче Римм ¡а со степенным сцвигом. // Пзп.ПУЗоп, Математика. - 1907 - 0 - с.10-26.

20. Кац Б.А. , Миронова С.Р. 0 крлеггзй п?дг-.чо Риманя на сч-.гг-пом множестве замкнутых кривых в классе функций с ограниченным гольдероиским коэффициентом. //¡'зв.СУЗоп, Матчмлтч-ка. - I9G9. - Г? 1?. - с .10-22.

21. Кац Б.А. Об условиях разрешимости краевой задачи Гиманл на негладких кривых. // Докл. А!! СССР - 1990 - т.314, 1

- с.67-71.

22. Кац Б.А. 0 крчепой задачи Римама на кривой с иерпнчегюр-ным закручиванием. //Илв.ВУЗоп, Математика. - 1990 - ?.* II

- с.ГУ?-4''.. . .

Подписано » почагь 0i.II.91 Формат «0xfM/lG

Усл.поч. Г,5 Уч.-гад.л.1.5 Тираж 120 П'.чшз 575

___ jjfiCivmTHQ_____

OIcgt Г' Л!