О краевой задаче Римана с матрицей, допускающей бесконечные частные индексы, и ее приложениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Векторная краевая задача Римана с бесконечным индексом в пространствах 1»р(г)

§1. Некоторые сведения из теории целых функций и другие вспомогательные предложения

§2. Векторная краевая задача Римана с бесконечным индексом в классах

ГЛАВА 2. Краевая задача Римана с бесконечным индексом на вещественной прямой

§3. Однородная задача Римана

§4. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом.

§5. Краевая задача Римана с треугольной матрицей

ГЛАВА 3. Приложения теории векторной краевой задачи

Римана с бесконечным индексом

§6. Характеристическая система сингулярных интегральных уравнений с бесконечным индексом на вещественной оси

§7. Исследование некоторых случаев обобщённой краевой задачи Римана с бесконечным индексом

§8. Решение некоторых смешанных краевых задач для оператора Лапласа сведением к матричной задаче

Римана с бесконечным индексом

Настоящая работа относится к исследованиям в области краевых задач для аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений. Большинство этих работ, ставших уяе классическими, посвящено краевой задаче Римана в скалярном и матричном случаях. Краевая задача Римана

ФЮ-СМФЬУъМ Сол) впервые встречается в работе Римана о дифференциальных уравнениях с алгебраическими коэффициентами [63^ . Задача формулируется Ри-маном сразу для случая пар искомых функций.

Первое решение однородной краевой задачи ( 0.1 ) ( где ) дал Гильберт. В дальнейшем Племель [90], Пикар [89J , Привалов И.И. [б2] , идя по пути, приложенному Гильбертом, сведения задачи ( 0.1 ) к интегральному уравнению и используя в качестве аппарата интегралы типа Коши, получили альтернативные утверждения о разрешимости задачи ( 0.1 ) ( для коэффициентов СгбО и (г 00). Метод этот до сих пор применяется при рассмотрении задачи Римана со многими неизвестными функциями.

Полное решение задачи Римана для односвязной области было дано Гаховым Ф.Д. в 1936 году. В 1941 году Хведелидзе Б.В. обобщил это решение на многосвязную область.

Задача Римана с конечным индексом

• }с1 [аг§щ, с(0*0 изучена сравнительно полно. С этой задачей тесно связаны сингулярные интегральные уравнения, некоторые из которых удаётся решить в замкнутой форме [64] . В последние 20 лет интенсивно развивалась и теория краевых задач с бесконечным индексом (*.= ).

Характерной особенностью задач с бесконечным индексом является то, что при их исследовании возникает необходимость широкого использования теории целых и мероморфных функций [18] ,(4б] .

В случае бесконечного индекса поведение канонической функции в окрестности её исключительной точки ( бесконечно удалённой точки ) аналогично поведению аналитической функции в окрестности существенно особой точки. Оказывается, что любое ограниченное решение однородной задачи ( 0.1 ) представимо в виде

Учитывая выше изложенное, отсюда следует, что множество линейно независимых решений однородной задачи ( 0.1 ) или условий разрешимости неоднородной задачи описывается здесь уже не многочленом, а целой функцией. Поведение этой функции в окрестности её существенно особой точки весьма многообразно, а это вызывает при исследовании краевых задач серьёзные трудности. В формуле ( 0.2 ) â(i) - некоторая целая функция.

При конечном индексе 32. %при ï-*co , т.е. каноническая функция

Кг) по всем лучам изменяется одинаково: стремится к нулю или бесконечности степенного порядка. В случае бесконечного индекса дело обстоит иначе. В этом случае по одним направлениям X(î) имеет убывание, а по другим рост экспоненциального порядка. Решение задачи Римана с бесконечным индексом в общем случае сводится к отысканию таких целых функций , которые достаточно быстро убывают по тем направлениям, гдеХ(2) неограничена, и одновременно не слишком быстро растут там, гдеХ(^) убывает.

Первые исследования по теории краевых задач с бесконечным индексом выполнены Говоровым Н.В. [2о]-[2б] • Он впервые рассмотрел краевую задачу Римана ( 0.1 ) с коэффициентом G(t) , подчинённым условию ar^p Gr(t) = + «х» (-®0).

Такую задачу Говоров Н.В. называет задачей Римана с плюс(минус)бесконечным индексом ( одностороннее завихрение ). В работах Говорова Н.В. [20] - [2б] детально изучен случай задачи Римана с бесконечным индексом, когда"Ц-00 , а аргумент коэффициента G(t) имеет степенной рост на бесконечности. В этих исследованиях контур Г представляет собой полуось [l,+c>0) . Коэффициент G(t) и свободный член ^J-(t) задачи Римана ( 0.1 ) удовлетворяют условиям: i) ar£ G (t)=4>(t) tP, О< ? «о, Нг [1,оо],

Тогда задача ( 0.1 ) при5.>0 ( плюс-бесконечный индекс ) имеет бесконечное множество ограниченных решений, общая формула которых имеет вид где

- общее решение однородной задачи ( 0.1 частное решение неоднородной задачи. В случае минус-бесконечного индекса ) строится мероморфное решение Vo(^) соответствующей однородной задачи, имеющее бесконечное множество специально расположенных полюсов. Тогда рассматриваемая неоднородная задача ( при 0 ) имеет единственное решение лишь при выполнении бесконечного множества условий разрешимости. Эти условия выражаются в требовании, чтобы интеграл типа Коши обращался в ноль во всех полюсах *Ц!0(г) •

В работах Юрова П.Г. [84] - [зб] продолжается исследование задачи ( 0.1 ) с бесконечным индексом также на луче[1,»о^ . Аргумент коэффициента G(t) имеет рост логарифмического порядка на бесконечности: xrgG(t)*ip(t)ta*(t) , \<tо <*<*<>.

При этом наибольшую трудность вызывает исследование задачи ( 0.1 ) при 0<<*<И . Результаты исследования неоднородной задачи ( 0.1 ) аналогичны соответствующим результатам для бесконечного индекса степенного порядка.

Общий случай задачи с бесконечным индексом степенного порядка меньше единицы для двустороннего завихрения ( задача Рима-на на вещественной оси ) рассмотрен Толочко М.Э. [76] - [80] . Коэффициенты задачи ( 0.1 ) СО^и^-ОЬ) удовлетворяют при этом условиям:

Фчовоинс—,*-], ^«НС-Л-З; аоо = г* ц>оо , + ^ >0, Н5 [-0,0] Н5Со,+-];

Основные результаты исследования выражены в виде определённых соотношений для заданных величин » , р , определяющих поведение (ХГС^ОСЬ) при"!;-*-*00 . Оказывается, однородная задача ( 0.1 ) разрешима, если является разрешимой при некотором т алгебраическая система неравенств относительно неизвестных Дк>0 : 0.3 ) ¿ДО/Гь], О^оо, либо ( для большей наглядности, если Д, что соответствует нулевой плотности корней целой функции ^(Ъ) ) если числа , , р удовлетворяют одному из условий

ЙО-сР-с-^ , яДг>0, (■£) «ъф-, тогда рассматриваемая однородная задача имеет бесконечное множество линейно независимых ограниченных решений ф(г)=Х(г)5г(а), где5"(г) - целая функция с определёнными свойствами. Все остальные случаи для ^ , , р разделяются на две группы, когда ограниченных решений нет и когда разрешимость задачи зависит от дополнительных свойств функции оиг^ (х Если система ( 0.3 ) неразрешима, то неоднородная задача Римана ( 0.1 ) имеет единственное решение. При этом должно выполняться бесконечное множество условий разрешимости, аналогичные случаю задачи для одностороннего завихрения.

Задачу Римана ( 0.1 ) на всей вещественной оси, когда аргумент коэффициента й(-Ь) имеет рост логарифмического порядка на бесконечности, рассмотрел Алекна П.Ю. [I] - [4] . При этом результаты исследования аналогичны соответствующим результатам бесконечного индекса логарифмического порядка для одностороннего завихрения.

Дальнейшее развитие задача ( 0.1 ) в случае бесконечного индекса степенного порядка получила в работах Алехно А.Г. [б] , Журавлёвой М.И. [391 . В работе Алехно А.Г. [э] рассмотрена однородная задача Римана на контуре, представляющем собой конечное число лучей, выходящих из начала координат и уходящих в бесконечность, при этом коэффициент задачи Римана имеет на контуре счётное число нулей и полюсов, сгущающихся на бесконечности, в точке -Ь-«^ Г ) коэффициент имеет многостороннее завихрение степенного порядка меньше .

Беркович Ф.Д. и Конышкова Е.М. [15] дали решение задачи Римана ( 0.1 ) в предположении, что коэффициент С (О имеет вид: е О ДО, где ,1пс1 ; , - 0 .

Используя это решение, Конышкова Е.М. [44] исследовала характеристическое сингулярное интегральное уравнение с бесконечным индексом сведением его к задаче Римана. При этом наибольшую трудность вызывает доказательство эквивалентности решений полученной задачи Римана и исходного сингулярного уравнения.

Беркович Ф.Д. и Говоров Н.В. [14] рассмотрели задачу Карлемана с бесконечным индексом степенного порядка меньше единицы для двустороннего завихрения где ,

0<?М , , = ^Ф О . Эта задача изучалась сведением к краевой задаче Римана для полуплоскости, которая исследовалась методами, развитыми Говоровым Н.В. для одностороннего завихрения.

Беркович Ф.Д. [13] указал класс интегральных уравнений типа свёртки первого рода, которые приводятся к краевой задаче Карлемана, Римана, и задаче Гильберта

Ф'Ю-йЮФЧ*) 4-3.it), с бесконечным индексом.

Задачу Римана ( 0.1 ) в классах Ьр(Г) 00 ) впервые рассмотрели Грудский С.М. и Дыбин В.Б. [35] . При. этом задача ( 0.1 ) записывается в операторной форме

Г - замкнутый Ляпуновский контур, содержащий конечное число особых точек ^ , Ьг ,., "Ь^ , к которым могут сгущаться нули функции G(t) ), ess l*\f |G(t)| >0 ; P и Q ttr операторы проектирования

I - единичный оператор, S - сингулярный интегральный оператор с ядром Кош (S<p)(t)=jk ^^ГГ^ »t € Г1 . г

Установлено, что при выполнении некоторых условий относительно контура I , оператор обратим справа и имеет dim к ер А = ©о ; дано описание ядра оператора А . Рассматривая операторное уравнение р + G"' (О Q где G(t) такая же, как и выше, доказывается, что оператор обратим слева и имеет dlimCoker А, = Рассмотрен также случай, когда в точках t. , to , функция G(t) имеет разрывы почти-периодического типа. Результаты для этого случая аналогичны результатам, изложенным выше.

Подчеркнём, что все перечисленные выше исследования краевой задачи Римана с бесконечным индексом относились к скалярному случаю.

В данной работе, по-видимому впервые, рассматривается векторная краевая задача Римана ( G(t) - квадратная матрица размерности ft. * W ), частные индексы которой могут принимать значения io° . Заметим, что в этом случае не обязательно суммарный индекс задачи ( tod dôt G(t) ) равен бесконечности: простейшим примером является диагональная матрица G(t) размерности когда один из элементов имеет аргумент JtlP , а второй имеет аргумент f ( Р>0 ). В этом случае ( при некоторых условиях на ^(-Ь) ) векторная задача с такой матрицей имеет бесконечное количество решений, и бесконечное число условий разрешимости, однако суммарный индекс равен нулю. Термин " векторная краевая задача Римана с бесконечным индексом " понимается в том смысле, что частные индексы матрицы Gr(t) могут принимать значения ± ОО .

Первая возникающая в этом случае принципиальная трудность состоит в необходимости выбрать разумное определение факторизации матрицы-функции G(t) . Мы даём следующее определение факторизации матрицы G (t) ( "Ь £ Г , Г - простой замкнутый спрямляемый контур с особой точкой коэффициента G("t) to £ Г , в пространствах Lp ( Г) )из§2:

Определение I. Факторизацией матрицы G (О относительно контура Г будем называть представление её в виде

G(t)=G+(t)A(t)&>), в котором G±€ Ер , Gr+ € Е^ , р/(р-1) , ( Ер - классы Смирнова функций, аналитических в области соответственно» , в окрестности точки t0 € Г G+ и Gl являются ограниченными; Л 00 - диагональная матрица вида где 4 и при каждом ] выполняется хотя бы одно из условий:

1) «mL ;

2)['Xj ] 6 fA^ ( определение классов /А^ см. в §1 ) j — 1,2,. ,П. •

Если для некоторого Я.» выполняются оба условия I) и 2), то мож .те. - / г- + но проверить, что д. t. J oJ. f где Эв. - целое■ ) t-t^, (J. ) ét^ . Включая CJ. и CJ. в состав факторизационных

J J множителей G+ , G , имеем, что в этом случае j -ый частный индекс является конечным числом.

Устанавливается также, что если выполнено только условие I) ri), или 2), то представление , ( é L«, )

J J J J можно выбрать таким образом, чтобы fjttlo , соответственно,

В первом случае будем говорить, что j -ый частный индекс матрицы G(t) равен " +©о во втором- " - ее

Заметим, что это определение охватывает ситуацию, когда " особым " может быть произвольное ( замкнутое ) подмножество У* контура Г . Случай IX/о} 9 разумеется, при этом не исключается. От матриц G; и требуется ограниченность в окрестности множества 1Л/ ( т.е. того подмножества контура Г , через которое не продолжит аналитически ). I

Заметим также, что определение I обобщает определение факторизации матрицы для конечных частных индексов. В случае конечных частных индексов полагаем ( ¡ - Ъ""*' ), соответст

J J вующий частный индекс считаем равным TUj . Заметим [74 J , что для бесконечного индекса факторизация матрицы Сосуществует не всегда.

Мы рассматриваем также векторную задачу Римана ( 0.1 ) на вещественной прямой, т.е. контур Г представляет собой вещественную ось. Рассмотрение задачи ( 0.1 ) на вещественной прямой связано как с аппаратом теории целых функций, так и с приложениями задачи ( 0.1 ), например, к задачам математической физики и механики ( см. §8 настоящей работы ), а также к уравнениям типа свёртки на системе промежутков ^71 ] .

Итак, рассматривая задачу (0.1) на вещественной оси в классе функций, аналитических в верхней ( область 2) ) и нижней ( область ^ ) полуплоскостях, ограниченных на бесконечности, и непрерывных вплоть до контура Г , мы даём следующее определение факторизации:

Определение 2. Факторизацией матрицы С("0 относительно контура Г назовём представление её в виде где X (2) - матрицы, аналитические в области 2)"" , за исключением, быть может, бесконечно удалённой точки, det Х~(г) $ 0 в конечной части области , и которые предетавимы в виде где матрица ХГбО аналитична в , е"ЬХч (О^гИ«*» ) в , Х^) ^ И С-00 ^ ; Л (г) - диагональная матрица, вбирающая в себя все особенности на бесконечности матрицы X (Ъ), элементы матрицы Л (¿О - аналитические в 5) функции, не имеющие нулей в области ), Л~(-Ь)£ Н(-°°.>+00) .

Требование Х^ОО € НСг00*-*"00] в некоторых случаях можно несколько ослабить, а именно: Х^ (О £ Н (-<*>,+<*?) э т.е. исключая бесконечно удалённую точку 00 на Г ; при этом X, (О ограничена в окрестности точки •£('^НС'"£>0э+003 , где , ко*0(1*гО .

Введённые здесь определения факторизации включают в себя как частный случай Р - факторизацию почти-периодических матриц-функций, рассмотрение которых начато в £74*} . Напомним определение Р- факторизации:

Определение 3. Р - факторизацией почти-периодической матрицы-функции Сг Соотносительно контура Г ( вещественная ось) называется её представление в виде где матрицы

ГЮ]" принадлежат к классу

АР (АР ) почти-периодических матриц с неотрицательными ( неположительными.) показателями Фурье,

Числа , ,., ( €. К, ) названы в [74] частными

- 13

Р - индексами. Очевидно, е*^ есть функция вида ( X4 , ¡V1] бЬво ), причём нулевого, " +" - или - бесконечного индекса в соответствии с тем, Ъ-0 , "О>0 или Диссертация состоит из трёх глав.

В первой главе ( §§1,2 ) в пространствах Ьр(Г) , рассматривается векторная краевая задача Римана ( 0.1 ).

В §1 приводятся некоторые вспомогательные сведения, предложения и теоремы, используемые в последующих параграфах диссертации.

В §2 рассматривается векторная краевая задача Римана в классах Ьр(Г),1<Рг:00 , на простом замкнутом спрямляемом контуре

I , содержащем особую точку коэффициента 0, М и е г ( по существу, здесь рассмотрена не одна точка "Ь0 , а целое " особое т.е. состоящее из особых точек, множество ТА 6 Г ). Здесь даётся определение факторизации матрицы-функции йСО. Также установлено, что в зависимости от того, имеет ли функция либо нули, либо полюса в области 5)"" , будет бесконечномерным либо ядро, либо коядро соответствующего ^ -того оператора. Если одни + функции д. имеют нули, другие - полюса (л* - 1,2,.,1п. ), то д весь матричный оператор• а=Р*С (о а имеет с1иткегА - 00 , с(1гг\Сокег Аа 00 . Т.е. одни частные индексы здесь равны " ч-оо ", другие - " -«о ".В этом же параграфе доказывается инвариантность факторизации одной и той же матрицы. Тем самым известная в случае конечных частных индексов теорема их инвариантности распространяется и на рассматриваемый общий случай.

Во второй главе ( §§3-5 ) исследуется краевая задача Римана на контуре Г , представляющем собой вещественную ось. Задачу мы рассматриваем в классе функций, аналитических в области , ограниченных на бесконечности, непрерывных вплоть до Г .

В §3 исследуется однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом. Здесь даются определения 2 и 3 факторизации матрицы G 00 . Рассмотрены некоторые частные типы матрицы G Ct), которые, однако, затем широко используются в дальнейшем; и более общий случай. Доказано, что при выполнении определённых условий, которым должна удовлетворять матрица G(t) , однородная задача либо имеет бесконечное множество линейно независимых решений ( ограниченных на бесконечности ), либо ( при невыполнении этих уело

О \ С.» вии ) однородная задача не имеет нетривиальных решении.

§4 посвящён изучению неоднородной задачи Римана ( 0.1 ). Задача рассмотрена для тех же типов матрицы G(i), что и в §3. Здесь получено, что неоднородная задача для плюс-бееконечного индекса ( выполнение определённых условий, налагаемых на элементы матрицы G(t) ) имеет бесконечное множество ограниченных на бесконечности решений, при этом число условий разрешимости равно нулю. Для минус-бесконечного индекса ( когда эти условия не выполнены ) неоднородная задача имеет единственное решение при выполнении бесконечного числа условий разрешимости. Эти условия выражены в том, чтобы интеграл типа Коши обращался в ноль в бесконечном числе точек - корнях целой функции.

В §5 рассмотрена краевая задача Римана в случае треугольной матрицы G(t) . Для таких матриц задача распадается на п. скалярных задач Римана с бесконечным индексом, которые затем последовательно решаются.

Третья глава ( §§6 - 8 ) посвящена приложениям результатов и методов, изложенных в предыдущих параграфах.

В §6 исследуется характеристическая система сингулярных интегральных уравнений. Эта система сводится к уже изученной в предыдущей главе векторной задаче Римана, и с помощью решений векторной задачи Римана выписывается решение системы уравнений. При этом доказывается ( как и ддя скалярного случая ) эквивалентность исходной характеристической системы и полученной задачи Римана. Рассмотрена также союзная однородная характеристическая система сингулярных интегральных уравнений.

В §7 исследуется важная для приложений обобщённая краевая задача Римана, именуемая также иногда задачей Маркушевича 0.4 )

Напомним, что эта задача впервые была сформулирована в работе Маркушевича А.И. [52*] , опубликованной в 1946 году. По существу же, в работе \52] изучалась задача ( 0.4 ) при о.(-fc)sO ,4>Cfc)==H , :(t)s û , где Г - окружность или лемниската. Маркушевич А.И. доказал, что при указанных предположениях решение зависит от произвольной аналитической функции.

В 1952 году Векуа Н.П. исследовал задачу ( 0.4 ) с гёльде-ровскими коэффициентами оиСО для случая п пар искомых функций. Им были выяснены условия нётеровости, заключающиеся в том что<£ек<х(Ь)ф 0 . в скалярном случае аналогичный результат можно получить, применяя операторный подход, предложенный в работе Замко С.Г., Карапетянца Pl.К. [бб] .

В статье Михайлова Л.Г., а затем в его монографии [бз] теория краевой задачи ( 0.4 ) получила дальнейшее развитие. Михайлов И.Г. рассмотрел случай, когда коэффшциенто-бЬ) - непрерывная функция, a - ограниченная измеримая. В этой же работе[53] предполагая область ¿¡У* односвязной, Михайлов Л.Г. исследовал вырожденный ( параболический ) случай (ter ) задачи ( 0.4 ).

Эн также исследовал задачу ( 0.4 ) в случае, когда контур f1 эграничивает многосвязную область 3Ù+ , а коэффициенты O-ft) и - непрерывные функции на Г , ^С^бЬр(Г) ,

В 1966 г. Литвинчук Г.С. [48] , [49] предложил новый метод исследования обобщённой краевой задачи Римана ( 0.4 ) в случае, когда контур Г является окружностью или прямой. Этот метод состоит в том, что от обобщённой краевой задачи Римана ( 0.4 ) мы переходим к эквивалентной матричной задаче Римана (0.1 ) для двух пар неизвестных функций. Этот способ, основанный на связи между краевой задачей ( 0.4 ) и краевой задачей Римана для двух пар функций, позволил улучшить результаты Михайлова Л.Г. о разрешимости задачи ( 0.4 ), а также уточнить упомянутый выше результат Михайлова Л.Г., относящийся к параболическому случаю.

В §7 настоящей работы задача ( 0.4 ) исследуется методом, предложенным Литвинчуком Г.С. сведением к задаче Римана с матричным коэффициентом размерности Я* .

В §8 рассмотрены конкретные краевые задачи математической физики, которые затем сводятся к векторной краевой задаче Римана с бесконечным индексом, и она исследуется методами, изложенными в предыдущих параграфах.

Результаты диссертации опубликованы в работах [Sß ] -[ 98 ]. Они докладывались на 2 и 3 Республиканских конференциях по дифференциальным и интегральным уравнениям ( Одесса, сентябрь 1978 г июнь 1982 г. ), неоднократно на Одесском городском научном семинаре по краевым задачам и сингулярным интегральным уравнениям ( ру ководителъ - проф. Литвинчук Г.С. ), на семинаре по краевым задачам и сингулярным интегральным уравнениям им. Ф.Д.Гахова при Белорусском государственном университете ( руководитель - проф. Зверович Э.И. ), на семинаре по краевым задачам и сингулярным интегральным уравнениям при Кубанском государственном университете ( руководитель - доц. Гусаков В.А. ), на семинарах по краевым задачам Одесского государственного университета ( руководители -доц. Нечаев А.П., доц. Тихоненко Н.Я. ), на конференциях профес-сорско - преподавательского состава Одесского государственного университета в 1977 - 1981 г.г.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям - профессору Георгию Семёновичу Литвинчуку и доценту Анатолию Петровичу Нечаеву.

1. Алекна П.Ю., 0 разрешимости однородной краевой задачи Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка для полуплос-ти,- Литовский математич. сборник, 13, $ 2,1973.

2. Алекна П.Ю., Об однородной краевой задаче Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка для полуплоскости,- Литовский математич. сборник, 13, $ 3, 1973.

3. Алекна П.Ю., Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка о < ^ < 1 для полуплоскости Литовский математич. сборник, 14, .£ 3, 1974.

4. Алекна П.Ю., 0 неоднородной краевой задаче Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка для полуплоскости, -Литовский математич. сборник, 14, й 2, 1974.

5. Алехно А.Г., Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом произвольного степенного порядка для полуплоскости,-Изв.АН БССР, сер. Физ-мат. наук, й 4, 1979.

6. Алехно А.Г., О краевой задаче Римана с конечным числом точек завихрения,- ДАН БССР, т. 23, № 2, 1979.

7. Алехно А.Г., Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом на контуре Ляпунова,- Изв. АН БССР, сер. физ-мат. наук, гё I, 1980.

8. Алехно А.Г., Об однородных краевых задачах со сдвигом в случае конечного числа точек завихрения,- ДАН БССР,т. 24, $ 3, 1980.

9. Бейтмен Г., Зрдейн А., Высшие трансцендентные функции, М., Наука, 1973, т. I.

10. Беркович Ф.Д., о приложении краевых задач с бесконечным индексом к исследованию интегральных уравнений,- В кн." материалы конференции по краевым задачам",-Изд.Казанск.ун-та,1970.

11. Беркович Ф.Д., 0 краевой задаче Карлемана с бесконечным индексом,- Сибирский матем. журнал, 12, №5, 1971.

12. Беркович Ф.Д., Конышкова Е.М., Об одном случае краевой задачи Римана с бесконечным индексом, Сообщения на 2-ой конференции Ростовского научного математического общества, Ростов-на-Дону, 1968.

13. Векуа Н.П., Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи, М., Наука, 1970.

14. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц, М., Наука, 1986.

15. Гахов Ф.Д., Краевые задачи, М., Наука, 1977.

16. Гахов Ф.Д., Краевая задача Римана для системы и, пар функций,-7 М Н, 7, вып. 4, 1У52.

17. Говоров Н.В.,0б однородной краевой задаче Римана с бесконечным индексом,- Иьв. АН БССР, № I, 1964.

18. Говоров Н.В., Краевая задача Римана с бесконечным индексом степенного порядка меньше-jr ,- Сб. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения", вып. 6, изд-во харьковского ун-та, 1968.

19. Говоров Н.В., Об ограниченных решениях краевой задачи Римана с бесконечным индексом степенного порядка,- ДАН СССР, т.182, & 4, 1968.

20. Говоров Н.В., Об ограниченных решениях однородной краевой задачи Римана с бесконечным индексом степенного порядка,- Сб.Теория функций, функциональный анализ и их приложения", вып. II, изд-во Харьковского ун-та, 1У69.- 119

21. Говоров Н.В., Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом,- ДАН СССР, т. 159, .£ 5, 1965.

22. Говоров И.В., О решении в классе функций вполне регулярного роста однородной краевой задачи Римана с бесконечным индексом,- Сб. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения", вып. 15, изд-во харьковского ун-та, 1972.

23. Говоров Н.В., Краевая задача Римана с бесконечным индексом,-Докторская диссертация, Харьков, 1967, 202 с.

24. Гольдберг А.А., Островский И.В., Распределение значений мероморфных функций, М., Наука, 1970.

25. Голузин Г.М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, М., Наука, 1966.

26. Гофман К., Банаховы пространства аналитических функций, М., ИЛ, 1963.

27. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я., Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов, Кишинёв,"Штиинца",1973.

28. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г., Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов,У М Н, 195, 13, вып. 2, 1958.

29. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А., Уравнения в свёртках и проекционные методы их решения, М., Наука, 1971.

30. Градштейн И.С., Рыжик И.М., Таблицы интегралов, сумм, рядов, произведений, М., Физматгиз, 1962.

31. Грудский С.М., Дыбин В.Б., Краевая задача Римана с разрывами почти-периодического типа у её коэффициента,- ДАН СССР,т. 237, 1Ь I, 1977.

32. Грудский С.М., Дыбин В.Б., Краевая задача Римана в пространстве ЦО^) с почти-периодическими разрывами у её коэффициент та,- В сб. Математич. исследования, Кишинёв, вып.54, I, 1980.

33. Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория,m.e ш, 1962.

34. Дабин В.Б., Додохова Г.В., Корректная постановка краевой задачи Римана на замкнутом контуре в случае почти-периодических разрывов у её коэффициента,- Деп. в ВИНИТИ, Jl? 3579-82 Деп,1982.

35. Евграфов М.А., Асимптотические оценки и целые функции,М.,1979.

36. Журавлёва М.И., Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом со счётным множеством разрывов первого рода её коэффициента,- ДАН СССР, т. 2IÜ, Jfc I, 1973.

37. Карцивадзе H.H., Хведелидзе Б.В., Об одной формуле обращения, Сообщения АН Груз.ССР, 10, № 10, 1949.

38. Карцивадзе И.Н., Хведелидзе Б.В., Об интегралах типа Коши,-Тр. Тбилисск. математич. ин-та АН Груз.ССР, 20, 1954.

39. Като Т., Теория возмущений линейных операторов, М.,Мир, 1972.

40. Квеселава Д.А., Некоторые граничные задачи теории функций,-Тр. Тбилисск. математич. ин-та АН Груз.ССР, 16, 1948.

41. Конышкова Е.М., 0 характеристическом сингулярном интегральном уравнении с бесконечным индексом,- Изв. ВУЗов, Математика,8, 1973.

42. Кулагина М.Ф., Краевая задача Римана для почти-периодических функций,- Изв. ВУЗов, Математика, J& 4, 1983.

43. Левин Б.Я., Распределение корней целых функций,М.,ГИТТЛ,1956.

44. Леонтьв А.Ф., Ряды экспонент, М., Наука, 1976.

45. Литвинчук Г.С., Две теоремы об устойчивости частных индексов краевой задачи Римана и их приложение,- Изв. ВУЗов, сер. ма-темат., $ 12, 1967.

46. Литвинчук Г.С., Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом, М., Наука, 1977.

47. Магомедов Г.М., Об ограниченности сингулярных интегральныхоператоров,- ДАН СССР, т. 211, }£> 6, 1973.

48. Манджавидзе Г.Ф., Хведелидзе Б.В., О задаче Римана-Приваловас непрерывными коэффициентами.- ДАН СССР, 123, № 5, 1958.

49. Маркушевич А.И. Об одной граничной задаче теории аналитических функций.- Учён. зап. МГУ, 100, 1946.

50. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его приложение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентам'! . Изд-во АН Тадн.ССР, Душанбе, 1963.

51. Михлин С.Г. Курс математической физики, М., Наука, 1968.

52. Моткин A.C. Сингулярные интегральные уравнения по бесконечному контуру.- Изв. АН БССР,сер. физ-мат.наук, М, 1967.

53. Моткин A.C. 0 числе решений сингулярного интегрального уравнения на бесконечном контуре.- Изв. АН БССР, сер.физ-мат. паук, ft 4, 1969.

54. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения, М., Наука, 1ь»68.

55. Николайчук A.M., Спитковский И.М. 0 краевой задаче Римана с эрмитовой матрицей.- ДАН СССР,т.221, JS 6, 1975.

56. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. М., Наука, 1У80.

57. Попов Г.Я. Конуентрация кпрутих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений, М., Наука, 1982.

58. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций, М.-Л., 1950.

59. Привалов К.И. Об одной граничной задаче.- Математич. сборник., т. 41, JS 4, 1934.63. Риман Б. Сочинения, 1948.

60. Самко С.Г. 0 разрешимости в замкнутой форме сингулярных интегральных уравнений.- ДАН СССР, т.189, В 3, 1969.

61. Семенцул A.A. 0 сингулярных интегральных уравнениях с коэффициентами, имеющими разрывы почти-периодического типа.- Матем. исследования, Кишинёв, т.6, вып. 3, 1971.

62. Самко С.Г.Дарапетянц Н.К. Об одном новом подходе к исследованею сингулярных интегральных уравнений со сдвигом.- ДАН СССР, т.202, J.2 2, IS72.

63. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосибирск, 1962.

64. Спитковский И.М. 0 множителях, не влияющих на факторизуемость-ДАН СССР,т.231, }й 6, 1976.

65. Спитковский И.М. К теории обобщённой краевой задачи Римана в классах Lp .- Украинок. матем. журнал, т.31, й I, 1979.

66. Спитковский И.М. Факторизация измеримых матриц-функций, связанные с ней вопросы теории систем сингулярных интегральных уравнений и векторной краевой задачи Римана, часть I.-Дифференц. ур-ия, т.17, В 4, 1981.

67. Спитковский И.М. Факторизация некоторых классов полу-почти-периодических матрицкпункций и её приложения к системам уравнений типа свёртки.- Изв. ВУЗов.Математика. JS 4, 1983.

68. Спитковский И.М. Некоторые оценки для частных индексов измеримых матриц-функций.- Матем. сборник,т.III, № 2, 1980.

69. Спитковский И.М.»Карлович Ю.И. 0 нётеровости некоторых сингулярных интегральных операторов с матричными коэффициентами класса SAP и связанных с ними систем уравнении свёртки на конечном промежутке.- ДАН СССР, т.269, В 3, 1983.

70. Спитковский И.М. »Карлович Ю. И. §acto г I zoilon pr08tem Jor aimutperiodic. YmtrU-functions o^nd SredWm Hteor^ ^ Skplitz operators uv& stv^i-oimost perUxtlc watrbc synMs.-Ucture ffete lm J^tW^vJO^^.

71. ТитчмаршЕ. Введение в теорию интегралов Фурье, М.-Л., Гос' техиздат,1948.

72. Толочко М.Э. Окраевой задаче Римана с бесконечным индексом для полуплоскости.- Изв. АН БССР,сер. физ-мат. наук,М, 1969.

73. Толочко М.Э. 0 краевой задаче Римана для бесконечно связной области.- Изв. АН БССР, сер. физ-мат. наук, J£ 2, 1970.- 123

74. Толочко М.Э., 0 разрешимости краевой задачи Римана с бесконечным индексом для полуплоскости,- Изв. АН БССР, сер. физмат. наук, В 3, 1971.

75. Толочко М.Э., 0 разрешимости однородной краевой задачи Римана с бесконечным индексом для полуплоскости,- Изв. АН БССР, сер. физ-мат. наук, Jê 5, 1972.

76. Толочко М.Э., 0 разрешимости однородной краевой задачи Римана для бесконечно связной области,- ДАН БССР, 18, № 5, 1974.

77. Хведелидзе Б.В., Метод интегралов типа Коши в разрывных граничных задачах теории голоморфных функций одной комплексной переменной, В КН." Современные проблемы математики ", М., т. 7, 1975.

78. Хейман У., Мероморфные функции, М., Мир, 1969.

79. Хлгатян Р.Г., Некоторые вопросы теории систем разностных уравнений Винера-Хопфа,- Деп. в ВИНИТИ, гё 227-80 Деп., 1980.

80. Юров П.Г., Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом,- Изв. ВУЗов, Математика,' tè 2, 1966.

81. Юров П.Г., Один из случаев краевой задачи Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка,- ДАН БССР,12, 1968.

82. Ccx-ícUron Л.Р. , Inte^roXs on Upscf\îts curires ano( reioied operator&j-Proc^at.^ccL^.Scl.tlSyt^aïï^^A/^p.oZ^-ISZT.

83. Co&urn <\}JeyVs SWrem $or non-normal opera-tors } —JlUc^an M^k.f^ 1966 , p.US-ZIS.88. £Doets?\ G., der Lapiace-•fcrcxnâ^ormo-tlon^ Bj.^eorCc cle-r Lx-p^o-cc-trouns^ or motion,- B^Set, -1950, S gis.

84. Picard E., UçcorvS sw-r -b^pes sCmtes d'e^u.a-tlons o-w-x d¿rlvées pa-rtleites,,- Pa-rî-s, 192.?.

85. Яцко С.И., Об одном типе векторной краевой задачи Римана с бесконечным индексом,- Деп. в ВИНИТИ, № 594-80 Деп., 1980.

86. Яцко С,И., Второй республиканский симпозиум по дифференциальным и интегральным уравнениям, Тезисы докладов, Одесса, 1978.

87. Яцко С.И., Об одном случае системы сингулярных интегральных уравнений и обобщённая задача Римана с бесконечным индексом,-Деп. в ВИНИТИ, !Ь 1207-80 Деп., 1980.

88. Яцко С.И., О векторной краевой задаче Римана с бесконечным индексом,- Деп. в ВИНИТИ, В 3743-81 Деп., 1981.

89. Яцко С.И., Третий республиканский симпозиум по дифференциальным и интегральным уравнениям, Тезисы докладов, Одесса, 1982.

90. Яцко С.И., Антипов Ю.А., Приложение векторной краевой задачи Римана с бесконечным индексом к решению смешанной краевой задачи математической физики,- Деп. в УкрНИИНТИ, й 947~Ук-Д83, 1983.