Краевая задача Римана на контурах неограниченной закрученности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ 3 ГМВА I. Интеграл типа Коши на контурах неограниченной закрученности

§ I. Классы контуров.

§ 2. Интеграл типа Коши.

ГЛАВА П. Краевая задача Римана с коэффициентом, удовлетворяющим условию Гёльдера вне любой ок -рестности точек закрученности контура

§ 3. Однородная задача Римана с положительным коэффициентом.

§ 4. Неоднородная задача Римана с положительным коэффициентом

§ 5. Задача Римана с комплекснозначным коэффициентом

ГЛАВА Ш. Краевая задача Римана с измеримым коэффициентом

§ 6. Краевая задача Римана и факторизация коэффициента

§ 7. Факторизация положительной функции

§ 8. Факторизация комплекснозначной функции

§ 9. Краевая задача Римана с коэффициентом, не отделённым от нуля или бесконечности

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

0.1. Краевая задача Римана в классической постановке, как известно, заключается в следующем.

Дан простой замкнутый гладкий контур Г , разбивающий плоскость на две области: внутреннюю Г) и внешнюю D . На контуре заданы функции Get) и , удовлетворяющие условию Гёльдера, причём Gt 1)^0 . /0.1/

Требуется найти две функции аналитические соответственно в областях D и D - непрерывные вплоть до контура Г по краевому условию

T\l) =Gc£)CPa) + get) , ieT

Задача /ОЛ/ впервые встречается в работах Б.Римана [I8S7 г.], затем в работах Д.Гильберта [1905 г.] , И.Племеля [1908 г.], Т.Кар-лемана [1922 г.] как вспомогательная задача при исследовании некоторых проблем теории дифференциальных уравнений.

В 1934 году И.И.Привалов в своём докладе на втором Всесоюзном математическом съезде поставил задачу Римана как самостоятельную граничную задачу теории аналитических функций. И.И.Привалов предполагал [22], что контур Г - простой зашшутый спрямляемый,функции Gci) и^с^) - измеримые, причём (Gct)j € L^CT) L, (О, а решения (Z) и ^Рсг) представимы интегралом Коши через свои угловые предельные значения ^Ри) и Тс О

При дополнительном предположении, что Gl-L) £ hh С Г) , И.И.Привалов высказал [221 некоторые общие соображения о разрешимости поставленной задачи Римана.

0.2. Впервые полное решение задачи Римана /0.1/ в замкнутой форме было дано в 1937 году Ф.Д.Гаховым.

Было установлено [ 3], что вопросы разрешимости и количества решений полностью определяются индексом Коши функции &U) по контуру Г :

7t=LncLr& U) ут? [<w]Gd)]r , где С • обозначают приращение a/og ОсI) вдоль контура Г .

Идя решений, исчезающих на бесконечности, результат Ф.Д.Гахо-ва может быть сформулирован в следующем виде: число линейно независимых решений однородной задачи Римана /0.1/ и число условий разрешимости неоднородной задачи определяются по формулам:

Е0 = тале {о, 26j то - пгаос { О,-Эб] '

Дальнейшие обобщения задачи Римана в классической постановке подробно изложены в монографиях Ф.Д.Гахова "Краевые задачи" [3] и Н.И.Мусхелишвили "Сингулярные интегральные уравнения" [19].

Отметим тут же, что в 1977 году А.А.Бабаев и В.В.Салаев получили [ I] этот же результат для задачи Римана в классической постановке, предполагая лишь, что контур Г спрямляемый и длина части контура Г , попавшая в круг радиуса £ , не превосходит с-£ , где С - константа.

0.3. В 1951 году Б.В.Хведелидзе дал полное решение задачи Римана в постановке Привалова, предполагая дополнительно [зз], что Г - ляпуновский контур,Gel)£ Нуоо (Г) Lp ( Г) f

Н<р<оо и *Р с г) tVcz) имеют угловые предельные значения, принадлежащие классу

Было установлено [33], что и в этом случае остаётся справедливым результат Ф.Д.Гахова, сформулированный выше.

В дальнейшем в работах И.Б.Симоненко, И.И.Данилюка, В.Ю.Шелепова и других авторов было показано [33,7,1б] , что этот же результат сохраняется для весьма широких классов контуров /кривых ограниченного вращения, К - кривых/ и коэффициентов /из класса и(П/.

Отметим, что в 1975 году Б.М.Кокилашвили и В.А.Пааташвили доказали [16]результат Ф.Д.Гахова для задачи Римана в постановке Привалова предполагая, что Gl+) - непрерывная функция, Gel) *о , а Г - спрямляемый контур, длина части которого, попавшая в круг радиуса & . , не превосходит с , где с - константа.

0.4. Относительно всех этих результатов важно отметить еле -дующее.

Характер разрешимости задачи Римана /как в классической по -становке и упомянутых её обобщениях, так и в постановке Привалова/ зависит лишь от аргумента коэффициента Gel) /числа X /»но не зависит от контура Г и модуля коэффициента G U)

Некоторым исключением из этого правила является исключительный /не нетеровский/ случай задачи Римана /коэффициент Git) не отделён либо от нуля, либо от бесконечности/, в котором [3,19,33, 5,32] модуль коэффициента Gd) мог вызвать разве лишь уменьшение числа линейно независимых решений однородной задачи и числа условий разрешимости неоднородной задачи.

Отсюда, в частности, следует, что если рассмотреть модельный случай - задачу Римана с положительным коэффициен -том Gii) , то она не имеет решений, исчезающих на бесконечно -сти и отличных от тождественного нуля.

Впервые зависимость разрешимости задачи Римана от контураГи модуля коэффициента GU) обнаружил в 1963 году Н.В.Говоров. Им был построен [4] пример однородной задачи Римана на специальном гладком контуре с неположительным индексом Коши коэффициента &U), имеющей, тем не менее, ограниченные и исчезающие на бесконечности решения, отличные от тождественного нуля. Эти решения в примере Н.В.Говорова возникали за счёт того, что модуль коэффициента GlI) имел в одной точке контура Г разрыв второго рода специальной конструкции.

Б дальнейшем, в 1978 году Р.К.Сейфуллаев обнаружил [24] это же, но уже для задачи Римана с кусочно-гёльдеровским коэффициен -том на негладком контуре /примером может служить задача Римана с положительным и постоянным коэффициентом на логарифмической спирали/.

Отметим также работу Т.А.Запускаловой и Б.А.Каца [ II], в которой рассматривается аналогичная задача Римана, но при несколько иных условиях на контур и коэффициент.

Данную работу можно рассматривать как продолжение исследований Н.В.Говорова f4,5J , Р.К.Сейфуллаева[24] , Т.А.Запускаловой и Б.А.Каца [п] и Т.А.Запускаловой fiol .

0.5. Прежде,чем перейти к описанию работ [24,II,I0] , сделаем одно замечание о задачах Римана на негладких контурах /замкнутых или разомкнутых, неспрямляемых, квазиконформных/.

К настоящему времени имеется целый ряд работ /ссылки и информацию можно найти в [ю]/, в которых при различных предположениях на контур и коэффициент рассматриваются задачи Римана. Однако, и это подчеркнём особо, в указанных работах характер разрешимости определяется лишь аргументом коэффициента.

Поэтому, в дальнейшем указанные работы мы не рассматриваем,

Мы не будем рассматривать также работы Б.А.Каца [ 12,13,141 , посвящённые задачам Римана на жордановых контурах, так как, в частном случае, когда контур Г спрямляемый, причём длина части контура Г , попавшая в круг радиуса & , не превосходит х/ В [Ю] в качестве Г наряду с логарифмическими, рассматриваются также степенные спирали. Отметим, что степенные спирали не удовлетворяют ни условиям из [ 24], ни условиям данной работы. с ■ £ , где с - константа, получаемые из указанных работ результаты покрываются результатами работ [l;24,II,I0l. 0.6. Рассмотрим работу Р.К.Сейфуллаева [24]х/. Пусть Г~ аТо-г - простой разомкнутый жорданов спрямляемый контур, удовлетворяющий условию рР где &t(f) - длина Г /1 [ г : I г-11* f] Доказывается, что

--а-сцс.2 ФГ f-^OLe/) где d - диаметр контура Г .

При рассмотрении неоднородной задачи дополнительно требуется, чтобы контур Г удовлетворял условию:

Пусть Gd) к Cj U) - функции, заданные на контуре Г , (ус-Ь)Ф 0 и удовлетворяет условию Дини /этому условию, например, удовлетворяют гёльдеровы функции/, a удовлетворяет условию Гёльдера.

Решения задачи Римана ищутся в классе функций кусочно-голоморфных с линией скачков Г и исчезающих на бесконечности. х/ Для полноты обзора укажем также работу Р.К.Сейфуллаева [25], в которой рассматривается однородная задача Римана на контурах типа степенных спиралей.

Основной результат работы Сейфуллаева сформулируем в следующем виде: число линейно независимых решений однородной задачи и число условий разрешимости неоднородной задачи вычисляются по формулам: ta = пъъх [О, -Ai -Дг} > mo = rnch-x, {о, Л/ + , гда целые числа Л < , Л* определяются условиями (V-c£) А к ) $ О , К

К - V i(G«Lk)) 9 прир«>0 ,£«=1 при

Таким образом мы видим, что характер разрешимости данной задачи Римана может зависеть от контура Г и I G<£>| . Отметим, однако, случай, когда А к = А< = & /это имеет место, например, когда контур Г можно дополнить до замкнутого некоторой ломаной/. В этом случае, как следует из результата Р.К.Сейфуллаева, характер разрешимости полностью определяется аргументом коэффициента Get) 0.7. Рассмотримтеперь работы Т.А.Запускаловой и Б.А.Каца Llll и Т.А.Запускаловой [10].

Пусть Г= {£•£ = г eocp (i • Q Ы ), о < г ^ У} , Где Qct) непрерывно дифференцируемая на (о,*] функция, монотонно убывающая на (о г {] от + до 0 . Пусть также I ^ I < с'ъ \ где С - константа. Контур Г - простой разомкнутый жорданов спрямляемый, закручивающийся вокруг точки t = 0 и удовлетворяет условию из [24]. Такие спирали называют спиралями логарифмического типа.

Пусть Get) = &xp2ufi[<lU)-LJbtt)] ,где otU), JbU) -действительные функции, принадлежащие введённому Б.А.Кацем классу Kv(o) /функция YiL) £ К у(о) , если она удовлетворяет условию Гёльде-ра вне любой окрестности точки i =0 , а для любых точек i-t 1г € Г достаточно близких к точке к =0 удовлетворяет неравенству j lH) - f(£2) k С V (lid- i^f J,где С - константа и V Сх)уО при х>0 V(x)=V(x~<) и < j V (х) ( V-X)~'clX < /. о

Предполагается также, чтоJ&c*) ограничена на Г .

Пусть 4 л*Am. [ CI 4 JfrUbvMipacvJ-ft'^J^] ,

J3 ' f"* p если Л - целое и Л1 /целая часть числа А / в остальных случаях к»

При рассмотрении неоднородной задачи дополнительно требуется [Ю], чтобы функция V(Xj из определения класса К До,) удовлетворяла условию

LM. -L-. L М* )<*»* coo.

J X ^-X ' о

Пусть далее = 1п у0 U) ,где д» с£) € Н^ (Г) ,у0(о) = 0 , а неотрицательное целое число п и число ул определяются f10] в зависимости от контура I и функции

Решения задачи Римана ищутся в классе функций,ограниченных и кусочно голоморфных с линией скачков Г .

Основной результат работ Т.А.Запускаловой и Б.А.Каца [ill и Т.А.Запускаловой [ю] /см.сноску на стр.6/ сформулируем в следующем виде: число линейно независимых решений однородной задачи и число условий разрешимости неоднородной задачи вычисляются по формулам:

I = Л1СХ.ОС [ 0,+ ^3 , m = {o,-эе-O .

Таким образом, мы видим, что характер разрешимости данной задачи Римана также может зависеть от контура Г и .

0.8. Учитывая изложенное в п.п. 0.4,0.6,0.7, становится понятной необходимость более полного изучения влияния контура Г и |Gtl)|Ha характер разрешимости задачи Римана. Более того, возникает необходимость выделить топологические характеристики, которые описывают это влияние и которые входят в качестве компонент в формулу индекса задачи Римана.

Данная диссертация посвящена именно этим вопросам.

0.9. Диссертация состоит из введения и трёх глав, состоящих из девяти параграфов, списка основных обозначений и списка литературы.

1. Бабаев А.А., Салаев В.Б. Краевые задачи и сингулярные уравнения на спрямляемом контуре. - Мат.заметки, 1982, т.31, № 4, с. 571-580.

2. Балашов С.Е. Об особом интеграле типа Коши по спирали. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат., 1973, » 2, с. 15-19.

3. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977, 640 с.

4. Говоров Н.В. Пример разрешимой однородной краевой задачи Римана с отрицательным индексом её коэффициента. Учен.зап. Каб.-Балк. ун-та, 1963, вып. 19, с. 132-137.

5. Говоров Н.В. Об условиях неразрешимости однородной краевой задачи Римана с отрицательным индексом её коэффициента. Учен, зап. Каб.-Балк. ун-та, 1963, вып. 19, с. I24-I3I.

6. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинёв: Штиинца, 1973,426 с.

7. Данилюк И.И. Нерегулярные "граничные задачи на плоскости. М.: Наука, 1975, 296 с.

8. Дынькин Е.М., Осиленкер Б.П. Весовые оценки сингулярных интегралов и их приложения. В кн.: Математический анализ. Т. 21. М.: 1982, с. 42-129.

9. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука,1968, 471 с.

10. Запускалова Т.А. Краевые задачи теории аналитических функций на спиралеобразных контурах. Дис. канд. физ.-мат.наук.Казань, 1982, 118 с.

11. Запускалова Т.А., Кац Б.А. Краевая задача Римана на спиралеобразном контуре. В кн.: Труды семинара по краевым задачам.Казань, 1978, вып. 15, с. 79-83.

12. Кац Б.А. Краевая задача на негладком контуре бесконечной длины. Мат.заметки, 1983, т. 33, № 5, с. 669-678.

13. Кац Б.А. Задача Римана на замкнутой жордановой кривой. Изв. ВУЗов. Математика, 1983, № 4, с. 68-80.

14. Кац Б.А. Задача Римана на разомкнутой жордановой кривой.-Изв. ВУЗов. Математика, 1983, № 12, с. 30-38.

15. Кокилашвили В.М. 0 весовых неравенствах для сингулярных интегралов с ядром Коши на гладких контурах. Сообщ. АН Груз.ССР, 1978, т.90, № 3, с. 537-540.

16. Кокилашвили В.М., Пааташвили В.А. Краевая задача линейного сопряжения с измеримыми коэффициентами. Тр. Тбилис.мат.ин-та АН Груз.ССР, 1977, т.55, с. 59-92.

17. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956, 630 с.

18. Литвинчук Г.С., Спитковский И.М. Факторизация матриц-функций. Ч. 1-2. Одесса, 1984, 460 с. Рукопись представлена Одесским отд. ин-та экономики АН УССР. Деп. в ВИНИТИ, № 2410-84.

19. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968, 512 с.

20. Пааташвили В.А., Хускивадзе Г.А. Об ограниченности сингулярного оператора Коши в пространствах Лебега в случае негладких контуров. Тр. Тбилис. мат. ин-та АН Груз.ССР, 1982, т. 69, с. 93-107.

21. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций.- М.-Л.:ГИТТЛ, 1950, 336 с.

22. Привалов И.И. Об одной граничной задаче в теории аналитическихфункций. Мат.сб., 1934, т. 41, Л 4, с. 519-526.

23. Салаев В.В. Прямые и обратные оценки для особого интеграла Коши по замкнутой кривой. Мат.заметки, 1976, т.19, № 3,с. 365-380.

24. Сейфуллаев Р.К. Краевая задача Римана на негладкой разомкну -той кривой. Мат. сб., 1980, т. 112/154/, J6 2/6/, с.21-34.

25. Сейфуллаев Р.К. Разрешимость однородной краевой задачи Римана на разомкнутой кривой. В кн.: Теория функций и приближений. Труды Саратовской зимней школы 24 янв. - 5 февр. 1982 г., Саратов, 1983, с. 140-143.

26. Симоненко И.Б. Некоторые общие вопросы теории краевой задачи Римана. Изв. АН СССР. Сер.мат., 1968, т. 32, № 5, с. 11381146.

27. Симоненко И.Б. О глобальной и локальной факторизуемости измеримой матрицы-функции и нетеровости порождённого ею сингулярного оператора. Изв.ВУЗов. Математики, 1984, № 4, с. 81-87.

28. Симоненко И.Б. О замкнутости множества {(р,/) Wp(f)3и некоторых других свойствах весовых для сингулярного интеграла Коши функций в случае контуров класса R . Ростов-на-Дону, 1981, 27 е.- Рукопись представлена РТУ. Деп. в ВИНИТИ,Jfe 956-81.

29. Симоненко И.Б. Пример функции, удовлетворяющей условию Макен-хаунта, но не являющейся весовой для сингулярного интеграла Коши в случае контура, имеющего точки возврата. Ростов-на-Дону, 1983, 20 с. - Рукопись представлена РГУ. Деп. в ВИНИТИ,1.2659-83.

30. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1979, 342 с.

31. Хавин В.П. Граничные свойства интегралов типа Коши и гармонически сопряжённых функций в областях со спрямляемой границей.-Мат.сб., 1965, т.68/110/, #4, с. 499-517.