Нелинейные краевые задачи сопряжения для разомкнутых контуров тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ Ф+Ф"" = $

ЛЯ. ПЛОСКОСТИ С ОДНИМ РАЗРЕЗОМ

§ I. Основные обозначения и понятия. Постановка задачи

§ 2. Исследование задачи в случае f=

§ 3. Исследование задачи в классе В^*

§ 4. Исследование' задачи в классе

§ 5. Случай неограниченного контура

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ =

ДЛЯ ПЛОСКОСТИ С ДВУМЯ РАЗРЕЗАМИ.

§ б. Основные обозначения. Постановка задачи

§ 7. Исследование задачи в классе В®*.

§ 8. Исследование задачи в классе

ГЛАВА 3. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА .ВИДА . (Ф+)*=.й.(Ф")*.

ДЯ. РАЗОМКНУТОГО КОНТУРА

§ 9. Основные обозначения. Постановка задачи

§10. Исследование задачи в случае oC^jb.

§11. Исследование задачи в случае <*=£.

Краевыми задачами теории аналитических функций называют задачи, в которых требуется найти кусочно - аналитическую, в случае замкнутого контура, или аналитическую, в случае разомкнутого контура, функцию Ф(^), предельные значения которой на контуре удовлетворяют некоторому соотношению

7(Ф+Ш , Ф"(1)) = О . (0.1)

Первые постановки таких задач, как известно, восходят ещё к середине прошлого века. Необходимость рассмотрения таких задач появляется при решении некоторых задач теории упругости , гидродинамики, электродинамики, теории изгибания поверхностей и из потребностей самой математики. Поэтому исследование краевых задач теории аналитических функций или, как их иначе называют, задач сопряжения, является актуальным научным направлением.

В случае, когда функция Т есть линейная функция от Ф+СЬ) и Ф (t), задачу (0.1) называют задачей линейного сопряжения или краевой задачей Римана. Краевое условие (0.1) в этом случае записывают в виде ф+Ct) = G(t)(p~et) +g(t) . (о.2)

Задача линейного сопряжения достаточно подробно исследована в различных классах функций. Основные результаты исследований этой задачи содержатся в монографиях Ф.Д.Гахова [15], Н.И.Мусхелишвили[45] , Г.С.Литвинчука[42] и Л.И.Чибриковой [б7]. В работе Э.И.Зверовича [29] и обзоре Л.И.Чибриковой [68] имеется подробное изложение исследований по линейной задаче сопряжения (0.2) на римановых поверхностях.

В случае, когда функция У есть нелинейная функция от иФ(*), задача (0.1) называется нелинейной краевой задачей сопряжения. Решение нелинейных задач сопряжения в общей постановке представляет большие трудности, поэтому эта теория находится пока что на начальном этапе развития, рассмотрены лишь некоторые частные случаи таких задач. Нелинейные задачи сопряжения, рассмотренные до настоящего времени, можно разделить условно на два класса: задачи нелинейные "в малом" и задачи нелинейные "в большом". Примером задачи нелинейной " в малом " является краевая задача вида

J>+(t) = G(t)Фад + XF(t,<T(t), Ф~№) , где X - малый параметр. Наличие малого параметра X в краевом условии позволяет применить для решения такой задачи принцип Шаудера и метод последовательных приближений. Обзор работ этого направления имеется в монографии А.И.Гусейнова и Х.Ш. Мухтарова [2б1 . Примером краевой задачи нелинейной "в большом" является задача (0.1), когда, например, функция Тг есть многочлен не ниже второй степени. Такого рода задачи стали исследоваться позже, чем задачи нелинейные "в малом", так как их исследование связано с гораздо большими трудностями. При этом следует отметить, что задачи нелинейные "в большом" для замкнутых контуров несколько легче для исследования, чем задачи для разомкнутых контуров. Данная диссертация содержит решение некоторых краевых задач нелинейных "в большом" для разомкнутых контуров, поэтому в дальнейшем речь будет вестись только о задачах нелинейных "в большом".

Первая попытка решения нелинейной* задачи сопряжения была сделана в 1941 году П.В.Соловьёвым [59] , который рассмотрел нелинейную краевую задачу вида a(tV<P+(t> + 6(t). <P+Ct) + с it) = <p\t) , teL , где L - замкнутый контур. Но его решение содержало серьёзную погрешность, делающую полученные им выводы несостоятельными [§.Д.Гахов,Б.В.Хведелидзе.Граничные задачи теории аналитических функций комплексного переменного.-В кн.: Математика в СССР за сорок лет. Москва, 1959, т.1, с.498-510].

В 1958 году А.Ш.Габиб-Заде опубликовал работу [13], в которой рассматривал нелинейную краевую задачу вида

Фа)-A(t)Cp(t)-B(t)Ф+шФЪ) = C(t), t^L ( (о.з) где L - замкнутый контур. Согласно рецензии Ф.Д.Гахова [РЖМат, 1959, 3712], работа имеет существенные недостатки, которые делают результаты работы необоснованными.

В 1960-61 годах появляются работы Г.В.Аржанова [4,5,61, в которых рассматриваются вопросы разрешимости нелинейной краевой задачи вида

Ф+(«Г = йадф(1) + get) . t*L , (Ол) где L - простой гладкий замкнутый контур,G(t) и g(t) удовлетворяют на L условию Гёльдера, Ifl. - натуральное число, . Получены решения задачи (0.4) в замкнутой форме.

В 1962 году неудачную попытку решения [РЖМат,1964,8Б3681 нелинейной задачи вида

ФЪjf+ аФЪ)Ф (ti + 6 (ф-ф)1 + с Ф+(1)+ d Ф"(1) = g ct) (о. 5) для замкнутого контура L делает Т.З.Чочиев [69]. Задача (0.5) до настоящего времени не решена даже для замкнутого контура и представляет определённый интерес.

В том же 1962 году появляются работы Г.П.Черепанова [64, 65,66] , в которых рассматривается нелинейная задача вида

Ф+М-Ф""(±) = $<Х) , teL . (о.б)

Г.П.Черепанов исследует задачу (0.6) при различных предположениях ( случаи замкнутого и разомкнутого контура, разрывных или обращающихся в нуль^СЬ)). Полученные результаты используются им для решения упруго - пластической задачи. В случае, когда L - замкнутый контур, решения задачи (0.6) принадлежат классу кусочно - аналитических и ограниченных функций. В случае, когда L - разомкнутый контур, Г.П.Черепанов нашёл не все решения задачи (0.6), причём найденные им решения не принадлежат классу ограниченных функций. В приложениях краевых задач большую ценность имеют ограниченные решения, поэтому появилась необходимость нового рассмотрения задачи (О.б) в классе ограниченных функций, что и делается в данной диссертации.

В 1966-67 годах появляются работы [23,24,63,70,74,761. В работах [23,24] А.И.Гусейновым и М.А.Абдурагимовым рассматриваются только вопросы разрешимости некоторых нелинейных краевых задач для замкнутого контура. В работе [63] М.В.Тур-сункулов рассматривает нелинейную задачу со сдвигом, аналогичную задаче (0.3), но результаты работы оказываются неверными [РЖМат, 1967,45300]. В работе [70] Т.З.Чочиев вновь рассматривает задачу (0.5) и устанавливает связь между частным решением задачи (0.5) и частным решением некоторого нелинейного интегрального уравнения. В работе [741 румынский математик V. Oonescu исследует нелинейную задачу вида rfleteL - простой гладкий замкнутый контур, j(£) удовлетворяет на L условию Гёльдера, и Da(t) интегрируемы и аналитически продолжимы соответственно в и ЗУ . Доказывается, что решения задачи являются решениями некоторого функционального уравнения. Другой румынский математик A.Susea в работе [76] делает попытку решения нелинейной краевой задачи вида

ФЪ) = (0.7) для многосвязного гладкого замкнутого контура L в случае, когда oC-^(t), Отзыв на работу, данный Ф.Д.Гаховым [РЖМат,1968,4Б433] отрицателен, но работа [76] явилась толчком для появления ряда работ по нелинейным краевым задачам для замкнутого и разомкнутого контура в последующие годы. К ним относятся работы [9,17,18,19,32,33,34,35,36,37,55,56, 57,62 ].

В работах Ф.Д.Гахова [17,18,19] задача (0.7) рассматривалась для замкнутого контура в случае, когда cl и £ целые или рациональные положительные числа. В работе [37] И.И.Комяк рассмотрел задачу (0.7) для замкнутого контура L в случае, когда оС>0 и £>0 и хотя бы один из показателей оС или jb есть иррациональное число. В работах [55,56,57] Н.А.Рысюк рассматривала задачу (0.7) с действительными показателями оС и f> в классе автоморфных функций и с комплексными показателями. В работе М.Э.Толочко [621 исследуется вопрос разрешимости задачи (0.7) для многосвязной области. Работы В.В.Кашевского [32-36] посвящены рассмотрению задач типа (0.7) при действительных постоянных d и £ на римановых поверхностях. Наконец, в работе Г.В.Аржанова [9] рассматривается вопрос разрешимости задачи (0.7) для замкнутого контура L , когда показатели оС и р есть функции точек контура.

Кроме того, в ряде работ, появившихся после 1967 года , рассматривался вопрос разрешимости нелинейных задач других видов для замкнутых контуров [3,7,8,10,25,30,31,58,72,73]. В некоторых из них, сверх того, проводился подсчёт числа решений и находились решения нелинейных задач. Так, в работах [7, 8,72] исследуется вопрос разрешимости нелинейной задачи вида G(t)[$"ct)]w + g(t) , а в работе [3] рассматривается разрешимость краевой задачи

F ,cp-(t) ,X(t)] =о , где F - полином от , $"Ct) с мероморфными по Л коэффициентами; определяется число решений задачи и исследуются условия их аналитичности.

Необходимо также отметить работы, в которых исследовались нелинейные задачи Гильберта. Основными работами этого цикла являются работы А.И.Гусейнова [22] , В.К.Наталевича [46,47, 48] , Е.П.Аксентьевой [1,2], Е.К.Тимофеева [60,61] и Ю.В.Об-носова [49-52] .

Во всех вышеупомянутых работах, за исключением работ Г.П.Черепанова [64-66] , рассматривались нелинейные задачи для замкнутых контуров. Нелинейные задачи сопряжения для разомкнутых контуров исследовались в гораздо меньшем числе, случаев. Кроме работ [б4-6б] , нелинейные задачи для разомкнутых контуров встречаются в работах [14,20,38,39,41,53,54,75]. Работы [20,38,39,411 легли в основу данной диссертации. Работа [14] В.Н.Гавдзинского и И.М.Спитковского посвящена сведению одной задачи факторизации матриц-функций к нелинейной задаче сопряжения вида (0.3). В работах Л.П.Примачука [53,54] решается нелинейная задача сопряжения для двух голоморфных функций: где L - простая гладкая разомкнутая кривая. Наконец, A.S.Peters в работе [75] рассматривал задачу вида где L - простой гладкий разомкнутый контур с концами Ск и Ь , ^(t) и 64t) удовлетворяют на L условию Гёльдера. В работе [75] утверждается, что если JOLCt) и удовлетворяют функциональному уравнению

6-(t)+S2(t) + 2SCt)JULCt) = [Ct-aKt-6)]K ^2Ct) , teL, где либо К =0 или I и $(*) » £■>(*) - рациональные функции , то задача может быть сведена к линейной краевой задаче; вычислен индекс последней.

Диссертация состоит из четырёх глав. В первой главе проводится исследование задачи вида (О.б) в случае, когда контур L есть простая гладкая разомкнутая дуга CL& . При этом в § I вводятся, используемые в дальнейшем, обозначения и классы функций, даются определения некоторых понятий. Там же даётся постановка основной задачи исследования.

В § 2 рассматривается решение частного случая основной задачи, когда f(t) = 1 , в классе аналитических и ограниченных функций, не имеющих нулей. При исследовании этого случая нелинейная задача приводится к линейной задаче сопряжения. Последняя решается в классе функций, в котором она ранее не рассматривалась. При этом оказывается, что на количество решений линейной задачи, а стало быть, и нелинейной задачи существенное влияние оказывают локальные свойства контура L в концевых точках CL и 6 , что ранее при решении задач сопряжения не наблюдалось. Решения нелинейной задачи случая f(t)=1 получены в замкнутой форме и играют в дальнейшем роль канонической функции.

В § 3 находится общее решение основной задачи в классе аналитических и ограниченных функций, не имеющих нулей.

В § 4 исследуется общий случай в классе аналитических и ограниченных функций, имеющих любое конечное число нулей в наперёд заданных точках. При рассмотрении этого случая строится вспомогательная аналитическая и ограниченная функция с теми же нулями, что и искомое решение, как решение некоторой вспомогательной линейной задачи Римана.

В § 5 результаты исследований предыдущих параграфов переносятся на случай неограниченного контура.

Вторая глава диссертации содержит исследования нелинейной задачи вида (0.6) для случая контура L , состоящего из двух отрезков действительной оси. Постановка задачи, основные обозначения и классы функций, используемые в этой главе, вводятся в § б.

В § 7, составляющем основную часть главы, задача (0.6) исследуется в классе аналитических и ограниченных функций, не имеющих нулей. Это исследование осуществляется через рассмотрение линейной неоднородной задачи сопряжения, к которой сводится основная задача. Находятся условия разрешимости, решения задачи получены в замкнутой форме.

Б § 9 задача (0.6) решается в классе функций аналитических и ограниченных в расширенной плоскости с двумя разрезами по действительной оси с нулями в заданных точках. Получено условие разрешимости задачи в этом классе и приводится вид общего решения.

В третьей главе диссертации решается нелинейная задача вида (0.7) для контура, состоящего из совокупности Ш гладких дуг в классе аналитических и ограниченных функций. Постановка задачи и основные обозначения вводятся в § 9.

В § 10 задача (0.7) решается при условии d^JS , ot , £ -положительные действительные числа. Отдельно рассматриваются случаи, когда хотя бы один из показателей oi или f> есть иррациональное число и когда оба показателя оС и f> есть рациональные числа. В обоих случаях получены условия разрешимости и общие решения задачи (0.7) в классе аналитических и ограниченных функций.

В § II рассматривается задача (0.7), когда £ = , ci -действительное число. Отдельно исследуются случаи: - натуральное, oL>0 - рациональное, cL>0 иррациональное и cL< О - действительное. В каждом случае получены условия разрешимости и общие решения. Исследование проводится методом сведения к линейной задаче для разомкнутого контура и рассмотрения приращений аргумента решения линейной задачи по простейшим кривым.

Четвёртая глава диссертации содержит пример применения нелинейной задачи сопряжения, рассмотренной в третьей главе , к решению функционального уравнения вида

N4W-m) = $<*о1><%*)1р f (0 8) где - натуральное число. Этому вопросу посвящен § 12 , где даётся метод приведения функционального уравнения (0.8) к нелинейной задаче и устанавливается взаимнооднозначное соответствие между решениями функционального уравнения и решениями нелинейной краевой задачи. Решения уравнения (0.8) найдены в классе функций аналитических в полуплоскости Rew^O. В §13 и § 14 метод, введённый в предыдущем параграфе, применяется для решения уравнений и Y(w+1)=wY(w). При этом в § 13 найден общий вид целой периодической функции с периодом единица, а в § 14 находятся все решения уравнения ^(W+l)= =wV(w) в классе функций, аналитических в правой полуплоскости и имеющих там рост не выше первого порядка. Получено интегральное представление гамма-функции, которое в справочной литературе обнаружить не удалось.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Методика решения нелинейных задач сопряжения вида (0.6) для разомкнутых контуров.

2. Алгоритм поиска нетривиальных решений задачи вида (0.6) в классе аналитических и ограниченных функций, не имеющих нулей.

3. Методика построения общего решения задачи вида (0.6) в классе аналитических и ограниченных функций с наперёд заданными нулями.,

4. Способ нахождения условий разрешимости задачи (0.6) в классе функций аналитических и однозначных в плоскости с двумя разрезами на действительной оси.

5. Методика исследования нелинейных задач вида (0.7) на разомкнутом контуре.

6. Способ нахождения условий разрешимости задачи (0.7) при различных значениях показателей cl и f и построение общих решений этой задачи.

7. Методика решения функционального уравнения (0.8), основанная на сведении его к нелинейной задаче для разомкнутого контура.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20,38-41]. В совместной работе [20] Н.В.Говорову принадлежит постановка проблемы, определение порядка касания кривой и доказательство достаточности условий леммы 4.

Все основные результаты диссертации докладывались на III (1971 г.) и 1У (1975 г.) Республиканских конференциях математиков Белоруссии, на научных конференциях Кубанского госуниверситета ( 1972 г.,1973 г.,1976 г. ).

Автор искренне признателен своему научному руководителю профессору Н.В.Говорову за постоянное внимание и поддержку, в работе над диссертацией и навсегда сохранит добрую память о нём.

1. Аксентьева Е.П. К исследованию нелинейной граничной задачи типа Гильберта. 1.-Изв. вузов. Математика, 1970, № 5, с. 14-23.

2. Аксентьева Е.П. К,исследованию нелинейной граничной задачи типа Гильберта. II.-Изв. вузов. Математика, 1970, № б, с. 16-21. . .

3. Аксентьева Е.П. К исследованию нелинейной граничной.задачи типа Римана.-Изв. вузов. Математика, 1973, №6, с. 3-7.

4. Аржанов Г.В, 0 нелинейной краевой задаче типа задачи Ри-, мана.-Докл.,АН СССР, I960, т.132, №6, с. 1227-1230.

5. Аржанов Г.В. О нелинейной.краевой задаче типа задачи Ри-мана.-Сибирский мат. журн., 1961, т.2, №4, с. 481-504.

6. Аржанов Г.В. Разрешимость одного типа нелинейной краевой . задачи.-Докл. АН СССР, 1961, т.139, №2, с. 267-270.

7. Аржанов Г.В. Разрешимость нелинейной краевой задачи степенного типа теории аналитических функций.-Изв. вузов.Математика, .1970, ,№3, с. 3-5.

8. Аржанов Г.В. О зависимости решения нелинейной краевой задачи, от числовых параметров.-В кн.: Материалы Всесоюзнойконф. по краевым задачам. Казань, 1970, с. 9-12.

9. Аржанов Г.В. 0.разрешимости.однородной нелинейной краевой задачи степенного типа.-Изв. вузов. Математика, 1978, №8, с. 8-18. .

10. Бабаев А.А. О разрешимости одной- нелинейной краевой задачи аналитических функций.-Изв. вузов. Математика, 1978, №6, с. 27-35.

11. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра.~М.: Наука, 1965.-296 с.

12. Виленкин Н.Я. Комбинаторика.-М.:Наука, 1969.-328 с.

13. Габиб-гЗаде А.Ш. Исследование одной нелинейной задачи Гиль-берта.-Докл. АН.Аз.ССР, 1958, т.14, №4, с. 275-278.

14. Гавдзинский В.Н., Спитковский И.М. Об одном способе эффективного построения факторизации.-Украинский мат. журн., 1982, т.34, М, с. 15-19.

15. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.-М.:Наука, I963.-639 с.

16. Гахов Ф.Д. Краевые задачи теории аналитических функций и сингулярные интегральные уравнения.-Докторская диссертация,Тбилиси, 1941.

17. Гахов Ф.Д. О нелинейной.краевой задаче, обобщающей краевую задачу Римана.-Докл. АН СССР, 1968, т.181, №2, с.271--274.

18. Гахов Ф.Д. О нелинейной краевой задаче типа задачи Риманав многосвязной области.-Revue roumaine de matkemattc^ues pures et appEi^uees , 1968, т.13, №9, с. I3I9-I326.

19. Гахов Ф.Д. О нелинейной краевой задаче с допустимыми нулями на контуре.-Докл. АН СССР, 1973, т.210, №6, с. 1269-1272.

20. Говоров Н.В., Кузнецов Н.К. Об одной нелинейной краевой, задаче сопряжения для разомкнутого контура.-В кн.:Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков,1974, вып.20,.с. 49-63. . .

21. Градштейн И.С. и Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.-М.-Л.:ГИТТЛ, I95I.-464 с.

22. Гусейнов А.И. Об одной нелинейной граничной задаче теории аналитических функций.-Математический сборник, 1950 ,т.26(68):2, с. 237-246.

23. Гусейнов А.И., Абдурагимов М.А.0 некоторых нелинейных задачах сопряжения.со смещением.-Докл. АН Аз.ССР, 1966, т.22, №, е. . 32-37.

24. Гусейнов А.И., Абдурагимов М.А. Об.одной нелинейной крае. вой задаче.-Докл. АН СССР, 1967, т.173, №1, с. 22-25.

25. Гусейнов А.И., Абдурагимов М.А. Нелинейная задача сопря-. жения.-Докл.,АН Аз.ССР, 1971, т.28, №3, с. 3-6.

26. Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Введение.в теорию нелинейных, сингулярных интегральных уравнений.-М.:Наука, I980.-4I6 с.

27. Денчев Р. Об одной нелинейной краевой задаче теории ана- . литических функций, встречающейся в квантовой теории поля. -Журн. вычислительной мат. и мат.физ., 1963, т.З, №4,с. 771-776.

28. Евграфов М.А. Аналитические функции.-М.:Наука, 1968.-471с.

29. Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических.функций в гёльдеровских классах на римановых поверхностях.-Успехи мат. наук, 1971, т.26, ЖЕ, с. II3-I79.

30. Искендеров Б.Б. Нелинейная краевая задача со сдвигом.-Учёные зап. Азерб. ин-та нефти и химии, 1977, сер.9, №3,с. 46-50.

31. Искендеров Б.Б. Об одной нелинейной краевой задаче для.ку-. сочно-аналитических функций.-Научные труды MB и ССО Аз.ССР,сер. физ.-мат. наук, 1979, №5,.с. 30-39. .

32. Кашевский В.В. Обобщённая нелинейная краевая задача.на.торе.-Минск, I98I.-I4 с.-Рукопись представлена ред. журн. "Вестник БГУ им. В.И.Ленина". Деп. в ВИНИТИ 28 мая 1981,2523-81.

33. Кашевский В.В. Одна нелинейная краевая задача на римано-вой поверхности, гомеоморфной тору.-Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук, 1981, №6, с. 50-54.

34. Кашевский В.В. Нелинейная краевая задача степенного типа на абстрактной римановой поверхности.-Минск, 1982.-10 с. -Рукопись представлена ред. журн. "Вестник БГЗГ. им. В.И.Ленина". Деп.в.ВИНИТИ II февраля 1982, № 642-82.

35. Кашевский В.В. Одна нелинейная краевая задача,в случае сложного контура.-Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук, 1982,№4, с. 44-48.

36. Кашевский В.В. Условия разрешимости и пример нелинейной . краевой задачи на римановой поверхности.-Минск, 1982.-9с. -Рукопись представлена ред. журн. "Вестник БГУ им. В.И.Ленина". Деп. в ВИНИТИ 14 июля 1982, № 3778-82.

37. Комяк И.И. Нелинейная краевая.задача типа задачи,Римана с положительными показателями.-Изв. АН БССР, сер. §из.мат. наук,.1970, №6, с. 83-87.

38. Кузнецов Н.К. О нелинейной задаче вида (cPT=G (ФТ для разомкнутого контура.-Науч. тр. Кубанского ун-та ,1974, вып. 180, с. 65-71.

39. Кузнецов Н.К. О нелинейной задаче вида (Ф+)л=а( ФТ для разомкнутого контура.-Науч. тр. Кубанского ун-та ,1974, вып.180, с. 72-78.

40. Кузнецов Н.К. Об одной задаче.сопряжения.-В кн.:Тезисы докл. 1У Республиканской конф. математиков Белоруссии.Минск, 1975, ч. 2, с.

41. Кузнецов Н.К. Об одной нелинейной задаче сопряжения для плоскости с двумя разрезами.-Изв. вузов. Математика , 1977, № И, с. 34-45.

42. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные.интегральные уравнения со сдвигом.-М.:Наука, 1977.-448 с.

43. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций.-М.-Л.:ГИТТЛ, 1950.-704 с.

44. Мусхелишвили Н.И. Приложение интеграла типа Коши к одному классу сингулярных интегральных уравнений.-Тр. Тбилисского матем. ин-та АН Груз.ССР, т.10, 1941, с. 1-43.

45. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.-М.: . Наука, 1962.-419 с.

46. Наталевич В.К. О нелинейном сингулярном уравнении и нелинейные краевые задачи теории аналитических функций.-Докл. АН СССР, 1952, т.83, №1, с. 19-22.

47. Наталевич В.К. Нелинейные сингулярные интегральные уравнения и.нелинейные краевые задачи теории аналитических функций.-Учёные зап. Казанского гос. ун-та, 1952, т.112,№ 10, с. 155-190.

48. Наталевич В.К. Об одной нелинейной краевой задаче аналитических функций.-Науч. тр. Новочеркасского политехнического ин-та,.1955, т.26, с. 455-459. .

49. Обносов Ю.В. О нелинейной краевой задаче типа.Гильберта. . -Изв. вузов. Математика, 1973, № 10, с. 42-49.

50. Обносов Ю.В. Некоторые нелинейные краевые задачи теории голоморфных функций : Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук.-Казань, 1977.-14 с.

51. Обносов Ю.В. Решение однородной степенной задачи Гильберта с постоянным показателем.-Тр. семинара по краевым за. дачам. Казань, 1978, вып. 15, с. 99-107.

52. Обносов Ю.В. К решению линейной задачи Гильберта в,одном, особом случае.-Изв. вузов. Математика, 1979, №9, с.29-40.

53. Примачук Д.П. Нелинейная задача сопряжения для голоморфного вектора на разомкнутых дугах.-Докл. АН БССР, 1980, т. 24, № 2, с. I0I-I04.

54. Примачук Л.П. Нелинейная задача сопряжения на разомкнутой дуге для двух голоморфных функций.-Бестн. Белорусского ун-та. Сер. I, физ., мат. и мех., 1981, №1, с. 44-46.

55. Рысюк Н.А. Нелинейная краевая задача типа задачи Римана с. действительными показателями,в классе автоморфных функций.-Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук, 1973, №4, с. 51-56.

56. Рысюк Н.А. Нелинейная краевая задача типа задачи Римана с комплексными показателями.-Минск, 1974.-9 с.-Рукопись представлена ред. журн. "Изв. АН БССР". Деп. в ВИНИТИ27 февраля 1974, № 392-74.

57. Рысюк Н.А. О нелинейной краевой задаче типа задачи Римана. -Докл. АН БССР, 1977, т. 21, № 4, с. 299-301.

58. Рысюк Н.А. К вопросу решения нелинейной краевой,задачи. -Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук, 1980, №6, с. 41-44,

59. Соловьёв П.Б. Об одной граничной задаче в.теории.аналитических функций.-Докл. АН СССР, 1941, т.33, №3, с. 190^192.

60. Тимофеев Е.К. Об одной нелинейной краевой задаче.-Изв.вузов. Математика, 1969, № 4, с. 92-102.

61. Тимофеев Е.К. Нелинейные краевые задачи теории аналитических функций: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук.-Ростов н/Д, 1969.-7 с.

62. Толочко М.Э. О разрешимости нелинейной краевой задачи типа, задачи Римана для многосвязной области.-Литовский мат. сб., 1977, т.17, № 3, с. 136-137.

63. Турсункулов М.В. Исследование одной нелинейной задачи Гильберта со сдвигом.-В кн.: Вопросы интегрирования дифференциальных, уравнений. Ташкент, 1966, с. 232-248.

64. Черепанов Г.П. Упруго-пластическая задача в условиях антиплоской, деформации. -Прикладная мат. и мех., 1962, т.26,вып. 4, с. 697-708.

65. Черепанов Г.П. Решение одной линейной краевой задачи Ри-мана для двух функций и её приложение к некоторым смешанным, задачам плоской теории упругости.-Прикладная мат. имех., 1962, т. 26, № 5, с. 907-912.

66. Черепанов Г.П. Об одной нелинейной граничной задаче теории аналитических функций, встречающейся в некоторых упруго-пластических задачах.-Докл. АН СССР, 1962, т.147,3, с. 566-568.

67. Чибрикова Д.И. Основные граничные задачи для аналитических функций.-Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1977.-302с.

68. Чибрикова Л.И. Граничные задачи теории аналитических функций на римановых поверхностях.-В.кн.: Итоги науки итехники:,Мат. анализ, 1980, т. 18, с. 3-66.

69. Чочиев Т.З. Об одной нелинейной задаче Гильберта.-Труды. . вычислительного центра АН Груз.ССР, 1962, №3, с.237-239.

70. Юрченко С.И., Мельник И.М., Спинко Л.И. Нелинейная задача Римана с разрывными коэффициентами на римановой поверхности. -Дифференциальные уравнения. Рязань, 1979, №14, с.160170. . .

71. Peters A.S. The soEution of a certain nonlinear Riemann-HiE&ert pro&Eem with an appEication. Communications and AppEied Mathematics, v.26, tf2,p.S7-104.

72. Sasea A. 0 generaEizare a pro&Eemei Riemann omogene . Studii cercetari mat. Acad . RSR,1967, v.19 , к/1 , p. 155-161.

73. VaEiron G. Lectures of the generaE tkeory of integraE f unctions.-TouEouse ,1923.-625 p.