Сингулярные граничные задачи сопряжения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Усманов Нурулло
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Душанбе
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2004
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Усманов Нурулло
СИНГУЛЯРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ
01.01.01. математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Душанбе -2004
Работа выполнена в Таджикском Государственном педагогическом университете и Налогово-правовом институте.
Научный консультант: - Доктор физико-математических наук, профессор, академик Академии наук РТ Михайлов Леонид Григорьевич.
Официальные оппоненты:
Доктор физико-математических наук, профессор, академик Академии наук РТ Бойматов Камолиддин Хамроевич,
доктор физико-математических наук, профессор Карапе-тянц Николай Карапетович,
доктор физико-математических наук, профессор Курбанов Икром Курбанович.
Ведущая организация:
Казанский Ордена Трудового Красного Знамени Государственный университет
Защита диссертации состоится 15.09.2004 года в Д часов на заседании диссертационного совета ДР 047.007.10 Ученого Совета Институт математики АН РТ , г. Душанбе; 734063, ул. Айни 299/1
С диссертации можно ознакомиться в библиотеке Института математики
Автореферат разослан «_$_» ЦЮК%\ 2004 года
Ученый секретарь диссертационного совета
Исхоков С. А.
Общая характеристика работы.
Актуальность темы. Несколько десятилетий тому назад большое распространение получила теория краевых задачи аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений, центральное место в ней заняла проблема нахождения пары функций <р+ (z),<p' (z), аналитических внутри и
вне контура L соответственно, по линейному соотношению для их предельных значений
(p\t) = G(t)<p-{t) + g(t), tel, (0.1)
где G(t) и g(í) заданные функции. Для того случая, когда ¿-простой замкнутый контур, a G{t), g(t)непрерывны и удовлетворяют условию Гельдера (или Lipa, 0 < а < 1 ), а G(t), кроме того, еще удовлетворяет условию нормальности G(í) Ф 0 t € L ; общее решение (0.1), и притом в явном виде
(в интегралах типа Коши), впервые было найдено в 1936 году Ф.ДГаховым. В школе Ф. Д. Гахов (0.1) стали называть задачей Римана, а в школе Н.И.Мусхелишвили задачей Гильберта. Мы будем называть все подобные (0.1) соотношения задачами сопряжения. При g(t) s 0, задача (0.1) называлась еще также проблемой о факторизации, а в более общем случае такие системы типа (0.1) составили двадцать первую проблему Д.Гильберта (о линейных дифференциальных уравнениях с заданной группой монодромии). Отметим ещё, что Ф.Д.Гаховым были изучены случаи, когда G(t) имеет нули или полюсы аналитической структуры, которых были названы исключительными случаями.
В диссертации будут рассмотрены не изучавшиеся ранее случаи, когда G{t) имеет нули или полярные особенности не целого порядка и не голоморфной структуры, мы их будем называть сингулярными случаями.
Но действительно общим линейным условием сопряжения будет не (0.1 ), а следующая задача
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С. Петербург 2007 Р К
<p+ (t) = a{f)ç (í) + b(t)<p~ (i) + c(0 (A)
В 1952г. Н.П.Векуа привел ее к сингулярному интегральному уравнению и доказал для (А) теоремы Нетера (при условии нормальности a(t) ^ 0 ). В 1959 г. Б.В.Боярским были впервые найдены точные результаты для того случая, когда |а(/)| > \b(t)\, t е L при этом он ограничивался одно-связной областью и требовал для а(() условие Гельдера с показателем сколь угодно близким к единице. Построение гораздо более полной общей теории задачи (А), а также получение точных результатов для случаев
1) |a(f)| >|Ь(/)| (эллиптический), либо когда 2) |а(0| = |б(0| (параболический); было осуществлено Л.Г. Михайловым в 1958-1962 г.г. - при самых общих условиях: a(t) непрерывна и a(t) Ф 0, b(t) ограничена и измерима, c(i) е Lp (L), р > 1 ; были разработаны два метода как общего исследования задачи (А), так и ее эффективного решения. Следуя Л.Г.Михайлову, И.Х.Сабитов получил некоторое продвижение в исследовании задачи (А) для круга без каких-либо требований типа 1 ) или 2).
Значительно меньшее количество исследований относится к задачам сопряжения для уравнений в частных производных второго порядка. Ещё в 1958-1959 гг. в работах С.М. Никольского вариационными методами изучались задачи сопряжения гармонических функций в трехмерном пространстве.
Сразу после появления статьи И.Н. Векуа в математическом сборнике за 1952 г. Л.Г. Михайловым в 1954-1956 г.г. была дана постановка и общее решение задачи сопряжения для обобщённой системы Коши-Римана. В 1980г Л. Г. Михайловым была дана постановка задачи сопряжения первых производных, а также старших производных, в классе гармонических функций. В 1981 г. им была дана постановка задачи сопряжения (первых производных и искомых функций) для
общего линейного уравнения в частных производных второго порядка на плоскости с лапласианом в главной части. Во всех указанных работах рассматривались только регулярные краевые условия сопряжения.
Цель работы. Целью настоящей диссертации является построение теории разрешимости указанных задач сопряжения для случаев (мы их называем сингулярными), когда коэффициенты имеют нули или особенности неголоморфной структуры.
Ставится задача изучения сингулярных случаев для основных задач сопряжения, т.е. для задач типа (0.1) и типа (А), сначала для аналитических функций, затем для обобщенных аналитических, а также для гармонических функций. Кроме общего исследования нашей целью является нахождение точных значений чисел I и р (I -число решений однородной задачи, р -число условий разрешимости неоднородной задачи). Кроме того для тех частных случаев где это возможно, будут даны явные формулы для решения.
Методика исследования. В диссертации применяются многие современные методы теории функций; конечно, мы опираемся на предшествующие методы теории регулярных задач и конкретно на некоторые работы Ф.Д. Гахова , Н.И. Мусхелишвили и Л.Г. Михайлова.
Научная новизна. Впервые разработана теория классических граничных задач сопряжения (т.е. (0.1), (А) и др.) для тех случаев, когда главный коэффициент, определяющий условие нормальности, обращается в нуль или имеет полярные особенности неголоморфной структуры при этом, надо сказать что указанные сингулярные случаи изучаются в классах: аналитических функций, обобщённых аналитических функций, гармонических функций, а также для тесно связанного с ними характеристического сингулярного интегрального уравнения.
Все результаты предлагаемой диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Применения задач сопряжения в физике, геофизике и других науках
уже приобрели достаточно большую известность. Полученные нами результаты по сингулярным случаям задач сопряжения также могут найти применения в указанных областях.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-37]. Из работ написанных совместно с А.Муминовым, К.Норовым, в диссертации изложены лишь результаты, полученные непосредственно автором диссертации. Работы [17], [36] написаны в соавторстве с Л.Г. Михайловым, которому принадлежит постановка рассмотренной задачи.
Аппробация работы. Основные результаты диссертации и отдельных ее частей докладывались: на республиканской научной конференции по уравнениям математической физики, Душанбе 1983; на школе-семинаре «Актуальные вопросы комплексного анализа», Ташкент 1989; на расширенных заседаниях семинара института прикладной математики им. И.Н.Векуа. Тбилиси 1985; на Республиканской научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения», Куляб 1991; на Республиканской научно-практической конференции «Технический прогресс и производство» посвященной 1100-летию государства Саманидов, Душанбе 1999; на международной конференции, посвященной 10-й годовщине независимости Республики Таджикистан и 90-летию профессора М.А.Субханкулова «Методы теории функций и их приложения», Душанбе 2000; на научной конференции посвященной 60-летию Т.Собирова. «Дифференциальные уравнения и их приложения», Душанбе 2000; на третьей международной конференции по математическому моделированию, Якутск 2001.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, и списка литературы, содержащего 112 названий. Объем диссертации составляет 312 страниц машинописного текста.
Содержание диссертации. Предлагаемая диссертация посвящена изучению задач сопряжения в сингулярных случаях:
а) Задач сопряжения аналитических функций (з.с.а.ф)
<p~(0 = G(t)<p-(t) + g(t).
^ (г) = а{1)<р~(!) + Ь(1)<р~ (г) + с(1), (0 = + КО-;- + рО)<Р (г) + 8(0^(0+с(0
Л
а
(Л)
(А)
Л1 ' л'
б) Задач сопряжения обобщенных аналитических функций (з.с.о.а.ф)
<Гсг ¿V
Л"
Л"
»Г- (0 = "(/) + Ь(0№~(() + с(/),
+ =а
&
+ь
с\¥_
ы
где IV- решения обобщенный системы Коши-Римана следующего вида
в) Задач сопряжения гармонических функций (з.с.г.ф)
а„и* +уки* = цки~ +уки~+8ки-+пк , к = 1,2.
г) Обобщенное характеристическое сингулярное интегральное уравнение
(в сингулярных случаях)
а, (/)//(*) + #(/)- + а,(ОМО + Г—Л = Ф) ■
т • г-7 лг/г-/
Во введении дается краткий исторический обзор и обосновывается актуальность темы. Излагается также краткое содержание диссертации с перечислением основных результатов.
Первая глава, состоящая из десяти параграфов, посвящена исследованию сингулярных случаев граничных задач сопряжения аналитических функций. В § I рассматриваются сингулярные случаи краевой задачи сопряжения.
В качестве класса допустимых функций будем брать функции, которые в отдельных точках контура обращаются в
бесконечность порядка меньше единицы. Значение искомой функции на бесконечности будем считать равным нулю.
Пусть L простой гладкий замкнутый контур, разделяющий плоскость комплексного переменного на внутреннюю область D+ и внешнюю D . Пусть я, (0 и c(t) -функции точек контура, удовлетворяющие на L условию Гельдера, причем a{{t) Ф 0. Найти функции <р" (г) и <p~(z),
аналитические соответственно в D+ и D' и удовлетворяющие на L условию сопряжения (0.1 )
G (t}
Пусть в задаче (0.1) G{t)~—^L—, где /0 -некоторая
точка контура, /л - произвольное комплексное число с положительной вещественной частью, fj. = m-v (m — целое число), m = £(Де /л) +1 и 0 < Re ¡л < 1 , тогда решение задачи имеет вид
<р+(z)=(z-t0yx; {z)[r (z)+Рх_т (Z)].
<р-(=) =
'z-ta
-да
- X i
\z)[V+ /0)" (0-2)
Теорема 1.1. Если ав - т > 0, то общее решение неоднородной задачи (0.1) линейно зависит от 36- т +1 произвольных постоянных и определяется формулой (0.2), где при дополнительном условии <р (х) = о Р».т(1) следует заменить на Рде.т.1(г). При зе-т<0 однородная задача (g(t) -=о) в заданном классе имеет только нулевое решение, а неоднородная задача разрешимо тогда и только тогда, когда выполняются \Э5-т\ условий
[(/ - У а = 0 <7 = 1,2.....- ае-гол
/ *"(')
При выполнении этих условий неоднородная задача имеет единственное решение, которое получается из (0.2) при Рх.т(г)=0.
Пусть теперь в задаче (0.1) -/0|"С?,(/). Тогда ре-
шение имеет вид
Ч>+{2) = (г -О2"" +
г
где Т(г)- интерполяционный многочлен для функции С-'о УФ).
Теорема 1.2. Если ае>0, то общее решение неоднородной задачи (0.1) линейно зависит от зе+1 произвольных постоянных и определяется формулой (0.3), при дополнительном условии <р~(ас) = оР^) следует заменить наРд^^г).
При да < 0 однородная задача (g(t)& 0) в заданном классе и.неет только нулевое решение, а неоднородная задача разрешима тогда и только тогда, когда выполняются - аэ условий
г(г-у0Гс(О^ =0 (; = ол...„-зе) (0.4) / Х-г
Если эти условия выполнены, то неоднородная задача имеет единственное решение, которое получается из (0.3) при Рт(г)=0.
В §2 исследуются сингулярные случаи общей линейной граничной задачи сопряжения (А) в эллиптическом случае.
Дан простой гладкий замкнутый контур Ь , делящий плоскость комплексного переменного на внутреннюю область П+ и внешнюю О'.
Найти функции и <р~(г), аналитические в £)+ и
соответственно, если на Ь их граничные значения (р" (/*) и <р (г) удовлетворяют условию сопряжения:
<р' (/) = а(1)(р-(Г) + Ь(0<р-(Г) + с( 0, (А)
Теорема 1.3. Пусть в задаче (А) а(г) = --- -- , где jJ -
к 'оГ
произвольное число (возможно и комплексное)
ci\{t).b(t\c(t) е #(L) и«усть
где
1 + s,
s -норма в L сингулярного оператора s
О, (О
=1 т I т ■
Тогда при зе~т>0 однородная задача имеет 2(эе-т) линейно независимых решений, а неоднородная, безусловно, разрешима. При вв-т- 0 задача имеет и притом единственное решение, нулевое для однородной. При зе-т<0 однородная задача не имеет решений, отличных от нулевого, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно 2\зе-т\ вещественных или \зе-т\ комплексных условий разрешимости.
о), /с(гфг = 0- к=\2....,\ав-т\-1 (0.5)
I
!де линейный оператор.
В другом случае, п>сть а(1) = \!и I- окружность |-| = 1- функции о,(/),6(/),с(0 е Н{1) и предположим, кроме того, что 6(/),с(/) в окрестности точки ?0 имеют производные порядка т . удовлетво
Теорема 1.4. Пусть тах
ni
ряющие условию Гельдера.
|||рц < |. Тогда при
Я. С) ,
зе<0 однородная задача имеет 2эе линейно независимых решений, а неоднородная, безусловно разрешима. При 3в=0 задача имеет и притом единственное решение, нулевое для однородной. При Э&<0 однородная задача не имеет решений, отличных от нулевого, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно |ае| комплексных условий.
В §3 исследуются сингулярные случаи общей линейной граничной задачи сопряжения в параболическом случае
(p+{t) = I/ - tXat(t)(p-(t) + \t- t0\Mb}(t)ç-(i) + c{t) (A)
Теорема 1.5. Пусть в задаче (A) jôI(/)j = |Âl(/)| >0, а, (/), 6,(0^(0 е H и Л = Ind!a] (t) + lnd,bx{t),
7 = Ind, о, (0 - Ind, b{ (/),»= lud, ax (/), Д + 7 = 2 ae, l- число решений однородной задачи up- число условий разрешимости неоднородной. Тогда картина разрешимости имеет вид:
1.eaiu А > 0,7 < 0, то 1 = 0, р = 2\Щ-2;
2.если Л < 0,7 > 0, то I = Т] +1, р = Щ~\;
3.если Л > 0,7 > 0, mo I -2зе+2, р = 0;
4. если Л > 0,7 < 0, то разрешимость определяется из системы j^j -1 уравнений с Л +1 неизвестными. Различаются два случая:
1) Ж >1, тогда р = 0 и, вообще говоря, 1=2 (де+1), но в некоторых специальных случаях, когда имеются определенные скалярные зависимости между ах (t) и b\ (V), / может быть больше, любым из неравенства 2 3d +2< I < Л + 1;
2) зв< -1, тогда в общем случае I = 0, р =-2эе-2, но в указанных специальных случаях I и р могут быть больше, любых из неравенств 0 < / < Л +1 и -2з& -2< р < Ц -1.
В §4 исследуется общая граничная задача линейного сопряжения со сдвигом и с сингулярным граничным условием и когда L простой контур
Пусть: a(t)- непрерывна. b{t)~ ограниченна и измерима. с{/)е £ , р >1 и функция а (!) , отображает контур взаимно однозначно на себя с сохранением направления и имеет
производную а (Г), удовлетворяющую условию Гельдера и
не обращают) юся в нуль.
Требуется определить функции <р"(г). аналитическую в
области £>", аналитическую в области П~, предельные
значения которых на контуре непрерывны и удовлетворяют линейному соотношению
<p+[a(t)] = a(t)ç-(t) + b(t)(p-(t) + c(t), <р~(&>) = О (Аа)
В несингулярном случае эта задача изучена Л.Г. Михайловым.
В четвертом параграфе исследуется сингулярный случай, когда коэффициент a(t) в отдельных точках контура обращается в нуль или бесконечность целых порядков, иди же коэффициент b(t) обращается в бесконечность. Во всех
предшествующих работах по задаче (Аа) и её обобщениям сингулярные случаи не рассматривались.
Если в задаче (Ла) а( О = П (/-£„)4 а, (г), &
(п = 1,2,...,jV)- некоторые точки контура. sn - целые положительные числа, тогда справедлива
Теорема 1.6. Пусть D* и D -области аналитичности а{ (!) -непрерывна, а] (/) * О, зе- Ind^. U), b(t) ограничена измерима и c{t) е L,.
где К-норма в L, сингулярного оператора
/77 3 Г - t
/
И
то при ЭВ—s > 0 однородная задача (Аа) имеет 2(зе— s) линейно независимых решений, а неоднородная безусловно, разрешима.
При as- s <0однородная задача не имеет решений, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно выполнение 2|ae-s| вещественных или |se-s| комплексных условий.
Пусть в задаче (Аа),а(1) имеет нули, т.е.
А
a(t) = Y\{t - 4„У" > L -окружность (z| = l, ax(t)-
непрерывна bit) -ограничена и измерима, c{t) е L-,. Тогда справедлива
6,(0
Теорема 1.7. Пусть
: 1. Кроме того b(t) и c{t) в
а\ (0
окрестности точек t = Т (j = 1,2,..., J) имеют производные порядка d, удовлетворяющие тем же условиям, и что сами функции ав= Ind, al (t).
Тогда при ае>0 однородная задача (Аа) имеет 2 se
линейно независимых решений, а неоднородная безусловно разрешима.
При ае< 0 однородная задача не имеет решений, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно 2\зе\ вещественных или \зе\ комплексных условий \rke[c,{t)\it = 0, £ = 0,1.....|ае|
/
где в - линейный оператор.
Изучен также случай, когда коэффициент a(t) обращается в нуль или бесконечность любого порядка, модульного характера, т.е. ait) = \t-10^а,(г), где ах(0*0.
В §5 исследуется общая граничная задача (А) в случае, когда в коэффициентах ait), b(t) и в свободном члене c(t) сочетаются особенности различных типов:
1, a{t), b(t) обращаются в нуль, c(t) обращается в бесконечность,
2,a(t), h(t) имеют разрывы первого рода, c(t) обращается в бесконечность,
3,a{t), b{t) обращаются в нуль, c(t) имеет разрыв первого рода.
В §6 исследуется обобщенная граничная задача линейного сопряжения в сингулярном случае. При исследовании более общей задачи
ах {t)<p-(t) + b{ (t)<p~(t) = а2 (i) ср- (0 + Ь2 (t)<p~(t) + c(t) (Л2 )
Л.Г.Михайловым было установлено, что требование A(t) - ах (t')a2 (t) - bx (l)b2 (t) Ф 0 является условием нормальной разрешимости этой задачи.
В постановке краевой задачи (А2 ) допускаем, что коэффициенты ах (t), а2 (t), bx (t), b2 (t) в отдельных точках контура обращаются в нуль или бесконечность целых порядков, но рассматривается также случай, когда
а 2 (/) = |/ - /0 Г а2 (0 ,b2(t) = \t -t^ b2 (t), где мф о, ta- некоторая точка контура.
В §7 исследуется задача сопряжения аналитических функций с первыми производными и с сингулярными граничными условиями.
ср-= ait) Ц- + + р( 0<Р~ (0 + д(0 <р ~ (0 + с(0,
dl at
о) = 0, (Ах)
Пусть (Ах) a{t) = \t -t^"a{(t), Ц- произвольное комплексное число, ах (t) Ф 0 ; функции
q{t), c(t) удовлетворяют условию Гельдера и искомые функции вместе с производными, входящими в краевое условие непрерывны вплоть до границы кроме точки tQ, в которой допускается особенность порядка меньше единицы.
Пусть /л = т - v (т -целое число, т = £(Reju) +-1 О < Re к < 1.
Теорема 1.8. Если
max
6,(0
a,(t)
с-'„г
max
'Л(')
+ max
Z'(f)a3(t)
1 + 5,
где 5 j -норма в L1 сингулярного оператора
Sp
- [^-dr, z4t) = fzn(t)a3(t)x-(t), ae = Indfa,(t).
Tli i T-Z
0>u
в = arg(/ - ), PlO) = (t-t0YP(t),
fl,(/) = e1(0e",B(/-zor,
ae= IndLa3(t), c,(t) = (t-toy c(t), то тогда при эе-т-1> О однородная задача (Д) имеет 2(д&-т -1) линейно независимых над полем вещественных чисел решений, а неоднородная безусловно разрешима. При зе—т —1<0 однородная задача не имеет решений, отличных от нулевого, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно 2\эв-т-1\ вещественных или \зе-т-1\ комплексных условий JV*r[c,(/)]<# = 0, к = 0,\,...,\зе-т-1\-1, где Т - линейный
L
оператор.
Пусть в (А,), а, (0 а(/) = (/-/0|"а,(/), Z-окружность |z| = l, /?(0 = 0, функции а,(/)> 6(0, q(t),c(t) е Н и кроме того b(t), ^(0, с(/) в окрестности точки t0 имеют производные порядка т.
Теорема 1.9. Если ае= Ind, о, (/) и
max
V)
+ max
в, (О
<1»
где 6, (0 = (/ - /0)'' 6(0, q, (0 = (/ - /0) " q(f).
Тогда при ав-1 >0 однородная задача имеет 2(зе-1) линейно независимых решений, а неоднородная, безусловно, разрешима. При зе -1 =0задача имеет и притом единственное решение, нулевое для однородной. При ае -1 < 0 однородная задача не имеет решений, отличных от
народная задача не имеет решений, отличных от нулевого, а для разреши.чости неоднородной необходимо и достаточно 2\зе-1\ вещественных или \зе-1\ комплексных условий
^rkT\cx(t)]flt = О, к = 0,1,-.,\эв-т-1\~1, где Т - линейный
оператор.
Не требуя условия эллиптичности для случая Ь-окружность будем иметь: поскольку />(/) = (г-/'0)'/Г</й,(О и #(/) разлагаются в равномерно сходящиеся ряды Фурье
b(t) ~ j^bttk > q(t) = ^qktk у то это обеспечивает существо-
вание такого номера N, для которого выполняется неравенство
Пусть Ь_п и q_m соответственно первые из коэффициентов Ь_Ы,Ь ^„...„бД... и q_hl,q_N^,....,qiq0....n<N и т < N отличные от нуля и г = maх(п -1 ,т). Тогда справедлива
Teope.ua 1.10. Пусть a{(t), b(t), q{t),c(t) е H{L) и b(t), q(t), c{t) в окрестности точки t0 имеют производные любого порядка, удовлетворяющие условию Гельдера; 35= Ind¡ ai (t), I-число линейно независимых решений однородной задачи, р -число условий разрешимости неоднородной задачи, Тогда а) При г > 1
1) Если ге> г то I = 2(эв-т), р = 0
N
N
+ тах-——v. <1
, *-т(о 1
2) Если 0 < ае<г, то р = I - 2 (зе-1) и при
{2(эе -1)</<г + ае при ае + г - четном {2(ее ~1)< / <г + ае — 1 призе + г - нечетном
3) Если-у + 2-зе<0, то р = 1 -2(ав-1) и {0</<г + ае-1 призе + г - четном [{0</<г + эе-1 при ае + г - нечетном
4) Еслиае<-г + 2, то р = 1 -2(зе-1)
5) При г < 1
1) Если ае-1 > О, то I = 1 -2(ае-1), р = 0
2) Если ае-1<0, то 1 = 0, р = 1-2(ае-1).
В §8 рассматривается задача сопряжения аналитических функций с производными высших порядков
Ш М 1с-ц
, ч ¿к<Р . / •
Ак
+ с(г)'
Жк
<р-(сс) = о, (Ап)
где а„(0- непрерывно а„(0 * 0 (/) и все ак{О, Ьк (0 Офаничены и измеримы, с(/) е Ьр, р>\. При указанных условиях ряд результатов для (Ап) был получен Л.Г.Михайловым. Нами проведено исследование задачи (Ап) в сингулярных случаях
ая(0 = ИоГЧ(0> а;(0*0(//^0),либо а,„(/) = а"(Г)
<та>
Теорема 1.11. Пусть
МО
с-'»)"
таН-V- + та>
¥Я1
(0.7)
Тогда при ЗВ-т-п-1>0 однородная задача (Ап) имеет 2(зе— т — п) линейно независимых решений, а неод-
неродная безусловно разрешима. При Эв-т~п-\<Моднородная задача не имеет решений, отличных от нулевого, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно 2\зе-т-п\ вещественных или 2\зе-т-п\ комплексных условий вида:
|гАЛ[с,(О^ = 0» к = 0,1,...,2\зе-п-с!\-1, где Л - линейный
I
оператор.
Если в задаче (Ап) будет по-прежнему сингулярный
случай, но более частный, когда нули или особенности будут целого порядка и аналитической структуры то имеет место
Теорема 1.12. Пусть Ь -окружность ¡¿| = 1, ап (/), &„(/), с(0, Ьк(ОеН(Ь), V = тах(/и-п,тк - к), к = 0,1,...,и-1, ае= ¡п(1,ап{{), I- число линейно независимых
над полем вещественных чисел решений однородной задачи, р -число условий разрешимости неоднородной задачи.
Тогда I и р выражающая через V, эе,с! следующим
образом:
а) При V > 1
1) Если ае-и-1 > у + то I = 2(ае-п-ф, р=о
3) Если 0<ае-и + 1- г/ <у,то р = I - 2(ае-п-с!) и
[{2(эе-п-с1)<1<у + с1-х + п при V + с1 -х + п-четном Ц2(аг -п-с1)<1<у + х- с1-п-\ при у + <1 -х + п - нечетном
4) Если - у + \- д2 + п- с1<Ъ,тор = 1-2(ге-п-й) и ¡{0<1 <у + х-п-с1 при V + с1 - эе + п - четном [{0</<у + ае-и-£/-1 при V + с1 -ге-п-нечетном
5) Если ее-п<с1-у + \, то р- 2(% -с1-\)
б) При V < 1
7) Если зе-п-с! >0, то I = 2(ав-п-ф, р = О
8) Если зе-п-ё <0, то 1 = 0, р =2(ее-п-ф.
Пусть ап(1) = (1-10)иа',(0, а„(()* 0 и I -окружность |/| = 1. Предположим, что ак(0 = 0 (к = 0.1,...,и-1), а1(П, Ьк{1), с(/) и все Ьк(/) в окрестности точки имеет производные порядка ¿1, удовлетворяющие условию Гельдера.
Искомые функции вместо производных, входящими в краевое условие, непрерывны вплоть до границы.
Теорема 1.13. Пусть Ь -окружность |/| = 1 и
Ьк(1)€.Н(Ь), к = 0,\,...,п-\, кроме того Ьк{1), с{I) в окрестности точки /0 имеет производные порядка (I, удовлетворяющие условию Гельдера зе = Ш1аИЦ). V - тах(/и -п,тк -к)(к = 0,1,...,и-и I-число линейно независимых решений однородной задачи над полем вещественных чисел, р -число условий разрешимости неоднородной задачи. Тогда I и р выражаются через V, Зв следующим образом:
а) При V > 1
1) Если зе-п +1 > V, то 1 = 2(зе-п), р- 0
1) Если 0<аг-п + \<у,то р = 1-2(ве-п)и [{2(аг -п)<1<у + ге-п при у - ае + п - четном
[{2(эе - п)<1 <у + ге-1 при у - ае + п - нечетном
2) Если + х~п<0,то р = 1- 2(3в-п) и Г{0</<у + аг-й при у - ае + п - четном [{0</<у + эе-и-1 при у -3£ + п- нечетном
3) Есгиге-п<~у + \, то 1 = 0, р = 2(зв-Ы)
4) При V < 1
5) Если зе-п > О, то I = 2(зе-п), р = О
б) Если зе-п < 0, то 1 = 0, р = 2(зе-с1).
Если коэффициенты b„(t), bk (t) удовлетворяют неравенству
шах
i
то числа / и р находятся точно.
Теорема 1.14. Пусть L -окружность |/| = 1, a'n(t), bn(t), c{t), bk{t) e H(L), bk(í) = 0(k = 0,\,...,n-\), c(t) вокрестности точки t0 имеет производные порядка d, удовлетворяющие условию Гельдера и выполнено условие (0.9). Тогда при зе-п>0 однородная задача, безусловно, разрешима.
При зе-п < 0однородная задача не имеет решений отличных от нулевого, а для разрешимости неоднородной задачи необходимо и достаточно выполнение 2\3в~п\ вещественных условий.
В §9 исследуется задача
а,(О ¿y | ¿,(Q = a2(t) dm<p~ |
М j.ffi v - j4m ó j+n
XVf-r.f dt
Ы 7=1
L j
Точки ak, Pj, f,, rjr - не совпадают между собой.
Здесь (Ar = 1,2,...,//);^ (у = 1,2,...,v>; У(0' = 1,2,...,£); /7Г
(г = 1,2,...,¿у) - некоторые точки контура ,pi,dl,pr -целые
положительные числа, а, (/),6, (í), а2 (?). (0^, (0. (0>с(0 е Н, Кх,Кг- линейные ограниченные операторы, действующие из Я(£) в Я(I).
*„(0
и-1
шах
i
z~(0"„(0
¿v
Л"
+ с-(0
В §10 исследуются некоторые другие сингулярные случаи, когда:
а)аи(0 = ('-'„) 4(0 или «„(0 = ('-/0)Ч(0;
б) a„(t) ~to) -Ja„{t)или bn(t) = (t- '2ГЧ*(0;
в) a„{t) = (' ■d<a„(t) или b„(t) = (t- -t2rd%(t)
0 a„(t) = (t- -O" J'a'XO или bn(t) = ('- -'2r4*(0
Д) а„(0 =а d'a„(t) или b,X0 = = (/- -'2ГЧ(/)
ж) а,(/) -o -"'a'Xt) или b„{0 = (t~ -лГЧЧо
3> «ДО =(t -o -^an(t) или b„(0- --(<- -'2гЧ'( о
е)ая(0 = -i.)* Ч'(0 или b„(t) -'2r4*(0
где d,d{,d2 - целые положительные числа. Вторая глава диссертации, состоящая из четырёх параграфов, посвящена исследованию сингулярных случаев задач сопряжения обобщенных аналитических функций. Л.Г. Михайлов впервые рассмотрел простейшую задачу сопряжения для пары функции вида U(z) = u + iv, где u.v - решения системы, называемой обобщенной системой Коши-Римана, а ее решения U - u + iv, называемых обобщенными аналитическими функциям :
U (t) = G(t)-U-(t) + g(t) (0.10)
ди_д& дх ду
дх ду
= а{х, y)u+b(x,y)3 + Дх, у) = с(х, у)и + d(x,y)9 + g(x, у)
РП —
- А(г)и + В(г)Ът + С(г) (0.11)
дг
В §1 гл II исследуются сингулярные случаи краевой задачи (0.10) для (0.11). В диссертации исследуются сингулярные случаи (0.10), когда
здесь Tj(j = 1,2,...,J), 7г(г = 1,2,....Л), (и = 1,2,..., ЛО, С,, (от = 1,2,...,Л/) - некоторые различные точки контура, d ,kt, sn, qm -целые положительные числа. Точки т j,J]l. будут нулями функции G(t). Точки , будем называть ее полюсами.
Обозначим:/«¿/G,(/) = аз, ¿</;=</, ¿*Г=Ь
J=i г-1 и=1
U
X = <7 ■ Решение ищется в классе функций ограниченных
m=i
на контуре.
Рассмотрен также случай, когда GiO^-^-O^t) (°-13)
МГ
(а,р- некоторые точки контура, произвольные числа
Hx-mx-vv ц2-тг- v2). Тогда:
если эв-т2> 0, то общее решение неоднородной задачи Римана даётся формулой U(z) = /(r)[Fp.ffi(z) + ff(r)j и содержит 2{88-т2) произвольных вещественных постоянных. При 38-т2 =0 решение единственно.
При де~т2 < 0 необходимые и достаточные условия разрешимости задачи состоят в выполнении \дв-т\ равенств
— \-^-e-a{,)tkdt = 0 Ar = 0,l,2,...,|6B-m2|-i,
где co{t) определенная функция, выражающаяся через коэффициенты и свободные члены краевого условия и уравнения.
Все решения задачи (0.10) для неоднородного уравнения даются формулой Щ:) = z(?)[Vr(z) + Щ (-)]+ F(=)
Структура общего решения такова: первое слагаемое Vp(z)%(z) есть общее решение задачи для однородного уравнение при однородное краевом условии, второе слагаемое /(z)W,(z)ecTb частное решение задачи для однородного уравнения и преобразованного неоднородного краевого условия, третье слагаемое F(z) есть частное неоднородного уравнения, непрерывное во всей плоскости и равное нулю на бесконечности.
Вывод:
Задача (0.10) для неоднородного уравнения имеет при ее -т2 >0 решений
U(z) = (z> + ^(°Л4>
содержащее 2(5В-т2) произвольных вещественных постоянных. При Зе-т2 =0 решение единственно и дается формулой
U(z) = X(z)Wl(z) + F(z) (0.15)
Если ав-т2 < 0, то необходимым и достаточным условиями разрешимости будут
fM±MziMe-,<V<£ = 0, к = 0,1,2,...,\ае-т21-1 (0.16)
I Z+( О
В §2 гл II исследуются сингулярные случаи краевой задачи
U+[a{t)] = G(t)U-{t) + g{t) (0.17)
Мы проводим решение уравнения с краевым условием (0.17) в сингулярном случае, т.е. допуская, что функция G(t) в отдельных точках может обращаться в нуль или бесконечность модульного характера:
1г-гГ
±-G{t)U-{t) + g{t) (0.18)
где произвольные числа, - некоторые точки конту-
ра.
Пусть fÀx-m-vx, /j2 =n-v2 (т,п-целые числа), О < Rev, <1, 0<Rev2 <1.
В §3 гл II исследуются сингулярные случаи задач сопряжения обобщенных аналитических функций. В классах о.а.ф. JT. Г. Михайловым в классе о.а.ф была рассмотрена общая линейная задача сопряжения
W+(l) = a(t)W (t) + b{t)W~(t) + c(t). W~(оо) = 0 (0.19)
Нами дано исследование задачи (0.19) в случае, когда коэффициенты a(t) и bit) имеют вид:
С = 1
2. a{t) = f\it ~ T]r)'Kra° (0, bit) = f[(i " •
Г=1 Г—1
R M
3. ait) = Xlit-îlrrK'a\t) > bit) = ПС - Cmr-b\t) ■
/•=1 m=\
4. ai^^flit-r^'a'it).
i
Здесь t] ( y = l,2,...,./), 7г(г = 1,2,...,Л), Ç„ in = 1,2,...,N ), Çm im = 1,2,...,M ) - некоторые несовпадающие ючки контура drRr,sn,qm -целые положительные числа.
J N M R
Обозначим = s, ^Rr=R,
J=I /Ы m=l r-1
Теорема 2.1. Пусть !У' многосвязная область; аЧпУЮ.сфеНЩ, т=Ыа\г) и
шах
ГП Ц-г,гУкГ1Ь*
1 + 5,
где
- норма в Ь2 сингулярного оператора = — •
т / г - /
Тогда при зе-к> 0 однородная задача (0.19) имеет 2(за-к) линейно независимых решений, а неоднородная, безусловно, разрешима. При зе-к < 0 однородная задача не имеет решений, отличных от нулевого, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно выполнение 2\зе-к\ вещественных или |ае-А] комплексных условий |г''£?[с(0]<Л = О» Р - 0.\.2,...,2\вб-к\-1, где О -вполне опреде-
I
ленный линейный оператор.
Аналогичным образом исследуются случаи, а)
а(О = [(-10Га0(1): б)*(/) = ¡1 -г0\и' Ь°(1); в) а(0 = -Ц м а°(0.
= 1 М-Ь\п. /их./и2 произвольные числа. В §4 гл II исследуются сингулярные случаи задачи
Ш" ---
Иг+(0 = а( 0-—+Ь{1)--(0.20)
дг с?
(в классе о.а.ф)
В 1980-1981 г.г. Л.Г. Михайловым были поставлены и изучены задачи сопряжения для гармонических функций (з.с.г.ф) затем и для общего уравнения второго порядка с лапласианом в главной час ги.
В главе Ш будут рассмотрены сингулярные случае граничных задач сопряжения гармонических функции, а именно те случае, когда коэффициенты могут иметь нули или полярные особенности.
В §1 гл. Ill диссертации рассмотрены сингулярные случаи этих задач сопряжения.
а* (0 - А'(0 - , ч ♦
л -«V +ГЛ0« =
Г = 1 /=1
II-1 Н_1
Здесь7Г (г =1,2,...,/?); £„,(и = 1,2,...,^-некоторые точки контура; кг, 5,, -целые положительные числа. Тогда (0.25) сводится к задаче
----а(п <р~ + - ~<р~ + у(()Ке.(ЯК<р~) + с,/(/) =
l' - 'к
г-1
„(Л — (0.26)
w ' s v ;-<р +S{t)Ke{R,cp ) + c,8{t) + n(t)
г 1 я-1
Теорема 3.2. Пусть в з.с.г.ф (0.26) будем a(t),p(t),y(t).iu{t),v{t).d(t). и*еНЩ а k = \.2eH{L) При условии F(t)* 0, для задачи (0.26) справедливы теоремы Нетера с индексом зе= 2Ind, F{t) - s + 2, т.е. число решений однородной задачи I и число условий разрешимости неоднородной р конечны.
Также исследуется случае, когда коэффициенты обращаются в бесконечность модульного типа.
В §2 гл III исследуется задача
<*Х Ч'-'о!VI(>К Н'^оГ^иГ +7*. к = 12 и;(со),и;(сс) = 0, (0.27)
где Л - некоторое комплексное число.
Требования к граничным условиям: все компоненты (0.27) удовлетворяют условию Гельдера, кроме того ак.(5к ,г]к в точке / = /0 дифференцируемы достаточ-
ное число раз.
Заменой д.и = (р задача (0,27) сводится к задаче
а(р+ + Рф* = -/0|Л/^Г + \(-(0\лу<р~ +4, (0.28)
Теорема 3.3. Пусть а2 (7) = ца - у(3 , &,(/) = у а - ¡лр,
а,(0 * 0, зе= 1п(1,аг{1). Если 5ир
ъ2( о
а, (О
., где $ - нор-
ма в I. сингулярного оператора $ =— Г-^-^с/г» то при
'' т / т-{
ЗВ > 0 однородная задача имеет 2зе линейно независимых решений, а неоднородная безусловно разрешима. При эе-0 задача имеет и притом единственное решение, нулевое для однородной. При зе<0 однородная задача не имеет решений, отличных от нулевого, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно выполнение 2\зе\ вещественных или |аэ{ комплексных условий р *£)[Чм/)]сй =
к = \.2,...,2\ав\, где (? - линейный оператор. Рассмотрена также задача
(0.29)
|'-'оГ К-'оГ
преобразуемая в следующую
а(1) , Ь(0
= + (0-30)
К-'о К—'о I
где а ■■
ма^Р ь^-М. с = .\aW\P\
а -
и-и' и-и
Так, как ¡г-?йГ =(?-?0)-е где в = аг§(/-/0). поэтому (0.30) принимает вид
<p\t)= y „ <p~(t)+ y . y-(0 + c(0 (°-31>
l'-'ol K-'ol
Пусть À = m-Ç, m -целое число, w = E{ Re A) f 1,
0<Re^<l.
Теорема 3.4. Пусть /ла - vß, va- nß e //(£) и выполнено условие эллиптичности.
Тогда при se-m > О однородная задача имеет 2(зе-т) линейно независимых решений, а неоднородная задача безусловно разрешима. При 36- m = 0 задача имеет и притом единственное решение, нулевое для однородной. При ве- m < О однородная задача не имеет решений, отличных от нулевого, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно выполнение 2\зе-т\ вещественных или \ЗВ-т\ комплексных условий.
Теорема 3.5. Пусть в задаче (0.29) или (0.31) \juä-vß\ = \ца -Щ > 0,rj,a,v,ß s H(L)3BX-lud,a(t) + Ind,b(t),
ав, = Indjait)-lndLb{t)> 3S=Ind,a(t), зе,+ ге2=2зе, l- число решений однородной задачи, р - число условий разрешимости неоднородной.
Тогда картина разрешимости имеет вид:
1. Еслиав,<0,ав2<0, то 1 = 0, р = 2\зе-2\;
2. Если ав, < 0. зе2>0, то 1= ав2 +1, р = |зеД-1;
3. Если ав, < 0, ав2 >0, то I = 2 ав+2, р = 0 ;
4. Если ав, > 0, эе2 <0, то разрешимость определяется из системы \зв\-1 уравнений с ав, +1 неизвестными.
Различаются два случая:
1.33 > -I, тогда р = 0 и вообще говоря, I = 2ав+2, но в некоторых специальных случаях, когда имеются определенные скалярные зависимости между a{t), b{t), I- может быть больше, любых из неравенств 233*2 < р< aBf +1;
2. да< -1. Тогда в общем случае 1 = 0, р = 2аэ-2, но в указанных специальных случаях 1 и р могут быть больше любых из неравенств 0 < / < аЭ} +1 и -2эе-2< р < |ае* |-1.
Аналогичная теорема имеет место для задачи (0.29).
В §3 гл III исследуются различные подслучаи з.с.г.ф в сингулярном случае, когда удается получить явное решение.
В §4 гл III исследуются задачи сопряжения для полуплоскости:
Пусть L = {- оо < / < сю} действительная ось. Требуется найти две гармонические соответственно в верхней D* и нижний D' полуплоскостях функции и*(х,у),и~(х,у), по граничному условию
aku+x+ßku:=Mt)u:+vk{t)u;+7jk, £ = 1,2 (0.32)
« = («,+ //?,) + (А - "*2)>Р = («I -) ~ (А + )' м = (м>-IV2)+ (^2 У =
Тогда
1. Призе> О, / = 2ае и р = 0;
2. Приэг< 0, / = 0, р = 2|ае|.
Необходимые и достаточные условия разрешимости неоднородной задачи имеют вид:
у
- О"1 в[с{ф( = 0,к = 1,2,...,-ав.
— X
Хотя основное содержание диссертации связано с краевыми задачами сопряжения, но. как известно из классических краевых задач к ним близко примыкают и сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши. Поэтому в главе IV мы специально рассмотрим характеристические сингулярное ин-
Мы ограничимся следующим: = 0.
Теорема3.6. Пусть ak,ßk,nk,vk,rjk е #(-<»:со), ®= Itid, (а/л - vß) - """ av-uft
тегральное уравнение для тех не изучивших ранее случаев, когда нарушается условие нормальности.
В §1 главы IV7 диссертации рассматриваются сингулярные случаи характеристического особого интегрального уравнения
* V - а(0<р(0 + = /(0 (0.33)
т ¿т-1
В §2 гл IV исследуются сингулярные случаи обобщённого характеристического особого интегрального уравнения
Публикации по теме диссертации
1. Усманов Н. Об одной краевой задаче теории аналитических функций с производной в краевом условии. ДАН Тадж. ССР, т. II, 1968,7-10
2.Усманов Н. Особые случаи краевой задачи с производной на окружности. ДАН Тадж. ССР. Т. XVII, №5, 1974, 12-16
3.Усманов Н. Особые случаи краевой задачи сопряжения аналитических функций с производными, ДАН Тадж. ССР, т XVII, №7, 1974, 7-1.
4.Усманов Н. Задача сопряжения аналитических функций с производными высших порядков в особом случае. ДАН Тадж. ССР, тХУН,№10, 1974,7-11.
5.Усманов. Н. Особые случаи граничной задачи линейного сопряжения в параболическом случае. ДАН Тадж. ССР, 1977, т XX, №7. 11-14.
6.Усманов Н. Об одной краевой задаче теории аналитических функций с рациональными коэффициентами. Материалы молодых учёных Таджикской ССР, Душанбе 1974, 40-41.
7.Усманов Н. Некоторые другие особые случаи задачи сопряжения аналитических функций с производными. Дифференциальные и интегральные уравнения (Межвузовский сборник статей). Вып.2, Душанбе 1978,68-74.
8.Усманов Н. Особые случай задачи сопряжения с производными для полуплоскости. Дифференциальные и интегральные уравнения (междувузовский сборник статей). Вып.2, Душанбе 1978, 75-80.
9.Усманов Н. Обобщённое характеристическое сингулярное интегральное уравнение в особом случае. Изв. АН Тадж. ССР. Отд. Физ-мат и геологических наук. 1978, № 1. 11-19.
10. Усманов Н. О задачах сопряжения гармонических функций с сингулярными граничными условиями. Тезисы республиканской научной конференции по уравнениям математической физики. Душанбе 1983, 39-40.
11. Усманов Н. Некоторые задачи сопряжения гармонических функций с производными до второго порядка. Тезисы докладов школы - семинара. Актуальные вопросы комплексного анализа. Ташкент 1989, 123.
12. Усманов Н. Общая граничная задача линейного сопряжения со сдвигом с сингулярным граничным условием ДАН Тадж, ССР, 1984, т. XXVII, №1, 14-18.
13. Усманов Н. Сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных аналитических функций. ДАН Тадж. ССР. 1991. т.
XXXIV, №4, 216-220.
14. Усманов Н. О задачах сопряжения гармонических функций разрешаемых в замкнутой форме. Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения, 1991, 129-134.
15. Усманов Н. Сингулярные случаи задачи сопряжения с производной для обобщенных аналитических функций. Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения, 1991, 135-142.
16. Усманов Н. Некоторые задачи сопряжения с производными второго порядка, а также их сингулярные случаи для гармонических функций на плоскости. ДАН Тадж. ССР, 1992, т.
XXXV, №5-6, 237-240.
17. Михайлов Л.Г. Усманов Н. Сингулярный случай задач сопряжения аналитических, обобщенных аналитических и гармонических функции. Труды международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе 2003, 100-102
18. Усманов Н. Сингулярные случаи задачи сопряжения гармонических функций с производными второго порядка включительно. Тезисы докладов республиканской научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Куляб. 1991, 162-163
19. Усманов Н. Об одной краевой задаче сопряжения гармонических функций для круга. Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения (сборник научных трудов) выпуск 2, Душанбе 1994, 66-69.
20. Усманов Н. Исследование характеристического сингулярного интегрального уравнения с разрывными коэффициентами и для разомкнутых контуров. Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения, выпуск 4, Душанбе 1996, 92-95.
21. Усманов Н, Норов К. Особые случаи краевой задачи Римана для системы уравнений эллиптического типа. Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения.
Выпуск 4, Душанбе 1996, 96-101.
22. Усманов Н. О задачах сопряжения гармонических функций с разрывными коэффициентами и разомкнутыми контурами. ДАН РТ, 1996, т. XXXIX, 9-10, 61-68.
23. Усманов Н. Сингулярные случаи краевой задачи типа Римана для системы уравнений эллиптического типа. ДАН РТ, 1996, т. XXXIX, №9-10, 69-74.
24. Усманов Н. Краевая задача Римана для кусочно аналитического вектора в сингулярном случае материалы. Тезисы международной конференции. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Душанбе 1998,91-92.
25. Усманов Н, Муминов А. Об одной краевой задаче сопряжения гармонических функций и ее особый случай. Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. Выпуск 7. Душанбе 1998, 85-89.
26. Усманов Н. Общая граничная задача линейного сопряжения с разрывными коэффициентами в параболическом случае. Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. Выпуск 6, Душанбе 1998, 110-114.
27. Усманов Н. Обобщенная граничная задача линейного сопряжения с разрывными коэффициентами и с разомкнутыми контурами. Вестник педагогического университета, №5, 1999, 8994.
28. Усманов Н, Караев X. Общая квазилинейная граничная задача линейного сопряжения с сингулярным граничным условием. Вестник педагогического университета, Душанбе 1999, №7, 56-58.
29. Усманов Н, Караев X. Об одной граничной задаче гармонических функций. Тезисы докладов республиканской научно-практической конференции «Технический прогресс и производство», посвященной 1100-летию государству Саманидов, Душанбе 1999, 63-65.
30. Усманов Н. Задача сопряжения обобщенных аналитических функций с разрывными коэффициентами. Тезисы докладов Республиканской научно-практической конференции «Технический прогресс и производство» посвященный 1100-летию государства Саманидов, Душанбе 1999, 66-67.
31. Усманов Н, Холикова М, Решение задачи линейного сопряжения с разрывными коэффициентами для круга. Тезисы
докладов. Республиканской научно-практический конференции «Технический прогресс и производство», посвященной 1100-летию государства Саманидов. Душанбе 1999,68-69.
32. Усманов Н. Решение задачи сопряжения гармонических функций с разрывными коэффициентами. Материалы международной конференции, посвященной 10-ой годовщине независимости Республики Таджикистан и 90-летию профессора МЛ. Субханкулова, «Методы теории функции и их приложения». Душанбе 2000,45-46.
33. Усманов Н. Об одной краевой задаче сопряжения гармонических функций с разрывными коэффициентами. Материалы международной научной конференции, посвященной 60-летию Т. Собирова. Дифференциальные уравнения и их приложения. Душанбе 2000, 107-108.
34. Усманов Н, Гаффоров Ю. Об одной краевой задаче линейного сопряжения на окружности с разрывными коэффициентами. Вестник педагогического университета. №5, Душанбе 2000, 47-52.
35. Усманов Н. Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения. Тезисы III международной конференции по математическому моделированию. Якутск 2001, 52-53. (Россия)
36. Михайлов Л.Г., Усманов Н. Сингулярные краевые задачи сопряжения доклады РАН 2002. т. 387, №3,309-313. (Россия)
37. Усманов Н. Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения. Мат. Заметки. Якутск, 2001, т. 8 выпуск 2, 104-108. (Россия).
Пользуясь случаем, автор выражает глубокую благодарность Леониду Григорьевичу Михайлову за постоянное внимание при выполнении этой работы.
Заказ №6. тир. 100. объем 2 пл. Подписано к печати 26.05.2004г.
Отпечатано в ресурсно-информационном и типографическом центре экономического факультета Налогово-правового института Республики Таджикистан, г. Душанбе ул. Дружбы народов, 94 тел.: 23-28-44
РНБ Русский фонд
2004-6 1299
Введение.1-57.
Гл^ва I. Сингулярные случаи граничных задач српряжения аналитических функций.57-164.
§ 1. Сингулярные случаи краевой задачи Римана.57-64.
§2. Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения в эллиптическом случае.65-69.
§3. Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения в параболическом случае.70-77.
§4. Общая граничная задача линейного сопряжения со сдвигом и с сингулярностью в граничном условии.77-85.
§5. Общая граничная задача в случае, когда коэффициенты и свободный член имеют особенности различных типов.86-89.
§6. Обобщенная граничная задача линейного сопряжения в сингулярном случае.89-94.
§7. Задача сопряжения аналитических функций с первыми производными и с сингулярным граничным условием.95-122.
§8. Задача сопряжения аналитических функций с производными высших порядков в сингулярном случае.123-146.
§9. Обобщение краевого условия задачи сопряжения аналитических функций с производными высших порядков в сингулярном случае.147-154.
§10. Некоторые другие сингулярные случаи задачи сопряжения аналитических функций с производными.155-164.
Глава II. Сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных аналитических функций.165-236.
§1. Сингулярные случаи краевой задачи типа Римана для системы уравнений элиптического типа.188-207.
§2. Сингулярные лучаи краевой задачи Римана-Газемана.207-217.
§3. Сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных аналитических функций.218-227.
§4. Сингулярные случаи задачи сопряжения с производной для обобщенных аналитических функций.227-236.
Глава III. О задачах сопряжения гармонических функций в сингулярном случае.237-280.
§1. Сингулярные случаи задач сопряжения гармонических функций.244-248.
§2. Сингулярные случаи задач сопряжения для некоторых уравнений в частных производных.248-267.
§3. Некоторые задачи сопряжения с производными второго порядка, а также их сингулярные случаи для гармонических функций на плоскости.268-271.
§4. Задачи сопряжения гармонических функций для полуплоскости.272-280.
Глава IV. Характеристическое особое интегральное уравнение в сингулярных случаях.281-299.
§1. Характеристическое особое интегральное уравнение в сингулярном случае.284-288.
§2. Обобщенное характеристическое особое интегральное уравнение в сингулярном случае.288-299.
При 66-5 <Ооднородная задача не имеет решений, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно выполнение 2|a9-sl вещественных или \8e-s\ комплекс1н.1х условий. .V Пусть В задаче (/J,J а(/) имеет nyjm, т.е. с/(/) = ["[(/-<^„)'' а,(/), L окружность |г| = 1, с/ДО-непрерывна Л(/)-ограничена и измерима. с(/)е /.-,. /1ля задачи (Л,) снравсл.'нии! слелуюпшя w ^ ^ Теорема 1.7. Пусть ЬЛО < 1. Кроме того b{t) и c{t) ч Chit) в окрестности точек t = TJ(J =\,2,...,J)uMewm производные порядка d, удовлетворяющие тем Dice условиям, что и функции b{t) и c{t), Тогда при 8е>0 однородная задача (А^)имеет 2зе линейно независимых решении, а неоднородная безусловно разрешима.При se<Q однородная задача не имеет решений, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно выполнение 2\зе\ вещественных или \де\ комплексных условий \r'e[c,it)\it = Q, к = ох...,\ве\ L где в - линейный оператор.В §5 исследуется общая граничная задача (А) в случае, когда коэффициенты o{t), b{r)vi свободный член с(/) имеют особенности различщлх типов. . В диссертации.рассмотрены следующие комбинации особенностей: • I. (/(/•), /?(/)обращаются в нуль, c{t) обрами1егся в бесконечность.Ч' '^ф 2. a{t), 6(0 имеют разрывы первого рода, c{t) обращается в бесконечность, 3. a(t), /?(/) обращаются в нуль, с(/) имеет разрыв первого рода.Опишем лишь один случай, когда нули и бесконечности коэффициентов имеют порядок не выше единицы.Будем искать решения в классе функций, обращающихся в бесконечность порядка меньше единицы в некоторых точках контура.Очевидно, что если коэффициенты <7(/), /?(/) ограничен и в некоторой точках, то для того чтобы имелось решение в классе интегрируемых на контуре функций, c{t) должна, обращается в бесконечность порядка ниже первого. Если же a{t), b(t) обращаются в бесконечность высших порядков то разность порядков может иметь вещественную часть меньшую единицы.В §6 исследуется обобщенная граничная задача линейного сопряжения в сингулярном случае.При исследовании более общей задачи Л.Г.Михайловым было установлено, что требование //(/) = «,(/>:/. (/)-/?,(/)/?,(/) 5t о является условием нормальной разрешимости этой -задачи. ¥ V * 4 В постановке краевой задачи (Л )^ мы требуем, чтобы коэффициенты а,(/), a,{t), bfit), b,(t) в отдельных точках контура обращались в нуль или бесконечность целых порядков.Также рассматривается случай, когда коэффициенты обращаются в бесконечность любого порядка т.е. a-,(t} = \t-to\^' Jf{t), Ьг (О = к - 'оГ ^ 2 (О, где >" '^ О, 0^" некоторые точки контура.В §7 исследуются задачи сопряжения аналитических функций с первыми производными и с сингулярными граничными условиями.Пусть D* многосвязная область в плоскости комплексного переменного, ограниченная контуром L, состоящим из непересекающихся контуров Ляпунова Z-o,!,,...,£„,, причем контур L^ содержит внутри себя все остальные, и точка z^ принадлежит D*.Дополнение до всей плоскости Е к D* = D^ + L обозначим через D'.В §8 исследуется задача сопряжения аналитических функций с производными высших порядков в сингулярном случае.Мы проведем исследование задачи {А„) в сингулярном случае.Если коэффициенты b„(t)u Z?^/)удовлетворяют неравенству max МО ^''ЛО max МО j"(/K(/) КЛ... <1 (0.9) то число I и р находятся точно.Теорема 1.14. Пусть L-окружность \t\ = \, а*(0, b„{t), c{t), b^{t)&H{L), bi^{t) = {)(kQ,\,...,n-\), c{t) в окрестности точки /„ имеет производные порядка d, удовлетворяющие условию Гельдера и выполнено условие (0.9). Тогда при 8е-п>0 однородная задача, безусловно, разрешима.При 83-n<Qоднородная задача не имеет решений отличных от нулевого, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно •Щ выполнение2\ве-п\ вещественных условий.В §9 исследуется обобщение краевого условия задачи сопряжения аналитических функций с производными высших порядков в сингулярном случае.Что же касается полюсов коэффициента b„{t), то они влияют на разрешимость задачи независимо от своего вида.Отметим, что мы не рассматриваем нули коэффициента b^{t), так как они не влияют на условие нормальной разрешимости задачи.Вторая глава диссертации, состоящая из четырёх параграфов, посвящена исследованию сингулярных случаев задач обобщенных аналитических функций.Система (0.13) является непосредственным обобщением системы Коши Римана, а функция щг) = и + 1д называется обобщенной аналитической функцией. Функции v^ /(z) во многом оказывается подобной аналитической функции комплексного переменного. Устанавливается непосредственная связь У(г) с аналитическими функциями и переносится целый ряд основных теорем теории аналитических • функций.Все эти результаты для системы (0.13) даны И.Н.Векуа [11].В работе И.Н.Векуа [11] рассматривается также граничная задача типа задачи Гильберта: найти решения системы (0.13) Uiz) = U + iV, которых на границе области удовлетворяют краевому условию (0.11).О возможности постановки задачи типа задачи Римана для системы (0.13) в работах И.Н.Векуа не упоминается. А между тем эта краевая задача имеет как с принципиальной точки зрения, так и с точки зрения приложения такой же интерес, как и задача Гильберта. Известно, что обычная задача Римана (так мы .будем называть задачу Римана для аналитических функций) применяется в плоской теории упругости. Так например, к ней непосредственно сводится первая граничная задача для плоскости с прямолинейными щелями.Л.Г.Михайловым даны постановка и решение задачи Римана для Ф системы (0.13). KopoiKo .{плачу можно с(1)ормулмро1ит. следующим обра'юм: * * ^ / Найти решение системы (0.13) внутри контура и решение системы вне контура при условии, что на самом контуре их предельные значения связаны соотношением: U\t) = G(t)U-iO+8{0' (0.14) Эта задача является естественным обобщением обычной задачи Римана.4 ё В §1 второй главы исследуются сингулярные случаи краевой задачи типа Римана для системы уравнений эллиптического типа.С/ЧО-С?(0^/-(0 + я(0,где .Анализ решений, исчезающих на бесконечности, приводит к следующим выводам: 1) Приг-5-^>0, решение содержит se-s-cj произвольных постоянных.2) При r-s-q = 0 , решение единственно.3) При r-s-q<0, решение существует только если выполнены |г - 5 - 1^ дополнительных условия jMl^V/ = 0, k = 0,\,2,.-,\x-s-q\-l, (0.17) Также рассмотрен случай, когда коэффициент обращается в нуль или бесконечность любого порядка (даже модульного характера).Исходя из формулы (0.20), проведем анализ решений, исчезающих на бесконечности.Из проведенного исследования получаем следующий вывод относительно решений, исчезающих на бесконечности.Если дв-/п2>0, то общее решение неоднородной задачи Римана ^' даётся формулой (/(z) = ;if(z)[K ,^_^ z) + W^ (z)J и содержит 2(ое-ш.) произвольных веществе1И1ых постоянных.При ae-nij = О решение единственно.В §2 второй главы исследуются сингулярные случаи краевой задачи Римана-Газемана. Задача ставится следующим образом. Пусть дан простой замкнутый гладкий контур и на нем краевое условие U'[a{t)]=Git)U-{t) + git), (0.25) где относительно G(t),g{t) принимаются те же предположения, что и в обычной задаче Римана, а функция «(/) подчинен условиям: 1) «(/) отображает контур L в себя с сохранениями направления обхода. 2) «(/) имеет производную «'(/), отличную от нуля всюду на L и удовлетворяющую условию Гельдера.Из этих условий следует, что функция /?(/), обратная к a(t), обладает ' теми же свойствами, что a(t).Найти кусочно-регулярное рещение уравнения ^ = A{z)U, (0.26) oz имеющее конечный порядок на бесконечности, по краевому условию (0.25).Пусть /у, = m - г,, //, = /7 - г, ( т, п -целые числа), О < Re v, < 1, 0<Rev, <1.Решение дается формулой y{z) = x{^) р v,{z) + Vi^) (0.28) где V,{z) = V{z)x{z), Viz) = Х;'л F(2) Из (0.28) получаем вывод относительно решений, исчезающих на бесконечности.Если ое-/7>0, то неоднородная задача Римана-Газемана имеет решение, содержащее (ее-п) произвольных вещественных постоянных.Если зе-п = 0, решение единственно.При де-1г<0 задача имеет решение тогда и только тогда, когда выполняются |се-л1-|ус;ювия |ч^(/)/*с//= 0, к = 0,\,2,...,\де-п\-1, где • / . • Ч'(попределенная функция. ч w •' I 0 #> В §3 второй главы исследуется сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных аналитических функций.1*. Ус;ювия на классы коэффициентов и решения: ' a,h,c,(J; ti,ii\,ii\ eC{D'),Ati = C(D').2*. Условия на бесконечное ги: ii.h.cul = (>{г ): 11^.ч " ( / ' • ) . г - > /./• ^ л " ^y' .<•:>(). ¥ Щ'' ч 3*. Требования к граничным условиям: все компоненты (0.32) удовлетворяют условию Гельдера (т.е принадлежит классу С„ {L)).В §2 третей главы исследуется следующая задача wit ^кК+РкК =к-'оГ//1(0^+|^-/оГп"; +Г1,, к = ],2 м;(оо),м;(со) = о (0.35) где л - некоторое комплексное число.Требования к граничным условиям: все компоненты (0.38) удовлетворяют условию Гельдера (класса C„(L)), кроме того « t 'A ^Мк^^к^Пк в точке / = /•„ дифференцируемы достаточно числа раз.МО я, (О sp = — \-—-ат. т • т-Z Тогда при се>0 однородная задача имеет 2ве линейно независимых решений, а неоднородная безусловно разрешима. При аэ=0 задача имеет и притом единственное решение, нулевое для однородной. При se<0 однородная задача не имеет решений, отличных от нулевого, а для Щ ^ , разрешимости неоднородной необходимо и достаточно выполнение 2\ээ\ вещественных или \де\ комплексных условий \f''Q[4>2(0\it = 0 , к = \,2,-,2\se\ и ^-линейный оператор.Теорема 3.4. Пусть pa-vfi, va-{.ip&H{L) и выполнено условие эллиптичности.Тогда при де-т>0 однородная задача имеет 2(se-m) линейно независимых решений, а неоднородная задача безусловно разрешима.При де-т = 0 задача имеет и притом единственное решение, нулевое для однородной. При se-m<0 однородная задача не и.меет решений, отличных от нулевого, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно выполнение 2|аэ-А7?| вещественных или \де-т\ комплексных условий.Приступим к исследованию задачи (0.38), когда ;/а -vJ3 = va- РР >0, где p,a,v,p G H{L) .Тогда справедливо Теорема 3.5. Пусть в задаче (0.38) или (0.41) ве^= fiu{,o(t) + lnd,h(t), ее^_-lnd^a{t)-[ml,b{t), 39= lnd,a{t),66/+ ав2=2ае, I- число решение однородной задачи, р - число условий разрешимоспт неоднородной.Тогда картинка разреит.мости имеет вид: I. Если аэ,< 0.двг <о то / = О. /,' = 2\де-2\: Ч' 2. Еслиэе,<(К se2>0m()/^ де, Ч. />-^г. |oej|-7; # щ ф^ у 3. Еслиее^<о, зег>Ото i = 2se+2, р = 0; 4. Если а9,>0, 882 <о то разрешимость определяется из системы \зе\-1 уравнений с £6,+! неизвестными.Различаются два случая: 1. дв > -1 , тогда р = 0 и вообще говоря, 1 = 283+2, но в некоторых специальных случаях, когда имеются определенные скалярные зависимости между a{t), h{t), I- молсет быть больше, любим из неравенства 2де+2< /? < аЭг +1; 2. 8е<-\. Тогда в общем случае 1 = 0, р=2зе-2, но в указанных специальных случаях I и р могут быть больше любых из неравенств 0</<бе,+1 u-2ae-2<p<\adi |-1. '' Аналогичная теорема имеет место для задачи (0.42), В §3 третей главы исследуется различные нодслучаи задачи сопряжения гармонических функций в сингулярном случае. Цель этого парграфа в получение более точных теорем в тех или иных подслучаях.В §4 третей главы исследуется задачи сопряжения гармонических функций для полуплоскости.Щ ^ Необходимое и достаточное условие разрешимости неоднородной задачи имеет следующий вид: jit - i)-'e[c{t)]dt = 0, k = 1,2,...,-аэ.Четвертая глава диссертации, состоящая из двух параграфов, посвящена исследованию характеристического особого интегрального ypaBHeinie в сингулярном случае.Обратно, если функция 0(z) есть некоторое исчезающее на бесконечности решение задачи Римана (0.49) то по первой из формул Сохоцкого мы вычислим функцию ф(0=Ф^(1)- Ф'(0 во всех точках / G L.Но это означает, что функция Ф(г) является решением задачи о скачке, исчезающим на бесконечности, и потому единственным образом представима в виде интеграла типа Коши вида (0.46), для которого, наряду с формулой (0.47) справедлива и вторая формула Сохоцкого |р^ ^ (0.48). Выразив Ф (^1) и Ф'(t) через ф(1) и главное значение интеграла, подставим их в краевое условие (0.49) и убедимся, что функция ф(1) является решением уравнения (0.45).Очевидно, интеграл типа Коши равен тождественно нулю вне линии интегрирования тогда и только тогда, когда его плoт^юcть есть нуль тождественный. Поэтому линейно-независимым решением задачи (0.49) и убедимся, что функция ф(1) является решением уравнения (0.45) и наоборот.Теорема 4.1. Характеристическое сингулярное уравнение (0.45) и краевая задача FHAUHUI (0.49) эквивалентны .ме.исду собой в то.м смысле, чнн) Ka.vc()o.\iy pcuicnuio урас^нснию (445) соотссннчнсуст по (j)op.\n\ic f ' ^ (0.46) исчезающее на бесконечности решение задачи (0.49) того лее класса и обратно, каждому исчезающему на бесконечности решению задачи (0.49) формула (0.47) ставит в соответствие решение уравнения (0.45) того лее класса. При этом линейно-независимых решениям уравнения соответствует линейно-независимые решение краевой задачи и наоборот.Ф. Д. Гаховым в [17] даётся в сущности полная теория уравнения (0.45) в предположении, что функции a(t)-b(t) и a(t)+b(t) имеют на контуре нули соответственно в точках ai, a2i, ... , ajn и Pi, Рг,---, Pn РпЦелых порядков и, следовательно, представимы в виде * я(')-6(') = П('-о.)""'-('). ^ a(t) + bit) = Yl{t-fijfs{t), где r(t) и s(t) нигде не обращается в нуль. Все «,, Pj предполагаются различными.Решение уравнения (0.45) при бе-п>0, линейно зависит от ее-п произвольных постоянных. Если а9-п<0, то решение существует ;и1шь при выполиспии п-се специальных условий разрсишмости, иaлaгae^ н>IX на свободный член Г(1) и вытекающих из ус;ювий разрсишмости соответствующей эгому случаю задачи Римана.Мы преследуем цель исследования задачи (0.52), а тем самым уравнения (0.51), в сингулярных случаях, когда коэффициегггы имеют nyjui или полярные особенности произвольного стеиенпого типа любого заданного порядка и любой неаналитической структуры.Здесь мы рассмотрим задачу с коэффициентом такого вида щ щ 55' Пусть tti, a2,Pi, Р2 непрерывны и c(t)sL^{L).Теорема 4,2. Если A/(t)* A2(t)>0, то при ве>0 уравнение (0.51) разрешимо и однородное имеет 2зе линейно независимых решений; при 8е<0 однородное имеет только нулевое решение, а для разрешимости неоднородного необходимо и достаточно выполнение 2\дЭ\ условий ортогональности.Теорема 4.3.. Пусть aj, a2,fii, Р2 непрерывны и c{t) G U{L), р>1.Краевое условия (0.56) принимает вид it-t,ya^it)(p;{t)+(t-t,rb,it)(p;it) = = «3 (0Г'>; (О + 63 (0^ "-"*" / " > ; (О + (^ - 0^ )>, (О. и так нами получена регулярная задача, изученная в [49]. ^
1. Абдуллоев P. Об условии разрешимости однородной задачи Римана на замкнутых римановых поверхностях, ДАН СССР тЛ52,№6,1963, 1279-1281.
2. Абдуллоев Р. Однородная задача Римана на замкнутых римановых поверхностях, ДАН СССР 160,№5,1965, 983-985.
3. Алексеев А.Д. Об особом интегральном уравнении на контуре из класса КДАН СССР 1 3 6 , № 6 , 1961,525-528.
4. Аржанов Г.В. О нелинейной краевой задаче типа задаче типа Римана, ДАН СССР 1 3 2 , № 6 1960,1227-1230. * 5. Аржанов Г.В.О нелинейной краевой задаче типа задачи Римана, Сиб. Матем. Ж.2,№4, 1961,481-504.
5. Батырев А.В. Приближённое решение задачи Римана-Привалова,УМН 11, вып 5,1956, 71-76.
6. Беркович Ф.Д. Конишкова Е.М. Об одном случае краевой задачи Римана с бесконечым индексом, сообщ. Рост. Науч. Матем. Об-ва, Ростов-на-Дону, 1968,158-164.
7. Боярский Б.В. Об обобн1е1нюй граничной задаче Гильберта, сообш.АН Грузн. ССР 25, №4, 1960. 385-390.
8. Боярский Б.В, Об ОДНО!! граничной задаче гсорпи функции ДАН CCC'IM 19, №3, 1958, 19u.2()2.
9. Векуа И.Н, Новые методы решения элитических управлений, Гостехиздат, 1948. • ' 11. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции, М:Физматгиз,1959.
10. Векуа Н.П, системы сингулярнных интегральных управлений , «Наука», 1970.
11. Векуа И.Н, О сингулярных линейн'ых интегральных управлениях, ДАН СССР26,№8, 1940,335-338.
12. Векуа И.Н, Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек. Математический сборн. т.31. вып 2,1951 стр. 217-314
13. Векуа И.Н, Об одной граничной задаче Римана,тр. Тбил. Мат.ин-та АН Груз.ССР 1942,109-139.
14. Владимиров В.С.Задача линейного сопрежения для голоморфных функций, Изв.АН СССР, сер матем. 29, №4 1965, 807-834.
15. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. Наука Москва 1977,
16. Гахов Ф.Д. О краевой задаче Римана, Матем, сб.2(44), №4, 1937, 673-683. •
17. Гахов Ф.Д. Краевые задачи теории аналитических функций и сингулярные интегральн>1е уравнения, Докторская диссертация, Тбилиси 1941. 20!. Гахов Ф.Д. Об обратных краевых задачах, ДАН СССР 86, №4, 1952,649-652. #
18. Гахов Ф.Д. О новых типах интегральных управлений, разрешимых в замктутой форме,сб «Проблемы механ. снлош. Среды, издательство АН Ф^ ' СССР, 1961,102-114. 19. Гахов Ф.Д. О нелинейной краевой задаче, обобщающей краевую задачу Римана, ДАН СССР, 181, №2 1968 271-274.
20. Гахов Ф.Д. О нелинейной краевой задаче с допустимыми нулями на контурсДАН СССР 210, №6, 1973, 21-24.
21. Гахов Ф.Д. Чибрикова Л.И. О некоторых типах сингулярных интегральных уравнений, разрешаемых в замкнутой форме, Матем. Сб. 35, №3 1954, 395-436.
22. Гахов Ф.Д. Чибрикова Л.И. О краевой задаче Римана для случая пересекающихся контуров уч. Зап. Казан. 113. №10 1953, 107-110. * 26. Говоров Н.В. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом, ДАН СССР, 154, №6,1964, 1247-1249.
23. Говоров Н.В. Об ограниченных решениях краевой задачи Римана с бесконечным индексом степеного порядка. ДАН СССР 182, №4 1968, 750-753.
24. Говоров Н.В. Краевые задача Римана с бесконечным индексом, Докторская диссертация, Харьков 1968. Ф' 31. Зверович Э.И. Литвинчук Г.С. Односторонные краевые задачи теории аналитических функции. Изв. АН СССР, сер матем. 28, №5, 1964, 1003-1036.
25. Зверович Э.И.'Чернецкий В.А. Краевая задачи Карлемана ria римановой поверхностях краем. Укр. Матем.. 22, №5, 1970, 591-599.
26. Иванов В.В. Приблинённое решение особых интегральных управлений, ДАН СССР 110,№1, 1956, 15-18.
27. Квеселева. Д .А Решение одной граничной задачи теории функций, ДАНСССР 53 ,№8,1946,683-686.
28. Квеселева. Д.А Задача. Римана-Гильберта для многосвязной области, Сообщ.А,Н Груз. ССР 6,№8, 1945, 581-590
29. Литвинчук.Г.С. Теория. Нётеры системых сингулярных ,^ интегральных уравнений со сдвигом. Карлемана и комплексно С(>11рижсит.1\и1 пе1г?иссги1>ь\п1. П'^.АИ. СССР.ссрмагсм. 3L№3, 1967,563-^<UK}2,N-(\ l^»6S,1414-l4r/ « 30. Литвинчук.ГС. Об одной задача обобшающей краевую задачу. Карлемана, ДАН, СССР 139,№2, 1961,290-293. Ф^ 40. Литвинчук.К теории краевых задач со сдвигом Карлемана ДАН. УССР,серА, №11,1967,1019-1022
31. Литвинчук. Г . С, Нечаев . А, П . К теории обобщённой краевой задачи Карлемана , ДАН. СССР 189,№1,' 1969,38-41
32. Литвинчук. Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдивигом М.Наука,1977.
33. Михайлов . Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальными уравнениям с сингулярными коффициентами. Душанбе. 1963.
34. Михаилов.Л.Г. Предельные значения аналитической функции, *^ представленной криволинейным интегралом. Уч. Зап.Тад. ун-та, 1952, 32-35
35. Михайлов. Л. Г. Краевая задача типа задачи Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа.Уч.зап. Тадж. ун-та. 1957,32-79
36. Михайлов. Л.Г Обшая краевая задачи о бесконечно малых изгибаниях склеенных поверхностей. Известия высншх учебных заведений, математика №518,1960,99-109.
37. Михаилов.Л.Г Первая краевая задача для эллиптического уравнения с ситулярн1.1\П1 коэффициентами. /1,окл АН. '1адж. СССР . Т.}, «
38. Михайлов Л.Г. Обшая граничная задача линейного сопряжения.Изв. АН. Тадж,ССР. Сер геол-хим и тех-наук.вып 3(5) 1961. 3-24. Ф' 49. Михайлов. Л. Г. Об одной граничной задача линейного сопряжения. Докл. А. Н Тадж.ССР. т. 4, №2, 1961 11-14.
39. Михайлов. Л.Г. К теории обшей граничной задачи линейного сопряжения, Докл. А, Н. Тадж. ССР, т.4, 1961 3-7.
40. Михайлов. Л.Г. Об одной граничной задаче линейного сопряжения, ДАН СССР, т. 139, №2, 1961,294-297.
41. Михайлов Л Г Эллиптические уравнения с сингулярными коэффициентами, ДАН СССР, т. 139, №3, 1961, 552-555.
42. Михайлов Л.Г. Краевая задача типа задачи Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического * типа и некоторые интегральные уравнения. Учёные записки. Труды физика-математического факулытета. 1957. 23-78.
43. Михайлов. Л. Г. О задачах сопряжения гармонических функций. ДАН Тадж. ССР, 1980, т. 23,№4, 171-174.
44. Мусхелишвили. Н. И. Сингулярные интегральные уравнения, « Наука», 1968. Ф' 58. Манджавидзе. Г. Ф. Ободной системе сингулярных интегральных уравнений с разрывными коэффициентами, Соб. А. Н. Грузинской ССР т. И №6, 1950
45. Никольский Задача сбпряжения гармонических функции в многом'ерном пространстве СМ. Изв. А. Н СССР сер мат.1959. т 23 №5. с 280-290.
46. Сабитов И X. Об одной граничной задаче линейного сопряжения, Матем, Сб. 64, №2, 1964, 262-274.
47. Собитов. ИХ. Об общей краевой задаче линейного сопряжения на окружности, Сибматем.ж.5, №1, 1964 124-129. *• 62. Самко С Г. О разрешимости в замкнутой форме сингулярных интегральных уравнение, ДАН СССР.189, №3 1969,483-485.
48. Самко С Г. Общее сингулярное уравнение в исклучительном случае, Дифференц. ур-ния т.1, №8, 1965 1108-1116. 64." Симоненко И. Б. Краевая задача Риманка с непрерывным коэффициентом, ДАН. СССР 124,№2 1959 278-281
49. Симоненко И. Б. Краевая задачи Римана с измеримым коэффициентом. ДАН СССР 135, №3, 1980, 538-541.
50. Симоненка И. Б. Краевая задача Римана для пар функций с пзмсримы\т к())ффи1и1стом11 и сё приммпснмс к исследоиамко сингулярных интегралов в пространства с весами Изв. А. щ, Н. СССР, сер. Матем. 28, №2, 1964,277-306.
51. Усманов Н. Об одной краевой задача теории аналитических функций с производной в краевом условии. ДАН. Тадж ССР, т, 1968,7-10
52. Усманов Н. Особые случеи краевой задачи с производной на окружности. ДАН Тадж. Т. 7, №5, 1974,12-16
53. Усманов Н. Особые случеи краевой задачи сопряжения аналитических функций с производными, ДАН Тадж ССР, т, №7, 1974,7-11.
54. Усманов Н. Задача сопряжения аналитических функций с производными высших порядков в особом случае. ДАН Тадж. ССР, т,№10, 1974,7-11.
55. Усманов. Н Особые случаи граничной задачи лилейного сопряжения в параболическом случае ДАН. Тадж. ССР, 1977, т,№7. 11-14.
56. Усманов Н. Об одной краевой задаче теорий аналитических функций с рациональными коэффициентами. Молодых учёных Таджикской ССР, Душанбе 1974,40-41.
57. Усманов Н Обобщённое характеристическое сингулярное интегральное уравнение - в особом случае. Изв АН Тадж. ССР. Отд. Физ-мат и геологический наук. 1978, №1. 11-19.
58. Усманов Н. О задачах сопряжения гармонических функций с сингулярными граничными условиями. Тезисы республиканской научной конференции по уравнениям математической физики. Душанбе 1983, 39-40.
59. Усманов Н. Некоторые задачи сопряжения гармонических функций с производными до второго порядка. Тезисы докладов школы - семинара. Актуальные вопросы комплексного анализа. Ташкент 1989, 123
60. Усманов Н. Общая граничная задача линейного сопряжения со сдвигом с сингулярным граничным условием ДАН Тадж, СССР, 1984, т. XXVII, №1, 14-18.
61. Усманов Н. Сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных аналитических функций. ДАН Тадж. ССР, 1991. т. XXXIV, №4, 216-220.
62. Усманов Н. О Задачах сопряжения гармонических функций разрешаемых в замкнутой норме. Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения,П991, 129-134.
63. Усманов Н. Сингулярные случаи задачи сопряжения с производной для т \ обобщенных аналитических функции. Дифференциальные и А i интегральные уравнения и их приложения.'''! 991. 135-142.
64. Усманов Н. Некоторые задачи сопряжения с производными второго порядка, а также их сингулярные случаи для гармонических функций на плоскости. ДАН Тадж. ССР, 1992, е. XXXV, №5-6, 237-240.
65. Усманов Н., Бойматов К. Задачи сопряжения гармонических функций для полуплоскости, разрешимые в явном виде. Материалы Республиканской научно-практической конференции молодых ученных и специалистов Таджикистана. Курган-Тюбе. 1991, 129-132.
66. Усманов Н. Сингулярные случаи задачи сопряжения гармонических функций с производными второго порядка включительно. Тезисы докладов республиканской научной конференции «дифференциальные уравнения и их приложения» Куляб. 1991, 162-163
67. Усманов Н. Об одной краевой задаче сопряжения гармонических функций для круга. Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения (сборник научных трудов) выпуск 2, Душанбе 1994, 66-69.
68. Усманов Н. Исследование характеристического сингулярного интегрального уравнения с разрывными коэффициентами и для разомкнутых контуров. Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения, выпуск 4, Душанбе 1996, 92-95.
69. Усманов Н. Сингулярные случаи краевой задачи типа Римана для системы уравнений эллиптического типа. ДАН РТ, 1996, т. XXXIX, №9-10, 69-74
70. Усманов Н. Краевая задача Римана для кусочка аналитического вектора в сингулярном случае. Международная конференция. Дифференциальные уравнения и их приложения. Душанбе 1998, 91-92.
71. Усмнов Н., Муминов А. Об одной краевой задаче сопряжения гармонических функций и ее особый случай. Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. Выпуск 7. Душанбе 1998, 85-89. ш
72. Усманов Н. Общая граничная задача линейного сопряжения с разрывными коэффициентами в параболическом случае. Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. Выпуск 6, Душанбе 1998, 110-114.
73. Усманов Н. Обобш;енная граничная задача линейного сопряжения с разрывными коэффициентами и с разомкнутыми контурами. Вестник педагогического университета, №5. 1999, 89-94. »
74. Усманов Н., Караев X. Общая квазилинейная граничная задача линейного - сопряжения с сингулярным граничным условием. Вестник педагогического университета Душанбе 1999, №7, 56-58. ЯР
75. Усманов Н., Караев X. Об одной граничной задаче гармонических функций. Тезисы докладов Республиканской научно-практичес-кой конференции и «Технический прогресс и производство» посвященное 1100-летию государству Саманидов, Душанбе 1999, 63-65.
76. Усманов Н. Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения III международной конференции по математическому моделированию. Тезисы докладов. Якутск 2001, 52-53. (Россия)
77. Михайлов Л. Г., Усманов Н. Сингулярные краевые задачи сопряжения ДАНР 2002. т. 387, №3, 309-313. (Россия)
78. Усманов Н. Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения. Мат. Заметки. Якутск 2001, т. 8 выпуск 2, (Россия).
79. Хведелидзе Б. В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения. Тбил. Матем. Ин-та АН Груз. ССР XXIII, 1956, 3-158.
80. Черский Л. И. К решению краевой задачи Римана в классе обобщенных функций ДАН СССР 125, №3, 1959, 500-503.
81. Чибрикова Л. И. Особые случаи обобщенной задачи Римана, Уч. Зал Казанск. ук-та 112, №10, 1992, 129-154.
82. Чибрикова Л. И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Издательство казанского университета, 1972.
83. Чикин Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений. Уч-зал. Казанск ун-та I 13, №10, 1952,57-105.
