Некоторые задачи сопряжения аналитических функций с сингулярными точками на контуре тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

□03454*74 1

Холикова Мастона Бобоназаровна

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С СИНГУЛЯРНЫМИ ТОЧКАМИ НА КОНТУРЕ

01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе - 2008

003454741

Работа выполнена в Таджикском государственном педагогическом университете имени Сндриддина Айни

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Усманов Нурулло

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

академик АН РТ, профессор Раджабов Нусрат

кандидат физико-математических наук, доцент Шарипов Бобоали

Ведущая организация: Российско - Таджикский (Славянский)

университет

Защита состоится 5 2008 г. м.^йшн. на заседании

диссертационного совета ДМ 047.007.01 Института математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г.Душанбе, ул. Айни 299,1.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Инсти тута математ и-ки АН РТ.

Автореферат разослан с?^ с&ЯШХр&ч 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Халилов Ш.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Новый расцвет теория краевых задам и сингулярных интегральных уравнений получила лишь в середине тридцатых годов. В течение короткого промежутка времени и особенно за последние годы вышло большое количество работ, посвященных краевым задачам аналитических функций. В настоящее время этой проблеме посвящено довольно большое количество научных работ (Ф.Д. Гахов, Н.И. Мусхели-швнли, Л Г. Михайлов, В С. Рогожин, И.Б. Симоненко, Ю.И. Черский, Г.С. Литвинчук, И.Х. Сабитов, H.H. Юханонов, Н. Усманов). Большую роль здесь сыграли работы Н.И. Мусхелишвили по теории упругости. В его работах задачи теории упругости приводятся к краевым задачам теории функций комплексного переменного, а последние при помощи интегралов типа Коши к сингулярным интегральным уравнениям.

От вышеуказанных краевых задач, естественно, надо было перейти к постановке и решению общего случая основной краевой задачи, что и сделано в работах Ф Д Гахова.

Наряду с работами по теории упругости большую роль сыграли также работы по гидродинамике М.А Лаврентьева, М.В. Келдыша, Л.И. Седова и других. При решении практических задач здесь попутно ставились и решились частными методами некоторые краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения специального вида

Трудно перечислить все опубликованные за последние годы работы, связанные, так или иначе с пашей тематикой. Такая подробная библиография имеется в монографиях Н.И. Мусхелишвили1, Ф Д. Гахова2 и Л.Г. Михайлова3.

Несколько десятилетий тому назад большое распространение получила теория краевых задач аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений.

Как известно, основная краевая задача теории функций комплексного переменного

Ф+(1) = С(1)ф-(1)+д(1), leb (0.1)

изучена впервые Ф.Д. Гаховым, обобщалась и развивалась затем во многих и различных направлениях. Общее; решение (0.1), и притом в явном

^усхе.чешиили Н II. - Смшулярные интегральные ураинення. - М . Наука, 1968, 311 <.

2Га*ив Ф Д. - Краевые задачи - М , Фнэматпп, 1977, 640 с.

Михайлов Л.Г. - Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами Изд-во АН Тадж ССР. Душанбе 19G3, 184г.

виде (и интегралах типа Коти), впервые было найдено и 1936 г. Ф.Д. Гахо-ным В школе Ф.Д. Гахова (0.1) стали называть задачей Римана, а в школе Н.И. Мусхелишвили задачей Гильберта. Мы будем называть все подобные. (0.1) соотношения задачами сопряжения. При g(t) = 0 задача (0.1) называлась еще также проблемой о факторизации, а в более общем случае такие системы типа (0.1) составили двадцать первую проблему Д. Гильберта (о линейных дифференциальных уравнениях с заданной группой монодромии). Отметим, что Ф.Д. Гаховым были изучены случаи, когда G(t) имеет нули и полюсы аналитической структуры, которые были названы исключительными случаями.

В диссертации рассмотрены не изучавшиеся ранее случаи, когда коэффициент Gi(t) имеет нули или особенности нецелого порядка и сопряжено-аналитической структуры.

Но действительной общей линейной задачей сопряжения аналитических функций является

•¿+(i) = a(i)<Hi) + b(i)F(i) + c(t). (А)

После постановки задачи (А) в статье А.Н. Маркушсвича за 1946 г. Н.П. Векуа в 1952 г. привел ее к сингулярному интегральному уравнению (СИУ) и доказал теоремы Нетера (при условии нормальностн a(t) ф 0). При выполнении неравенства |a(t)| > |6(i)| (эллиптический случай) Б.В. Боярским впервые были найдены точные результаты в 1959 г. Он ограничивался односвязной областью и требовал для a(t) условие Гель-дера с показателем, сколь угодно близким к единице.

Гораздо более полное исследование задачи (А), а также получение точных результатов для случаев |a(i)| > |6(i)| (эллиптический случай), |a(i)| = |й(г!)| (параболический случай) осуществлено Л.Г. Михайловым в 1958-1962 гг. - при самых общих условиях: a(t) ф 0 и непрерывна, b(t) ограничена и измерима, г(() 6 LP(L), р > 1, были разработаны два метода как общего исследования задачи (А), так и ее эффективного решения.

В монографии Л.Г. Михайлова дано обобщение краевой задачи (А) на случай, когда в краевом условии допускаются члены, содержащие производные, а также их комплексные сопряжения.

Затем И.Х. Сабитов исследовал задачу (А) на единичной окружности, без всяких условий типа эллиптичности или нараболнчности.

Особые случаи задачи (А) при некоторых предположениях относительно коэффициентов рассматривались в работах H.H. Юханонова и Н. Усма-

иона. А также Н. Усмановым изучены сингулярные граничные случаи для основных задач сопряжения, то есть для задачи тина (0.1) и типа (А), для аналитических, обобщенно-аналитических, а также гармонических функций. Кроме общего исследования, найдены точные значения чисел / и р ( I - число решений однородной задачи, р - число условий разрешимости неоднородной задачи)

Цель работы. Целью настоящей диссертации является построение теории разрешимости указанных задач сопряжения аналитических функций с наличием нулей и бесконечностей сопряжения аналитического и нсаналитического вида коэффициентов на контуре. Кроме общего исследования нашей целью является нахождение точных значений чисел I и р (I - число линейно независимых над полем вещественных чисел решений однородной задачи, р - число условий разрешимости неоднородной задачи).

Практическая и теоретическая значимость. Применение задач сопряжения в физике, геофизике и других науках уже приобрело достаточно большую известность. Полученные нами результаты также могут найти применение в указанных областях.

Методика исследования. В диссертации используются многие современные методы теории функций, изложенные в монографии Ф.Д. Га-хова, Н.И. Мусхелишвили и Л.Г. Михайлова

Научная новизна работы. Впервые разработана теория граничных задач сопряжения для тех случаев, когда коэффициент обращается в пуль или имеет особенности не голоморфной структуры.

В большинстве случаев решение задачи найдено в явном виде.

В некоторых случаев найдено I - число решений однородной задачи, р - число условий разрешимости неоднородной задачи.

Все результаты предлагаемой диссертации являются новыми.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные се части докладывались: на научных семинарах академика Л.Г. Михайлова, а также на семинарах и научных конференциях в Таджикском государственном педагогическом университете (ТГПУ); на Республиканской научной конференции, посвященной 70-лстию математического факультета ТГПУ. Душанбе, 2003 г.; на научных семинарах кафедры математического анализа ТГПУ (руководителем научного семинара профессор М.М Каримова и доцент Р.Н. Пиров), на Международной научной конференции "Математика и информационные технологии", посвященной

15-летию независимости Республики Таджикистан, Душанбе, 2000 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы и одиннадцати научных статьях и тезисах, список которых приведен в конце диссертации. Работы написаны в соавторстве с Н. Усмановым, которому принадлежит постановка рассмотренных задач.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, семи параграфов и списка литературы, содержащего 52 названия. Объем диссертации составляет 77 страниц компьютерного набора.

Содержание диссертации. Диссертация посвящена исследованию некоторых задач сопряжения аналитических функций с сингулярными точками на контуре.

Во введении к диссертации дается краткий исторический обзор и обосновывается актуальность темы. Излагается также краткое содержание диссертации с перечислением основных результатов.

В первом параграфе рассматривается следующая задача:

Пусть Ь = 1/о + ¿1 + ••• + ¿ш - совокупность т + 1 непересекающихся контуров, причем контур Ьо содержит внутри себя остальные. назовем (т.+1)-связную область, лежащую внутри контура ¿о и вне контуров Ь\,...,ЬП1. Обозначим В" дополнение + Ь до полной плоскости. Для определенности будем считать начало координат расположенным в области Г)+. Положительным обходом контура Ь считается тот, который оставляет область П+ слева, то есть контур Ьо нужно обходить против часовой стрелки, а контур Ь\,...,Ьт по часовой. Требуется найти пару функций Ф+(г) и Ф~(г), аналитических соответственно в П+ и П~, если на контуре Ь их предельные значения удовлетворяют следующему краевому условию:

П

Ф+(,) = *=' + (1)

П

1-1

где аь(к = 1,2,..., Щ, д}{] = 1,2,...,./) - некоторые точки контура; <1к,Т>]- целые положительные числа; С\(1) ф 0 - функция, удовлетворяющая условию Гельдера; 1пйС\(1,) = а?, точки ад- нули, Д,- полюсы главного коэффициента.

Число решений задачи (1) в классе функций, ограниченных на контуре, не изменяется от наличия полюсов сопряжено-аналитического характера

С

у коэффициента задачи и уменьшается на суммарный порядок псех нулей сонряжепо-аналитического характера. Если задача разрешима, то решение однородной задачи дается формулами

N

*+{z) = X+{z)Y[(z-<*№*-*(*), 1-1

J

Ф"(г) = Г'-»«х-(*) П(г -j=i

Если положено дополнительное условие Ф"(оо) = 0, то число решений уменьшается на единицу и многочлен Pv-d(z) нужно взять степени ве — d — 1. В случае ае — d > 0 решение неоднородной задачи дается формулами

N

ы 1

(2)

J

= \'-(г) П(г - mr(z)+p^z)].

В случае гс - d < 0 нужно положить Pg.-d(z) = 0.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть L состоит из простых замкнутых гладких контуров Lq, L\,..., Lm и ограничивает конечную часть D+. Через D~ обозначим дополнение D+ + L до полной плоскости: Gi(t) ф 0 - удовлетворяет условию Гельдера и g(t) в точках а* дифференцируема d раз, ж = IndGi(t). Тогда:

В случае ш — d > 0 неоднородная задача разрешима при любом свободном члене Еаш — d = —1. то неоднородная задача также разрешима и имеет единственное решение.

В случае ас — d < -1 неоднородная задача неразрешима. Для того чтобы она била разрешима, необходимо и достаточно, чтобы свободный член задачи удовлетворял —ж f d = 1 условий

Vr = 0 (fc= 1,2.....-ав + ci- 1).

J X+(r)

L

Во втором параграфе надо найти функцию Ф(-г), аналитическую па всей плоскости, за исключением точек контура Ь, на котором граничные значения Ф+(<), Ф-(£) (изнутри и извне) удовлетворяют краевому условию

Ф+(*) = ^^ЗДФ+ (3)

где /х и 7 - произвольные вещественные числа; а,/? - некоторые точки контура; Ф+(^,Ф-(£) - интегрируемые функции на всем Ь. Настоящий параграф посвящен исследованию задачи (3) в случае, когда коэффициент имеет сингулярность сопряжено-аналитической структуры.

Пусть ¡1 = <1 — и1, 7 = р — »2, где (1 и р - целые числа, 0 < щ < 1, О < и2 < 1.

Обозначим 1пйС\(*) = ае, и будем иметь = ае+р—й.

Проводится исследование задачи (3) в случае, когда коэффициент задачи в точках < = а, I = р имеет разрыв первого рода, то есть такой разрыв, когда существуют левые и правые пределы функций в этих точках, но они не равны между собой, Рассматрива,ются решения, непрерывные вплоть до контура всюду, кроме точек разрыва коэффициента. Для устранения разрыва введены новые неизвестные функции :

Ф+(г) = (г-аГ(г-/3)"2

поело чего задача переходит в краевое условие с нулевым индексом. Получены следующие результаты:

1) для однородной задачи: если ее + р < й, то задача не имеет решение, если ае + р > (I, то задача имеет ае + р — с1 линейно независимых решений

Ф+(г) = - а)"(г - РГР^-^г),

Ф (г) = *-»">*У"(*)(* - РУ (^У (^У Р^р-н-г(г).

2) для неоднородной задачи: если ас — й < 0, то нужно положить Нх,-({-1(г) = 0. В случае ее < с1 задача разрешима лишь при выполнении —ас 4 (1 условий. Если ас > <1, то задача и мест аз —р линейно независимых решений

Ф+(г) = (л - в)2^х+{г) [/>«-„_!(*) + (ь - м>У'+

ф_(г) = (Ь^Т {ЫгУ х~(2)г~*~р+" (г)"

Отметим, что наличие полюсов £^(0 па контуре не изменяет число линейно независимых решений задачи, последняя имеет столько же линейно независимых решений, сколько их имеет в случае отсутствия полюсов. Наличие нулей уменьшает количество линейно независимых решений на число порядка полюсов.

Сингулярные случаи задачи (3) изучены Ф.Д.Гаховым, а сингулярные случаи (3), когда коэффициент имел особенность не голоморфной структуры, исследовались в работах Л.Г. Михайлова и Н.Усманова4.

В третьем параграфе рассматривается задача типа (А), когда Ь - простой гладкий замкнутый контур, делящий плоскость комплексного переменного на внутреннюю область и внешнюю В~. Требуется найти функции ф+{г) - аналитическую в области и ф~{г) - аналитическую в области V, включая бесконечно удаленную точку г = оо, удовлетворяющие на контуре Ь линейному соотношению

= + аЛт-Ц) + Ф), (4)

здесь а к (к. = 1,2, ..,ц), А, {] = 1,2,..., и) - некоторые точки контура; т,к,р}~ целые положительные числа: а^), с(1) - функции, удовлетворяющие условию Гельдера и не обращающейся в нуль. Точки а^ будут нулями функции а^). Точки р) будем называть се полюсами. Обозначим

1пс1а1{1) = аг, ^т^. = т, = р.

к=1 ]=\

В монографии Л. Г. Михайлова изучается краевая задача типа (А) и доказывается точная теорема, в которой при условии 8ир|^щ| <

4МихаЙлов Л Г, Усманов Н. - Сингулярные краевые задачи сопряжения - Доклады РАН, 2002,

т 387, №3, с 309-313

5р = ||5||др, так называемом условием эллиптичности установлены результаты так же, как в задаче Римана5. Выл щучен также параболический случай, когда |а(/)| = |6(/.)|. Затем И.Х. Сабитовым6 задача (А) исследовалась для окружности без всяких условий типа эллиптичности или параболичности. Число решений I или условий разрешимости р у него выражались через 1пЛа(1) и номер некоторого коэффициента разложения в ряд Фурье функции Ь(1).

В настоящем параграфе мы ставим себе целью получить явное значение чисел I и р а также сами решения.

Для задачи (4) найдено явное решение

<р+(2) = х+С0П(* - а^Пк [р-р(г) + + т(2)'

Л=1

ф {=)

= - \с+ [ -x-{z)f[(z - ßjf' [Р„_,(*) - г (*)] dz z L •' z j=i

,z€D

Резюмируя сказанное, можно сделать следующие выводы относительно разрешимости задачи:

Если аз — р < 0, то в решение задачи надо положить Рш~р{г) = 0 и надо требовать |ае — р\ условий разрешимости

/

тк"Чт = 0, Jb=l,2,...,|®-p|.

При аз — d > 0 общее решение неоднородной задачи линейно зависит от |® — d\ произвольных постоянных. При ге — d < 0 число условий разрешимости равна — d\. Заметим, что здесь при ® — d = 0 неоднородная задача, безусловно разрешима и притом единственным образом.

В четвертом параграфе требуется найти пару функций Ф±(г), аналитических соответственно в D+ и D~, включая бесконечно удаленную точку г = оо, удовлетворяющих на контуре L линейному соотношению

6 Михайлов Л Г. - Краевая задача типа задачи Римана для систем дифференциальных уравнриия первого порядка эллиптического типа и некоторые интегральные уравнения. - Ученые записки Тадж госунивсрситега, Сталинабад, 1057, с.32-78.

^Сабитов И X. - Об одной краевой задачи сопряжения на окружности - Сиб. матеч ж урн , 1964, т о, ЛП, с. 124-129.

где p(i), <К0 - многочлены, g(t) - функция, удовлетворяющая условию Гельдера.

Пусть ц = d - и\, 7 = р — иг, где d и р - целые числа, 0 < Vi < 1, О < 1/2 < 1-

Разложим многочлены p(z) и g(z) в произведение p(z) = p+(z)p-(z), q(z) = q+(z)q-(z), где p+{z), q+(z) - многочлены, нули которых лежат в D+, p~(z), q~(z) - многочлены с нулями в D~. Из свойства индекса легко получить, что ае = тп+ — п+, где т+, п+- числа нулей многочленов p+(z), q+(z). Тогда

или

Ф?(0 = С(<)ФГ(0 + Р1(«)-

Функция G(t) в точках t = a, t = /3 имеет разрыв первого рода. Для устранения разрыва введены новые неизвестные функции, как во втором параграфе Фг (г), после чего задача переходит в краевое условие с нулевым индексом.

Применяя теорему об аналитическом продолжении и обобщенную теорему Лиувилля, получим решение поставленной задачи в виде

Ф+(3) = (z - ocY^Az - (3)^x4*) [Pr-d-iiz) + /+(2)] + Ф+(~) + T(z),

Ф-(*) = (Z-/3YZ-" (j^y (ff^Vw - ГШ"

Если индекс окажется отрицательным, то нужно положить Psc-d-i(z) = 0 и добавить условия разрешимое™

.X'+J

J Р-(Г)

L

■5, (т)тк~Чт = О (к = 1,2,..., -ае + d).

Пятый параграф посвящен исследованию второй основной задачи аналитических функций краевой задачи Гильберта

Re[(a — гЬ)(и + «>)] = с (5)

в сингулярном случае для круга.

Пусть Г - окружность \z\ < 1, D+- внутренняя, а П~ - внешняя части круга \z\ < 1, q(s), b(s), c(s) - удовлетворяют условию Гельдера.

Задача (5) сводится к задаче Римана. Для этого запишем красное условие (5) в форме

(а — г£>)Ф+(<) + (а + г6)Ф+(<) = 2с. (6)

Пусть в (6) коэффициент в некоторой точке контура обращается в нуль либо в бесконечность. В этом случае задача (6) примет вид

Ц - /3)"(а - гЬ) Ф+(*) + (< - а)">Ф+(0 = 2 ф - /3)".

Решение краевой задачи Гильберта (5) равносильно отысканию функции Ф+(.г) из решения краевой задачи Римана (6) при условии, что для всякого г, не лежащего на контуре Ф~(г) = Ф+(г). Обозначим

= 5(0 =т и ^ = ^ = р~иъ а — 10 а — го

где (I и р - целые положительные числа, 0 < г^ < 1, 0 < //2 < 1-

Решение будем искать в классе функций, интегрируемых на контуре

а для применимости дальнейшей теории нужно, чтобы функция д(1) в точке < = а была достаточно раз дифференцируемой.

Коэффициент задачи в точках ( = а и ! = /5 имеет разрыв первого рода. Для устранения разрыва введены новые неизвестные функции (г), как это делалось во втором и четвертом параграфе, после чего задача переходит в краевое условие с непрерывным коэффициентом. Заменяя непрерывный коэффициент отношением канонических функций,

получим

х+(1) х~(1) х+(0

Последняя задача есть задача определения аналитической функции по заданному скачку, причем на бесконечности функция имеет индекс порядка —ж. И согласно равенству [(41.6) см.[2] стр.430]2 ее решение дается формулой

Ф+(г)_ 1 Г (т - а)-»(т - РП(т) <1т , „ Х+(г) _ 2жг У Х+(т) +

при а? < 0 нужно положить Рл~(г) = О

Решение поставленной задачи имеет вид

Ф,+(г) = (z - ar>(z - /?)*V(z) И*) + ,

= {^f (iri)" x~iz) [r{z) + K-p{z)] ■

В результате исследования получили теорему.

ТЕОРЕМА 5.1. Пусть Г - окружность \z\ < 1, a(s),6(s),r(s) -функции, удовлетворяющие условию Гелъдера; ав = Ind[a(s) + гб(.ч)] -индекс задачи.

Если индекс <г—р п заданном классе положителен, то общее решение неоднородной задачи линейно зависит от ал — р произвольных постоянных, где при дополнительном условии Ф^ (со) = 0, следует заменить на

При а? — р < 0 однородная задача в заданном классе неразрешима, а неоднородная задача разрешима тогда и только тогда, когда выполняются |ас — р\ условий

/fr-^-fl-V*.. Ц-М.....I*-Pl).

г

Если эти условия выполнимы, то неоднородная задача имеет единственное решение.

Шестой параграф посвящен исследованию краевой задачи сопряжения с непрерывными коэффициентами в сингулярном случае.

Пусть Г - контур состоящий ич т + 1 простых замкнутых непересекающихся контуров типа Ляпунова Го, Г],..., Гт, ограничивает конечную область U+. Через ü~ обозначим дополнение D+ + Г до полной плоскости D состоит из конечных частей Dk{k = 1,2.....т) и бесконечной

Класс, функций, суммируемых <о степенью р на контуре Г будем обозначать как обычно - L¡,{Г)(р > 1).

Требуется найти функции F±(i), аналитические н U±, имеющие почти всюду на контуре Г продельные угловые значения F~(l), принадлежащие Lj,(r)(.P > 1). причем F~(ос) = О, и удовлетворяющие краевому условию

Й (¿-а*Г

F+(t) = L-Í-Gi(0F-W + g(t), (7)

П (*-/?>

1=1

где аь{к = 1,2, ...,ц),Р}{] = 1,2,..., ■/) - некоторые точки контура; т^Р^-цслые положительные числа, д(1) € Ьр(Г); /0 - непрерывная функ-

т

ция. ее = ^ ае* - назовем индексом задачи, где ае = Точки

к=О

а*. - нули, - полюсы главного коэффициента. Потребуем, что функция д(Ь) в точках а* была дифференцируема т — 1 раз. Краевое условие (7) примет вид

Далее рассуждение проводится по схеме И.Б.Симоиенко7.

Для некоторых случаев решение найдено в явном виде, а в некоторых других получены точные утверждения о разрешимости.

ТЕОРЕМА 6.1. Пусть Г - контур, состоящий из т + 1 простых замкнутых контуров типа Ляпунова Го, Гь..., Гт, ограничивает конечную область 0+. Через обозначим дополнение + Г до полной плоскости. И состоит из конечных частей Дь, к = 1,2, ...,т и бесконечной £)0; С^) ф 0 - непрерывная функция, д(Ь) 6 ЬР(Г) и в точках ак дифференцируема т — 1 раз; ае = /псЮ^). Тогда:

а) в случае ае — р = 0 краевая задача сопряжения, безусловно, разрешима и имеет единственное решение.

б) в случае ае — р > 0 задача также безусловно разрешима и имеет ас — р линейно независимых составляющих общего решения.

в) в случае аз — р < 0 задача разрешима лишь при выполнении ае — р условий разрешимости = 0, где Б к - линейно независимые функционалы. При выполнении условий разрешимости региение существует и единственно.

В седьмом параграфе рассматривается смешанная краевая задача об отыскании пары кусочно-аналитических функций ф^г) и фк{г) в многосвязной области £)+ в сингулярном случае по краевым условиям

ПС-<*»)"* _

# (0 = -а(0*а (0 + '«(О (8)

П

на границе области Г € 0+ и

7Симонрнко II В. - Краевая задача Римана с негцх'рывным коэффициентом. ДАН СССР, 1959, т 124, Л">2, < .278-28-1

п (< - T»)rf-

tf W = ^-G*(t)fc(t) + &(0, (fc =1.2.) (9)

ПС-6)" 1=1

на гладкой кривой 7 6

Пусть D+ - конечная (m + 1)-связная область, ограниченная совокупностью (т + 1) замкнутых непересекающихся кривых Ляпунова Го U Tj U ... U Г7„ = Г, причем Го содержит внутри себя все остальные. Через D~ обозначим дополнение U Го до полной комплексной плоскости С, состоящей из тп односвязных конечных областей Df, ,..., ограниченных соогвстствснпо кривыми Г), Г2,..., Г,„, и одной бесконечной области Dq , все точки которой лежат вис кривой Го- В области D+ па положительном расстоянии от границы Г расположена простая гладкая замкнутая кривая 7. За положительное направление обхода кривой 7 принимается обход кривой против часовой стрелки. Через Д+ обозначим ту часть области которая лежит внутри кривой 7, а через Д~ остальную часть области D+.

Через <?2~(£) обозначим предельные значения функций

Ф\{?), когда z —> t € 7 слева или справа от кривой 7.

Исследования задач (8), (9) проводится в случае, когда функции ci(t),Gi;(t) в отдельных точках контура обращаются в пуль или бесконечность целых порядков. Кроме того, требуем, чтобы функции h(t),gi(t),g2(t) в сингулярных точках были дифференцируемыми достаточное число раз

Отметим, что в не особом случае, когда коэффициенты не обращаются в нуль, эта задача изучена украинскими математиками8.

Требуется найти кусочно-аналитические ф[(г), и в области D+

функции .//-непрерывно продолжимыс на кривые Г и 7, с линией сопряжения 7, по краевым условиям (8) и (9), где m(fc — 1,2,. ,¡.1), PjU — 1,2,...,1/) - некоторые точки контура Г; т„(п = 1,2,..., J), £,(( = 1,2, ..,N) - некоторые точки контура 7; mk,p3,d„,s, - целые положительные числа; точки сц будут нулями функции a(i), точки ¡i3 будут

"Башкарсв ПГ, Нечаев ЛП, Черпецкнй В А - Об одной смешанной краггюП задаче лля пары мючпо-анллигичеткнх ф\нкций в многосвязной области Зйфник пауковых праць, витпек С, Чсрншш, аыдавш.цстио "Прут", 2001, с 3-13.

полюсами функции a(i), ючкм г„ будут нулями а точки ^ полюсами

функции Gi(t) и соответственно.

Обозначим ст0 = Indt~pa(t), а?! = IndrsGi(t), яе2 = lndrsG2{t) и ар = аео + ffii + з?2- Через I обозначим число линейно независимых решений однородной смешанной задачи, а через р' - число условий разрешимости неоднородной смешанной краевой задачи. Краевая задача называется нетеровой, если числа I и р' конечны, а разность 1 — р' называется индексом краевой задачи.

Доказаны теоремы Нетера и подсчитано число линейно независимых решений однородной краевой задачи и число условий разрешимости неоднородной краевой задачи.

Лемма. Для заданных коэффициентов и свободных членов смешанной краевой задачи

^(t) = r?a(i)/2-(i) + /i*(<), (10)

(PtW^r^WFrW+gXt), (11)

#(i) = r'G2(<)F2-(i)+ <£(<) (12)

существуют и единственны Н-непрерывные на Г функции A(t) и H(t) такие, что смешанная краевая задача (10)-(12) равносильна, соответственно, однородной или неоднородной краевой задаче

Ф,(*) = A(tj¥Ht) + H(t),t е г, Ф,(*) = € Г,

аде новые неизвестные функции $1(2)^2(2) - аналитические в D+ и Н-непрерывны в Z>+ U Г, коэффициент A(t) ф 0 на Г и IndrA(t) = аз.

Теорема 7.1. Пара функций Q\(z) и fi2(z), аналитических в (т + 1)-связной области D+ и Н -непрерывных в D+ U Г, допускает интегральное представление

nt{z) = ±[^ па-(г)= 1 ¡ШЛ«У1г 1 w 2тг i J T-Z 2 w 2тг г J г-7 - г г

где Н-непрерывная плотность fi(t) определяется однозначно по заданным функциям Di(z) и ^(z). а а - дуговая координата точки т.

Теорема 7.2. Если коэффициенты a(t), G\(t). Gj(t) от.пгты от нуля на кривой Г. то смешанные краевые задачи (8), (9) ж-..unomiя центровыми. При выполнении этих условий индекс смешанной краевой .uuhvu (8). (9) вычисляется по формуле

I - = ¡¡и1Л{1) - щ + 1 - ,г - i,i -г 1

Неоднородны! емешапьая краевая задача разрешима тогда и только тогда, когда наполняются условия

I Я(т)(3(1Ч(т)Л- = 0,(А = 1,2.....р'),

г

где Я[к){г), (к = 1,2, ...,р') - фундаментальная система решений союзной задачи _

т/2Гя1-

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Усманоп Н., Холикова М.Б. - Решение задачи линейного сопряжения с разрывными коэффициентами для круга. Тезисы докладов республиканской научно-практической конференции. "Технический прогресс и производство", посвященной ПОО-лотшо государство Саманидов. Душанбе 1999, с. 68-69.

2. Холикова М.Б. - Сингулярные случаи задачи сопряжения гармонических функций, разрешимых в замкнутой форме. - Вестник педуни-верситета, Душанбе, 2002, №4, с. 87-90.

3. Холикова М.Б. - Об одной краевой задаче сопряжения гармонических функций с разрывными коэффициентами. Вестник иедуииверситета, серия естественных паук, Душанбе, 2003, №2, с. 42-43.

4. Холикова М.Б. - Об одной краевой задаче линейного сопряжения гармонических функций в сингулярном случае. "Современные проблемы математики. Обучения математике и информатике в средней школе и нуче". Сборник статей и тезисы докладов республиканской научной конференции посвященной 70-летию математического факультета ТГПУ им. К. Джураева. Душанбе, 2003, с. 17-19.

5. Холикова М.Б. - Задача Римана для полуплоскости в сингулярном случае. "Современные проблемы математики. Обучения математике и информатике в средней школе и вузе". Сборник статей и тезисы докладов республиканской научной конференции посвященной 70-летию математического факультета ТГПУ им. К. Джураева. Душанбе, 2003, с 23-29.

С. Холикова М.Б. - Об одной граничной задаче сопряжения аналитической функции в сингулярном случае. Вестник иедуниверситета, серия есгеств. наук, Душанбе, 2004, №4, с. 35-37.

7. Усманов Н., Холикова М.Б. - Задача сопряжения аналитических функций с сингулярными точками на контуре. // Доклады АН Республики Таджикистан 2004, т. ХЬУН, №4, с. 31-36.

8. Усманов Н., Холикова М.Б. - Граничная задача сопряжения аналитических функций с наличием нулей и бесконечностей сопряженного аналитического вида коэффициентов на контуре. Вестник педунивер-ситета, серия естественных наук, Душанбе, 2005, №4, с. 23-29.

9. Холикова М.Б. - Краевая задача Гильберта для круга в сингулярном случае. Вестник педуниверситета, серия естественных наук, Душанбе, 2006, №2, с. 21-25.

10. Усманов Н., Холикова М.Б. - Об одной смешанной краевой задачи для кусочно-аналитических функций в многосвязной области в сингулярном случае. АН Республики Таджикистан институт математика. Материалы научной конференции "Математика и информационные технологии", посвященной 15-летию независимости Республики Таджикистан, Душанбе, 2006, с. 84-85.

11. Усманов Н., Холикова М.Б. - Об одной смешанной краевой задаче для пары кусочно-аналитических функций в многосвязной области в сингулярном случае. // Известия АН Республики Таджикистан, 2007, №2(127), с. 17-25.

Пользуясь, случаем, автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Усманову Нурулло за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией, а также неоднократное обсуждение полученных результатов.

Сдано 25 OS 08 Подписано к псч.ш, 2S OS OS Гарнитура rimes Roman Ьумага o(|kciпая Печать офссшая Формат 60\84 Гираж 100 jici Заказ № 59 Цена договорная

Отпечатано в типографии ООО «Ховарон»

Введение.

§1. Граничная задача сопряжения аналитических функций с наличием нулей и бесконечностей сопряжения аналитического вида коэффициентов на контуре.

§2. Задача сопряжения аналитических функций с сингулярными точками на контуре.

§3. Об одной краевой задаче тории аналитических функций с производной в краевом условий в сингулярном случае.

§4. Задача сопряжения аналитических функций с рациональными коэффициентами в сингулярном случае.

§5. Краевая задача Гильберта для круга в сингулярном случае.

§6. Краевая задача сопряжения с непрерывными коэффициентами в сингулярном случае.

§7. Об одной смешанной краевой задачи для пары кусочно-аналитических функций в многосвязной области в сингулярном случае.

Цитированная литература.

ВВЕДЕНИЕ

0.1. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Будет рассматриваться комплексное значение функции точек плоскости (я, у) или г = х + 1у, обозначаемые не только как /(ж,у), но и как /(г).

1. - односвязная ограниченная область (в частности это круг) с границей Ляпунова Ь, В~ - внешняя по отношению к области, то есть дополнение до всей плоскости.

2. - предельные значения на Ь аналитических в функций, причем для требуется, чтобы ф~~(оо) = 0.

3. / - число линейно независимых над полем вещественных чисел решений однородной задачи, р - число условий разрешимости неоднородной задачи.

4. Н\(Ь) - класс функций, удовлетворяющих условию Гельдера: для всех ¿1,^2 £ причем 0 < А < 1. 5. 5р(5я) - норма в Ц>{Н\{Ь)) сингулярного оператора:

Отметим, что для окружности = 1.

0.2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Новый расцвет теория краевых задач и сингулярных интегральных уравнений получила лишь в середине тридцатых годов. В течение короткого промежутка времени и особенно за последние годы вышло большое количество работ, посвященных краевым задачам аналитических функций. В настоящее время, этой проблеме посвящено довольно большое количество научных работ (Ф.Д. Гахов, Н.И. Мусхелишвили, Л.Г. Михайлов, B.C. Рогожин, И.Б. Симоненко, Ю.И. Черский, Г.С. Литвинчук, И.Х. Сабитов, H.H. Юханонов, Н. Усманов). Большую роль здесь сыграли работы Н.И. Мусхелишвили по теории упругости. В его работах задачи теории упругости приводятся к краевым задачам теории функций комплексного переменного, а последние при помощи интегралов типа Коши к сингулярным интегральным уравнениям.

От вышеуказанных краевых задач, естественно, надо было перейти к постановке и решению общего случая основной краевой задачи, что и сделано в работах Ф.Д. Гахова [5].

Наряду с работами по теории упругости большую роль сыграли также работы по гидродинамике М.А. Лаврентьева, М.В. Келдыша, Л.И. Седова и других. При решении практических задач здесь попутно ставились и решались частными методами некоторые краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения специального вида.

Трудно перечислить все опубликованные за последние годы работы, связанные, так или иначе с нашей тематикой. Такая подробная библиография имеется в монографиях Н.И. Мусхелишвили [11], Ф.Д. Гахова [5] и Л.Г. Михайлова [13].

Несколько десятилетий тому назад большое распространение получила теория краевых задач аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений.

Как известно, основная краевая задача теории функций комплексного переменного $+(t)=G(t)$-(t) + ff(t), teL изучена впервые Ф.Д. Гаховым, обобщалась и развивалась затем во многих и различных направлениях. Общее решение (0.1), и притом в явном виде (в интегралах типа Коши), впервые было найдено в 1936 г. Ф.Д. Гаховым. В школе Ф.Д. Гахова (0.1) стали называть задачей Римана, а в школе Н.И. Мусхелишвили задачей Гильберта. Мы будем называть все подобные (0.1) соотношения задачами сопряжения. При g(t) = 0 задача (0.1) называлась еще также проблемой о факторизации, а в более общем случае такие системы типа (0.1) составили двадцать первую проблему Д. Гильберта (о линейных дифференциальных уравнениях с заданной группой монодро-мии). Отметим, что Ф.Д. Гаховым были изучены случаи, когда G(t) имеет нули и полюсы аналитической структуры, которые были названы исключительными случаями.

Но действительной общей линейной задачей сопряжения аналитических функций является

После постановки задачи (А) в статье А.Н. Маркушевича за 1946 г. Н.П. Векуа [4] в 1952 г. привел ее к сингулярному интегральному уравнению (СИУ) и доказал теоремы Нетера (при условии нормальности а{Ь) ф 0). При выполнении неравенства |а(£)| > (эллиптический случай)

Б.В. Боярским впервые были найдены точные результаты в 1959 г. Он ограничивался односвязной областью и требовал для а(£) условие Гельде-ра с показателем, сколь угодно близким к единице.

Гораздо более полное исследование задачи (А), а также получение точных результатов для случаев |а(£)| > |Ь(£)| (эллиптический случай), |а(£)| = |6(£)| (параболический случай) осуществлено Л.Г. Михайловым в 1958-1962 гг. - при самых общих условиях: а{Ь) ф 0 и непрерывна, &(;£) ф+{€) = а(1)ф~{1) + Ь(1)ф~{1) + c(t). ограничена и измерима, c(t) £ LP(L), ^ > 1, были разработаны два метода как общего исследования задачи (А), так и ее эффективного решения.

В монографии Л.Г. Михайлова дано обобщение краевой задачи (А) на случай, когда в краевом условии допускаются члены, содержащие производные, а также их комплексные сопряжения.

Затем И.Х. Сабитов исследовал задачу (А) на единичной окружности, без всяких условий типа эллиптичности или параболичности [19,20].

Особые случаи задачи (А) при некоторых предположениях относительно коэффициентов рассматривались в работах H.H. Юханонова [52] и Н. Усманова [22,23,24]. А также Н. Усмановым изучены сингулярные граничные случаи для основных задач сопряжения, то есть для задачи типа (0.1) и типа (А), для аналитических, обобщенно-аналитических, а также гармонических функций [26-33]. Кроме общего исследования, найдены точные значения чисел I и р ( I - число решений однородной задачи, р - число условий разрешимости неоднородной задачи).

Цель работы. Целью настоящей диссертации является построение теории разрешимости указанных задач сопряжения аналитических функций с наличием нулей и бесконечностей сопряжения аналитического и неаналитического вида коэффициентов на контуре. Кроме общего исследования нашей целью является нахождение точных значений чисел I и р (I - число линейно независимых над полем вещественных чисел решений однородной задачи, р - число условий разрешимости неоднородной задачи).

Практическая и теоретическая значимость. Применение задач сопряжения в физике, геофизике и других науках уже приобрело достаточно большую известность. Полученные нами результаты также могут найти применение в указанных областях.

Методика исследования. В диссертации используются многие современные методы теории функций, изложенные в монографии Ф.Д. Гахова, Н.И. Мусхелишвили и Л.Г. Михайлова.

Научная новизна работы. Впервые разработана теория граничных задач сопряжения для тех случаев, когда коэффициент обращается в нуль или имеет особенности не голоморфной структуры.

В большинстве случаев решение задачи найдено в явном виде.

В некоторых случаев найдено I - число решений однородной задачи, р -число условий разрешимости неоднородной задачи.

Все результаты предлагаемой диссертации являются новыми.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались: на научных семинарах академика Л.Г. Михайлова, а также на семинарах и научных конференциях в Таджикском государственном педагогическом университете (ТГПУ); на Республиканской научной конференции, посвященной 70-летию математического факультета ТГПУ, Душанбе, 2003 г.; на научных семинарах кафедры математического анализа ТГПУ (руководителем научного семинара профессор М.М. Каримова и доцент Р.Н. Пиров); на Международной научной конференции "Математика и информационные технологии", посвященной 15-летию независимости Республики Таджикистан, Душанбе, 2006 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в одиннадцати научных статьях и тезисах, список которых приведен в конце диссертации. Работы написаны в соавторстве с Н. Усмановым, которому принадлежит постановка рассмотренных задач.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, семи параграфов и списка литературы, содержащего 52 названия. Объем диссертации составляет 77 страниц компьютерного набора.

1. Боярский Б.В. - Об обобщенной граничной задаче Гильберта. - Собщ. АН Груз. ССР, i960, т.25, Ж. с. 385-390.

2. Башкарев П.Г., Нечаев А.П., Чернецкий В.А. Об одной смешанной краевой задаче для пары кусочно-аналитических функций в многосвязной области. Зб1рник науковых праць, випуск 6, Чершвщ, выдав-ницство. "Прут", 2001, с. 3-13.

3. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. - М., Наука, 1998, 510 с.

4. Векуа Н.П. Об одной задаче теории функций комплексного переменного. - ДАН СССР, 1952, т.88, №3, с. 457-460.

5. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М., Физматгиз, 1977, 640 с.

6. Гахов Ф.Д. О линейной краевой задаче с допустимыми нулями на контуре. - ДАН СССР,1973, т.210, №6, с. 1269-1272.

7. Журавлева М.И. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом со счетным множеством разрывов первого рода ее коэффициента. - ДАН СССР,1973, т.210, №1, с. 15-17.

8. Журавлева М.И. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом со счетным множеством разрывов первого рода ее коэффициента. - ДАН СССР, 1974, т.214, №4, с. 755-757.

9. Квеселава Д. А. Некоторые граничные задачи теории функции. Труды Тбил. мат. ин-та - 1948, т. 16, с. 39-80.

10. Литвинчук Г.С., Нечаев А.П. К теории обобщенной краевой задачи Карлемана. - ДАН СССР, 1969, т.189, №1, с. 38-41.

11. Мусхелешвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М., Наука, 1968, 511 с.

12. Михайлов Л.Г. Краевая задача типа задачи Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и некоторые интегральные уравнения. - Ученые записки Тадж. госуниверситета, Сталинабад, 1957, с.32-78.

13. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Изд-во АН Тадж. ССР, Душанбе, 1963, 184 с.

14. Михайлов Л.Г., Усманов Н. Сингулярные краевые задачи сопряжения. - Доклады РАН, 2002, т.387, №3, с. 309-313.

15. Муминов А. Отдельные краевые задачи сопряжения для аналитических, обобщенных аналитических, гармонических функций некоторые приближенные способы их решения. - Автореф. дисс. на соискание уч. степ. канд. физ.-мат. наук. Душанбе, 1994, 15 с.

16. Норов К. О случаях явной разрешимости общей граничной задачи линейного сопряжения аналитических функций. - Вестник педунивер-ситета, серия естеств. наук, Душанбе, 1999, №1, с. 43-46.

17. Норов К. Явное решение некоторых задач сопряжения аналитических, гармонических и обобщенных аналитических функций в особых случаях. - Автореф. дисс. на соискание уч. степ. канд. физ.-мат. наук, Душанбе, 1999, 16 с.

18. Сабитов И.Х. Об одной краевой задачи сопряжения на окружности. - Сиб. матем.журн., 1964, т.5, №1, с. 124-129.

19. Сабитов И.Х. Об одной краевой задачи линейного сопряжения на окружности. - Матем. сборник, 1964, т.64, №2, с. 262-274.

20. Симоненко И.Б. Краевая задача Римана с непрерывным коэффициентом. ДАН СССР, 1959, т. 124, №2, с.278-284.

21. Усманов Н. Об одной краевой задачи теории аналитических функций с производной в краевом условии. Доклады АН Тадж. ССР, 1968, т. И, №9, с. 7-10.

22. Усманов Н. Особые случаи краевой задачи с производной на окружности. - Доклады АН Тадж. ССР, 1974, т. 17, №5, с. 12-16.

23. Усманов Н. Особые случаи краевой задачи сопряжения аналитических функций с производными. Доклады АН Тадж. ССР, 1974, т.17, №7, с. 7-11.

24. Усманов Н. Особые случаи некоторых задачи сопряжения аналитических функций. - Автореф. дисс. на соискание уч. степ. канд. физ.-мат. наук, Душанбе, 1975, 15 с.

25. Усманов Н. Сингулярные случаи задачи сопряжения аналитических функций. Доклады АН Тадж. ССР, 1991, т.34, №4, с. 216-220.

26. Усманов Н. Некоторые задачи сопряжения с производным второго порядка, а также сингулярные случаи для гармонических функций на плоскости. - Доклады АН Тадж. ССР, 1992, т. 35, №5-6, с. 237-240.

27. Усманов Н. Об одной краевой задаче сопряжения гармонических функций для круга. "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения "Сборник научных трудов. Выпуск 2, Душанбе, 1994, с. 66-69.

28. Усманов Н. О задачах сопряжения гармонических функций с разрывными коэффициентами и с разомкнутыми контурами. - Доклады АН Республики Таджикистан 1996, т. 39, №9-10, с. 61-68.

29. Усманов Н. Краевая задача Римана для кусочно-аналитического вектора в сингулярном случае. - Тезисы международной конференции. "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения". Душанбе, 1998, с. 91-92.

30. Усманов Н. Обобщенная граничная задача линейного сопряжения с разрывными коэффициентами и с разомкнутыми контурами. Вестник педагогического университета. №5, 1999, с. 89-94.

31. Усманов Н. Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения. Тезисы III международной конференции по матемаиче-скому моделированию. - Якутск, 2001, с. 52-53.

32. Усманов Н. Сингулярные граничные задачи сопряжения. - Автореф. дисс.на соискание уч. степ, доктора физ.-мат. наук, Душанбе, 2004, 32 с.

33. Усманов Н., Норов К. Об одной краевой задаче теории аналитических функций с сингулярными граничными условиями. - Вестник педуни-верситета, серия естест. наук. Душанбе, 1997, №10, с. 2-6.

34. Усманов Н., Муминов А. Об одной краевой задаче сопряжения гармонических функций и ее особый случай. "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения". Выпуск 7. Душанбе, 1998, с. 85-89.

35. Усманов Н., Холикова М.Б. Задача сопряжения аналитических функций с сингулярными точками на контуре. - Доклады АН Республики Таджикистан 2004, т. ХЬУП, №4, с. 31-36.

36. Усманов Н., Холикова М.Б. Граничная задача сопряжения аналитических функций с наличием нулей и бесконечностей сопряженного аналитического вида коэффициентов на контуре. - Вестник педуни-верситета, серия естественных наук, Душанбе, 2005, .№4, с. 23-29.

37. Усманов Н., Холикова М.Б. Об одной смешанной краевой задаче для пары кусочно-аналитических функций в многосвязной области в сингулярном случае. - Известия АН Республики Таджикистан, 2007, №2(127), с. 17-25.

38. Хведилидзе В.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций с сингулярными интегральными уравнениями и некоторые