Сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши в исключительных случаях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На Иранах рукописи

ООБОЬио^

Урбанович Татьяна Михайловна

СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЯДРОМ КОШИ В ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Р НАР ?013

Белгород - 2013

005050315

Работа выполнена на кафедре математического анализа ФГАОУ В ПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Солдатов Александр Павлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Асхабов Султан Нажмудинович декан факультета математики и компьютерных технологий Чеченского государственного университета

кандидат физико-математических наук Жура Николай Андреевич старший научный сотрудник Физического института имени П. Н. Лебедева РАН

Ведущая организация: Южный федеральный университет

Защита диссертации состоится -¿'«-иу»****- 2013 г. в 10 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном национальном исследовательском университете по адресу: 308007. г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. 1, ауд. 407.

С диссертацией .можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного национального исследовательского университета.

Автореферат разослан /а^^сХ^ 2013 г.

Учен ы П секрета])!,

диссертационного совета Д 212.015.08

Гриценко С. А.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Теория сингулярных интегральных уравнений и красных задач для аналитических функций привлекает интерес математиков и механиков в течение многих лет. Одним: щ методой исследования сингулярного интегрального уравнения является сведение его к соответствующей краевой задаче для аналитических функций.

Начало исследования краевых задач для аналитических функций восходит к классическим работам Б. Римана1 и Д. Гильберта.2 Большой вклад в создание н развитие теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений внесли 10. В. Сохоцкий. В. Вопьтерра. И. Племель. Ф. Натер, Т. Кацтеман. И. Н. Векуа. Н. И. Мусхелишшит, Ф. Д. Гахов, Б. В. Хведелидзе, 3. Преодорф, С. Г. Михлин, Л. Г. Михайлов. Л. И. Чибрикова, Л. А. Аксшггьев. Э. И. Знеропич, Г. С. Литвинчук! Ii. В. Говоров, А. Г1. Солдатов и другие.

Pinnнтне атой теории активно продолжается в настоящее время в работах Э. И. Знеровича, Л. Г. Михайлова, Н. Усмоиова, В. II. Власова. С. II. Безродных. Э. Вегерта, Ю. В. Обносова. В. В. Сильиестрова.

C. Н. Асхабова, А. П. Салдатова и других. Стимулирующим фактором для ■этого являются многочисленные применения к актуальным прикладным проблемам как в традиционных (гидро- и аэродинамика/® теория упругости4), так и в современных (теория композиционных материалов,5 теория гетерогенных сред,' физика плазмы7) областях исследования.

Напомним, что краевой задачей Римана в исключительном случае8 называется задача отыскания кусочно-аналитической функции Ф(г), аналитической внутри и вие простого гладкого замкнутого контура Г.

Ч'шит, В. О>•„:,,„;га П. Г,шин. - М.-Л.: 0П13, 1ЪГ. ,пд-.ю дга,штгм.

1918. — ИЗ г, 1 31

-mihrrt, D. Ül*>r «ш- Aiiwíiiriuiig Лт Iiiuxr^lriuhmi»™ auf ein I'roWini rfra- B¡iidioii.-nil¡«jrif:

D. IbJbcit// Vnbmdl. AsIIIbioruai. M«th. Kcngjr. H<itlr Пч-гд, 1901.

'Елшарас,А.М. Задачи гапишпащш tj»piiu и лэроигямдиналшк«?/ А. M. &ш.![юк, Д. Р. Клошив, Д. В. Маклаков. - М.: Фтяаглпт, 200». — <80 е.

Ж;л>я<,ка«. U.A. Фу|гдкшшта.чы<ы<> (кчшчшя тории уггругос-гн п некоторые их iqunininnn и гамкзшше, жмпшш«. íjiíh км и «ияаяЯ. Курс лекций/ М. А. Жтр.тамж. - Мшкж: БГУ. JOOS. _ 217 с.

'•M¡Uo,h О. 1Г. Т1к> (hcccy of «япро-йг,/ G. \V. Milt<4i. - СянЫМда* СшпЬгЫя- ttiivwitv Pjc« _ 2ftH. — Tl'J р.

"OóHocaa, 10. в. Крьвшле :цд».ш тоорян rcreporoiraux <рг.д> Ю. В. (Уликой. _ Котят,- Hiri-iM Кимлгкот г«-, yn-та, 2009. — 205 с.

• Btupoót,ЪХГ,С. Н. 0&Л«!!'1ШЫ<.' Ы1ВЛШ1!Ч«Ю«- MlVtfVUt ГОК.*!«» ГЛ,Ж Сн[ЮВ1 ГГКНГО '

С. 11.1*лродных. В.Н.Шаоип. В. В. Олкт ' Пнп.ма „ Лщия'оинчсгкнй жтомая — '011 Т. 37. 2. - С. 133-150. J"' "

Tarn«. Ф.Д. Крп«>ыо -¡эдачн/ Ф. Д. Гамм. - тд. - М.: Наука, 1377. - 6 КЗ с.

предельные значения которой удовлетворяют краевому условию

fie

= ^-(i) + g{t), t € r, (1}

ПС- )

*=г

где Oj. bk — некоторые точки контура Г. щ ф Ьь, j=l,2,...,m, k=l,2,...,n. G(() — функция, удовлетворяющая условию Гсльдера и ие обращающаяся в пуль на контуре Г.

Решение задачи (1,1 в случае тамклутого контура Г впервые было дано Ф. Д. Гаховым в 1941 юлу в его докторской диссертации. Решения отыскивались в классе кусочно-аналитических функции, граничные значения которых в исключительных точках могли иметь лишь интегрируемые особенности. Чтобы обеспечить разрешимость задачи (1) в этом классе функции, нредначагалосъ, что коэффициент G(t) и свободный член g(t) удовлетворяют условию Пшьдера и дифференцируемы в окрестности точек aj, b^ достаточное число раз. Л. А. Чикип® продолжил и углубил эти исследования.

Напомним, что сингулярным интегральным уравнением с ядром Кош и в исключительном случае называется уравнение вида

a(iMt) + тг?н±+г K{f> т)ф)с1г = m

Til J г T —t JT

для которого

"<*) + W = - Oj)ttJr(th

(3)

a(0 - b(t) = - /<;.Г'Ч0,

где r(/) и .<s(i) не, обращаются в нуль на контуре Г; aj, Ьд. — точки контура Г, а, -М п(, £ Z+.

Если А'(/, г) = 0 н выполняются предположения (3), то получим

характеристическое сингулярное уравнение в исключительном случае

+ = т (4)

ггг JT т — t

Уравнение (2) в предположениях (3) было полностью исследовано Ф. Д. Гаховым и Л. А. Чикиным методом сведения к краевой задаче Римана для случая, когда обе функции a(l) ± b(t) могут обращаться

'' чикип, л- Л. Особые (viymtui кра<люй 'лндачи Рлмана н гишл'ляриых нгт!-]).-,.тын.1Х уравнений/ Л. A. Чшаш// УчЕкыи мшшг Кгаикжага rat. vu-m гаг. В.II. Ульяпааа-Лстта. — 1933. — Т. 113. кн. 10. — С. 57-105.

в пуль целых порядков в различных точках контура, интегрирования. Д. И. Шерман10 независимо от работ Ф. Д. Гахова другим методам дал исследование исключителышх случаен уравнений с: ядром Кош и в предположении, что только одна ип (функций я(?) ± Ь(1:) имеет нули целых порядков на контуре Г.

Дальнейшее исследование исключительных случаев сингулярных интегральных уравнений с ядром Кош и продолжили в самых различных направлениях Б. В. Хведелидче, Ф. Д. Гахов, Е. А. Косулии. 3. Пресдорф, А. И. Тузик, А. А. Килбас, В. В. Дыбив, В. С. Рогожин, Т. Н. Радчеико. Л. В. Карташева, С. Н. Расламбеков и другие авторы. В частности, А. А. Килбас11 и А. И. Тузик1' исследовали уравнение (2) в предположениях

а(о+т = п;=,е - ^шио -«(о - ад = п:^ ->■>?■ ш_1(* - мчо.

'УК' >'(?) и «(/) нигде на Г не обращаются и нуль; Ь/,, е.',; - точки контура Г, ф Ьм, о, ф а, Ьь ф с,-; а,. -у, £ Решение подучено в классе функции, удовлетворяющих условию Гёльдера.

В данной работе рассматривается ситуация, когда функции «(¿) ± ¿»(¿) допускают на контуре Г конечное число нуден пронзшлльных неотрицательных порядков.

Цель работы. Целью данной работы является исследование сингулярных интегральных уравнении в исключительном случае с )! р< ишадл ьи ы ш I порядкам 11 Iiy.Fi«й.

Научная новизна.

1. Получены условия разрешимости и явная формула решения сингулярного интегрального уравнения в исключительном случае с произвольными порядками нулей в классах Гёльдера на вещественной прямой.

2. Установлена асимптотика интеграла типа Коши с весом в классах гладких функций I! особых точках кривой.

3. В семействе весовых классов Гёльдера получены условия разрешимости и явная формула решения задачи линейного сопряжения

шШерман, Д. II. 06 <«мт случае ртуляркпкпи <ишу.вфиых урошмшП/ Д. И. Шсршш// Прнклаляая моттоягпхя и механика. — 1951. — Т. 1,5, ra.ni. 1. — С. "5-82.

'1 А'^шсг, .1.3. Гг!п<нпг> и !.'1\гкп\тон гкх'пидт» он <Г,<л'<> шггшралмюш уратяюишг с

ашлтичжклн ядром в исключительном стгта! А. Д. Кнчбаг '/ Пикт АН БССР. — 1974. — Л» 1. - С. 120-130.

' ~ Ту <(!/.■, .1. /Л К 1мч1стшо оо>бых пнН'1 рли.шл1 У1>;,}'.11'-1!1:Г1 с ядром Коти и жхжмтелыю!,!

сяупае/ А.И.Тупик,'/' И-лютии .VII БССР. — 1970. — » 2. — С. 125-12?.

и соответствующего сингулярного уравнения и исключительном случае на гладком замкнутом контуре.

Методы исследования. Для решения поставленных задам были использованы методы теории функций и функционального анализа, сингулярных интегральных уравнений-н теория интеграла типа Коти.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют теоретический характер. Они могут быть использованы для последующего развития общей теории сингулярных интеграл ьн ы х уран иен ни.

Апробация работы. Наиболее значимые результаты диссертации д окл ад ы в ал i к: ь ira,

— 4-ой Между ira род пой математической конференции AMADE — 2006, посвященной столетию со дня рождения академика Ф.Д. Гахова (Минск, 13 - 19 сентября 2006 г.).

— Международной математической ю>нференции «Дифференциальные уравнения, теория функции и приложения», посвященной столетию со дня рождения академика И. Н. Веку» (Новосибирск, 28 мая — 2 июля 2007 г.).

— 6-ой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1-4 июня 2009 г.).

— 5-ой Международной математической конференции AMADE — 2009 (Минек, 14— 19 сентября 2009 г.).

— 6-ой Международной математической конференции AMADE — 2011, носвящёшюй памяти проф. А. А. Кил баса (Минск, 12 — 17 сентября 2011 г.).

— Международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» (Белгород, 17 — 21 октября 2011 г.).

— Международной конференции молодых учёных «Математическое моделирование фрактальных процессов, родстиениые проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 5 — 8 декабря 2011 г.).

— Международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической финики», посвященной 80-летию со дня ¡хождения академика M. М. Лаврентьева (Новосибирск, 5 — 12 августа 2012 г.).

— 23-ей Крымской осенней математической школе-симпозиуме (Украина, Крым. Дасии-Батнлнман, 17 — 29 сентября 2012 г.).

— 4-ой Международной конференции молодых учёных но дифференциальным уравнениям и нх приложениям имени Я. Б. Лонатинского (Украина, Донецк, 13 — 17 ноября 2012 г.).

— II Международной конференции молодых учёных « Математическое

G

моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики» (Терскол, 28 ноября — 1 декабря 2012 г.).

Публикации. О сновные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[15|, список которых приведен и конце автореферата. Публикации [5]. [11], [13] выполнены н изданиях из перечня ведущих периодических изданий, рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов. В совместных с А. П.Солдатовым статьях [о], [8], [9] научному руководителю принадлежат постановка задач и выбор методик исследования, а соискателю — реализация указанных методик.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на пункты, и списки литературы. Объем диссертации составляет 82 страницы, библиография - 115 наименований.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору фюцко-математнческих наук, профессору А. П. Солдатову за постановку задач, поддержку и внимание к работе.

Основное содержание работы

Во введении приведен краткий исторический обзор теории сингулярных интегральных уравнения и краевых задач для аналитических функций, изложена актуальность темы, а также цель работы, методы исследования, научная новизна, публикации но теме диссертации и личный вклад автора в совместные работы, апробация работы, значимость, структура и содержание работы.

В первой главе рассматривается характеристическое сингулярное интегральное уравнение на прямой в исключительном случае. Все исследования проводятся в классах Гельдера.

Класс функции Гельдера на расширенной прямой будем обозначать Н(Ш, оо). Условие у>(оо) = 0 выделяет в классе Я (К, со) подкласс,

о

который обозначим Я (Е,оо). Пусть Е — конечное множество, Е С Ш. *

Обозначим # (К, Е:оо) класс функций <р, которые принадлежат

о

#(Е\{', оо) вне любой окрестности и множества Е, а в любой окртетности каждой точки г € В, не содержащей других точек множества Е, представнмы в виде <р0(/)(/ — г)-1, где € Я и = 0.

В пункте 1.1 рассматривается исключительный случай характеристического сингулярного интегрального уравнения (4) на прямой в предположении, что функции ч(() ± (>({} имеют на контуре Г = Е нули нецелых порядков и причём 0< < 1, 0 < 0к < 1.

Пусть а,, (>k — точки вещественной прямой. Введём обозначения

А

\ J/

Ш) ■

где точют a'j.ll g С лежат вне действительной оси * и ветви соответствующих степенных множителей выбраны' 'с разрезом вдоль отрезков [«j, a'j], [&>, è^]. В этих обеппачешшх a{t) ± b(t) можно представить в виде

«(/) + UJ) = r(t)A(t), a(t) - bit) = s(t)B{t), (5)

где функции r(t), s(t) принадлежат классу Я (M, оо) и обрат им ье п этом

-ff'O

и

классе.

Индекс Коиш находит»! по формуле ж=-1п [ \

п— r(i)

2тг г

, / ч , Ф) , (к - г

рассматривается функция ЛШ = m — œ m -

г(1) \t I I

очевидно, принадлежит классу if(R, оо). Вводится обозначение

которая.

Щг)

1 ГЦг)

2ттi Jm т

h (г) - ft(°o)(fr>

C\R.

Каноническая фуикция строится следующим обрачом:

ехр (Щг) + h (оо)) , Im z > О,

А'(-') =

ехр (#(-)}

: + г

, Irn г < 0.

Л (i). В(/) представляются

= 5+(/)Я_(0- где

-иде

A±(z)

п (нгГ.*«- п

±lm,l< n у ' ' ±Imb'.<0 *

Вводятся следующие обозначения: Е = {a,, j = 1.2,..., m}. F = {bt, к = 1,2....,/>}. F(i) =

Теорема 1.1. Пусть a(t),b(t) Ç Я(Е,со), /{/.) GH {Ж,со). Тогда при

аз > О уравнение (4) « предположениях (5) безусловно разрешимо а классе *

H (R,EU F;oo) и его общее, решение даётся формулой

vKO

К

1

A(t)r(t) B(t)s(t),

Ht)-

4-i ( 1 1 ^ Ш f —älL—ft-4.

2U(i)r(0 В(*МО/ rri J№ Y(t)(T — i)

1___ул Y(t)

_+U(i)r(o «cwo; о4

с прои./аольпылш коэффициентами pk € С.

/Г<-. г il «в < 0. то для существования решения. пеоб.еоЛшо и достаточно выполнение, — а? условий раарсш-имости

f vf^.v 4-1(/г = = — -

Л V (т)(г + «)--+1

и (cxhtucmaeiuuic) решение, уршиелшя (Jj) и предпололее.нши:: (5) дастся ¡кш-.испшо,и

,1 (_i___m f nr) rh

U('M') B{IMt)J -Ti kv(r)lr I)

В пункте 1.2 рассматривается исключительный случай

характеристического сингулярного интегрального уравнения (4) на

прямой в предположении, что функгщи a(t)ézb(i) имеют ira контуре Г = Е нули произвольных положительных порядков ог > 0:

а(1) + b(t) = О (ji - г|"0 при (чт = Е, .

a(t) - b(t) = 0(|f - гI*1') при t-^т £ F, W

где конечные множества Е и F не пересекаются. Множества Е п F нредетпвлются в виде объединения непересекающихся подмножеств Е± и F± соответственно. Пусть

П (ШР **>-п(ШР «

тбЬ± 7 -е fi /

где ветви соответствующих степенных множителей выбраны с разрезом ндспь отрезков [r,+/j. В частности. A±(l) и B±(t) продолжаются до функций, аналитических в полуплоскости D± = {г, iliiiz > 0}, для этих продолжений используются те же обозначения. Условия (G) у точняются следующим образом:

a(t) + b(t) = Г(г)Д+(*М-(0. «(*) - b(i) = (8)

В примятых обозначениях требуется, чтобы функции г(1). .?(/:) в представлении (8) принадлежали классу Н(Ш, оо) и были обратимы и этом классе.

/4±) В± представляются в виде

А± = А%А1±, В± = В1В\ ~ (9)

где рациональные функции В± определяются аналогично (7) но целым частям ?ог] и аналогичный смысл имеют В\ по отношению к дробным частям показателей.

Для целого к под (А-)о здесь и ниже понимается неотрицательное -число (к + ¡Ат|)/2. Кроме того, с порядками а> связаны неотрицательные целые числа

= «± = ЕтеР±м. (ю)

где [аг] сштчает целую часть числа »., и каноническая функция Х(г) определяется но г и з также как и выше.

Вводится обозначение = — / / с К.

тгг т t

Теорема 1.2. Пусть коэффициенты а,Ь 'щюаненил (4) представлены в виде, (7), (8). где г, я принадлежат классу Н(Ш;оо) м обраттшы а этом

о

классе. Пусть / (Е; оо) м

= гДУА1ву = {/~ + <И>

Тогда любое решение <р уравнения (4) а классе

{И ^геЯ(Н,£иР;оо)| (12)

предс.тааилш в внс?е

= Х+.В4 / д+5(д) , А . гХ+А! (д - Б{д) р

с некоторы.и „многочленом р степам меньше т- + (ж + »Ц-)о. причем

I + ^ (-0 = О, О < й < (-» - - 1. (14)

Обратно, если условия (14) выполнены и формула (13) определяет функцию из класса (12). то эта функция является решением уравпемия (4).

Возникает задача описания условий на правую часть / уравнения (4) и многочлен р, обеспечивающих принадлежность функции (13) классу (12).

Сначала рассматривает«! случай / = 0 однородного уравнения (4).

Теорема 1.3. В условиях теорелш 1.2 размерность пространства решений однородного уравнения (4) о классе (12) рптш (ж — т+ — п-)о-Более точно, при ае < ш+ + и_ однородное уравнение (4) о этом классе имеет только нулевое pe.tiw.ime., а при ае > т+ -f о обозначениях (11) его релнениямп служат функции

.41.4+ »В ¡В ./ ч

с многочленами р степени меньше ш_ + (т + п+)ц, подчиненными, условиям

1Лw

-J (г) = О, 0 < /с < [orj - 1, т € Е U F U {-¿},

еде для едишюбрыня положено = (—ае —

Пусть 0 < г0 < rt и D есть один из полукругов {|г| < r0, ±1тг > 0}. В полукруге D рассматривается интеграл

«»-hem-

где 0 < <5 < 1 и степенная функция фиксируется ее непрерывной ветвью и одном из полукругов {|z| < Гц, ± Im г > 0}. Доказана следующая вспомогательная теорема.

Теорема 1.4. Пусть 9 € Я"[—rt,rj], п > 1, от. с. п—ая производная <рЫ g H[—ri, Г|]. Тогда при 5 = 0 функция. (15) принадлежит классу H"(D). а при 0 < 5 < 1 она щтдетатша в виде

^>=±£^^•'(0)+*>(*>, (16) t=n

где о, € Я"_1(7;) и Л^г) € tf(D).

Затем рассматривается неоднородное уравнение (4). Теорема 1.5. Пусть выполнены предположения теоремы 1.2, коэффициенты r,s и функция / принадлежат классу

дЫ

о окреелтшетпи точек tSEUF. Положим для краткости (£L U F+)° = {т 6 EL U F+, {«г> > 0}. Тогда условия

fW(r) = 0, 0 < k < [ov] - 1, т £ (£_ U F+f, (17)

необходимы для paape.vMM.aami уравнения (4) а классе. (12). Пусть условия (17) выполнены. Тогда при а? — т+ — п- > 0 уравнетю (4) всегда разрешимо, а при ее. — /ге+ — п- < О для его ¡ю.чретилюсти необходимо выполнение т+ + «_ — ж линейно неаааиешчых условий па правую часть /. Более точно, существует такое подпростр.тство

х с сс_*~"+)о х ГГ с1"--1

размерности т+ + и_ — ав, что в обозначениях (11) условия ортогональности

Е ' > геЕ 1-0 TSF к=0

ко всем векторам i¡ = (rf':,»;'') G Л' необходимы и достаточны, для разрешилюети уравнения (4) в классе (12).

Во второй главе рассматривается характеристическое сингулярное интегральное уравнение на замкнутом гладком контуре Г в исключительном случае с произвольными порядками нулей. Все исследования проводятся в весовых классах Гёльдера.

В пункте 2.1 приводятся определения весовых классов Гёльдера.

Пусть F — конечное множество точек контура Г. Исходя из семейства А = (Arl г € F) вещественных чисел, вводится класс H\(T,F) функций ip е С(Г\ F), которые на каждой гладкой дуге Го С Г с концом г € F, не содержащей других точек из F. представимы в виде <p(t) = \t — т|аг9о(0> ' € Го, где функция <р0 принадлежит классу Гёльдера Я (Го). Аналогично определяется класс Hx(D±, F).

В пункте 2.2 методом сведения к соответствующей задаче линейного сопряжения исследуется характеристическое сингулярное интегральное уравнение (4) в исключительном случае с произвольными порядками пулей. Причём условия на функции «(/) ± b(t) уточняются следующим образом. Пусть D+ и П~. соответственно, конечная и бесконечная компоненты дополнения к Г на плоскости, zq € D+ — фиксированная точка и F = F+UF_. В D+ и D~ рассматриваются, соответственно, функции

A(z) = П (= - . ОД = П Í^J-). (18)

reí-+ ref.

где степенные функции во втором равенстве выбраны с разрезом вдоль дуг [г, го] С £>+. В этих обозначениях

(« + b)(/) = C(í)A(í), (a-b)(t) = d(t)B(t), (19)

где коэффициенты c(t), d(t) принадлежат классу Я(Г, F) = #о(Г, F) кусочно гельдеровых функций и обратимы в этом классе.

Вводится обозначение G(t) = Исходя на непрерывной

пствн_ In G (t.) на Г \ F рассматривается семейство чисел

<S- = — {(lnG)(r - 0) — (In G)(r + 0)). На весовой порядок А

_ 7ГI

накладывается дополнительное требование:

ат + Ar — Re ST Z, tzF. (20)

Выбираются целые пт по условию — 1 < «г + Ar - Re5r + пт < 0 и вводится индекс ае = ит.

-ег

Функция X(z) строится следующим образом:

тег

где

Х0(z) = ,"< = >. n(z) = -L /'

2лч Jr t—z

Теорема 2.1. Пусть -1 < Аг < 0 и выполняется условие (20). Тогда при ж > 0 общее решение задачи

г(0Л(*)Ф+(0 - d(t)B(t,yï>-(t) = /(/) (21)

а классе HxiD*, F) дастся формулой

¡•де функция ф(г) имеет вид

Р — произвольный .многочлен степени ne выше аз — 1 (при я» = О положим Р — 0).

При ж < 0 решение задачи (21) единственно и даётся форлсулой (22) при выполнении условии ортогональности

/гс(^'Й=0' ; = (23)

Mrs теоремы 2.1 вытекает следующий результат.

е D+,

•m

L

Теорема 2.2. Пусть / € Я„+Л(Г,Р), —1 < Лт < 0 и выполнено условие (20). Тогда при ж > 0 щтнпепчч (4) а предположениях (18).(19) безусловно разрешимо в классе HX(T,F) и его общее решение дается формулой

+1 (1 f{T)dr if1 2 Bd) -i JT с(т)Х+(т)(t — l) V Дс Bd) '

(24)

¿■¿с Р — противользшй многочлен степени ш. выше ж — 1 (при ае = О положи.» Р — О).

Если ж < 0, то для существования решения необходимо и достаточно

выполнение -аз условий раарпшилюсти (23) и (единственное) решение уравнения (4) о предположениях (18), (19) дается формулой (Ц) при Р — О.

Публикации автора по теме диссертации

[1| Ь'рбанович, Т. М. К теории краевой задачи Римана в исключительных случаях/ Т. М. Урбанович// Труды 4-й международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнении»: в трех томах. — Т. 1. Математический анализ. — Ми.: Институт математики HAU Беларуси, 2006. — С. 131-138.

[2| Урбанович, Т. М. Об одном подходе к решению особого интегрального уравнения в исключительном случае/ Т. М. Урбанович// Математическое .моделирование и краевые задачи: Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 3: Дифференциальные уравнении и краевые задачи. — Самара: СамГТУ 2009. - С. 220-226,

[3] Урб анович, Т. М. Решение краевой задачи Римана с множителями логарифмического типа и со степенными множителями нецелого порядка в коэффициенте/ Т. М. Урбанович// Вестник Гродненского государственного университета имени Янки Куналы. Серия 2. Математика. Физика. — 2009. — Д> 1 (77). — С. 59-06.

[4] Урбанович. Т. М. Решение краевой задачи Римана со степенными множителями нецелого порядка в коэффициенте/ Т. М. Урбанович// Известия Национальной Академии паук Беларуси. Серия физико-математических наук. — 2009. — X* 2. — С. 24-35.

т

[5] Солдатов, А. П. • Характеристическое сингулярное интегральное уравнение с ядром Кош и в исключительном случае/ А. П. Соядатов, Т. М. Урбаиович// Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. — 2011. — № 17 (112), выпуск 24. — „С. 165-171.

[6| Урбаиович, Т. М. Однородная краевая задача Римапа со степенными множителями нецелого порядка в коэффициенте/ Т. М. Урбаиович// Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений', тез. докладов Международной конференции, посвященной памяти проф. А. А. Килбаса, 12-17 сентября 2011 г.. Минск, Беларусь. — Ми.: Институт Математики НАЛ Беларуси, 2011. — С. 145-146.

(7] Урбаиович,Т.М. Исключительный случаи характеристического сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши/ Т. М. Урбаиович// Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел: сб. материалов Международной конференции (Белгород, 17-21 октября 2011 г.). — Белгород: ИПК НИУ «БелГУ». 2011. - С. 119.

[8| Солдатов, А. П. О решении характеристического сингулярного интегрального уравнения в исключительном случае/ А. П. Солдатов, Т. М. Урбаиович// Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики: Материалы Международной конференции молодых учёных. — Нальчик: Издательство КБНЦ РАН, 2011. - С. 202-204.

[9] Солдатов, А. П. Характеристическое? сингулярное интегральное уравнение на прямой в исключительном случае с произвольными порядками нулей/ А. П. Солдатов, Т. М. Урбаиович// Аналитические методы анализа и днффереицшщьиых уравнений: АМАБЕ — 2011: Материалы С-оп международной конференции, посвященной памяти проф. А. А. Килбаса. — Минск: Ипд. Центр БГУ, 2012. — С. 195-200.

[10] Урбаиович, Т. М. Характеристическое сингулярное интегральное урашгеппе па гладком замкнутом контуре в исключительном случае с произвольными порядками пулей/ Т. М. Урбаиович// Материалы международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященной 80-летию со дня рождения академика, М. М. Лаврентьева. — Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2012. — С. 448.

[11] Урбаиович, Т. М. Исключительный случаи характеристического сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши в весовых классах/ Т. М. Урбаиович// Математические заметки Якутского государственного университета. — 2012. - Т. 19, выпуск 2. - С. 155-161.

[12] Урбаиович, Т. М. К теории сингулярных уравнений с ядром

Коши в исключительном случае с произвольными порядками нулей/ Т. М. Урбанович// Крымская осенняя математическая школа. Двадцать третья ежегодная международная конференция. Тезисы докладов. — Симферополь: КНЦ НАНУ, 2012. - С. 08-69.

[13] Урбанович, Т. М. К решению характеристического сингулярного интегрального уравнения на вещественной прямой в исключительном случае с произвольными порядками нулей Т. М. Урбанович// Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. - 2012. - № 17 (136)." выпуск 28. - С. 102-1.12.

[14] Урбанович, Т. М. К теории сингулярных уравнений с ядром Копт в исключительном случае в весовых классах Гсяьдера/ Т. М. Урбанович// Четвертая Международная конференция молодых-учёных по дифференциальным уравнениям и их. приложениям имени Я. Б. Лопатинского. Сборник материалов. — Донецк: Донецкий Национальный университет, 2012. — С. 84-85.

[15] Урбанович. Т. М. Исключительный случай сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши в весовых классах Гельдера/ Т. М. Урбанович// Математическое .моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики: Материалы Второй Международной конференции молодых учёных. — Нальчик: ООО «Редакция журнала «Эльбрус», 2012. — С. 232-235.

Подписано в печать 21.01.2013. Times New Roman. Формат 60 х 84/16. Уел. и. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 180. Орпгшигл-макет тиражирован и !ШК НИ У «Вел ГУ* Белгородского государственного национального нсследогеп (vibCKoro унитерспгета 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85.

Введение

Глава 1. СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПРЯМОЙ

1.1. Исключительный случай уравнения с порядками нулей меньше 1.

1.2. Уравнение с произвольными порядками нулей

Глава 2. СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ВЕСОВЫХ КЛАССАХ ГЁЛЬДЕРА

2.1. Весовые классы Гёльдера

2.2. Уравнение на гладком контуре с произвольными порядками нулей . 53 Литература.

Теория сингулярных интегральных уравнений и краевых задач для аналитических функций привлекает интерес математиков и механиков в течение многих лет. Одним из методов исследования сингулярного интегрального уравнения является сведение его к соответствующей краевой задаче для аналитических функций.

Начало исследования краевых задач для аналитических функций восходит к классическим работам Б. Римана [48] и Д. Гильберта [94].

Большой вклад в создание и развитие теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений внесли Ю. В. Сохоцкий [63].

B. Вольтерра [99], И. Племель [98], Ф. Нётер [96], Т. Карлеман [93], И. Н. Векуа [8], [9], Ф. Д. Гахов [12], [13], Н. И. Мусхелишвили [37], [38], Б. В. Хведелидзс [85], 3. Пресдорф [42], [43], С. Г. Михлин [35], [36], Л. Г. Михайлов [33], Л. И. Чибрикова [87], Л. А. Аксентьев [1], Э. И. Зверович [21], [22], [23], Г. С. Литвинчук [22], [32], Н. В. Говоров [16], А. П. Солдатов [61], [62] и другие.

Развитие этой теории активно продолжается в настоящее время в работах Э. И. Зверовича [24], Л. Г. Михайлова и Н. Усмонова [34],

C. И. Безродных, В. И. Власова и Б. В. Сомова [3], [5], [6|, [7], Э. Вегерта [100], Ю. В. Обносова [39], В. В. Сильвестрова [59]. С. Н. Асхабова [2], [92], А. П. Солдатова [60] и других. Стимулирующим фактором для этого являются многочисленные применения к актуальным прикладным проблемам как в традиционных (гидро- и аэродинамика [18], [27], [31], теория упругости [19], [37], [38], [59], [91]) так и в современных (теория композиционных материалов [97], теория гетерогенных сред [39], физика плазмы [4]) областях исследования.

Напомним, что краевой задачей Римана в исключительном случае [12, с. 130-137] называется задача отыскания кусочно-аналитической функции Ф(-г), аналитической внутри и вне простого гладкого замкнутого контура Г, предельные значения которой удовлетворяют краевому условию т п {t-ajr>

Ф+(*) = 3~-G№~(t) + g(t), t е г, (0.1)

П (* - ьк)ь k=i где aj. bk — некоторые точки контура Г, оу bi;, j = 1, 2,. ., т, к = 1, 2,., п , G(t) — функция, удовлетворяющая условию Гель дера и не обращающаяся в нуль на контуре Г.

Решение задачи (0.1) в случае замкнутого контура Г впервые было дано Ф.Д. Гаховым в 1941 году в его докторской диссертации. Основные результаты докторской диссертации Ф.Д. Гахова были опубликованы в [13]. Решения отыскивались в классе кусочно-аналитических функций, граничные значения которых в исключительных точках могли иметь лишь интегрируемые особенности. Чтобы обеспечить разрешимость задачи (0.1) в этом классе функций, предполагалось, что коэффициент G(t) и свободный член g(t) удовлетворяют условию Гёльдера и дифференцируемы в окрестности точек aj, bk достаточное число раз.

JI. А. Чикин продолжил и углубил эти исследования. Пусть D+ и D~, соответственно, конечная и бесконечная компоненты дополнения к Г на плоскости. Основу построений JI. А. Чикина [88] составляет переход к так называемой "приведённой задаче", т.е. к обычной задаче Римана с коэффициентом G*(t), удовлетворяющим условию Гёльдера и не обращающимся в нуль на некотором контуре Го. не проходящим через исключительные точки и отличающимся от Г дугами окружностей с центрами в исключительных точках, включающими эти точки в D+ или D~ в зависимости от класса допустимых решений. G*(L) вводится на Го так, чтобы решения исходной задачи получались из решения "приведённой задачи" предельным переходом при Го—>Г. Здесь класс искомых функций расширяется: в исключительных точках допускаются бесконечности неинтегрируемого порядка, что приводит к необходимости использовать при решении обобщённые интегралы типа Коши с плотностями, имеющими в некоторых исключительных точках неинтегрируемые особенности. Смысл этим расходящимся интегралам придавался на основе понятия интеграла в смысле Адамара [10]. Позднее B.C. Рогожин включил результаты Л.А. Чикина в единую теорию краевых задач в пространстве обобщённых функций (см. например. [15]). B.C. Рогожин и Т.Н. Радченко в работах [45], [51] исследовали задачу (0.1) при условии, что g(t) — заданная функция точек контура, удовлетворяющая условию Гёльдера, в работе [54] В. С. Рогожин решил задачу (0.1) в предположении, что g(t) является обобщённой функцией на основном пространстве S (см. [49, с. 1326]), при т — 1, п= 1. Однако, метод работы [54] не переносится (см. [55, с. 115]) на случай, когда коэффициент задачи обращается в нуль или бесконечность произвольного стспснного порядка. JI.B. Карташева и Т.Н. Радченко в работе [25] исследовали краевую задачу (0.1) на отрезке действительной оси в пространстве обобщённых функций. В работах [69]-[84] автор рассматривал краевую задачу Римана на прямой, в том числе в исключительном случае, в классах гиперфункций в смысле определения, приведённого в [95].

Наномним, что сингулярным интегральным уравнением с ядром Коши в исключительном случае [12, с. 241] называется уравнение вида a(tMt) + Щ [ ^^ + [ K{t, rMr)dr = f(t), (0.2) 7гг Jr т - t Jr для которого (03) a{t)-b{t) = m=^-bkYks{i),

1де r(t) и s{t) не обращаются в нуль на контуре Г; aj, Ьк — точки контура Г, dj т^ Ьк\ aj, ¡Зк е Z+.

Если K(t,r) = 0 и выполняются предположения (0.3), то получим характеристическое сингулярное уравнение в исключительном случае (см, например, [12, с. 242])

Ш (0.4)

7ГI Jr Т — t

Уравнение (0.2) в предположениях (0.3) было полностью исследовано Ф. Д. Гаховым [12] и JI. А. Чикиным [88] методом сведения к краевой задаче Римана для случая, когда обе функции a(t) ± b(t) могут обращаться в нуль целых порядков в различных точках контура интегрирования.

Д. И. Шерман [89]. [90] независимо от работ Ф. Д. Гахова другим методом дал исследование исключительных случаев уравнений с ядром Коши в предположении, что только одна из функций a(t) ± b(t) имеет нули целых порядков на контуре Г.

Дальнейшее исследование исключительных случаев сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши продолжили в самых различных направлениях Б. В. Хведелидзе [85], Ф. Д. Гахов [11], Е. А. Косулин [29],

30], 3. Пресдорф [40]-[44], А. И. Тузик [64]-[68], А. А. Килбас [28], В. Б. Дыбин [17], В. С. Рогожин, Т. Н. Радченко [45], [52], [53], J1. В. Карташева [26], С. Н. Расламбеков [46], [47] и другие авторы.

В частности, в работах [28], [64]-[68] исследовано уравнение (0.2) в предположениях a(t) + b(t) = YlUt ~ сгТ> n£i(* - aj)a>r{t), a{t) - b(t) = ПГ=1(* - EG=i(* - Ьк)ЫЪ где r(t) и s(t) нигде на Г не обращаются в нуль; aj, 6fc, Cj - точки контура Г. ад фЬк, aj ф d , bk Ф сг; а3, fit, Ъ Е . Решение получено в классе функций, удовлетворяющих условию Гсльдера.

В работе [17] рассмотрен частный случай уравнения (0.4) коэффициенты которого удовлетворяют условиям a{t)+b{t) = {t-ai)arit), где r(t) и s(t) не обращаются в нуль на контуре Г; а\, bi — точки контура Г, а\ фЬ\\ а > 0, 0 < Р < 1.

В работе [44] рассмотрен частный случай уравнения (0.4) коэффициенты которого удовлетворяют условиям a(t) + ед = nut - ПГ=1 tt - (0 7) a(t) - b(t) = nr=i(* - Ci)1- nLi(rl где r(t) и s(t) не обращаются в нуль на единичной окружности L; aj, bk} Ci — точки контура L, aj ф bk) aj ф a, bk ф сц aj, рк Е Z+, U Е М+ . Решение получено в классе LP(L), р > 1.

Исключительные случаи сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши в классах обобщённых функций рассматривали Е. А. Косулин,

0.6

B. С. Рогожин, Л. В. Карташева, Т. Н. Радченко, С. Н. Расламбеков и другие авторы. При самой общей постановке задачи, когда решение получается в функционалах на некоторых пространствах основных функций, результаты, по-видимому, имеют лишь теоретическое значение (см., например, [14]). В частности, в работе [29] Е. А. Косулин исследовал уравнение (0.4), где а{Ь), Ь(Ь) — известные функции, принадлежащие нормированному или счётно-нормированному основному пространству Ф, элементы которого достаточное число раз дифференцируемые функции; Г — замкнутый достаточно гладкий контур, /(¿) принадлежит пространству Ф , сопряжённому к Ф. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (0.4) в пространстве Ф , а также получено общее решение уравнения (0.4). В работе [56] В. С. Рогожин, Т. Н. Радченко,

C. Н. Расламбеков отыскали решение уравнения (0.2) при выполнении предположений (0.3) не только в классе функций, удовлетворяющих условию Гёльдера, по и в классах обобщённых функций типа ¿-функции Дирака и её производных, а также функций с полярной особенностью в нулях символа. Доказано, что для разрешимости уравнения (0.2) в рассматриваемых пространствах необходимо и достаточно, чтобы функция /(¿) была ортогональна решениям союзного однородного уравнения в союзном пространстве. Союзное пространство обычно содержит обобщённые функции указанного выше типа.

В работах [56]. [57], [58] исследовано в классах обобщённых функций уравнение третьего рода типа Фредгольма где х Е [а, 6], х^ Е (а, 6); К(х, £) и / = /(ж) — известные непрерывные и

0.8) достаточно гладкие в окрестностях точек Хк функции, = <р(х) — искомая функция.

В статьях [57], [58] рассматриваются решения уравнения (0.8) вида п 1

Ф) = У{х) + к=1 Ж Хк тп где Р-= ^^ Cjô^\x — Xk) ("главное значение в окрестности ж ~ Хк з=о точки а^"), ô(x — Xk) — дельта-функция Дирака, ô^(x — xk) последовательные производные дельта-функции Дирака, у(х) принадлежит пространству функций, непрерывных па отрезке [а, Ь] : CKfc — комплексные постоянные.

В работе [55] рассматривается интегральное уравнение

Kf = a{t)f(t) + b{t)Ef = g(t) (0.9) на замкнутом контуре L в пространстве обобщённых функций S и уравнение

K'v - a(tMt) - I / = m (0.10) т™ Jl r ~ t в соответствующем пространстве основных функций S (см., например, [15]). Коэффициенты a(t), b(t) — бесконечно дифференцируемые на L функции, b(t) ^0, причём выполняются условия (0.5). Под выражением b(t)Ef понимается функционал, определяемый равенством b(t)S/, р) = (/, -ЕЭД, <p(t)eS.

В работе [55] найдены необходимые и достаточные условия разрешимости в пространстве S уравнения (0.9), причём в случае разрешимости уравнения его решение записывается в явном виде; полностью исследован вопрос о зависимости числа решений и числа условий разрешимости от коэффициентов уравнения.

Как было отмечено выше, уравнение (0.4) можно свести к соответствующей задаче линейного сопряжения [12]. В работе [34] рассмотрен частный случай задачи линейного сопряжения, а именно:

Ф+(£) = |t - пГС(*)ф-(«) + g(t), (0.11) где т\ — некоторая точка контура, — произвольное число, коэффициенты G(t),g(t) удовлетворяют условию Гёльдера, причём G{t)^ 0.

Уравнение (0.4) можно свести к задаче (0.11) в предположении, что одна из функций (a±6)(i) имеет один нуль произвольного порядка на контуре Г.

В данной работе рассматривается ситуация, когда функции (а±6)(£) допускают на контуре Г конечное число нулей произвольных неотрицательных порядков.

Целью данной работы является исследование сингулярных интегральных уравнений в исключительном случае с произвольными порядками нулей.

Перейдём к изложению основного содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на пункты, и списка литературы, насчитывающего 115 наименований. Объем диссертации — 82 стр.

1. Аксентьсв, Л. А. Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом области/ Л. А. Аксентьев// Известия вузов. Математика. — 1984. № 2. - С. 3-11.

2. Асхабов, С. Н. Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью/ С. Н. Асхабов. — Майкоп: МГТУ, 2004. 387 с.

3. Безродных, С. И. Задача Римана — Гильберта в сложной области для модели магнитного пересоединепия в плазме/ С. И. Безродных, В.И.Власов// Журнал вычислит, мат. и матем. физ. — 2002. — Т. 42, № 3. С. 277-312.

4. Безродных, С. И. Обобщенные аналитические модели токового слоя Сыроватского/ С. И. Безродных, В.И.Власов, Б.В.Сомов// Письма в Астрономический журнал. — 2011. — Т. 37, № 2. С. 133-150.

5. Безродных, С. И. Сингулярная задача Римана — Гильберта и её приложение: дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.03/ С. И. Безродных. — М., 2006. 164 с.

6. Векуа, И. Н. Интегральные уравнения с особым ядром типа Коти/ И. Н. Векуа// Труды матем. ин-та АН Груз. ССР. 1941. - Т. 10. -С. 45-72.

7. Векуа, И. Н. Об одной линейной граничной задаче Римана/ И. Н. Векуа// Труды матем. ин-та АН Груз. ССР. 1942. - Т. 11. -С. 109-139.

8. Векуа, Н. П. Интегральные уравнения Фредгольма с интегралами в смысле Адамара/ Н. П. Векуа// Труды матем. ин-та АН Груз. ССР. — 1939. №7.- С. 113-146.

9. Гахов, Ф.Д. Вырожденные случаи особых интегральных уравнений с ядром Коши/ Ф.Д. Гахов// Дифференциальные уравнения. — 1966. — Т. 2, № 4. С. 533-543.

10. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи/ Ф.Д. Гахов. — 3-е изд. — М.: Наука, 1977. 640 с.

11. Гахов. Ф.Д. Краевые задачи аналитических функций и сингулярныеинтегральные уравнения/ Ф.Д. Гахов// Учёные записки Казанского гос. ун-та. 1949. - Т. 109, кн. 4. - С. 75-160.

12. Гахов, Ф.Д. О современном состоянии теории краевых задач аналитических функций и особых интегральных уравнений/ Ф.Д. Гахов// Труды семинара по краевым задачам. — 1970. — Вып. 7. С. 3-17.

13. Гельфанд. И. М. Обобщенные функции и действия над ними/ И. М. Гсльфанд, Г.Е.Шилов. — М.: Физматгиз., 1959. — 470 с.

14. Говоров, Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом/ Н. В. Говоров. М.: Наука, 1986. - 240 с.

15. Дыбин.В. Б. Нормализация сингулярного интегрального уравнения в исключительном случае/ В. Б.Дыбип// Математический анализ и его приложения. — Изд-во Ростовского ун-та, 1974. — Т. 6. — С. 45-61.

16. Елизаров, А. М. Задачи оптимизации формы в аэрогидродинамике/ А.М.Елизаров, А.Р.Касимов, Д. В. Маклаков. — М.: Физматлит, 2008. 480 с.

17. Журавков, М. А. Фундаментальные решения теории упругости и некоторые их применения в геомеханике, механике грунтов и оснований. Курс лекций/ М. А. Журавков. — Минск: БГУ, 2008. — 247 с.

18. Зверович, Э. И. Вещественный и комплексный анализ: учеб. пособие. В шести частях. Кн. 4. Ч. 6. Теория аналитических функцийкомплексного переменного/ Э. И.Зверович. — Минск: Выш. шк., 2008. 319 с.

19. Зверович, Э. И. Двухэлементные краевые задачи и метод локально-конформного склеивания/ Э. И. Зверович// Сибирский математический журнал. — 1973. — Т. 14, Nu 1. — С. 64-85.

20. Зверович, Э. И. Краевые задачи со сдвигом для аналитических функций и сингулярные функциональные уравнения/ Э. И. Зверович, Г. С. Литвинчук// Успехи математических наук. 1968. — Т. 23, выпуск 3 (141). - С. 67-121.

21. Зверович, Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций в гёльдеровских классах на римановых поверхностях/ Э. И. Зверович// Успехи математических наук. — 1971. — Т. 26, выпуск 1 (157). — С. 113-179.

22. Зверович, Э. И. Особый случай однородной задачи сопряжения и обобщённая проблема обращения/ Э. И. Зверович// ДАН Беларуси. — 1999. Т. 43, № 1. - С. 16-19.

23. Карташева. Л. В. Краевая задача Римана в случае вырождения символа в пространстве обобщённых функций на отрезке действительной оси/ Л. В. Карташева, Т. Н. Радчепко// Труды матем. центра им. Лобачевского. 2001. - № 8. - С. 128-130.

24. Карташева, Л. В. Случай вырождения символа сингулярного интегрального уравнения в пространстве обобщённых функций на разомкнутом контуре/ Л. В. Карташева// Известия вузов. Математика. 1982. - № 6 (241). - С. 19-25.

25. Келдыш, М. В. Приложения теории функций комплексного переменного к гидродинамике и аэродинамике/ М. В. Келдыш, Л. И. Седов. М.: Наука, 1964. - 46 с.

26. Килбас,А.А. Решение в замкнутой форме полного особого интегрального уравнения с аналитическим ядром в исключительном случае/ А. А. Килбас// Известия АН БССР. 1974. - № 1. -С. 129-130.

27. Косулин, А. Е. Одномерные сингулярные уравнения в обобщённых функциях/ А. Е. Косулин// Доклады АН СССР. 1965. - Т. 163, № 5. - С. 1054-1057.

28. Косулин, А. Е. Особый случай в теории сингулярных уравнений/ А. Е. Косулин// Вестник ЛГУ. 1962. - № 19. - С. 142-148.

29. Лаврентьев, М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели/ М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — М.: Наука, 1973. — 416 с.

30. Литвинчук, Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом/ Г. С. Литвинчук. — М.: Наука, 1977. — 448 с.

31. Михайлов, Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами/ Л. Г. Михайлов. — Душанбе: Изд-во АН Тадж. ССР, 1963. 184 с.

32. Михайлов, Л. Г. Сингулярные краевые задачи сопряжения/ Л.Г.Михайлов, Н.Усмонов// Доклады Академии наук. — 2002. — Т. 387, № 3. С. 309-313.

33. Михлин, С. Г. Интегральные уравнения в теории упругости/ С. Г. Михлин, Н. Ф. Морозов, М. В. Паукшто — СПб. : Изд-во СПбГУ, 1994. 271 с.

34. Михлин, С. Г. Сингулярные интегральные уравнения/ С. Г. Михлин// Успехи математических наук. — 1948. — Т. 3, выпуск 3. — С. 29-112.

35. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости/ Н. И. Мусхелишвили. — М.: Наука, 1966. — 709 с.

36. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения/ Н. И. Мусхелишвили. — М.: Наука, 1968. — 512 с.

37. Обносов, Ю. В. Краевые задачи теории гетерогенных сред/ Ю. В. Обносов. — Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та, 2009. — 205 с.

38. Пресдорф,3. К теории систем сингулярных интегральных уравнений с вырождающейся символической матрицей, I/ 3. Пресдорф// Вестник ЛГУ. 1965. - № 19, выпуск 4. - С. 58-73.

39. Пресдорф, 3. К теории систем сингулярных интегральных уравнений с вырождающейся символической матрицей, II/ 3. Пресдорф// Вестник ЛГУ. 1966. - № 7, выпуск 2. - С. 68-75.

40. Пресдорф, 3. Линейные интегральные уравнения/ 3. Пресдорф// Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — 1988. — Т. 27. — С. 5-130.

41. Пресдорф,3. Некоторые классы сингулярных уравнений/ 3. Пресдорф М.: Мир, 1979. - 493 с.

42. Пресдорф. 3. Сингулярное интегральное уравнение с символом, обращающимся в нуль в конечном числе точек/ 3. Пресдорф// Математические исследования. — Кишенёв: "Штиинца", 1972. — Т. 7, выпуск 1 (23). С. 116-132.

43. Радченко, Т. Н. К теории особого случая сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши и краевой задачи Римана/ Т. Н. Радченко,B. С. Рогожин// Известия вузов. Математика. — 1984. — № 10 (269). —C. 64-70.

44. Расламбеков. С. Н. Линейные интегральные уравнения третьего рода с коэффициентом, имеющим нуль любого порядка, в пространствах обобщенных функций/ С. Н. Расламбеков// Известия вузов. Математика. 1986. - № И (294). - С. 41-44.

45. Расламбеков, С. Н. Сингулярное интегральное уравнение первого рода в исключительном случае в классах обобщённых функций/ С. Н. Расламбеков// Известия вузов. Математика. — 1983. — № 10 (257). С. 51-56.

46. Риман,Б. Сочинения/ Б. Риман. — М.-Л.: ОГИЗ, Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1948. — 543 с.

47. Рогожин. В. С. Краевая задача Римана в классе обобщённых функций/ В. С. Рогожин// Известия АН СССР. 1964. - Т. 28. - С. 1325-1344.

48. Рогожин, В. С. Краевые задачи Римана и Гильберта в классе обобщённых функций/ В. С. Рогожин// Сибирский математический журнал. 1961. - Т. 2, № 5. - С. 734-745.

49. Рогожин, В. С. Об индексе и нормальной разрешимости сингулярного интегрального уравнения в исключительном случае/ В. С. Рогожин. Т.Н. Радченко// Известия вузов. Математика. — 1977. — № 6 (181). — С. 131-134.

50. Рогожин, В. С. Об уравнении типа свёртки и сингулярных интегральных уравнениях в исключительном случае/ В. С. Рогожин, Т.Н. Радченко// Известия вузов. Математика. — 1979. — № 8 (207). — С. 87-93.

51. Рогожин, В. С. О решении краевых задач аналитических функций в пространстве функционалов/ В. С. Рогожин// Труды семинара по краевым задачам. Казанский ун-т. — 1970. — Вып. 7. — С. 225-231.

52. Рогожин, В. С. Сингулярное интегральное уравнение в пространстве основных и обобщённых функций на замкнутом контуре в исключительном случае/ В. С. Рогожин, Л. В. Карташева// Известия вузов. Математика. 1975. - № 6 (157). - С. 114-123.

53. Рогожин. В. С. Теория Нётера для интегральных уравнений третьего рода/ В. С. Рогожин, С.Н. Расламбеков// Дифференциальные уравнения. 1978. - Т. 14, № 9. - С. 1678-1686.

54. Рогожин, В. С. Теория Нётера для интегральных уравнений третьего рода в пространствах непрерывных и обобщённых функций/ В. С. Рогожин, С. Н. Расламбеков// Известия вузов. Математика. — 1979. № 1 (200). - С. 61-69.

55. Сильвестров, В. В. Метод римановых поверхностей в задаче о межфазных трещинах и включениях при наличии сосредоточенных сил/ В.В.Сильвестров// Известия вузов. Математика. — 2004. — № 7 (506). С. 78-91.

56. Солдатов. А. П. Краевые задачи теории функций в областях с кусочногладкой границей/ А. П. Солдатов. — Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1991. Ч. 1. - 266 е., ч. 2. - 274 с.

57. Солдатов. А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций/ А. П. Солдатов. — М.: Высшая школа, 1991. — 207 с.

58. Сохоцкий, Ю. В. Об определённых интегралах и функциях, употребляемых при разложении в ряды: докт. дисс./ Ю. В. Сохоцкий. — С.-Петербург, 1873.

59. Тузик, А. И. Исключительные случаи полных особых интегральных уравнений с ядром Коши/ А. И. Тузик// Вестник Белорус, гос. ун-та. Сер. 1. Физика, математика, информатика. — 1969. — № 1. — С. 55-56.

60. Тузик, А. И. К решению особых интегральных уравнений с ядром Коши в исключительном случае/ А. И. Тузик// Известия АН БССР. -1970. № 2. - С. 125-127.

61. Тузик, А. И. Об индексе особых интегральных уравнений с ядром Коши в исключительном случае/ А. И. Тузик// Известия АН БССР. -1972. № 3. - С. 35-41.

62. Тузик. А. И. Об исключительных случаях полных особых интегральных уравнений с ядром Коши/ А. И. Тузик// Вестник Белорус, гос. ун-та. Сер. 1. Физика, математика, информатика. — 1969. № 2. - С. 3-7.

63. Тузик, А. И. О сведении исключительного случая особых интегральных уравнений с ядром Коши к уравнениям нормального типа/ А. И. Тузик// Известия АН БССР. 1972. - № 1. - С. 53-56.

64. Урбанович, Т. М. Исключительный случай краевой задачи Римана в классе гиперфункций/ Т. М. Урбанович// Вестник Белорус, гос. ун-та. Сер. 1. Физика, математика, информатика. — 2Ü07. — № 3. — С. 90-95.

65. Урбанович, Т. М. Краевая задача Гильберта в классах гиперфункций Сато/ Т. М. Урбанович// Вестник Полоцкого гос. ун-та. Сер. С. Фундаментальные науки. — 2009. — JVe 3. — С. 69-76.

66. Урбанович, Т. М. О решении в классе гиперфункций задачи о скачке/ Т. М. Урбанович// Вестник Полоцкого гос. ун-та. Сер. С. Фундаментальные науки. — 2005. — № 4. — С. 38-44.

67. Урбанович, Т. М. О решении в классе гиперфункций некоторых модельных вариантов краевой задачи Римана в исключительном случае/ Т. М. Урбанович// Вестник Полоцкого гос. ун-та. Сер. С. Фундаментальные науки. — 2005. — № 10. — С. 19-25.

68. Хведелидзе, Б. В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения/ Б. В. Хведелидзе// Труды Тбил. матем. ин-та АН Груз. ССР, XXIII. 1956. С. 3-158.

69. Черский, Ю. И. К решению краевой задачи Римана в классах обобщённых функций/ Ю. И. Черский// Доклады АН СССР. -- 1959. — Т. 125, № 3. С. 500-503.

70. Чибрикова, Л. И. Основные граничные задачи для аналитических функций/ Л. И. Чибрикова. — Казань: Изд-во Казанского ун-та. — 1977. 304 с.

71. Чикин,Л.А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений/ Л. А. Чикин// Учёные записки Казанского гос. ун-та им. В. И. Ульянова-Ленина. — 1953. — Т. 113, кн. 10. — С. 57-105.

72. Шерман,Д. И. Об одном случае регуляризации сингулярных уравнений/ Д. И.Шерман// Прикладная математика и механика. — 1951. Т. 15, вып. 1. - С. 75-82.

73. ШермащД. И. О приёмах решения некоторых сингулярных интегральных уравнений/ Д. И.Шерман// Прикладная математика и механика. 1948. - Т. 12, вып. 4. - С. 423-452.

74. Штаерман, И. Я. Контактная задача теории упругости/ И. Я. Штаерман. — М.: Гостехиздат, 1949. — 270 с.

75. Askhabov, S. N. Nonlinear singular integral equations in Lebesgue spaces/ S.N. Askhabov// Journal of Mathematical Sciences. — 2011. — V. 173. № 2. P. 155-171.

76. Carleman, T. Sur la résolution de certaines équations intégrales/ T. Car-leman// Arkiv för Mathematik, Astronomi och Physik. — 1922. — V. 16, № 26. P. 1-19.

77. Hilbert, D. Uber eine Anwendung der Integralgleichungen auf ein Problem der Functionentheorie/ D. Hilbert// Verhandl. des III Internat. Math. Kongr. Heidelberg, 1904.

78. Imai. I. Applied Hyperfunction Theory/ I. Imai. — Dordrecht: Kluwer AP, 1992. 438 p.

79. Noether, F. Uber eine Klasse singulärer Integralgleichungen/ F. Noether // Math. Ann., 1920.

80. Milton, G. W. The theory of composites/ G. W. Milton. — Cambridge: Cambridge University Press. — 2002. — 719 p.

81. Plemelj, I. Ein Ergänzungssatz zur Cauchyschen Integraldarstelung/ I. Plemelj// Monatschefte für Math. u. Phys. 1908. - V. 19. - P. 205210.

82. Volterra, V. Sopra alcune condizioni caratteristiche per functioni di variabili complessa/ V. Volterra// Ann mat. (2). 1883. - V. 11.

83. Wegert, E. Nonlinear Boundary Value Problems for Holomorphic Functions and Singular Integral Equations/ E. Wegert. — Berlin: Akademie Verlag. — 1992. 240 p.Публикации автора по теме диссертации

84. Урбанович, Т. М. Решение краевой задачи Римана со степенными множителями нецелого порядка в коэффициенте/ Т. М. Урбанович// Известия Национальной Академии наук Беларуси. Серия физико-математических наук. — 2009. — № 2. — С. 24-35.

85. Урбанович, Т. М. Исключительный случай характеристического сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши в весовых классах/ Т. М. Урбанович// Математические заметки Якутского государственного университета. — 2012. — Т. 19, выи. 2. — С. 155-161.