Системы особых интегральных уравнений с ядром Коши и интегральных уравнений с логарифмическими ядрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. СВОЙСТВА РШЕНИЙ СИСТЕМ ОСОБЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЯДРОМ КОПМ НА КОНЕЧНОМ

ОТРЕЗКЕ.

§ I. Вспомогательные предложения.

§ 2. Асимптотика матричных сингулярных интегралов со степенно-логарифмическим весом.

§ 3. Поведение ограниченных решении систем особых интегральных уравнений.

§ 4. Исследование систем особых интегральных уравнений с постоянными коэффициентами методом эрмитовых форм^.

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С

ЛОГАШФМИЧЕСКИМИ ЯДРАМИ. 4

§ 5. Системы интегральных уравнений с логарифмическим ядром вида& и внешними коэффициентами.

§ 6. Системы интегральных уравнений с логарифмическим ядром вида ¿к [ | и внешними коэффициентами.

§ 7. Системы интегральных уравнений с и внешними коэффициентами.

§ 8. Системы интегральных уравнений с логарифмическими ядрами и внутренними коэффициентами.

ГЛАВА 3. СЛУЧАЙ ПОСТОЯННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ И МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СО СТЕПЕНЯМИ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ

ЯДЕР.

§ 9. Системы интегральных уравнений с • логарифмическим ядром и постоянными коэффициентами.

§ 10. Классификация систем интегральных уравнений с логарифмическим ядром и постоянными коэффидаентами. Критерии их разрешимости.

§ II. Решение одной контактной задачи теории ползучести.

§ 12. Нетеровость матричных операторов

Настоящая хобота посвящена исследованию систем особых интегральных уравнений с ядром Коши и систем интегральных уравнений с логарифмическими ядрами на конечном отрезке вещественной оси. Актуальность рассматриваемых вопросов обусловлена их обширными приложениями в теории упругости 11,12,26,33,41,791 ползучестиL32,42, 45 3, в задачах термодинамики [40*5, электродинамики Е 36], теории уравнений смешанного типа и т.д.Интегральные уравнения с внешниш коэффициентами (^ (К. Класс правых частей уравнения (13) описывается функциями, представимыми интегралами вида ^ Ок.» Необходимые и достаточные условия принадлежности функций этому классу даны Б.С.Рубиным £ 4 9 3 ; А.А.Килбас и Г.Самко t 25 Д выяснили характер гладкости функций из этого класса, Отметим, что во всех перечисленных работах изучались особые интегральные уравнения с ядром Коши и интегральные уравнения с логарифмическими ядрами в случае одной неизвестной функции. Системы же интегральных уравнений с логарифмическими ядрами фактически не исследовались, В настоящей работе проводится исследование асимптотического поведения решений системы особых интегральных уравнений вида (I).На основании полученных при этом результатов дается решение в замкнутой форме систем интегральных уравнений с логарифмическими ядрами, исследуется картина их разрешимости, а также изучается нетеровость операторов типа потенциала с матричными коэффициентами. При этом особо рассматривается важный для приложений случай - 9 постоянных коэффициентов, при исследовании которого используется метод эрмитовых форм [ 1 7 1 .Глава 3 посвящена изучению системы интегральных уравнений (3) с постоянными коэффициентами, к которой сводятся многие контактные задачи теории упругости Г32,33,40,42,44"1 • Б § 9 непосредственным дифференцированием система интегральных уравнений о логарифмическим ядром сводится к системе особых интегральных уравнений с ядром Коши и, как и в П 59Д, получаются две формы условий разрешимости. Кроме того, в этом параграфе дается исследование рассматриваемой системы методом эрт^ яитовых форм, приведены примеры.В § 10 система интегральных уравнений с логарифмическим ядром и ПОСТОЯННЫМИ коэффициентагли сводится в системе п. скалярных особых уравнений с яДРОм Коши» Это позволяет провести исследование рассматриваемой системы как в яеосцилляционном, так и в осцилляционном случае, что развивает результаты Г. Самко П591 для слзгчая одной неизвестной функции. Рассьштривая ползгчаеь/орз при этом систему при определенных предположениях относительно ее коэффициентов, удается выписать наиболее простой вид решения. В качестве прило- 12 жения в § II решается задача о давлении жестокого упругого штампа с прямолинейнырл основанием на упругув полуплоскость, находящуюся в условиях ползучести с учетом сил сцепления, при заданных силах, действующих на штамп, и постоянной ширине контакта. Подобная задача рассматривалась Прокоповичем И.Е, С451и М.П. Манукяном С32Д. В данном параграфе предлагается новый метод решения этой задачи, заключающийся в сведении ее к системе двух уравнений вида (3) с постоянными коэффициентами. Показывается, что задача безусловно разрешима и выписывается ее единственное решение. § 12 посвящен исследованию на нетеровость матричных операторов типа потенциала с логарифмическими ядрами на конечном отрезке вещественной оси, находятся необходимые и достаточные условия нетеровости этих операторов и вычисляется их индекс. При исследовании используются некоторые теоремы вложения Б.С.Рубина [53Д и результаты И.Ц, Гохберга, Н.Я.Крупникаt9-11]о нетеровости сингулярных интегральных операторов в пространстве U p с весом.На защиту выносятся следующие основные результаты: 1. Асшяптотические представления для матричных интегралов со степенно-логарифмическим весом.2. Асимптотические представления для канонической матрицы краевой задачи Ртена.3. Описание поведения ограниченных решений системы особых интегральных уравнений с ядром Коши на концах промежутка интегрирования.4. Решение в заглкнутой форме и исследование картины разрешш\^ости некоторых классов систем интегральнБк уравнений I рода с логарифмическими ядрами.5. Качественное исследование систем особых интегральных уравнешй с ядром Коши и систем интегральных уравнений с логарифмическим 13 ядром Б случае постоянных коэффициентов методом эрмитовых форм.6, Решение одной плоской задачи теории ползучести.7. Исследование нетеровости матричных операторов типа потенциала с логарифмическими ядрами, Результаты работы докладывались на конференциях молодых ученых Белгосунивероитета им. В.И.Ленина (1983, 1984), на семинаре профессора Г. Самко в Ростовском государственном университете (май 1984г.) и неоднократно на Минском городском научном сеглинаре по краевым задачам и сингулярным интегральным уравнениям им.Ф.Д.Гахова.Основные результаты диссертации опубликованы в работах [90-931. - 14 П А В А I СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ОСОНК ИНТЕГРАДББЫХ УРАВНЕНИЙ С ЯДРОМ К О Ш НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ В настоящей главе находится асимптотика матричных сингулярных интегралов со степенно-логарифмическим весом. Исследуется яоведение канонической матрицы краевой задачи Римана, а также поведение ограниченных решений системы особых интегральных уравнений (О.И.7.), соответствующей этой задаче, на концах интервала.Пусть Jj-C г Л-С (1«<,^ ) обозначает класс абсолютно непрерывных на С а, 6Л вектор-фушщий. 2t Элементу теории сбурш-Шй оу у;[дтт)ид. Сфорп^лируем необходимые определения и теоремы из теорий матриц С 2,5,271.Определение I. Матрицы Л и <® называются лодобныш, если существует такая невырожденная матрица У , что ^ - У «Й У. Оцределей^е .^ Матрица, подобная диагональной, называется матрицей простой структуры Г5Д. Определение 3. Функционально-коммутативной матрицей называется квадратная матрица J} переменной ОС такая, что для любых двух значений ос^ , оСд^ этой переменной Приведем некоторые свойства функционально-коммутативных матриц 1164Д , которые понадобятся нам в дальнейшем.Свойство I. Функционально-коммутативная матрица ЛСх.) с помощью постоянного преобразования может быть приведена к треугольному виду.В частном случае(п-•f,m='i) формулы (1.6) - (1.8) получены в L 58].Основную роль в теории матричного уравнения (1.9) играют матрицы которые называются основными матрицами этого уравнения. Всюду в дальнейшем будем считать, что рЕсХ; ^ Сос)фО, сМ1ГСос)фО^ Vaz<CC{j&:X НЛО) и называть уравнение (1.9) уравнением нормального типа.Необходимое и достаточное условие разрешимости системы (1.9) имеет вид - 22 ^4С-Ь)[ г.Ч4.)1"(5>Ш обЬ» О, (I.I5) где Q C-t) - вектор с произвольными полиномиальными компонентами.Справедливо утверздение 1281: необходимые и достаточные условия разрешимости системы (1.9) даются соотношением (I.I5), которое эквивалентно £*" соотношениям (I.I6), При соблюдении этих условий общее решение дается формулой (1.13), содержащей линейным образом ^ произвольных постоянных.Формулы (2.4) - (2.8) доказываются аналогично.Доказательство лемм 7,8 аналогично доказательству леммы 6.В случае К^-1 леммы 6-8 доказаны в [58].Пусть Теорещ I. Пусть б-С^)- функционально-коммутативная матрица.Пусть теперь G-C-t) имеет кратные собственные значения, то есть y"''GC-t)SJ-= cUc^{(?e^CO, ..., (S-e^C-t)^, S-eCt)- клетки, соответствр)Щие jc различным собственным функциям матрицы Sc-ь) .За1У[еч^ Э;е I. Представления для канонической матрицы задачи Римана с постоянным коэффициентом получены в L41.Преобразуя (3.9), получим (причем ^Сл.;=^ГЙ)=0). Д!ифференцируя полученное равенство по 2 , имеем ^ что и доказывает эту теорему.Для системы О.И.У. (1.9) справедливы следующие теоремы.Отметим, что это представление можно получить, взяв канояическуго матрицу системы (1.9) в виде 2С:хг)='УОзс-)Х- С»,), - 39 За). Re^Q.-o M^.f-o),Ьй^п-. Представление (3.12) получается так же, как и (З.П) с использованием асимптотической формулы (2.9).Доказательство утверждений 1Б)-ЗВ) аналогично.Если для матриц Л сх},^ »; дополнительно потребовать коммутативности при ос= ct, х = €> , то на основании леммы I и доказанных представлений получаем последнее утверждение. Теорема доказана.2) Если | к Л а ; - 0 С{^/1вг=Р)» то-^оСа.)=о С&^(.&)^о) и принадлежность фушщии (3.24) классу "Й^ также просматривается.Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3 с использованием асиглптотических представлений леммы 9.Теорема, аналогичная теореме 5, имеет место при Д1-^ в.Замечание 2. Теоремы 3-5 остаются справедливыми в случаях, когда QOc^ является а) эрмитовой функционально-коммутативной, б) нормальной функционально-коглмзгтативной матрицей.Замечание 3 . Если сШ:ДСх.)ФО , то для того, чтобы GGC) была фушщионально-коглмутативной матрицей 1фостой структуры достаточс'ОС 1 . '-'Л::;:- 42 HO, чтобы такой же была матрица «Я СосО <^Свс). В заклЕяение данного параграфа приведем пршлер.Пусть невырожденная влатрица У такова, что У ? У имеет нормальную жорданову форглу. .С црсттедощщд ра9рдрщм9с.т РДР.ТРШ. Д. маррр. }{^. применим метод эрмитовых форм к исследованию разрешиглостж системы О.И.У. с постоянными коэффициентадш в классе Н ^ . (Ранее этот метод применялся И.Л. Васильевым 143 для исследования разрешимости систем интегральных уравнений Абеля в весовых пространствах).Теорема 7. Если G не имеет отрицательных собственных значений, то число решений системы (1.9) с постоянныгш коэффициентами равно рангу эрмитовой формы HC|s-).Доказательство теоремы 8 аналогично доказательству теоремы 6 с использованием равенств (4,5), - 47 Теорема 9. Пусть Л, ^ - вещественные симметрические перестановочные матрицы, причем СМЗУ ^ О . Тогда система (1.9) с П0СТ0ЯННЫ1ЛИ коэффициентами имеет )(Ь линейно независимых решений.Б случае произвольного гъ воспользуемся тем, что перестановочные матрицы ей и ^ приводятся к треугольному виду одним и тем же преобразованием подобия [621. Система (1.9) при этом преобразуется к верхнему треугольному виду, после чего к каждой строке, начиная с нижней, можно применить утверждение теоремы для Yb'=i , Теорема доказана.Пусть ^ QXL) - характеристический многочлен матрицы Т .Поставим ему в соответствие эрглитову форму HC-fr) • Справедлива Teopeiv^ 10. Пусть Л, £> - вещественные перестановочные матрицы. Тогда справедливы следущие згтверждения: а) система (1.9) с постоянными коэффициентами имеет единственное решение тогда и только тогда, когда *icu<^ НС^т^***^' б) если среди собственных значений матрицы *Т нет чисто мнимых, то число решений систегяы (1.9) равно рангу эрмитовой формы HC-fr).Имеют место теореглн, аналогичные теоремам 6^8.Теорема IJ. Если ранг эрмитовой формы HC^g.) равен уь , то система (1.9) с постоянными коэффициентами имеет Ц линейно независимых решений при выполнении ^г условий разрешимости вида (I.I6).

1. Александров В.М. О плоских контактных задачах теории упругости при наличии сил сцепления или трения. - ПММ, 1970, т.34, В 2, с.246-257.

2. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.; Наука, 1969, - 368 е., ил.

3. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. -М.; Наука, 1970, 380 с.

4. Васильев И.Л. О методе эрмитовых форм в теории разрешимости систем уравнений Абеля. Минск, 1981, - 15 с. - Рукопись представлена ред.журн."Вестник ЕГУ, им. В.И.Ленина", Деп. в ВИНИТИ I июля 1981 г., Л 3218-81 Деп.

5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.; Наука, 1966, - 576 с.

6. Гахов Ф.Д. Краевая задача Римана для системы YL пар функций. УМН, 1952, т.7, № 4, с.3-54.

7. Гахов Ф.Д. О новых типах интегральных уравнений, разрешаемых в замкнутой форме. В сб. "Проблемы механики сплошной среды" АН СССР, 1961, с.102-114.

8. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.; Наука, 1977, - 640 с.

9. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. О спектре сингулярных интегральных операторов в пространствах с весом. ДАН СССР, 1969, т.185, ß 4, с.745-748.

10. Гохберг Й.Ц., Крупник Н.Я. Системы сингулярных интегральных уравнений в пространствах Ls*> с весом. ДАН СССР, 1969, т.186, 5, с.998-1001.

11. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных интегральных операторов. Кишинев, Штиинца, 1973, - 425 с.

12. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязко-упругости. М.; Наука, 1980, - 303.

13. Глобуз Г.В., Килбас A.A. Интегральные уравнения с логарифмическими ядрами на полуоси и конечном отрезке действительной оси. Редкол. ж. "Вестник ЕГУ, сер.I, физ., мат., мех." (Рукопись деп. в ВИНИТИ В 4967-80 ДЕП)

14. Гусейнов Э.А. Обоснование проекционного метода для интегрального уравнения I рода с логарифмической особенностью ядра. ДАН АзССР, 1982, В 2, с.Ю-12.

15. Данилюк И.И. Лекции по краевым задачам для аналитических функций и сингулярным интегральным уравнениям. Новосибирск* гос.ун-т, 1964, - 225 с.

16. Дильман В.Л. Об одном интегральном уравнении с логарифмическим ядром. "Теория функций веществ, переменной и краевые задачи", Чебоксары, 1983, с.42-51.

17. Крейн М.Т., Наймарк М.А. Метод симметрических и эрмитовых форм в теории отделения корней алгебраических уравнений. -Харьков, ОНТИ, 1936, -44с.

18. Крейн М.Г. Об одном новом методе решения интегральных уравнений I рода. ДАН ССОР, 1955, 100, Ш 3, с.413-416.

19. Килбас A.A. Операторы типа потенциала со степенно-логарифмическими ядрами и интегральные уравнения, разрешаемые в замкнутой форме. Диссерт. на соискание уч.степ.канд.физ.-мат. наук, Минск, 1976.

20. Килбас A.A. Применение одного интегрального представления к исследованию нетеровости интегральных операторов с логарифмическими ядрами. Изв.АН СССР, сер. физ.-шт. я., 1976,№ 2, с.24-33.

21. Килбас A.A. О нетеровости интегральных операторов с логарифмическими ядрами. Изв. АН СССР, сер.,физ.-мат.н.,1976, № 4, с.35-39.- по

22. Килбас A.A. Об интегральных операторах I рода о логарифмическими ядрами произвольного порядка. ДАН БССР, 1977, т.21, № 2, с.1078-1081.

23. Килбас A.A.- Интегральные операторы с логарифмическими ядрами на совокупности отрезков вещественной оси. Вестник ЕЕУ, сер. I, физ.,мат.,мех., 1978, №2, с.3-6.

24. Килбас A.A. Операторы типа потенциала с логарифмическими ядрами произвольных неотрицательных порядков. Изв.вузов, матем., 1979, & I, с.28-37.

25. Килбас A.A., Самко С.Г. О гладкости функций, представ-вимых логарифмическими потенциалами. Вестник ЕГУ, сер.1, физ., мат.,мех., 1978, № I, с.7375.

26. Купрадзе В.Д. О контактных задачах теории упругости. -Ж, 1980, т.16, № 2, с.293-310.

27. Ланкастер П. Теория матриц. М.; Наука, 1982, - 269 с.

28. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.; Наука, 1968, 512 с.

29. Михлин С.Г. О вычислении индекса системы одномерных сингулярных уравнений. ДАН СССР, 1966, т.168, гё 6, с.¿Ш-ДОО.

30. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.; Наука, 1972, - 232 с.

31. Мельник И.М. Исключительный случай краевой задачи Римана. Труды Тбилисского матем. ин-та АН ГрССР, 1957, т.ХХ1У, с.149-162.

32. Манукян M.ÏÏ. Плоская контактная задача теории ползучести с учетом сил сцепления. Изв.АрмССР, сер.мех., 1969, т.22, 1 3, с.52-62.- III

33. Мхитарян C.M. О некоторых плоских контактных задачах теории упругости с учетом сил сцепления и связанных с ними интегральных и дифференциальных уравнениях. Изв. АН АрмССР, 1968, т.21, J® 5-6, с.3-19.

34. Мерлин A.B. Об одном классе интегральных уравнений I рода с многозначным логарифмическим ядром. Сб. "Теории функций комплексного переменного и краевые задачи", вып.1, Чебоксары, 1972, с.19-36.

35. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. -М.; Наука, 1974, 480 с.

36. Ногин Н.В. К решению интегральных уравнений I рода с логарифмическим ядром. -Матем.физика, 1982, т.31, с.53-57.

37. Николайчук A.M., Спитковский И.М. Факторизация эрмитовых матриц-функций и ее приложения к граничным задачам. Укр. мат.ж., ин-т матем., АН УССР, 1975, t.27,J£ 6, с.767-779.

38. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. -М.; Мир, 1979, 495 с.

39. Примачук Л.П. О частных индексах задачи Римана с треугольной матрицей. Ш БССР, 1970, т.14, № I, с.5-7.

40. Подцубный Г.В. Об одной задаче теплопроводности в однородном пространстве. йнж.-физ.ж., 1961, т.4, J6 5, с.27-32.

41. Попов Г.Я. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания. Киев-Одесса, Вища школа, 1982, - 167 с.

42. Попов Г.Я. К решению плоской контактной задачи теории ползучести при наличии сил сцепления или трения. Изв. АН АрмССР, сер. физ.-мат.н., 1963, т.16, JS 2, с.15-31.

43. Попов Г.Я. Об интегральных уравнениях теории упругости с разностными и суммарными ядрами. ПММ, 1970, т.34, й 4,с. £ОЬ-€<{9.- 112

44. Попов Г.Я., Слободянюк А.П. Плоская контактная задача для линейно-деформируемого основания при наличии нескольких участков контакта. Изв. АН СССР, механика твердого тела, 1972, й 4, с.152-162.

45. Прокопович И.Е. О решении плоской контактной задачи с учетом ползучести. ПММ, 1956, т.20, Ш 6, с.680-687.

46. Рубин Б.С. Об операторах типа потенциала в весовых пространствах. Диссерт.на соискание уч.стел.канд.физ.-мат.наук, Ростов-на-Дону, 1973.

47. Рубин Б.С. О нетеровости операторов типа потенциала со степенно-логарифмическими ядрами на отрезке вещественной оси. -Изв. СКНЦВШ, сер.естеств.н., 1973, I 4, с.102-112.

48. Рубин Б.С. Об операторах типа потенциала на отрезке вещественной оси. Изв.вузов, матем., 1973, 5 /133/, с.73-81.

49. Рубин Б.С. Операторы типа потенциала со степенно-дога-рифмическими ядрами в случае неотрицательного показателя степени при логарифме. Изв. СКНЦВШ, сер.естеств.н., 1976, № 3,с.17-22.

50. Рубин Б.С. Общий метод исследования на нетеровость операторов типа потенциала со степенно-логарифмическими ядрами на конечном отрезке. Изв.АН АрмССР, матем., 1977, т.12, $ 6,с.447-461.

51. Рубин Б.С. Дробные интегралы в пространствах Гельдерас весом и операторы типа потенциала. Изв. АН АрмССР, сер. мат., 1974, т.9, $ 4, с.308-324.

52. Рубин Б.С. О нетеровости интегральных уравнений I рода с конечным числом ядер типа потенциала. Изв. СКНЦВШ, сер. есчвств.н., 1980, № 3, с.29-31.

53. Рубин Б.С. Теорема вложения для образов операторов свертки на конечном отрезке и операторы типа потенциала, I и П.-Изв. вузов, матем., 1982, .1-Ь I, с.53-63 и № 2, с.49-59.

54. Развитие теории контактных задач в СССР. М., Наука, 1976, -493 с.

55. Сакалюк К.Д. Некоторые особые интегральные уравнения с полярными, степенными и логарифмическими ядрами. Уч.зап. Кишинев, ун-та, 1962, Я 50, с.103-109.

56. Сакалюк К.Д. Интегральные уравнения с логарифмическими и полярно-логарифмическими ядрами. Уч.зап. Кишиневск. ун-та., 1969, № 70, с.17-23.

57. Самко С.Г. Об операторах типа потенциала. ДАН СССР, 1971, т.196, 2, с.299-301.

58. Самко С.Г. Интегральные уравнения I рода с логарифмическим ядром, I, В сб. "Методы отображений", Грозный, 1976, с.41-69.

59. Самко С.Г. Интегральные уравнения I рода с логарифмическим ядром, П. В сб. " Математический анализ и его приложения", Ростовский университет, 1978, с.103-121.

60. Сштковский И.М. Факторизация измеримых матриц-функций, связанные с ней вопросы теории систем сингулярных интегральных уравнений и векторной краевой задачи Римана, I и П. ДУ, 1981, т.ХУП, № 4, , ЛУ, 1982, т.18, В 3, с

61. Сштковский И.М. О частных индексах непрерывных матриц-функций. ДШ СССР, 1976, т.229, В 5, с.1059-1062.

62. Супруненко Д.А., Тышкевич Р.И. Перестановочные матрицы.-Минск, Наука и техника, 1966; -103с.

63. Хведелидзе Б.Б. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения. Тр. Тбилисск. мат.ин-та АН ГрССР, 1957, т.23, с.3-158.

64. Чеботарев Г.Н. К решению в замкнутой форме краевой задачи Римана для системы уь пар функций. Уч. зап. Казанск. ун-та, т.Пб, № 4, 1956, с.31-58.

65. Чеботарев Г.Н. Частные индексы краевой задачи Римана с треугольной матрицей. УМН, 1956, II, вып.З, с.199-202.

66. Чибрикова Л.И., Плещинский Н.Б. Об интегральных уравнениях с обобщенными логарифмическими и степенными ядами, 1-1У, Изв.вузов матем., 1976, й 6, с.91-104; 1977, № 10,с.150-162; 1978, Ш 6, с;129-146; 1979, Л 9, с.62-74.

67. Чумаков Ф.В. Характеристическое уравнение с логарифмическим ядром. Изв. АН БССР, сер.фиа-мат.н., 1967, $ 3,с.118-120.

68. Чумаков Ф.В. Интегральные уравнения с логарифмическим ядром. ЛУ, 1968, т.4, № 2, с.336-346.

69. Чумаков Ф.В. Об одном обобщении уравнения Карлемана -ИАН БССР, сер.физ.-мат.н., 1972, 15 4, с.ПЗ-116.

70. Чумаков Ф.В. Решение в замкнутой форме некоторых интегральных уравнений с логарифмическим ядром на сложном контуре. Вестник БГУ, сер Л, 1972, № 2, с.5-9.

71. Чумаков Ф.В. Обобщенное уравнение Карлемана с внутрен*ними коэффициентами. ИАН БССР, сер.физ.-мат.н., 1972, № 6, с.104-106.

72. Шелепов В.Б. Об исследовании методом Я. Б. Лопатине кого матричных интегральных уравнений в пространстве непрерывных функций.- В сб."Общая теория граничных задач", Киев, 1983, с.220-226.

73. Юров П.Г. Интегралы типа Кош и уравнения в конечных разностях. ВесцЬАН БССР, Ш 3, 1967, сер.физг-мат.н., с.67-74.

74. Юров П.Г. О представлении интегралов типа Кош. -Матем.заметки, 1969, т.6, 15 I, с.55-63.

75. Соо^и & С. &оСсЖйок. СиЛе^ъосц иаЛсокл, амЖ соьч-иъЬсок. съС-Ьк с&иаАСкЪе^гсхЛ г^иаАСок,**. ТКаЛк. ,44, А/< , р. 9- АО.

76. Л. К. 9 0€гъ41еас£ к/.Е. ОкЪЬ. ¿обиА-Сок. 4.Ь. СИ.-1:СОъос1 гоиссЬСок ¿/а рЫякйог -Ьио Иъсу*. й А И ЯррЛ.

77. ЗжлкяЛ й. СС Ои&цЖлз- е&рамыоуьСкЫягаЛ е^иоиНо^ ¿¿¿¿к а. Со^ссЖкушс. ЫуиС.- у. СотрЫ. ¿Н,

78. С. £., 2>00{.У<М-1С>П.Е.Е. ИПШ&ЛЬЯ ¿¿ме с&ршо&*сЪ СУС иш.^ ¿го£ дшоСц/ьотСи. ~ 2. ЦПаАк.3О, л/в, ¡>.4000-4040.

79. Шсб&аг^ ' а ¡ъоьг оп* ск1сога£89. р. риигг&а1соп ^¿иЪсом ^1ь1гсгос£ е^ияиЬсок, сшоС Ш ^^¿СееШок -Ьо рссьЪсаСр. 4 ^^•

80. Забелпо И.Н. (Катковская И.Н.). Операторы типа потенциала со степенно-логарифмическими ядрами.- 7 республ.конф. математиков Белоруссии. Тезисы докладов, ч.П Гродно, 1980, с.112.

81. Забелло И.Н. О поведении ограниченных решений системы сингулярных интегральных уравнений на концах интервала. Редк. ж. "Вестник ЕГУ, сер.1, физ.,мат.,мех." (Рукопись деп. в БелНШНШ 5 авг., 1983, № 754 Бе-Д83), -27с.

82. Забелло И.Н. О разрешимости систем интегральных уравнений с логарифмическими ядрами на конечном отрезке вещественной оси. Редк. ж. "Вестник ЕЕУ, сер.1, физ.,мат.,мех." (Рукопись деп. в БелНИИНШ, 5 авг., 1983, 1Ь 755 Бе-Д83), -22с.

83. Забелло И.Н. О числе решений системы особых интегральных уравнений. ДАН БССР, 1984, т.ХХУШ, № 10, с.873-875.