Квадратурные формулы для интегралов с ядром Коши со степенно-логарифмической особенностью и смежные вопросы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

^ (] $ Я ?• АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ Т' ИНСТИТУТ МАТОДШИ

На правах рукописи

ЯКИШШ ТАТЬЯНА СВШОННА

КВАДРАТУРНЫЕ ФОНОЛЫ ДНЯ ИНТЕГРАЛОВ С ЯДРОМ КОШК СО СТЕШШМОГШШЧНЖОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ И СМШШЕ ВОПРОСЫ

<01.01.07 - вычислительная математика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фйзикочлагемагетеских наук

МИНСК - 1992

Работа выполнена на кафедре численных методов и программирования Белорусского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

доцент Шешко Михаил Антонович Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

, профессор Лифанов Иван Кузьмич - доктор физико-математических наук, член-корреспондент АН Беларуси Янович Леонид Александрович Ведущая организация - Тартуский государственный университет

Защита состоится "¿О" 1992 года в

£5 -часов ка заседании специализированного совета K QG6.IS.0I в Институте математики АН Беларуси по адресу: Минск, ул. Сурганова, дом II, Институт математики АН Беларуси, к. 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АЕ Беларуси.

Автореферат разослан " ^ " 1992 года

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физ.-мат. наук А.И.Астровский

.-.циП

I. ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность ?s¡m. Многие теоретические и прикладное задачи математической физики и механики прияодяг к сингулярном интегральным уравнениям. Общая теория сингулярных ьчтегралъ-ннх уравнений (СИУ) и значительной степени разработана, однако приложения диктуют необходимость развития приближению: методов их реаения, таи как абсолютное болоиинстьо интегральных ургвпсний, а тем более сингулярных, в замкнутом виде решается лкшь е редких частних случаях.

3 настоящее время алеется немало эффективных чясленках методов, которые «заояена в монографиях С.М.Белоиеркопсного, И.К.Лшранава, Б.Г.Габдулхаева, В.В.Иванова, О.Г.Михлила, Г.Н.Пжтеева, S. Ptosclot? , а такие в обзорах D.¿t'&.clí ,

М. .

В то не время для некоторых классов сингулярны/. йнтег-ральпцх уравнении чпс^еняке методы разработаны мэло. 3 пернул очередь это относится к СЮ' с ненулевым индексом, задача построения методов реиения которта обладает специфическими трудностями, и к сингулярна интегральные уравнениям с крзтнимк ядрами Коти и Гильберте. Недавнее продвижение в области реке-ния СИУ с ядром Кош иа незамкнутом контуре в значительной степени связано с работами D- бШ-ott , И.К.Дкфаног.а, А.Ф. Матвеева, М.А.Шешко, а, по теории СИУ с кремнии ядрами Кошя к Гильберта и их численному решению имеются лишь отдельные публикации.

При численном решении сингулярных интегральных уравнений необходимы квадратурные (кубатурные) формулы приближенного зачисления сингулярных интегралов, которые обладают регуляризх-рущими свойствами в равномерной метрике, наиболее естественной при численном решенги.

Цель работы состоят з построении квадратурных (нубатур-ных)формул, обладающих регуляризирунгцкли свойствами в равномерной метрике, дал сингулярных интегралов с ядром Кота (кратных с.и. с ядрами Коши) с логарифмическими к стеаенно-логарифмическими особенностями, к необходимости вычисления которых приводят математические модели дифракции, упругости, аэродинамики. А также построении численных методов решения не-

3

которых линейных ешгудярных интегральных уравнений, возника-; вдих в приложениях: СИУ первого рода, содерязщих кратче интегралы с ядрами Гильберта; СИУ" первого рода на незамкнутом контуре с логарифмическими особенностями з правой части в классах интегрируемых V ограниченных функций.

Методика исследования. В работе существенно используется общая теория СИУ, изложенная в известных монографиях Н.И.Иу-схелшвми и Ф.Д.Гахова, применяются результаты из теории приближенных методов, комплексного анализа, теории квадратурных и кубатурных формул для сингулярных интегралов.

Научная новизна. Построены новые квадратурные (кубагур-ные) формулы для сингулярных интегралов с ядром Коши (кратных интегралов тага Коши) с логарифмическими и степенно-логарифмическими особенностями, обладающие регулярзгаяруздими свойствами в равномерной метрике. Указаны новые условия единственности решения СКУ первого рода, содержащих кратные интегралы, с ядрами Гильберта, построен и обоснован метод численного ре- ' шенкя данных уравнений. Построены и обоснованы прямые ыетоды численного решения СИУ первого рода на незамкнутом контуре с . логарифмическими особенностями е правой части в классах интегрируемых и всюду ограниченных функций.

Практическая и теоретическая, ценность. Результаты диссертации могут найти применение при решешш ряда задач теории упругое та, дифракции, аэродинамики, а также могут быть использо-' вакк при дальнейшем развитии численных методов решения СИУ.

Основные результаты.

1. Указаны новые условия единственности решения СИУ первого рода, содержащих кр ,ткые интегралы с ядрами Тклъбсрта. Построек в обоснован численный метод решения данных уравнений. Циклом тестовых расчетов продемонстрирована его эффективность.

2. Построены новые квадратурные (кубатурные) формулы для сингулярных интегралов с ядром Кови (кратных интегралов типа Коак) с логарифмическими и степенно-логарифмическими особенностями. Исследована сходимость к устойчивость данных формул к малым изменения;.! плотности в метрике пространства С «

4

3. Для СИУ первого рода на незамкнутом контуре с логарифмическими особенностями в правой части построены и обоснованы прямые методы численного решения в классах интегрируемых в всюду ограниченных функций.

Апробация работы. Результаты работы догладывались на научных семинарах механико-математического и физического факультетов Белорусского государственного университета им.Б.К.Ленина, на 5-ой Республиканской конференция математиков Белоруссии, на Научной конференции молодых ученых, посвященной 60-летию университета, на Республиканской научной конференции "ДиффзренЕиалыше к интегральные уравнения и их приложения" .(Одесса, IS87), на Расширенчом заседании семинара института прикладной математики км. л. Н. Веку а. (Тбилиси, 1990).

Публикации. По теме диссертации опубликовано IG работ, список которых приведен в конца автореферата.

Структура и otfoew работы. Диссертация, объемом 162 страницы ¡»заиинопкеного текста, состоит из введения, трех глгЕ, приложения и списка литературы из 144 наименований. Таблицы и графики с результатами расчетов приведены в приложении.

П. СОДЕРГАКИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность теш диссертации, приводится краткий обзор литературы по рассматриваемым вопросам, показывается новизна полученных результатов, а также излагается содержание работы.

Глава I (§§ I--2) посвящена численному решению сингулярных интегральных уравнений первого рода, содержащих кратные интегралы с ядрами Гильберта, Еида

{SJL) о О (I)

ЖIX

О О

где / , Л - заданные функции класса '(аг ( ££ -периодические ео каждой переменной, удовлзтЕоряшу-е условию Гельдерс.), X - числоеой параметр, </ - искомая функция.

Б § I лострэея и обоснован чкслеяяьй метод решения характеристического уравнения ( )

• Аш (2'

о О

при Ееобходкмых и достаточных условиях рэзрешмости ¿¡¡Г &

о о

Введены условия единственности решения задачи (2), (3), а именно,

л; йг

^/ = у^Л - &(4)

С? о

г кс.'орнх , , заданные функции класса .

/7а~ , удоиста сдают условию согласованности

- ¿/¿ал «а

<? с>

ыетод численного решения основан на построении аппроксимирующей задачи

2-Х

// V С V* Ъ5 4 ¿2А .

о о

б

О

ЗХ ■

Тк) - ^О^Ч,

для которой выполняются условия разрешимости и согласованяо-сти. Здесь

Зл

о

Ж

лх0

ХС

- - [? (2,+ --,//£

¿т; > ' (ж?;' а >

г 4 'о о

■ /мГЗД) • • ' - полиномы тригоно-

метрического интерполирования функций / . ^ , Л по системе узлов >

д) а ЛИ , * = .

Справедлива л р II ^

Теорема I. Пусть ' ' ЭХ -периода- :

ческие функции, имеющие I непрерывных производных по каждой переменной равномерно относительно других, причем С -ые производные удовлетворяют условии Гельдера с показателем ). Тогда для приближенного решения задачи (2), (4), опреде-

7

о

ляеыогс формулой

с 0

справедлива оценка погрешности

В § 2 указаны необходимые и достаточные условия разрешимости задачи (I), (2), а также построен и исследован прямой метод ее численного решения. . . ..

Теорема 2. Пусть функции '«„т е ', 2 - не является собственным значением ядра уравнения Фредгольиа (регуля-ризовааногэ уравнения), равносильного задаче (I), (4) в классе непрерывных решений. Тогда для любых функций 9 И

удовлетворяющих условна согласованности (5), существует единственное решение задачи (I), (4), и это решение представимо в виде

Л% яг

- гЦгм*,

оо

где *-> ,

- резольвента ядра регуляризованного уравнения. Причем для разрешимости задачи (I), (4) необходимо и достаточно выполнения условий

Л1- JZxttf

JfatMb .± J/ft<to,4ji>tFbt)*'

¿ с O o

3X2£

v. ' o o JX ttJKÜZ

/fe/M [ +

'o v o o o

&XJX

+/í гемм ■> «HA

o o

Как и в случае характеристического уравнения, прямой метод численного peasкия уравнения (I) с условиями единственности (4) основан на построении аппроксимирующей задачи, для которой выполняются необходимые и достаточные услоеия разрешимости и согласованности. Аппаратом приближения входящих а задачу функций выбрани полиномы тригонометрического интерполирования по системе равноотстоящих узлов (число узлов - нечетное).

При выполнении условий теоремы 2 доказаны:

а) существование единственного решения аппроксимирующей задачи, для которого.справедливо представление

УГSjSx) = 11 X «ft Cs¿ *

¡c-OÍ=o

где принято обозначение

■ ТУ, 1 <*>»■№-&УЛ Q Жк

1, ív - :—, -> Фк. ¿in*t' 3

* SinGi-OJ/j.

б) разрешимость системы яг/ ( rJ-3si+i) линейных алгебраических уравнений с N неиззесгннми <f(Qc9e)

о,an. , соответствующей прямому методу численного ре-вения задачи (I), (4).

,, Исследована сходимость приближенного решения к точному в равномерной метрике. Результаты исследований сформулированы э лемме 2.1, теореме 2,3, следствии 2.1.

Глава Д.Щ 3-6) 'посвящена построению и исследований квадратурных формул для сингулярных интегралов с ядром Коши с''логарифмическими и степенно-логарифмическими особенностями и интерполяционных кубатурных формуя для кратных интегралов типа Коши с аналогичными особенностями.

В' § 3 построены интерполяционные квадратурные формулы.для вычисления сингулярных интегралов

плотность которых , -¿с .< I , удовлетворяет усло-

вию Гельдера с показателем 4 У ( Ч'Ю £ /-/СЯ) ). Во избежании роста констант Лебега узлами йвадратурннх формул выбраны пули полинома Чебышева первого рода Со£ лагссо: ос. При вычислении коэффициентов искомых квадратурных формул используется равенство

Е котором р, и ) = ОЬ (*+ *), 4 ^ > Ч

^ и т^ опеоатооы вдффереацирогания по параметрам ^ ал. м/5

и 6 соответственно.

Приведены важные для приложений частные случаи данных квадратурных формул. Получена следующая оценка погрешности построенных формул:

0(^Чс)> если

лЛ '>

с С-/,/), емя

1 & о- -о- {)0( * £ гад с гчй

п

б „ ,если -иХ<0 А>о; .

)-ы^ос^х «вдсс-л

V л ^

ч воли </.>оу-л<р <о.

Здесь А/а) , Ул а) - интерполяционный поли-

ном Лаграяжа для функции у (к) , построенный во узлам

В § 4 построзны квадратурные формула для сингулярных интегралов

А/7?' < * <<> А/а),.л< ,,

приближением плотности полиномами Беряштейяа. а именно,

уя>*В, ад - ¿-ЕО^ГЪ, /£);

здесь - -число сочетаний из 1 чисел по К .

II

Исследована сходимость квадратурного процесса к точному значению интеграла.

Имеет место оценка

-а ос

В § 5 с помощью перехода от кратного интеграла к повтор- . ному построены интерполяционные кубатуране формулы для сингулярного интеграла

-J-I .

е котором • ^

ftO) « tn %

ог ЯД J.J^h > -/.

Исследована'сходимость кубатурлого процесса в равномерной петрике. Результаты исследований наши отражение в леммах 5.1 - 5.2, теорбые 5.1, следствии 5,1.

В § 6 показано, что построенные в §§ 3-5 квадратурные и кубатурные формулы, при определенном согласовании погрешности в задании плотности с числом узлов формул обладают регуля-ризируюядош свойствами в разномерной метрике. Достигается это сглажипаэвдшк свойствами операторов восстановления плотности.

В теоремах 6.1 - 6.3 сформулированы результаты исследований.

Глава 111 (§§ 7-9) посвящена построению прямых методов численного решения сингулярных интегральных уравнении первого рода яа незамкнутом контуре с логарифмическими особенностями в правой части

где /, Ке И (Г4), о I, Я _ числовой пара-

метр, у - искомая функция, в классах интегрируемых и всюду ограниченных функций.

В § ? рассматриваются численные метода решения характеристического уравнения ( К = О )

в следующих классах функций:

а) при дополнительном условии единственности

}ча)<и = к (7)

в классе Н ( х ~ £ 1 ), по Мусхелпдмли;

б) при выполнении необходимого и достаточного условия разрешимости

Ал 1И "'

в классе вскду ограниченных функций. ф

Будем говорить, чтс функция . 6 Н С x-±i), если у(эс) 6 /У при любом ас £ с. С-Л О , а

вблизи граничных, точек . ее = 1 ^ представила в виде

. Ч>С*)~ />(*>"(*) .где /X») = в-эс^СЛх)*

Численные методы решения основаны на приближении функции /(х) полиномами алгебраического интерполирования, узлами которых выбираются нули полиномов Чебышева первого и второго рода, введении соответствующих аппроксимирующих задач и формулах обращения з рассматриваемых классах решений.

13

В теоремах 7.1 - 7.4 исследоьааа сходимость приближенного решения к точному в равномерней метрике. Следствия 7.1 -7.2 выявляю!' структуру решения аппроксимирующих,задач в рассматриваемы:: клазоах функций в случае

/е=о = =•<*-« + ••• •< <хлх*

а именно:

а) ' = JÉ&. Cae) + -4р. О) ;

б) = + n^V^C'z); <I0> :

с/) <а) ' •

здесь Ч'п. № и Чп.-а.Ъ*) - некоторые полиномы степени /í. и л-А соответственно.

В § 8 построен прямой метод численного решения уравнения •' (tí) с условиями единственности (7) в классе функций /У* (о: = ± / ).

При построении аппроксимирующей задачи, решение которой , имеет структуру (9), функции /(х) и Л (М) приближаются интерполяционными полиномами Лагралжа определенной степени, узлами которых выбраны нули полиномов Чебышева первого и второго рода. V v

В теореме 3.1 доказала разрешимость системы ЛАУ, соответствующей прямому методу решения, а в следствии 8.1 исследована сходимость приближенного решения к точному и указан поря- ; док сходимости в метрике пространства С .

В § 9, иоп'сльзуя выявленную структуру решения и свойства полиномов Чебышева, построен прямой метод численного решения уравнения (6) в классе ьевду ограниченных функций (при выполнении необходимого и достаточного -условия разрешимости, сформулированного в теореме 9.1). Доказана разрешимость системы ЛАУ, соответствующей методу. Исследована сходимость приближенного решения к точному в равномерной метрике.

Результаты исследований отражены в лемме 9.1, теореме 9.2 и следствии 9.2. i

В приложении к диссертации рассматриваются тестовые задачи для СИУ первого рода с кратными ядрами Гильберта и уравне-

ниД о ядрами Копш на незамкнутом контуре с логарифмическкми особенности/,и в правой масти, а также приведены таблицы узлов и ксоффициентов важных дая приложений интерполяционных квадратурных формул.

Программы написаны на языке тияво РА^САЬ и предназначены дач ПЭВМ типа РС-ХГ/АТ с объемом оперативной памяти 640 килобайт.

К решению систем ЛАУ (в том числе и переопределенных) применяется один из методов исключения с использованием ЬИ. --разложения. Расчеты показали хорошую обусловленность матриц, возникающих в прямых методах численного решения СИУ.

По теме диссертации опубликованы следуйте работы:

1. Якименко Т.О. О сходимости квадратурного процесса для сингулярного интеграла с логарифмической особенностью // Вестник БГУ, сер.1. - 1979. - й 3. - С.53-57.

2. Дешко М.А., Якименко Т.О. О сходимости квадратурного процесса для сингулярного интеграла со степенко-логарифмичес-кои особенностью // Кзп.вузов. Математика. - 1980. - а I.

- С.82-35.

3. Якименко Т.С. Некоторые эффективные алгоритмы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений первого рода // Тезисы У Республиканской конф.математиков Белоруссии.

- 1980. - С.ЗЗ.

4. Якименко Т.С. Об одном методе решения двумерных СИУ первого рода // Тезисы докл.науч.конф.молодых ученых, посеяш. 60-летг© ун-та. - Минск: Вышэйшая' школа. - 1931. - С.62.

5. Ше'шко М.А., Якименко Т.С. О точном и приближенном решении одного класса'сингулярных интегральных уравнений // Бесн1 АН БССР. Сер.$1з.-мат.н. - 1983. - гё I. - С.20-28.

6. Якименко Т.С. Прямой «етод решения сингулярных интегральных уравнения первого рода со слабили особенностями // Тезисы докладов Республиканской науч.конф. "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения". - Одесса. -1987. - С.154.

7. Якименко Т.С. Об одном методе решения сингулярных интегральных уравнений I рода, содержащих кратные интегралы с. ядрами Гильберта // Весц1 АН БССР. Сер.ф1з.~мат.н. - 1990.

15

13 с. - Деп. Е ВИНИТИ 21.08.90, № 4719. - В 90.

8. Якименко Т.О. К вопросу численного решения СИУ" первого рода, содержащих кратные интегралы с ядрами Гиль бе рта // Докл. раем, засед.сеодш.ия-та прикладн.мат.им.И.Н.Векуа. -1990. - Т. 5. - № I. - С.202-206. '9. Якименко Т.О. О численном решении СИУ первого рода на ра., . аоыкнутом контура с правой частью специального вида // • Тезисы докладов У Всесоюзного симпозиума "Метод дискрет- ; них особенностей в ¡задачах математической физики". -' , Одеоса. - 1991. - С.68-69.

10. Якамеако Т.С., Маневич А.Э. Прямой метод ре некая сингулярных интегральных уравнений первого рода на разомкнутом контуре с правой частью специального вида // Взсц! АН БССР, Сзр.ф1з.-ыат.н. - 1991. - 22 о. - Деп. в ВИНИТИ V 15.10.1991, » 3976-391. "